memoria

Facultad de Matemáticas
Grado en Matemáticas
Trabajo Fin de Grado
Computabilidad y los Teoremas de
Incompletitud de Gödel
Realizado por:
Xavier Segu´ı Salom
Dirigido por:
D. Joaqu´ın Borrego D´ıaz
Departamento:
Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial
Sevilla, Junio 2015

Abstract
Assuming known the Recursion Theory and in a completely constructive
way, this ﬁnal project shows both G¨odel’s Incompleteness Theorems and its
computational consequences. For this purpose, it’s necessary a brief initial study
of First Order Logic, also included in the opening chapters.
V

The Mathematics either is too big for the human brain or the
man’s mind is something besides a simple machine.
Kurt G¨odel (1906-1978)

Índice general
Introducción 1
1. Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden 5
1.1. Lenguajes de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Términos y fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Variables libres y ligadas. Sustituciones . . . . . . . . . . 8
1.2. Estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Subestructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden 15
2.1. Teorema de la validez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Valoraciones de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2. Axiomas lógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3. Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4. Teor´ıas y pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. El teorema de tautolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Teoremas sobre cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IX

X Índice general
2.4. El teorema de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5. Los teoremas de la deducción y constantes . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Teoremas de igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Formas prenex. Formas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3. Relaciones entre teor´ıas 25
3.1. Extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducción . . . . . . . . . . 27
3.3. El teorema de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4. Teor´ıas completas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. La estructura estándar. Aritmetización 33
4.1. El lenguaje de la aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos . . . . . . . . . . . . . 35
4.3. Aritmetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Teor´ıas de la aritmética 47
5.1. La teor´ıa P−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2. Representabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3. Incompletitud e indecibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4. La Aritmética de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6. Primer teorema de incompletitud de Gödel 69
6.1. Notas sobre la aritmetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2. Lema diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3. El 1er
teorema de incompletitud de Gödel . . . . . . . . . . . . . 74
6.4. Ampliación de Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Índice general XI
6.5. Comentarios sobre el primer teorema . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6. Gödel y el problema 10o
de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7. Segundo teorema de incompletitud 87
7.1. El predicado BT (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2. El 2o
teorema de incompletitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3. Propiedades de los puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.4. BT (x) y la lógica modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Bibliograf´ıa 95

Introducción
Motivación
Una vez cursada la asignatura del primer cuatrimestre de 4o
, Ciencias de
la Computación, he tenido la oportunidad de completar la asignatura realizan-
do un trabajo de fin de grado sobre los teoremas de incompletitud de Gödel.
Habiendo visto la Teor´ıa de la Recursión, un trabajo de fin de grado de estas
caracter´ısticas da sentido a todo lo aprendido, mostrando aspectos recursivos
realmente interesantes para cualquier persona que haga uso de una teor´ıa ma-
temática.
Por otra parte, los teoremas de incompletitud son cruciales para la Lógica
Matemática y para las Matemáticas en general, hasta el punto de condicionar
cualquier teor´ıa de primer orden con ciertas caracter´ısticas. De esta manera, en
el trabajo también se hace uso de la lógica de primer orden aprendida durante
el grado; ampliando de forma considerable lo conocido.
As´ı pues, la realización de este trabajo complementa varias asignaturas cur-
sadas y también formaliza de forma expl´ıcita los fundamentos de las matemáti-
cas, despejando cualquier duda sobre la validez de todo lo que a uno le demues-
tran en 4 años.
Objetivos
El objetivo de este trabajo es proporcionar una prueba de los teoremas de
completitud haciendo énfasis en sus aspectos computacionales, partiendo de
los conocimientos acerca de la Teor´ıa de la Recursión y de Lógica Matemática
adquiridos en el grado.
1

2 Índice general
Teniendo en cuenta este objetivo, el trabajo sigue un esquema constructivo.
Dando por conocida la Teor´ıa de la Recursión, se formaliza la lógica matemáti-
ca de primer orden como herramienta de representación de las matemáticas
y el razonamiento; particularizando en la estructura estándar y las teor´ıas de
la aritmética, elementos fundamentales en los teoremas de incompletitud. Es-
tos elementos proporcionan los suficientes conocimientos para probar los dos
teoremas de incompletitud y sus consecuencias. Todo lo utilizado referente a
Computabilidad, puede encontrarse en [1], junto con lo aprendido en la asigna-
tura Ciencias de la Computación.
Del primer teorema se hace hincapié en los aspectos computacionales, te-
niendo como teor´ıa base a la aritmética y estudiando qué ocurre a teor´ıas que,
de cierto modo, la extienden. Además de varios comentarios al respecto de la
demostración, también se ofrece una variante del primer teorema mediante la
solución negativa del problema 10o
de Hilbert.
Respecto al segundo teorema de incompletitud, se ofrece en este trabajo de
fin de grado una prueba mediante las denominadas condiciones de demostrabi-
lidad. A ra´ız de la demostración del teorema, el trabajo finaliza con una breve
mención a la lógica modal.
Estructura
La estructura del trabajo es como sigue:
En el primer cap´ıtulo se definen los lenguajes de primer orden, junto con
todos sus elementos caracter´ısticos. Posteriormente se definen las estructuras y
la validez de fórmulas en ellas.
En el segundo cap´ıtulo se definen brevemente las teor´ıas y teoremas en
teor´ıas de primer orden, cerrando as´ı dos cap´ıtulos básicos necesarios para el
desarrollo del trabajo de fin de grado.
El tercer cap´ıtulo estudia extensamente las relaciones entre teor´ıas, definien-
do al final del mismo uno de los conceptos claves del trabajo: la completitud de
una teor´ıa.
En el cuarto cap´ıtulo se define el tan natural lenguaje de la aritmética, dando
paso a la estructura estándar. Es también en este cap´ıtulo donde se recoge el
proceso de la aritmetización llevado a cabo por Gödel.
A partir de este momento, se puede dar paso al cap´ıtulo seis, demostrando

Índice general 3
el primer teorema de incompletitud de Gödel, la ampliación llevada a cabo por
Rosser y una variante del teorema a partir de la solución negativa del problema
10o
de Hilbert.
Finalmente, el séptimo cap´ıtulo ofrece una prueba del segundo teorema de
incompletitud, estudiando con detalle la fórmula: “ser demostrable”.

Cap´ıtulo 1
Sintaxis y semántica de la lógica
de primer orden
La prueba de los teoremas requiere definiciones y herramientas relativas a los
lenguajes de primer orden, como formalismo para representar adecuadamente
los elementos fundamentales. A continuación se definen la sintaxis y notación
en las que se apoyan todos los resultados del trabajo de fin de grado.
Es importante reseñar que este cap´ıtulo y el siguiente se consideran como
un resumen de trabajo, que proporciona las herramientas de formalización ne-
cesarias. La mayor parte de su contenido se ha extra´ıdo de [3], y refleja el
estudio personal del autor de dicha obra, para entender las herramientas que se
utilizarán más adelante.
1.1. Lenguajes de primer orden
Definición 1.1.1 Un lenguaje de primer orden (l.p.o.) L consta de los
siguientes conjuntos de s´ımbolos, disjuntos dos a dos:
1. Un conjunto de s´ımbolos lógicos, que son comunes a todos los l.p.o.,
formado por
1.1. Variables: V = {v1, v2, . . . }.
1.2. Un s´ımbolo de predicado binario, =.
1.3. Conectivas: ¬, ∨, ∃.
5

6 Cap´ıtulo 1. Sintaxis y semántica de la lógica de primer orden
2. Un conjunto de s´ımbolos no lógicos, formado por los siguientes con-
juntos (disjuntos dos a dos):
2.1. S´ımbolos de constantes (LC).
2.2. S´ımbolos de funciones (LF ).
2.3. S´ımbolos de predicados (LP ).
Nota 1.1.2 Se supone que = ∈ LP , aunque no se explicite. Para la simplifica-
ción de algunas pruebas, se puede suponer que un s´ımbolo de constante es un
s´ımbolo de función de aridad 0. En cuanto a notación:
1. x, y, z, v, . . . representarán variables.
2. a, b, c, e, . . . representarán constantes.
3. f, g, h, . . . representarán s´ımbolos de funciones.
4. p, q, r, . . . representarán s´ımbolos de predicados.
5. El s´ımbolo ≡ denotará la igualdad sintáctica entre dos expresiones.
1.1.1. Términos y fórmulas
Definición 1.1.3 Sea L un l.p.o. Una expresión de L es una sucesión finita
de s´ımbolos de L. El conjunto de los términos en L, Term(L), es el menor
conjunto C de expresiones verificando:
1. V ∪ LC ⊆ C.
2. Si f es un s´ımbolo de función n-aria y t1, . . . , tn ∈ C, entonces ft1 · · · tn ∈
C.
Definición 1.1.4 El conjunto de las fórmulas en un l.p.o. L, Form(L), es el
menor conjunto C de expresiones tal que:
1. Si p ∈ LP tiene aridad n y t1, . . . , tn ∈ Term(L), entonces pt1 · · · tn ∈ C.
Las fórmulas de este tipo se denominan atómicas y el conjunto de las
fórmulas atómicas se denota por At(L).
2. Si ϕ ∈ C, entonces ¬ϕ ∈ C.
3. Si ϕ, ψ ∈ C, entonces ∨ϕψ ∈ C.

1.1. Lenguajes de primer orden 7
4. Si ϕ ∈ C y x ∈ V , entonces ∃xϕ ∈ C.
Nota 1.1.5 En cuanto a notación:
1. t, r, . . . representarán términos.
2. ϕ, ψ, η, γ, . . . representarán fórmulas.
Las definiciones anteriores permiten razonar por inducción sobre el conjunto
de las fórmulas o términos, o bien definir funciones sobre éstos. Por ejemplo, si
se desea demostrar que una cierta propiedad P es válida para cualquier fórmula,
basta comprobar que:
• Toda fórmula atómica satisface P.
• Si ϕ ∈ Form(L) satisface P, entonces ¬ϕ también la satisface.
• Si ϕ, ψ ∈ Form(L) satisfacen P, entonces ∨ϕψ también la satisface.
• Si ϕ ∈ Form(L) satisface P y x ∈ V , entonces ∃xϕ también la satisface.
Notación 1.1.6 Para manejar con más agilidad las expresiones introducidas y
facilitar su lectura, éstas se escribirán según las siguientes reglas:
• Se denotará ϕ ∨ ψ en lugar de ∨ϕψ.
• Se toma el convenio usual para el uso de paréntesis.
• Otras conectivas:
• ϕ → ψ denotará la fórmula ¬ϕ ∨ ψ.
• ϕ ∧ ψ denotará la fórmula ¬(¬ϕ ∨ ¬ψ).
• ϕ ↔ ψ denotará la fórmula ϕ → ψ ∧ ψ → ϕ.
• ∀xϕ denotará la fórmula ¬∃x¬ϕ.
• Si u ∈ LF ∪ LP tiene aridad n, u(t1, . . . , tn) denotará a ut1 · · · tn.
• Para los s´ımbolos o predicados binarios se utilizará notación infija. As´ı,
por ejemplo, x + y denota +xy, x < y denota < xy, etc.
Teorema 1.1.7 (términos y fórmulas) Sea L un l.p.o.
1. Para cada término t ∈ Term(L) se verifica una y sólo una de las siguientes
condiciones:

1.1. t es una variable o una constante.
1.2. Existen un s´ımbolo de función f y n términos t1, . . . , tn (siendo n la
aridad de f), únicos, tales que f ≡ f(t1 · · · tn).
2. Para cada fórmula ϕ ∈ Form(L) se verifica una y sólo una de las siguien-
tes condiciones:
2.1. ϕ es atómica.
2.2. Existe ψ ∈ Form(L), única, tal que ϕ ≡ ¬ψ.
2.3. Existen ψ1, ψ2 ∈ Form(L), únicas, tales que ϕ = ψ1 ∨ ψ2.
2.4. Existen ψ1 ∈ Form(L) y x ∈ V , únicas, tales que ϕ ≡ ∃xψ.
Corolario 1.1.8 (subtérminos y subfórmulas)
1. Existe una única función Subt : Term(L) → P<w(Term(L)) tal que:
Subt(t) =
{t}, si t ∈ V ∪ LC;
{t} ∪ 1≤i≤n Subt(ti), si t ≡ ft1 · · · tn.
2. Existe una única función Subf : Form(L) → P<w(Form(L)) tal que:
Subf(t) =



{ϕ}, si ϕ es atómica;
{ϕ} ∪ Subf(ψ1) ∪ Subf(ψ2), si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2;
{ϕ} ∪ Subf(ψ), si ϕ ≡ ¬ψ;
{ϕ} ∪ Subf(ψ), si ϕ ≡ ∃xψ.
1.1.2. Variables libres y ligadas. Sustituciones
Definición 1.1.9
1. Una expresión es sin variables si en ella no ocurren s´ımbolos de variable.
2. Una estancia de una variable x en una fórmula ϕ se dice ligada si esa
estancia ocurre en una subfórmula de la forma ∃xψ. En caso contrario de
se dice libre.
3. Una variable x se dice libre (resp. ligada) en una fórmula ϕ si en ϕ
existe al menos una estancia libre (resp. ligada) de x.
4. Una fórmula se dice cerrada si no tiene variables libres.
5. Una fórmula se dice abierta si en ϕ no ocurren cuantificadores.

1.1. Lenguajes de primer orden 9
Nota 1.1.10
1. Toda variable que ocurra en una fórmula abierta es libre.
2. Se denota por Sent(L) al conjunto de las fórmulas cerradas, y por Term0(L)
los términos sin variables.
3. Se denota por ∀0(L) al conjunto de fórmulas sin cuantificadores.
4. V ar(·) denota a la aplicación V ar : Form(L) ∪ Term(L) → P<w(V ),
tal que dada u una expresión, V ar(u) es el conjunto de las variables que
ocurren en u.
5. Existe una única aplicación V l : Form(L) → P<w(V ) tal que dada ϕ ∈
Form(L), V l(ϕ) es el conjunto de las variables libres en ϕ, y está definida
por:
V l(ϕ) =



V ar(ϕ), si ϕ es atómica;
V l(ψ1) ∪ V l(ψ2), si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2;
V l(ψ), si ϕ ≡ ¬ψ;
V l(ψ) {x}, si ϕ ≡ ∃xψ.
Definición 1.1.11 Sean L un l.p.o., t, r ∈ Term(L) y ϕ ∈ Form(L).
1. tx[r] es la expresión que se obtiene al sustituir la variable x por r en toda
estancia de x en t.
2. ϕx[r] es la expresión que se obtiene al sustituir la variable x por r en toda
estancia libre de x en ϕ.
Lema 1.1.12 En las condiciones de la definición anterior, se verifica que tx[r] ∈
Term(L) y ϕx[r] ∈ Form(L).
Definición 1.1.13 Una variable x es sustituible por un término t en ϕ si para
cada z ∈ V ar(t), toda subfórmula de ϕ de la forma ∃zψ no contiene estancias
de x libres en ϕ.
Nota 1.1.14
1. Al escribir ϕx[t] se presupone que x es sustituible por t en ϕ.
2. tx1,...,xn [t1, . . . , tn] es el término que se obtiene de sustituir en paralelo
x1, . . . , xn por t1, . . . , tn, respectivamente. De manera análoga se define
ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]. Si no existe confusión, se escribirá t[t1, . . . , tn] en lu-
gar de tx1,...,xn [t1, . . . , tn].

