Boletín sobre el temario de vectores en el espacio

1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 15 de xaneiro de 2014
Vectores no espazo. Páx. 1
◌ CONTIDOS:
1. Vectores no espazo.
• Concepto.
• Operacións.
• Dependencia e independencia lineal de vectores.
2. Produto escalar de dous vectores.
• Definición a partir do coseno do ángulo que forman.
• Propiedades:
• Definido positivo,
• Conmutativo,
• Distributivo,
• Homoxéneo.
• Interpretación xeométrica e expresión analítica.
3. Aplicacións do produto escalar.
• Módulo dun vector. Vector unitario.
• Ángulo que forman dous vectores. Ortogonalidade.
4. Produto vectorial de dous vectores.
• Concepto.
• Propiedades.
• Interpretación xeométrica.
• Expresión analítica.
5. Aplicacións do produto vectorial ao cálculo de áreas de paralelogramos e triángulos.
6. Produto mixto de tres vectores.
• Concepto.
• Propiedades.
• Interpretación xeométrica.
• Expresión analítica.
7. Aplicación do produto mixto ao cálculo do volume de paralelepípedos e tetraedros.
◌ TES QUE SER CAPAZ DE:
1. Realizar operacións elementais (suma e produto por un número) con vectores, dados mediante as
súas coordenadas, comprendendo e manexando correctamente os conceptos de dependencia e
independencia lineal, así como o de base.
2. Saber definir e interpretar xeometricamente:
◦ O produto escalar de dous vectores.
◦ O produto vectorial de dous vectores.
◦ O produto mixto de tres vectores.
3. Coñecer as propiedades e a súa aplicación para:
◦ O cálculo de áreas de triángulos, paralelogramos.
◦ O cálculo de volumes de tetraedros e paralelepípedos.
◌ EXERCICIOS:
1. ur Calcula os valores de m para os que os seguintes vectores sexan linealmente independentes:
( m , -2 ,m )
v r
; ( -2 ,m ,m ) r
e w ( m ,m , -2 ) .
2. Dados os vectores: u r
(1, 1, 1) , vr (1, a, 1) e w⃗ (1, 1, a) .

a) Calcula w os valores de a para os que o conxunto de vectores {ur , vr , wr} forma unha base de R 3 .
b) Calcula os valores de a  para os que os vectores ve son perpendiculares.

2. Páx. 2 Vectores no espazo.
3. Dados os vectores: u r
(2, - 1, 1) , vr (3, 1, - 2) e w⃗ (4, - 1, 5) .
a) Calcula un vector, de módulo 1, que sexa perpendicular a ⃗u e a ⃗v .
b) Calcula o volume do paralelepípedo determinado por ⃗u , ⃗v e ⃗w .
4. Dados os vectores: u r
(1, 1, 1) , vr (1, 0, 1) e w⃗ (1, 1, 0) .
a) Calcula a superficie do paralelogramo determinado por ⃗v e ⃗w .
b) Calcula o volume do paralelepípedo determinado por ⃗u , ⃗v e ⃗w .
5. Sexan os vectores: u r
(2, 3, 5) , v⃗ (-1, 0, 2) e w⃗ (3, l , 1) .
a) Calcula a proxección de ⃗u sobre ⃗v , así como o ángulo que forman ⃗u e ⃗v .
b) Calcula o valor de λ para que ⃗u e ⃗w sexan perpendiculares.
6. Definición de produto mixto de tres vectores.
• ¿Pode ocorrer que o produto mixto de tres vectores sexa cero sen ser ningún dos vectores o vector
nulo? Razoe a resposta.
7. Determina k para que os seguintes conxuntos de vectores sexan linealmente dependentes, e para
que formen unha base:
a) ⃗u (k, - 3, 2) , v⃗ (2, 3, k) e w⃗ (4, 6, - 4) .
b) ⃗u (3, 2, 5) , v⃗ (2, 4, 7) e w⃗ (1, - 1, k ) .
8. Dados os vectores: ⃗u (1, - 3, 2) , v⃗ (-2, 6, - 4) e w⃗ (2, 0, 1) .
a) Expresa ⃗u como combinación lineal de ⃗v e de ⃗w .
b) É posible expresar ⃗w como combinación lineal de ⃗u e de ⃗v ?
c) Son linealmente independentes ⃗u , ⃗v e ⃗w ?
