Facultad de Matem´aticas
Grado en Matem´aticas
Trabajo Fin de Grado
Computabilidad y los Teoremas de
Incompletitud de G¨od...
Abstract
Assuming known the Recursion Theory and in a completely constructive
way, this final project shows both G¨odel’s I...
The Mathematics either is too big for the human brain or the
man’s mind is something besides a simple machine.
Kurt G¨odel...
´Indice general
Introducci´on 1
1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 5
1.1. Lenguajes de primer orden . ...
X ´Indice general
2.4. El teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Los teoremas de la ded...
´Indice general XI
6.5. Comentarios sobre el primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6. G¨odel y el problema 10o...
Introducci´on
Motivaci´on
Una vez cursada la asignatura del primer cuatrimestre de 4o
, Ciencias de
la Computaci´on, he te...
2 ´Indice general
Teniendo en cuenta este objetivo, el trabajo sigue un esquema constructivo.
Dando por conocida la Teor´ı...
´Indice general 3
el primer teorema de incompletitud de G¨odel, la ampliaci´on llevada a cabo por
Rosser y una variante de...
Cap´ıtulo 1
Sintaxis y sem´antica de la l´ogica
de primer orden
La prueba de los teoremas requiere definiciones y herramien...
6 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden
2. Un conjunto de s´ımbolos no l´ogicos, formado por lo...
1.1. Lenguajes de primer orden 7
4. Si ϕ ∈ C y x ∈ V , entonces ∃xϕ ∈ C.
Nota 1.1.5 En cuanto a notaci´on:
1. t, r, . . . ...
8 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden
1.1. t es una variable o una constante.
1.2. Existen un...
1.1. Lenguajes de primer orden 9
Nota 1.1.10
1. Toda variable que ocurra en una f´ormula abierta es libre.
2. Se denota po...
10 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden
1.2. Estructuras
En principio es posible razonar sobre...
1.2. Estructuras 11
Definici´on 1.2.5 (Validez para f´ormulas cerradas) Sea ϕ ∈ Sent(L(A)).
Se dice que ϕ es v´alida en A, ...
12 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden
Lema 1.2.10 Sea A una L–estructura, r ∈ Term0(L(A)).
1...
1.2. Estructuras 13
1. Un homomorfismo, F : A B, si:
1.1. Para toda c ∈ LC, F(cA) = cB.
1.2. Para toda f ∈ LF n–aria, y a ∈...
14 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden
1.2.3. Subestructuras
Definici´on 1.2.16 Sean A, B dos ...
Cap´ıtulo 2
Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de
primer orden
En l´ogica matem´atica, una teor´ıa est´a formada por un lengu...
16 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
2.1.1. Valoraciones de verdad
Definici´on 2.1.1 Sean L un l...
2.1. Teorema de la validez 17
2. Axioma–esquema de sustituci´on: Para cada f´ormula ϕ, t´ermino t y
variable x sustituible...
18 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
2. Introducci´on del cuantificador existencial (R∃):
ϕ → ψ
...
2.2. El teorema de tautolog´ıa 19
Para demostrar que una propiedad P la satisfacen los teoremas de una teor´ıa T,
se puede...
20 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
El teorema de tautolog´ıa permite simplificar las pruebas p...
2.4. El teorema de equivalencia 21
Teorema 2.3.7 (Cierre)
T ϕ ⇐⇒ T ϕc
.
Lema 2.3.8 Si z /∈ V l(ϕ) y x es sustituible por z...
22 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
Corolario 2.5.3 Sean {ϕ1, . . . , ϕn} ⊆ Sent(L(T)). Son eq...
2.7. Formas prenex. Formas normales 23
2.7. Formas prenex. Formas normales
Definici´on 2.7.1 Diremos que una f´ormula ϕ est...
24 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
Definici´on 2.7.5
1. Una ϕ f´ormula es un literal si es at´...
Cap´ıtulo 3
Relaciones entre teor´ıas
El concepto de teor´ıa y los de prueba y teorema asociados, permiten for-
malizar de...
26 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas
2. T y T son equivalentes si L(T) = L(T ) y para toda ϕ ∈ Form(L(T)),
T ϕ ⇐⇒ T ϕ...
3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on 27
Lema 3.1.7 Existe un algoritmo que determina si una f´ormula es un...
28 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas
3. T x = x.
Demostraci´on: Es suficiente observar que T x = x y que cualquier f´o...
3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on 29
Teorema 3.2.7 (Compacidad, versi´on sint´actica)
Son equivalentes:...
30 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas
3.3. El teorema de completitud
El teorema de completitud es vital en la L´ogica ...
3.4. Teor´ıas completas 31
Nota 3.4.2 Sea T una teor´ıa consistente tal que para toda f´ormula ϕ:
T ϕ ´o T ¬ϕ.
Sea la f´or...
32 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas
El concepto de completitud est´a estrechamente ligado al concepto de decidi-
bil...
Cap´ıtulo 4
La estructura est´andar.
Aritmetizaci´on
La palabra aritm´etica proviene del griego αριθµoς (arithm´os), que s...
34 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
2. Dos s´ımbolos de funci´on binaria: + y ·.
3. Un s´ımbolo de fu...
4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 35
Definici´on 4.1.3 Sean T una teor´ıa y Γ un conjunto de f´ormulas. Se defin...
36 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
2. A ⊆ ωn
se dice definible si existe ϕ(x) ∈ Form(LA) tal que
A = ...
4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 37
Lema 4.2.4 Sea ϕ(x, y) ∈ Σ1 funcional en N. Entonces existe ψ(x, y) ∈ Π1
...
38 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
2. f es definible en N por una f´ormula Σ1 funcional.
Demostraci´o...
4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 39
Teorema 4.2.7 Sea A ⊆ ωn
. Son equivalentes:
1. A es recursivamente enume...
40 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
4.3. Aritmetizaci´on
El proceso de aritmetizaci´on consiste en la...
4.3. Aritmetizaci´on 41
Una vez vista la codificaci´on de t´erminos y f´ormulas, los predicados Term(x)
y Form(x) permiten ...
42 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
FV (a, b) ⇐⇒



V b(b) ∧
V b(a) ∧ a = b ∨
Term...
4.3. Aritmetizaci´on 43
5. sub(a, b, c) da como resultado el n´umero de G¨odel resultante de sustituir,
en la f´ormula cod...
44 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
2. R∃(a, b) expresa que la f´ormula codificada por b proviene de h...
4.3. Aritmetizaci´on 45
Si NAxT (·) es primitivo recursivo, entonces PfT (·, ·) es primitivo recursivo.
En el caso de que ...
46 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on
Teorema 4.3.13 Sea T una Σ1–teor´ıa. Entonces:
1. Para cada f´orm...
Cap´ıtulo 5
Teor´ıas de la aritm´etica
Una vez definida la estructura est´andar, se definen dos teor´ıas de las cuales
N es ...
48 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
(1) 0 ≤ x (11) x + y = y + x
(2) x x (12) x · 0 = 0
(3) x < y ∧ y < z → x < z (...
5.1. La teor´ıa P−
49
3. A |= n + m = n + m.
4. A |= n · m = n · m.
5. A |= x ≤ n ↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ · · · ∨ x = n.
Demostr...
50 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
Definici´on 5.1.6 Sea A |= P −
. Entonces:
1. A es no est´andar si A N.
2. Si A ...
5.1. La teor´ıa P−
51
Puesto que N ⊂ A, A(t(n1, . . . , nk)) = m. Hay que demostrar que:
N |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk) ...
52 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
Demostraci´on: (⇐=): Trivial, N |= P −
.
(=⇒): Sea ψ(x) ∈ ∆0 tal que ϕ es ∃xψ(x...
5.1. La teor´ıa P−
53
Al ser T 1–consistente por hip´otesis, T + ThΠ1 (N) es consistente, implicando
que:
T ¬∀x ¬ϕ(x) ⇐⇒ T...
54 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
4. (Σ1–completitud). Sea T una teor´ıa Σ1–v´alida extensi´on de P −
. En-
tonce...
5.2. Representabilidad 55
Proposici´on 5.1.17 (Incompletitud de P −
)
1. P −
∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
2. P −
n...
56 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
2. ϕ(x) representa a A en T si ∀a ∈ ωk
,
a ∈ A =⇒ T ϕ(a)
a /∈ A =⇒ T ¬ϕ(a)
En t...
5.2. Representabilidad 57
2. Existe una f´ormula ϕ(x) ∈ Σ1 que representa a A en T.
3. Existe una f´ormula ϕ(x) ∈ Π1 que r...
58 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
(⇐=): Se supone que A |= ϕθ,ψ(a). Existe b ∈ A tal que A |= ϕ∗
θ,ψ(a, b).
Se co...
5.2. Representabilidad 59
De los asertos se concluye que la f´ormula ϕθ,ψ(x) representa a A en T, pro-
bando as´ı (2.).
((...
60 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
2.1. ϕ(x, y) representa a f en T.
2.2. Para cualesquiera a1, . . . , an ∈ ω:
T ...
5.2. Representabilidad 61
(ii.): Sea c < b. Entonces f(a) = c; por tanto, N |= ¬∀w ψ(a, c, w). Es
equivalente a N |= ∃w ¬ψ...
62 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
b < f(a): Entonces b ∈ ω y T ¬θ(a, b, z), pues b = f(a). En particular,
A |= ϕf...
5.3. Incompletitud e indecibilidad 63
2. T ∀x ∃!y ϕ(x, y). En este caso ϕ(x, y) se denomina funcional en T.
2.1 Si adem´as...
64 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
Al ser K recursivamente enumerable y debido a 5.2.2, K es d´ebilmente
represent...
5.4. La Aritm´etica de Peano 65
Se razona suponiendo lo contrario: sea T decidible. Es decir, el conjunto BT =
{ ϕ : T ϕ} ...
66 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica
5. (Primer teorema de incompletitud para P A). P A no es completa.
6. P A no es...
5.4. La Aritm´etica de Peano 67
Demostraci´on: (1.): De no ser cierto, la f´ormula ¬ϕ(x) definir´ıa |A|  ω, que
no tiene el...
Cap´ıtulo 6
Primer teorema de
incompletitud de G¨odel
G¨odel prob´o en 1931 [4], que bajo ciertas condiciones, ninguna teo...
70 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de G¨odel
Sean A |= T y a, b ∈ A elementos est´andar. Por definici´on,
a ∈ ...
6.2. Lema diagonal 71
Adem´as, se denotar´a el n´umero de G¨odel de una f´ormula del metalenguaje, Φ,
con su respectiva le...
72 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de G¨odel
En conclusi´on:
( ) =⇒ P −
Ψ ↔ ∃w[w = Θz[ Θ(z) ] ∧ Φ(w)]
=⇒ P −
...
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  1. 1. Facultad de Matem´aticas Grado en Matem´aticas Trabajo Fin de Grado Computabilidad y los Teoremas de Incompletitud de G¨odel Realizado por: Xavier Segu´ı Salom Dirigido por: D. Joaqu´ın Borrego D´ıaz Departamento: Ciencias de la Computaci´on e Inteligencia Artificial Sevilla, Junio 2015
  2. 2. Abstract Assuming known the Recursion Theory and in a completely constructive way, this final project shows both G¨odel’s Incompleteness Theorems and its computational consequences. For this purpose, it’s necessary a brief initial study of First Order Logic, also included in the opening chapters. V
  3. 3. The Mathematics either is too big for the human brain or the man’s mind is something besides a simple machine. Kurt G¨odel (1906-1978)
  4. 4. ´Indice general Introducci´on 1 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 5 1.1. Lenguajes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. T´erminos y f´ormulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Variables libres y ligadas. Sustituciones . . . . . . . . . . 8 1.2. Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1. Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3. Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden 15 2.1. Teorema de la validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1. Valoraciones de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2. Axiomas l´ogicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3. Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4. Teor´ıas y pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. El teorema de tautolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3. Teoremas sobre cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IX
  5. 5. X ´Indice general 2.4. El teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5. Los teoremas de la deducci´on y constantes . . . . . . . . . . . . 21 2.6. Teoremas de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.7. Formas prenex. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3. Relaciones entre teor´ıas 25 3.1. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on . . . . . . . . . . 27 3.3. El teorema de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.4. Teor´ıas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 33 4.1. El lenguaje de la aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos . . . . . . . . . . . . . 35 4.3. Aritmetizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5. Teor´ıas de la aritm´etica 47 5.1. La teor´ıa P− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2. Representabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.3. Incompletitud e indecibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4. La Aritm´etica de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6. Primer teorema de incompletitud de G¨odel 69 6.1. Notas sobre la aritmetizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2. Lema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.3. El 1er teorema de incompletitud de G¨odel . . . . . . . . . . . . . 74 6.4. Ampliaci´on de Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
  6. 6. ´Indice general XI 6.5. Comentarios sobre el primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.6. G¨odel y el problema 10o de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 80 7. Segundo teorema de incompletitud 87 7.1. El predicado BT (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2. El 2o teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.3. Propiedades de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.4. BT (x) y la l´ogica modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Bibliograf´ıa 95
  7. 7. Introducci´on Motivaci´on Una vez cursada la asignatura del primer cuatrimestre de 4o , Ciencias de la Computaci´on, he tenido la oportunidad de completar la asignatura realizan- do un trabajo de fin de grado sobre los teoremas de incompletitud de G¨odel. Habiendo visto la Teor´ıa de la Recursi´on, un trabajo de fin de grado de estas caracter´ısticas da sentido a todo lo aprendido, mostrando aspectos recursivos realmente interesantes para cualquier persona que haga uso de una teor´ıa ma- tem´atica. Por otra parte, los teoremas de incompletitud son cruciales para la L´ogica Matem´atica y para las Matem´aticas en general, hasta el punto de condicionar cualquier teor´ıa de primer orden con ciertas caracter´ısticas. De esta manera, en el trabajo tambi´en se hace uso de la l´ogica de primer orden aprendida durante el grado; ampliando de forma considerable lo conocido. As´ı pues, la realizaci´on de este trabajo complementa varias asignaturas cur- sadas y tambi´en formaliza de forma expl´ıcita los fundamentos de las matem´ati- cas, despejando cualquier duda sobre la validez de todo lo que a uno le demues- tran en 4 a˜nos. Objetivos El objetivo de este trabajo es proporcionar una prueba de los teoremas de completitud haciendo ´enfasis en sus aspectos computacionales, partiendo de los conocimientos acerca de la Teor´ıa de la Recursi´on y de L´ogica Matem´atica adquiridos en el grado. 1
  8. 8. 2 ´Indice general Teniendo en cuenta este objetivo, el trabajo sigue un esquema constructivo. Dando por conocida la Teor´ıa de la Recursi´on, se formaliza la l´ogica matem´ati- ca de primer orden como herramienta de representaci´on de las matem´aticas y el razonamiento; particularizando en la estructura est´andar y las teor´ıas de la aritm´etica, elementos fundamentales en los teoremas de incompletitud. Es- tos elementos proporcionan los suficientes conocimientos para probar los dos teoremas de incompletitud y sus consecuencias. Todo lo utilizado referente a Computabilidad, puede encontrarse en [1], junto con lo aprendido en la asigna- tura Ciencias de la Computaci´on. Del primer teorema se hace hincapi´e en los aspectos computacionales, te- niendo como teor´ıa base a la aritm´etica y estudiando qu´e ocurre a teor´ıas que, de cierto modo, la extienden. Adem´as de varios comentarios al respecto de la demostraci´on, tambi´en se ofrece una variante del primer teorema mediante la soluci´on negativa del problema 10o de Hilbert. Respecto al segundo teorema de incompletitud, se ofrece en este trabajo de fin de grado una prueba mediante las denominadas condiciones de demostrabi- lidad. A ra´ız de la demostraci´on del teorema, el trabajo finaliza con una breve menci´on a la l´ogica modal. Estructura La estructura del trabajo es como sigue: En el primer cap´ıtulo se definen los lenguajes de primer orden, junto con todos sus elementos caracter´ısticos. Posteriormente se definen las estructuras y la validez de f´ormulas en ellas. En el segundo cap´ıtulo se definen brevemente las teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden, cerrando as´ı dos cap´ıtulos b´asicos necesarios para el desarrollo del trabajo de fin de grado. El tercer cap´ıtulo estudia extensamente las relaciones entre teor´ıas, definien- do al final del mismo uno de los conceptos claves del trabajo: la completitud de una teor´ıa. En el cuarto cap´ıtulo se define el tan natural lenguaje de la aritm´etica, dando paso a la estructura est´andar. Es tambi´en en este cap´ıtulo donde se recoge el proceso de la aritmetizaci´on llevado a cabo por G¨odel. A partir de este momento, se puede dar paso al cap´ıtulo seis, demostrando
  9. 9. ´Indice general 3 el primer teorema de incompletitud de G¨odel, la ampliaci´on llevada a cabo por Rosser y una variante del teorema a partir de la soluci´on negativa del problema 10o de Hilbert. Finalmente, el s´eptimo cap´ıtulo ofrece una prueba del segundo teorema de incompletitud, estudiando con detalle la f´ormula: “ser demostrable”.
