Matrices y determinantes, examen de 2º de Bachillerato

1. Dep. Matemáticas. NOME: .................................... Matrices e determinantes. Xoves, 24 de outubro de 2013
APELIDOS: .......................................................... Matemáticas II – 2º bach. B
Nota:
1. Sexa M unha matriz cadrada de orde 2 tal que M2 = 4M . Determina a matriz X que verifica a
ecuación matricial (M - 2I )2 X = I , sendo I a matriz identidade de orde 2. [1 punto]
• (M - 2I )2= (M - 2I ) × (M - 2I ) = M2 - 2M I - 2I M + 4 I I = M2 - 4M + 4 I
↳ Como M2 = 4M , entón (M - 2I )2= 4M - 4M + 4 I = 4 I
↳ Polo tanto: (M - 2I )2 X = I ⟺ 4 I X = I ⟺ 4 X = I ⟺ 1
4 X = I ⦿
2. Determina todas as matrices, B , da forma
x y
y x
æ ö
ç ÷
è ø
que verifiquen B2 = 4B . [2 puntos]
– Se algunha é inversible, calcula a súa inversa. [1 punto]
•
2 2
2
æ x y ö æ x y ö æ x + y 2
x y
ö = ç ÷ ç ÷ = çç ÷÷ è ø è ø è 2
2 + 2
ø
B
y x y x x y x y
;
x y 4 x 4
y
= æ ö = æ ö ç ÷ ç ÷
4 4
4 4
B
y x y x
è ø è ø
• B2 = 4B ⟺
2 2
æ x + y 2 x y ö æ 4 x 4
y
ö çç = è 2 x y x 2 + y 2
÷÷ ç ø è 4 y 4
x
÷ ø
⟺
2 2 4
2 4
ì + =
í
î =
x y x
x y y
↳ Se y = 0 ,
2 4
0 0
ìx = x ù
í ú î = û
⟺ x2 - 4x = 0 ⟺ ( x - 4) x = 0 ⟺
( x y
) ( )
( x y
) ( )
= ìí
î =
, 4,0
, 0,0
↳ Se y ¹ 0,
2 2 4
2 4
ì x + y = x
ù
í ú î x
= û
⟺
4 2 8
ì + y
= ù
í ú î x
= 2
û
⟺
2 4
ì y
= ù
í ú î x
= 2
û
⟹
( x y
) ( )
( x y
) ( )
= ìí î = -
, 2,2
, 2, 2
.
↳ Polo tanto,
4 0
0 4
B = æç ö÷
è ø
;
0 0
0 0
B = æç ö÷
è ø
;
2 2
2 2
B = æç ö÷
è ø
ou
2 2
2 2
B
æ - ö = ç ÷ è - ø ⦿
• Se
0 0
0 0
B = æç ö÷
è ø
non ten inversa, posto que non pode transformarse nunha matriz diagonal.
• Se
2 2
2 2
B = æç ö÷
è ø
; ( ) 2 2 1 0
2 2 0 1
B I
æ ö
= ç ÷
è ø
F (pivote)
1
F - F
2 1
éêë
2 2 1 0
0 0 1 1
æ ö
ç - ÷ è ø
non ten inversa, posto que
non pode transformarse nunha matriz diagonal, xa que B ten dúas filas iguais.
• Se
2 2
2 2
B = æç ö÷
è ø
; ( ) 2 2 1 0
2 2 0 1
B I
æ - ö = ç ÷
è - ø
F (pivote)
1
F + F
2 1
éêë
2 2 1 0
0 0 1 1
æ ö
ç ÷
è ø
non ten inversa, posto que
non pode transformarse nunha matriz diagonal, xa que B ten dúas filas proporcionais.