9. Sexan e⃗ , e⃗ e e⃗ vectores de R 3 linealmente independentes que forman unha base ortonormal.
1 2 3 a) ¿Son linealmente independentes os vectores ⃗u = e⃗ − ⃗e, ⃗v = e⃗ + e⃗ e ⃗w = e⃗ − ⃗e+ ⃗e1 3 2 3 1 2 3 ?
b) Calcula ⃗u×⃗v r r e r
comproba que o vector que obtés é ortogonal a ⃗u e a ⃗v .
c) Calcula [ u , v , w ] .
10. Dados os vectores: ⃗u (3, 3, 2) , v⃗ (5, - 2, 1) e w⃗ (1, - 1, 0) .
a) Calcula os vectores: ⃗u − 2 ⃗v + 3 ⃗w e −2 ⃗u + ⃗v − 4 ⃗w .
b) Calcula a e b tales que ⃗u = a ⃗v + b ⃗w .
c) Comproba que calquera dos vectores ⃗u , ⃗v e ⃗w pode expresarse como combinación lineal dos
outros dous.
11. Dados os vectores: ⃗a (1, 2, 3) , ⃗b (1, 1, 1) , ⃗c (1, 0, 5) e ⃗d (-1, 1, 3) :
a) ¿Forman una base de R 3 ?
b) Expresa, se é posible, o vector ⃗d como combinación lineal de ⃗a , ⃗b e ⃗c .
12. Demostra, usando vectores, que as diagonais dun rombo se cortan perpendicularmente.
13. Dados os vectores: ⃗u (2, - 1, 1) , v⃗ (3, 0, - 2) e w⃗ (2, - 3, 0) .
a) Calcula o volume do paralelepípedo determinado por ⃗u , ⃗v ⃗w r e r r
.
r r r r
b) ¿Canto valen cada un dos seguintes produtos mixtos?: [ 2u , v , w ] ; [ u , v , u + v ] .
14. É certo que ur´vr = vr´ur ? Pon un exemplo.
15. É certo que (u´v )´w = u´(v ´w) r r r r r r
? Pon un exemplo.
16. Sexan ⃗u e ⃗v dous vectores que forman un ángulo de 45° e que teñen o mesmo módulo,
ur = vr = 2
.
a) Cal é o módulo de ur + vr ? E o de ur - vr ?
b) Demostra que ur + vr e ur - vr son perpendiculares.

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 15 de xaneiro de 2014
Vectores no espazo. Páx. 3
17. Acha a área do paralelogramo determinado por ur´vr e ur´wr , sendo: ⃗u (2, - 1, 1) , v (0, 1, - 1) r
e w⃗ (1, 0, 1) .
◌ SOLUCIÓNS:
1.
• Se
m m
æ - 2
ö
= ç çç - ÷ ÷÷ è - ø
M 2
m m
2
m m
. Os tres vectores son linealmente independentes se ran (M) = 3 .
• M = -2m2 - 2m2 - 2m2 - m3 + 8 - m3 = -2m3 - 6m2 + 8 = -2 (m3 + 3m2 - 4).
•
1 3 0 -4
1 1 4 4
1 4 4 0
⟹ m3 + 3m2 - 4 = (m - 1) (m2 + 4m + 4)
m - ± - - ±
• 4 16 16 4 0
= = = - 2
⟹ m2 + 4m + 4 = (m + 2)2
2 2
• M = -2 (m - 1) (m + 2)2 ¹ 0 ⟺ m ¹ 1 e m ¹ -2
• En consecuencia, u , v e w r r r
son linealmente independentes se m Î ¡ - {1 , -2} ⦿
2. (a) Como son tres vectores de 3 R , formarán unha base se son linealmente independentes; isto é,
se o seu produto mixto é non nulo:
1 1 1
1 1 1 1 1 2 1 1 0
1 1
• a a 2 a a a 2 a ( a
)2
a
= + + - - - = - + = - = ⟺ a = 1 .
• Polo tanto, forman unha base se a ¹ 1 . ⦿
(b) v⃗ e w⃗ son perpendiculares se vr × wr = 0 .
• (1, a, 1) × (1, 1, a) = 1 + a + a = 1 + 2a = 0 ⟺ 2a = -1 ⟺
1
2
a = - .
