El documento proporciona ejemplos de cómo hallar la ecuación de una parábola con vértice en el origen dado su foco u otra característica. Explica que la ecuación general de una parábola es Y2 = 4ax o X2 = 4ay dependiendo de su orientación, y cómo determinar el valor de a en función de la posición del foco o la ecuación de la directriz.

1. EJEMPLOS DE PARÁBOLASCON VÉRTICE EN EL ORIGEN
1) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen y foco en el punto ( 9,0 )
Según el enunciado del problema el eje de la parábola coincide con el eje de las abscisas
“X” por lo tanto la ecuación de ella tiene la forma:
Y2 = 4ax
Para que la expresión manifieste a la ecuación de la parábola del problema se debe
conocer el valor de la distancia entre el vértice y el foco P, se sustituye y queda
determinada.
Las coordenadas del foco F (9, 0) se usan para evaluar el valor de “P” ya que éstas son
dadas por:
F (a, 0) = F (9, 0)
Se concluye que la distancia del vértice de la parábola V(0, 0) al foco es:
a=9
Sustituyendo este valor en la ecuación:
Y2 = 4ax
Se tendrá la ecuación de la parábola solicitada:
Y2 = 4(9) x
Y2 = 36 x
La ecuación de la directriz es:
X=-a
X=-9
El lado recto es:
LR = 4 a = 4 (9) = 36

2. 2) Hallar la ecuación de la parábola que tiene vértice en el origen y foco F(0, 4)
Como el foco tiene coordenadas F(-4, 0), la parábola abre para el lado izquierdo
Según el enunciado del problema el eje de la parábola coincide con el eje de las abscisas
“X” por lo tanto la ecuación de ella tiene la forma:
Y2 = - 4ax
Para que la expresión manifieste a la ecuación de la parábola del problema se debe
conocer el valor de la distancia entre el vértice y el foco P, se sustituye y queda
determinada.
Las coordenadas del foco F (0. 4) se usan para evaluar el valor de “P” ya que éstas son
dadas por:
F (a, -4) = F ( -4, 0)
Se concluye que la distancia del vértice de la parábola V(0, 0) al foco es:
a=-4
Sustituyendo este valor en la ecuación:
Y2 = 4(-a) x
Se tendrá la ecuación de la parábola solicitada:
Y2 = 4(-4) x
Y2 = - 16 x

3. 3) Calcular la ecuación de la parábola con vértice en el origen V (0. 0) y foco en el punto
F(0, 3)
Por el enunciado del problema, el eje de la parábola coincide con el eje de las ordenadas
“y” se deduce que la formula será:
X2 = 4ay
Las coordenadas del foco son:
F (0, 3) = F(0, a)
Y se concluye que:
a=3
Sustituyendo este valor en la ecuación:
X2 = 4ay
Se tiene:
X2 = 4(3) y
X2 = 12y
El lado recto, será:
LR = 4a = 4(3) = 12
La ecuación de la directriz es:
Y= -a
Y= -3

4. 4) Hallar la ecuación de la parábola, si su directriz es la recta dada por la ecuación y – 3 = 0
Como la ecuación de la directriz es:
Y–3=0
Se tiene a una línea constante paralela al eje “x”, por lo tanto el eje de la parábola coincide
con el eje de las “y” y su ecuación será:
X2 = 4ay
Para obtener el valor de “a” se usará la ecuación de la directriz:
Y–3=0
Y–a=0
Por lo tanto, a = - 3
Sustituyendo el valor de a = - 3 en la ecuación de la parábola, tenemos la ecuación
solicitada:
X2= 4(-3) y
X2= -12y