Presentazione che ho utilizzato per discutere la mia tesi di laurea nei 5 minuti che mi sono stati concessi.

1. Sviluppo di una libreria orientata agli
oggetti per il calcolo di NURBS con
applicazioni alla grafica 2D e 3D
Antonio Sanfelice
Universit`a degli Studi di Salerno
Corso di laurea in Informatica
Relatore: Dott. Mario Annunziato
A.A. 2009 - 2010

2. NURBS
Cosa sono?
Modello matematico per la rappresentazione di
curve e superfici
Sviluppo iniziato negli anni ’50 per esigenze
industriali
Comunemente usate nei software di computer
grafica
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3. NURBS
Definizione
Equazioni in forma parametrica
Ogni coordinata `e definita come funzione di un
parametro esterno
Generalizzazione di B-Spline e B´ezier spline
Tutte sono combinazioni lineari di un insieme di punti
detti punti di controllo
I pesi utilizzati per le combinazioni sono le funzioni di
base (o blending functions) che sono caratteristiche
del tipo di spline.
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4. NURBS
Funzioni di Base
B´ezier
Jn,i =
n
i
ui
(1 − u)n−i
B-Spline 


Ni,1(u) =
1 se xi ≤ u < xi+1
0 altrimenti
Ni,k(u) =
(u − xi)Ni,k−1(u)
xi+k−1 − xi
+
(xi+k − u)Ni+1,k−1(u)
xi+k − xi+1
B-Spline Razionali
Ri,k(u) =
hi Ni,k(u)
n
i=0
hi Ni,k(u)
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5. NURBS
Vettore dei nodi
x ∈ Rn+k+1
: xi ≤ xi+1 ∀i ∈ [1, n + k]
Periodico o Uniforme: Gli elementi del vettore sono
equispaziati;
Aperto: Valori ripetuti all’inizio e alla fine del vettore;
Non uniforme: Nessuna condizione a parte l’ordine non
decrescente.
NURBS ⇒ Non Uniform Rational B-Spline
B-Spline razionale che utilizza un vettore dei nodi non
uniforme
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6. Libreria
Poche librerie disponibili on-line
nurbs++
openNURBS
Sviluppata in Python
portabile
semplice e veloce
Se ci credono Google e la NASA un pensiero ce lo faccio
anche io
Orientata agli oggetti
Riutilizzo di codice
Facile da estendere e personalizzare
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7. Sviluppo
Funzionalit`a
Calcolo di curve e superfici
B´ezier
B-Spline
NURBS
Concatenazione di curve
Approssimazione e interpolazione di curve e superfici
tramite B-Spline
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8. Sviluppo
Algoritmo naive per il calcolo di curve
C(u) =
n
i=0
pi bi(u)
1: for all u do
2: C(u) ← (0, 0)
3: for i = 0 → n do
4: Determina bi(u)
5: C(u) ← C(u) + pibi(u)
6: end for
7: end for
Veloce
Facile da
implementare
Numericamente
instabile
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9. Sviluppo
Algoritmo di de Casteljau
Calcolo ricorsivo di combinazioni convesse
Facile da implementare
Pi`u stabile
Complessit`a computazionale pi`u alta ∼ O(n2
)
P ← p
for i = 0 → n do
for j = 0 → n − i do
Pj = (1 − u)Pj + u Pj+1
end for
end for
return P0
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10. Sviluppo
Class Diagram: Curve
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11. Sviluppo
Class Diagram: Superfici
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12. Grafica 2D
Esempi B-Spline
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13. Grafica 2D
Approssimazione di curva
Originale su carta
Output della libreria
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14. Grafica 3D
Approssimazione di superficie
Punti da approssimare Output della libreria
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15. Grafica 3D
Approssimazione di superficie
Punti da approssimare Output della libreria
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16. Possibili Applicazioni
Scanner 3D
Simulazione meccanica dei muscoli
Ricostruzione paesaggi
Applicazioni anche al di fuori della grafica
Path planning robot mobili ed industriali
Signal Processing
Reti Neurali
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17. Test sui Tempi di esecuzione
Breve confronto con il modulo NURBS di Octave
Misurazioni dei tempi di esecuzione eseguite tramite
la funzione time della bash;
Test: Calcolo di 200 punti di una curva B-Spline
periodica di ordine 4 ottenuta da 19 punti di
controllo.
Strumento real user sys user + sys
La mia libreria 1.484s 0.352s 0.116s 0.468s
Octave 0.758s 0.664s 0.092s 0.756s
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18. Grazie
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