⦿
3. (a) Un vector perpendicular a ⃗u e a ⃗v é:
æ - - ö
ç - ÷ = è - - ø
• ur ´ vr = (2, - 1, 1) ´ (3, 1, - 2) 1 1 2 1 2 1
= , , ( 1, 7, 5
) 1 2 3 2 3 1
• ur ´ vr = 12 + 72 + 52 = 75
• Polo tanto, os dous vectores perpendiculares a ⃗u e a ⃗v , con módulo 1, son:
r 1 = × ( r ´ r
) 1
◦ = × ( 1, 7, 5
) =
1
75
n u v
r r
u ´
v
1 7 5
æ ç , ,
ö
÷
è ø
75 75 75
e
- -
1 1
r r r
◦ ( ) ( ) 2
= × ´ = × =
1, 7, 5
75
n u v
r r
u ´
v
æ - 1 - 7 - 5
ç , ,
ö
÷
è 75 75 75
ø ⦿
(b) [ ] ( )
2 1 1
, , 3 1 2 10 8 3 4 15 4 22
4 1 5
u v w u v w
-
= × ´ = - = + - - + - =
-
r r r r r r
⟹
⟹ Volume = 22 unidad3 . ⦿

4. Páx. 4 Vectores no espazo.
4.
æ 0 1 1 1 1 0 ö
2 (a) v w ( ) ( )2 2
= ´ = ç - ÷ = - = - + + =
Área , , 1, 1, 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1
è ø
r r
= 3 unidad2 ⦿
ur vr wr = = + - =
(b) [ ]
1 1 1
, , 1 0 1 1 1 1 1
1 1 0
⟹ Volume = 1 unidad3 .
⦿
5. (a) Proxección de ⃗u sobre ⃗v :
( )
× - + +
2 0 10 8
( ) ( ) 2 2
= = - = - =
Proy 1, 0, 2 1, 0, 2
( )
1 0 4 5
v
u u v v
v
+ +
r
r r r r
r
8 16
, 0,
5 5
æ - ö ç ÷
è ø
• Se chamamos α ao ángulo que forman u
e ⃗v
, entón:
r r
r r ⟹
( ) 2 0 10 8
cos
4 9 25 1 0 4 190
u v
u v
a
× - + +
= = =
× + + + +
8
arccos
æ ö = ç ÷
è ø
190
54° 31′ 21,56″
(b) Dous vectores son perpendiculares se o seu produto escalar é cero:
• u × w = ( 2, 3, 5) × ( 3, l , 1) = 6 + 3l + 5 = 11 + 3l = 0 v r ⟺ 3l = - 11 ⟺
11
3
l = -
6. • Chámase produto mixto de tres vectores ⃗u , v⃗ e , w⃗ e desígnase [ ur , vr ,wr ]
, ao número que se
obtén ao facer o ⃗u ⃗v
w⃗, [ u r produto escalar de por o vector resultante de facer o produto vectorial de e é dicir: , v r ,w r ] = u r ×(v r ´w) r
, e a partir das definicións de produto escalar e produto
vectorial, pódese calcular como o determinante da matriz con 3 filas formadas polas coordenadas
de ⃗u , ⃗v e ⃗w , respectivamente. ⦿
• SI pode ocorrer que o produto mixto de tres vectores sexa cero sen ser ningún dos vectores o
vector nulo, bastaría con que os vectores foran linealmente dependentes, xa que, nese caso unha
das filas do determinante, que da o seu valor, se pode poñer como combinación lineal das outras
dúas, co que o valor do determinante é cero. ⦿
7.
-
3 2
k
(a) 2 2
k k k k k k
= - - + - - - = - - - =
2 3 12 12 24 24 24 6 6 24 24
4 6 -
4
= - 6(k2 + 4k + 4) = - 6(k + 2)2
• ( )2 -6 k + 2 = 0 ⟺ k + 2 = 0 ⟺ k = - 2
• Polo tanto, Se k = - 2 , os vectores son linealmente dependentes. ⦿
(b)
3 2 5
2 4 7 12 k 14 10 20 4 k 21 8 k
5
1 1
k
= + - - - + = +
-
• 8k + 5 = 0 ⟺ 8k = - 5 ⟺
5
8
k = -
• Polo tanto, Se
5
8
k = - , os vectores son linealmente dependentes.