  10. 10. Cap´ıtulo 1 Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden La prueba de los teoremas requiere definiciones y herramientas relativas a los lenguajes de primer orden, como formalismo para representar adecuadamente los elementos fundamentales. A continuaci´on se definen la sintaxis y notaci´on en las que se apoyan todos los resultados del trabajo de fin de grado. Es importante rese˜nar que este cap´ıtulo y el siguiente se consideran como un resumen de trabajo, que proporciona las herramientas de formalizaci´on ne- cesarias. La mayor parte de su contenido se ha extra´ıdo de [3], y refleja el estudio personal del autor de dicha obra, para entender las herramientas que se utilizar´an m´as adelante. 1.1. Lenguajes de primer orden Definici´on 1.1.1 Un lenguaje de primer orden (l.p.o.) L consta de los siguientes conjuntos de s´ımbolos, disjuntos dos a dos: 1. Un conjunto de s´ımbolos l´ogicos, que son comunes a todos los l.p.o., formado por 1.1. Variables: V = {v1, v2, . . . }. 1.2. Un s´ımbolo de predicado binario, =. 1.3. Conectivas: ¬, ∨, ∃. 5
  11. 11. 6 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 2. Un conjunto de s´ımbolos no l´ogicos, formado por los siguientes con- juntos (disjuntos dos a dos): 2.1. S´ımbolos de constantes (LC). 2.2. S´ımbolos de funciones (LF ). 2.3. S´ımbolos de predicados (LP ). Nota 1.1.2 Se supone que = ∈ LP , aunque no se explicite. Para la simplifica- ci´on de algunas pruebas, se puede suponer que un s´ımbolo de constante es un s´ımbolo de funci´on de aridad 0. En cuanto a notaci´on: 1. x, y, z, v, . . . representar´an variables. 2. a, b, c, e, . . . representar´an constantes. 3. f, g, h, . . . representar´an s´ımbolos de funciones. 4. p, q, r, . . . representar´an s´ımbolos de predicados. 5. El s´ımbolo ≡ denotar´a la igualdad sint´actica entre dos expresiones. 1.1.1. T´erminos y f´ormulas Definici´on 1.1.3 Sea L un l.p.o. Una expresi´on de L es una sucesi´on finita de s´ımbolos de L. El conjunto de los t´erminos en L, Term(L), es el menor conjunto C de expresiones verificando: 1. V ∪ LC ⊆ C. 2. Si f es un s´ımbolo de funci´on n-aria y t1, . . . , tn ∈ C, entonces ft1 · · · tn ∈ C. Definici´on 1.1.4 El conjunto de las f´ormulas en un l.p.o. L, Form(L), es el menor conjunto C de expresiones tal que: 1. Si p ∈ LP tiene aridad n y t1, . . . , tn ∈ Term(L), entonces pt1 · · · tn ∈ C. Las f´ormulas de este tipo se denominan at´omicas y el conjunto de las f´ormulas at´omicas se denota por At(L). 2. Si ϕ ∈ C, entonces ¬ϕ ∈ C. 3. Si ϕ, ψ ∈ C, entonces ∨ϕψ ∈ C.
  12. 12. 1.1. Lenguajes de primer orden 7 4. Si ϕ ∈ C y x ∈ V , entonces ∃xϕ ∈ C. Nota 1.1.5 En cuanto a notaci´on: 1. t, r, . . . representar´an t´erminos. 2. ϕ, ψ, η, γ, . . . representar´an f´ormulas. Las definiciones anteriores permiten razonar por inducci´on sobre el conjunto de las f´ormulas o t´erminos, o bien definir funciones sobre ´estos. Por ejemplo, si se desea demostrar que una cierta propiedad P es v´alida para cualquier f´ormula, basta comprobar que: • Toda f´ormula at´omica satisface P. • Si ϕ ∈ Form(L) satisface P, entonces ¬ϕ tambi´en la satisface. • Si ϕ, ψ ∈ Form(L) satisfacen P, entonces ∨ϕψ tambi´en la satisface. • Si ϕ ∈ Form(L) satisface P y x ∈ V , entonces ∃xϕ tambi´en la satisface. Notaci´on 1.1.6 Para manejar con m´as agilidad las expresiones introducidas y facilitar su lectura, ´estas se escribir´an seg´un las siguientes reglas: • Se denotar´a ϕ ∨ ψ en lugar de ∨ϕψ. • Se toma el convenio usual para el uso de par´entesis. • Otras conectivas: • ϕ → ψ denotar´a la f´ormula ¬ϕ ∨ ψ. • ϕ ∧ ψ denotar´a la f´ormula ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ). • ϕ ↔ ψ denotar´a la f´ormula ϕ → ψ ∧ ψ → ϕ. • ∀xϕ denotar´a la f´ormula ¬∃x¬ϕ. • Si u ∈ LF ∪ LP tiene aridad n, u(t1, . . . , tn) denotar´a a ut1 · · · tn. • Para los s´ımbolos o predicados binarios se utilizar´a notaci´on infija. As´ı, por ejemplo, x + y denota +xy, x < y denota < xy, etc. Teorema 1.1.7 (t´erminos y f´ormulas) Sea L un l.p.o. 1. Para cada t´ermino t ∈ Term(L) se verifica una y s´olo una de las siguientes condiciones:
  13. 13. 8 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 1.1. t es una variable o una constante. 1.2. Existen un s´ımbolo de funci´on f y n t´erminos t1, . . . , tn (siendo n la aridad de f), ´unicos, tales que f ≡ f(t1 · · · tn). 2. Para cada f´ormula ϕ ∈ Form(L) se verifica una y s´olo una de las siguien- tes condiciones: 2.1. ϕ es at´omica. 2.2. Existe ψ ∈ Form(L), ´unica, tal que ϕ ≡ ¬ψ. 2.3. Existen ψ1, ψ2 ∈ Form(L), ´unicas, tales que ϕ = ψ1 ∨ ψ2. 2.4. Existen ψ1 ∈ Form(L) y x ∈ V , ´unicas, tales que ϕ ≡ ∃xψ. Corolario 1.1.8 (subt´erminos y subf´ormulas) 1. Existe una ´unica funci´on Subt : Term(L) → P<w(Term(L)) tal que: Subt(t) = {t}, si t ∈ V ∪ LC; {t} ∪ 1≤i≤n Subt(ti), si t ≡ ft1 · · · tn. 2. Existe una ´unica funci´on Subf : Form(L) → P<w(Form(L)) tal que: Subf(t) =    {ϕ}, si ϕ es at´omica; {ϕ} ∪ Subf(ψ1) ∪ Subf(ψ2), si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2; {ϕ} ∪ Subf(ψ), si ϕ ≡ ¬ψ; {ϕ} ∪ Subf(ψ), si ϕ ≡ ∃xψ. 1.1.2. Variables libres y ligadas. Sustituciones Definici´on 1.1.9 1. Una expresi´on es sin variables si en ella no ocurren s´ımbolos de variable. 2. Una estancia de una variable x en una f´ormula ϕ se dice ligada si esa estancia ocurre en una subf´ormula de la forma ∃xψ. En caso contrario de se dice libre. 3. Una variable x se dice libre (resp. ligada) en una f´ormula ϕ si en ϕ existe al menos una estancia libre (resp. ligada) de x. 4. Una f´ormula se dice cerrada si no tiene variables libres. 5. Una f´ormula se dice abierta si en ϕ no ocurren cuantificadores.
  14. 14. 1.1. Lenguajes de primer orden 9 Nota 1.1.10 1. Toda variable que ocurra en una f´ormula abierta es libre. 2. Se denota por Sent(L) al conjunto de las f´ormulas cerradas, y por Term0(L) los t´erminos sin variables. 3. Se denota por ∀0(L) al conjunto de f´ormulas sin cuantificadores. 4. V ar(·) denota a la aplicaci´on V ar : Form(L) ∪ Term(L) → P<w(V ), tal que dada u una expresi´on, V ar(u) es el conjunto de las variables que ocurren en u. 5. Existe una ´unica aplicaci´on V l : Form(L) → P<w(V ) tal que dada ϕ ∈ Form(L), V l(ϕ) es el conjunto de las variables libres en ϕ, y est´a definida por: V l(ϕ) =    V ar(ϕ), si ϕ es at´omica; V l(ψ1) ∪ V l(ψ2), si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2; V l(ψ), si ϕ ≡ ¬ψ; V l(ψ) {x}, si ϕ ≡ ∃xψ. Definici´on 1.1.11 Sean L un l.p.o., t, r ∈ Term(L) y ϕ ∈ Form(L). 1. tx[r] es la expresi´on que se obtiene al sustituir la variable x por r en toda estancia de x en t. 2. ϕx[r] es la expresi´on que se obtiene al sustituir la variable x por r en toda estancia libre de x en ϕ. Lema 1.1.12 En las condiciones de la definici´on anterior, se verifica que tx[r] ∈ Term(L) y ϕx[r] ∈ Form(L). Definici´on 1.1.13 Una variable x es sustituible por un t´ermino t en ϕ si para cada z ∈ V ar(t), toda subf´ormula de ϕ de la forma ∃zψ no contiene estancias de x libres en ϕ. Nota 1.1.14 1. Al escribir ϕx[t] se presupone que x es sustituible por t en ϕ. 2. tx1,...,xn [t1, . . . , tn] es el t´ermino que se obtiene de sustituir en paralelo x1, . . . , xn por t1, . . . , tn, respectivamente. De manera an´aloga se define ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]. Si no existe confusi´on, se escribir´a t[t1, . . . , tn] en lu- gar de tx1,...,xn [t1, . . . , tn].
  15. 15. 10 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 1.2. Estructuras En principio es posible razonar sobre objetos muy diversos, y algunos muy dif´ıciles de tratar. Afortunadamente, el razonamiento matem´atico no requiere considerar conceptos imprecisos y variables ambiguas, sino que la fundamen- taci´on de las Matem´aticas s´olo requiere la capacidad de precisar formalmente qu´e razonamientos son aceptables. As´ı pues, una estructura consiste en un con- junto en el cual se han fijado varias relaciones y funciones, obteniendo de esta manera un objeto usado para definir la sem´antica de la l´ogica de primer orden. Definici´on 1.2.1 Sea L un l.p.o. Una L–estructura A es una 4–upla A = |A|, {cA : c ∈ LC}, {fA : f ∈ LF }, {pA : p ∈ LP } , donde: 1. |A| es un conjunto no vac´ıo, llamado el universo de A. 2. Para cada c ∈ LC, cA ∈ |A|. 3. Para cada f ∈ LF de aridad n, fA : |A|n → |A|. 4. Para cada p ∈ LP de aridad n, pA ⊆ |A|n . y el s´ımbolo l´ogico = se interpreta como {(a, a) : a ∈ A}. Definici´on 1.2.2 Sea L ⊆ L , y A una L –estructura. La restricci´on de A a L es la L–estructura AL = |A |, {cA : c ∈ LC}, {fA f ∈ LF }, {pA : p ∈ LP } . 1.2.1. Validez Definici´on 1.2.3 Sea A una L–estructura. Para cada a ∈ |A|, se elige un nuevo s´ımbolo a. El lenguaje de A, L(A), es aquel tal que L(A)P = LP , L(A)F = LF y L(A)C = LC ∪ {a a ∈ |A|}. Definici´on 1.2.4 Sea t ∈ Term0(L(A)). La interpretaci´on de t en A es A(t) = a, si t ≡ a, con a ∈ A; fA(A(t1), . . . , A(tn)), si t ≡ f(t1, . . . , tn).
  16. 16. 1.2. Estructuras 11 Definici´on 1.2.5 (Validez para f´ormulas cerradas) Sea ϕ ∈ Sent(L(A)). Se dice que ϕ es v´alida en A, y se notar´a por A |= ϕ si: 1. A(t1) = A(t2) [[si ϕ ≡ t1 = t2]] 2. (A(t1), . . . , A(tn)) ∈ pA [[si ϕ ≡ p(t1, . . . , tn)]] 3. A |= ψ [[si ϕ ≡ ¬ψ]] 4. A |= ψ1 ´o A |= ψ2 [[si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2]] 5. Existe a ∈ A tal que A |= ψx[a] [[ si ϕ ≡ ∃xψ]] Definici´on 1.2.6 Dada ϕ ∈ Form(L) con V l(ϕ) = {x1, . . . , xn}. Se dice que ϕ es: 1. V´alida en A, A |= ϕ, si para cualesquiera a1, . . . , an ∈ A, A |= ϕx1,...,xn [a1, . . . , an]. 2. L´ogicamente v´alida, |= ϕ, si para toda L–estructura A, A |= ϕ. Nota 1.2.7 1. En las condiciones de la definici´on anterior, A |= ϕ ⇐⇒ A |= ∀x1 · · · ∀xnϕ. 2. Si ϕ y ψ son f´ormulas cerradas, entonces: A |= ϕ ∨ ψ ⇐⇒ [A |= ϕ ´o A |= ψ], y no es cierto en general si no son cerradas. Lema 1.2.8 Sean ψ1, ψ2 cerradas. Entonces: 1. A |= ψ1 ∧ ψ2 ⇐⇒ A |= ψ1 y A |= ψ2. 2. A |= ψ1 → ψ2 ⇐⇒ A |= ψ1 y A |= ψ2. 3. A |= ∀xψ1 ⇐⇒ ∀a ∈ A(A |= (ψ1)x[a]). Lema 1.2.9 Sean L ⊆ L dos l.p.o. y A una L –estructura. Para toda ϕ ∈ Form(L) se verifica que: AL |= ϕ ⇐⇒ A |= ϕ.
  17. 17. 12 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden Lema 1.2.10 Sea A una L–estructura, r ∈ Term0(L(A)). 1. Si t ∈ Term(L) tal que V ar(t) ⊆ {x}, entonces: A(tx[r]) = A(tx[A(r)]). 2. Si ϕ ∈ Form(L(A)) tal que V l(ϕ) ⊆ {x}, entonces: A |= ϕx[r] ⇐⇒ A |= ϕx[A(r)]. Definici´on 1.2.11 Sea A una L–estructura. Se tienen: 1. Dada ϕ ∈ Form(L), el conjunto definido por ϕ en A es Aϕ = {a ∈ An : A |= ϕ(a)}. 2. Se dice que A ⊆ |A|n es definible en A si existe ϕ(x) ∈ Form(L) tal que Aϕ = A. 1.2.2. Homomorfismos Una vez definidas las estructuras, cabe preguntarse c´omo se relacionan entre ellas. Surge as´ı el concepto de homomorfismo, definido de la forma m´as natural. Nota 1.2.12 Para relajar la notaci´on, se adoptan los siguientes convenios, siempre y cuando no induzcan confusi´on: 1. Se escribir´a a ∈ A en lugar de a ∈ |A|. 2. Dado a ∈ A, se escribir´a a en lugar de a. As´ı mismo, se escribir´a a en lugar de a1, . . . , an (siendo n la aridad adecuada), tanto para elementos como para variables, y a ∈ A en lugar de a ∈ An . 3. Si u(x) es t´ermino o una f´ormula, se escribir´a u[a] en lugar de ux1,...,xn [a1, . . . , an], y si F : A → B, se escribir´a F(a) en lugar de (F(a1), . . . , F(an)). Definici´on 1.2.13 Sean A, B dos L–estructuras, y F : A → B. Se dice que F es:
  18. 18. 1.2. Estructuras 13 1. Un homomorfismo, F : A B, si: 1.1. Para toda c ∈ LC, F(cA) = cB. 1.2. Para toda f ∈ LF n–aria, y a ∈ A: F(fA(a)) = fB(F(a)). 1.3. Para todo p ∈ LP n–ario y a ∈ A: A |= p(a) =⇒ B |= p(F(a)). 2. Una inmersi´on, F : A⊂B, si es un homomorfismo y se verifica que A |= p(a) ⇐⇒ B |= p(F(a)). 3. Un isomorfismo, F : A ∼= B, si es una inmersi´on biyectiva. 4. Un automorfismo si es un isomorfismo de A en A. Teorema 1.2.14 Sean A, B dos L–estructuras, a ∈ A, y F : A → B. 1. Si F es homomorfismo y t(x) ∈ Term(L) : F(A(t[a])) = B(t[F(a)]). 2. Si F es una inmersi´on, y ϕ ∈ ∀0(L), entonces: A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[F(a)]. 3. Si F es un isomorfismo, y ϕ ∈ Form(L), entonces: A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[F(a)]. Definici´on 1.2.15 Dos L–estructuras A, B se dicen elementalmente equiva- lentes, y se denota por A ≡ B, si para toda f´ormula ϕ ∈ Form(L): A |= ϕ ⇐⇒ B |= ϕ.