1.2. Estructuras
En principio es posible razonar sobre objetos muy diversos, y algunos muy
dif´ıciles de tratar. Afortunadamente, el razonamiento matemático no requiere
considerar conceptos imprecisos y variables ambiguas, sino que la fundamen-
tación de las Matemáticas sólo requiere la capacidad de precisar formalmente
qué razonamientos son aceptables. As´ı pues, una estructura consiste en un con-
junto en el cual se han fijado varias relaciones y funciones, obteniendo de esta
manera un objeto usado para definir la semántica de la lógica de primer orden.
Definición 1.2.1 Sea L un l.p.o. Una L–estructura A es una 4–upla
A = |A|, {cA : c ∈ LC}, {fA : f ∈ LF }, {pA : p ∈ LP } ,
donde:
1. |A| es un conjunto no vac´ıo, llamado el universo de A.
2. Para cada c ∈ LC, cA ∈ |A|.
3. Para cada f ∈ LF de aridad n, fA : |A|n
→ |A|.
4. Para cada p ∈ LP de aridad n, pA ⊆ |A|n
.
y el s´ımbolo lógico = se interpreta como {(a, a) : a ∈ A}.
Definición 1.2.2 Sea L ⊆ L , y A una L –estructura. La restricción de A a
L es la L–estructura
AL = |A |, {cA : c ∈ LC}, {fA f ∈ LF }, {pA : p ∈ LP } .
1.2.1. Validez
Definición 1.2.3 Sea A una L–estructura. Para cada a ∈ |A|, se elige un nuevo
s´ımbolo a. El lenguaje de A, L(A), es aquel tal que L(A)P = LP , L(A)F = LF
y L(A)C = LC ∪ {a a ∈ |A|}.
Definición 1.2.4 Sea t ∈ Term0(L(A)). La interpretación de t en A es
A(t) =
a, si t ≡ a, con a ∈ A;
fA(A(t1), . . . , A(tn)), si t ≡ f(t1, . . . , tn).

1.2. Estructuras 11
Definición 1.2.5 (Validez para fórmulas cerradas) Sea ϕ ∈ Sent(L(A)).
Se dice que ϕ es válida en A, y se notará por A |= ϕ si:
1. A(t1) = A(t2) [[si ϕ ≡ t1 = t2]]
2. (A(t1), . . . , A(tn)) ∈ pA [[si ϕ ≡ p(t1, . . . , tn)]]
3. A |= ψ [[si ϕ ≡ ¬ψ]]
4. A |= ψ1 ó A |= ψ2 [[si ϕ ≡ ψ1 ∨ ψ2]]
5. Existe a ∈ A tal que A |= ψx[a] [[ si ϕ ≡ ∃xψ]]
Definición 1.2.6 Dada ϕ ∈ Form(L) con V l(ϕ) = {x1, . . . , xn}. Se dice que
ϕ es:
1. Válida en A, A |= ϕ, si para cualesquiera a1, . . . , an ∈ A,
A |= ϕx1,...,xn [a1, . . . , an].
2. Lógicamente válida, |= ϕ, si para toda L–estructura A, A |= ϕ.
Nota 1.2.7
1. En las condiciones de la definición anterior,
A |= ϕ ⇐⇒ A |= ∀x1 · · · ∀xnϕ.
2. Si ϕ y ψ son fórmulas cerradas, entonces:
A |= ϕ ∨ ψ ⇐⇒ [A |= ϕ ó A |= ψ],
y no es cierto en general si no son cerradas.
Lema 1.2.8 Sean ψ1, ψ2 cerradas. Entonces:
1. A |= ψ1 ∧ ψ2 ⇐⇒ A |= ψ1 y A |= ψ2.
2. A |= ψ1 → ψ2 ⇐⇒ A |= ψ1 y A |= ψ2.
3. A |= ∀xψ1 ⇐⇒ ∀a ∈ A(A |= (ψ1)x[a]).
Lema 1.2.9 Sean L ⊆ L dos l.p.o. y A una L –estructura. Para toda ϕ ∈
Form(L) se verifica que:
AL |= ϕ ⇐⇒ A |= ϕ.

Lema 1.2.10 Sea A una L–estructura, r ∈ Term0(L(A)).
1. Si t ∈ Term(L) tal que V ar(t) ⊆ {x}, entonces:
A(tx[r]) = A(tx[A(r)]).
2. Si ϕ ∈ Form(L(A)) tal que V l(ϕ) ⊆ {x}, entonces:
A |= ϕx[r] ⇐⇒ A |= ϕx[A(r)].
Definición 1.2.11 Sea A una L–estructura. Se tienen:
1. Dada ϕ ∈ Form(L), el conjunto definido por ϕ en A es
Aϕ = {a ∈ An
: A |= ϕ(a)}.
2. Se dice que A ⊆ |A|n
es definible en A si existe ϕ(x) ∈ Form(L) tal que
Aϕ = A.
1.2.2. Homomorfismos
Una vez definidas las estructuras, cabe preguntarse cómo se relacionan entre
ellas. Surge as´ı el concepto de homomorfismo, definido de la forma más natural.
Nota 1.2.12 Para relajar la notación, se adoptan los siguientes convenios,
siempre y cuando no induzcan confusión:
1. Se escribirá a ∈ A en lugar de a ∈ |A|.
2. Dado a ∈ A, se escribirá a en lugar de a. As´ı mismo, se escribirá a en
lugar de a1, . . . , an (siendo n la aridad adecuada), tanto para elementos
como para variables, y a ∈ A en lugar de a ∈ An
.
3. Si u(x) es término o una fórmula, se escribirá u[a] en lugar de
ux1,...,xn [a1, . . . , an],
y si F : A → B, se escribirá F(a) en lugar de (F(a1), . . . , F(an)).
Definición 1.2.13 Sean A, B dos L–estructuras, y F : A → B. Se dice que F
es:

1.2. Estructuras 13
1. Un homomorfismo, F : A B, si:
1.1. Para toda c ∈ LC, F(cA) = cB.
1.2. Para toda f ∈ LF n–aria, y a ∈ A:
F(fA(a)) = fB(F(a)).
1.3. Para todo p ∈ LP n–ario y a ∈ A:
A |= p(a) =⇒ B |= p(F(a)).
2. Una inmersión, F : A⊂B, si es un homomorfismo y se verifica que
A |= p(a) ⇐⇒ B |= p(F(a)).
3. Un isomorfismo, F : A ∼= B, si es una inmersión biyectiva.
4. Un automorfismo si es un isomorfismo de A en A.
Teorema 1.2.14 Sean A, B dos L–estructuras, a ∈ A, y F : A → B.
1. Si F es homomorfismo y t(x) ∈ Term(L) :
F(A(t[a])) = B(t[F(a)]).
2. Si F es una inmersión, y ϕ ∈ ∀0(L), entonces:
A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[F(a)].
3. Si F es un isomorfismo, y ϕ ∈ Form(L), entonces:
A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[F(a)].
Definición 1.2.15 Dos L–estructuras A, B se dicen elementalmente equiva-
lentes, y se denota por A ≡ B, si para toda fórmula ϕ ∈ Form(L):
A |= ϕ ⇐⇒ B |= ϕ.

1.2.3. Subestructuras
Definición 1.2.16 Sean A, B dos L–estructuras. Se dice que A es una subes-
tructura de B, y se nota por A ⊂ B, si |A| ⊆ |B| y la aplicación inclusión de
A en B es una inmersión.
Nota 1.2.17 Si A ⊂ B, entonces:
1. Para toda c ∈ LC, cA = cB.
2. Si f ∈ LF es n–aria y a ∈ A, entonces fA(a) = fB(a).
3. Para todo p ∈ LP n–ario y a ∈ A,
A |= p(a) ⇐⇒ B |= p(a).
De hecho, por 1.2.14.2, se verifica que si ϕ ∈ ∀0(L), entonces:
A |= ϕ[a] ⇐⇒ B |= ϕ[a].

Cap´ıtulo 2
Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de
primer orden
En lógica matemática, una teor´ıa está formada por un lenguaje, un conjunto
de axiomas y unas reglas de inferencia. Una vez definidos los lenguajes de primer
orden, en este cap´ıtulo se definen los distintos tipos de axiomas y las reglas de
inferencia. Una vez se tenga el concepto de teor´ıa, los teoremas pasan a ser los
protagonistas. Se define el concepto de prueba, fundamental para entender el
proceso de deducción y la búsqueda mecanizada de teoremas.
Este cap´ıtulo es de carácter técnico y muestra, a partir del concepto de teor´ıa,
cómo se podr´ıan demostrar los procesos básicos de razonamiento (teoremas de
deducción, de constantes, etc.). No es el objetivo de este trabajo desarrollar
tales elementos; se ha limitado a resumirlos. Véase [3] para más detalles.
En cap´ıtulos posteriores se verán las propiedades del conjunto de los teore-
mas de una teor´ıa de primer orden, junto con los aspectos computacionales más
relevantes.
2.1. Teorema de la validez
El teorema de la validez es de vital importancia para la fundamentación de
las matemáticas. Pese a su corto enunciado, da sentido al concepto de prue-
ba formal, pues la validez es el objetivo más natural en la búsqueda de una
demostración.
15

16 Cap´ıtulo 2. Teor´ıas y teoremas en teor´ıas de primer orden
2.1.1. Valoraciones de verdad
Definición 2.1.1 Sean L un l.p.o. y H∨ y H¬ las funciones de validez. Una
aplicación σ : Form(L) → {0, 1} es una valoración de verdad si:
1. σ(¬ϕ) = H¬(ϕ).
2. σ(ϕ ∨ ψ) = H∨(σ(ϕ), σ(ψ)).
Definición 2.1.2 El conjunto de las fórmulas elementales en un l.p.o. L
es el conjunto
EF(L) = At(L) ∪ {∃xϕ : ϕ ∈ Form(L)}.
Con el concepto de valoración de verdad se pretende sustituir a las estructuras,
asignando un valor de verdad a cada fórmula.
Nota 2.1.3 Form(L) es el menor conjunto de expresiones que contiene a EF(L)
y es cerrado bajo ∨ y ¬.
Lema 2.1.4 Dada π : EF(L) → {0, 1}, existe una única valoración de verdad,
σ, tal que σEF(L) = π.
Definición 2.1.5 Una fórmula ϕ es una tautolog´ıa (esqueleto tautológico) si
para toda valoración de verdad σ, se verifica σ(ϕ) = 1.
Lema 2.1.6 Para cada L–estructura A, existe una valoración de verdad
σA : Form(L(A)) → {0, 1},
tal que para toda ϕ ∈ Sent(L(A)) se verifica que
σA(ϕ) = 1 ⇐⇒ A |= ϕ.
Corolario 2.1.7 Si ϕ es una tautolog´ıa y A una L–estructura, entonces A |= ϕ.
2.1.2. Axiomas lógicos
Definición 2.1.8 Los axiomas lógicos para un l.p.o. L son:
1. Axiomas proposicionales: las tautolog´ıas.

2.1. Teorema de la validez 17
2. Axioma–esquema de sustitución: Para cada fórmula ϕ, término t y
variable x sustituible en ϕ por t, la fórmula
ϕx[t] → ∃xϕ
es un axioma de sustitución.
3. Axioma de identidad: x = x.
4. Axioma–esquema de igualdad: Para cada f ∈ LF , p ∈ LP los axio-
mas
n
i=1
xi = yi → f(x1, . . . , xn) = f(y1, . . . , yn)
m
i=1
xi = yi → (p(x1, . . . , xm) → p(y1, . . . , ym))
son axiomas de igualdad (n, m las aridades de f y p,respectivamente).
Lema 2.1.9 Para cada x ∈ V , t ∈ Term(L), y σ valoración de verdad, la
aplicación σx,t definida por
σx,t(ϕ) = σ(ϕx[t])
es una valoración de verdad.
Lema 2.1.10 Si ϕ es una tautolog´ıa, entonces ϕx[t] es una tautolog´ıa.
Teorema 2.1.11 (Adecuación de los axiomas lógicos) Los axiomas lógi-
cos son fórmulas lógicamente válidas.
Nota 2.1.12 El axioma de sustitución no es lógicamente válido si no impone-
mos ninguna restricción a las sustituciones.
2.1.3. Reglas de inferencia
Definición 2.1.13 Las reglas de inferencia son:
1. Modus Ponens (MP ):
ϕ, ϕ → ψ
ψ

2. Introducción del cuantificador existencial (R∃):
ϕ → ψ
∃xϕ → ψ
si x no es libre en ψ.
Teorema 2.1.14 (Adecuación de las reglas de inferencia) Si la(s) hipóte-
sis de una regla de inferencia son válida(s) en una L–estructura A, entonces la
conclusión es válida en A.
2.1.4. Teor´ıas y pruebas
Definición 2.1.15 Una teor´ıa de primer orden (t.p.o.) T consta de:
1. Un lenguaje de primer orden L.
2. Un conjunto de axiomas, que son de dos tipos:
2.1. Los axiomas lógicos en el lenguaje L.
2.2. Axiomas no lógicos de T: Un subconjunto de Form(L).
3. Reglas de inferencia: MP, R∃.
Si T es una t.p.o., se denota su lenguaje por L(T), y el conjunto de axiomas no
lógicos por Ax(T). El conjunto Ax(T) caracteriza a T y más adelante se verán
sus propiedades.
Definición 2.1.16 Sea T una t.p.o. y ϕ una L(T)–fórmula.
1. Una prueba en T es una sucesión finita de fórmulas ϕ1, . . . , ϕn tal que
para todo i ≤ n se verifica una de las siguientes condiciones:
1.1. ϕi es un axioma de T.
1.2. Existen j, k < i tales que ϕi se obtiene por aplicación de la regla MP
a ϕj y ϕk.
1.3. Existe j < i tal que ϕi se obtiene por aplicación de la regla R∃ a la
fórmula ϕj.
2. ϕ es un teorema en T, T ϕ, si existe una prueba de ϕ1, . . . , ϕn en T
tal que ϕn ≡ ϕ.

