A L G E B R A L I N E A L,ALGEBRA MULTILINEAL                    Y     K-TEORIAALGEBRAICA CLASICAEMILIO LLUIS-PUEBLA  Univ...
2008 Segunda Edici´n: Sociedad Matem´tica Mexicana,                  o                 a    Publicaciones ElectrnicasISBN ...
INDICE GENERALPrefacio                                               vIntroducci´n          o                             ...
iv                                                                   Indice generalCap´   ıtulo IIIFormas y Operadores    ...
PREFACIOLa mayor´ de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ en           ıa                        ...
vi                                                                           Prefaciomodificaciones adecuadas, como por eje...
Prefacio                                                                       viiPREFACIO (SEGUNDA EDICION)   Este libro ...
INTRODUCCIONSiempre que se habla de alguna rama de la Matem´tica se establecen los objetos                                ...
2                                                                        Introducci´n                                     ...
Introducci´n          o                                                                         3Esta propiedad caracteriz...
4                                                                                  Introducci´n                           ...
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6                                                                         Introducci´n                                    ...
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8                                                                             Introducci´n                                ...
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Introducci´n          o                                                                    19matriz asociada de n × n con ...
20                                                                      Introducci´n                                      ...
Cap´   ıtulo ICONCEPTOS FUNDAMENTALES I.1   ESPACIOS VECTORIALES Y       FUNCIONES LINEALESSea K un campo.  1.1 DEFINICION...
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§ 1 Espacios vectoriales y funciones lineales                                                        23  A continuaci´n ve...
24                                                          Cap´                                                          ...
§ 1 Espacios vectoriales y funciones lineales                                 25  Demostraci´n. Sean f : U −→ V y g: V −→ ...
26                                                  Cap´                                                       ıtulo I Con...
§ 2 Subespacios vectoriales                                                     27 I.2   SUBESPACIOS VECTORIALESSiempre qu...
Algebra lineal, algebra multilineal y k-teoria algebraica clasica, Emilio Lluis Puebla
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Algebra lineal, algebra multilineal y k-teoria algebraica clasica, Emilio Lluis Puebla

  1. 1. A L G E B R A L I N E A L,ALGEBRA MULTILINEAL Y K-TEORIAALGEBRAICA CLASICAEMILIO LLUIS-PUEBLA Universidad Nacional Aut´noma de M´xico o e
  2. 2. 2008 Segunda Edici´n: Sociedad Matem´tica Mexicana, o a Publicaciones ElectrnicasISBN 968-9161-31-8 (versi´n en l´ o ınea)ISBN 968-9161-32-6 (versi´n en CD) oISBN 968-9161-33-4 (versi´n en papel) o1997 Primera Edici´n: Sistemas T´cnicos de Edici´n, S.A. de C.V. o e oSan Marcos, 102. Tlalpan 14000 M´xico, D.F. ec 1996 Emilio Lluis-PueblaObra compuesta y formada en TEX por Flor de Mar´ Aceff S´nchez ıa aHecho en M´xico. eISBN 970-629-149-0Sistemas T´cnicos de Edici´n e oABCDEFGHIJKL-M 9987
  3. 3. INDICE GENERALPrefacio vIntroducci´n o 1Cap´ ıtulo IConceptos Fundamentales I.1 Espacios vectoriales y funciones lineales 21 I.2 Subespacios vectoriales 27 I.3 Espacios vectoriales de dimensi´n finita o 35 I.4 Aplicaciones 42 I.5 La matriz asociada a una funci´n lineal o 47Cap´ ıtulo IIVectores Caracter´ ısticos y Formas Can´nicas o II.1 Valores y vectores caracter´ ısticos 55 II.2 Teorema de Cayley-Hamilton 62 II.3 El polinomio m´ınimo 67 II.4 Forma can´nica triangular o 70 II.5 Forma can´nica de Jordan o 77
  4. 4. iv Indice generalCap´ ıtulo IIIFormas y Operadores III.1 Formas bilineales 87 III.2 Formas bilineales, sim´tricas, alternantes, cuadr´ticas e a y hermitianas 97 III.3 Producto escalar 103 III.4 Operadores adjuntos 109 III.5 El teorema espectral 114Cap´ıtulo IVAlgebra Multilineal y K-Teor´ Algebraica Cl´sica ıa a IV.1 Producto tensorial 121 IV.2 Producto exterior 128 IV.3 Estructuras algebraicas 135 IV.4 K0 y K1 141Ap´ndice eNotas Hist´ricas o 151Bibliograf´ ıa 173Lista de S´ ımbolos 175Indice Anal´ ıtico 177
  5. 5. PREFACIOLa mayor´ de los textos de Algebra Lineal que se encuentran en nuestro pa´ en ıa ıs,espa˜ol, son traducciones de textos en ingl´s dirigidos a estudiantes de diversas n edisciplinas (Psicolog´ M´sica, Medicina, etc., para los cuales es obligatorio cur- ıa, usar Algebra Lineal). Por lo tanto, dichos textos no poseen el enfoque que debentener para estudiantes de las carreras de Matem´ticas o F´ a ısica, por mencionar algu-nas. Los textos en otros idiomas dirigidos exclusivamente a estudiantes de F´ ısica oMatem´tica son escasos y en espa˜ol lo son a´n m´s. Es as´ que nuestra intenci´n a n u a ı oes la de proveer a los estudiantes de carreras cient´ıficas de un enfoque serio, fun-damentado y moderno del Algebra Lineal. Hemos incluido el Algebra Multilineal,tema excluido de los programas usuales pero que nosotros pensamos que es de im-portancia fundamental, as´ como la notaci´n que se utiliza en f´ ı o ısica para tensores.No se ha descuidado el aspecto computacional, al contrario, se incluyen diversosejercicios de c´lculo expl´ a ıcito. Sin embargo, han sido incluidos una gran canti-dad de problemas interesantes que preparan al estudiante para realmente darle laoportunidad de crear matem´ticas. Todos ellos se resuelven utilizando el material aexpuesto. Como consecuencia del trabajo de resolverlos, le brindan al estudiante laoportunidad de redactar matem´ticas. a Suponemos que el lector est´ familiarizado con algunos de los temas b´sicos del a aAlgebra Superior, es decir, que ya conoce y maneja estructuras algebraicas comoI Q , I C , C [x], la definici´n de campo, y ha trabajado num´ricamente con N, I R, I I o ematrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Es conveniente que hayaconocido los espacios vectoriales I n sobre el campo I R R. Este libro est´ dise˜ado para un curso de un a˜o (dos semestres, estudiando los a n ncap´ ıtulos I y II en el primero y los cap´ ıtulos III y IV en el segundo; o bien, haciendo
  6. 6. vi Prefaciomodificaciones adecuadas, como por ejemplo, el cap´ ıtulo I, II.1, II.2, II.3 y III.3 enel primer semestre y el resto en el segundo). En la Introducci´n se presenta un panorama del presente texto. Obviamente no ose pretende que el lector que no conozca el tema pueda comprender lo que en ella seexpone. Al contrario, conforme el lector avance en el estudio, podr´ regresar a ella ay obtener una visi´n global del Algebra Lineal incluida en esta obra. Las refencias osin n´meros romanos indican resultados del cap´ u ıtulo en consideraci´n. o Hemos incluido un ap´ndice que contiene notas hist´ricas sobre algunos de los e oconceptos definidos en el texto. Tiene como finalidad la de motivar el estudio delAlgebra Lineal a trav´s del an´lisis de las ideas que dieron lugar a dichos conceptos e ay del conocimiento de quienes contribuyeron a ellos. No est´ dise˜ado para una a nlectura continua, m´s bien, lo est´ para ser consultado conforme el lector encuentre a alos conceptos en cada secci´n. Organizamos el ap´ndice de acuerdo al orden de las o esecciones indicadas con una A antepuesta. Durante varios a˜os he impartido cursos basados en el material aqu´ incluido a n ıalumnos de licenciatura, a quienes agradezco su atenci´n y sus oportunos comen- otarios. Del mismo modo, deseo agradecer a varios de mis colegas, entre ellos Mar´ Elena ıaGarc´ y Mary Glazman el haber utilizado versiones preliminares en sus cursos; muy ıaespecialmente a mi padre, Emilio Lluis Riera por haber hecho importantes comen-tarios, sugerencias y correcciones al haber utilizado el texto varios a˜os. Tambi´n, n emi mayor agradecimiento a mi esposa Flor de Mar´ Aceff, quien adem´s de haberlo ıa autilizado en sus cursos, hecho numerosas correcciones y proporcionado agradablesconversaciones sobre el libro, realiz´ la formaci´n y composici´n en el sistema T E X o o ode las m´ltiples versiones preliminares. Sin embargo, cualquier falta u omisi´n es u oexclusivamente m´ ıa. Igualmente, agradezco a Mar´ de Jes´s Figueroa el haber escrito las notas ıa uhist´ricas como consecuencia de su largo estudio de investigaci´n para realizar su o otesis doctoral y a Alejandro Garciadiego a quien agradecemos el asesoramientoexperto para la realizaci´n de dichas notas. o Finalmente, agradezco a Rosa Quintana la captura preliminar del texto. Estelibro, producto de varios a˜os de trabajo, se elabor´ durante su fase final bajo el n oauspicio del CONACYT a trav´s de una C´tedra Patrimonial. e a Emilio Lluis Puebla