  19. 19. 14 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y sem´antica de la l´ogica de primer orden 1.2.3. Subestructuras Definici´on 1.2.16 Sean A, B dos L–estructuras. Se dice que A es una subes- tructura de B, y se nota por A ⊂ B, si |A| ⊆ |B| y la aplicaci´on inclusi´on de A en B es una inmersi´on. Nota 1.2.17 Si A ⊂ B, entonces: 1. Para toda c ∈ LC, cA = cB. 2. Si f ∈ LF es n–aria y a ∈ A, entonces fA(a) = fB(a). 3. Para todo p ∈ LP n–ario y a ∈ A, A |= p(a) ⇐⇒ B |= p(a). De hecho, por 1.2.14.2, se verifica que si ϕ ∈ ∀0(L), entonces: A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[a].
  20. 20. Cap´ıtulo 2 Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden En l´ogica matem´atica, una teor´ıa est´a formada por un lenguaje, un conjunto de axiomas y unas reglas de inferencia. Una vez definidos los lenguajes de primer orden, en este cap´ıtulo se definen los distintos tipos de axiomas y las reglas de inferencia. Una vez se tenga el concepto de teor´ıa, los teoremas pasan a ser los protagonistas. Se define el concepto de prueba, fundamental para entender el proceso de deducci´on y la b´usqueda mecanizada de teoremas. Este cap´ıtulo es de car´acter t´ecnico y muestra, a partir del concepto de teor´ıa, c´omo se podr´ıan demostrar los procesos b´asicos de razonamiento (teoremas de deducci´on, de constantes, etc.). No es el objetivo de este trabajo desarrollar tales elementos; se ha limitado a resumirlos. V´ease [3] para m´as detalles. En cap´ıtulos posteriores se ver´an las propiedades del conjunto de los teore- mas de una teor´ıa de primer orden, junto con los aspectos computacionales m´as relevantes. 2.1. Teorema de la validez El teorema de la validez es de vital importancia para la fundamentaci´on de las matem´aticas. Pese a su corto enunciado, da sentido al concepto de prue- ba formal, pues la validez es el objetivo m´as natural en la b´usqueda de una demostraci´on. 15
  21. 21. 16 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden 2.1.1. Valoraciones de verdad Definici´on 2.1.1 Sean L un l.p.o. y H∨ y H¬ las funciones de validez. Una aplicaci´on σ : Form(L) → {0, 1} es una valoraci´on de verdad si: 1. σ(¬ϕ) = H¬(ϕ). 2. σ(ϕ ∨ ψ) = H∨(σ(ϕ), σ(ψ)). Definici´on 2.1.2 El conjunto de las f´ormulas elementales en un l.p.o. L es el conjunto EF(L) = At(L) ∪ {∃xϕ : ϕ ∈ Form(L)}. Con el concepto de valoraci´on de verdad se pretende sustituir a las estructuras, asignando un valor de verdad a cada f´ormula. Nota 2.1.3 Form(L) es el menor conjunto de expresiones que contiene a EF(L) y es cerrado bajo ∨ y ¬. Lema 2.1.4 Dada π : EF(L) → {0, 1}, existe una ´unica valoraci´on de verdad, σ, tal que σEF(L) = π. Definici´on 2.1.5 Una f´ormula ϕ es una tautolog´ıa (esqueleto tautol´ogico) si para toda valoraci´on de verdad σ, se verifica σ(ϕ) = 1. Lema 2.1.6 Para cada L–estructura A, existe una valoraci´on de verdad σA : Form(L(A)) → {0, 1}, tal que para toda ϕ ∈ Sent(L(A)) se verifica que σA(ϕ) = 1 ⇐⇒ A |= ϕ. Corolario 2.1.7 Si ϕ es una tautolog´ıa y A una L–estructura, entonces A |= ϕ. 2.1.2. Axiomas l´ogicos Definici´on 2.1.8 Los axiomas l´ogicos para un l.p.o. L son: 1. Axiomas proposicionales: las tautolog´ıas.
  22. 22. 2.1. Teorema de la validez 17 2. Axioma–esquema de sustituci´on: Para cada f´ormula ϕ, t´ermino t y variable x sustituible en ϕ por t, la f´ormula ϕx[t] → ∃xϕ es un axioma de sustituci´on. 3. Axioma de identidad: x = x. 4. Axioma–esquema de igualdad: Para cada f ∈ LF , p ∈ LP los axio- mas n i=1 xi = yi → f(x1, . . . , xn) = f(y1, . . . , yn) m i=1 xi = yi → (p(x1, . . . , xm) → p(y1, . . . , ym)) son axiomas de igualdad (n, m las aridades de f y p,respectivamente). Lema 2.1.9 Para cada x ∈ V , t ∈ Term(L), y σ valoraci´on de verdad, la aplicaci´on σx,t definida por σx,t(ϕ) = σ(ϕx[t]) es una valoraci´on de verdad. Lema 2.1.10 Si ϕ es una tautolog´ıa, entonces ϕx[t] es una tautolog´ıa. Teorema 2.1.11 (Adecuaci´on de los axiomas l´ogicos) Los axiomas l´ogi- cos son f´ormulas l´ogicamente v´alidas. Nota 2.1.12 El axioma de sustituci´on no es l´ogicamente v´alido si no impone- mos ninguna restricci´on a las sustituciones. 2.1.3. Reglas de inferencia Definici´on 2.1.13 Las reglas de inferencia son: 1. Modus Ponens (MP ): ϕ, ϕ → ψ ψ
  23. 23. 18 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden 2. Introducci´on del cuantificador existencial (R∃): ϕ → ψ ∃xϕ → ψ si x no es libre en ψ. Teorema 2.1.14 (Adecuaci´on de las reglas de inferencia) Si la(s) hip´ote- sis de una regla de inferencia son v´alida(s) en una L–estructura A, entonces la conclusi´on es v´alida en A. 2.1.4. Teor´ıas y pruebas Definici´on 2.1.15 Una teor´ıa de primer orden (t.p.o.) T consta de: 1. Un lenguaje de primer orden L. 2. Un conjunto de axiomas, que son de dos tipos: 2.1. Los axiomas l´ogicos en el lenguaje L. 2.2. Axiomas no l´ogicos de T: Un subconjunto de Form(L). 3. Reglas de inferencia: MP, R∃. Si T es una t.p.o., se denota su lenguaje por L(T), y el conjunto de axiomas no l´ogicos por Ax(T). El conjunto Ax(T) caracteriza a T y m´as adelante se ver´an sus propiedades. Definici´on 2.1.16 Sea T una t.p.o. y ϕ una L(T)–f´ormula. 1. Una prueba en T es una sucesi´on finita de f´ormulas ϕ1, . . . , ϕn tal que para todo i ≤ n se verifica una de las siguientes condiciones: 1.1. ϕi es un axioma de T. 1.2. Existen j, k < i tales que ϕi se obtiene por aplicaci´on de la regla MP a ϕj y ϕk. 1.3. Existe j < i tal que ϕi se obtiene por aplicaci´on de la regla R∃ a la f´ormula ϕj. 2. ϕ es un teorema en T, T ϕ, si existe una prueba de ϕ1, . . . , ϕn en T tal que ϕn ≡ ϕ.
  24. 24. 2.2. El teorema de tautolog´ıa 19 Para demostrar que una propiedad P la satisfacen los teoremas de una teor´ıa T, se puede razonar por inducci´on en la longitud de las pruebas, probando que: • Los axiomas de T verifican la propiedad P. • Si las hip´otesis de una regla de inferencia satisfacen la propiedad, entonces la consecuencia tambi´en satisface P. Definici´on 2.1.17 Sea T una t.p.o. Una L(T)–estructura A es un modelo de T, A |= T, si todo axioma de T es v´alido en T. La clase de los modelos de T se denota por Mod(T). Definici´on 2.1.18 Sea T una teor´ıa, y ϕ ∈ Form(L(T)). Se dice que ϕ es v´alida en T, y se denotar´a por T |= ϕ, si ϕ es v´alida en todo modelo de T. Teorema 2.1.19 (Validez) Sea T una t.p.o. y ϕ ∈ Form(L(T)). T ϕ =⇒ T |= ϕ. A partir de este punto, se fija una teor´ıa de primer orden T. 2.2. El teorema de tautolog´ıa Lema 2.2.1 Si T ϕ1, . . . , T ϕn y T ϕ1 → · · · → ϕn → ϕ, entonces T ϕ. Definici´on 2.2.2 Se dice que una ϕ f´ormula es consecuencia tautol´ogica de ϕ1, . . . , ϕn si para toda valoraci´on de verdad σ: σ(ϕ1) = · · · = σ(ϕn) = 1 =⇒ σ(ϕ) = 1. Lema 2.2.3 Son equivalentes: 1. ϕ es consecuencia tautol´ogica de ϕ1, . . . , ϕn. 2. ϕ1 → · · · → ϕn → ϕ es una tautolog´ıa. Teorema 2.2.4 (Tautolog´ıa) Si ϕ es consecuencia tautol´ogica de ϕ1, . . . , ϕn y T ϕ1, . . . , T ϕn, entonces T ϕ.
  25. 25. 20 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden El teorema de tautolog´ıa permite simplificar las pruebas por inducci´on sobre los teoremas de T. Concretamente, para probar que los teoremas de T satisfacen una propiedad P, basta demostrar que: • Los axiomas de sustituci´on, igualdad, identidad y no l´ogicos satisfacen P. • Si ϕ1, . . . , ϕn satisfacen la propiedad P y ϕ es consecuencia tautol´ogica de ϕ1, . . . ϕn, entonces ϕ satisface la propiedad P. • Si ψ satisface P y ϕ se obtiene por aplicaci´on de la regla R∃ a ψ, entonces ϕ satisface P. Corolario 2.2.5 Si T ϕ → ψ y T ¬ϕ → ψ, entonces T ψ. 2.3. Teoremas sobre cuantificadores Teorema 2.3.1 (Regla de introducci´on de ∀, R∀) Si T ϕ → ψ y x /∈ V l(ϕ), entonces T ϕ → ∀xψ. Teorema 2.3.2 (Regla de generalizaci´on) Si T ϕ, entonces T ∀xϕ. Teorema 2.3.3 (Regla de sustituci´on) Sean ϕ ∈ Form(T) y t1, . . . , tn t´ermi- nos. Entonces: T ϕ =⇒ T ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]. Teorema 2.3.4 (Sustituci´on) 1. T ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn] → ∃x1 · · · ∃xnϕ. 2. T ∀x1 · · · ∀xnϕ → ϕx1,...,xn [t1, . . . tn]. Teorema 2.3.5 (Regla de distribuci´on) Se supone que T ϕ → ψ. Enton- ces: 1. T ∃xϕ → ∃xψ. 2. T ∀xϕ → ∀xψ. Definici´on 2.3.6 Dada una f´ormula ϕ con V l(ϕ) = {x1, . . . xn}, el cierre de ϕ, ϕc , es la f´ormula ∀x1 · · · ∀xnϕ.
  26. 26. 2.4. El teorema de equivalencia 21 Teorema 2.3.7 (Cierre) T ϕ ⇐⇒ T ϕc . Lema 2.3.8 Si z /∈ V l(ϕ) y x es sustituible por z en ψ, entonces T ∃xψ ↔ ∃z(ψx[z]). 2.4. El teorema de equivalencia Teorema 2.4.1 (Equivalencia) Si ϕ se obtiene a partir de ϕ reemplazando algunas estancias de ψ1, . . . , ψn en ϕ por ψ1, . . . , ψn, respectivamente. Si T ψi ↔ ψi (1 ≤ i ≤ n), entonces T ϕ ↔ ϕ . Definici´on 2.4.2 Se dice que que ϕ es una variante de ϕ si ϕ se obtiene de ϕ sustituyendo subf´ormulas de ϕ del tipo ∃xϕ por ∃z(ψx)[z], con z /∈ V l(ψ) y x es sustituible por z en ψ. Teorema 2.4.3 (La variante) Si ϕ es una variante de ϕ, entonces: T ϕ ↔ ϕ . 2.5. Los teoremas de la deducci´on y constantes Notaci´on 2.5.1 • Sea Γ ⊆ Form(T). La teor´ıa T[Γ] se obtiene a˜nadiendo a T, como axio- mas no l´ogicos, las f´ormulas de Γ. • Si Γ = {ϕ1, . . . , ϕn}, se escribir´a T[ϕ1, . . . , ϕn] en lugar de T[Γ]. Teorema 2.5.2 (Deducci´on) Sea ϕ ∈ Sent(L(T)). Son equivalentes: 1. T ϕ → ψ. 2. T[ϕ] ψ.
  27. 27. 22 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden Corolario 2.5.3 Sean {ϕ1, . . . , ϕn} ⊆ Sent(L(T)). Son equivalentes: 1. T[ϕ1, . . . , ϕn] ψ. 2. T ϕ1 → · · · → ϕn. Teorema 2.5.4 (Constantes) Sea T la teor´ıa que se obtiene a˜nadiendo al lenguaje de T un conjunto C de nuevas constantes. Entonces para toda ϕ ∈ Form(L(T)) y c1, . . . , cn ∈ C, T ϕ ⇐⇒ T ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn]. Usando el teorema de constantes, se puede obtener un teorema de deduc- ci´on para f´ormulas no cerradas: Si V l(ϕ) = {x1, . . . , xn}, y T se obtiene de T a˜nadiendo las nuevas constantes c1, . . . , cn, entonces para demostrar T ϕ → ψ es necesario y suficiente demostrar que: T [ϕx[c]] ψx[c]. 2.6. Teoremas de igualdad Teorema 2.6.1 (Simetr´ıa) Sean t1, t2 dos t´erminos. Se verifica: T t1 = t2 ↔ t2 = t1. Teorema 2.6.2 (Igualdad) Sea t (resp. ϕ ) un t´ermino (resp. una f´ormu- la) que se obtiene de t (resp. ϕ) sustituyendo algunas estancias, que no est´en inmediatamente despu´es de un cuantificador, de t1, . . . , tn por t1, . . . , tn respec- tivamente. Si T ti = ti (1 ≤ i ≤ n), entonces: 1. T t = t . 2. T ϕ → ϕ . Corolario 2.6.3 1. n i=1 ti = ti → tx1,...,xn [t1, . . . , tn] = tx1,...,xn [t1, . . . , tn]. 2. n i=1 ti = ti → (ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn] ↔ ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]). Corolario 2.6.4 Si x /∈ V ar(t) y es sustituible por t en ϕ, entonces: T ϕx[t] ↔ ∃x(x = t ∧ ϕ).
  28. 28. 2.7. Formas prenex. Formas normales 23 2.7. Formas prenex. Formas normales Definici´on 2.7.1 Diremos que una f´ormula ϕ est´a en forma prenex si es de la forma Q1x1 · · · Qnxnψ, donde las variables son distintas dos a dos, Qi es ∃ ´o ∀, y ψ es una f´ormula abierta, llamada la matriz de ϕ. Definici´on 2.7.2 Una operaci´on prenex consiste en cambiar una subf´ormu- la de ϕ por otra f´ormula, de acuerdo con las siguientes reglas: Operaci´on Subf´ormula Cambiar por Restricci´on (P1) ∃xψ ∃yψx[y] y /∈ V l(ϕ) (P2) ¬∃xϕ ∀x¬ϕ ¬∀xψ ∃x¬ψ (P3) ∃xψ ∨ θ ∃x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(θ) ψ ∨ ∃xθ ∃x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(ψ) ∀xψ ∨ θ ∀x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(θ) ψ ∨ ∀xθ ∀x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(ψ) Lema 2.7.3 Si ϕ se obtiene de ϕ por aplicaci´on de una operaci´on prenex, entonces T ϕ ↔ ϕ . Teorema 2.7.4 (Forma prenex) Para toda f´ormula ϕ existe ψ en forma prenex tal que T ϕ ↔ ψ. Adem´as, si ϕ es cerrada, entonces ψ tambi´en es cerrada. A partir de las definiciones de las conectivas auxiliares, se pueden obtener las llamadas operaciones prenex derivadas: Operaci´on Subf´ormula Cambiar por Restricci´on (P4) ∃xψ → θ ∀x(ψ → θ) x /∈ V l(θ) ∀xψ → θ ∃x(ψ → θ) x /∈ V l(θ) (P5) ψ → ∃xθ ∃x(ψ → θ) x /∈ V l(ψ) ψ → ∀xθ ∀x(ψ → θ) x /∈ V l(ψ) (P6) ∃xψ ∧ θ ∃x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(θ) ψ ∧ ∃xθ ∃x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(ψ) ∀xψ ∧ θ ∀x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(θ) ψ ∧ ∀xθ ∀x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(ψ)
  29. 29. 24 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden Definici´on 2.7.5 1. Una ϕ f´ormula es un literal si es at´omica o negaci´on de una f´ormula at´omica. 2. Una f´ormula se dice en forma normal conjuntiva (resp. disyuntiva) si es una conjunci´on (resp. disyunci´on) de disyunciones (resp. conjun- ciones) de literales. Teorema 2.7.6 Dada ϕ abierta, existen f´ormulas ϕc en forma normal conjun- tiva y ϕd en forma normal disyuntiva tales que: T ϕ ↔ ϕc y T ϕ ↔ ϕd. Corolario 2.7.7 Dada ϕ existe una f´ormula ψ en forma prenex y con matriz en forma normal disyuntiva (conjuntiva) tal que T ϕ ↔ ψ.