2.2. El teorema de tautolog´ıa 19
Para demostrar que una propiedad P la satisfacen los teoremas de una teor´ıa T,
se puede razonar por inducción en la longitud de las pruebas, probando
que:
• Los axiomas de T verifican la propiedad P.
• Si las hipótesis de una regla de inferencia satisfacen la propiedad, entonces
la consecuencia también satisface P.
Definición 2.1.17 Sea T una t.p.o. Una L(T)–estructura A es un modelo de
T, A |= T, si todo axioma de T es válido en T. La clase de los modelos de T se
denota por Mod(T).
Definición 2.1.18 Sea T una teor´ıa, y ϕ ∈ Form(L(T)). Se dice que ϕ es
válida en T, y se denotará por T |= ϕ, si ϕ es válida en todo modelo de T.
Teorema 2.1.19 (Validez) Sea T una t.p.o. y ϕ ∈ Form(L(T)).
T ϕ =⇒ T |= ϕ.
A partir de este punto, se fija una teor´ıa de primer orden T.
2.2. El teorema de tautolog´ıa
Lema 2.2.1 Si T ϕ1, . . . , T ϕn y T ϕ1 → · · · → ϕn → ϕ, entonces
T ϕ.
Definición 2.2.2 Se dice que una ϕ fórmula es consecuencia tautológica
de ϕ1, . . . , ϕn si para toda valoración de verdad σ:
σ(ϕ1) = · · · = σ(ϕn) = 1 =⇒ σ(ϕ) = 1.
Lema 2.2.3 Son equivalentes:
1. ϕ es consecuencia tautológica de ϕ1, . . . , ϕn.
2. ϕ1 → · · · → ϕn → ϕ es una tautolog´ıa.
Teorema 2.2.4 (Tautolog´ıa) Si ϕ es consecuencia tautológica de ϕ1, . . . , ϕn
y T ϕ1, . . . , T ϕn, entonces T ϕ.

El teorema de tautolog´ıa permite simplificar las pruebas por inducción sobre los
teoremas de T. Concretamente, para probar que los teoremas de T satisfacen
una propiedad P, basta demostrar que:
• Los axiomas de sustitución, igualdad, identidad y no lógicos satisfacen P.
• Si ϕ1, . . . , ϕn satisfacen la propiedad P y ϕ es consecuencia tautológica de
ϕ1, . . . ϕn, entonces ϕ satisface la propiedad P.
• Si ψ satisface P y ϕ se obtiene por aplicación de la regla R∃ a ψ, entonces
ϕ satisface P.
Corolario 2.2.5 Si T ϕ → ψ y T ¬ϕ → ψ, entonces T ψ.
2.3. Teoremas sobre cuantificadores
Teorema 2.3.1 (Regla de introducción de ∀, R∀) Si T ϕ → ψ y x /∈
V l(ϕ), entonces T ϕ → ∀xψ.
Teorema 2.3.2 (Regla de generalización) Si T ϕ, entonces T ∀xϕ.
Teorema 2.3.3 (Regla de sustitución) Sean ϕ ∈ Form(T) y t1, . . . , tn térmi-
nos. Entonces:
T ϕ =⇒ T ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn].
Teorema 2.3.4 (Sustitución)
1. T ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn] → ∃x1 · · · ∃xnϕ.
2. T ∀x1 · · · ∀xnϕ → ϕx1,...,xn [t1, . . . tn].
Teorema 2.3.5 (Regla de distribución) Se supone que T ϕ → ψ. Enton-
ces:
1. T ∃xϕ → ∃xψ.
2. T ∀xϕ → ∀xψ.
Definición 2.3.6 Dada una fórmula ϕ con V l(ϕ) = {x1, . . . xn}, el cierre de
ϕ, ϕc
, es la fórmula ∀x1 · · · ∀xnϕ.

2.4. El teorema de equivalencia 21
Teorema 2.3.7 (Cierre)
T ϕ ⇐⇒ T ϕc
.
Lema 2.3.8 Si z /∈ V l(ϕ) y x es sustituible por z en ψ, entonces
T ∃xψ ↔ ∃z(ψx[z]).
2.4. El teorema de equivalencia
Teorema 2.4.1 (Equivalencia) Si ϕ se obtiene a partir de ϕ reemplazando
algunas estancias de ψ1, . . . , ψn en ϕ por ψ1, . . . , ψn, respectivamente. Si
T ψi ↔ ψi (1 ≤ i ≤ n),
entonces T ϕ ↔ ϕ .
Definición 2.4.2 Se dice que que ϕ es una variante de ϕ si ϕ se obtiene de
ϕ sustituyendo subfórmulas de ϕ del tipo ∃xϕ por ∃z(ψx)[z], con z /∈ V l(ψ) y x
es sustituible por z en ψ.
Teorema 2.4.3 (La variante) Si ϕ es una variante de ϕ, entonces:
T ϕ ↔ ϕ .
2.5. Los teoremas de la deducción y constantes
Notación 2.5.1
• Sea Γ ⊆ Form(T). La teor´ıa T[Γ] se obtiene añadiendo a T, como axio-
mas no lógicos, las fórmulas de Γ.
• Si Γ = {ϕ1, . . . , ϕn}, se escribirá T[ϕ1, . . . , ϕn] en lugar de T[Γ].
Teorema 2.5.2 (Deducción) Sea ϕ ∈ Sent(L(T)). Son equivalentes:
1. T ϕ → ψ.
2. T[ϕ] ψ.

Corolario 2.5.3 Sean {ϕ1, . . . , ϕn} ⊆ Sent(L(T)). Son equivalentes:
1. T[ϕ1, . . . , ϕn] ψ.
2. T ϕ1 → · · · → ϕn.
Teorema 2.5.4 (Constantes) Sea T la teor´ıa que se obtiene añadiendo al
lenguaje de T un conjunto C de nuevas constantes. Entonces para toda ϕ ∈
Form(L(T)) y c1, . . . , cn ∈ C,
T ϕ ⇐⇒ T ϕx1,...,xn [c1, . . . , cn].
Usando el teorema de constantes, se puede obtener un teorema de deduc-
ción para fórmulas no cerradas: Si V l(ϕ) = {x1, . . . , xn}, y T se obtiene de T
añadiendo las nuevas constantes c1, . . . , cn, entonces para demostrar T ϕ → ψ
es necesario y suficiente demostrar que:
T [ϕx[c]] ψx[c].
2.6. Teoremas de igualdad
Teorema 2.6.1 (Simetr´ıa) Sean t1, t2 dos términos. Se verifica:
T t1 = t2 ↔ t2 = t1.
Teorema 2.6.2 (Igualdad) Sea t (resp. ϕ ) un término (resp. una fórmu-
la) que se obtiene de t (resp. ϕ) sustituyendo algunas estancias, que no estén
inmediatamente después de un cuantificador, de t1, . . . , tn por t1, . . . , tn respec-
tivamente. Si T ti = ti (1 ≤ i ≤ n), entonces:
1. T t = t .
2. T ϕ → ϕ .
Corolario 2.6.3
1.
n
i=1
ti = ti → tx1,...,xn [t1, . . . , tn] = tx1,...,xn [t1, . . . , tn].
2.
n
i=1
ti = ti → (ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn] ↔ ϕx1,...,xn [t1, . . . , tn]).
Corolario 2.6.4 Si x /∈ V ar(t) y es sustituible por t en ϕ, entonces:
T ϕx[t] ↔ ∃x(x = t ∧ ϕ).

2.7. Formas prenex. Formas normales 23
2.7. Formas prenex. Formas normales
Definición 2.7.1 Diremos que una fórmula ϕ está en forma prenex si es de
la forma
Q1x1 · · · Qnxnψ,
donde las variables son distintas dos a dos, Qi es ∃ ó ∀, y ψ es una fórmula
abierta, llamada la matriz de ϕ.
Definición 2.7.2 Una operación prenex consiste en cambiar una subfórmu-
la de ϕ por otra fórmula, de acuerdo con las siguientes reglas:
Operación Subfórmula Cambiar por Restricción
(P1) ∃xψ ∃yψx[y] y /∈ V l(ϕ)
(P2) ¬∃xϕ ∀x¬ϕ
¬∀xψ ∃x¬ψ
(P3) ∃xψ ∨ θ ∃x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(θ)
ψ ∨ ∃xθ ∃x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(ψ)
∀xψ ∨ θ ∀x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(θ)
ψ ∨ ∀xθ ∀x(ψ ∨ θ) x /∈ V l(ψ)
Lema 2.7.3 Si ϕ se obtiene de ϕ por aplicación de una operación prenex,
entonces T ϕ ↔ ϕ .
Teorema 2.7.4 (Forma prenex)
Para toda fórmula ϕ existe ψ en forma prenex tal que T ϕ ↔ ψ. Además,
si ϕ es cerrada, entonces ψ también es cerrada.
A partir de las definiciones de las conectivas auxiliares, se pueden obtener
las llamadas operaciones prenex derivadas:
Operación Subfórmula Cambiar por Restricción
(P4) ∃xψ → θ ∀x(ψ → θ) x /∈ V l(θ)
∀xψ → θ ∃x(ψ → θ) x /∈ V l(θ)
(P5) ψ → ∃xθ ∃x(ψ → θ) x /∈ V l(ψ)
ψ → ∀xθ ∀x(ψ → θ) x /∈ V l(ψ)
(P6) ∃xψ ∧ θ ∃x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(θ)
ψ ∧ ∃xθ ∃x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(ψ)
∀xψ ∧ θ ∀x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(θ)
ψ ∧ ∀xθ ∀x(ψ ∧ θ) x /∈ V l(ψ)

Definición 2.7.5
1. Una ϕ fórmula es un literal si es atómica o negación de una fórmula
atómica.
2. Una fórmula se dice en forma normal conjuntiva (resp. disyuntiva)
si es una conjunción (resp. disyunción) de disyunciones (resp. conjun-
ciones) de literales.
Teorema 2.7.6 Dada ϕ abierta, existen fórmulas ϕc en forma normal conjun-
tiva y ϕd en forma normal disyuntiva tales que:
T ϕ ↔ ϕc y T ϕ ↔ ϕd.
Corolario 2.7.7 Dada ϕ existe una fórmula ψ en forma prenex y con matriz
en forma normal disyuntiva (conjuntiva) tal que T ϕ ↔ ψ.

Cap´ıtulo 3
Relaciones entre teor´ıas
El concepto de teor´ıa y los de prueba y teorema asociados, permiten for-
malizar de manera general el concepto de teor´ıa matemática. Una de las acti-
vidades fundamentales en Matemáticas es estimar la riqueza de las teor´ıas que
se estudian, atendiendo a las propiedades demostrables a partir de éstas, sobre
las estructuras que satisfacen los axiomas. En general, esa actividad engloba
comparar, de alguna forma, distintas axiomatizaciones (descripciones) de las
estructuras que se estudian.
Con el objetivo de poder estudiar axiomatiaciones (incluso desde el punto de
vista de la Teor´ıa de la Recursión), en este cap´ıtulo se introducen las nociones de
extensión, reducción, el teorema de completitud (sin demostración) y el concepto
fundamental de teor´ıa completa; entendiéndola como aquella que, de acuerdo a
su lenguaje, caracteriza de manera exhaustiva las propiedades de primer orden
válidas en la estructura objeto de estudio.
3.1. Extensiones
Definición 3.1.1 Dadas T y T dos teor´ıas, se dice que:
1. T es una extensión de T, T ⊆ T si:
1.1. L(T) ⊆ L(T ).
1.2. Para toda ϕ ∈ Form(L(T)),
T ϕ =⇒ T ϕ.
25

26 Cap´ıtulo 3. Relaciones entre teor´ıas
2. T y T son equivalentes si L(T) = L(T ) y para toda ϕ ∈ Form(L(T)),
T ϕ ⇐⇒ T ϕ.
Proposición 3.1.2
1. La relación ⊆ definida anteriormente es transitiva.
2. Si T ⊆ T , entonces Mod(T ) ⊆ Mod(T).
3. Si T ≡ T , entonces Mod(T ) = Mod(T).
Definición 3.1.3 Sea A una L–estructura. La teor´ıa de A, Th(A), es la L–
teor´ıa que tiene como axiomas no lógicos:
{ϕ ∈ Form(L) : A |= ϕ}.
Proposición 3.1.4 A |= T =⇒ T ⊆ Th(A).
Corolario 3.1.5 Sean A y B dos L–estructuras. Las siguientes condiciones
son equivalentes:
1. A ≡ B.
2. B |= Th(A).
3. A y B son modelos de las mismas teor´ıas.
4. Th(A) = Th(B).
Definición 3.1.6 Sea T una teor´ıa. Se dice que T es:
1. Finita si Ax(T) es finito.
2. Finitamente axiomatizable si existe T finita equivalente a T.
3. Recursivamente axiomatizable si Ax(T) es recursivo.
4. Decidible si el conjunto de los teoremas de T es recursivo.
Es interesante evaluar si se puede tener un procedimiento algor´ıtmico que
determine si una fórmula es un axioma de una teor´ıa. Es claro que para los
axiomas lógicos de sustitución, identidad e igualdad, se tiene. En el siguiente
resultado se comprueba que, para los axiomas proposicionales, también existe
un algoritmo. As´ı pues, el problema queda reducido al conjunto de los axiomas
no lógicos, siempre dependiendo de la teor´ıa. Como consecuencia, una teor´ıa
es recursivamente axiomatizable si el conjunto de sus axiomas no lógicos es
recursivo.

3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducción 27
Lema 3.1.7 Existe un algoritmo que determina si una fórmula es un esqueleto
tautológico.
Demostración: Se considera el siguiente algoritmo. Para cada fórmula ϕ se
define E(ϕ), el conjunto de las fórmulas elementales que ocurren en ϕ:
E(ϕ) =



{ϕ}, si ϕ ∈ EF(L);
E(ψ) ∪ E(θ), si ϕ es ψ ∨ θ;
E(ψ), si ϕ es ¬ψ.
Para toda fórmula ϕ: E(ϕ) es finito y para cualesquiera valoraciones de verdad
σ y σ , si σE(ϕ) = σE(ϕ), entonces σ(ϕ) = σ (ϕ). Dada ϕ, se considera el siguiente
algoritmo:
(-) Determinar E(ϕ).
(-) Determinar todas las aplicaciones de E(ϕ) en {0, 1}, π1, . . . , πm.
(-) Sean σ1, . . . , σm valoraciones de verdad tales que (σi)E(ϕ) = πi, donde
i = 1, . . . , m. Para cada i, se calcula σi(ϕ).
(-) Si para todo i, σi(ϕ) = 1, entonces ϕ es una tautolog´ıa.
(-) Caso contrario, ϕ no es tautolog´ıa.
Al haber definido un algoritmo, el resultado queda probado. 2
En general, no existe un algoritmo para determinar si una fórmula es válida
en una estructura. Por tanto, Th(A) puede no ser decidible.
3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reduc-
ción
Definición 3.2.1 T es inconsistente si para toda ϕ ∈ Form(L), T ϕ. En
caso contrario, se dice consistente.
Proposición 3.2.2 Sea T una teor´ıa. Son equivalentes:
1. T es inconsistente.
2. Existe ϕ tal que T ϕ y T ¬ϕ.