  7. 7. Prefacio viiPREFACIO (SEGUNDA EDICION) Este libro cumple ya m´s de diez a˜os de ser utilizado exitosamente como texto a nsobre la materia en diversas universidades del Continente Americano, incluyendoalgunas universidades de Estados Unidos de Norteam´rica y, desde luego, en M´xico. e e He tenido el gusto de ofrecer conferencias en muchas universidades de Cen-troam´rica y Sudam´rica donde me he encontrado con colegas, que llevan mi libro e ecomo texto. Me han solicitado una nueva edici´n pues la anterior es imposible ode conseguir. Esta nueva edici´n, donde he corregido algunos errores tipogr´ficos o ay atendido nuevas ideas o sugerencias que al trav´s de los a˜os me he hecho y e nhan hecho mis propios alumnos (a quienes mucho agradezco), la he incluido dentrode las Publicaciones Electr´nicas de la Sociedad Matem´tica Mexicana mostrando o a(como matem´tico y Editor Ejecutivo de las mismas) la confianza en este tipo de a o ´publicaci´n. Este tiene una excelente accesibilidad, as´ como un nulo costo, que ıde no ser as´ resultar´ elevado para los estudiantes y colegas de muchos lugares. ı, ıaLas Publicaciones Electr´nicas de la Sociedad Matem´tica Mexicana tienen acceso o alibre en l´ ınea, pueden copiarse en el ordenador o imprimirse en papel para usopersonal. Adem´s, el lector podr´ adquirir las publicaciones en CD o impresas en a apapel empastado.Primavera de 2008 Emilio Lluis-Puebla
  8. 8. INTRODUCCIONSiempre que se habla de alguna rama de la Matem´tica se establecen los objetos ade estudio. Los objetos que estudiaremos ser´n los espacios vectoriales (que son un acaso especial de los m´dulos). Sea K un campo. Diremos que el conjunto V junto ocon la operaci´n binaria + y acci´n µ de K en V forman un espacio vectorial o osobre un campo K si bajo +, V es un grupo abeliano, µ distribuye tanto a lasuma de elementos de V como a la suma de elementos de K, la acci´n del producto ode dos elementos de K es igual a uno de ellos por la acci´n del otro y finalmente, ola acci´n del elemento unitario de K en V es trivial. o Los elementos de V se llaman vectores, los del campo K se llaman escalaresy la acci´n µ se llama multiplicaci´n escalar. K n , K[x] y el conjunto de las o omatrices de m × n con elementos en K denotado con Mm×n K son ejemplos deespacios vectoriales. ¿C´mo relacionamos dos espacios vectoriales sobre un campo K? As´ como a los o ıconjuntos los podemos relacionar mediante funciones, a los espacios vectoriales losrelacionaremos mediante funciones que preservan la estructura de espacio vectorialllamadas homomorfismos o funciones lineales (o aplicaciones o transforma-ciones lineales). Entonces, si U y V son espacios vectoriales sobre un campo K,f : U −→ V es un homomorfismo o funci´n lineal si f (u + v) = f (u) + f (v) y oadem´s f (αv) = αf (v); α ∈ K; u, v ∈ U . Resulta que la composici´n de homo- a omorfismos es un homomorfismo. Se dice que una funci´n lineal f : U −→ V es un oisomorfismo si existe una funci´n g: V −→ U tal que g ◦ f = 1U y f ◦ g = 1V . oEs un hecho el que si dicha g existe, es lineal, est´ determinada en forma unica, se a ´
  9. 9. 2 Introducci´n odenota con f −1 y se llama inversa de f . Si existe un isomorfismo entre dos espaciosvectoriales U y V se dice que los espacios son isomorfos y escribimos U ∼ V . = Si K es un campo, el conjunto de homomorfismos o funciones lineales de U enV lo denotamos con HomK (U, V ) (o con L(U, V ), A(U, V )). Le podemos dar unaestructura de espacio vectorial sobre K. Una gran parte del Algebra Lineal consistedel estudio de este espacio vectorial. Dada una funci´n lineal f : U −→ V entre espacios vectoriales sobre un campo oK podemos considerar su n´cleo, es decir, el conjunto de todos los elementos ude U cuya imagen es el cero de V , denotado con ker f . Podemos considerarla imagen de f , es decir, el conjunto de los elementos de V que provienen deelementos de U , denotado con im f . Tambi´n podemos considerar subespacios de eun espacio vectorial. Estos son subconjuntos tales que el cero del espacio perteneceal subconjunto y este ultimo es cerrado bajo la suma y multiplicaci´n escalar. ´ o Sucede lo esperado: la imagen bajo una funci´n lineal de un subespacio es un osubespacio; la imagen inversa de un subespacio bajo una funci´n lineal es un sub- oespacio; en particular, el n´cleo y la imagen de una funci´n lineal son subespacios u o(de donde deben serlo). La suma de dos subespacios U y V de W , denotada U + V , es el conjunto detodas las sumas u + v donde u ∈ U y v ∈ V . Se dice que W es suma directainterna de U y V si todo elemento de W puede escribirse en forma unica como ´suma de uno de U y uno de V y escribimos W = U ⊕ V . Podemos definir la sumadirecta externa de espacios vectoriales {Vi }n sobre un campo K y la denotamos i=1con ⊕n Vi como el espacio vectorial cuyos elementos son listas ordenadas de la i=1forma (v1 , ..., vn ) con las operaciones usuales de suma y multiplicaci´n escalar. Si oun espacio vectorial V es suma directa interna de subespacios de V entonces esisomorfo a la suma directa externa de los mismos subespacios. En vista de estoultimo hablaremos de la suma directa.´ Un espacio vectorial es suma directa de dos subespacios si, y s´lo si, es suma ode ellos y su intersecci´n es vac´ La suma directa posee la siguiente propiedad o ıa.importante llamada universal: si ϕj : Vj −→ V son funciones lineales de espaciosvectoriales e ıj : Vj −→ ⊕Vi son las inclusiones para i ∈ I = {1, . . . , n}, entoncesexiste una funci´n lineal unica ϕ : ⊕n Vi −→ V tal que ϕ ◦ ıj = ϕj , j ∈ I. o ´ i=1
  10. 10. Introducci´n o 3Esta propiedad caracteriza a la suma directa y podemos representarla mediante eldiagrama V ϕj ϕ  ıj Vj −→ ⊕n Vi i=1 Decimos que un vector v ∈ V es una combinaci´n lineal de elementos de un osubconjunto S de V si existe un n´mero finito de elementos {vi }n de S tal que u i=1 nv = i=1 αi vi , αi ∈ K. Las αi se llaman coeficientes. El conjunto de todas lascombinaciones lineales S de un subconjunto no vac´ S de V es un subespacio que ıocontiene a S y es el m´s peque˜o de los subespacios de V que contiene a S. Dicho a nespacio se llama subespacio generado por S y es, por lo tanto, la intersecci´n de otodos los subespacios que contienen a S. Como caso particular, si S = V , todoelemento de V es una combinaci´n lineal de elementos de S y diremos que V est´ o agenerado por el subconjunto S de V . El siguiente resultado es fundamental y es consecuencia de la propiedad universal ∼para la suma directa: considere K n = ⊕n Kj donde cada Kj = K, K un campo j=1 nfijo, g: {1, . . . , n} −→ K dada por i −→ ei y V un espacio vectorial sobre K.Entonces para toda funci´n f : {1, 2, ..., n} −→ V existe una funci´n lineal unica o o ´φ : ⊕n Kj −→ V tal que f = φ ◦ g, es decir, el siguiente diagrama conmuta: j=1 V φ f  n ∼ K = ⊕Kj ←− {1, 2, . . . , n} gLa funci´n g se llama funci´n can´nica. o o o Diremos que el conjunto {vj }n de vectores de V es (i) linealmente indepen- j=1diente si φ es inyectiva, (ii) un conjunto de generadores si φ es suprayectiva y (iii)una base si φ es biyectiva. En otras palabras, el conjunto {vj } es linealmente independiente si   n n φ αj ej  = αj vj = 0 j=1 j=1implica que αj = 0 para toda j = 1, . . . , n; αj ∈ Kj . El que φ sea suprayectiva nequivale a decir que todo elemento de V se puede escribir como j=1 αj vj , es decir,