  30. 30. Cap´ıtulo 3 Relaciones entre teor´ıas El concepto de teor´ıa y los de prueba y teorema asociados, permiten for- malizar de manera general el concepto de teor´ıa matem´atica. Una de las acti- vidades fundamentales en Matem´aticas es estimar la riqueza de las teor´ıas que se estudian, atendiendo a las propiedades demostrables a partir de ´estas, sobre las estructuras que satisfacen los axiomas. En general, esa actividad engloba comparar, de alguna forma, distintas axiomatizaciones (descripciones) de las estructuras que se estudian. Con el objetivo de poder estudiar axiomatiaciones (incluso desde el punto de vista de la Teor´ıa de la Recursi´on), en este cap´ıtulo se introducen las nociones de extensi´on, reducci´on, el teorema de completitud (sin demostraci´on) y el concepto fundamental de teor´ıa completa; entendi´endola como aquella que, de acuerdo a su lenguaje, caracteriza de manera exhaustiva las propiedades de primer orden v´alidas en la estructura objeto de estudio. 3.1. Extensiones Definici´on 3.1.1 Dadas T y T dos teor´ıas, se dice que: 1. T es una extensi´on de T, T ⊆ T si: 1.1. L(T) ⊆ L(T ). 1.2. Para toda ϕ ∈ Form(L(T)), T ϕ =⇒ T ϕ. 25
  31. 31. 26 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas 2. T y T son equivalentes si L(T) = L(T ) y para toda ϕ ∈ Form(L(T)), T ϕ ⇐⇒ T ϕ. Proposici´on 3.1.2 1. La relaci´on ⊆ definida anteriormente es transitiva. 2. Si T ⊆ T , entonces Mod(T ) ⊆ Mod(T). 3. Si T ≡ T , entonces Mod(T ) = Mod(T). Definici´on 3.1.3 Sea A una L–estructura. La teor´ıa de A, Th(A), es la L– teor´ıa que tiene como axiomas no l´ogicos: {ϕ ∈ Form(L) : A |= ϕ}. Proposici´on 3.1.4 A |= T =⇒ T ⊆ Th(A). Corolario 3.1.5 Sean A y B dos L–estructuras. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. A ≡ B. 2. B |= Th(A). 3. A y B son modelos de las mismas teor´ıas. 4. Th(A) = Th(B). Definici´on 3.1.6 Sea T una teor´ıa. Se dice que T es: 1. Finita si Ax(T) es finito. 2. Finitamente axiomatizable si existe T finita equivalente a T. 3. Recursivamente axiomatizable si Ax(T) es recursivo. 4. Decidible si el conjunto de los teoremas de T es recursivo. Es interesante evaluar si se puede tener un procedimiento algor´ıtmico que determine si una f´ormula es un axioma de una teor´ıa. Es claro que para los axiomas l´ogicos de sustituci´on, identidad e igualdad, se tiene. En el siguiente resultado se comprueba que, para los axiomas proposicionales, tambi´en existe un algoritmo. As´ı pues, el problema queda reducido al conjunto de los axiomas no l´ogicos, siempre dependiendo de la teor´ıa. Como consecuencia, una teor´ıa es recursivamente axiomatizable si el conjunto de sus axiomas no l´ogicos es recursivo.
  32. 32. 3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on 27 Lema 3.1.7 Existe un algoritmo que determina si una f´ormula es un esqueleto tautol´ogico. Demostraci´on: Se considera el siguiente algoritmo. Para cada f´ormula ϕ se define E(ϕ), el conjunto de las f´ormulas elementales que ocurren en ϕ: E(ϕ) =    {ϕ}, si ϕ ∈ EF(L); E(ψ) ∪ E(θ), si ϕ es ψ ∨ θ; E(ψ), si ϕ es ¬ψ. Para toda f´ormula ϕ: E(ϕ) es finito y para cualesquiera valoraciones de verdad σ y σ , si σE(ϕ) = σE(ϕ), entonces σ(ϕ) = σ (ϕ). Dada ϕ, se considera el siguiente algoritmo: (-) Determinar E(ϕ). (-) Determinar todas las aplicaciones de E(ϕ) en {0, 1}, π1, . . . , πm. (-) Sean σ1, . . . , σm valoraciones de verdad tales que (σi)E(ϕ) = πi, donde i = 1, . . . , m. Para cada i, se calcula σi(ϕ). (-) Si para todo i, σi(ϕ) = 1, entonces ϕ es una tautolog´ıa. (-) Caso contrario, ϕ no es tautolog´ıa. Al haber definido un algoritmo, el resultado queda probado. 2 En general, no existe un algoritmo para determinar si una f´ormula es v´alida en una estructura. Por tanto, Th(A) puede no ser decidible. 3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reduc- ci´on Definici´on 3.2.1 T es inconsistente si para toda ϕ ∈ Form(L), T ϕ. En caso contrario, se dice consistente. Proposici´on 3.2.2 Sea T una teor´ıa. Son equivalentes: 1. T es inconsistente. 2. Existe ϕ tal que T ϕ y T ¬ϕ.
  33. 33. 28 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas 3. T x = x. Demostraci´on: Es suficiente observar que T x = x y que cualquier f´ormula es consecuencia tautol´ogica de ϕ y ¬ϕ. 2 Corolario 3.2.3 Sea T una teor´ıa. 1. Mod(T) = ∅ =⇒ T consistente. 2. T x = y =⇒ T inconsistente. Demostraci´on: El primer apartado es trivial. En cuanto al segundo, si T x = y, por la regla de sustituci´on (2.3.3), T x = x. Por tanto, T es inconsis- tente. 2 Teorema 3.2.4 (Reducci´on) Sea T una teor´ıa, y ϕ ∈ Sent(L(T)). T ϕ ⇐⇒ T[¬ϕ] es inconsistente. Demostraci´on: T[¬ϕ] inconsistente ⇐⇒ T[¬ϕ] ϕ ⇐⇒ T ¬ϕ → ϕ [[T. deducci´on]] ⇐⇒ T ϕ [[T. tautolog´ıa]] Lo que prueba el teorema. 2 Corolario 3.2.5 Sea ϕ ∈ Sent(L(T)). T[ϕ] inconsistente ⇐⇒ T ¬ϕ. Corolario 3.2.6 Sea Γ ⊆ Sent(L(T)). Son equivalentes: 1. T[Γ] inconsistente. 2. Existen ϕ1, . . . , ϕn ∈ Γ tales que T ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn). Demostraci´on: Si T es inconsistente, entonces es trivial. En otro caso, basta tomar las f´ormulas de Γ utilizadas en una prueba de x = x en T[Γ], y el resultado se tiene al aplicar el teorema de la deducci´on. 2
  34. 34. 3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducci´on 29 Teorema 3.2.7 (Compacidad, versi´on sint´actica) Son equivalentes: 1. T consistente. 2. Toda parte finita de T es consistente. Demostraci´on: Es una trivialidad que toda parte finita de una teor´ıa consis- tente, es consistente. Para la otra implicaci´on, se supone que T es inconsistente. Entonces T x = x. Sean ϕ1, . . . , ϕn los axiomas de T que ocurren en una prueba de x = x en T. Entonces T x = x, donde T = Lenguaje : L(T) Axiomas : {ϕ1, . . . , ϕn} Por tanto, T es inconsistente. Lo cual contradice que toda parte finita de T es consistente. 2 Proposici´on 3.2.8 Dada {Tn : n ∈ ω} una sucesi´on de teor´ıas tal que para todo n: 1. Tn ⊆ Tn+1. 2. Tn consistente. Sea T la teor´ıa tal que: L(T ) = {L(Tn) : n ∈ ω} y Ax(T ) = {Ax(Tn) : n ∈ ω} Entonces T es consistente. Demostraci´on: Se supone que T es inconsistente. Por el teorema 3.2.7, existe una parte finita de T , T, que es inconsistente. Sean ϕ1, . . . , ϕk los axiomas de T. Sean n1, . . . , nk tales que para todo i, 1 ≤ i ≤ k, ϕi ∈ Ax(Tni ). Sea m = m´ax({n1, . . . , nk}). Entonces para todo i, Tm ϕi. Por tanto, Tm es inconsistente. 2
  35. 35. 30 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas 3.3. El teorema de completitud El teorema de completitud es vital en la L´ogica Matem´atica. Evita la b´usque- da de pruebas para f´ormulas v´alidas en la teor´ıa. Es decir, si se tiene la validez de una f´ormula para cualquier modelo de la teor´ıa, aplicando el teorema, se tiene asegurada la existencia de una prueba de la f´ormula en la teor´ıa. Para el transcurso del trabajo, el teorema de completitud facilitar´a de forma considerable algunos razonamientos. Por motivos de extensi´on, la prueba se omite, pudi´endose consultar con todo detalle en [3]. Teorema 3.3.1 (Teorema de completitud) 1. (L. Henkin) T consistente ⇐⇒ T tiene un modelo. 2. (K. G¨odel) T |= ϕ ⇐⇒ T ϕ. G¨odel prob´o el rec´ıproco del teorema de la validez (2.1.19), mientras que Henkin prob´o el rec´ıproco de 3.2.3.1. Adem´as, es sencillo probar que la formulaci´on de Henkin implica a la de G¨odel y viceversa. En definitiva, el grueso de la demostraci´on puede resumirse en probar: Si T es consistente =⇒ Mod(T) = ∅. Una de las consecuencias importantes del teorema de completitud es el rec´ıproco de 3.1.2.3: Si Mod(T) = Mod(T ), entonces T ≡ T . 3.4. Teor´ıas completas Definici´on 3.4.1 Una t.p.o. T se dice completa si es consistente y para toda f´ormula cerrada ϕ se verifica que T ϕ ´o T ¬ϕ. En la definici´on de completitud es necesario restringir a f´ormulas cerradas por un sencillo motivo:
  36. 36. 3.4. Teor´ıas completas 31 Nota 3.4.2 Sea T una teor´ıa consistente tal que para toda f´ormula ϕ: T ϕ ´o T ¬ϕ. Sea la f´ormula x = y. Si T x = y, T es inconsistente; luego T x = y. Por el teorema de la validez, si A |= T, se tiene que A |= x = y. En consecuencia, los modelos de una teor´ıa completa tendr´ıan un solo elemento. Proposici´on 3.4.3 Sea A una L–estructura. Entonces Th(A) es completa. Demostraci´on: Como A |= Th(A), por 3.2.3, Th(A) es consistente. Adem´as, si ϕ ∈ Sent(L), A |= ϕ ´o A |= ¬ϕ. En consecuencia, Th(A) ϕ ´o Th(A) ¬ϕ; luego Th(A) es completa. 2 Proposici´on 3.4.4 Si T es una teor´ıa completa, entonces: 1. Todos los modelos de T son elementalmente equivalentes. 2. Si A |= T, entonces T ≡ Th(A). Demostraci´on: Para el primer apartado, sean A, B |= T. Sea ϕ ∈ Sent(T). Se supone que A |= ϕ. Entonces: A |= ϕ =⇒ A |= ¬ϕ =⇒ T ¬ϕ [[T. validez]] =⇒ T ϕ [[T completa]] =⇒ B |= ϕ [[T. validez]] Lo que prueba que A y B son elementalmente equivalentes. En cuanto al segundo apartado, sea A |= T. Por 3.1.4, T ⊂ Th(A). Se procede a comprobar que Th(A) ⊂ T. Sea ϕ una f´ormula cerrada tal que A |= ϕ. Se tiene que A |= ¬ϕ. Puesto que A |= T, por el teorema de la validez se sigue que T ¬ϕ. En consecuencia, al ser T completa, T ϕ. 2 Teorema 3.4.5 (Extensiones completas) Si T es consistente, entonces exis- te una L(T)–teor´ıa completa, T , que es extensi´on de T. Demostraci´on: Consid´erese la clase: J = {S : S es una L(T)-teor´ıa extensi´on de T}. Comprobando previamente su aplicabilidad, mediante el lema de Zorn se obtiene una L(T)–teor´ıa completa que por construcci´on extiende a T. 2
  37. 37. 32 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas El concepto de completitud est´a estrechamente ligado al concepto de decidi- bilidad de la verdad en Matem´aticas. Trabajando con una teor´ıa adecuadamente descrita (recursivamente axiomatizable) y completa, se puede decidir mec´ani- camente -mediante la teor´ıa- qu´e es v´alido en la estructura objeto de estudio. Teorema 3.4.6 Toda teor´ıa completa y recursivamente axiomatizable es deci- dible. Demostraci´on: Sea T una teor´ıa de primer orden. Al ser recursivamente axiomatizable, existe un algoritmo que determina, para cada sucesi´on finita de f´ormulas, si es o no una prueba en T. Dada ϕ cerrada, se considera el siguiente algoritmo: (-) Generar una tras otra las sucesiones finitas de f´ormulas de T. (-) Cada vez que se genere una sucesi´on finita de f´ormulas, comprobar si es una prueba en T de ϕ ´o ¬ϕ. (-) Si es una prueba de ϕ, entonces ϕ es un teorema de T. (-) Si es una prueba de ¬ϕ, entonces ϕ no es un teorema de T. Al ser T completa, existe una prueba de ϕ o de ¬ϕ. En consecuencia, el algoritmo tiene asegurado su fin. 2
  38. 38. Cap´ıtulo 4 La estructura est´andar. Aritmetizaci´on La palabra aritm´etica proviene del griego αριθµoς (arithm´os), que significa n´umero. Es la rama de las matem´aticas cuyo objeto de estudio son los n´umeros y las operaciones elementales realizadas con ellos. Al principio del cap´ıtulo, se describe el lenguaje de primer orden que quedar´a fijo hasta el final del trabajo: el lenguaje de la aritm´etica, como lenguaje b´asico para representar conocimiento acerca de la aritm´etica. Posteriormente se define el modelo m´as sencillo para las teor´ıas aritm´eticas: la estructura est´andar (N). Es importante notar que la propia naturaleza del lenguaje permite jerarquizar la complejidad de las expresiones (f´ormulas del lenguaje) que definen conjuntos y propiedades aritm´eticas, as´ı como estudiar la complejidad sint´actica de las expresiones que describen funciones computables. En la segunda parte del cap´ıtulo se presenta con todo detalle la aritmetiza- ci´on, idea llevada a cabo por G¨odel, cuyo objetivo es asociar un n´umero natural a cualquier expresi´on del lenguaje la aritm´etica, reflejando as´ı las propias pro- piedades de la aritm´etica dentro de s´ı misma. 4.1. El lenguaje de la aritm´etica Definici´on 4.1.1 El lenguaje de la aritm´etica, LA, est´a compuesto de: 1. Un s´ımbolo de constante: 0. 33
  39. 39. 34 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 2. Dos s´ımbolos de funci´on binaria: + y ·. 3. Un s´ımbolo de funci´on 1-aria: S. 4. Un s´ımbolo de relaci´on binaria: <. Para simplificar la escritura de las f´ormulas, se escribir´a x ≤ y por x < y ∨x = y. Aprovechando el estudio iniciado por G¨odel, Kleen [5] y Mostowski [6] es- tudiaron las relaciones definidas en LA e introducieron una jerarqu´ıa de clases aritm´eticas: Σn y Πn. Definici´on 4.1.2 (La jerarqu´ıa aritm´etica) 1. Cuantificaci´on acotada. Sean x una variable, t un t´ermino en el cual no ocurre x y ϕ(x) una f´ormula. Se denota por: 1.1. ∃x ≤ tϕ(x) a la f´ormula ∃x(x ≤ t ∧ ϕ(x)). 1.2. ∀x ≤ tϕ(x) a la f´ormula ∀x(x ≤ t → ϕ(x)). 2. F´ormulas acotadas. El conjunto de las f´ormulas acotadas, ∆0, es el menor conjunto de f´ormulas de LA tal que contiene al conjunto de las f´ormulas abiertas y es cerrado bajo conectivas proposicionales (¬, ∨, ∧ y →) y cuantificaci´on acotada. 3. F´ormulas Σ1, Π1. Una f´ormula ϕ(x1, . . . , xn) es Σ1 si es de la forma: ∃y1 . . . ∃ymψ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), donde ψ ∈ ∆0. Una f´ormula es Π1 si es la negaci´on de una f´ormula Σ1. Es decir, de la forma: ∀y1 . . . ∀ymψ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), donde ψ ∈ ∆0. 4. En general, se define Σn, Πn (n ∈ ω): 4.1. Σ0 = Π0 = ∆0. 4.2. Σn+1 = {∃xϕ(x) : ϕ(x) ∈ Πn}. 4.3. Πn+1 = {∀xϕ(x) : ϕ(x) ∈ Σn}.
