Este documento describe diferentes conjuntos numéricos, incluyendo los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Explica las propiedades de cada conjunto y cómo están relacionados entre sí. También define conceptos como intervalos y fracciones generatrices de números decimales.

1. MEJIA RAZA NOEMI ADA

2. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
Es el conjunto denotado por IN cuyos elementos se emplean en la operación de contar:
𝑰𝑵 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; … … … .
Insuficiencia de IN
Resolver en IN:
𝒙 + 𝟑 = 𝟕 𝒙 + 𝟒 = 𝟐

3. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Es el conjunto denotado por Z y está constituido por los números naturales y los
negativos de los mismos:
Z= … ; −𝟑; −𝟐; −𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; … … .
Es evidente que IN es un subconjunto de Z 𝑰𝑵 ⊂ 𝒁.
El conjunto de los números enteros incluye tres subconjuntos importantes:
ENTEROS POSITIVOS
Denotado por 𝑍+
y está constituido por los números naturales positivos
𝒁+ = 𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕; 𝟖; … … .

4. Conjuntos numéricos
ENTEROS NEGATIVOS
Denotado por 𝑍− y está constituido por los negativos de los números naturales.
𝒁− = −𝟏; −𝟐; −𝟑; −𝟒; −𝟓; −𝟔; −𝟕; −𝟖; … … .
ENTEROS CERO
Denotado por 𝑍0 y su único elemento es el cero.
𝒁 𝟎
= 𝟎
Insuficiencia de Z
Resolver en 𝑍:
𝟑𝒙 = 𝟏𝟒𝟑𝒙 = 𝟏𝟓

5. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Es el conjunto denotado por 𝑸 y está constituido por todos los números que se pueden
expresar como razón de dos enteros:
Q= … ;
𝟑
𝟒
; −
𝟏
𝟓
;
𝟖
𝟑
; 𝟎; 𝟒; … … .
Es evidente que se verifica 𝑰𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝑸.
Insuficiencia de Q
Resolver en 𝑸:
𝟑𝒙 = 𝟏𝟒 𝒙 𝟐
= 𝟑

6. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Es el conjunto denotado por 𝑸′ y está constituido por todos los números que no pueden
expresarse como razón de dos enteros:
𝐐′ = … ; − 𝟐; − 𝟕; 𝝅; 𝒆; …

7. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Es el conjunto denotado por 𝑰𝑹 y está constituido por los números racionales e
irracionales:
Q= … ; −𝟒; −𝝅; −
𝟑
𝟒
; 𝟎; 𝟐; 𝒆;
𝟗
𝟐
; 𝟓; … … .
Es evidente que se verifica 𝑰𝑹 = 𝑸 ∪ 𝑸′.

8. Conjuntos numéricos
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

9. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALESDEFINICIÓN AXIOMÁTICA
Se llama Sistema de Números reales al conjunto IR dotado de dos operaciones internas
llamados ADICIÓN y MULTIPLICACIÓN y una RELACIÓN DE ORDEN “<” que se lee “es
menor que”.
AXIOMAS DE LA ADICIÓN
A1 LEY DE CLAUSURA O CERRADURA.
La suma de dos números reales también es un número real.
𝑺𝒊 𝒂 ∈ ℝ ∧ 𝒃 ∈ ℝ ⇒ (𝒂 + 𝒃) ∈ ℝ
A2 LEY CONMUTATIVA.
La suma de dos números reales no depende del orden en que se suman.
𝑺𝒊 𝒂 ∈ ℝ ∧ 𝒃 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂

10. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALES
A3 LEY ASOCIATIVA.
La suma de tres o más números reales no depende del modo en que son
agrupados o asociados.
𝑺𝒊 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
A4 AXIOMA DE EXISTENCIA YUNICIDAD DEL ELEMENTO NEUTRO ADITIVO.
Existe un elemento en IR y solamente uno denotado por “0”, tal que:
∀ 𝒂 ∈ ℝ ⇒ 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂
A5 AXIOMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL ELEMENTO INVERSO ADITIVO.
Para cada número real “a” existe un elemento en IR y solamente uno,
denotado por “-a” tal que:
𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎

11. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALESAXIOMAS DE LA MULTIPLICACIÓN

12. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALESAXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD
AXIOMAS DE LA RELACIÓN DE IGUALDAD

13. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALESDEFINICIÓN DE SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS REALES
DEFINICIÓN DE DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES
Dados dos números reales “a” y “b” se define la diferencia de “a” y “b” como la suma
de “a” con el inverso aditivo de “b”, esto es:
𝒂 − 𝒃 = 𝒂 + (−𝒃)
Dados dos números reales “a” y “b” se define el cociente de “a” entre “b” como el
producto de “a” con el inverso multiplicativo de “b”, esto es:
𝑎
𝑏
= 𝑎. 𝑏−1
; 𝑏 ≠ 0

14. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS
REALES
TEOREMAS FUNDAMENTALES
1. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADICIÓN
Sean a;b;c ∈ IR se cumple:
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
2. TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACIÓN.
Sean a;b;c ∈ IR se cumple
𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐
3. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA ADICIÓN.
Sean a;b;c ∈ IR se cumple
𝑆𝑖 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 ⇒ 𝑎 = 𝑏
4. TEOREMA DE CANCELACIÓN PARA LA MULTIPLICACIÓN.
Sean a;b;c ∈ IR se cumple
𝑆𝑖 𝑎. 𝑐 = 𝑏. 𝑐 ∧ 𝑐 ≠ 0 ⇒ 𝑎 = 𝑏

15. La recta real
Sobre una recta orientada L se fija un punto A, de modo que le corresponde el número
“0”, y convenimos en asegurar números mayores que cero a los puntos que están a la
derecha de A, (P1, P2, P3,…..,Pn) y números menores que cero a los puntos a la izquierda
de A, (Q1, Q2, Q3,….., Qn), hasta que ningún punto quede sin su correspondiente número
real y ningún número real sin su correspondiente punto; habremos establecido una
correspondencia biunívoca o perfecta entre los elementos de IR y los puntos de la recta
L: 𝟎 ↔ 𝑨; 𝟏 ↔ 𝑷 𝟏; 𝟐 ↔ 𝑷 𝟐; −𝟏 ↔ 𝑸 𝟏; −𝟐 ↔ 𝑸 𝟐; etc. Es decir, a cada punto de una
recta le corresponde un número real y recíprocamente, a cada número real le
corresponde un único punto sobre la recta.
Esta correspondencia se objetivisa de la siguiente manera:
y constituye lo que se denomina la recta real o recta numérica o eje lineal de
coordenadas.

16. Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución
de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
TIPOS DE INTERVALOS
INTERVALO CERRADO
Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo cerrado al conjunto de
todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃. (están incluidos los extremos a y b). Se denota
por 𝒂; 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

17. Tipos de intervalos
INTERVALO ABIERTO
Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo abierto al conjunto de
todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 < 𝒃. (No están incluidos los extremos a y b). Se
denota por 𝒂, 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 < 𝒃
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.
Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la
izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 se denota por
𝒂, 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃

18. Tipos de intervalos
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.
Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la
derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃

19. Tipos de intervalos
INTERVALOS INFINITOS
Para indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la
derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que
tienen la forma de:

20. Operaciones con intervalos
OPERACIONES CON INTERVALOS
Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las
propiedades operativas de conjuntos, como son la intersección, unión, diferencia y
complementación.
EJEMPLO:
Sean los intervalos : 𝑨 = 𝟔, 𝟏𝟐 ; 𝑩 = 𝟕, 𝟏𝟔 ; 𝑪 = 𝟏𝟔, +∞ . Halla 𝑨 ∩ 𝑩 ′
− 𝑪′.