  11. 11. 4 Introducci´n ocomo una combinaci´n lineal. El que φ sea biyectiva quiere decir que todo elemento o nde V puede escribirse de una, y solamente una manera, en la forma j=1 αj vj . Esclaro que el conjunto {ej }n es una base de ⊕n Kj = K n llamada can´nica. j=1 j=1 o nTambi´n diremos que el conjunto {vj }j=1 de vectores de V es linealmente depen- ediente si no es linealmente independiente. Es inmediato, de la definici´n de base, que todo espacio vectorial V sobre un ocampo K con base {vj }j=1 es isomorfo a K n . Cualquier base de V posee la misma ncardinalidad y los espacios K n y K m son isomorfos si, y s´lo si, n = m. Esto nos opermite definir el concepto de dimensi´n. Definimos la dimensi´n de un espacio o ovectorial V sobre un campo K, denotada dim V , como el n´mero de elementos ude una de sus bases podemos poseer una teor´ de la dimensi´n para los espacios ıa ovectoriales. As´ podemos decir que dos espacios vectoriales son isomorfos si, y s´lo ı, osi, tienen la misma dimensi´n. o Un resultado que relaciona la dimensi´n de la suma de subespacios con la de ocada uno de ellos es dim (U + V ) = dim U + dim V − dim (U ∩ V )donde U y V son subespacios de alg´n espacio W , y como consecuencia inmediata u dim (U ⊕ V ) = dim U + dim V.Si f : U −→ V es una funci´n lineal entonces se tiene que o dim (U ) = dim (im f ) + dim (ker f ).Utilizaremos este hecho en lo subsecuente. Existe una relaci´n fundamental entre los homomorfismos y las matrices. Un osistema de m ecuaciones con n inc´gnitas puede escribirse en la forma o AX = Bdonde   a11 ··· a1n A= . . . .. . . , . . X = t (x1 , . . . , xn ) y B = t (b1 , . . . , bm ). am1 ··· amnEntonces cualquier matriz A de m × n determina una funci´n lineal f = o n mA: K −→ K (por abuso de notaci´n) dada por v −→ Av donde los vectores o
  12. 12. Introducci´n o 5de K n y K m los colocamos como vectores columna. As´ la soluci´n de la ecuaci´n ı, o oAX = 0 es el n´cleo de la funci´n lineal f = A: K n −→ K m y por lo anterior u o dim (ker f ) = dim K n − dim (im f ) = n − rdonde r es el rango de A. Hemos visto que HomK (U, V ) es un espacio vectorial. Si dim U = m y dim V =n entonces dim HomK (U, V ) = mn. Sea f ∈ HomK (U, V ), β = {ui }m basei=1de U y β = {vi }n base de V . Como f (ui ) ∈ V , f (ui ) puede escribirse como i=1combinaci´n lineal de elementos de β , es decir o f (u1 ) = α11 v1 + ··· + α1n vn . . . . . . . . . f (um ) = αm1 v1 + ··· + αmn vn .Este sistema de ecuaciones lo podemos escribir en la forma      f (u1 ) α11 · · · α1n v1  .   . .  . .  . = . . . . . . . f (um ) αm1 · · · αmn vn   t α11 · · · α1nLa matriz  . . . .  se llama matriz asociada a f , la denotaremos con . . αm1 · · · αmn[f ]β y decimos que representa a f . β Si [u]β representa el vector traspuesto de coordenadas de u con respecto a labase β y [f (u)]β es el de f (u) con respecto a β entonces se tiene que [f ]β [u]β = [f (u)]β βes decir, multiplicar el vector de coordenadas de u con respecto a la base β por lamatriz [f ]β nos da el vector de coordenadas del vector f (u) con respecto a β . β Ahora consideremos dos bases de U : β = {ui }n y γ = {ui }n . Entonces i=1 i=1 1U (u1 ) = u1 = α11 u1 + ··· + α1n un . . . . . . . . . . . . 1U (un ) = un = αn1 u1 + ··· + αnn un .Luego, la matriz cuadrada   α11 ··· αn1 γ Nβ =  . . .  . . . α1n ··· αnn
  13. 13. 6 Introducci´n ose llama matriz de transici´n de la base β en la base γ. o γ La matriz de transici´n Nβ puede verse como la matriz asociada a la funci´n o olineal 1U : U −→ U con respecto a las bases β y γ. Tenemos los siguientes resultados: (i) si f ∈ HomK (U, U ) y N es la matriz de transici´n de la base β = β a la base o γ = γ entonces [f ]γ = N −1 [f ]β N y γ β (ii) si f ∈ HomK (U, V ), N es la matriz de transici´n de la base β en la base γ o de U y M es la matriz de transici´n de la base β en la base γ de V entonces o [f ]γ = M −1 [f ]β N . γ βFinalmente, existe un isomorfismo HomK (U, U ) ∼ Mn (K) =dado por f −→ [f ]β . β Pasamos ahora al estudio del espacio vectorial HomK (U, U ) cuando U es un espa-cio vectorial de dimensi´n finita sobre K. o Sus elementos los llamaremosoperadores lineales. Podemos definir otra operaci´n binaria en HomK (U, U ) me- odiante ρ2 ρ1 (v) = ρ2 (ρ1 (v)) la cual hace de HomK (U, U ) un ´lgebra sobre K. As´ a ı,HomK (U, U ) es un objeto provisto de varias estructuras que lo hace sumamenteinteresante. (En efecto, si A es un ´lgebra con uno sobre un campo K entonces A aresulta ser isomorfa a una sub´lgebra de HomK (U, U ).) a El resultado (i) anterior nos lleva a definir lo siguiente: dos matrices cuadradas Ay B son similares (o semejantes) si A = N −1 BN con N una matriz invertible. Deaqu´ que las matrices A y B representan al mismo operador lineal f ∈ HomK (U, U ) ısi, y s´lo si, son similares una con la otra. La relaci´n de similaridad o semejanza es o ouna relaci´n de equivalencia, de manera que las matrices asociadas a un operador olineal espec´ ıfico constituyen una clase de equivalencia. Para el caso de matrices,sumarlas y multiplicarlas cuando ´stas son diagonales, es muy sencillo. Simplemente euno suma o multiplica los elementos correspondientes de las diagonales. Esta esuna buena raz´n para saber cuales matrices son similares a una matriz diagonal. o Un operador lineal f ∈ HomK (U, U ) es diagonalizable si para alguna base deU , la matriz asociada es diagonal. Tambi´n decimos que dicha base diagonaliza ea f . Entonces podemos afirmar que f es diagonalizable si, y s´lo si, existe una o −1matriz invertible N tal que N BN es diagonal. Quisi´ramos dar un criterio para esaber cu´ndo un operador lineal f es diagonalizable. Para ello necesitamos definir aalgunos conceptos.
  14. 14. Introducci´n o 7 Sea f ∈ HomK (U, U ). Si existe un vector u ∈ U distinto de cero y un escalarλ ∈ K tal que f (u) = λu llamaremos a λ valor caracter´ ıstico y a u vector carac-ter´ ıstico correspondiente a λ. Resulta que el conjunto de vectores caracter´ ısticosUλ correspondientes a un valor caracter´ ıstico λ junto con el cero es un subespaciode U y es igual al n´cleo del operador λI − f . El siguiente teorema nos dice cuando uun operador es diagonalizable: TEOREMA. Sea f ∈ HomK (U, U ). f es diagonalizable si, y s´lo si, U oposee una base que consta de vectores caracter´ ısticos de f . A continuaci´n asociaremos unos polinomios a operadores lineales y matrices ocuadradas que son de fundamental importancia. Sea A una matriz cuadrada con coeficientes en K, ρ ∈ HomK (U, U ) y f (x) =an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polinomio con coeficientes en K. Definimos f (A) = an An + an−1 An−1 + · · · + a1 A + a0 I y n n−1 f (ρ) = an ρ + an−1 ρ + · · · + a1 ρ + a0 Idonde ρn es la composici´n de ρ, n veces. Se dice que A o ρ es ra´ del polinomio o ızf si f (A) = 0 o si f (ρ) = 0. Si A es una matriz cuadrada de m × m, la matrizcuadrada λIm − A se llama matriz caracter´ ıstica, el determinante de la matrizcaracter´ıstica se llama polinomio caracter´ ıstico y lo denotamos con pA (λ) = |λIm − A|.Resulta que toda matriz cuadrada es ra´ de su polinomio caracter´ ız ıstico. Este es elfamoso enunciado de Cayley-Hamilton. Un criterio para saber si un escalar es un valor caracter´ ıstico es la siguiente PROPOSICION. α ∈ K es un valor caracter´ ıstico de A si, y s´lo si, α oes una ra´ del polinomio caracter´ ız ıstico pA (λ). Es un hecho el que si el polinomio caracter´ ıstico de A es producto de factoreslineales de la forma (λ − a1 )(λ − a2 ) · · · (λ − an ) con todas las ai distintas entoncesA es similar a una matriz diagonal con las ai en la diagonal. Finalmente, si dosmatrices A y B son similares entonces pA (λ) = pB (λ). Debido a ´sto ultimo decimos que la funci´n Mn (K) −→ K[λ] que asigna a cada e ´ omatriz de n × n su polinomio caracter´ ıstico es un invariante bajo la relaci´n de osimilaridad. ıstico es un polinomio para el cual pA (A) = 0, A una El polinomio caracter´matriz cuadrada. Puede haber otros polinomios para los cuales A sea ra´ El ız.