• Se
4 0
0 4
B = æç ö÷
è ø
; ( ) 4 0 1 0
B I æ ö
= ç è 0 4 0 1
÷
ø
1
2
4
4
F
F
éêë
1 0 1 4 0
0 1 0 1 4
æ ö
ç ÷
è ø
⟹ 1 1 4 0
B- = æç ö÷
0 1 4
è ø
⦿
3. Dada a matriz
0 1
m
æ ö
= ç çç 0 - 1 0
÷ ÷÷
è 1 0
ø
A
m
.
a) ¿Coincide A coa súa inversa para algún valor de m? [ 2 puntos]
b) Para m = 0, calcula A60 . [1 punto]
(a) ( )
æ m
0 1 1 0 0
ö
ç ÷
= ç 0 - 1 0 0 1 0
÷
ç è 1 0 0 0 1
÷
ø
A I
m
F (pivote)
1
F
2
-
-
F mF
1 3
éêêêêë
æ m
0 1 1 0 0
ö
ç ÷
ç 0 1 0 0 - 1 0
÷
çç è 0 0 1 - m 2
1 0
- m
÷÷ ø

2. ( 2 )
- - éêêêêë
m F F
F
F pivote
1 3
2
3
1
( )
( )
2 2
æ m 1 - m 0 0 ç - m 0
m
ö ÷
ç 0 1 0 0 - 1 0
÷
ç ÷
ç è 0 0 ( 1 - m 2
)
1 0
- m
÷ ø
( )
( )
é F é m 1
-
m
2
ù 1
ë û F
2
F 1
-
m
êêêêë
2
3
m
m m
æ - 1
ö
ç 1 0 0 0
2 2
÷ ç 1 - 1
- ÷
ç 0 1 0 0 - 1 0
÷
ç ç 0 0 1 1 - ÷ 0
÷
è - 2 - 2
ø
1 1
m
m m
⟹
m
1
0
m m
2 2
1
1 1
0 1 0
1
0
2 2
1 1
A
m
m m
-
æ - ö
ç - - ÷ ç ÷
= ç - ÷
ç - ÷
ç ÷
è - - ø
↳ A = A-1 ⟺
ì - ï = ù ï - 2
ú í
ú ï úîï = - 2
úû
m m
1
1 1
1
m
m
⟺
( 2 )
ìï ùí m 1
- m = - m
ú
îï 1 - m
2
= 1
úû
m m
m
ì = - ù
í ú î = û
⟺ 2 0
⟺
⟺
2 0
0
m
m
ì = ù
í = úî û
⟺ m = 0 ⟹ 1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A A-æ
ö
= = ç - ÷ çç ÷÷
è ø ⦿
(b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
A
æ ö
= ç - ÷ çç ÷÷
è ø
⟹ 2
3
0 0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1
æ ö æ ö æ ö
= ç - ÷ ç - ÷ = ç ÷ = çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷
è ø è ø è ø
A I
(xa que, A = A-1 )
↳ 3 2
3 A = A × A = A × I = A ⟹ 4 3 2
3 A = A × A = A × A = A = I
↳ Polo tanto:
3
é impar
é par
n A se n
A I se n
ì ù
= í úû
î
⟹ 60
3 A = I
⦿
4. Sexa M unha matriz simétrica de orde 3 , con det (M) = -1. Calcula, razoando a resposta, o
determinante de M + Mt , sendo Mt a matriz trasposta de M . [1,5 puntos]
• M simétrica ⟺ Mt = M ⟹ M + Mt = 2M ⟹ det (M + Mt ) = det (2M)
• Dado que podemos sacar factor común 2 de cada unha das filas de 2M .
• Tendo en conta que 2M é cadrada de orde 3, temos que det (M + Mt ) = det (2M) = 23 det (M)
↳ det (M + Mt ) = 8(-1) = −8 ⦿
5. Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que utilices, o determinante da matriz:
-
3 5 2 2
4 7 8 27
1 5 3 12
5 1 0 6
[1,5 puntos]
•
- - -
3 5 2 2 2 5 2 2
4 7 8 27 8 7 8 27
1 5 3 12 3 5 3 12
5 1 0 6 C + C + C - C ® C 0 1 0 6 C = -C
-
- = = 0
(1) (2)
1 ( 2 3 4 ) 1 1 3
⦿
(1) Se a unha columna sumámoslle unha combinación lineal das demais, o determinante non varía.
(2) Se unha matriz ten dúas columnas proporcionais o seu determinante é nulo.