21. NUMEROS RACIONALES (Q)

22. Número decimal
Los números racionales se representan de dos maneras: como
𝒂
𝒃
con “b” distinto de cero o
como número decimal.
Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir el
numerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una parte
decimal, separadas una de la otra por una coma.
Ejemplo: decimal finito o limitado
𝟔
𝟐𝟓
= 𝟎, 𝟐𝟒
Parte entera Parte decimal
𝟑𝟓
𝟖
= 𝟒, 𝟑𝟕𝟓
Parte entera Parte decimal
Ejemplo: decimal infinito periódico puro
𝟓
𝟑
= 𝟏, 𝟔𝟔𝟔 …
Parte entera Parte decimal
𝟕
𝟑𝟎
= 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟑 …
Parte entera Parte decimal
Ejemplo: decimal infinito periódico mixto

23. Fracción generatriz de un número decimal
Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de una
fracción. La fracción irreductible de la que procede dicho decimal se llama fracción
generatriz del número decimal o simplemente generatriz.
En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con tres
casos:

24. Fracción generatriz de un número decimal
PRIMER CASO: Cuando el número decimal es finito o limitado
Se convierte la fracción decimal donde el numerador es el número entero que
resulta al quitar al número decimal la coma, y el denominador es la unidad seguida
de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego se simplifica hasta
obtener una fracción irreductible.
Ejemplos:
𝟎, 𝟒 =
𝟒
𝟏𝟎
=
𝟐
𝟓
1,3=
𝟏𝟑
𝟏𝟎
𝟎, 𝟒𝟓 =
𝟒𝟓
𝟏𝟎𝟎
=
𝟗
𝟐𝟎
𝟐, 𝟖𝟑𝟐 =
𝟐𝟖𝟑𝟐
𝟏𝟎𝟎𝟎
=
𝟑𝟓𝟒
𝟏𝟐𝟓

25. Fracción generatriz de un número decimal
SEGUNDO CASO: Cuando el número decimal es infinito periódico
puro
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura se pone
por numerador el período y por denominador tantos nueves como cifras tiene el
período. La fracción resultante se simplifica hasta obtener la equivalente
irreductible. Si el decimal tuviese parte entera, se puede utilizar la notación de
número mixto.
Ejemplos:
𝟎, 𝟐 =
𝟐
𝟗
𝟑, 𝟔 = 𝟑
𝟔
𝟗
= 𝟑
𝟐
𝟑
=
𝟏𝟏
𝟑
𝟏, 𝟐𝟓 = 𝟏
𝟐𝟓
𝟗𝟗
=
𝟏𝟐𝟒
𝟗𝟗

26. Fracción generatriz de un número decimal
TERCER CASO: Cuando el número decimal es infinito periódico mixto
Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta se pone
por numerador la parte no periódica seguida del período, menos la parte no
periódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el período, seguido
de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando después
hasta hallar la equivalente irreductible.
Ejemplos:
𝟎, 𝟑𝟖 𝟑 =
𝟑𝟖𝟑 − 𝟑𝟖
𝟗𝟎𝟎
=
𝟑𝟒𝟓
𝟗𝟎𝟎
=
𝟐𝟑
𝟔𝟎
𝟒, 𝟐𝟑 𝟔𝟏𝟓 = 𝟒
𝟐𝟑𝟔𝟏𝟓 − 𝟐𝟑
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
= 𝟒
𝟏𝟗𝟔𝟔
𝟖𝟑𝟐𝟓

27. Operaciones con fracciones

28. Ing. Percy PEÑA MEDINA
Docente UCCI
ppena@continental.edu.pe

29. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Al relacionar cantidades mediante el signo igual podemos distinguir tres
situaciones: Igualdades, identidades y ecuaciones
IGUALDAD
Es la expresión de la equivalencia de dos cantidades numéricas o literales.
Ejemplos
𝟕 + 𝟒 = 𝟏𝟏 𝒙 + 𝟔𝒙 = 𝟕𝒙
𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟑𝟎 𝟕𝒚 + 𝟑𝒚 = 𝟏𝟎𝒚
𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟕𝒙𝟐 𝒂𝒙 + 𝟓𝒂𝒙 = 𝟔𝒂𝒙

30. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
IDENTIDAD
Es una igualdad literal que se verifica para cualquier valor de la variable (cantidad
desconocida).
Ejemplos:
Consideremos la identidad 𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙 y asignemos distintos valores a la
variable 𝒙.
𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙
𝟏𝟐 + 𝟑 ≡ 𝟏𝟐 + 𝟑
𝟏𝟓 ≡ 𝟏𝟓
𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 + 𝒙
𝟏𝟐 + 𝟕 ≡ 𝟏𝟐 + 𝟕
𝟏𝟗 ≡ 𝟏𝟗
Observamos que la identidad se cumple para cualquier 𝒙 ∈ 𝑹.

31. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN
Es una igualdad en la que hay una o más cantidades literales desconocidas
llamadas incógnitas.
Ejemplos:
i) 𝟏𝟐 + 𝒙 = 𝟐𝟎 𝒊𝒊) 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟔 𝒊𝒊𝒊) 𝟒𝒖 + 𝟔𝒘 − 𝟑𝒛 = 𝟓
Las incógnitas, en general, se presentan por las letras minúsculas 𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒖; 𝒗; 𝒘; 𝒆𝒕𝒄.
El grado de una ecuación con una incógnita está determinado por el mayor exponente
de dicha incógnita.
Ejemplos:
Ecuación Incógnita Grado de la ecuación
7𝑥 − 6 = 5𝑥 + 4
5𝑦2
− 2𝑦 = 10 − 3𝑦2
𝑥
𝑦
1er grado
2do. grado

32. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
ECUACIÓN
ECUACIÓN NUMÉRICA
Es aquella en que la única letra que
aparece es la incógnita.
ECUACIÓN LITERAL
Es aquella en que hay una o más letras
además de la incógnita.
Ejemplos:
𝟔𝒙 − 𝟏𝟑 = 𝟒𝒙 + 𝟕
𝟓𝒙 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝟎 − 𝟒
Ejemplos:
𝟗𝒙 − 𝟒𝒂 = 𝟕𝒙 + 𝟖𝒂
𝟕𝒙 − 𝟑𝒃 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒂 + 𝟗

33. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Las ecuaciones pueden ser:
Coeficientes enteros Coeficientes fraccionarios
Ejemplos:
𝟏𝟔 + 𝟐𝒙 = 𝟕 − 𝟑
𝟏𝟐 + 𝟔𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟎
Ejemplo:
𝟓𝒙
𝟐
− 𝟒 =
𝟐𝒙
𝟑
+ 𝟔

34. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Como toda ecuación es una igualdad de dos expresiones, comúnmente se llama primer
miembro de la ecuación a lo que está a la izquierda del signo igual y segundo miembro a lo
que está a la derecha, cada miembro de la ecuación puede constar de uno o más términos.
Ejemplo:
𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟖𝒙 + 𝟗 − 𝒙
Primer miembro Segundo miembro
El procedimiento para encontrar el valor que satisface dicha igualdad se llama resolución de
la ecuación.
Ejemplo:
Resolver: 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟏𝟔

35. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Ejemplo:
Resolver: 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟏𝟔
La solución de esta ecuación es 𝒙 = 𝟔,
ya que si se reemplaza 𝒙 por el valor de
6, se verifica la igualdad.
En cambio, si se sustituye la incógnita 𝒙
de la ecuación anterior por cualquier
valor distinto de 6 la igualdad no se
satisface.
SOLUCIÓN O RAIZ DE UNA ECUACIÓN
Es el valor de la incógnita que hace
verdadera la igualdad.
Toda ecuación de primer grado con una
incógnita tiene sólo una solución.

36. Resolución de ecuaciones de primer grado con
una incógnita
Al resolver una ecuación, es necesario aplicar las propiedades de las operaciones y algunas
de las propiedades de la igualdad en el conjunto de los números reales (R), entre las que
destacaremos las siguientes:
PROPIEDAD ADITIVA PROPIEDAD MULTIPLICATIVA
«Si a los dos miembros de una igualdad se
suma un mismo número real, la igualdad se
mantiene»
«Si los dos miembros de una igualdad se
multiplican por un mismo número real, la
igualdad se mantiene»