  15. 15. 8 Introducci´n opolinomio m´nico de menor grado tal que A es su ra´ lo denotaremos con mA (λ) y o ızse llama el polinomio m´ ınimo de A. Dicho polinomio es unico, divide al polinomio ´caracter´ıstico y posee los mismos factores irreducibles que el caracter´ ıstico de A.Tambi´n, λ es un valor caracter´ e ıstico de A si, y s´lo si, λ es una ra´ del polinomio o ızm´ınimo de A. A´n m´s, una matriz cuadrada A es diagonalizable si, y s´lo si, u a omA (λ) = (λ−λ1 )(λ−λ2 ) · · · (λ−λr ) donde λ1 , . . . , λr son los valores caracter´ ısticosdistintos de A. El concepto de similaridad de matrices se traduce en uno de similaridad deoperadores el cual, al igual que el de matrices, es una relaci´n de equivalencia. o¿C´mo determinamos si dos operadores son similares? o equivalentemente, ¿c´mo o opodemos distinguir las clases de equivalencia? Para hacerlo, definiremos ciertasmatrices llamadas formas can´nicas, una para cada clase de equivalencia. Definimos oun conjunto de formas can´nicas para una relaci´n de equivalencia ∼ en un o oconjunto C como un subconjunto F de C que consiste de exactamente un elementode cada clase de equivalencia de ∼. As´ una vez obtenidas, bastar´ comparar ı, asi son las mismas para cada operador. Existen varias formas can´nicas, nosotros oconsideraremos en este texto unicamente la triangular y la de Jordan. ´ Sea U un subespacio de V . Denotamos con v + U el conjunto de todas lasexpresiones de la forma v + u donde u recorre todos los elementos de U . Dichosv + U los llamaremos clases laterales de U en V . Es inmediato comprobar quecualesquiera dos clases laterales o son ajenas o son iguales. Denotamos con V /U elconjunto de todas las clases laterales de U en V . Si definimos (u + U ) + (w + U ) =(v + w) + U y λ(v + U ) = λv + U hacemos de V /U un espacio vectorial llamadoespacio cociente. La funci´n lineal p: V −→ V /U tal que v −→ v + U se llama oproyecci´n can´nica. o o Si U es un subespacio de V tal que ρ(U ) ⊂ U para ρ ∈ HomK (V, V ) decimosque U es invariante bajo ρ. Dicho operador ρ: V −→ V induce un operador deU denotado ρ|U . Se sabe que dim V = dim U + dim V /U . Diremos que unoperador ρ ∈ HomK (V, V ) puede representarse por una matriz triangular si sumatriz asociada con respecto a alguna base lo es. Su polinomio caracter´ ıstico sefactoriza como producto de polinomios lineales. Lo inverso es cierto: si el polinomiocaracter´ıstico de ρ se factoriza como producto de polinomios lineales entonces existeuna base de V para la cual la matriz asociada es triangular. Traducido a matricestenemos que si A es una matriz cuadrada cuyo polinomio caracter´ ıstico se factorizaen polinomios lineales entonces A es similar a una matriz triangular. Se dice que un operador ρ ∈ HomK (V, V ) es descomponible como suma di-recta de operadores ρ|Ui si V = ⊕s Ui con Ui invariante bajo ρ. Escribimos i=1
  16. 16. Introducci´n o 9 sρ = ⊕i=1 ρ|Ui . El siguiente resultado se conoce como el teorema de la descom-posici´n primaria. o TEOREMA. Si ρ ∈ HomK (V, V ) posee el polinomio m´ ınimo mρ (λ) = f1 (λ)η1 f2 (λ)η2 . . . fs (λ)ηsdonde los fi (λ) son polinomios m´nicos irreducibles distintos, entonces V oes suma directa de los subespacios ker fi (ρ)ηi y ´stos son invariantes bajo eρ. A´n m´s, fi (λ)ηi es el polinomio m´ u a ınimo de ρ|ker fi (ρ)ηi . Como consecuencia se tiene que ρ ∈ HomK (V, V ) posee una matriz asociadadiagonal si, y s´lo si, su polinomio m´ o ınimo mρ (λ) es producto de polinomios linealesdistintos. Un operador lineal ρ ∈ HomK (V, V ) se llama nilpotente si ρn = 0 para algunan > 0. El entero r es el ´ ındice de nilpotencia de ρ si ρr = 0 pero ρr−1 = 0.Tambi´n diremos que una matriz cuadrada A es nilpotente si An = 0 y r es el eındice de nilpotencia de A si Ar = 0 pero Ar−1 = 0. Obs´rvese que el polinomio´ em´ınimo de un operador nilpotente de ´ ındice r es mρ (λ) = λr y su unico valor ´caracter´ıstico es el cero. Entonces existe una base del espacio vectorial tal quela matriz asociada a ρ es triangular. El encontrar formas can´nicas para dichos ooperadores nilpotentes nos permiten encontrar formas can´nicas para cualquier ooperador que se factorice como producto de polinomios lineales. As´ tenemos la ısiguiente PROPOSICION. Si ρ ∈ HomK (V, V ) es de ´ ındice de nilpotencia r y v ∈V tal que ρr−1 (v) = 0, entonces el conjunto {ρr−1 (v), ρr−2 (v), . . . , ρ(v), v} esuna base del subespacio que genera, cuya matriz asociada posee ´ ındice denilpotencia r y es de la forma   0 1 0 ··· 0 0 0 0 1 ··· 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . .  0 0 0 ··· 0 1 0 0 0 ··· 0 0A´n m´s, si ρ ∈ HomK (V, V ) es de ´ u a ındice de nilpotencia r, entonces ρ poseeuna matriz asociada diagonal por bloques que son de la forma de la matrizanterior. Se sabe que existe al menos una matriz de orden r y que las otras son de ´rdenes o≤ r. El n´mero de matrices est´ determinado en forma unica por ρ y el n´mero de u a ´ umatrices de todos los ´rdenes es igual a la dimensi´n de ker ρ. o o
  17. 17. 10 Introducci´n o Finalmente tenemos el siguiente TEOREMA. Sea ρ ∈ HomK (V, V ) tal que sus polinomios caracter´ ısticoy m´ınimo se factorizan como producto de potencias de polinomios lineales.Entonces ρ posee una matriz asociada diagonal por bloques J , llamada formacan´nica de Jordan de ρ cuyo bloques son de la forma o   λi 1 0 ··· 0 0 0 λi 1 ··· 0 0  . . Jij =  .. . . . . . . .   . . . . .  0 0 0 ··· λi 1 0 0 0 ··· 0 λi As´ dos operadores lineales cualesquiera son similares si, y s´lo si, poseen la ı, omisma forma can´nica de Jordan salvo el orden de los bloques. o Una funci´n f : U × V −→ W de espacios vectoriales sobre un campo K se llama obilineal si es lineal en cada variable cuando la otra se mantiene fija. El ser bilinealno quiere decir que sea lineal ni viceversa. Si W = K diremos que f es una formabilineal y denotamos con L2 (U, V ; K) el conjunto de formas bilineales de U × Ven K. Si U = V , utilizaremos la notaci´n Bil(V ) y le podemos dar a Bil(V ) una oestructura de espacio vectorial sobre K. Considere el espacio vectorial sobre K, HomK (V, K). Sus elementosf : V −→ K se llaman funcionales lineales o formas lineales, se acostumbradenotar a HomK (V, K) con L1 (V ; K) o simplemente V ∗ y se le llama espaciodual de V . Se tienen los siguientes resultados: (i) Sea {vi }n una base de V y {fi }n ∈ HomK (V, K) = V ∗ funcionales tales i=1 i=1 que fi (vj ) = δij . Entonces {fi }n es una base de V ∗ y dim V ∗ = n. i=1 (ii) Si {fi }n es una base de V ∗ entonces {fij }n i=1 i,j=1 dada por fij (u, v) = fi (u)fj (v) es una base para Bil(V ) y dim Bil(V ) = n2 .(iii) Sea γ = {vi }n una base de V y f : V × V −→ K una forma bilineal. Si i=1 n n u = i=1 αi vi y v = j=1 βj vj entonces n f (u, v) = αi βj f (vi , vj ). i,j=1 Si A = (aij ) es la matriz cuadrada tal que aij = f (vi , vj ) entonces n f (u, v) = αi βj aij = t [u]γ A[v]γ i,j=1
  18. 18. Introducci´n o 11y A se llama matriz asociada a la forma bilineal f con respecto a la base γ,tambi´n denotada [f ]γ . Se tienen los siguientes resultados para una forma bilineal ef : V × V −→ K: (i) Si N es la matriz de transici´n de una base γ en otra γ de V entonces la o matriz B asociada a f con respecto a γ es B = t N AN . (ii) Bil(V ) ∼ Mn (K) dado por f −→ [f ]γ . =(iii) Si N es la matriz de transici´n de la base {ui } en la base {vi }, entonces t N −1 o es la matriz de transici´n de las bases duales {fi } en {gi }. o ∼(iv) Sea V ∗∗ = (V ∗ )∗ , entonces V = V ∗∗ . Diremos que una forma bilineal de V es sim´trica si f (u, v) = f (v, u) para toda eu, v ∈ V . Sucede que una forma bilineal es sim´trica si, y s´lo si, su matriz asociada e oes sim´trica, i.e. es igual a su traspuesta. Si f posee una matriz asociada diagonal eentonces f es sim´trica. e La forma cuadr´tica asociada a f es la funci´n q: V −→ K dada por q(v) = a of (v, v), v ∈ V . Sea A la matriz sim´trica asociada a la forma bilineal sim´trica e e tf . Entonces q(X) = f (X, X) = XAX = i,j aij xi xj . Si A es diagonal, q(X) =a11 x2 + · · · + ann x2 . La f´rmula f (u, v) = [q(u + v) − q(u) − q(v)]/2 permite obtener 1 n of a partir de q. Si f es una forma bilineal sim´trica y K es de caracter´ e ıstica diferente de 2,entonces existe una base de V tal que f posee una matriz asociada diagonal. Unamatriz sim´trica B es congruente con una matriz sim´trica A si existe una matriz e e tno singular o invertible N tal que B = N AN . As´ si A es una matriz sim´trica con ı, eelementos en un campo de caracter´ ıstica diferente de 2, entonces A es congruentecon una matriz diagonal. Decimos que una forma bilineal f es antisim´trica si f (u, v) = −f (v, u) para etoda u, v ∈ V . Si V es de dimensi´n finita, f es antisim´trica si, y s´lo si, su matriz o e o tasociada A es tal que A = − A, es decir, antisim´trica. Tambi´n decimos que f e ees alternante si f (v, v) = 0 para toda v ∈ V . Se tiene que toda forma bilineal essuma de una sim´trica y una antisim´trica. e e Si consideramos el caso en que K = C , una forma f : V × V −→ C se llama I Ihermitiana si f es lineal en la primera variable y f (u, v) = f (v, u) para u, v ∈ V .La forma cuadr´tica q: V −→ I asociada a f , dada por q(v) = f (v, v) se llama a Rforma cuadr´tica hermitiana. a Si K = I decimos que f : V × V −→ I est´ definida positivamente si R, R af (v, v) > 0 para toda v ∈ V , v = 0.