  40. 40. 4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 35 Definici´on 4.1.3 Sean T una teor´ıa y Γ un conjunto de f´ormulas. Se definen los siguientes conjuntos: 1. Γ(T) = {ϕ(x) : existe ψ(x) ∈ Γ tal que T ϕ(x) ↔ ψ(x)}. 2. ThΓ(T) = {ϕ ∈ Γ ∩ Sent : T ϕ}. 3. ∆n(T) = {ϕ(x) ∈ Σn : existe ψ(x) ∈ Πn tal que T ϕ(x) ↔ ψ(x)}. 4. Sea A un modelo, entonces: 4.1. Γ(A) = Γ(Th(A)). 4.2. ThΓ(A) = ThΓ(Th(A)). 4.3. ∆n(A) = ∆n(Th(A)). Definici´on 4.1.4 (La estructura est´andar) La estructura est´andar, N, es la LA–estructura cuyo universo es ω y los s´ımbolos se interpretan de manera natural, es decir: 1. |N| = ω. 2. 0N = 0. 3. Si n, m ∈ ω, n +N m = n + m, n ·N m = n · m y S(n) = n + 1. 4. n <N m ⇐⇒ n < m. 4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos Definici´on 4.2.1 (Definibilidad en N) 1. Una funci´on f : ω → ω se dice definible en N si existe una f´ormula ϕ(x, y) ∈ Form(LA) tal que: 1.1. N |= ∀x∃yϕ(x, y). 1.2. N |= ∀x∀y∀y (ϕ(x, y) ∧ ϕ(x, y ) → y = y ). 1.3. Para cada n, m ∈ ω: f(n) = m ⇐⇒ N |= ϕ(n, m).
  41. 41. 36 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 2. A ⊆ ωn se dice definible si existe ϕ(x) ∈ Form(LA) tal que A = {a ∈ ωn : N |= ϕ(a)} = ϕ(N). Si una f´ormula ϕ(x, y) satisface las condiciones 1.1. y 1.2. de 4.2.1, se dice que ϕ es funcional en N, y se denota: N |= ∀x∃!yϕ(x, y). Definici´on 4.2.2 (Conjuntos Σ0 n, Π0 n) Mediante la clasificaci´on de las f´ormu- las del lenguaje de la aritm´etica dada en 4.1.2, se puede establecer una jerarqu´ıa de los subconjuntos de ωk , k ≥ 1, definibles en N. La jerarqu´ıa aritm´etica es la siguiente colecci´on de subconjuntos de ωk : 1. Σ0 n = {A ⊆ ωk : existe ϕ(x) ∈ Σn tal que A = ϕ(N)}. 2. Π0 n = {A ⊆ ωk : existe ϕ(x) ∈ Πn tal que A = ϕ(N)}. 3. ∆0 n = Σ0 n ∩ Π0 n. Proposici´on 4.2.3 El conjunto Σ1(N) es cerrado bajo cuantificaci´on acotada. Demostraci´on: Dada ϕ(x, z) ∈ Σ1 y t(z) un t´ermino, hay que probar que existe ψ(x, z) ∈ Σ1 tal que N |= ψ(x, z) ↔ ∀x ≤ t(z)ϕ(x, z). Sea θ(x, y1, . . . , yn, z) ∈ ∆0 tal que ϕ(x, z) es la f´ormula ∃y1, . . . , ∃yn θ(x, y1, . . . , yn, z). Sea a ∈ ω. Para cada j ∈ N(t(a)) tal que N |= ∃y1, . . . , ∃ynθ(j, y1, . . . , yn, a) sean: • bj,1, . . . , bj,n ∈ ω tales que N |= θ(j, bj,1, . . . , bj,n, a), • cj = m´ax(bj,1, . . . , bj,n) y • d = m´ax{cj : j ≤ N(t(a))}. Entonces N |= ∀x ≤ t(a)∃y θ(x, y, a) ↔ ∀ ≤ t(a)∃y ≤ d θ(x, y, a). Por tanto, la f´ormula ∃u∀x ≤ t(z)∃y1 ≤ u, . . . , ∃yn ≤ u θ(x, y1, . . . , yn, z) satisface la proposici´on. 2
  42. 42. 4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 37 Lema 4.2.4 Sea ϕ(x, y) ∈ Σ1 funcional en N. Entonces existe ψ(x, y) ∈ Π1 tal que: N |= ϕ(x, y) ↔ ψ(x, y). Es decir, ϕ(x, y) ∈ ∆1(N). Demostraci´on: Sea ψ(x, y) la f´ormula ∀u[ϕ(x, u) → u = y]. Puesto que ϕ(x, y) es funcional se tiene que: N |= ϕ(x, y) ↔ ψ(x, y) [[(→) unicidad; (←) existencia]], lo que prueba el resultado. 2 Los siguientes resultados relacionan la aritm´etica con la computabilidad. M´as adelante har´an posible una demostraci´on del primer teorema de incomple- titud y sus aspectos recursivos, utilizando ´unicamente Teor´ıa de la Recursi´on. Lema 4.2.5 Sea ϕ(x) una f´ormula. Entonces: 1. Si ϕ(x) ∈ ∆0, entonces ϕ(N) es primitivo recursivo. 2. Si ϕ(x) ∈ Σ1, entonces ϕ(N) es recursivamente enumerable. Demostraci´on: (1.): Por inducci´on sobre la longitud de ϕ(x). Caso 1: ϕ(x) abierta. Entonces ϕ(N) es primitivo recursivo. Caso 2: ϕ(x) ∈ ∆0. Puesto que la colecci´on de los conjuntos primitivos recursi- vos es cerrada bajo disyunci´on, conjunci´on, complementaci´on y cuantificaci´on acotada, por hip´otesis de inducci´on, se sigue que ϕ(N) es primitivo recursivo. (2.): Sea θ ∈ ∆0 tal que ϕ(x) es ∃w θ(x, w). Claramente ϕ(x) ∈ Σ1. Enton- ces, por (1.), θ(N) es primitivo recursivo. As´ı pues, ϕ(N) es la proyecci´on de un conjunto recursivo; en consecuencia, ϕ(N) es recursivamente enumerable. 2 Teorema 4.2.6 Sea f : ωn → ω. Son equivalentes: 1. f es recursiva.
  43. 43. 38 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 2. f es definible en N por una f´ormula Σ1 funcional. Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Inducci´on sobre funciones recursivas. Caso 1: Funciones b´asicas. Se expresa cada funci´on b´asica junto con el fun- cional correspondiente: O : x = x ∧ y = 0 S : y = S(x) Πn i : x1 = x1 ∧ · · · ∧ xn = xn ∧ xi = y C≤ : ((x1 < x2 ∨ x1 = x2) ∧ y = S(0)) ∨ (x2 < x1 ∧ y = 0) Suma : x1 + x2 = y Producto : x1 · x2 = y Caso 2: Composici´on. Sea f(a) = g(h1(a), . . . , hm(a)). Sean ϕ(z, y), ϕi(x, y), f´ormulas Σ1 y funcionales en N que definen, respectivamente, a g, hi, i = 1, . . . , m. La f´ormula ψ(x, y) dada por: ∃y1 . . . ∃ym[ϕ1(x, y1) ∧ · · · ∧ ϕm(x, ym) ∧ ϕ(y1, . . . , ym, y)] es funcional, Σ1 y define a f en N. Caso 3: µ–recursi´on. Se supone que f se obtiene de g por µ–recursi´on: f(a) = (µb)[g(a, b) = 0]. Sea ϕ(x, z, w) una f´ormula Σ1 funcional en N que define a g. Sea ψ(x, y) la f´ormula ∀z < y ¬ϕ(x, z, 0) ∧ ϕ(x, y, 0). Esta f´ormula es Σ1 en N, pues: ∀z < y ¬ ϕ(x, z, 0) Σ1 4.2.4⇒Σ1(N) Σ1(N) ∧ ϕ(x, y, 0) Σ1(N) . Adem´as, en N es funcional y define a f. ((2.) =⇒ (1.)): Sea ϕ(x, y) ∈ Σ1 funcional que define a f en N. Entonces: Gr(f) = {(a, b) ∈ ωn+1 : N |= ϕ(a, b)}. Por 4.2.5.2, el conjunto Gr(f) es recursivamente enumerable. Por tanto, por el teorema del grafo, f es recursiva. 2
  44. 44. 4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 39 Teorema 4.2.7 Sea A ⊆ ωn . Son equivalentes: 1. A es recursivamente enumerable. 2. Existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que A = ϕ(N). Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Supongamos que A es recursivamente enume- rable. Entonces existe B recursivo tal que para todo a ∈ ωn : a ∈ A ⇐⇒ ∃b((a, b) ∈ B). Por 4.2.6, existe ψ(x, z, y) ∈ Σ1 funcional que define a CB, la funci´on carac- ter´ıstica de B. Se tiene entonces: a ∈ A ⇐⇒ N |= ∃z ψ(a, z, S(0)). En conclusi´on, basta tomar ϕ(x) como la f´ormula ∃z ψ(x, z, S(0)). ((2.) =⇒ (1.)): Ya se ha probado en 4.2.5.2. 2 N´otese la importancia de este ´ultimo teorema: se acaba de probar que to- do conjunto recursivamente enumerable es definible por una f´ormula Σ1 y toda f´ormula de ese tipo describe un conjunto r.e. Computacionalmente es importan- te, pues los dominios de funciones recursivas han quedado caracterizados por f´ormulas Σ1. Teorema 4.2.8 Sea A ⊆ ωn . Son equivalentes: 1. A es recursivo. 2. Existe ϕ(x) ∈ ∆1(N) tal que A = ϕ(N). Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Se supone que A es recursivo. Entonces, por el teorema del complemento, tanto A como Ac son recursivamente enumerables. Por tanto, existen ϕ(x), ψ(x) ∈ Σ1 tales que para todo a ∈ ωn a ∈ A ⇐⇒ N |= ϕ(a) a ∈ Ac ⇐⇒ N |= ψ(a) En consecuencia: A = ψ(N). Adem´as se obtiene algo m´as fuerte: N |= ϕ(x) ↔ ¬ψ(x); es decir, ψ(x) ∈ ∆1(N). ((2.) =⇒ (1.)): Por 4.2.7, A y Ac son recursivamente enumerables. Por el teo- rema del complemento, A es recursivo. 2
  45. 45. 40 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 4.3. Aritmetizaci´on El proceso de aritmetizaci´on consiste en la codificaci´on (con un n´umero natural) de las propias f´ormulas expresadas en el lenguaje de la aritm´etica. La idea es muy similar a la utilizada en Ciencias de la Computaci´on para la codificaci´on de programas y su posterior uso como datos para otros programas. En este caso la idea y el objetivo es similar. No se detalla aqu´ı el proceso de aritmetizaci´on, ni se elige uno concreto. Se remite al lector interesado a [3] si desea consultar los detalles de una codificaci´on de este tipo. En esta secci´on se incluye, con car´acter ilustrativo, c´omo este proceso es posible. Por ´ultimo, n´otese la comodidad de tener las f´ormulas expresadas en notaci´on prefija. Definici´on 4.3.1 (N´umero de G¨odel) Se toma para toda la aritmetizaci´on la notaci´on prefija; la sint´axis original de la l´ogica de primer orden. Sea s1, . . . , sn el n´umero natural que codifica la sucesi´on de n´umeros naturales s1, . . . , sn. En- tonces: 1. A cada s´ımbolo, s, del lenguaje de la aritm´etica se le asocia un n´umero, s , denominado n´umero de G¨odel asociado a s: 0 −→ 0 = −→ 9 S −→ 1 ¬ −→ 11 + −→ 3 ∨ −→ 13 · −→ 5 ∃ −→ 15 < −→ 7 vi −→ 2 · i donde el conjunto {vi | i > 0} es el conjunto de las variables. 2. Una f´ormula ϕ (o un t´ermino t) es una sucesi´on de s´ımbolos ϕ ≡ u1 . . . un (t ≡ w1 . . . wm). El n´umero de G¨odel de ϕ y t viene dado por: ϕ = u1 , . . . , un t = w1 , . . . , wm 3. El n´umero de G¨odel de una sucesi´on de f´ormulas ϕ1, . . . , ϕm es ϕ1, . . . , ϕm = ϕ1 , . . . , ϕm
  46. 46. 4.3. Aritmetizaci´on 41 Una vez vista la codificaci´on de t´erminos y f´ormulas, los predicados Term(x) y Form(x) permiten definir los conjuntos de n´umeros de G¨odel de los t´erminos o las f´ormulas: Term y Form. Se recuerda que lg(x) denota la longitud de la sucesi´on codificada por x. Definici´on 4.3.2 (T´erminos y f´ormulas) 1. T´erminos. 1.1. Para determinar si a es el n´umero de G¨odel de una variable: V b(a) ⇐⇒ lg(a) = 1 ∧ (∃y)<a(y = 0 ∧ (a)1 = 2 · y) 1.2. Para determinar si a es el n´umero de G¨odel de un t´ermino: Term(a) ⇐⇒    V b(a) ∨ a = 0 ∨ (∃b)<a(∃c)<a    Term(b) ∧ Term(c)∧   a = S , b ∨ a = + , b, c ∨ a = · , b, c 2. F´ormulas. 2.1. Para determinar si a es el n´umero de G¨odel de una f´ormula at´omica: At(a) ⇐⇒ (∃b)<a(∃c)<a Term(b) ∧ Term(c)∧ (a = = , b, c ∨ a = < , b, c ) 2.2. Para determinar si a es el n´umero de G¨odel de una f´ormula: Form(a) ⇐⇒    At(a) ∨ (∃b)<a(∃c)<a    Form(b) ∧ Form(c)∧   a = ∨ , b, c ∨ a = ¬ , b ∨ (∃d)<a(V b(d)∧ a = ∃ , d, b ) El siguiente paso es el reconocimiento de las operaciones sint´acticas: Definici´on 4.3.3 (Operaciones sint´acticas) 1. FV (a, b) expresa la condici´on de que una variable que tiene por n´umero de G¨odel b, ocurre y es libre en la f´ormula o t´ermino que tiene por n´umero de G¨odel a:
  47. 47. 42 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on FV (a, b) ⇐⇒    V b(b) ∧ V b(a) ∧ a = b ∨ Term(a) ∧ (∃i)<lg(a) (FV ((a)i, b)) ∨    Form(a) ∧   (a)1 = ∨ ∧ (FV ((a)2, b) ∨ FV ((a)3, b))∨ (a)1 = ¬ ∧ FV ((a)2, b)∨ (a)1 = ∃ ∧ b = (a)2 ∧ FV ((a)3, b) 2. SF(a, b) comprueba si la f´ormula codificada por b es una subf´ormula de la codificada por a: SF(a, b) ⇐⇒    Form(a) ∧ Form(b) ∧   a = b ∨ (∃c)<a(∃d)<a    Form(c) ∧ Form(d) ∧   a = ¬ , c ∧ SF(c, b) ∨ a = ∨ , c, d ∧ SF(c, b) ∨ SF(d, b) ∨ (∃e)<a V b(e) ∧ a = ∃ , e, c ∧ SF(c, b) 3. Sust(a, b, c) verifica si la variable que codifica c es sustituible por el t´ermino que codifica b en la f´ormula codificada por a: Sust(a, b, c) ⇐⇒    Form(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧ ¬(∃d)<a SF(a, d) ∧ FV (d, c)∧ (∃e)<b(FV (b, e) ∧ SF(a, ∃ , e, d )) 4. sub (a, b, c) da como resultado el n´umero de G¨odel del t´ermino resultante de sustituir, en el t´ermino codificado por a, la variable codificada por c por el t´ermino cuyo n´umero de G¨odel es b: sub (a, b, c) = d ⇐⇒    Term(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧ V b(a) ∧ a = c → d = b ∨ a = c → d = a ∨    (a)1 = S ∧ d = S , sub ((a)2, b, c) ∨ (a)1 = + ∧ d = + , sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c) ∨ (a)1 = · ∧ d = · , sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c)
  48. 48. 4.3. Aritmetizaci´on 43 5. sub(a, b, c) da como resultado el n´umero de G¨odel resultante de sustituir, en la f´ormula codificada por a (si es posible, en caso contrario devuelve la misma f´ormula) la variable que codifica c por el t´ermino codificado por b: sub(a, b, c) = d ⇐⇒    Form(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧   At(a) ∧ d = (a)1, sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c) ∨ (a)1 = ¬ ∧ d = (a)1, sub((a)2, b, c) ∨ (a)1 = ∨ ∧ d = (a)1, sub((a)2, b, c), sub((a)3, b, c) ∨    (a)1 = ∃ ∧    (a)2 = c ∧ d = (a)1, (a)2, sub((a)3, b, c) ∨ (a)2 = c ∧ d = a Definici´on 4.3.4 Los predicados Sent(x) y N(x) permiten reconocer si una f´ormula es cerrada o si es la negaci´on de otra, respectivamente: 1. Sent(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ (∀b)<a(V b(b) → ¬FV (a, b)). 2. N(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ b = ¬ , a . Definici´on 4.3.5 (Axiomas l´ogicos) Los siguientes predicados recursivos ana- lizan la estructura de la f´ormula: 1. PAx(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ Taut(a), donde Taut(a) es un predicado que determina si a codifica una tautolog´ıa. Se ha visto anteriormente que el conjunto de las tautolog´ıas es recursivo. 2. SAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de sustituci´on. 3. IAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de identidad. 4. IgAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de igualdad. Definici´on 4.3.6 (Reglas) 1. MP(a, b, c) expresa que la f´ormula codificada por c es el resultado de apli- car MP a las f´ormulas cuyo n´umero de G¨odel son a y c, siendo b la codificaci´on de la implicaci´on: MP(a, b, c) ⇐⇒ Form(a) ∧ Form(b) ∧ Form(c) ∧ b = → , a, c