37. Resolución de ecuaciones de primer grado con
una incógnita
Entre las ecuaciones de primer grado con una incógnita, podemos distinguir los
siguiente:
Con solución Sin Solución Con infinitas soluciones
(indeterminada)
𝟓𝒙 = 𝟏𝟓
𝒙 = 𝟑
𝟎. 𝒙 = 𝟔 𝟎. 𝒙 = 𝟎

38. Ecuaciones de primer grado con coeficientes
fraccionarios
Para la resolución de una ecuación de primer grado con coeficiente fraccionario, se
requiere previamente transformarla en una ecuación con coeficientes enteros
Ejemplo 01
Resolver:
𝟑𝒙−𝟏
𝟐
+ 𝒙 =
𝟒 𝒙+𝟔
𝟑
Ejemplo 02
Resolver: 𝟐𝐱 −
𝟑𝒙−𝟒
𝟓
= 𝟑𝒙 −
𝒙−𝟐
𝟑

39. Ecuaciones de primer grado con coeficientes
fraccionarios
Resolver:
𝒙
𝟔
+ 𝟔 =
𝟏
𝟑
− 𝒙 Resolver:
𝒙−𝟏
𝟔
−
𝟐𝒙−𝟑
𝟖
− 𝟓 =
𝒙−𝟏𝟎
𝟒
Resolver:
𝒙+𝟑
𝟖
−
𝟑+𝟓𝒙
𝟗
=
𝟐𝒙+𝟏
𝟔
Resolver:
𝟏𝟔𝒙+𝟑
𝟒
−
𝟏𝟎𝒙−𝟏
𝟔
= 𝟒𝒙 + 𝟕

40. Ecuaciones de primer grado con incógnita en el
denominador
Para resolver una ecuación de primer grado con incógnita en el denominador se aplica
el mismo procedimiento utilizado para las ecuaciones con coeficientes fraccionarios, y
además se emplean los productos notables y la factorización de expresiones algebraicas.
Ejemplo 01
Resolver:
𝟕
𝟑𝒙+𝟐
+
𝟏
𝟖
= 𝟏
Ejemplo 02
Resolver:
𝟒𝒙+𝟓
𝟓𝒙−𝟑
−
𝟑𝒙+𝟔
𝟑−𝟓𝒙
= 𝟗

41. Ecuaciones de primer grado con incógnita en el
denominador
Resolver:
𝟕
𝟐𝒙+𝟑
=
𝟓
𝒙+𝟑
Resolver:
𝟐𝒙+𝟏
𝒙+𝟑
− 𝟏 =
𝒙+𝟑
𝒙−𝟏
Resolver:
−𝟏
𝒙+𝟏
−
𝟐
𝒙−𝟏
=
𝟑
𝒙 𝟐−𝟏 Resolver:
𝒙 𝟐+𝟕𝟖
𝟐𝒙 𝟐−𝒙−𝟔
=
𝟐𝒙+𝟒
𝒙−𝟐
−
𝟑𝒙−𝟔
𝟐𝒙+𝟑

42. Ecuaciones literales
Hemos visto que las ecuaciones literales de primer grado son aquellas en que aparecen
una o más letras, además de la incógnita.
La resolución de ecuaciones literales de primer grado requiere de los mismos
procedimientos utilizados para las ecuaciones con coeficientes numéricos.
Ejemplo 01
Resolver:
𝒙−𝒂
𝒃
+
𝒙−𝒃
𝟐
= 𝟐
Ejemplo 02
Resolver:
𝒙
𝟐𝒂
−
𝟏−𝒙
𝒂 𝟐 =
𝟏
𝟐𝒂

43. Ecuaciones literales
Resolver: 𝒙 −
𝒙
𝒂
= 𝒃 Resolver:
𝟒𝒙
𝟐𝒂+𝒃
+
𝟑
𝟐
= 𝟑
Resolver:
𝒂𝒙
𝒃
−
𝒃 𝒙−𝒃
𝒂
= 𝒂 Resolver: 𝒂 𝒙 + 𝒃 = 𝒂 𝟐
+ 𝒃 𝟐
+ 𝒃 𝒙 − 𝒂