  19. 19. 12 Introducci´n o Ahora consideraremos espacios vectoriales sobre I o C . En ellos podemos R Idefinir una forma bilineal sim´trica o hermitiana definida positivamente , lla- emada producto escalar o interno sobre I o C . Este producto escalar permite R Idefinir los conceptos de longitud y ´ngulo. La norma o longitud ||v|| de un vector av que pertenece a un espacio vectorial sobre K = I o C se define como R I v, v .Dos vectores son ortogonales si v, w = 0. El ´ngulo θ entre dos vectores u, v ∈ V adiferentes de cero se define como θ = arccos( u, v /||u|| ||v||) para θ ∈ [0, π]. El con-junto U ⊥ = {v ∈ V | u, v = 0 ∀u ∈ U , U un subconjunto de V } se llama conjuntoortogonal a U y resulta ser un subespacio de V . Sea {vi }n un conjunto de vectores i=1de V . {vi }n es ortogonal si vi , vj = 0 para i = j y ortonormal si vi , vj = δij . i=1El siguiente teorema es de particular importancia y en su demostraci´n se establece oun procedimiento para encontrar una base ortonormal de un espacio vectorial dedimensi´n finita llamado procedimiento de Gram-Schmidt: o TEOREMA. Sea {ui }n una base del espacio vectorial de dimensi´n i=1 o nfinita V sobre I o C . Entonces existe una base ortonormal {vi }i=1 de V R Ital que la matriz de transici´n es triangular. o Un resultado util es el siguiente: si U es un subespacio de V entonces V ∼ U ⊕U ⊥ . ´ =As´ podemos hablar de una proyecci´n llamada ortogonal de V en U , pU : V −→ V ı, otal que im pU = U y ker pU = U ⊥ . Un espacio que posee un producto escalar se llama espacio con producto es-calar. Sea V un espacio vectorial con producto escalar sobre un campo K = IRo C y g: V −→ V ∗ dada por g(v)(u) = gv (u) = u, v . As´ claramente, cada vec- I ıtor v ∈ V nos determina un funcional gv . Lo inverso tambi´n sucede: si V es de edimens´n finita y f : V −→ K un funcional, entonces existe un vector unico v ∈ V o ´tal que f (u) = u, v , para toda u ∈ V . Estos resultados nos dicen que cualquierfuncional es igual al producto escalar con un vector fijo de V . Sea u un elemento fijo de un espacio vectorial de dimensi´n finita V con producto o ∗escalar y ρ ∈ HomK (V, V ). Consideremos f ∈ V un funcional dada por f (v) = ρ(v), u . Luego, existe un vector unico u ∈ V tal que ρ(v), u = v, u para toda ´v ∈ V . Definimos ρ : V −→ V tal que ρ∗ (u) = u . Entonces ρ(v), u = v, ρ∗ (u) , ∗ρ∗ resulta ser lineal, unico, y se le llama operador adjunto de ρ. ´ Si A es la matriz asociada a ρ con respecto a una base ortonormal de V entoncesla matriz asociada a ρ∗ es A∗ = t A. Se define un isomorfismo f : V −→ V entre espacios vectoriales con productoescalar como un isomorfismo que preserva productos escalares, es decir, tal que f (v), f (u) = v, u para toda v, u ∈ V .
  20. 20. Introducci´n o 13 Sea φ: HomK (V, V ) −→ HomK (V, V ) el operador dado por φ(ρ) = ρ∗ . Sonequivalentes las afirmaciones ρ∗ = ρ−1 y ρ(v), ρ(u) = v, u para toda v, u en V .Un operador unitario (ortogonal) ρ: V −→ V definido en un espacio vectorial conproducto escalar V sobre K = C (K = I es un isomorfismo de espacios vectoriales I R)con producto escalar ρ: V −→ V . Entonces ρ es unitario (ortogonal) si K = C (K = I I y ρ∗ = ρ−1 . La matriz asociada a un operador unitario ρ es A (llamada matriz R)unitaria) si, y s´lo si, A∗ = A−1 . La matriz asociada a un operador ortogonal ρ es oA (llamada matriz ortogonal) si, y s´lo si, t A = A−1 . Si A es una matriz ortogonal, o|A| = ±1. El conjunto de matrices ortogonales de n × n posee una estructura degrupo, llamado grupo ortogonal y es denotado con O(n). El conjunto de matricesortogonales que poseen determinante 1 es denotado con SO(n) y llamado grupoortogonal especial. Finalmente, decimos que un operador ρ: V −→ V es normalsi conmuta con su adjunto, es decir, si ρρ∗ = ρ∗ ρ. An´logamente, una matriz acompleja A es normal si conmuta con su conjugada traspuesta, i.e. AA∗ = A∗ A.As´ los operadores ortogonales y unitarios son normales. ı, Un operador ρ ∈ HomK (V, V ) es autoadjunto si φ(ρ) = ρ∗ = ρ. Si K = I Rle llamaremos tambi´n sim´trico y si K = C le llamaremos hermitiano. Los e e Ioperadores autoadjuntos son importantes por lo siguiente: si ρ es sim´trico, su epolinomio caracter´ ıstico se factoriza en factores lineales, los vectores caracter´ ısticosson ortogonales y posee una matriz asociada diagonal. En t´rminos de matrices, esi A es una matriz sim´trica real entonces existe una ortogonal N tal que B = eN −1 AN = t N AN es diagonal. En forma similar, si ρ ∈ HomK (V, V ) es normalentonces posee una matriz asociada diagonal. En t´rminos de matrices, si A es enormal entonces existe una matriz unitaria N tal que B = N −1 AN = N ∗ AN esdiagonal. El siguiente resultado establece una descomposici´n de ρ llamada espectral de oρ: sea ρ un operador normal, entonces existen proyecciones ortogonales pVλi de V sen Vλi tales que ρ = i=1 λi pVλi , pVλi = I y pVλi ◦ pVλj = 0 si i = j. Generalizando el concepto de funci´n bilineal, diremos que una funci´n o of : V1 × V2 × · · · × Vm −→ W entre espacios vectoriales sobre un campo K esmultilineal si para cada i = 1, . . . , m se tiene que f (v1 , . . . , vi + vi , . . . , vm ) = f (v1 , . . . , vi , . . . , vm ) + f (v1 , . . . , vi , ..., vm )y f (v1 , . . . , λvi , . . . , vm ) = λf (v1 , . . . , vi , . . . , vm )donde λ ∈ K y vi , vi ∈ Vi . Es decir, f es lineal en vi si las dem´s variables se amantienen fijas.
  21. 21. 14 Introducci´n o Sea f : V1 × · · · × Vm −→ T una funci´n multilineal y h: T −→ W una funci´n o olineal entre espacios vectoriales. Entonces h ◦ f es una funci´n multilineal. Nos opreguntamos, ¿cu´ndo es posible tener T y W de tal manera que toda funci´n mul- a otilineal se obtenga de esta forma? En otras palabras, ¿cu´ndo podemos encontrar aT y f de tal manera que dada cualquier funci´n multilineal g: V1 × · · · × Vm −→ W oexista una y solamente una funci´n lineal h: T −→ W tal que h◦f = g? La pregunta oanterior suele conocerse con el nombre de problema universal para funciones mul-tilineales. Definimos el producto tensorial de los espacios {Vi }m como la pareja i=1(T, f ) que resuelve dicho problema universal y denotamos T con V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ Vm ,o con ⊗m Vi . La condici´n g = h ◦ f puede visualizarse en el siguiente diagrama i=1 oconmutativo f V1 × · · · × Vm −→ T  g h WEs relativamente f´cil comprobar la unicidad y existencia del producto tensorial aque adem´s posee las siguientes propiedades: a (i) V ⊗K K ∼ V ∼ K ⊗K V = = (ii) (U ⊗K V ) ⊗K W ∼ U ⊗K (V ⊗ W ) ∼ U ⊗K V ⊗K W = =(iii) U ⊗K V ∼ V ⊗K U . = Existen isomorfismos que relacionan el producto tensorial con el conjunto dehomomorfismos (v´ase [LL1]). e Sea {Vi }m una familia de espacios vectoriales de dimensi´n finita sobre un i=1 ocampo K. Diremos que la sucesi´n o f0 f1 f2 f3 fm−2 fm−1 fm 0 −→ V1 −→ V2 −→ V3 −→ · · · −→ Vm−1 −→ Vm −→ 0es exacta en Vi si im fi−1 = ker fi y diremos que es exacta si es exacta en cadaVi para i = 1, . . . , m. Sucede que si se tiene una sucesi´n exacta como la anterior, entonces odim V1 − dim V2 + dim V3 − · · · + (−1)m−1 dim Vm = 0 y si 0 −→ V1 −→V2 −→ V3 −→ 0 es una sucesi´n exacta (llamada sucesi´n exacta corta) entonces o oV2 ∼ V1 ⊕ V3 . = Consideremos una funci´n multilineal f : ×k Vi −→ W . Diremos que f es al- o i=1ternante si f (v1 , . . . , vk ) = 0 siempre que vi = vj para algunas i = j.