  49. 49. 44 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on 2. R∃(a, b) expresa que la f´ormula codificada por b proviene de haber intro- ducido el cuantificador existencial en la f´ormula cuyo n´umero de G¨odel es a: R∃(a, b) ⇐⇒ Form(a) ∧ Form(b) ∧ (a)1 = (b)1 = → ∧ ¬FV ((b)3, (a)2,2) ∧ (a)2,3 = (b)2 ∧ (a)3 = (b)3 Teorema 4.3.7 Todas las funciones definidas anteriormente son primitivas re- cursivas. Demostraci´on: Basta observar la definici´on que se facilita de cada una, donde s´olo se utilizan operadores y funciones permitidas en la clase de las primitivas recursivas. 2 Nota 4.3.8 N´otese que las construcciones aqu´ı referidas pueden hacerse para teor´ıas de la aritm´etica que tengan un conjunto de axiomas recursivo: 1. Sea T una teor´ıa. Se define NAxT (x) tal que: ϕ axioma no l´ogico de T ⇐⇒ NAxT ( ϕ ) 2. AxT (a) reconoce si a codifica un axioma de la teor´ıa T: AxT (a) ⇐⇒ PAx(a) ∨ SAx(a) ∨ IAx(a) ∨ IgAx(a) ∨ NAxT (a) Definici´on 4.3.9 (Prueba) Sea T una teor´ıa. El siguiente predicado reconoce si una sucesi´on de f´ormulas, cuyo n´umero de G¨odel es a, es una prueba en T de la f´ormula codificada por b: PfT (a, b) ⇐⇒    Form(b) ∧ (a)lg(a) = b ∧ (∀i)≤lg(a)    Form((a)i) ∧   AxT ((a)i) ∨ (∃j)<i(∃k)<i MP((a)i, (a)j, (a)k) ∨ R∃((a)i, (a)j) Se denota PfT ⊆ ω2 al conjunto cuya funci´on caracter´ıstica es PfT (a, b). Definici´on 4.3.10 (Teorema) El predicado BT (b) reconoce si la f´ormula co- dificada por b es teorema en la teor´ıa T: BT (b) ⇐⇒ ∃aPfT (a, b)
  50. 50. 4.3. Aritmetizaci´on 45 Si NAxT (·) es primitivo recursivo, entonces PfT (·, ·) es primitivo recursivo. En el caso de que NAxT (·) es recursivo, entonces PfT (·, ·) es recursivo y BT (·) es recursivamente enumerable. M´as adelante se ver´a c´omo este ´ultimo hecho condiciona al conjunto de teoremas de una teor´ıa. La aritmetizaci´on permite tambi´en caracterizar a las teor´ıas desde el punto de vista computacional: Definici´on 4.3.11 Sean T una teor´ıa y Γ un conjunto de f´ormulas. Se denota por AxT al conjunto de los c´odigos de los axiomas de T y por BT al conjunto de los c´odigos de los teoremas de T. Entonces: 1. T est´a recursivamente axiomatizada si AxT es recursivo. 2. T es decidible si BT es recursivo. 3. T es una Γ–teor´ıa si AxT es definible por una f´ormula de Γ. Es decir, si existe ϕ(x) ∈ Γ tal que para toda f´ormula θ, θ ∈ AxT ⇐⇒ N |= ϕ( θ ). Proposici´on 4.3.12 (El truco de Craig) Sea T una Σ1–teor´ıa. Existe una teor´ıa recursivamente axiomatizable, T , tal que T y T son equivalentes. En particular, si T es completa, T es decidible. Demostraci´on: Si T es Σ1, entonces AxT = { ϕ1 , . . . } es recursivamente enumerable, y por tanto es el rango de una funci´on computable f : ω → ω. Considerada la teor´ıa T = i<j ϕi : j ∈ ω , es f´acil comprobar que T ≡ T y que AxT es el rango de la funci´on computable y estrictamente creciente g, definida como: • g(0) = f(0) y • g(j + 1) = i<j ϕi = ∧ , g(j), f(j + 1) . Luego AxT es recursivo. En el momento que T es completa, por equivalencia T tambi´en lo es. Como T es recursivamente axiomatizable, aplicando el teorema 3.4.6 se tiene que es decidible. 2
  51. 51. 46 Cap´ıtulo 4. La estructura est´andar. Aritmetizaci´on Teorema 4.3.13 Sea T una Σ1–teor´ıa. Entonces: 1. Para cada f´ormula ϕ(x1, . . . , xn), el conjunto A = {(a1, . . . , an) ∈ ωn : T ϕ(a1, . . . , an)} es recursivamente enumerable. 2. El conjunto BT = { ϕ : T ϕ} es recursivamente enumerable. Demostraci´on: (1.): La funci´on caracter´ıstica de A es: BT ( ϕ(¯a1, . . . , ¯an) ), donde ¯n = S(S(...(n)(0))). Luego A es recursivamente enumerable. (2.): Por el truco de Craig, BT = BT para una teor´ıa T recursivamente axiomatizable. Por tanto BT es recursivamente enumerable por el teorema de la proyecci´on. 2
  52. 52. Cap´ıtulo 5 Teor´ıas de la aritm´etica Una vez definida la estructura est´andar, se definen dos teor´ıas de las cuales N es un modelo. Son la teor´ıa P − y la aritm´etica de Peano: P A. La teor´ıa P − es d´ebil, pero importante porque recoge las propiedades alge- braicas b´asicas y sirve de base para obtener, por extensi´on, teor´ıas m´as potentes. En particular, permite definir la axiom´atica de la aritm´etica de Peano a˜nadien- do, para cada f´ormula ϕ, el principio de inducci´on. Como resultado, la aritm´etica de Peano tendr´a infinitos axiomas, debido a que el principio de inducci´on es en realidad un esquema de axioma que da a lugar a un axioma (un caso particular) para cada f´ormula ϕ. Cuanto m´as compleja sea ϕ, m´as complejo ser´a el axioma correspondiente. Una l´ınea de investigaci´on importante, consiste en determinar el grado de complejidad sint´actica de las f´ormulas utilizadas en los axiomas de inducci´on necesarios para demostrar cada resultado. De ese modo, se pueden definir sub- teor´ıas de la aritm´etica de Peano que admitan el principio de inducci´on para una clase de f´ormulas de una complejidad determinada; pero no es el motivo de este trabajo de fin de grado. El caso m´as simple es no admitir ninguna forma del principio de inducci´on, motivando as´ı la definici´on de la teor´ıa P − . 5.1. La teor´ıa P− Definici´on 5.1.1 (La teor´ıa P − ) La LA–teor´ıa P − tiene como axiomas: 47
  53. 53. 48 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica (1) 0 ≤ x (11) x + y = y + x (2) x x (12) x · 0 = 0 (3) x < y ∧ y < z → x < z (13) x · S(y) = x · y + x (4) x < y ∨ y < x ∨ x = y (14) x · (y · z) = (x · y) · z (5) S(x) = S(y) → x = y (15) x · y = y · x (6) 0 = S(x) (16) x · (y + z) + y = x · y + x · z (7) x < S(y) ↔ x ≤ y (17) x < y → x + z < y + z (8) x + 0 = x (18) x < y ∧ 0 < z → x · z < y · z (9) x + S(y) = S(x + y) (19) x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y) (10) x + (y + z) = (x + y) + z Nota 5.1.2 De forma trivial, se tienen: 1. N |= P − , luego P − es consistente. 2. P − est´a recursivamente axiomatizada. En el lenguaje de la aritm´etica se denota cualquier n´umero natural con un t´ermino, de la siguiente manera: Definici´on 5.1.3 (Numerales) Dado n ∈ ω, el numeral de n es un t´ermino cerrado n, definido recursivamente por: n = 0, si n = 0; S(m), si n = m + 1. Lema 5.1.4 Para todo n ∈ ω, N(n) = n. Demostraci´on: Por inducci´on sobre n ∈ ω. (n = 0): N 0 = N(0) = 0. (n =⇒ n + 1): N n + 1 = N(S(n)) = SN (N(n)). Por hip´otesis de induc- ci´on, N (n) = n. Por tanto, N n + 1 = SN (n) = n + 1. 2 Lema 5.1.5 Para todo A |= P − , en particular, para N, para todo n, m ∈ ω: 1. n = m ⇐⇒ A |= n = m. 2. n < m ⇐⇒ A |= n < m.
  54. 54. 5.1. La teor´ıa P− 49 3. A |= n + m = n + m. 4. A |= n · m = n · m. 5. A |= x ≤ n ↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ · · · ∨ x = n. Demostraci´on: Se demuestran algunas de estas propiedades: (1.): (⇐=): Trivial. (=⇒): Por inducci´on sobre n ∈ ω se prueba que n = m =⇒ A |= n = m (n = 0): Al tenerse que m = 0, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Por el axioma (6), A |= 0 = S k . Puesto que A |= m = S k , entonces A |= 0 = S(m). (n =⇒ n + 1) : Se suponen: n + 1 = m y m = 0. Por tanto, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Como n + 1 = m = k + 1, se tiene que n = k. Por hip´otesis de inducci´on, A |= n = k y por el axioma (5), A |= n + 1 = k + 1. En consecuencia, A |= n + 1 = m. (3.): Por inducci´on sobre m ∈ ω se prueba que A |= n + m = n + m (m = 0): Consecuencia directa del axioma (8). (m =⇒ m + 1) : En A se verifica que: n + m + 1 = n + S(m) = S(n + m) [[Axioma (9)]] = S(n + m) [[Hip.ind.]] = (n + m) + 1 = n + (m + 1). 2 Si no induce a confusi´on, se identificar´a cada n´umero con su numeral. As´ı pues, dado A |= P − , se identifica a la estructura est´andar N con una subestructura de A, mediante la siguiente inmersi´on: F : N → A n → A(n)
  55. 55. 50 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica Definici´on 5.1.6 Sea A |= P − . Entonces: 1. A es no est´andar si A N. 2. Si A es no est´andar, a los elementos de AN se les denomina elementos no est´andar. Definici´on 5.1.7 Sean L un l.p.o. tal que <∈ LP y A, B dos L–estructuras. Entonces, B es una extensi´on final de A (o A es un segmento inicial de B), A ⊂e B, si: 1. A ⊂ B. 2. |A|, < es un segmento inicial de |B|, < . Lema 5.1.8 Sea A |= P − . Entonces, N ⊂e A. Demostraci´on: Se tiene directamente por 5.1.5: la aplicaci´on F : N → A, definida por F(n) = A(¯n), es un homomorfismo inyectivo que permite identificar N con su imagen, demostr´andose por inducci´on que es un segmento inicial de A. 2 Definici´on 5.1.9 Sean A y B dos estructuras. Se dice que A es una subestruc- tura 0–elemental de B, A 0 B, si: 1. |A| ⊆ |B|. 2. ∀ϕ(x1, . . . , xk) ∈ ∆0 y para cualquier a1, . . . , ak ∈ A: A |= ϕ(a1, . . . , ak) ⇐⇒ B |= ϕ(a1, . . . , ak). Proposici´on 5.1.10 Sea A |= P − . Entonces N 0 A. Demostraci´on: Se demuestra por inducci´on sobre la longitud de f´ormulas acotadas. Debido a que N ⊂ A, basta probar el resultado para f´ormulas que contengan cuantificadores acotados. Caso 1: ∃x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). Sean n1, . . . , nk ∈ N y m ∈ N tales que m = N(t(n1, . . . , nk)).
  56. 56. 5.1. La teor´ıa P− 51 Puesto que N ⊂ A, A(t(n1, . . . , nk)) = m. Hay que demostrar que: N |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk) ⇐⇒ A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk) (=⇒): Por hip´otesis: N |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk). Luego existe p ∈ N, N |= p ≤ m ∧ ϕ(p, n1, . . . , nk). Por hip´otesis de inducci´on: A |= p ≤ m ϕ(p, n1, . . . , nk), por tanto: A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk). (⇐=): Por hip´otesis: A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk). Sea a ∈ A verificando A |= a ≤ m ϕ(a, n1, . . . , nk). Al ser m est´andar y A |= a ≤ m, por 5.1.5.5, a es est´andar; luego a ∈ N. Aplicando la hip´otesis de inducci´on, N |= a ≤ mϕ(a, n1, . . . , nk), por tanto: A |= ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk). Caso 2: ∀x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). Completamente an´alogo a lo realiza- do en el caso anterior. 2 Proposici´on 5.1.11 (∆0–completitud de P − ) Sea T una extensi´on consis- tente de P − . Sean ϕ(x) ∈ ∆0, a ∈ ωn . Entonces: 1. T ϕ(a) ⇐⇒ N |= ϕ(a). 2. T ϕ(a) ∨ T ¬ϕ(a). Demostraci´on: (1.):(=⇒): Sea A |= T. Entonces A |= P − y A |= ϕ(a). Por 5.1.10, A |= ϕ(a). (⇐=): Sea A |= T. Entonces A |= P − . Como N |= ϕ(a), por 5.1.10, A |= ϕ(a). Aplicando el teorema de completitud: T ϕ(a). (2.): N |= ϕ(a) ∨ N |= ¬ϕ(a) y la clase de f´ormulas ∆0 es cerrada bajo negaci´on, el resultado se sigue de (1.). 2 Teorema 5.1.12 (Σ1–completitud de P − ) Sea ϕ ∈ Σ1 cerrada, entonces: N |= ϕ ⇐⇒ P − ϕ.
  57. 57. 52 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica Demostraci´on: (⇐=): Trivial, N |= P − . (=⇒): Sea ψ(x) ∈ ∆0 tal que ϕ es ∃xψ(x). Se supone que N |= ∃xψ(x). Sea n ∈ N tal que N |= ψ(n). Entonces, por 5.1.11, P − ψ(n). En consecuencia, P − ∃xψ(x). Es decir, P − ϕ. 2 Definici´on 5.1.13 Sea T una teor´ıa. 1. T es Σ1–v´alida si para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada: T ϕ =⇒ N |= ϕ. 2. Sea ThΠ1 (N) = {ϕ ∈ Π1 : ϕ cerrada y N |= ϕ}. Se dice que T es 1– consistente si T + ThΠ1 (N) es consistente. 3. Sea Γ un conjunto de f´ormulas. Se dice que T es Γ–ω–consistente si para toda f´ormula ϕ(x) ∈ Γ se tiene que: ∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n) =⇒ T ∃xϕ(x). Proposici´on 5.1.14 Sea T una extensi´on de P − . Son equivalentes: 1. T es 1–consistente. 2. T es ∆0–ω–consistente. 3. T es Σ1–ω–consistente. 4. T es Σ1–v´alida. Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Sea ϕ ∈ ∆0; ∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n). Aserto: P − ¬ϕ(n). Prueba del aserto: Suponiendo lo contrario, si P − ¬ϕ(n) =⇒ P − ϕ(n) =⇒ T ¬ϕ(n). En consecuencia: ∀n ∈ ω, N |= ¬ϕ(n) =⇒ N |= ∀x ¬ϕ(x) =⇒ ∀x ¬ϕ(x) ∈ ThΠ1 (N).