⦿

5. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 15 de xaneiro de 2014
Vectores no espazo. Páx. 5
8. (a) ur = avr + bwr
⟺ (1, - 3, 2) = a(-2, 6, - 4) + b(2, 0, 1) = (-2a + 2b, 6a, - 4a + b)
• Igualando as coordenadas obtemos o sistema:
a b b b
a a a
a b b b
ì- + = ì + = ì =
ï ïï ï í = - ®í = ®í =
ï- + = ï ï î îï + = î =
2 2 1 1 2 1 0
6 3
4 2 2 2 0
1 1
2 2
- -
2 a = - e b = 0 , verifícase que 1
2 ur = - vr + 0wr .
• Polo tanto, Se 1
⦿
(b) w = x u + y v r r r
⟺ (2, 0, 1) = x (1, - 3, 2) + y (-2, 6, - 4) = ( x - 2 y, - 3x + 6 y, 2x - 4 y )
•
x y
x y
x y
- = ìï
- + = íï
î - =
2 2
3 6 0
2 4 1
. Matriz de coeficientes:
1 2
3 6
2 4
C
æ - ö
= ç - ÷ ç ÷
ç - ÷ è ø
; matriz ampliada:
1 2 2
3 6 0
2 4 1
A
æ - ö
= ç - ÷ ç ÷
ç - ÷ è ø
• ( -2, 6, - 4) = - 2(1, - 3, 2) ⟹ As dúas columnas de C son proporcionais ⟹ ran(C ) = 1 .
• A = 6 + 24 - 24 - 6 = 0 ;
-
2 2
12 0
6 0
= - ¹ ⟹ ran( A) = 2 .
• Como ran(C ) ¹ ran( A) , o sistema é incompatible, e polo tanto,
non é posible expresar ⃗w como combinación lineal de ⃗u e de ⃗v . ⦿
(c) Polo visto no apartado (a) 1
2 ur = - vr + 0wr ⟹ ⃗u , ⃗v e ⃗w son linealmente dependentes ⦿
9. (a) Tres vectores son linealmente independentes se a única forma de obter o vector nulo como
combinación lineal deles é con escalares nulos.
• Como ⃗ e1 , ⃗ e2 e ⃗ e3 son linealmente independentes, se 1 2 3 ae + be + c e = 0
r r r r ⟹ a = b = c = 0
r r r r ⟺ ( ) ( ) ( ) 1 3 2 3 1 2 3 x e - e + y e + e + z e - e + e = 0
• x u + y v + zw = 0
r r r r r r r r ⟺
r r r r , como ⃗ e1 , ⃗ e2 e ⃗ e3 son linealmente independ.,
⟺ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 x + z e + y - z e + -x + y + z e = 0
entón
0
0
0
x z
+ = ìï
y z
- = î- x + y + íï
z
=
Sistema homoxéneo con matriz de coeficientes
1 0 1
0 1 1
1 1 1
C
æ ö
= ç - ÷ ç ÷
ç - ÷ è ø
• C = 1 + 1 + 1 = 3 ¹ 0 ⟹ ran(C ) = ran( A) = 3 = nº de incógnitas ⟹ ten solución única
( x, y, z ) = (0, 0, 0) ⟹ ⃗u , v⃗ e w⃗ son linealmente independentes ⦿
(b) Aplicando a propiedade distributiva e que ⃗ e1 , ⃗ e2 e ⃗ e3 forman unha base ortonormal:
• ( ) ( ) 1 3 2 3 1 2 1 3 3 2 3 3 3 2 1 1 2 3 ur´vr = er - er ´ er + er = er ´ er + er ´ er - er ´ er - er ´ er = er - er + er - 0 = er - er + er , é
dicir, ur´vr = wr
• ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 3 1 1 1 3 2 1 2 3 3 1 3 3 ur´vr ×ur = er - er + er × er - er = er × er - er × er - er × er + er × er + er × er - er × er = 1-1 = 0 ,
en consecuencia, (u´v ) ^u r r r
• ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 1 2 1 3 2 2 2 3 3 2 3 3 ur´vr ×vr = er - er + er × er + er = er × er + er × er - er × er - er × er + er × er + er × er = -1+1 = 0 ,
en consecuencia, (u´v ) ^ v r r r
⦿
r r r r r r r
(c) [ u , v , w ] r r r ( ) ( ) ( ) 1 3 2 3 1 2 3 = e - e × éë e + e ´ e - e + e ùû =
( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 = er - er × er ´ er - er ´ er + er ´ er + er ´ er - er ´ er + er ´ er =
( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 2 1 1 3 1 2 3 = er - er × - er + er + er + er = er - er × 2er + er - er =
1 1 1 2 1 3 3 1 3 2 3 3 = 2er × er + er × er - er × er - 2er × er - er × er + er × er = 2 + 1 = 3 ⦿

6. Páx. 6 Vectores no espazo.
NOTA: Por ser e⃗ , e⃗ e e⃗ unha base ortonormal tamén podería facerse este exercicio de forma
1 2 3 u r
= (1, 0, - 1) v r
analítica, tendo en conta que respecto a esta base: , = (0, 1, 1) e w = (1, - 1, 1) r
.