3. T x = x.
Demostración: Es suficiente observar que T x = x y que cualquier fórmula
es consecuencia tautológica de ϕ y ¬ϕ. 2
Corolario 3.2.3 Sea T una teor´ıa.
1. Mod(T) = ∅ =⇒ T consistente.
2. T x = y =⇒ T inconsistente.
Demostración: El primer apartado es trivial. En cuanto al segundo, si T
x = y, por la regla de sustitución (2.3.3), T x = x. Por tanto, T es inconsis-
tente. 2
Teorema 3.2.4 (Reducción)
Sea T una teor´ıa, y ϕ ∈ Sent(L(T)).
T ϕ ⇐⇒ T[¬ϕ] es inconsistente.
Demostración:
T[¬ϕ] inconsistente ⇐⇒ T[¬ϕ] ϕ
⇐⇒ T ¬ϕ → ϕ [[T. deducción]]
⇐⇒ T ϕ [[T. tautolog´ıa]]
Lo que prueba el teorema. 2
Corolario 3.2.5 Sea ϕ ∈ Sent(L(T)).
T[ϕ] inconsistente ⇐⇒ T ¬ϕ.
Corolario 3.2.6 Sea Γ ⊆ Sent(L(T)). Son equivalentes:
1. T[Γ] inconsistente.
2. Existen ϕ1, . . . , ϕn ∈ Γ tales que T ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn).
Demostración: Si T es inconsistente, entonces es trivial. En otro caso, basta
tomar las fórmulas de Γ utilizadas en una prueba de x = x en T[Γ], y el resultado
se tiene al aplicar el teorema de la deducción. 2

3.2. Teor´ıas consistentes. Teorema de la reducción 29
Teorema 3.2.7 (Compacidad, versión sintáctica)
Son equivalentes:
1. T consistente.
2. Toda parte finita de T es consistente.
Demostración: Es una trivialidad que toda parte finita de una teor´ıa consis-
tente, es consistente. Para la otra implicación, se supone que T es inconsistente.
Entonces T x = x. Sean ϕ1, . . . , ϕn los axiomas de T que ocurren en una
prueba de x = x en T. Entonces T x = x, donde
T =
Lenguaje : L(T)
Axiomas : {ϕ1, . . . , ϕn}
Por tanto, T es inconsistente. Lo cual contradice que toda parte finita de T es
consistente. 2
Proposición 3.2.8 Dada {Tn : n ∈ ω} una sucesión de teor´ıas tal que para
todo n:
1. Tn ⊆ Tn+1.
2. Tn consistente.
Sea T la teor´ıa tal que:
L(T ) = {L(Tn) : n ∈ ω} y Ax(T ) = {Ax(Tn) : n ∈ ω}
Entonces T es consistente.
Demostración: Se supone que T es inconsistente. Por el teorema 3.2.7, existe
una parte finita de T , T, que es inconsistente. Sean ϕ1, . . . , ϕk los axiomas
de T. Sean n1, . . . , nk tales que para todo i, 1 ≤ i ≤ k, ϕi ∈ Ax(Tni
). Sea
m = máx({n1, . . . , nk}). Entonces para todo i, Tm ϕi. Por tanto, Tm es
inconsistente. 2

3.3. El teorema de completitud
El teorema de completitud es vital en la Lógica Matemática. Evita la búsque-
da de pruebas para fórmulas válidas en la teor´ıa. Es decir, si se tiene la validez
de una fórmula para cualquier modelo de la teor´ıa, aplicando el teorema, se
tiene asegurada la existencia de una prueba de la fórmula en la teor´ıa.
Para el transcurso del trabajo, el teorema de completitud facilitará de forma
considerable algunos razonamientos. Por motivos de extensión, la prueba se
omite, pudiéndose consultar con todo detalle en [3].
Teorema 3.3.1 (Teorema de completitud)
1. (L. Henkin) T consistente ⇐⇒ T tiene un modelo.
2. (K. Gödel) T |= ϕ ⇐⇒ T ϕ.
Gödel probó el rec´ıproco del teorema de la validez (2.1.19), mientras que Henkin
probó el rec´ıproco de 3.2.3.1. Además, es sencillo probar que la formulación
de Henkin implica a la de Gödel y viceversa. En definitiva, el grueso de la
demostración puede resumirse en probar:
Si T es consistente =⇒ Mod(T) = ∅.
Una de las consecuencias importantes del teorema de completitud es el
rec´ıproco de 3.1.2.3:
Si Mod(T) = Mod(T ), entonces T ≡ T .
3.4. Teor´ıas completas
Definición 3.4.1 Una t.p.o. T se dice completa si es consistente y para toda
fórmula cerrada ϕ se verifica que
T ϕ ó T ¬ϕ.
En la definición de completitud es necesario restringir a fórmulas cerradas
por un sencillo motivo:

3.4. Teor´ıas completas 31
Nota 3.4.2 Sea T una teor´ıa consistente tal que para toda fórmula ϕ:
T ϕ ó T ¬ϕ.
Sea la fórmula x = y. Si T x = y, T es inconsistente; luego T x = y. Por
el teorema de la validez, si A |= T, se tiene que A |= x = y. En consecuencia,
los modelos de una teor´ıa completa tendr´ıan un solo elemento.
Proposición 3.4.3 Sea A una L–estructura. Entonces Th(A) es completa.
Demostración: Como A |= Th(A), por 3.2.3, Th(A) es consistente. Además,
si ϕ ∈ Sent(L), A |= ϕ ó A |= ¬ϕ. En consecuencia, Th(A) ϕ ó Th(A) ¬ϕ;
luego Th(A) es completa. 2
Proposición 3.4.4 Si T es una teor´ıa completa, entonces:
1. Todos los modelos de T son elementalmente equivalentes.
2. Si A |= T, entonces T ≡ Th(A).
Demostración: Para el primer apartado, sean A, B |= T. Sea ϕ ∈ Sent(T).
Se supone que A |= ϕ. Entonces:
A |= ϕ =⇒ A |= ¬ϕ
=⇒ T ¬ϕ [[T. validez]]
=⇒ T ϕ [[T completa]]
=⇒ B |= ϕ [[T. validez]]
Lo que prueba que A y B son elementalmente equivalentes.
En cuanto al segundo apartado, sea A |= T. Por 3.1.4, T ⊂ Th(A). Se
procede a comprobar que Th(A) ⊂ T. Sea ϕ una fórmula cerrada tal que A |= ϕ.
Se tiene que A |= ¬ϕ. Puesto que A |= T, por el teorema de la validez se sigue
que T ¬ϕ. En consecuencia, al ser T completa, T ϕ. 2
Teorema 3.4.5 (Extensiones completas) Si T es consistente, entonces exis-
te una L(T)–teor´ıa completa, T , que es extensión de T.
Demostración: Considérese la clase:
J = {S : S es una L(T)-teor´ıa extensión de T}.
Comprobando previamente su aplicabilidad, mediante el lema de Zorn se obtiene
una L(T)–teor´ıa completa que por construcción extiende a T. 2

El concepto de completitud está estrechamente ligado al concepto de decidi-
bilidad de la verdad en Matemáticas. Trabajando con una teor´ıa adecuadamente
descrita (recursivamente axiomatizable) y completa, se puede decidir mecáni-
camente -mediante la teor´ıa- qué es válido en la estructura objeto de estudio.
Teorema 3.4.6 Toda teor´ıa completa y recursivamente axiomatizable es deci-
dible.
Demostración: Sea T una teor´ıa de primer orden. Al ser recursivamente
axiomatizable, existe un algoritmo que determina, para cada sucesión finita de
fórmulas, si es o no una prueba en T. Dada ϕ cerrada, se considera el siguiente
algoritmo:
(-) Generar una tras otra las sucesiones finitas de fórmulas de T.
(-) Cada vez que se genere una sucesión finita de fórmulas, comprobar si es
una prueba en T de ϕ ó ¬ϕ.
(-) Si es una prueba de ϕ, entonces ϕ es un teorema de T.
(-) Si es una prueba de ¬ϕ, entonces ϕ no es un teorema de T.
Al ser T completa, existe una prueba de ϕ o de ¬ϕ. En consecuencia, el algoritmo
tiene asegurado su fin. 2

Cap´ıtulo 4
La estructura estándar.
Aritmetización
La palabra aritmética proviene del griego αριθµoς (arithmós), que significa
número. Es la rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son los números
y las operaciones elementales realizadas con ellos. Al principio del cap´ıtulo, se
describe el lenguaje de primer orden que quedará fijo hasta el final del trabajo: el
lenguaje de la aritmética, como lenguaje básico para representar conocimiento
acerca de la aritmética.
Posteriormente se define el modelo más sencillo para las teor´ıas aritméticas:
la estructura estándar (N). Es importante notar que la propia naturaleza del
lenguaje permite jerarquizar la complejidad de las expresiones (fórmulas del
lenguaje) que definen conjuntos y propiedades aritméticas, as´ı como estudiar la
complejidad sintáctica de las expresiones que describen funciones computables.
En la segunda parte del cap´ıtulo se presenta con todo detalle la aritmetiza-
ción, idea llevada a cabo por Gödel, cuyo objetivo es asociar un número natural
a cualquier expresión del lenguaje la aritmética, reflejando as´ı las propias pro-
piedades de la aritmética dentro de s´ı misma.
4.1. El lenguaje de la aritmética
Definición 4.1.1 El lenguaje de la aritmética, LA, está compuesto de:
1. Un s´ımbolo de constante: 0.
33

34 Cap´ıtulo 4. La estructura estándar. Aritmetización
2. Dos s´ımbolos de función binaria: + y ·.
3. Un s´ımbolo de función 1-aria: S.
4. Un s´ımbolo de relación binaria: <.
Para simplificar la escritura de las fórmulas, se escribirá x ≤ y por x < y ∨x =
y.
Aprovechando el estudio iniciado por Gödel, Kleen [5] y Mostowski [6] es-
tudiaron las relaciones definidas en LA e introducieron una jerarqu´ıa de clases
aritméticas: Σn y Πn.
Definición 4.1.2 (La jerarqu´ıa aritmética)
1. Cuantificación acotada. Sean x una variable, t un término en el cual
no ocurre x y ϕ(x) una fórmula. Se denota por:
1.1. ∃x ≤ tϕ(x) a la fórmula ∃x(x ≤ t ∧ ϕ(x)).
1.2. ∀x ≤ tϕ(x) a la fórmula ∀x(x ≤ t → ϕ(x)).
2. Fórmulas acotadas. El conjunto de las fórmulas acotadas, ∆0, es el
menor conjunto de fórmulas de LA tal que contiene al conjunto de las
fórmulas abiertas y es cerrado bajo conectivas proposicionales (¬, ∨, ∧ y
→) y cuantificación acotada.
3. Fórmulas Σ1, Π1. Una fórmula ϕ(x1, . . . , xn) es Σ1 si es de la forma:
∃y1 . . . ∃ymψ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym),
donde ψ ∈ ∆0. Una fórmula es Π1 si es la negación de una fórmula Σ1.
Es decir, de la forma:
∀y1 . . . ∀ymψ(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym),
donde ψ ∈ ∆0.
4. En general, se define Σn, Πn (n ∈ ω):
4.1. Σ0 = Π0 = ∆0.
4.2. Σn+1 = {∃xϕ(x) : ϕ(x) ∈ Πn}.
4.3. Πn+1 = {∀xϕ(x) : ϕ(x) ∈ Σn}.

4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos 35
Definición 4.1.3 Sean T una teor´ıa y Γ un conjunto de fórmulas. Se definen
los siguientes conjuntos:
1. Γ(T) = {ϕ(x) : existe ψ(x) ∈ Γ tal que T ϕ(x) ↔ ψ(x)}.
2. ThΓ(T) = {ϕ ∈ Γ ∩ Sent : T ϕ}.
3. ∆n(T) = {ϕ(x) ∈ Σn : existe ψ(x) ∈ Πn tal que T ϕ(x) ↔ ψ(x)}.
4. Sea A un modelo, entonces:
4.1. Γ(A) = Γ(Th(A)).
4.2. ThΓ(A) = ThΓ(Th(A)).
4.3. ∆n(A) = ∆n(Th(A)).
Definición 4.1.4 (La estructura estándar) La estructura estándar, N, es
la LA–estructura cuyo universo es ω y los s´ımbolos se interpretan de manera
natural, es decir:
1. |N| = ω.
2. 0N = 0.
3. Si n, m ∈ ω, n +N m = n + m, n ·N m = n · m y S(n) = n + 1.
4. n <N m ⇐⇒ n < m.
4.2. Definibilidad de los conjuntos recursivos
Definición 4.2.1 (Definibilidad en N)
1. Una función f : ω → ω se dice definible en N si existe una fórmula
ϕ(x, y) ∈ Form(LA) tal que:
1.1. N |= ∀x∃yϕ(x, y).
1.2. N |= ∀x∀y∀y (ϕ(x, y) ∧ ϕ(x, y ) → y = y ).
1.3. Para cada n, m ∈ ω:
f(n) = m ⇐⇒ N |= ϕ(n, m).