  58. 58. 5.1. La teor´ıa P− 53 Al ser T 1–consistente por hip´otesis, T + ThΠ1 (N) es consistente, implicando que: T ¬∀x ¬ϕ(x) ⇐⇒ T ∃x ϕ(x). ((2.) =⇒ (3.)): Sea ψ(x, n) ∈ ∆0 tal que ϕ(n) ≡ ∃x ψ(x, n) ∈ Σ1. Entonces: ∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n) =⇒ T ¬∃x ψ(x, n) =⇒ T ∀x ¬ψ(x, n). Sea y = (y1, . . . , ym, ym+1) = (x1, . . . , xm, n). Luego: ∀y, T ¬ψ(y1, . . . , ym, ym+1) =⇒ T ∃y ψ(y) [[∆0–ω–consistencia]] =⇒ T ∃n ∃x ψ(x, n) =⇒ T ∃n ϕ(n). En consecuencia, se ha demostrado expl´ıcitamente la Σ1–ω–consistencia. ((3.) =⇒ (4.)): Por hip´otesis, T es Σ1–ω–consistente. Hay que demostrar la Σ1–validez de T. Para ello, se supone lo contrario; es decir, para toda ϕ ∈ Σ1: T ϕ =⇒ N |= ϕ. Luego para todo n ∈ ω, N |= ¬ϕ(n), implicando por Σ1–ω–consistencia que T ϕ. Como la contradicci´on surge al suponer la no Σ1–validez de T, se tiene probada la implicaci´on. ((4.) =⇒ (1.)): Se supone que T + ThΠ1 (N) no es consistente. Entonces: ∃ϕ1, . . . , ∃ϕk ∈ ThΠ1 (N) tal que T + {ϕ1, . . . , ϕk} es inconsistente. En consecuencia: T ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) =⇒ N |= ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk), lo cual es una contradicci´on con la Σ1–validez de T. 2 Corolario 5.1.15 1. Si T es 1–consistente, entonces T es consistente. 2. Si T es Σ1–v´alida, entonces T es consistente. 3. Si N |= T, entonces T es Σ1–v´alida.
  59. 59. 54 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica 4. (Σ1–completitud). Sea T una teor´ıa Σ1–v´alida extensi´on de P − . En- tonces, para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada: T ϕ ⇐⇒ N |= ϕ. Hasta el momento se ha demostrado la ∆0–completitud y la Σ1–completitud de P − . Cabe preguntarse qu´e ocurre con la ∆1–completitud de P − . Es decir, falta comprobar la Π1–completitud. A continuaci´on se ver´a que P − es incapaz de demostrar f´ormulas Π1 cerradas que son v´alidas en la estructura est´andar. Un ejemplo es la f´ormula ϕ: “todo n´umero es par o impar”. Sea Z[α] el anillo de los polinomios en la indeterminada α con coeficientes enteros. Utilizando la siguiente relaci´on, este anillo puede ser ordenado: Dados p(α), q(α) ∈ Z[α], p(α) < q(α) ⇐⇒ el coeficiente l´ıder de q(α) − p(α) es > 0. La suma y el producto se interpretan como la suma y el producto de polinomios, 0 se interpreta como el polinomio nulo y S(p(α)) es p(α) + 1. Sea Z[α]+ la subestructura de Z[α] con universo {p(α) ∈ Z[α] : 0 ≤ p(α)} . Lema 5.1.16 1. Z+ [α] |= P − . 2. Z+ [α] |= ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1). Demostraci´on: Por construcci´on de Z+ [α], trivialmente se tiene que Z+ [α] |= P − . Para el segundo apartado, se toma la f´ormula: ∃y ≤ α(α = 2 · y ∨ α = 2 · y + 1). Directamente: Z+ [α] |= ∃y ≤ α(α = 2 · y ∨ α = 2 · y + 1), luego Z+ [α] |= ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1). 2
  60. 60. 5.2. Representabilidad 55 Proposici´on 5.1.17 (Incompletitud de P − ) 1. P − ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1). 2. P − no es completa. 3. Existe ϕ ∈ Π1 cerrada tal que N |= ϕ ∧ P − ϕ. Demostraci´on: Aplicando el rec´ıproco del teorema de la validez a 5.1.16 se obtiene: P − ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1). Como N ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1), se concluye que P − no es completa. Es equivalente decir que existe ϕ ∈ Π1 cerrada tal que N |= ϕ ∧ P − ϕ. 2 Corolario 5.1.18 1. ∀n ∈ ω, P − ∃y ≤ n(n = 2 · y ∨ n = 2 · y + 1). 2. En Z+ [α] es definible ω. Demostraci´on: El primer apartado se tiene por Σ1 completitud. En cuanto al segundo, una definici´on de ω en Z+ [α] es, por ejemplo: ϕ(u) = ∀x ≤ u∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1). 2 5.2. Representabilidad Definici´on 5.2.1 Sean T una teor´ıa, A ⊆ ωk y ϕ(x) tal que A = ϕ(N). Se dice que: 1. ϕ(x) representa d´ebilmente a A en T si ∀a ∈ ωk , a ∈ A ⇐⇒ T ϕ(a). En tal caso, se dice que A es d´ebilmente representable en T.
  61. 61. 56 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica 2. ϕ(x) representa a A en T si ∀a ∈ ωk , a ∈ A =⇒ T ϕ(a) a /∈ A =⇒ T ¬ϕ(a) En tal caso, se dice que A es representable en T. Directamente de la definici´on anterior, se tiene que ser representable implica ser d´ebilmente representable en teor´ıas consistentes. Adem´as, si ϕ(x) representa a A en P − , trivialmente ϕ(x) sigue representando a A en cualquier extensi´on de P − . Ahora bien, si la extensi´on es Σ1–v´alida y ϕ(x) ∈ Σ1, entonces: si ϕ(x) representa d´ebilmente a un conjunto en P − , tambi´en lo representa d´ebilmente en la extensi´on. Teorema 5.2.2 Sean T una Σ1–teor´ıa Σ1–v´alida extensi´on de P − y A ⊆ ωn . Son equivalentes: 1. A es recursivamente enumerable. 2. Existe ϕ(x) ∈ Σ1 que representa d´ebilmente al conjunto A en T. Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Debido a 4.2.7, existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que A = ϕ(N). Luego, ∀a ∈ ωn : a ∈ A ⇐⇒ N |= ϕ(a) ⇐⇒ T ϕ(a) [[T es Σ1–v´alida y 5.1.15]] Por tanto, ϕ(x) representa d´ebilmente a A en T. ((2.) =⇒ (1.)): Se sigue del comentario posterior a la definici´on 5.2.1. Sea ϕ(x) una f´ormula que representa d´ebilmente a A en T. Entonces: A = {a ∈ ωn : T ϕ(a)} es recursivamente enumerable, resultado probado en 4.3.13. 2 Teorema 5.2.3 Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensi´on de P − . Sea un con- junto A ⊆ ωn . Son equivalentes: 1. A es recursivo.
  62. 62. 5.2. Representabilidad 57 2. Existe una f´ormula ϕ(x) ∈ Σ1 que representa a A en T. 3. Existe una f´ormula ϕ(x) ∈ Π1 que representa a A en T. Demostraci´on: ((1.) =⇒ (2.)): Por 4.2.8 existen θ(x, z), ψ(x, w) ∈ ∆1 tales que para cualesquiera a ∈ ωn , a ∈ A ⇐⇒ N |= ∃zθ(a, z) ⇐⇒ N |= ∀wψ(a, w). Sean ϕ∗ θ,ψ(x, z) ≡ θ(x, z) ∧ ∀w ≤ z ψ(x, w), ϕθ,ψ(x) ≡ ∃z ϕ∗ θ,ψ(x, z). Es evidente que ϕθ,ψ(x) ∈ Σ1. Adem´as: Aserto: Para cualesquiera a ∈ ωn y A |= T: i. a ∈ A ⇐⇒ N |= ϕθ,ψ(a). ii. N |= ϕθ,ψ(a) ⇐⇒ A |= ϕθ,ψ(a). Prueba del aserto: (i.):(=⇒): Por hip´otesis: a ∈ A =⇒ N |= ∃zθ(a, z) N |= ∀wψ(a, w) =⇒ ∃b ∈ ω N |= θ(a, b) N |= ∀w ≤ b ψ(a, w) =⇒ ∃b ∈ ω, N |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) =⇒ N |= ∃zϕ∗ θ,ψ(a, z) =⇒ N |= ϕθ,ψ(a). (⇐=): En efecto, N |= ϕθ,ψ(a) =⇒ ∃b ∈ ω, N |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) =⇒ ∃b ∈ ω N |= θ(a, b) =⇒ N |= ∃zθ(a, z) =⇒ a ∈ A. (ii.):(=⇒): Por hip´otesis: N |= ϕθ,ψ(a) =⇒ ∃b ∈ ω, N |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) =⇒ ∃b ∈ ω, A |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) [[ϕ∗ θ,ψ(x, z) ∈ ∆0, N 0 A]] =⇒ A |= ∃zϕθ,ψ(a, z) =⇒ A |= ϕθ,ψ(a).
  63. 63. 58 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica (⇐=): Se supone que A |= ϕθ,ψ(a). Existe b ∈ A tal que A |= ϕ∗ θ,ψ(a, b). Se consideran los siguientes casos: Caso 1: b ∈ ω. Entonces A |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) =⇒ N |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) [[ϕ∗ θ,ψ(x, z) ∈ ∆0, N 0 A]] =⇒ N |= ∃zϕ∗ θ,ψ(a, z) =⇒ N |= ϕθ,ψ(a). Caso 2: b ∈ ω. Entonces A |= ϕ∗ θ,ψ(a, b) =⇒ A |= ∀w ≤ b ψ(a, w) =⇒ ∀c ∈ ω, A |= ψ(a, c) [[b ∈ ω]] =⇒ ∀c ∈ ω, N |= ψ(a, c) [[ψ(x, w) ∈ ∆0, N 0 A]] =⇒ N |= ∀w ψ(a, w) =⇒ a ∈ A =⇒ N |= ϕθ,ψ(a) [[(i.)]], quedando as´ı probado (ii.). Aserto: i. a ∈ A =⇒ T ϕθ,ψ(a). ii. a ∈ A =⇒ T ¬ϕθ,ψ(a). Prueba del aserto: Sea A |= T. Teniendo presente el teorema de com- pletitud: (i.): a ∈ A =⇒ N |= ϕθ,ψ(a) =⇒ A |= ϕθ,ψ(a). Al ser A un modelo arbitrario de T, T ϕθ,ψ(a). (ii.): a ∈ A =⇒ N |= ϕθ,ψ(a) =⇒ A |= ϕθ,ψ(a) =⇒ A |= ¬ϕθ,ψ(a). Al ser A un modelo arbitrario de T, T ¬ϕθ,ψ(a).
  64. 64. 5.2. Representabilidad 59 De los asertos se concluye que la f´ormula ϕθ,ψ(x) representa a A en T, pro- bando as´ı (2.). ((2.) =⇒ (1.)): Sea ϕ(x) ∈ Σ1 verificando: a ∈ A =⇒ T ϕ(a) a /∈ A =⇒ T ¬ϕ(a) Hay que demostrar que A es recursivo. Por hip´otesis, T es consistente, luego: A = {a ∈ ωn : T ϕ(a)} Ac = {a ∈ ωn : T ¬ϕ(a)} Debido a que T es una Σ1–teor´ıa, para toda ψ(x), el conjunto: {a ∈ ωn : T ψ(a)} es recursivamente enumerable. As´ı pues, tanto A como Ac son recursivamente enumerables; teni´endose as´ı la recursividad de A. ((3.) =⇒ (1.)): Salvo que ahora ϕ(x) ∈ Π1, la prueba resulta an´aloga a la de la implicaci´on anterior. ((1.) =⇒ (3.)): Suponiendo que A es recursivo, Ac tambi´en lo es. En consecuen- cia, existe ϕ1(x) ∈ Σ1 que representa a Ac ; implicando que ¬ϕ(x) representa a A. Por construcci´on, ¬ϕ(x) ∈ Π1, finalizando as´ı la prueba del resultado. 2 El concepto visto hasta el momento de representabilidad de un conjunto es f´acilmente extensible a funciones, mediante el grafo de las mismas. Determi- nar funciones representables en una teor´ıa T, ampl´ıa de forma pr´actica lo ya probado. Definici´on 5.2.4 Sean T una teor´ıa, f : ωn → ω y ϕ(x, y) una f´ormula que define a f en N. Se dice que: 1. ϕ(x, y) representa a f en T si para todo a1, . . . , an, b ∈ ω: f(a1, . . . , an) = b =⇒ T ϕ(a1, . . . , an, b) f(a1, . . . , an) = b =⇒ T ¬ϕ(a1, . . . , an, b) Es decir, ϕ(x, y) representa a Gr(f) en T. En este caso, se dice que f es representable en la teor´ıa T. 2. ϕ(x, y) representa fuertemente a f en T si:
  65. 65. 60 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica 2.1. ϕ(x, y) representa a f en T. 2.2. Para cualesquiera a1, . . . , an ∈ ω: T ϕ(a1, . . . , an, y) ∧ ϕ(a1, . . . , an, y ) → y = y . En este caso, se dice que f es fuertemente representable en T. Lema 5.2.5 Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensi´on de P − . Sea una fun- ci´on f : ωn → ω. Son equivalentes: 1. f es recursiva. 2. Existe ϕ(x, y) ∈ Σ1 que representa a f en T. 3. Existe ϕ(x, y) ∈ Π1 que representa a f en T. Demostraci´on: Al darse la equivalencia f recursiva ⇐⇒ Gr(f) = {(a, b) : f(a) = b} es recursivo, el lema resulta de 5.2.3. 2 Teorema 5.2.6 Sean T una Σ1–teor´ıa consistente extensi´on de P − y un una funci´on f : ωn → ω. Entonces, si f es recursiva, existe ϕ(x, y) ∈ Σ1 que representa fuertemente a f en T. Demostraci´on: Debido a 5.2.5, existen θ(x, y, z),ψ(x, v, w) ∈ ∆0 tales que ∃z θ(x, y, z) y ∀w ψ(x, v, w) representan a f en T. Se define: ϕf θ,ψ(x, y) ≡ ∃z θ(x, y, z) ∧ ∃u ∀v < y ∃w ≤ u ¬ψ(x, v, w) Es claro que ϕf θ,ψ(x, y) ∈ Σ1. Hay que demostrar que ϕf θ,ψ(x, y) representa fuer- temente a f en T, teniendo presente la definici´on 5.2.4. Aserto: Sean a ∈ ωn , b ∈ ω. Entonces: f(a) = b ⇐⇒ N |= ϕf θ,ψ(a, b) Prueba del aserto: (=⇒): Por hip´otesis: f(a) = b. Entonces: i. N |= ∃z θ(a, b, z) [[∃zθ(x, y, z) define a f en N]]. ii. N |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w).