  22. 22. Introducci´n o 15 Sea Vi = V un espacio vectorial de dimensi´n finita sobre un campo K. La o k kpotencia exterior de grado k de V es la pareja ( V, f ) donde V es un espacio k kvectorial sobre K y f : ×i=1 Vi −→ V es una funci´n multilineal alternante tal que opara todo espacio vectorial W sobre K y para toda funci´n multilineal alternante o k kg: ×i=1 Vi −→ W , existe una funci´n lineal unica h: o ´ V −→ W tal que g = h ◦ f ,es decir, tal que el siguiente diagrama conmuta f k ×n Vi i=1 −→ V  g h W Si {vi }k son vectores de V , denotaremos a f (v1 , . . . , vk ) con v1 ∧ · · · ∧ vk . i=1 2Tambi´n denotaremos e V como V ∧ V . Es f´cil comprobar que u ∧ v = −v ∧ u. a kSi definimos V como el cociente ⊗k Vi /U donde U es el subespacio de ⊗k Vi i=1 i=1generado por todos los elementos de la forma v1 ⊗ · · · ⊗ vk con vi = vj para algunas ki = j es claro que la existencia y unicidad de V est´n garantizadas. La dimensi´n a o k nde V resulta ser . k Sea A: V −→ V un endomorfismo (sin´nimo de operador lineal) de V . Su- o npongamos que dim V = n. Definamos la funci´n g = gA : ×n Vi −→ o i=1 Vdonde Vi = V dada por gA (v1 , . . . , vn ) = A(v1 ) ∧ · · · ∧ A(vn ). Como g es mul- n ntilineal alternante, existe una funci´n lineal unica h = hA : o ´ V −→ V tal que n nhA (v1 ∧ · · · ∧ vn ) = A(v1 ) ∧ · · · ∧ A(vn ). Como dim V = = 1, hA es nsimplemente la multiplicaci´n por un escalar denotado |A| o det(A), i.e. o hA (v1 ∧ · · · ∧ vn ) = |A|(v1 ∧ · · · ∧ vn ). El determinante de A: V −→ V se define como el escalar |A|. Es f´cil com- a n nprobar que si {vi }i=1 es una base de V y si escribimos A(vi ) = j=1 αij vj parai = 1, . . . , n donde (αij ) es la matriz de A con respecto a la base {v1 , . . . vn }, eldeterminante de A es igual a σ sigσα1σ(1) · · · αnσ(n) donde σ es una permutaci´n odel conjunto {1, 2, . . . , n} As´ definimos el determinante de una matriz (αij ) ı, ncomo el determinante del endomorfismo A: V −→ V dado por A(vi ) = j=1 αij vjpara i = 1, . . . , n y lo denotamos con |αij | o det(αij ). Podemos definir una multiplicaci´n llamada producto exterior y denotarla por o k k+conveniencia con ∧: V × V −→ V mediante la regla ∧((u1 ∧ · · · ∧ uk ), (v1 ∧ · · · ∧ v )) = u1 ∧ · · · ∧ uk ∧ v1 ∧ · · · ∧ v .
  23. 23. 16 Introducci´n oEste producto exterior es asociativo, distributivo y anticonmutativo. Para comple- 0 1tar los ´ ındices se define V = K y V = V . Entonces tenemos un ´lgebra agraduada 2 3 V = (K, V, V, V, . . .)llamada algebra exterior o de Grassman de V . Tambi´n, si T k (V ) = ⊗k V = V ⊗K · · · ⊗K V , llamado espacio tensorial de egrado k de V definimos una multiplicaci´n o ·: T k V × T V −→ T k+ mediante ((u1 ⊗ · · · ⊗ uk ), (v1 ⊗ · · · ⊗ v )) −→ u1 ⊗ · · · ⊗ uk ⊗ v1 ⊗ · · · ⊗ vAs´ tenemos un ´lgebra graduada (donde T 0 V = K y T 1 V = V ) ı a TV = (K, V, T 2 V, T 3 V, T 4 V, . . .)llamada ´lgebra tensorial de V . a Sea V ∗ el espacio dual de V . Consideremos el espacio tensorial T k V de grado k deV. Consideremos tambi´n T V ∗ y denotemos con T k (V ) el producto e(⊗ V ) ⊗ (⊗ V ). Es decir, T k V ⊗ T (V ∗ ) = T k (V ). Con esta notaci´n se tiene k ∗ oque T0 (V ) = T k (V ) = ⊗k V , T 0 (V ) = ⊗l V ∗ y T0 (V ) = K. Llamaremos a T k V k 0espacio tensorial de tipo (k, ) y cada uno de sus elementos lo llamaremos tensorde tipo (k, ). Un tensor de tipo (k, 0) se llamar´ tensor contravariante de grado ak y uno de tipo (0, ) tensor covariante de grado . Un tensor de tipo (0, 0) es 1simplemente un escalar. Un elemento de T0 V = V se llama vector contravarian-te y uno de T1 V = V ∗ se llama vector covariante. Si k = 0 y = 0, un tensor 0mixto es un tensor de tipo (k, ). Sea {vi }n una base de V y {f j }j=1 la base de V ∗ , (con ´ i=1 n ındices superiores). Esf´cil ver que los tensores a vi1 ⊗ · · · ⊗ vik ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f jcon iµ , jη = 1, . . . , n; µ = 1, . . . , k y η = 1, . . . , forman una base de T k (V ).Entonces cualquier tensor del tipo (k, ) puede escribirse en forma unica como ´ t= ξj1 ···ik vi1 ⊗ · · · ⊗ vik ⊗ f j1 ⊗ · · · ⊗ f j . i 1 ···j Los ´ ındices iµ se llaman ´ ındices contravariantes, los jη ´ ındices covariantes i,...iky ξj,...j se llaman componentes de t con respecto a la base {vi }.
  24. 24. Introducci´n o 17 La K-Teor´ Algebraica Cl´sica es parte del Algebra Lineal General. Intuiti- ıa avamente, la K-Teor´ Algebraica Cl´sica es una generalizaci´n del teorema que ıa a oestablece la existencia y unicidad de las bases para espacios vectoriales y tambi´n ede la Teor´ de Grupos del grupo lineal general sobre un campo K. ıa Definiremos un grupo denotado K0 (X) asociado a un monoide conmutativo Xmediante la siguiente propiedad universal: sea g: X −→ G un homomorfismo demonoides del monoide X en el grupo conmutativo G. Definimos el grupo K0 (X)como el unico grupo que cumple que, si f : X −→ K0 (X) es un homomorfismo de ´monoides entonces existe un homomorfismo de grupos unico h: K0 (X) −→ G tal ´que g = h ◦ f f X −→ K0 (X)  g h GK0 (X) se llama grupo de Grothendieck del monoide X. Sea K un campo y consideremos los espacios vectoriales de dimensi´n finita sobre oK. Denotemos con V la clase de isomorfismo del espacio vectorial de dimensi´n ofinita V . Es inmediato verificar que el conjunto X = { V } de clases de isomorfismoes un monoide conmutativo cuya operaci´n binaria est´ dada por o a V + W = V ⊕W . Sea g: X −→ Z dado por g( V ) = dim V un homomorfismo de monoides. Sea ZF el grupo abeliano libre con base el conjunto de clases de isomorfismo de losespacios vectoriales. Sea R el subgrupo de F generado por las expresiones de laforma V ⊕ W − V − W donde 0 −→ V −→ V ⊕ W −→ W −→ 0 recorre todaslas posibles sucesiones cortas para los espacios vectoriales. Sea K0 (K) = F/R elgrupo cociente y denotemos con [V ] la proyecci´n o imagen de [V ] en el cociente. oEntonces, siempre que se tenga una sucesi´n exacta corta de espacios vectoriales o 0 −→ V −→ V ⊕ W −→ W −→ 0tendremos una expresi´n de la forma [V ⊕ W ] = [V ] + [W ] en K0 (K), es decir, oK0 (K) est´ generado por {[V ] | V es un espacio vectorial} sujeta a las relaciones ade la forma [V ] + [W ] = [V ⊕ W ]. El homomorfismo g: X −→ Z da lugar a un homomorfismo h: K0 (K) −→ Z Z Zdado por h([V ]) = dim V el cual es biyectivo. Es decir, para los espacios vectoriales
  25. 25. 18 Introducci´n o ımbolo EVK se tienesobre un campo K, los cuales podemos representar por el s´ ∼ Z.que K0 (EVK ) = K0 (K) = Z ¿Qu´ sucede para otras estructuras cuando consideramos anillos que no nece- esariamente son campos? Si consideramos los Z odulos proyectivos finitamente Z-m´generados Ab, es decir, los grupos abelianos libres de rango finito se sabe queK0 (Z ∼ Z Sin embargo, si consideramos los Z odulos finitos Abf se sabe que Z) = Z. Z-m´ ∼ Q + . Pero si consideramos los Z odulos finitamente generados AbfgK0 (Abf ) = I Z-m´ ∼ Z.se tiene que K0 (Abfg) = Z Como antes, sea K un campo y denotemos con K n el producto K × · · · × Kn veces. El producto tensorial de dos espacios vectoriales sobre K es un espaciovectorial sobre K. Como K n ⊗ K m ∼ K nm los espacios vectoriales son cerrados =bajo el producto tensorial. Entonces podemos dar a K0 (K) una estructura de anillomediante [V ] · [W ] = [V ⊗K W ]. Consideremos el conjunto de las transformaciones lineales invertibles a trav´sede uno asociado de matrices. Sea V un espacio vectorial de dimensi´n n sobre un ocampo K. Denotemos con GL(V ) (o con AutK (V )) el conjunto de todas las fun-ciones lineales de V en V que sean biyectivas (invertibles). Podemos proporcionarlea este conjunto una estructura de grupo definiendo una operaci´n binaria o ◦: GL(V ) × GL(V ) −→ GL(V )mediante la composici´n o (f ◦ g)(v) = f (g(v)).Claramente GL(V ) es un grupo bajo ◦. Ahora definamos otro conjunto. Denotemos con GLn (K) el conjunto de lasmatrices de n × n con elementos en el campo K que poseen inverso, es decir, elconjunto de todas las matrices invertibles o no singulares de n × n con elementosen K. Podemos definir en GLn (K) una operaci´n binaria o ·: GLn (K) × GLn (K) −→ GLn (K) (A, B) −→ A · Bdonde · denota la multiplicaci´n de matrices. o Es f´cil comprobar que a(GLn (K), ·) es un grupo cuyo elemento de identidad es la matriz diagonal In .Llamaremos a GLn (K) el grupo lineal general de grado n sobre K. Existe una estrecha relaci´n entre los grupos GL(V ) y GLn (K), a saber, si oescogemos una base fija de V , cada funci´n lineal biyectiva de V en V posee una o
  26. 26. Introducci´n o 19matriz asociada de n × n con elementos en K la cual es no singular o invertible.Esta correspondencia establece un isomorfismo entre los grupos GL(V ) y GLn (K)debido a que cuando se componen dos funciones lineales, ´sta composici´n est´ e o arepresentada por la multiplicaci´n de sus matrices asociadas. o Consideremos un tipo especial de matrices de GLn (K), que llamaremos elemen-tales y que son aquellas que difieren de la matriz identidad In s´lo en un elemento o ımbolo eλ .λ ∈ K fuera de la diagonal. Dichas matrices las denotaremos con el s´ ij ımbolo [A, B] como el producto de las matrices ABA−1 B −1 y lo Definimos el s´llamaremos conmutador de A y B donde A, B ∈ GLn (K). Se tiene la siguiente f´rmula para el conmutador de matrices elementales: o   1λµ si j = k, i = l µ [ei,j , ek,l ] = eil λ si j = k, i = l  −λµ ekj si j = k, i = l. Denotemos con En (K) el subgrupo de GLn (K) generado por todas las matriceselementales eλ , λ ∈ K, 1 ≤ i = j ≤ n, llamado grupo elemental lineal de K. ij Si cada matriz A ∈ GLn (K) la identificamos con la matriz A 0 ∈ GLn+1 (K) 0 1obtendremos inclusiones GL1 (K) ⊂ GL2 (K) ⊂ GL3 (K) ⊂ . . . . Sea GL(K) = ∞ n=1 GLn (K), la uni´n de los grupos GLn (K) la cual llamaremos grupo lineal ogeneral infinito de K. Podemos concebir a GL(K) como el grupo que constade todas las matrices invertibles infinitas A = (aij ) con aij ∈ K, 1 ≤ i < ∞,1 ≤ j < ∞ y aij = δij , la delta de Kronecker para toda i, j excepto un n´mero ufinito de i, j. Entonces GLn (K) ⊂ GL(K) y lo vemos como el subgrupo de todaslas (aij ) ∈ GL(K) con aij = δij para toda i, j > n. La inclusi´n de GLn (K) oen GLn+1 (K) se restringe a la inclusi´n de En (K) en En+1 (K) y, en GL(K), el osubgrupo E(K) = ∪∞ En (K) n=1se llama grupo elemental infinito de K. Se puede probar un resultado de White-head: [GL(K), GL(K)] = E(K). Definimos el grupo cociente GL(K)/E(K) como el K-grupo algebraico de ´ ındiceuno del campo K denotado con K1 (K). Luego K1 (K) = GL(K)/[GL(K), GL(K)].