2. A ⊆ ωn
se dice definible si existe ϕ(x) ∈ Form(LA) tal que
A = {a ∈ ωn
: N |= ϕ(a)} = ϕ(N).
Si una fórmula ϕ(x, y) satisface las condiciones 1.1. y 1.2. de 4.2.1, se dice que
ϕ es funcional en N, y se denota:
N |= ∀x∃!yϕ(x, y).
Definición 4.2.2 (Conjuntos Σ0
n, Π0
n) Mediante la clasificación de las fórmu-
las del lenguaje de la aritmética dada en 4.1.2, se puede establecer una jerarqu´ıa
de los subconjuntos de ωk
, k ≥ 1, definibles en N. La jerarqu´ıa aritmética es la
siguiente colección de subconjuntos de ωk
:
1. Σ0
n = {A ⊆ ωk
: existe ϕ(x) ∈ Σn tal que A = ϕ(N)}.
2. Π0
n = {A ⊆ ωk
: existe ϕ(x) ∈ Πn tal que A = ϕ(N)}.
3. ∆0
n = Σ0
n ∩ Π0
n.
Proposición 4.2.3 El conjunto Σ1(N) es cerrado bajo cuantificación acotada.
Demostración: Dada ϕ(x, z) ∈ Σ1 y t(z) un término, hay que probar que
existe ψ(x, z) ∈ Σ1 tal que
N |= ψ(x, z) ↔ ∀x ≤ t(z)ϕ(x, z).
Sea θ(x, y1, . . . , yn, z) ∈ ∆0 tal que ϕ(x, z) es la fórmula
∃y1, . . . , ∃yn θ(x, y1, . . . , yn, z).
Sea a ∈ ω. Para cada j ∈ N(t(a)) tal que N |= ∃y1, . . . , ∃ynθ(j, y1, . . . , yn, a)
sean:
• bj,1, . . . , bj,n ∈ ω tales que N |= θ(j, bj,1, . . . , bj,n, a),
• cj = máx(bj,1, . . . , bj,n) y
• d = máx{cj : j ≤ N(t(a))}.
Entonces
N |= ∀x ≤ t(a)∃y θ(x, y, a) ↔ ∀ ≤ t(a)∃y ≤ d θ(x, y, a).
Por tanto, la fórmula
∃u∀x ≤ t(z)∃y1 ≤ u, . . . , ∃yn ≤ u θ(x, y1, . . . , yn, z)
satisface la proposición. 2

Lema 4.2.4 Sea ϕ(x, y) ∈ Σ1 funcional en N. Entonces existe ψ(x, y) ∈ Π1
tal que:
N |= ϕ(x, y) ↔ ψ(x, y).
Es decir, ϕ(x, y) ∈ ∆1(N).
Demostración: Sea ψ(x, y) la fórmula
∀u[ϕ(x, u) → u = y].
Puesto que ϕ(x, y) es funcional se tiene que:
N |= ϕ(x, y) ↔ ψ(x, y) [[(→) unicidad; (←) existencia]],
lo que prueba el resultado. 2
Los siguientes resultados relacionan la aritmética con la computabilidad.
Más adelante harán posible una demostración del primer teorema de incomple-
titud y sus aspectos recursivos, utilizando únicamente Teor´ıa de la Recursión.
Lema 4.2.5 Sea ϕ(x) una fórmula. Entonces:
1. Si ϕ(x) ∈ ∆0, entonces ϕ(N) es primitivo recursivo.
2. Si ϕ(x) ∈ Σ1, entonces ϕ(N) es recursivamente enumerable.
Demostración: (1.): Por inducción sobre la longitud de ϕ(x).
Caso 1: ϕ(x) abierta. Entonces ϕ(N) es primitivo recursivo.
Caso 2: ϕ(x) ∈ ∆0. Puesto que la colección de los conjuntos primitivos recursi-
vos es cerrada bajo disyunción, conjunción, complementación y cuantificación
acotada, por hipótesis de inducción, se sigue que ϕ(N) es primitivo recursivo.
(2.): Sea θ ∈ ∆0 tal que ϕ(x) es ∃w θ(x, w). Claramente ϕ(x) ∈ Σ1. Enton-
ces, por (1.), θ(N) es primitivo recursivo. As´ı pues, ϕ(N) es la proyección de
un conjunto recursivo; en consecuencia, ϕ(N) es recursivamente enumerable. 2
Teorema 4.2.6 Sea f : ωn
→ ω. Son equivalentes:
1. f es recursiva.

2. f es definible en N por una fórmula Σ1 funcional.
Demostración: ((1.) =⇒ (2.)): Inducción sobre funciones recursivas.
Caso 1: Funciones básicas. Se expresa cada función básica junto con el fun-
cional correspondiente:
O : x = x ∧ y = 0
S : y = S(x)
Πn
i : x1 = x1 ∧ · · · ∧ xn = xn ∧ xi = y
C≤ : ((x1 < x2 ∨ x1 = x2) ∧ y = S(0)) ∨ (x2 < x1 ∧ y = 0)
Suma : x1 + x2 = y
Producto : x1 · x2 = y
Caso 2: Composición. Sea f(a) = g(h1(a), . . . , hm(a)). Sean ϕ(z, y), ϕi(x, y),
fórmulas Σ1 y funcionales en N que definen, respectivamente, a g, hi, i =
1, . . . , m. La fórmula ψ(x, y) dada por:
∃y1 . . . ∃ym[ϕ1(x, y1) ∧ · · · ∧ ϕm(x, ym) ∧ ϕ(y1, . . . , ym, y)]
es funcional, Σ1 y define a f en N.
Caso 3: µ–recursión. Se supone que f se obtiene de g por µ–recursión:
f(a) = (µb)[g(a, b) = 0].
Sea ϕ(x, z, w) una fórmula Σ1 funcional en N que define a g. Sea ψ(x, y) la
fórmula
∀z < y ¬ϕ(x, z, 0) ∧ ϕ(x, y, 0).
Esta fórmula es Σ1 en N, pues:
∀z < y ¬ ϕ(x, z, 0)
Σ1
4.2.4⇒Σ1(N)
Σ1(N)
∧ ϕ(x, y, 0)
Σ1(N)
.
Además, en N es funcional y define a f.
((2.) =⇒ (1.)): Sea ϕ(x, y) ∈ Σ1 funcional que define a f en N. Entonces:
Gr(f) = {(a, b) ∈ ωn+1
: N |= ϕ(a, b)}.
Por 4.2.5.2, el conjunto Gr(f) es recursivamente enumerable. Por tanto, por el
teorema del grafo, f es recursiva. 2

Teorema 4.2.7 Sea A ⊆ ωn
. Son equivalentes:
1. A es recursivamente enumerable.
2. Existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que A = ϕ(N).
Demostración: ((1.) =⇒ (2.)): Supongamos que A es recursivamente enume-
rable. Entonces existe B recursivo tal que para todo a ∈ ωn
:
a ∈ A ⇐⇒ ∃b((a, b) ∈ B).
Por 4.2.6, existe ψ(x, z, y) ∈ Σ1 funcional que define a CB, la función carac-
ter´ıstica de B. Se tiene entonces:
a ∈ A ⇐⇒ N |= ∃z ψ(a, z, S(0)).
En conclusión, basta tomar ϕ(x) como la fórmula ∃z ψ(x, z, S(0)).
((2.) =⇒ (1.)): Ya se ha probado en 4.2.5.2. 2
Nótese la importancia de este último teorema: se acaba de probar que to-
do conjunto recursivamente enumerable es definible por una fórmula Σ1 y toda
fórmula de ese tipo describe un conjunto r.e. Computacionalmente es importan-
te, pues los dominios de funciones recursivas han quedado caracterizados por
fórmulas Σ1.
Teorema 4.2.8 Sea A ⊆ ωn
. Son equivalentes:
1. A es recursivo.
2. Existe ϕ(x) ∈ ∆1(N) tal que A = ϕ(N).
Demostración: ((1.) =⇒ (2.)): Se supone que A es recursivo. Entonces, por
el teorema del complemento, tanto A como Ac
son recursivamente enumerables.
Por tanto, existen ϕ(x), ψ(x) ∈ Σ1 tales que para todo a ∈ ωn
a ∈ A ⇐⇒ N |= ϕ(a)
a ∈ Ac
⇐⇒ N |= ψ(a)
En consecuencia: A = ψ(N). Además se obtiene algo más fuerte:
N |= ϕ(x) ↔ ¬ψ(x);
es decir, ψ(x) ∈ ∆1(N).
((2.) =⇒ (1.)): Por 4.2.7, A y Ac
son recursivamente enumerables. Por el teo-
rema del complemento, A es recursivo. 2

4.3. Aritmetización
El proceso de aritmetización consiste en la codificación (con un número
natural) de las propias fórmulas expresadas en el lenguaje de la aritmética.
La idea es muy similar a la utilizada en Ciencias de la Computación para la
codificación de programas y su posterior uso como datos para otros programas.
En este caso la idea y el objetivo es similar. No se detalla aqu´ı el proceso de
aritmetización, ni se elige uno concreto. Se remite al lector interesado a [3] si
desea consultar los detalles de una codificación de este tipo.
En esta sección se incluye, con carácter ilustrativo, cómo este proceso es
posible. Por último, nótese la comodidad de tener las fórmulas expresadas en
notación prefija.
Definición 4.3.1 (Número de Gödel) Se toma para toda la aritmetización
la notación prefija; la sintáxis original de la lógica de primer orden. Sea
s1, . . . , sn
el número natural que codifica la sucesión de números naturales s1, . . . , sn. En-
tonces:
1. A cada s´ımbolo, s, del lenguaje de la aritmética se le asocia un número,
s , denominado número de Gödel asociado a s:
0 −→ 0 = −→ 9
S −→ 1 ¬ −→ 11
+ −→ 3 ∨ −→ 13
· −→ 5 ∃ −→ 15
< −→ 7 vi −→ 2 · i
donde el conjunto {vi | i > 0} es el conjunto de las variables.
2. Una fórmula ϕ (o un término t) es una sucesión de s´ımbolos ϕ ≡ u1 . . . un
(t ≡ w1 . . . wm). El número de Gödel de ϕ y t viene dado por:
ϕ = u1 , . . . , un
t = w1 , . . . , wm
3. El número de Gödel de una sucesión de fórmulas ϕ1, . . . , ϕm es
ϕ1, . . . , ϕm = ϕ1 , . . . , ϕm

4.3. Aritmetización 41
Una vez vista la codificación de términos y fórmulas, los predicados Term(x)
y Form(x) permiten definir los conjuntos de números de Gödel de los términos
o las fórmulas: Term y Form. Se recuerda que lg(x) denota la longitud de la
sucesión codificada por x.
Definición 4.3.2 (Términos y fórmulas)
1. Términos.
1.1. Para determinar si a es el número de Gödel de una variable:
V b(a) ⇐⇒ lg(a) = 1 ∧ (∃y)<a(y = 0 ∧ (a)1 = 2 · y)
1.2. Para determinar si a es el número de Gödel de un término:
Term(a) ⇐⇒



V b(a) ∨ a = 0 ∨
(∃b)<a(∃c)<a



Term(b) ∧ Term(c)∧


a = S , b ∨
a = + , b, c ∨
a = · , b, c
2. Fórmulas.
2.1. Para determinar si a es el número de Gödel de una fórmula atómica:
At(a) ⇐⇒ (∃b)<a(∃c)<a
Term(b) ∧ Term(c)∧
(a = = , b, c ∨ a = < , b, c )
2.2. Para determinar si a es el número de Gödel de una fórmula:
Form(a) ⇐⇒



At(a) ∨
(∃b)<a(∃c)<a



Form(b) ∧ Form(c)∧


a = ∨ , b, c ∨
a = ¬ , b ∨
(∃d)<a(V b(d)∧
a = ∃ , d, b )
El siguiente paso es el reconocimiento de las operaciones sintácticas:
Definición 4.3.3 (Operaciones sintácticas)
1. FV (a, b) expresa la condición de que una variable que tiene por número
de Gödel b, ocurre y es libre en la fórmula o término que tiene por número
de Gödel a:

FV (a, b) ⇐⇒



V b(b) ∧
V b(a) ∧ a = b ∨
Term(a) ∧ (∃i)<lg(a)
(FV ((a)i, b))
∨



Form(a) ∧


(a)1 = ∨ ∧ (FV ((a)2, b) ∨ FV ((a)3, b))∨
(a)1 = ¬ ∧ FV ((a)2, b)∨
(a)1 = ∃ ∧ b = (a)2 ∧ FV ((a)3, b)
2. SF(a, b) comprueba si la fórmula codificada por b es una subfórmula de la
codificada por a:
SF(a, b) ⇐⇒



Form(a) ∧ Form(b) ∧


a = b ∨
(∃c)<a(∃d)<a



Form(c) ∧ Form(d) ∧


a = ¬ , c ∧ SF(c, b) ∨
a = ∨ , c, d ∧
SF(c, b) ∨
SF(d, b)
∨
(∃e)<a
V b(e) ∧
a = ∃ , e, c ∧ SF(c, b)
3. Sust(a, b, c) verifica si la variable que codifica c es sustituible por el término
que codifica b en la fórmula codificada por a:
Sust(a, b, c) ⇐⇒



Form(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧
¬(∃d)<a
SF(a, d) ∧ FV (d, c)∧
(∃e)<b(FV (b, e) ∧ SF(a, ∃ , e, d ))
4. sub (a, b, c) da como resultado el número de Gödel del término resultante
de sustituir, en el término codificado por a, la variable codificada por c por
el término cuyo número de Gödel es b:
sub (a, b, c) = d ⇐⇒



Term(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧
V b(a) ∧
a = c → d = b ∨
a = c → d = a
∨



(a)1 = S ∧ d = S , sub ((a)2, b, c) ∨
(a)1 = + ∧
d = + , sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c)
∨
(a)1 = · ∧
d = · , sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c)

5. sub(a, b, c) da como resultado el número de Gödel resultante de sustituir,
en la fórmula codificada por a (si es posible, en caso contrario devuelve la
misma fórmula) la variable que codifica c por el término codificado por b:
sub(a, b, c) = d ⇐⇒



Form(a) ∧ Term(b) ∧ V b(c) ∧


At(a) ∧ d = (a)1, sub ((a)2, b, c), sub ((a)3, b, c) ∨
(a)1 = ¬ ∧ d = (a)1, sub((a)2, b, c) ∨
(a)1 = ∨ ∧
d = (a)1, sub((a)2, b, c), sub((a)3, b, c)
∨



(a)1 = ∃ ∧



(a)2 = c ∧
d = (a)1, (a)2, sub((a)3, b, c)
∨
(a)2 = c ∧ d = a
Definición 4.3.4 Los predicados Sent(x) y N(x) permiten reconocer si una
fórmula es cerrada o si es la negación de otra, respectivamente:
1. Sent(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ (∀b)<a(V b(b) → ¬FV (a, b)).
2. N(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ b = ¬ , a .
Definición 4.3.5 (Axiomas lógicos) Los siguientes predicados recursivos ana-
lizan la estructura de la fórmula:
1. PAx(a) ⇐⇒ Form(a) ∧ Taut(a), donde Taut(a) es un predicado que
determina si a codifica una tautolog´ıa. Se ha visto anteriormente que el
conjunto de las tautolog´ıas es recursivo.
2. SAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de sustitución.
3. IAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de identidad.
4. IgAx(a) ⇐⇒ a codifica un axioma de igualdad.
Definición 4.3.6 (Reglas)
1. MP(a, b, c) expresa que la fórmula codificada por c es el resultado de apli-
car MP a las fórmulas cuyo número de Gödel son a y c, siendo b la
codificación de la implicación:
MP(a, b, c) ⇐⇒
Form(a) ∧ Form(b) ∧ Form(c) ∧
b = → , a, c

