DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD  INTRODUCCION Y CONCEPTOS.        Sonia Almanza.              2C
Distribución de BernoulliEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica),...
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, estoes, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se...
En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson paraobtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros...
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volumen,area, etc.). es igual a P por el segmento dado. La constan...
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recintosombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una ...
dad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en unaconsulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del se...
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleato-rias independientes distribuidas normalmente, con media μy varianza σ2. Sea...
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  1. 1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD INTRODUCCION Y CONCEPTOS. Sonia Almanza. 2C
  2. 2. Distribución de BernoulliEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científi-co suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta,que toma valor 1 para la probabilidad de éxito () y valor 0 para laprobabilidad de fracaso ().Si es una variable aleatoria que mide "número de éxitos", y se realizaun único experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso),se dice que la variable aleatoria se distribuye como una Bernoulli deparámetro .es un experimento aleatorio en el que sólo se pueden obtener dosresultados (habitualmente etiquetados como éxito y fracaso). Se de-nomina así en honor a Jakob Bernoulli.Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, estos ensa-yos están modelados por una variable aleatoria que puede tomarsólo dos valores, 0 y 1. Habitualmente, se utiza el 1 para representarel éxito. DistribuciónBinomialEn estadística, la distribución binomial es una distribución de probabi-lidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de nensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidadfija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
  3. 3. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, estoes, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxitoy tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con unaprobabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experi-mento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de cal-cular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n =1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernou-lli.Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribuciónbinomial de parámetros n y p, se escribe:Para una distribución de probabilidad binomial, deben darse las si-guientes condicionesEn cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: elsuceso "éxito" y su contrario el suceso "fracaso".El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resul-tados obtenidos anteriormente, esto es que el valor de la probabili-dad de cada prueba no se afecta por pruebas anteriores, ni afectapruebas futuras.La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la representamospor p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de el suceso"fracaso" es 1- p y la representamos por q . Distribución Poisson
  4. 4. En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson paraobtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resul-tado lo representa una variable discreta.La Distribucion de Poisson se llama asi en honor a su creador, elfrancés Simeón Dennis Poisson (1781-1840), esta distribución de pro-babilidad fue uno de los multiples trabajos matematicos que Denniscompleto en su productiva trayectoria.La distribución de probabilidad de poisson es un ejemplo de distribu-ción de probabilidad discreta. La distribución de Poisson parte de la distribución DistribucionBinomial.Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento mu-chas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p encada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribu-ción Poisson.LA FUNCION P(X=K)A continuación veremos la función de probabilidad de la distribu-ción de Poisson:Donde:P(x=k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta xtoma un valor finito K.
  5. 5. λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volumen,area, etc.). es igual a P por el segmento dado. La constante e tieneun valor aproximado de 2.711828.K= es el numero de éxitos por unidad.Aquí se muestran las formulas para determinar la media, la varianzay la desviación.Media μ= λVarianza σ2 =λDesviación típica σ = λ Distribución NORMALUna distribución normal de media μ y desviación típica σ se designapor N (μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas esigual a la unidad.Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área iguala 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.Distribución normal estándarN (0, 1)La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquellaque tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica launidad, σ =1.
  6. 6. La probabilidad de la variable X dependerá del área del recintosombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tablaTipificación de la variablePara poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable Xque sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga unadistribución N (0, 1).Cálculo de probabilidades en distribuciones normalesLa tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable ti-pificada.Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).Φ (k) = P (z ≤ k) DistribuciónGAMMALa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: sise está interesado en la ocurrencia de un evento generado por unproceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiem-po transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una dis-tribución gamma con parámetros a= n lambda(escala) y p=n (for-ma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el es-tudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta dememoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la fiabili-
  7. 7. dad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en unaconsulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segun-do paciente”). Distribución t StudentEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) esuna distribución de probabilidad que surge del problemade estimar la media de una población normalmente distribui-da cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muestrales y parala construcción del intervalo de confianza para la diferencia entrelas medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviacióntípica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los da-tos de una muestra.La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del co-ciente donde  Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1  V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad  Z y V son independientes Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
  8. 8. Supongamos que X1,..., Xn son variables aleato-rias independientes distribuidas normalmente, con media μy varianza σ2. Sea la media muestral. Entonces sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1. Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relaciona- do, Donde Es la varianza muestral y demostró que la función de den- sidad de T es Donde es igual a n − 1. La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student. El parámetro representa el número de grados de liber- tad. La distribución depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.

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