  27. 27. 20 Introducci´n o Obs´rvese que si f : K −→ K es un homomorfismo de campos se tiene un homo- emorfismo de grupos inducido por f f∗ : GL(K) −→ GL(K )que env´ a E(K) en E(K ), siendo as´ que f induce un homomorfismo de grupos ıa ıK1 (f ): K1 (K) −→ K1 (K ). Como K es conmutativo podemos considerar el determinante de una matriz comoun homomorfismo de grupos det: GL(K) −→ K ∗ donde K ∗ denota las unidadesde K. Definamos SL(K) = ker(det), o sea, todas las matrices de GL(K) con determi-nante uno, y lo llamaremos grupo especial lineal o infinito de K. det induce unhomomorfismo, que por abuso de notaci´n, tambi´n lo denotaremos con o e det: K1 (K) = GL(K)/E(K) −→ K ∗el cual posee un inverso K ∗ = GL1 (K) −→ GL(K) −→ GL(K)/E(K) = K1 (K). Si definimos SK1 (K) = SL(K)/E(K) = ker(det: K1 (K) −→ K ∗ ) resulta queK1 (K) ∼ SK1 (K) ⊕ K ∗ . Como K ∗ puede considerarse conocido, el c´lculo de = aK1 (K) se limita al de SK1 (K). Obs´rvese que SK1 (K) es trivial si, y s´lo si, para e ocualquier matriz A ∈ SLn (K) podemos transformar la matriz A 0 0 Ikpara k adecuada, en la identidad In+k mediante operaciones elementales por rengl´n oo columna. Si SK1 (K) es trivial, entonces K1 (K) =∼ K ∗ . Este resulta ser el casopara el campo K y en general para cualquier dominio euclidiano. As´ K1 (K[x]) = ı ∼ ∗K y K1 (Z = Z)) ∼ {−1, +1}. Podemos generalizar todo lo anterior poniendo un anillo conmutativo Λ en lugarde un campo K. V´anse [LL1] y [LL2] para una lectura posterior. e
  28. 28. Cap´ ıtulo ICONCEPTOS FUNDAMENTALES I.1 ESPACIOS VECTORIALES Y FUNCIONES LINEALESSea K un campo. 1.1 DEFINICION. Un espacio vectorial sobre un campo K es un conjuntono vac´ V con una operaci´n binaria ıo o +: V × V −→ V (u, v) −→ u + vy una funci´n o µ: K × V −→ V (α, v) −→ µ(α, v) = αvque cumplen los siguientes axiomas: (i) u + v = v + u (ii) (u + v) + w = u + (v + w)(iii) Existe O ∈ V tal que v + O = v(iv) Para cada v ∈ V existe un elemento, denotado con −v, tal que v + (−v) = O
  29. 29. 22 Cap´ ıtulo I Conceptos fundamentales (v) α(u + v) = αu + αv (vi) (α + β)v = αv + βv(vii) (αβ)v = α(βv)(viii) Para 1 ∈ K, 1v = v; (α, β, 1 ∈ K; u, v, w ∈ V ). Los elementos u, v, w, . . . del espacio vectorial sobre K se llaman vectores. Loselementos del campo K se llaman escalares y la funci´n µ se llama multiplicaci´n o oescalar. Los primeros cuatro axiomas hacen de V , junto con la operaci´n binaria +, un ogrupo conmutativo, por lo que no se requiere utilizar par´ntesis al sumar vectores ey el orden de los sumandos carece de importancia. Tambi´n, el vector O es unico y e ´el inverso −v de v es unico (problema 1.1). La resta u − v se define como u + (−v); ´u, v ∈ V . Los siguientes cuatro axiomas ((v) a (viii)) se refieren a la “acci´n” del campo oK en V . Veamos algunas propiedades que se pueden deducir de ellas. 1.2 PROPOSICION. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K .Entonces (i) 0v = O; 0 ∈ K, O ∈ V . (ii) (−α)v = α(−v) = −αv; α ∈ K, v ∈ V . Demostraci´n. (i) Sabemos que 0 + 0 = 0 en K. Luego, utilizando el axioma o(vi) de 1.1 tenemos que 0v + 0v = (0 + 0)v = 0v.Sumando −0v a ambos lados obtenemos que 0v = O. (ii) Como α + (−α) = 0, α ∈ K tenemos que O = 0v = (α + (−α))v = αv + (−α)v. Sumando −αv a ambos lados se tiene que −αv = (−α)v. Tomando v+(−v) = O (axioma (iv)), obtenemos (problema 1.2(i)) O = αO = α(v + (−v)) = αv + α(−v). Sumando −αv a ambos lados obtenemos −αv = α(−v). Luego, (−α)v = α(−v) = −αv. Obs´rvese que, en la demostraci´n precedente, cuando tomamos α + (−α), el e osigno + se refiere a la suma del campo K y cuando consideramos v + (−v), el signo+ se refiere a la suma del espacio vectorial V .