2. R∃(a, b) expresa que la fórmula codificada por b proviene de haber intro-
ducido el cuantificador existencial en la fórmula cuyo número de Gödel es
a:
R∃(a, b) ⇐⇒
Form(a) ∧ Form(b) ∧ (a)1 = (b)1 = → ∧
¬FV ((b)3, (a)2,2) ∧ (a)2,3 = (b)2 ∧ (a)3 = (b)3
Teorema 4.3.7 Todas las funciones definidas anteriormente son primitivas re-
cursivas.
Demostración: Basta observar la definición que se facilita de cada una, donde
sólo se utilizan operadores y funciones permitidas en la clase de las primitivas
recursivas. 2
Nota 4.3.8 Nótese que las construcciones aqu´ı referidas pueden hacerse para
teor´ıas de la aritmética que tengan un conjunto de axiomas recursivo:
1. Sea T una teor´ıa. Se define NAxT (x) tal que:
ϕ axioma no lógico de T ⇐⇒ NAxT ( ϕ )
2. AxT (a) reconoce si a codifica un axioma de la teor´ıa T:
AxT (a) ⇐⇒ PAx(a) ∨ SAx(a) ∨ IAx(a) ∨ IgAx(a) ∨ NAxT (a)
Definición 4.3.9 (Prueba) Sea T una teor´ıa. El siguiente predicado reconoce
si una sucesión de fórmulas, cuyo número de Gödel es a, es una prueba en T
de la fórmula codificada por b:
PfT (a, b) ⇐⇒



Form(b) ∧ (a)lg(a) = b ∧
(∀i)≤lg(a)



Form((a)i) ∧


AxT ((a)i) ∨
(∃j)<i(∃k)<i
MP((a)i, (a)j, (a)k) ∨
R∃((a)i, (a)j)
Se denota PfT ⊆ ω2
al conjunto cuya función caracter´ıstica es PfT (a, b).
Definición 4.3.10 (Teorema) El predicado BT (b) reconoce si la fórmula co-
dificada por b es teorema en la teor´ıa T:
BT (b) ⇐⇒ ∃aPfT (a, b)

Si NAxT (·) es primitivo recursivo, entonces PfT (·, ·) es primitivo recursivo.
En el caso de que NAxT (·) es recursivo, entonces PfT (·, ·) es recursivo y BT (·)
es recursivamente enumerable. Más adelante se verá cómo este último hecho
condiciona al conjunto de teoremas de una teor´ıa.
La aritmetización permite también caracterizar a las teor´ıas desde el punto
de vista computacional:
Definición 4.3.11 Sean T una teor´ıa y Γ un conjunto de fórmulas. Se denota
por AxT al conjunto de los códigos de los axiomas de T y por BT al conjunto
de los códigos de los teoremas de T. Entonces:
1. T está recursivamente axiomatizada si AxT es recursivo.
2. T es decidible si BT es recursivo.
3. T es una Γ–teor´ıa si AxT es definible por una fórmula de Γ. Es decir, si
existe ϕ(x) ∈ Γ tal que para toda fórmula θ,
θ ∈ AxT ⇐⇒ N |= ϕ( θ ).
Proposición 4.3.12 (El truco de Craig) Sea T una Σ1–teor´ıa. Existe una
teor´ıa recursivamente axiomatizable, T , tal que T y T son equivalentes. En
particular, si T es completa, T es decidible.
Demostración: Si T es Σ1, entonces AxT = { ϕ1 , . . . } es recursivamente
enumerable, y por tanto es el rango de una función computable f : ω → ω.
Considerada la teor´ıa
T =
i<j
ϕi : j ∈ ω ,
es fácil comprobar que T ≡ T y que AxT es el rango de la función computable
y estrictamente creciente g, definida como:
• g(0) = f(0) y
• g(j + 1) = i<j ϕi = ∧ , g(j), f(j + 1) .
Luego AxT es recursivo.
En el momento que T es completa, por equivalencia T también lo es. Como
T es recursivamente axiomatizable, aplicando el teorema 3.4.6 se tiene que es
decidible. 2

Teorema 4.3.13 Sea T una Σ1–teor´ıa. Entonces:
1. Para cada fórmula ϕ(x1, . . . , xn), el conjunto
A = {(a1, . . . , an) ∈ ωn
: T ϕ(a1, . . . , an)}
es recursivamente enumerable.
2. El conjunto BT = { ϕ : T ϕ} es recursivamente enumerable.
Demostración: (1.): La función caracter´ıstica de A es:
BT ( ϕ(¯a1, . . . , ¯an) ),
donde ¯n = S(S(...(n)(0))). Luego A es recursivamente enumerable.
(2.): Por el truco de Craig, BT = BT para una teor´ıa T recursivamente
axiomatizable. Por tanto BT es recursivamente enumerable por el teorema de
la proyección. 2

Cap´ıtulo 5
Teor´ıas de la aritmética
Una vez definida la estructura estándar, se definen dos teor´ıas de las cuales
N es un modelo. Son la teor´ıa P −
y la aritmética de Peano: P A.
La teor´ıa P −
es débil, pero importante porque recoge las propiedades alge-
braicas básicas y sirve de base para obtener, por extensión, teor´ıas más potentes.
En particular, permite definir la axiomática de la aritmética de Peano añadien-
do, para cada fórmula ϕ, el principio de inducción. Como resultado, la aritmética
de Peano tendrá infinitos axiomas, debido a que el principio de inducción es en
realidad un esquema de axioma que da a lugar a un axioma (un caso particular)
para cada fórmula ϕ. Cuanto más compleja sea ϕ, más complejo será el axioma
correspondiente.
Una l´ınea de investigación importante, consiste en determinar el grado de
complejidad sintáctica de las fórmulas utilizadas en los axiomas de inducción
necesarios para demostrar cada resultado. De ese modo, se pueden definir sub-
teor´ıas de la aritmética de Peano que admitan el principio de inducción para
una clase de fórmulas de una complejidad determinada; pero no es el motivo de
este trabajo de fin de grado.
El caso más simple es no admitir ninguna forma del principio de inducción,
motivando as´ı la definición de la teor´ıa P −
.
Definición 5.1.1 (La teor´ıa P −
) La LA–teor´ıa P −
tiene como axiomas:
47

48 Cap´ıtulo 5. Teor´ıas de la aritmética
(1) 0 ≤ x (11) x + y = y + x
(2) x x (12) x · 0 = 0
(3) x < y ∧ y < z → x < z (13) x · S(y) = x · y + x
(4) x < y ∨ y < x ∨ x = y (14) x · (y · z) = (x · y) · z
(5) S(x) = S(y) → x = y (15) x · y = y · x
(6) 0 = S(x) (16) x · (y + z) + y = x · y + x · z
(7) x < S(y) ↔ x ≤ y (17) x < y → x + z < y + z
(8) x + 0 = x (18) x < y ∧ 0 < z → x · z < y · z
(9) x + S(y) = S(x + y) (19) x ≤ y ↔ ∃z(x + z = y)
(10) x + (y + z) = (x + y) + z
Nota 5.1.2 De forma trivial, se tienen:
1. N |= P −
, luego P −
es consistente.
2. P −
está recursivamente axiomatizada.
En el lenguaje de la aritmética se denota cualquier número natural con un
término, de la siguiente manera:
Definición 5.1.3 (Numerales) Dado n ∈ ω, el numeral de n es un término
cerrado n, definido recursivamente por:
n =
0, si n = 0;
S(m), si n = m + 1.
Lema 5.1.4 Para todo n ∈ ω, N(n) = n.
Demostración: Por inducción sobre n ∈ ω.
(n = 0): N 0 = N(0) = 0.
(n =⇒ n + 1): N n + 1 = N(S(n)) = SN (N(n)). Por hipótesis de induc-
ción, N (n) = n. Por tanto, N n + 1 = SN (n) = n + 1. 2
Lema 5.1.5 Para todo A |= P −
, en particular, para N, para todo n, m ∈ ω:
1. n = m ⇐⇒ A |= n = m.
2. n < m ⇐⇒ A |= n < m.

49
3. A |= n + m = n + m.
4. A |= n · m = n · m.
5. A |= x ≤ n ↔ x = 0 ∨ x = 1 ∨ · · · ∨ x = n.
Demostración: Se demuestran algunas de estas propiedades:
(1.): (⇐=): Trivial.
(=⇒): Por inducción sobre n ∈ ω se prueba que
n = m =⇒ A |= n = m
(n = 0): Al tenerse que m = 0, existe k ∈ ω tal que m = k + 1. Por el axioma
(6), A |= 0 = S k . Puesto que A |= m = S k , entonces A |= 0 = S(m).
(n =⇒ n + 1) : Se suponen: n + 1 = m y m = 0. Por tanto, existe k ∈ ω tal
que m = k + 1. Como n + 1 = m = k + 1, se tiene que n = k. Por hipótesis de
inducción, A |= n = k y por el axioma (5), A |= n + 1 = k + 1. En consecuencia,
A |= n + 1 = m.
(3.): Por inducción sobre m ∈ ω se prueba que
A |= n + m = n + m
(m = 0): Consecuencia directa del axioma (8).
(m =⇒ m + 1) : En A se verifica que:
n + m + 1 = n + S(m)
= S(n + m) [[Axioma (9)]]
= S(n + m) [[Hip.ind.]]
= (n + m) + 1
= n + (m + 1).
2
Si no induce a confusión, se identificará cada número con su numeral. As´ı pues,
dado A |= P −
, se identifica a la estructura estándar N con una subestructura
de A, mediante la siguiente inmersión:
F : N → A
n → A(n)

Definición 5.1.6 Sea A |= P −
. Entonces:
1. A es no estándar si A N.
2. Si A es no estándar, a los elementos de AN se les denomina elementos
no estándar.
Definición 5.1.7 Sean L un l.p.o. tal que <∈ LP y A, B dos L–estructuras.
Entonces, B es una extensión final de A (o A es un segmento inicial de
B), A ⊂e B, si:
1. A ⊂ B.
2. |A|, < es un segmento inicial de |B|, < .
Lema 5.1.8 Sea A |= P −
. Entonces, N ⊂e A.
Demostración: Se tiene directamente por 5.1.5: la aplicación
F : N → A,
definida por F(n) = A(¯n), es un homomorfismo inyectivo que permite identificar
N con su imagen, demostrándose por inducción que es un segmento inicial de
A. 2
Definición 5.1.9 Sean A y B dos estructuras. Se dice que A es una subestruc-
tura 0–elemental de B, A 0 B, si:
1. |A| ⊆ |B|.
2. ∀ϕ(x1, . . . , xk) ∈ ∆0 y para cualquier a1, . . . , ak ∈ A:
A |= ϕ(a1, . . . , ak) ⇐⇒ B |= ϕ(a1, . . . , ak).
Proposición 5.1.10 Sea A |= P −
. Entonces N 0 A.
Demostración: Se demuestra por inducción sobre la longitud de fórmulas
acotadas. Debido a que N ⊂ A, basta probar el resultado para fórmulas que
contengan cuantificadores acotados.
Caso 1: ∃x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). Sean n1, . . . , nk ∈ N y m ∈ N tales
que
m = N(t(n1, . . . , nk)).

51
Puesto que N ⊂ A, A(t(n1, . . . , nk)) = m. Hay que demostrar que:
N |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk) ⇐⇒ A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk)
(=⇒): Por hipótesis: N |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk). Luego existe p ∈ N,
N |= p ≤ m ∧ ϕ(p, n1, . . . , nk).
Por hipótesis de inducción: A |= p ≤ m ϕ(p, n1, . . . , nk), por tanto:
A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk).
(⇐=): Por hipótesis: A |= ∃x ≤ m ϕ(x, n1, . . . , nk). Sea a ∈ A verificando
A |= a ≤ m ϕ(a, n1, . . . , nk).
Al ser m estándar y A |= a ≤ m, por 5.1.5.5, a es estándar; luego a ∈ N.
Aplicando la hipótesis de inducción, N |= a ≤ mϕ(a, n1, . . . , nk), por tanto:
A |= ∃x ≤ mϕ(x, n1, . . . , nk).
Caso 2: ∀x ≤ t(y1, . . . , yk)ϕ(x, y1, . . . , yk). Completamente análogo a lo realiza-
do en el caso anterior. 2
Proposición 5.1.11 (∆0–completitud de P −
) Sea T una extensión consis-
tente de P −
. Sean ϕ(x) ∈ ∆0, a ∈ ωn
. Entonces:
1. T ϕ(a) ⇐⇒ N |= ϕ(a).
2. T ϕ(a) ∨ T ¬ϕ(a).
Demostración: (1.):(=⇒): Sea A |= T. Entonces A |= P −
y A |= ϕ(a). Por
5.1.10, A |= ϕ(a).
(⇐=): Sea A |= T. Entonces A |= P −
. Como N |= ϕ(a), por 5.1.10, A |= ϕ(a).
Aplicando el teorema de completitud: T ϕ(a).
(2.): N |= ϕ(a) ∨ N |= ¬ϕ(a) y la clase de fórmulas ∆0 es cerrada bajo
negación, el resultado se sigue de (1.). 2
Teorema 5.1.12 (Σ1–completitud de P −
) Sea ϕ ∈ Σ1 cerrada, entonces:
N |= ϕ ⇐⇒ P −
ϕ.

Demostración: (⇐=): Trivial, N |= P −
.
(=⇒): Sea ψ(x) ∈ ∆0 tal que ϕ es ∃xψ(x). Se supone que N |= ∃xψ(x). Sea
n ∈ N tal que N |= ψ(n). Entonces, por 5.1.11, P −
ψ(n). En consecuencia,
P −
∃xψ(x). Es decir, P −
ϕ. 2
Definición 5.1.13 Sea T una teor´ıa.
1. T es Σ1–válida si para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada:
T ϕ =⇒ N |= ϕ.
2. Sea ThΠ1 (N) = {ϕ ∈ Π1 : ϕ cerrada y N |= ϕ}. Se dice que T es 1–
consistente si T + ThΠ1 (N) es consistente.
3. Sea Γ un conjunto de fórmulas. Se dice que T es Γ–ω–consistente si para
toda fórmula ϕ(x) ∈ Γ se tiene que:
∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n) =⇒ T ∃xϕ(x).
Proposición 5.1.14 Sea T una extensión de P −
. Son equivalentes:
1. T es 1–consistente.
2. T es ∆0–ω–consistente.
3. T es Σ1–ω–consistente.
4. T es Σ1–válida.
Demostración: ((1.) =⇒ (2.)): Sea ϕ ∈ ∆0; ∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n).
Aserto: P −
¬ϕ(n).
Prueba del aserto: Suponiendo lo contrario,
si P −
¬ϕ(n) =⇒ P −
ϕ(n)
=⇒ T ¬ϕ(n).
En consecuencia:
∀n ∈ ω, N |= ¬ϕ(n) =⇒ N |= ∀x ¬ϕ(x) =⇒ ∀x ¬ϕ(x) ∈ ThΠ1 (N).