44. Ing. Percy PEÑA MEDINA
Docente UCCI
ppena@continental.edu.pe

45. Definición
Si 𝒂, 𝒃, 𝒄 son números reales cualesquiera y 𝒂 ≠ 𝟎, diremos que:
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Es una ecuación cuadrática en 𝒙.
Resolver una ecuación de segundo grado es hallar los valores de la
incógnita 𝒙 que hacen cierta la igualdad: 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎;
convirtiéndola en una identidad. Estos valores que toma 𝒙 son las
raíces o soluciones de dicha ecuación.
RAIZ DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Diremos que el numero 𝒓 (real o complejo) es raíz de la ecuación
cuadrática 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 si y sólo si 𝒂𝒓 𝟐 + 𝒃𝒓 + 𝒄 ≡ 𝟎.

46. Resolución algebraica
Para hallar las raíces distinguiremos tres casos según el trinomio sea incompleto
o completo.
CASO 01
Si: 𝒃 = 𝟎, la ecuación cuadrática es de la forma:
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Despejando 𝒙: 𝒙 = ±
−𝒄
𝒂
(fórmula)
La fórmula hallada nos da las dos raíces de la ecuación: 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎, una con
signo positivo y otra con signo negativo, se ha considerado el signo ± en la
fórmula porque la raíz cuadrada de un número real tiene dos soluciones reales o
complejas, según que el radicando sea positivo o negativo.

47. Resolución algebraica
Ejemplo 01:
Resolver la ecuación : 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎
Ejemplo 02:
Resolver la ecuación : 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐 = 𝟎

48. Resolución algebraica
CASO 02
Si: 𝐜 = 𝟎, la ecuación cuadrática es de la forma:
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
Las raíces se obtienen sacando a «𝒙» como factor común:
𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝒙 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
De donde:
i) 𝒙 = 𝟎
ii) 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
Luego, las raíces o soluciones de la ecuación: 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
; son : 𝒙 𝟏 = 𝟎 ; 𝒙 𝟐 = −
𝒃
𝒂

49. Resolución algebraica
Ejemplo 01:
Resolver la ecuación : 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟔𝐱 = 𝟎
Ejemplo 02:
Resolver la ecuación : 𝟑𝒙 𝟐 + 𝟗𝐱 = 𝟎

50. Resolución algebraica
CASO 03
Ecuación completa: 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎.
Para poder despejar «x», es preciso completar un cuadrado
perfecto, lo que se consigue de la forma siguiente:

51. Resolución algebraica
Resolver la ecuación:
𝑥2 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎
Resolver la ecuación:
𝑥2 − 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Resolver la ecuación:
𝟔𝒙 𝟐 − 𝟏𝟑𝒙 − 𝟔 = 𝟎

52. Propiedades de las raíces.
De la fórmula para resolver la ecuación completa de segundo grado, separando
las raíces se tiene:
𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 = −
𝒃
𝒂
Es decir: la suma de las raíces de la ecuación de
segundo grado es igual al coeficiente de «𝒙» con
signo contrario, dividido por el coeficiente de 𝒙 𝟐
.

53. Propiedades de las raíces.
Dada la ecuación: 𝑥2 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟐𝟔 = 𝟎. Calcular la suma de sus raíces.
Dada la ecuación: 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Calcular la suma de sus raíces.

54. Propiedades de las raíces.
𝒙 𝟏. 𝒙 𝟐 =
𝒄
𝒂
Es decir: el producto de las raíces de la ecuación
de segundo grado es igual al término
independiente, dividido por el coeficiente de 𝒙 𝟐
.
Si multiplicamos miembro a miembro las raíces, se tiene:

55. Propiedades de las raíces.
Dada la ecuación: 𝑥2
+ 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 .
Calcular el producto de sus raíces.
Dada la ecuación: 𝟐𝑥2
+ 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 .
Calcular el producto de sus raíces.