  30. 30. § 1 Espacios vectoriales y funciones lineales 23 A continuaci´n veamos varios ejemplos de espacios vectoriales: o 1.3 EJEMPLO. Sea K un campo. Definamos en K n la suma +: K n × K n −→ K n ((α1 , . . . , αn ), (β1 , . . . , βn )) −→ (α1 , . . . , αn ) + (β1 , . . . , βn ) mediante(α1 , α2 , . . . , αn ) + (β1 , β2 , . . . , βn ) = (α1 + β1 , α2 + β2 , . . . , αn + βn ); αi , βi ∈ K. Definamos una multiplicaci´n escalar o µ: K × K n −→ K n (α, (α1 , . . . , αn )) −→ α(α1 , . . . , αn ) mediante α(α1 , . . . , αn ) = (αα1 , . . . , ααn ); α, αi ∈ K. Es f´cil comprobar que K n junto con las operaciones de suma y multiplicaci´n a oescalar es un espacio vectorial sobre K. Observe que este ejemplo establece que, enparticular, el campo de los n´meros reales I = I 1 , as´ como I n , (n un entero u R R ı Rmayor o igual que 1), son espacios vectoriales sobre I Tambi´n C n es un espacio R. e Ivectorial sobre C y sobre I Sin embargo, I n no es un espacio vectorial sobre C . I R. R I 1.4 EJEMPLO. Sea K un campo. Sea V = Mm×n K, el conjunto de matricesde m × n con elementos en K, con la suma y multiplicaci´n por un escalar usuales. oEntonces V es un espacio vectorial sobre K. 1.5 EJEMPLO. Sea V el conjunto de funciones de un conjunto no vac´ S enıoun campo K, i.e., V = K S . Si definimos la suma de dos funciones f, g ∈ K S como(f + g)(s) = f (s) + g(s) y la multiplicaci´n escalar mediante (αf )(s) = αf (s), os ∈ S, es inmediato comprobar que V es un espacio vectorial sobre K. 1.6 EJEMPLO. Sea V = K[x] el conjunto de todos los polinomiosα0 + α1 x + α2 x2 + · · · + αn xn con coeficientes en un campo K. Entonces, Ves un espacio vectorial sobre K si definimos la suma y la multiplicaci´n por un oescalar de la manera usual. Veamos como relacionar dos espacios vectoriales sobre un campo K medianteuna funci´n que preserve la estructura de espacio vectorial. o
  31. 31. 24 Cap´ ıtulo I Conceptos fundamentales 1.7 DEFINICION. Sean U y V espacios vectoriales sobre un campo K. Unafunci´n f : U −→ V se llama lineal o tambi´n homomorfismo de espacios vecto- o eriales si (i) f (u + v) = f (u) + f (v) y (ii) f (αv) = αf (v); u, v ∈ U ; α ∈ K. Obs´rvese que el + de u + v se refiere a la suma de U y que el + de ef (u) + f (v) se refiere a la suma de V . Lo mismo que αv denota la multiplicaci´n oescalar de U y αf (v) la de V . Si en (ii) tomamos α = 0 ∈ K, tenemos que f (0v) = f (O) = 0f (v) = O, luegof (O) = O, i.e., todo homomorfismo de espacios vectoriales (o funci´n lineal) env´ o ıael vector cero del dominio en el vector cero del codominio. Es obvio que las condiciones (i) y (ii) de la definici´n 1.7 son equivalentes a la osiguiente: f (αu + βv) = αf (u) + βf (v); α, β ∈ K; u, v ∈ U. Tambi´n se suele llamar a una funci´n lineal f , aplicaci´n lineal o transfor- e o omaci´n lineal. Utilizaremos cualquiera de estas denominaciones. o Nota. Por abuso de notaci´n se acostumbra escribir 0 en lugar de O. o 1.8 EJEMPLO. Sea U = I 3 y V = I con la suma y multiplicaci´n escalar R R ousuales. Definamos f : U −→ V mediante la regla f (x, y, z) = 3x − 2y + 2z. Veamosque f es lineal. Como f ((x1 , y1 , z1 ) + (x2 , y2 , z2 )) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = 3(x1 + x2 ) − (y1 + y2 ) + 2(z1 + z2 )y f (x1 , y1 , z1 ) + f (x2 , y2 , z2 ) = (3x1 , −2y1 + 2z1 ) + (3x2 − 2y2 + 2z2 ),claramente se cumple la condici´n (i) de 1.7. Tambi´n, f (α(x, y, z)) = f (αx, αy, αz) o e= 3αx − 2αy + 2αz = α(3x − 2y + 2z) = αf (x, y, z), por lo que se cumple (ii) de1.7. 1.9 EJEMPLO. Sea U = V = I 2 . Definamos f : U −→ V mediante f (x, y) = R(x + 2, y + 3). Como f (0, 0) = (2, 3) = (0, 0), f no es lineal pues todo homomor-fismo de espacios vectoriales env´ el vector cero del dominio en el vector cero del ıacodominio. 1.10 PROPOSICION. La composici´n de dos homomorfismos de espa- ocios vectoriales sobre un campo K es un homomorfismo de espacios vecto-riales sobre K.
  32. 32. § 1 Espacios vectoriales y funciones lineales 25 Demostraci´n. Sean f : U −→ V y g: V −→ W funciones lineales. Luego o (g ◦ f )(u + v) = g(f (u + v)) = g(f (u) + f (v)) = g(f (u)) + g(f (v)) = (g ◦ f )(u) + (g ◦ f )(v) Adem´s, (g ◦ f )(αu) = g(f (αu)) = g(αf (u)) = αg(f (u)) = α(g ◦ f )(u). Por lo atanto (g ◦ f ) es una funci´n lineal. o 1.11 DEFINICION. Sea f : U −→ V un homomorfismo (o funci´n lineal o oaplicaci´n lineal) de espacios vectoriales sobre un campo K. Diremos que f es un o ∼ =isomorfismo, y escribiremos f : U −→ V , si existe un homomorfismo g: V −→ Utal que g ◦ f = 1U y f ◦ g = 1V . Es f´cil comprobar (problema 1.9) que, si g existe, est´ determinada en forma a a −1unica; la denotaremos con f´ y se llama inverso de f . As´ f : U −→ V es ı,isomorfismo si, y s´lo si, es biyectiva. Diremos que dos espacios U y V sobre un o ∼ = ∼campo K son isomorfos si existe un isomorfismo f : U −→ V y escribiremos U = V .PROBLEMAS1.1 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Pruebe que el vector O ∈ Ves unico y que el inverso de v ∈ V es tambi´n unico. ´ e ´1.2 Pruebe que (i) αO = O; α ∈ K, O ∈ V . (ii) Si αv = O entonces, α = 0 o v = O; α ∈ K, v ∈ V .(iii) (−1)v = −v; v ∈V.1.3 Proporcione con todo detalle el hecho de que V es un espacio vectorial en losejemplos 1.3, 1.4, 1.5 y 1.6.1.4 Sea U = V = K n . Pruebe que f : U −→ V dada por f (u1 , . . . , un ) =(u1 , u2 , . . . , un−1 , 0) es lineal.1.5 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Pruebe que la funci´n o1V : V −→ V y la funci´n OV : V −→ V dadas por 1V (v) = v y OV (v) = O o
  33. 33. 26 Cap´ ıtulo I Conceptos fundamentales∀v ∈ V , son lineales. 1V se llama homomorfismo identidad de V y OV se llamahomomorfismo trivial.1.6 Compruebe cuales aplicaciones son lineales y cuales no lo son: (i) f : K n −→ K m , f (v) = Av donde A es una matriz de m × n con elementos en el campo K. (ii) f : K 2 −→ K 2 , f (x, y) = (4y, 0)(iii) f : K 3 −→ K 3 , f (x, y, z) = (−z, x, y)(iv) f : K 2 −→ K 2 , f (x, y) = (x2 , 2y) (v) f : K 5 −→ K 4 , f (u, v, x, y, z) = (2uy, 3xz, 0, 4u)(vi) f : K 3 −→ K 3 , f (x, y, z) = (x + 2, y + 2, z + 2)1.7 Establezca que, (i) si V = R[x] es el espacio vectorial de los polinomios en xsobre I entonces la diferencial D: V −→ V dada por D(f ) = df /dx y la integral R, 1I: V −→ I dada por I(f ) = 0 f (x)dx son lineales. R (ii) la traza tr: Mn (K) −→ K de una matriz cuadrada (la suma de los elementosde su diagonal) es una funci´n lineal y que el determinante det: Mn (K) −→ K no oes una funci´n lineal. o1.8 Sea K un campo. Denotemos con HomK (U, V ) el conjunto de homomorfismoso funciones lineales del espacio vectorial U sobre K en el espacio vectorial V sobreK. Defina f + g: U −→ V mediante (f + g)(u) = f (u) + g(u), u ∈ U y αf : U −→ Vmediante (αf )(u) = α(f (u)), α ∈ K,u ∈ U . Pruebe que HomK (U, V ) es un espaciovectorial sobre K con las operaciones definidas. A menudo, tambi´n se utilizan las enotaciones L(U, V ) y A(U, V ) en lugar de HomK (U, V ).1.9 Pruebe que si f : U −→ V es como en 1.11, g est´ determinada en forma unica a ´y que f es isomorfismo si, y s´lo si es biyectiva. o1.10 Sea f : U −→ V una aplicaci´n lineal biyectiva de espacios vectoriales sobre oun campo K. Pruebe que la funci´n inversa f −1 : V −→ U es tambi´n lineal. o e1.11 Sea K un campo y V un espacio vectorial sobre K. Considere K como unespacio vectorial sobre s´ mismo. Pruebe que dado un vector v ∈ V , existe una ıfunci´n lineal unica h: K −→ V tal que h(1) = v. (Esta funci´n est´ dada por o ´ o ah(α) = αv.)
  34. 34. § 2 Subespacios vectoriales 27 I.2 SUBESPACIOS VECTORIALESSiempre que consideramos un objeto matem´tico nos preguntamos por sus subob- ajetos. Es natural definir un subespacio vectorial de un espacio vectorial sobre uncampo K como un subconjunto que es a su vez un espacio vectorial sobre K bajolas mismas operaciones. Sin embargo para nuestra conveniencia lo definiremos deotra forma equivalente (problema 2.1). 2.1 DEFINICION. Un subconjunto U de un espacio vectorial V sobre uncampo K se llama subespacio vectorial de V si (i) el vector O de V pertenece a U , (ii) si v, w ∈ U entonces v + w ∈ U y(iii) si α ∈ K y v ∈ U entonces αv ∈ U . 2.2 EJEMPLO. El conjunto U de vectores de la forma (u1 , . . . , un−1 , 0) con uien el campo K forman un subespacio del espacio vectorial K n sobre K. 2.3 EJEMPLO. Sea V un espacio vectorial sobre un campo K. Los conjuntosV y {O} son subespacios de V , llamado este ultimo subespacio trivial y, por abuso ´de notaci´n, se acostumbra escribirlo simplemente como 0. o 2.4 EJEMPLO. Sea V = Mn K el espacio vectorial de las matrices de n × no cuadradas. Sea U el subconjunto de Mn K que consiste de las matrices quecumplan que aij = aji , llamadas sim´tricas. Entonces U es un subespacio de eMn K. 2.5 DEFINICION. Sea f : U −→ V un homomorfismo (funci´n lineal) de espa- ocios vectoriales sobre un campo K. El n´cleo de f , denotado ker f , es el conjunto ude todos los elementos u ∈ U tales que f (u) = 0. La imagen de f , denotada im f ,es el conjunto de f (u) con u ∈ U .

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