53
Al ser T 1–consistente por hipótesis, T + ThΠ1 (N) es consistente, implicando
que:
T ¬∀x ¬ϕ(x) ⇐⇒ T ∃x ϕ(x).
((2.) =⇒ (3.)): Sea ψ(x, n) ∈ ∆0 tal que ϕ(n) ≡ ∃x ψ(x, n) ∈ Σ1. Entonces:
∀n ∈ ω, T ¬ϕ(n) =⇒ T ¬∃x ψ(x, n)
=⇒ T ∀x ¬ψ(x, n).
Sea y = (y1, . . . , ym, ym+1) = (x1, . . . , xm, n). Luego:
∀y, T ¬ψ(y1, . . . , ym, ym+1) =⇒ T ∃y ψ(y) [[∆0–ω–consistencia]]
=⇒ T ∃n ∃x ψ(x, n)
=⇒ T ∃n ϕ(n).
En consecuencia, se ha demostrado expl´ıcitamente la Σ1–ω–consistencia.
((3.) =⇒ (4.)): Por hipótesis, T es Σ1–ω–consistente. Hay que demostrar la
Σ1–validez de T. Para ello, se supone lo contrario; es decir, para toda ϕ ∈ Σ1:
T ϕ =⇒ N |= ϕ.
Luego para todo n ∈ ω, N |= ¬ϕ(n), implicando por Σ1–ω–consistencia que
T ϕ. Como la contradicción surge al suponer la no Σ1–validez de T, se tiene
probada la implicación.
((4.) =⇒ (1.)): Se supone que T + ThΠ1 (N) no es consistente. Entonces:
∃ϕ1, . . . , ∃ϕk ∈ ThΠ1 (N) tal que T + {ϕ1, . . . , ϕk} es inconsistente.
En consecuencia:
T ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk) =⇒ N |= ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk),
lo cual es una contradicción con la Σ1–validez de T.
2
Corolario 5.1.15
1. Si T es 1–consistente, entonces T es consistente.
2. Si T es Σ1–válida, entonces T es consistente.
3. Si N |= T, entonces T es Σ1–válida.

4. (Σ1–completitud). Sea T una teor´ıa Σ1–válida extensión de P −
. En-
tonces, para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada:
T ϕ ⇐⇒ N |= ϕ.
Hasta el momento se ha demostrado la ∆0–completitud y la Σ1–completitud
de P −
. Cabe preguntarse qué ocurre con la ∆1–completitud de P −
. Es decir,
falta comprobar la Π1–completitud. A continuación se verá que P −
es incapaz
de demostrar fórmulas Π1 cerradas que son válidas en la estructura estándar.
Un ejemplo es la fórmula ϕ: “todo número es par o impar”.
Sea Z[α] el anillo de los polinomios en la indeterminada α con coeficientes
enteros. Utilizando la siguiente relación, este anillo puede ser ordenado: Dados
p(α), q(α) ∈ Z[α],
p(α) < q(α) ⇐⇒ el coeficiente l´ıder de q(α) − p(α) es > 0.
La suma y el producto se interpretan como la suma y el producto de polinomios,
0 se interpreta como el polinomio nulo y S(p(α)) es p(α) + 1. Sea Z[α]+
la
subestructura de Z[α] con universo
{p(α) ∈ Z[α] : 0 ≤ p(α)} .
Lema 5.1.16
1. Z+
[α] |= P −
.
2. Z+
[α] |= ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
Demostración: Por construcción de Z+
[α], trivialmente se tiene que
Z+
[α] |= P −
.
Para el segundo apartado, se toma la fórmula:
∃y ≤ α(α = 2 · y ∨ α = 2 · y + 1).
Directamente:
Z+
[α] |= ∃y ≤ α(α = 2 · y ∨ α = 2 · y + 1),
luego
Z+
[α] |= ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
2

5.2. Representabilidad 55
Proposición 5.1.17 (Incompletitud de P −
)
1. P −
∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
2. P −
no es completa.
3. Existe ϕ ∈ Π1 cerrada tal que N |= ϕ ∧ P −
ϕ.
Demostración: Aplicando el rec´ıproco del teorema de la validez a 5.1.16 se
obtiene:
P −
∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
Como
N ∀x∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1),
se concluye que P −
no es completa. Es equivalente decir que existe ϕ ∈ Π1
cerrada tal que N |= ϕ ∧ P −
ϕ. 2
Corolario 5.1.18
1. ∀n ∈ ω, P −
∃y ≤ n(n = 2 · y ∨ n = 2 · y + 1).
2. En Z+
[α] es definible ω.
Demostración: El primer apartado se tiene por Σ1 completitud. En cuanto
al segundo, una definición de ω en Z+
[α] es, por ejemplo:
ϕ(u) = ∀x ≤ u∃y ≤ x(x = 2 · y ∨ x = 2 · y + 1).
2
5.2. Representabilidad
Definición 5.2.1 Sean T una teor´ıa, A ⊆ ωk
y ϕ(x) tal que A = ϕ(N). Se
dice que:
1. ϕ(x) representa débilmente a A en T si ∀a ∈ ωk
,
a ∈ A ⇐⇒ T ϕ(a).
En tal caso, se dice que A es débilmente representable en T.

2. ϕ(x) representa a A en T si ∀a ∈ ωk
,
a ∈ A =⇒ T ϕ(a)
a /∈ A =⇒ T ¬ϕ(a)
En tal caso, se dice que A es representable en T.
Directamente de la definición anterior, se tiene que ser representable implica
ser débilmente representable en teor´ıas consistentes. Además, si ϕ(x) representa
a A en P −
, trivialmente ϕ(x) sigue representando a A en cualquier extensión
de P −
.
Ahora bien, si la extensión es Σ1–válida y ϕ(x) ∈ Σ1, entonces: si ϕ(x)
representa débilmente a un conjunto en P −
, también lo representa débilmente
en la extensión.
Teorema 5.2.2 Sean T una Σ1–teor´ıa Σ1–válida extensión de P −
y A ⊆ ωn
.
Son equivalentes:
1. A es recursivamente enumerable.
2. Existe ϕ(x) ∈ Σ1 que representa débilmente al conjunto A en T.
Demostración: ((1.) =⇒ (2.)): Debido a 4.2.7, existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que
A = ϕ(N). Luego, ∀a ∈ ωn
:
a ∈ A ⇐⇒ N |= ϕ(a)
⇐⇒ T ϕ(a) [[T es Σ1–válida y 5.1.15]]
Por tanto, ϕ(x) representa débilmente a A en T.
((2.) =⇒ (1.)): Se sigue del comentario posterior a la definición 5.2.1. Sea ϕ(x)
una fórmula que representa débilmente a A en T. Entonces:
A = {a ∈ ωn
: T ϕ(a)}
es recursivamente enumerable, resultado probado en 4.3.13. 2
Teorema 5.2.3 Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensión de P −
. Sea un con-
junto A ⊆ ωn
. Son equivalentes:
1. A es recursivo.

De los asertos se concluye que la fórmula ϕθ,ψ(x) representa a A en T, pro-
bando as´ı (2.).
((2.) =⇒ (1.)): Sea ϕ(x) ∈ Σ1 verificando:
a ∈ A =⇒ T ϕ(a)
a /∈ A =⇒ T ¬ϕ(a)
Hay que demostrar que A es recursivo. Por hipótesis, T es consistente, luego:
A = {a ∈ ωn
: T ϕ(a)}
Ac
= {a ∈ ωn
: T ¬ϕ(a)}
Debido a que T es una Σ1–teor´ıa, para toda ψ(x), el conjunto:
{a ∈ ωn
: T ψ(a)}
es recursivamente enumerable. As´ı pues, tanto A como Ac
son recursivamente
enumerables; teniéndose as´ı la recursividad de A.
((3.) =⇒ (1.)): Salvo que ahora ϕ(x) ∈ Π1, la prueba resulta análoga a la
de la implicación anterior.
((1.) =⇒ (3.)): Suponiendo que A es recursivo, Ac
también lo es. En consecuen-
cia, existe ϕ1(x) ∈ Σ1 que representa a Ac
; implicando que ¬ϕ(x) representa a
A. Por construcción, ¬ϕ(x) ∈ Π1, finalizando as´ı la prueba del resultado. 2
El concepto visto hasta el momento de representabilidad de un conjunto es
fácilmente extensible a funciones, mediante el grafo de las mismas. Determi-
nar funciones representables en una teor´ıa T, ampl´ıa de forma práctica lo ya
probado.
Definición 5.2.4 Sean T una teor´ıa, f : ωn
→ ω y ϕ(x, y) una fórmula que
define a f en N. Se dice que:
1. ϕ(x, y) representa a f en T si para todo a1, . . . , an, b ∈ ω:
f(a1, . . . , an) = b =⇒ T ϕ(a1, . . . , an, b)
f(a1, . . . , an) = b =⇒ T ¬ϕ(a1, . . . , an, b)
Es decir, ϕ(x, y) representa a Gr(f) en T. En este caso, se dice que f es
representable en la teor´ıa T.
2. ϕ(x, y) representa fuertemente a f en T si:

2.1. ϕ(x, y) representa a f en T.
2.2. Para cualesquiera a1, . . . , an ∈ ω:
T ϕ(a1, . . . , an, y) ∧ ϕ(a1, . . . , an, y ) → y = y .
En este caso, se dice que f es fuertemente representable en T.
Lema 5.2.5 Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensión de P −
. Sea una fun-
ción f : ωn
→ ω. Son equivalentes:
1. f es recursiva.
2. Existe ϕ(x, y) ∈ Σ1 que representa a f en T.
3. Existe ϕ(x, y) ∈ Π1 que representa a f en T.
Demostración: Al darse la equivalencia
f recursiva ⇐⇒ Gr(f) = {(a, b) : f(a) = b} es recursivo,
el lema resulta de 5.2.3. 2
Teorema 5.2.6 Sean T una Σ1–teor´ıa consistente extensión de P −
y un una
función f : ωn
→ ω. Entonces, si f es recursiva, existe ϕ(x, y) ∈ Σ1 que
representa fuertemente a f en T.
Demostración: Debido a 5.2.5, existen θ(x, y, z),ψ(x, v, w) ∈ ∆0 tales que
∃z θ(x, y, z) y ∀w ψ(x, v, w) representan a f en T. Se define:
ϕf
θ,ψ(x, y) ≡ ∃z θ(x, y, z) ∧ ∃u ∀v < y ∃w ≤ u ¬ψ(x, v, w)
Es claro que ϕf
θ,ψ(x, y) ∈ Σ1. Hay que demostrar que ϕf
θ,ψ(x, y) representa fuer-
temente a f en T, teniendo presente la definición 5.2.4.
Aserto: Sean a ∈ ωn
, b ∈ ω. Entonces:
f(a) = b ⇐⇒ N |= ϕf
θ,ψ(a, b)
Prueba del aserto: (=⇒): Por hipótesis: f(a) = b. Entonces:
i. N |= ∃z θ(a, b, z) [[∃zθ(x, y, z) define a f en N]].
ii. N |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w).

(ii.): Sea c < b. Entonces f(a) = c; por tanto, N |= ¬∀w ψ(a, c, w). Es
equivalente a N |= ∃w ¬ψ(a, c, w). En consecuencia, ∃dc ∈ ω tal que
N |= ¬ψ(a, c, dc). Sea e = máx{dc : c < b}, entonces:
N |= ∀v < b ∃w ≤ e ¬ψ(a, v, w)
=⇒ N |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w).
As´ı pues, (i.) y (ii.) implican que N |= ϕf
θ,ψ(a, b).
(⇐=): Por hipótesis: N |= ϕf
θ,ψ(a, b) y ∃z θ(x, y, z) representa a f en T,
luego:
N |= ϕf
θ,ψ(a, b) =⇒ N |= ∃z θ(a, b, z) =⇒ f(a) = b.
Aserto: Sean a ∈ ωn
, b ∈ ω.
i. f(a) = b =⇒ T ϕf
θ,ψ(a, b).
ii. f(a) = b =⇒ T ¬ϕf
θ,ψ(a, b).
Prueba del aserto: (i.): Se recuerda que T es una Σ1–teor´ıa consistente
extensión de P −
y que ϕf
θ,ψ(x, y) ∈ Σ1, luego:
f(a) = b =⇒ N |= ϕf
θ,ψ(a, b)
=⇒ P −
ϕf
θ,ψ(a, b)
=⇒ T ϕf
θ,ψ(a, b).
(ii.): ∃z θ(x, y, z) representa a f en T, luego:
f(a) = b =⇒ T ¬∃z θ(a, b, z)
=⇒ T ¬ϕf
θ,ψ(a, b).
Aserto: Sea a ∈ ωn
, entonces:
T ϕf
θ,ψ(a, y) ⇐⇒ y = f(a).
Prueba del aserto: (⇐=): Es el primer apartado del aserto anterior.
(=⇒): Se consideran A |= T y b ∈ A tales que A |= ϕf
θ,ψ(a, b). Bajo
estas hipótesis, se tiene:
b < f(a) ∨ b > f(a) ∨ b = f(a)

b < f(a): Entonces b ∈ ω y T ¬θ(a, b, z), pues b = f(a). En particular,
A |= ϕf
θ,ψ(a, b), lo que contradice la hipótesis realizada sobre A.
Luego no es posible el caso b < f(a).
b > f(a): Puesto que A |= ∀w ψ(a, f(a), w), se cumple que
A |= ∃u ∀v < b ∃w ≤ u ¬ψ(a, v, w),
lo cual es una contradicción, pues A |= ϕf
θ,ψ(a, b). Luego no es
posible el caso b > f(a).
El único caso posible es b = f(a), lo que prueba la implicación objetivo.
Recogiendo todo lo probado en los asertos, se tiene que f es fuertemente repre-
sentable en T. 2
Definición 5.2.7 ϕ(x) ∈ Σ1 se dice ∆1 en P −
, ϕ(x) ∈ ∆1(P −
), si existe
ψ(x) ∈ Σ1 verificando:
P −
¬ϕ(x) ↔ ψ(x).
Proposición 5.2.8 Sea ϕ(x) ∈ ∆1(P −
). Entonces, ∀a ∈ ωn
:
1. P −
ϕ(a) ⇐⇒ N |= ϕ(a).
2. N |= ¬ϕ(a) ⇐⇒ P −
¬ϕ(a).
Demostración: (1.): es expl´ıcitamente la Σ1–completitud de P −
.
(2.) : N |= ¬ϕ(a) =⇒ N |= ψ(a)
=⇒ P −
ψ(a) [[Σ1–completitud de P −
]]
=⇒ P −
¬ϕ(a)
2
Anteriormente se ha probado que toda función recursiva total es definible
en N. También se ha probado que toda función recursiva es representable en
P −
.
Definición 5.2.9 Se dice que f : ωn
→ ω es recursiva en una teor´ıa T si existe
ϕ(x, y) ∈ Σ1 tal que:
1. ϕ(x, y) representa a f en T.