  66. 66. 5.2. Representabilidad 61 (ii.): Sea c < b. Entonces f(a) = c; por tanto, N |= ¬∀w ψ(a, c, w). Es equivalente a N |= ∃w ¬ψ(a, c, w). En consecuencia, ∃dc ∈ ω tal que N |= ¬ψ(a, c, dc). Sea e = m´ax{dc : c < b}, entonces: N |= ∀v < b ∃w ≤ e ¬ψ(a, v, w) =⇒ N |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w). As´ı pues, (i.) y (ii.) implican que N |= ϕf θ,ψ(a, b). (⇐=): Por hip´otesis: N |= ϕf θ,ψ(a, b) y ∃z θ(x, y, z) representa a f en T, luego: N |= ϕf θ,ψ(a, b) =⇒ N |= ∃z θ(a, b, z) =⇒ f(a) = b. Aserto: Sean a ∈ ωn , b ∈ ω. i. f(a) = b =⇒ T ϕf θ,ψ(a, b). ii. f(a) = b =⇒ T ¬ϕf θ,ψ(a, b). Prueba del aserto: (i.): Se recuerda que T es una Σ1–teor´ıa consistente extensi´on de P − y que ϕf θ,ψ(x, y) ∈ Σ1, luego: f(a) = b =⇒ N |= ϕf θ,ψ(a, b) =⇒ P − ϕf θ,ψ(a, b) =⇒ T ϕf θ,ψ(a, b). (ii.): ∃z θ(x, y, z) representa a f en T, luego: f(a) = b =⇒ T ¬∃z θ(a, b, z) =⇒ T ¬ϕf θ,ψ(a, b). Aserto: Sea a ∈ ωn , entonces: T ϕf θ,ψ(a, y) ⇐⇒ y = f(a). Prueba del aserto: (⇐=): Es el primer apartado del aserto anterior. (=⇒): Se consideran A |= T y b ∈ A tales que A |= ϕf θ,ψ(a, b). Bajo estas hip´otesis, se tiene: b < f(a) ∨ b > f(a) ∨ b = f(a)
  67. 67. 62 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica b < f(a): Entonces b ∈ ω y T ¬θ(a, b, z), pues b = f(a). En particular, A |= ϕf θ,ψ(a, b), lo que contradice la hip´otesis realizada sobre A. Luego no es posible el caso b < f(a). b > f(a): Puesto que A |= ∀w ψ(a, f(a), w), se cumple que A |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w), lo cual es una contradicci´on, pues A |= ϕf θ,ψ(a, b). Luego no es posible el caso b > f(a). El ´unico caso posible es b = f(a), lo que prueba la implicaci´on objetivo. Recogiendo todo lo probado en los asertos, se tiene que f es fuertemente repre- sentable en T. 2 Definici´on 5.2.7 ϕ(x) ∈ Σ1 se dice ∆1 en P − , ϕ(x) ∈ ∆1(P − ), si existe ψ(x) ∈ Σ1 verificando: P − ¬ϕ(x) ↔ ψ(x). Proposici´on 5.2.8 Sea ϕ(x) ∈ ∆1(P − ). Entonces, ∀a ∈ ωn : 1. P − ϕ(a) ⇐⇒ N |= ϕ(a). 2. N |= ¬ϕ(a) ⇐⇒ P − ¬ϕ(a). Demostraci´on: (1.): es expl´ıcitamente la Σ1–completitud de P − . (2.) : N |= ¬ϕ(a) =⇒ N |= ψ(a) =⇒ P − ψ(a) [[Σ1–completitud de P − ]] =⇒ P − ¬ϕ(a) 2 Anteriormente se ha probado que toda funci´on recursiva total es definible en N. Tambi´en se ha probado que toda funci´on recursiva es representable en P − . Definici´on 5.2.9 Se dice que f : ωn → ω es recursiva en una teor´ıa T si existe ϕ(x, y) ∈ Σ1 tal que: 1. ϕ(x, y) representa a f en T.
  68. 68. 5.3. Incompletitud e indecibilidad 63 2. T ∀x ∃!y ϕ(x, y). En este caso ϕ(x, y) se denomina funcional en T. 2.1 Si adem´as f(x) = y ⇐⇒ T ∀x ∃!y ϕ(x, y), se dice que f es definible en T. Respecto a los funcionales en una teor´ıa, es interesante el caso de pertenencia a Σ1: Aserto: Si ϕ(x, y) ∈ Σ1 es funcional en T, ϕ(x, y) ∈ ∆1(T) Prueba del aserto: Resulta directo, basta considerar: T ϕ(x, y) ↔ ∀z(z = y → ¬ϕ(x, z)). Es importante relacionar representabilidad con definibilidad, pues no es cier- to que toda funci´on representable sea definible. Por ejemplo, la funci´on expo- nencial es recursiva y por tanto representable en P − ; pero es conocido que la exponencial no es definible en P − . 5.3. Incompletitud e indecibilidad A partir de la representabilidad y todo lo demostrado, ya se est´a en con- diciones de dar una prueba del primer teorema de incompletitud. De haber tenido m´as tiempo en Ciencias de Computaci´on, esta prueba hubiese cerrado la asignatura. El ingrediente principal es la suposici´on de un conjunto recursivamente enu- merable y no recursivo. En vez de tomar uno gen´erico, se aprovecha lo demos- trado en el grado, particularizando para K: el problema de la parada. Una vez probado el teorema de incompletitud, cualquier conjunto recursivamente enu- merable y no recursivo es v´alido para sustituir a K en la prueba. Teorema 5.3.1 (Primer teorema de incompletitud) Sea T una Σ1–teor´ıa, Σ1–v´alida y extensi´on de P − . Bajo estas hip´otesis: T no es completa. Demostraci´on: Sea K = {e : {e}(e) ↓} el problema de la parada; un conjunto recursivamente enumerable y no recursivo. Se recuerda que {e} es la funci´on recursiva parcial de ´ındice e. Entonces:
  69. 69. 64 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica Al ser K recursivamente enumerable y debido a 5.2.2, K es d´ebilmente representable en T. En consecuencia, existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que ∀e ∈ ω: e ∈ K ⇐⇒ T ϕ(e). Al no ser K recursivo y debido a la negaci´on l´ogica de 5.2.3, K no es representable en T. As´ı pues, existe n ∈ ω tal que n ∈ K y T ¬ϕ(n). Es decir: T ϕ(n), pues en caso contrario se tendr´ıa que n ∈ K. T ¬ϕ(n). Luego T no es completa. 2 La prueba aqu´ı ofrecida es una mera aplicaci´on de los resultados probados, pues poco tiene que ver con la prueba del primer teorema de incompletitud de G¨odel. Para la finalidad del trabajo, todav´ıa se requiere la definici´on de la aritm´etica de Peano, la prueba del lema diagonal y la relaci´on con la aritmeti- zaci´on. A´un as´ı, ya se tiene probado que en Σ1–teor´ıas Σ1–v´alidas, T, que extiendan a la aritm´etica b´asica -sin inducci´on-, existen f´ormulas v´alidas en N que T es incapaz de probar. Otro resultado que se puede ofrecer a estas alturas, es la no decibilidad de estas teor´ıas T. Las consecuencias del resultado son realmente interesantes, teni´endose directamente que: “No existe un algoritmo que permita, dado una f´ormula de T, saber si es o no teorema en T.” Teorema 5.3.2 Sea T una Σ1–teor´ıa, Σ1–v´alida y extensi´on de P − . Entonces: T no es decidible. Demostraci´on: Sean A un conjunto recursivamente enumerable y no recur- sivo y ϕ(x) una f´ormula que representa d´ebilmente a A en T. Entonces: A = {a ∈ ω : T ϕ(a)}.
  70. 70. 5.4. La Aritm´etica de Peano 65 Se razona suponiendo lo contrario: sea T decidible. Es decir, el conjunto BT = { ϕ : T ϕ} es recursivo. En consecuencia: {a ∈ ω : T ϕ(a)} es un conjunto recursivo, concluyendo as´ı que A es recursivo y evidenciando la contradicci´on. 2 5.4. La Aritm´etica de Peano A lo largo de la historia, la naturaleza de los n´umeros ha sido estudiada por fil´osofos y matem´aticos. Los primeros fundamentos rigurosos de los n´umeros naturales se deben a Richard Dedekind (1831–1916), en ((Was sind und was sollen die Zahlen?)), publicado en 1888 [2]. En 1889, Giuseppe Peano (1858-1932) public´o ((Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita)) [8], donde present´o de una forma m´as precisa la formalizaci´on de Dedekind. El estudio de los n´umeros naturales realizado por Peano, incluyendo la des- cripci´on de la inducci´on matem´atica, motiv´o el denominar a la m´as sencilla de las aritm´eticas con inducci´on: la Aritm´etica de Peano. Definici´on 5.4.1 (La Aritm´etica de Peano) Sea ϕ(x, v) una f´ormula. El axioma de inducci´on relativo a ϕ y a la variable x, Iϕ,x(v), es la f´ormula ϕ(0, v) ∧ ∀x (ϕ(x, v) → ϕ(x + 1, v)) → ∀x ϕ(x, v). Si no hay confusi´on, se denota Iϕ en lugar de Iϕ,x(v). As´ı pues, la Aritm´etica de Peano, PA, es la teor´ıa P A = P − + {Iϕ : ϕ f´ormula de LA}. Teorema 5.4.2 De todo lo probado anteriormente, se sigue: 1. N |= P A. 2. P A es Σ1–v´alida. 3. (Σ1–completitud de P A). Para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada: P A ϕ ⇐⇒ N |= ϕ 4. P A est´a recursivamente axiomatizada; por tanto, P A es una Σ1–teor´ıa.
  71. 71. 66 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritm´etica 5. (Primer teorema de incompletitud para P A). P A no es completa. 6. P A no es decidible. Teorema 5.4.3 (Minimizaci´on) Sea A |= P A. Entonces: A |= ∃x ϕ(x) → ∃x(ϕ(x) ∧ ∀ y < x ¬ϕ(y)). Es decir, en todo modelo de P A, cualquier conjunto definible no vac´ıo tiene un elemento m´ınimo. Demostraci´on: Se supone lo contrario, siendo ahora la hip´otesis: 1. A |= ∃x ϕ(x) y 2. A |= ∀x(ϕ(x) → ∃y < x ϕ(y)). Se define ψ(x) ≡ ∀y ≤ x ¬ϕ(y). Entonces: Aserto: i. A |= ψ(0). ii. A |= ψ(x) → ψ(x + 1). Prueba del aserto: (i.): De la segunda componente de la hip´otesis, se sigue que A |= ¬ϕ(0). Por tanto, A |= ψ(0). (ii.): Se considera a ∈ A, tal que A |= ψ(a). Directamente se obtiene que A |= ∀y ≤ a ¬ϕ(y). En consecuencia, volviendo a aplicar el segundo apartado de la hip´otesis, A |= ¬ϕ(a + 1). En conclusi´on: A |= ∀y ≤ a + 1 ¬ϕ(y) =⇒ A |= ψ(a + 1). Puesto que A |= P A, de (i.) usando el axioma de inducci´on para ψ(x), se sigue que A |= ∀x ψ(x). Luego: A |= ∀x ∀y ≤ x ¬ϕ(y). Finalmente: A |= ∀x ¬ϕ(x), lo cual contradice (1.). 2 Corolario 5.4.4 Sea A |= P A no est´andar. Entonces: 1. ∀n ∈ ω, A |= ϕ(n) =⇒ ∃a > ω, A |= ϕ(a). 2. ω no es definible en A.
  72. 72. 5.4. La Aritm´etica de Peano 67 Demostraci´on: (1.): De no ser cierto, la f´ormula ¬ϕ(x) definir´ıa |A| ω, que no tiene elemento m´ınimo; contradiciendo as´ı el teorema anterior. (2.): Siguiendo la misma idea de (1.), si ω fuese definible por una f´ormula ϕ, su negaci´on definir´ıa un conjunto sin elemento m´ınimo. 2
  73. 73. Cap´ıtulo 6 Primer teorema de incompletitud de G¨odel G¨odel prob´o en 1931 [4], que bajo ciertas condiciones, ninguna teor´ıa ma- tem´atica formal que sea capaz de describir los n´umeros naturales y la aritm´etica con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es el denominado primer teorema de incompletitud de G¨odel. M´as adelante, Rosser prob´o que se puede ampliar el teorema relajando las hip´otesis propuestas por G¨odel. Es importante entender en su totalidad el primer teorema de incompletitud, diferenciando lo que prueba y lo que no. Despu´es de la prueba de Rosser, se ver´a que no hay contradicci´on alguna ni con el teorema de completitud, ni con el teorema de extensiones completas. El cap´ıtulo finaliza viendo la relaci´on del teorema de incompletitud con el problema 10o de Hilbert, obteni´endose as´ı una variante del primer teorema. 6.1. Notas sobre la aritmetizaci´on Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensi´on de P − . Directamente, los con- juntos Form (4.3.2) y PfT (4.3.9) son recursivos. En consecuencia, aplicando 5.2.3 y 5.2.5, Form y PfT son representables en P − por f´ormulas Σ1. Entonces: • F orm(x) representa al conjunto Form y • P fT (y, x) representa al conjunto PfT . 69
  74. 74. 70 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de G¨odel Sean A |= T y a, b ∈ A elementos est´andar. Por definici´on, a ∈ Form ⇐⇒ ∃ϕ tal que ϕ = a, Se tiene: a ∈ Form ⇐⇒ P − F orm(a) ⇐⇒ T F orm(a) ⇐⇒ A |= F orm(a). a ∈ Form ⇐⇒ P − ¬F orm(a) ⇐⇒ T ¬F orm(a) ⇐⇒ A |= ¬F orm(a). (b, a) ∈ PfT ⇐⇒ P − P fT (b, a) ⇐⇒ T P fT (b, a) ⇐⇒ A |= P fT (b, a). (b, a) ∈ PfT ⇐⇒ P − ¬P fT (b, a) ⇐⇒ T ¬P fT (b, a) ⇐⇒ A |= ¬P fT (b, a). Luego por construcci´on: BT (x) ≡ ∃y P fT (y, x). Es importante notar que BT (x) representa d´ebilmente a BT , teni´endose: a ∈ BT ⇐⇒ P − BT (a) =⇒ T BT (a) [[tambi´en ⇐= si T es Σ1–v´alida]] =⇒ A |= BT (a). Notaci´on 6.1.1 Es necesario fijar la siguiente notaci´on para evitar confusio- nes: • Φ, Ψ, Θ, . . . para f´ormulas del metalenguaje. • δ, γ, ρ . . . para f´ormulas en el lenguaje; es decir: δ = a ∈ A tal que A |= F orm(a).
  75. 75. 6.2. Lema diagonal 71 Adem´as, se denotar´a el n´umero de G¨odel de una f´ormula del metalenguaje, Φ, con su respectiva letra griega min´uscula; es decir: Φ = ϕ ∈ A Entonces, si A es un modelo de una extensi´on de P − : A |= F orm( Φ ). M´as a´un: δ, γ, ρ . . . ser´an las variables sobre f´ormulas: Ψ(δ) es la f´ormula F orm(δ) ∧ Ψ(δ), implicando: ∀δ Ψ(δ) es la f´ormula ∀x [F orm(x) → Ψ(x)], ∃δ Ψ(δ) es la f´ormula ∃x [F orm(x) ∧ Ψ(x)]. 6.2. Lema diagonal Teorema 6.2.1 (Lema diagonal) Sea Φ(x) una f´ormula. Existe Ψ cerrada, denominada punto fijo de Φ(x) en P − , tal que: P − Φ( Ψ ) ↔ Ψ. Demostraci´on: Sea f : ω → ω recursiva tal que para toda f´ormula Θ(z): f( Θ(z) ) = Θz[ Θ(z) ] Sea Ψ∗ (v, w) ∈ Σ1 una f´ormula que representa fuertemente a f en P − . Entonces para toda f´ormula Θ(z): P − Ψ∗ ( Θ(z) , w) ↔ w = f( Θ(z) ) [[Representabilidad]] Haciendo actuar f, resulta: ( ) : P − Ψ∗ ( Θ(z) , w) ↔ w = Θz[ Θ(z) ] Sean: Θ(z) ≡ ∃w[Ψ∗ (z, w) ∧ Φ(w)] Ψ ≡ ∃w[Ψ∗ ( Θ(z) , w) ∧ Φ(w)] (es decir: Ψ es Θz[ Θ(x) ])
  76. 76. 72 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de G¨odel En conclusi´on: ( ) =⇒ P − Ψ ↔ ∃w[w = Θz[ Θ(z) ] ∧ Φ(w)] =⇒ P − Ψ ↔ ∃w[w = Ψ ∧ Φ(w)] =⇒ P − Ψ ↔ Φ( Ψ ). 2 El lema diagonal tambi´en es aplicable con par´ametros adicionales a la va- riable de Φ: Teorema 6.2.2 (Lema diagonal con par´ametros) Sea Φ(x, y) una f´ormu- la. Entonces: 1. Existe Ψ(x) tal que: P − Φ(x, Ψ(x) ) ↔ Ψ(x). 2. Existe Ψ(x) tal que ∀a ∈ ωn : P − Φ(a, Ψ(a) ) ↔ Ψ(a). Demostraci´on: (1.): Resulta an´alogo al lema diagonal incluyendo los par´ame- tros. (2.): Teniendo presente que N |= P − , la f´ormula es v´alida para toda instancia de las variables en n´umeros naturales. As´ı pues, se verifica que: P − Φ(a, Ψ(a) ) ↔ Ψ(a). 2 Es importante realizar una serie de comentarios a ra´ız del lema diagonal: • Con la hip´otesis de que Φ(x) ∈ Σ1, el punto fijo obtenido es Σ1. • Si se tiene Φ(x) ∈ Π1, basta tomar Θ(z) ≡ ∀w[Ψ∗ (z, w) → Φ(w)] para obtener un punto fijo que sea Π1.

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