56. Formar una ecuación de segundo grado dadas sus raíces.
Al resolver una ecuación de segundo grado o cuadrática, se obtuvo como raíces: 𝒙 𝟏 𝒚 𝒙 𝟐 ,
podríamos decir que la ecuación que dio origen a esas raíces es: 𝒙 − 𝒙 𝟏 𝒙 − 𝒙 𝟐 = 𝟎.
Desarrollando se obtiene:
𝒙 𝟐
− 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 𝒙 + 𝒙 𝟏. 𝒙 𝟐 = 𝟎
Suma de raíces Producto de raíces
Luego:
𝒙 𝟐
− 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 𝒙 + 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒂í𝒄𝒆𝒔 = 𝟎

57. Formar una ecuación de segundo grado dadas sus raíces.
Dada la ecuación: 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒 = 𝟎.
Calcular la suma de las raíces.
Dada la ecuación: 𝟑𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎.
Calcular el producto de las raíces.
Escribir una ecuación cuyas raíces son 4 y 9. Hallar dos números que sumen 6 y cuyo
producto es 8.

58. Estudio acerca de la naturaleza de las raíces de la
ecuación de segundo grado o cuadrática.
DISCRIMINANTE DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
El número real 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 se llama discriminante de la ecuación cuadrática 𝒂𝒙 𝟐 +
𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎.
Con la letra griega ∆ (𝒅𝒆𝒍𝒕𝒂) vamos a denotar al discriminante, esto es:
∆= 𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄

59. Estudio acerca de la naturaleza de las raíces de la
ecuación de segundo grado o cuadrática.
La ecuación cuadrática 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎.
Tiene dos raíces reales
diferentes, si y sólo si:
∆> 𝟎
Las raíces son (𝒙 𝟏; 𝒙 𝟐)
Tiene sólo una raíz real, si y
sólo si:
∆= 𝟎
Las raíces son (𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟐)
No tiene raíces reales, si y
sólo si:
∆< 𝟎
Las raíces son:
𝒙 𝟏 = 𝒎 + 𝒊𝒏 ; 𝒙 𝟐 = 𝒎 − 𝒊𝒏

60. Resolución de una ecuación de segundo grado con una
incógnita.
En forma general una ecuación de segundo grado con una incógnita , se resuelve:
a) Por el método de factorización
b) Empleando la fórmula general
c) Completando cuadrados

61. Método de factorización
Resolver: 𝟓𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 = 𝟔 − 𝟑𝒙 Resolver: 𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 − 𝟏𝟎𝟓 = 𝟎
Resolver: 4𝒙 𝟐
− 𝟒𝟗𝒙 = −𝟏𝟐 Resolver: −𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎

62. Fórmula general
Resolver: 𝟑𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 Resolver: 𝟓𝒙 𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐 = 𝟎
Resolver: 3𝒙 𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 Resolver: 𝟓𝒙 − 𝟐 𝟐
= 𝟏𝟎𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟔𝟏

63. Completando cuadrados
Resolver: 𝟓𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑 = 𝟎 Resolver: 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟖 = 𝟎
Resolver: 2𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟑𝟎 = 𝟎 Resolver: 𝒙 + 𝟐 𝟐
− 𝟔 = 𝒙 + 𝟐

64. Resolución de ecuaciones cuadráticas con una incógnita en
el denominador.
Resolver:
𝟐𝒙−𝟏
𝒙−𝟏
−
𝒙+𝟏
𝒙−𝟐
= 𝟎 Resolver:
𝟏𝟎
𝒙−𝟐
=
𝟕
𝒙−𝟑
−
𝟔
𝒙−𝟏
Resolver:
𝒙
𝒙+𝟏
+
𝒙
𝒙+𝟒
= 𝟏 Resolver:
𝒙+𝟖
𝒙−𝟖
− 𝟐 =
𝟐𝟒
𝒙−𝟒

65. Resolución de ecuaciones cuadráticas literales.
Resolver: 𝟐𝐦𝒙 𝟐 − 𝒎 − 𝟒 𝒙 − 𝟐 = 𝟎
Resolver:
𝒎+𝒙
𝒎−𝒙
+
𝒎−𝟐𝒙
𝒎+𝒙
+ 𝟒 = 𝟎