10. (a) ur - 2vr + 3wr = (3, 3, 2) - 2(5, - 2, 1) + 3(1, - 1, 0) =
(-4, 4, 0)
• -2ur + vr - 4wr = - 2(3, 3, 2) + (5, - 2, 1) - 4(1, - 1, 0) =
(-5, - 4, - 3) ⦿
(b) u = av + bw r r r
⟺ (3, 3, 2) = a(5, - 2, 1) + b(1, - 1, 0) = (5a + b, - 2a - b, a)
• Igualando as coordenadas obtemos o sistema: 5 3 10 3 7
a b b b
a b b b
a a a
ì + = ì + = ì = -
í ï- 2 - = 3 ® ï- í 4 - = 3 ® ï- í
7
= ï = ï î î
= ïî = 2 2 2
• Polo tanto, Se a = 2 e b = -7 , verifícase que u = 2v - 7w r r r
. ⦿
(c) ⃗u pode expresarse como combinación lineal de v⃗ e w⃗ , xa que, u = 2v - 7w r r r
.
• Despexando v⃗ , u + 7w = 2v r r r
2 2 vr = ur + wr ⟹ ⃗v é combinación lineal de ⃗u e ⃗w .
⟹ 1 7
• Despexando w⃗, 7w = -u + 2v r r r
7 7 wr = - ur + vr ⟹ ⃗w é combinación lineal de ⃗u e ⃗v .
⟹ 1 2
11.(a) ⃗a , ⃗b , ⃗c e ⃗d non forman unha base de 3 R , porque o número máximo de vectores de 3 R
linealmente independentes é 3. ⦿
(b) x a + y b + z c = d
r r r r ⟺ x (1, 2, 3) + y (1, 1, 1) + z (1, 0, 5) = (-1, 1, 3) ⟺
⟺
1
x y z
x y
x y z
+ + = - ìï
+ = íï
î + + =
2 1
3 5 3
. Coeficientes:
1 1 1
2 1 0
3 1 5
C
æ ö
= ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø
; matriz ampliada:
1 1 1 1
2 1 0 1
3 1 5 3
A
æ - ö
= ç ÷ ç ÷
ç ÷
è ø
• C = 5 + 2 - 3 - 10 = -6 ¹ 0 ⟹ ran(C ) = ran( A) = 3 = nº de incógnitas ⟹ S. C. D.
• Aplicando a regra de Cramer:
1 1 1
1 5 1 3 5 12
1 1 0 2
6 6 6
3 1 5
x
-
- + - -
= - = - = = ;
1 1 1
1 5 6 3 10
2 1 0 3
6 6
3 3 5
y
-
+ - +
= - = - = - ;
1 1 1
1 3 3 2 3 6 1
2 1 1 0
6 6
3 1 3
z
-
+ - + - -
= - = - = .
r r r r ⦿
• ( x, y, z ) = (2, - 3, 0) ⟹ 2a - 3b + 0c = d
12. • Se os vectores ⃗u e v⃗ son dous vectores con ur = vr ¹ 0
, entón o
paralelogramo determinado por eles é un rombo.
• As diagonais do rombo son os vectores ur + vr e ur + vr (como pode
apreciarse no debuxo.
• (ur + vr ) × (ur - vr ) = ur × ur - ur × vr + vr × ur - vr × vr (Propiedade distributiva)
• (ur + vr ) × (ur - vr ) = ur × ur - ur × vr + vr × ur - vr × vr = ur × ur - vr × vr
(Propiedade conmutativa)
• ( ) ( ) 2 2 ur + vr × ur - vr = ur - vr = 0 (Pola definición do produto escalar e que u = v ¹ 0 r r )
• En consecuencia, ur + vr e ur - vr son perpendiculares. ⦿
13.