5.3. Incompletitud e indecibilidad 63
2. T ∀x ∃!y ϕ(x, y). En este caso ϕ(x, y) se denomina funcional en T.
2.1 Si además
f(x) = y ⇐⇒ T ∀x ∃!y ϕ(x, y),
se dice que f es definible en T.
Respecto a los funcionales en una teor´ıa, es interesante el caso de pertenencia
a Σ1:
Aserto: Si ϕ(x, y) ∈ Σ1 es funcional en T, ϕ(x, y) ∈ ∆1(T)
Prueba del aserto: Resulta directo, basta considerar:
T ϕ(x, y) ↔ ∀z(z = y → ¬ϕ(x, z)).
Es importante relacionar representabilidad con definibilidad, pues no es cier-
to que toda función representable sea definible. Por ejemplo, la función expo-
nencial es recursiva y por tanto representable en P −
; pero es conocido que la
exponencial no es definible en P −
.
5.3. Incompletitud e indecibilidad
A partir de la representabilidad y todo lo demostrado, ya se está en con-
diciones de dar una prueba del primer teorema de incompletitud. De haber
tenido más tiempo en Ciencias de Computación, esta prueba hubiese cerrado la
asignatura.
El ingrediente principal es la suposición de un conjunto recursivamente enu-
merable y no recursivo. En vez de tomar uno genérico, se aprovecha lo demos-
trado en el grado, particularizando para K: el problema de la parada. Una vez
probado el teorema de incompletitud, cualquier conjunto recursivamente enu-
merable y no recursivo es válido para sustituir a K en la prueba.
Teorema 5.3.1 (Primer teorema de incompletitud) Sea T una Σ1–teor´ıa,
Σ1–válida y extensión de P −
. Bajo estas hipótesis: T no es completa.
Demostración: Sea K = {e : {e}(e) ↓} el problema de la parada; un conjunto
recursivamente enumerable y no recursivo. Se recuerda que {e} es la función
recursiva parcial de ´ındice e. Entonces:

Al ser K recursivamente enumerable y debido a 5.2.2, K es débilmente
representable en T. En consecuencia, existe ϕ(x) ∈ Σ1 tal que ∀e ∈ ω:
e ∈ K ⇐⇒ T ϕ(e).
Al no ser K recursivo y debido a la negación lógica de 5.2.3, K no es
representable en T.
As´ı pues, existe n ∈ ω tal que n ∈ K y T ¬ϕ(n). Es decir:
T ϕ(n), pues en caso contrario se tendr´ıa que n ∈ K.
T ¬ϕ(n).
Luego T no es completa. 2
La prueba aqu´ı ofrecida es una mera aplicación de los resultados probados,
pues poco tiene que ver con la prueba del primer teorema de incompletitud
de Gödel. Para la finalidad del trabajo, todav´ıa se requiere la definición de la
aritmética de Peano, la prueba del lema diagonal y la relación con la aritmeti-
zación.
Aún as´ı, ya se tiene probado que en Σ1–teor´ıas Σ1–válidas, T, que extiendan
a la aritmética básica -sin inducción-, existen fórmulas válidas en N que T es
incapaz de probar.
Otro resultado que se puede ofrecer a estas alturas, es la no decibilidad
de estas teor´ıas T. Las consecuencias del resultado son realmente interesantes,
teniéndose directamente que:
“No existe un algoritmo que permita, dado una fórmula de T, saber
si es o no teorema en T.”
Teorema 5.3.2 Sea T una Σ1–teor´ıa, Σ1–válida y extensión de P −
. Entonces:
T no es decidible.
Demostración: Sean A un conjunto recursivamente enumerable y no recur-
sivo y ϕ(x) una fórmula que representa débilmente a A en T. Entonces:
A = {a ∈ ω : T ϕ(a)}.

5.4. La Aritmética de Peano 65
Se razona suponiendo lo contrario: sea T decidible. Es decir, el conjunto BT =
{ ϕ : T ϕ} es recursivo. En consecuencia:
{a ∈ ω : T ϕ(a)}
es un conjunto recursivo, concluyendo as´ı que A es recursivo y evidenciando la
contradicción. 2
5.4. La Aritmética de Peano
A lo largo de la historia, la naturaleza de los números ha sido estudiada por
filósofos y matemáticos. Los primeros fundamentos rigurosos de los números
naturales se deben a Richard Dedekind (1831–1916), en ((Was sind und was
sollen die Zahlen?)), publicado en 1888 [2]. En 1889, Giuseppe Peano (1858-1932)
publicó ((Arithmetices Principia, Nova Methodo Exposita)) [8], donde presentó de
una forma más precisa la formalización de Dedekind.
El estudio de los números naturales realizado por Peano, incluyendo la des-
cripción de la inducción matemática, motivó el denominar a la más sencilla de
las aritméticas con inducción: la Aritmética de Peano.
Definición 5.4.1 (La Aritmética de Peano) Sea ϕ(x, v) una fórmula. El
axioma de inducción relativo a ϕ y a la variable x, Iϕ,x(v), es la fórmula
ϕ(0, v) ∧ ∀x (ϕ(x, v) → ϕ(x + 1, v)) → ∀x ϕ(x, v).
Si no hay confusión, se denota Iϕ en lugar de Iϕ,x(v). As´ı pues, la Aritmética
de Peano, PA, es la teor´ıa
P A = P −
+ {Iϕ : ϕ fórmula de LA}.
Teorema 5.4.2 De todo lo probado anteriormente, se sigue:
1. N |= P A.
2. P A es Σ1–válida.
3. (Σ1–completitud de P A). Para toda ϕ ∈ Σ1 cerrada:
P A ϕ ⇐⇒ N |= ϕ
4. P A está recursivamente axiomatizada; por tanto, P A es una Σ1–teor´ıa.

5. (Primer teorema de incompletitud para P A). P A no es completa.
6. P A no es decidible.
Teorema 5.4.3 (Minimización) Sea A |= P A. Entonces:
A |= ∃x ϕ(x) → ∃x(ϕ(x) ∧ ∀ y < x ¬ϕ(y)).
Es decir, en todo modelo de P A, cualquier conjunto definible no vac´ıo tiene un
elemento m´ınimo.
Demostración: Se supone lo contrario, siendo ahora la hipótesis:
1. A |= ∃x ϕ(x) y
2. A |= ∀x(ϕ(x) → ∃y < x ϕ(y)).
Se define ψ(x) ≡ ∀y ≤ x ¬ϕ(y). Entonces:
Aserto:
i. A |= ψ(0).
ii. A |= ψ(x) → ψ(x + 1).
Prueba del aserto: (i.): De la segunda componente de la hipótesis, se
sigue que A |= ¬ϕ(0). Por tanto, A |= ψ(0).
(ii.): Se considera a ∈ A, tal que A |= ψ(a). Directamente se obtiene
que A |= ∀y ≤ a ¬ϕ(y). En consecuencia, volviendo a aplicar el segundo
apartado de la hipótesis, A |= ¬ϕ(a + 1). En conclusión:
A |= ∀y ≤ a + 1 ¬ϕ(y) =⇒ A |= ψ(a + 1).
Puesto que A |= P A, de (i.) usando el axioma de inducción para ψ(x), se sigue
que A |= ∀x ψ(x). Luego: A |= ∀x ∀y ≤ x ¬ϕ(y). Finalmente: A |= ∀x ¬ϕ(x), lo
cual contradice (1.). 2
Corolario 5.4.4 Sea A |= P A no estándar. Entonces:
1. ∀n ∈ ω, A |= ϕ(n) =⇒ ∃a > ω, A |= ϕ(a).
2. ω no es definible en A.

5.4. La Aritmética de Peano 67
Demostración: (1.): De no ser cierto, la fórmula ¬ϕ(x) definir´ıa |A| ω, que
no tiene elemento m´ınimo; contradiciendo as´ı el teorema anterior.
(2.): Siguiendo la misma idea de (1.), si ω fuese definible por una fórmula ϕ, su
negación definir´ıa un conjunto sin elemento m´ınimo. 2

Cap´ıtulo 6
Primer teorema de
incompletitud de Gödel
Gödel probó en 1931 [4], que bajo ciertas condiciones, ninguna teor´ıa ma-
temática formal que sea capaz de describir los números naturales y la aritmética
con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es el denominado
primer teorema de incompletitud de Gödel. Más adelante, Rosser probó que se
puede ampliar el teorema relajando las hipótesis propuestas por Gödel.
Es importante entender en su totalidad el primer teorema de incompletitud,
diferenciando lo que prueba y lo que no. Después de la prueba de Rosser, se
verá que no hay contradicción alguna ni con el teorema de completitud, ni con
el teorema de extensiones completas.
El cap´ıtulo finaliza viendo la relación del teorema de incompletitud con el
problema 10o
de Hilbert, obteniéndose as´ı una variante del primer teorema.
6.1. Notas sobre la aritmetización
Sea T una Σ1–teor´ıa consistente extensión de P −
. Directamente, los con-
juntos Form (4.3.2) y PfT (4.3.9) son recursivos. En consecuencia, aplicando
5.2.3 y 5.2.5, Form y PfT son representables en P −
por fórmulas Σ1. Entonces:
• F orm(x) representa al conjunto Form y
• P fT (y, x) representa al conjunto PfT .
69

70 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de Gödel
Sean A |= T y a, b ∈ A elementos estándar. Por definición,
a ∈ Form ⇐⇒ ∃ϕ tal que ϕ = a,
Se tiene:
a ∈ Form ⇐⇒ P −
F orm(a)
⇐⇒ T F orm(a)
⇐⇒ A |= F orm(a).
a ∈ Form ⇐⇒ P −
¬F orm(a)
⇐⇒ T ¬F orm(a)
⇐⇒ A |= ¬F orm(a).
(b, a) ∈ PfT ⇐⇒ P −
P fT (b, a)
⇐⇒ T P fT (b, a)
⇐⇒ A |= P fT (b, a).
(b, a) ∈ PfT ⇐⇒ P −
¬P fT (b, a)
⇐⇒ T ¬P fT (b, a)
⇐⇒ A |= ¬P fT (b, a).
Luego por construcción:
BT (x) ≡ ∃y P fT (y, x).
Es importante notar que BT (x) representa débilmente a BT , teniéndose:
a ∈ BT ⇐⇒ P −
BT (a)
=⇒ T BT (a) [[también ⇐= si T es Σ1–válida]]
=⇒ A |= BT (a).
Notación 6.1.1 Es necesario fijar la siguiente notación para evitar confusio-
nes:
• Φ, Ψ, Θ, . . . para fórmulas del metalenguaje.
• δ, γ, ρ . . . para fórmulas en el lenguaje; es decir:
δ = a ∈ A tal que A |= F orm(a).

6.2. Lema diagonal 71
Además, se denotará el número de Gödel de una fórmula del metalenguaje, Φ,
con su respectiva letra griega minúscula; es decir:
Φ = ϕ ∈ A
Entonces, si A es un modelo de una extensión de P −
:
A |= F orm( Φ ).
Más aún: δ, γ, ρ . . . serán las variables sobre fórmulas:
Ψ(δ) es la fórmula F orm(δ) ∧ Ψ(δ),
implicando:
∀δ Ψ(δ) es la fórmula ∀x [F orm(x) → Ψ(x)],
∃δ Ψ(δ) es la fórmula ∃x [F orm(x) ∧ Ψ(x)].
6.2. Lema diagonal
Teorema 6.2.1 (Lema diagonal) Sea Φ(x) una fórmula. Existe Ψ cerrada,
denominada punto fijo de Φ(x) en P −
, tal que:
P −
Φ( Ψ ) ↔ Ψ.
Demostración: Sea f : ω → ω recursiva tal que para toda fórmula Θ(z):
f( Θ(z) ) = Θz[ Θ(z) ]
Sea Ψ∗
(v, w) ∈ Σ1 una fórmula que representa fuertemente a f en P −
. Entonces
para toda fórmula Θ(z):
P −
Ψ∗
( Θ(z) , w) ↔ w = f( Θ(z) ) [[Representabilidad]]
Haciendo actuar f, resulta:
( ) : P −
Ψ∗
( Θ(z) , w) ↔ w = Θz[ Θ(z) ]
Sean:
Θ(z) ≡ ∃w[Ψ∗
(z, w) ∧ Φ(w)]
Ψ ≡ ∃w[Ψ∗
( Θ(z) , w) ∧ Φ(w)] (es decir: Ψ es Θz[ Θ(x) ])

72 Cap´ıtulo 6. Primer teorema de incompletitud de Gödel
En conclusión:
( ) =⇒ P −
Ψ ↔ ∃w[w = Θz[ Θ(z) ] ∧ Φ(w)]
=⇒ P −
Ψ ↔ ∃w[w = Ψ ∧ Φ(w)]
=⇒ P −
Ψ ↔ Φ( Ψ ).
2
El lema diagonal también es aplicable con parámetros adicionales a la va-
riable de Φ:
Teorema 6.2.2 (Lema diagonal con parámetros) Sea Φ(x, y) una fórmu-
la. Entonces:
1. Existe Ψ(x) tal que:
P −
Φ(x, Ψ(x) ) ↔ Ψ(x).
2. Existe Ψ(x) tal que ∀a ∈ ωn
:
P −
Φ(a, Ψ(a) ) ↔ Ψ(a).
Demostración: (1.): Resulta análogo al lema diagonal incluyendo los paráme-
tros.
(2.): Teniendo presente que
N |= P −
,
la fórmula es válida para toda instancia de las variables en números naturales.
As´ı pues, se verifica que:
P −
Φ(a, Ψ(a) ) ↔ Ψ(a).
2
Es importante realizar una serie de comentarios a ra´ız del lema diagonal:
• Con la hipótesis de que Φ(x) ∈ Σ1, el punto fijo obtenido es Σ1.
• Si se tiene Φ(x) ∈ Π1, basta tomar
Θ(z) ≡ ∀w[Ψ∗
(z, w) → Φ(w)]
para obtener un punto fijo que sea Π1.

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