(a) [ ]
2 1 1
, , 3 0 2 4 9 12 17
2 3 0
u v w
-
= - = - - = -
-
r r r
⟹ Volume = 17 unidad3 .
⦿

7. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Mércores, 15 de xaneiro de 2014
Vectores no espazo. Páx. 7
(b) [ 2u , v , w ] = 2×[ u , v , w ] = r r r r r r
−34 , porque se unha fila multiplícase por un número o valor
do determinante queda multiplicado por dito número. ⦿
• [ ur , vr, ur + vr ] =
0 , porque é o determinante dunha matriz na que a 3ª fila é combinación
lineal das dúas primeiras. ⦿
14.
r r r
i j k
• Para ⃗u (2, - 1, 1) e v⃗ (3, 0, - 2) , u´v = 2 - 1 1 =
(2,7,3)
-
3 0 2
r r
r r r
i j k
r r ⟹ ur´vr ¹ vr´ur
• v ´u = 3 0 - 2 = ( - 2, - 7, -
3)
-
2 1 1
⦿
15. • Para ⃗u (2, - 1, 1) , v⃗ (3, 0, - 2) e w⃗ (2, - 3, 0) ,
æ - - ö
( ) (( ) ( )) ( ) 1 1 2 1 2 1
r r r r r r
u v w w w w
´ ´ = 2, - 1,1 ´ 3,0, - 2 ´ = ç , - , ´ = 2,7,3
´ = è 0 - 2 3 - 2 3 0
÷ø
( ) ( ) æ 7 3 2 3 2 7
ö
( ) = ´ - = ç - ÷ = - - è - - ø
2,7,3 2, 3,0 , , 9,6, 20
3 0 2 0 2 3
æ - - ö
r r r r r 0 2 3 2 3 0
r
• u ( v w ) u (( ) ( )) u u
( ) ´ ´ = ´ 3,0, - 2 ´ 2, - 3,0 = ´ç , - , ÷ = ´ - 6, - 4, - 9
= è - 3 0 2 0 2 - 3
ø
æ - - ö
( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1
= - ´ - - - = ç - ÷ = - è - - - - - - ø
• Polo tanto, (u´v )´w ¹ u´(v ´w) r r r r r r
2, 1,1 6, 4, 9 , , 13,12, 14
4 9 6 9 6 4
⦿
16.
(a) ur + vr = (ur + vr)×(ur + vr) = ur ×ur +2ur ×vr + vr ×vr = ur 2 + 2 ur × vr ×cos(ur¶,vr )+ vr 2 . Polo tanto,
2 3 2 2
2 2 2 8 4 2
ur + vr = + × + = + = 2 2+ 2
2
• ( ) ( ) (¶) 2 2 ur -vr = ur -vr × ur - vr = ur ×ur -2ur ×vr + vr ×vr = ur -2 ur × vr × cos ur,vr + vr . Polo tanto,
2 3 2 2
2 2 2 8 4 2
ur -vr = - × + = - = 2 2- 2
2
⦿
(b) (u + v ) ^ (u -v ) r r r r
⟺ (u + v )×(u -v ) = 0 r r r r
• (ur + vr)×(ur -vr) = ur ×ur -ur ×vr + vr ×ur -vr ×vr = ur 2 - vr 2 = 22 -22 = 0 ⟹ (u + v ) ^ (u -v ) r r r r
⦿
17.
1 1 2 1 2 1
• ( 2, 1,1 ) ( 0,1, 1 ) , , ( 0,2,2
) 1 1 0 1 0 1
r r
u v
æ - - ö
´ = - ´ - = ç - ÷ = è - - ø
1 1 2 1 2 1
• ( 2, 1,1 ) ( 1,0,1 ) , , ( 1, 1,1
) 0 1 1 1 1 0
u w
æ - - ö
´ = - ´ = ç - ÷ = - -
è ø
r r
( ) ( 2 2 0 2 0 2
u v u w ) ( ) ( ) æ ö
• ( ) ´ ´ ´ = ´ - - = ç - ÷ = - è - - - - ø
0,2,2 1, 1,1 , , 4, 2,2
1 1 1 1 1 1
r r r r
• Área do paralelogramo determinado por ur´vr e ur ´wr é:
(ur´vr)´(ur´wr ) = (4, -2, 2) = 42 + (-2)2 +22 = 16 + 4+ 4 = 24 unidad2 ⦿