1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Lingkaran adalah model bangun datar yang sering kita
jumpai dalam kehidupan sehari-hari, seperti roda, bundaran yang
ada di jalan, piring. Ketiga benda tersebut merupakan bentuk dari
model lingkaran. Segitida dan belah ketupat juga model yang
sering kita jumpai selain lingkaran. Dalam kehidupan sehari-hari
bentuk segitiga sering kita jumpai pada bentuk makanan, misalnya
bentuk segitiga sering dijumpai dipasar berupa potongan tahu yang
persegi dipotong menjadi dua pada diagonalnya. Belah ketupat
juga sering dijumpai pada makanan terutama ketupat. Setiap
bidang pasti mempunyai luas, apakah ketiga model bangun datar
tersebut dapat kita hitung
Archimedes (287-212 SM) merupakan seorang pemikir
hebat. Karya besarnya dalam bidang matematika dapat dijumpai
pada bidang geometri. Perhitungan denga diameter lingkaran
merupkan sumbangan besar yang dihasilkannya. Nilai berkisaran
antara 3,1408 dan 3,1428. Salah satu karya terbesar lainnya adalah
sebagai rumus luas sebuh lingkaran . Dalam geometri ruang
1

2. Archimedes merumuskan sebagai rumus sebuah volume
sebuah bola berjari-jari r. selain itu, ia mengungkapkan bahwa
rasio luas bola dengan luas tabung yang mengelilignya dinyatakan
sebagai 2:3 (dengan catatan tinggi dan panjang diameter tabung
tersebut sama dengan diameter bola).
Pythagoras (582 SM – 496 SM,) adalah seorang
matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui
teoremanya.Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan
sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan
pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Phytagoras yang
terkenal adalah teorema Pythagoras untuk menghitung segitiga
siku-siku.
Berdasar kan uarian di atas, tidak ada salahnya kalau kita
menghitung luas bangun datar dengan rumus luas bangun datar
yang lain. Dengan syarat rumus harus menyesuaikan dan ada satu
ruas yang menjadi patokan. Rumus bangun datar diketahui
merupakan turunan dari rumus luas persegi dan persegi panjang.
Pada makalah ini akan di uraikan cara menghitung luas lingkaran
dengan rumus luas segitiga dan rumus luas belah ketupat . yang
menjadi ruas patokan adalah jari-jari pada lingkaran.
2

3. B. Rumusan Masalah
Makalah ini berjudul” menghitung luas lingkaran dengan
rumus luas segitiga dan belah ketupat”. Adapun sub-sub masalah
dalam penulisan makalah ini adalah sebagai berikut?
1. Dapatkah sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring
dengan ukuran yang sama membentuk satu atau lebih bangun
segitiga dan belah ketupat?
2. Dapatkah kita menghitung luas lingkaran dengan rumus luas
segitiga dan belah ketupat?
3. Samakah hasil perhitungan ketiga rumus tersebut?
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah maka tujua dari penalitian
ini adalah:
1. Sebuah lingkaran yang dipotong berdasarkan juring dengan
ukuran yang sama dapat membentuk satu atau lebih bangun
segitiga dan belah ketupat.
2. Kita dapat menghitung luas lingkaran dengan rumus luas
segitiga dan belah ketupat.
3. Hasil perhitungan ketiga rumus tersebut sama.
3

4. D. Definisi Operasional
1. Lingkaran
Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya
dan semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut
mempunyai jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu.
2. Segitiga
Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh tiga garis lurus
dan membentuk tiga sudut.
3. Belah Ketupat
Belah ketupat adalah segiempat yang terbentuk dari segitiga
sama kaki dan bayagannya oleh pencerminan terhadap alas
segitiga.
4. Ilustrasi
Ilustrasi adalah reka ulang atau percobaan terhadap suatu
kejadian.
4

5. BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang
berjarak sama dari suatu titik tetap di bidang tersebut. Titik tetap
itu dinamakan pusat lingkaran (Ngapinigsih ddk: 2010). Adapun
jarak dari suatu titik pada lingkaran ke titik pusat dinamakan jari-
jari lingkaran atau sering dilambangkan dengan r. bidang lingkaran
adalah daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Dari uraian diatas
terlihat perbedaan yang nyata antara lingkaran dan bidang
lingkaran.
B. Unsur-unsur Lingkaran
Suatu lingkaran dengan titik pusat O mampunyai unsur-unsur
sebagai berikut.
1. Titik O merupakan titik pusat lingkaran.
2. Jari-jari lingkaran adalah Jarak dari pusat lingkaran (O)
berupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan
lingkaran. Pada gambar (1.a) ruas garis AO atau CO
merupakan jari-jari.
5

6. 3. Tali busur merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang
memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.pada gambar
(1.a) BC, dan DE.
4. Apotema adalah ruas garis yang ditarik dari titik pusat
lingkaran tegak lurus pada sebuah tali busur. Apotema juga bias
disebut sebagai jarak titik pusat lingkaran dengan tali busur
tertentu. Pada gambar (1.a), ruas garis OF merupakan apotema.
G
E F D
r O r
A C
r
B
Gambar 1.a
5. Busur merupakan bagian dari keliling lingkaran dan
dilambangkan dengan garis lengkung. Busur yang kurang dari
setengah lingkaran dinamakan busur besar. Pada gambar (1.b)
ditunjukan busur besar dan kecil dengan garis tebal.
6. Juring atau sector adalah daerah didalam lingkaran yang
dibatasi oleh 2 jari-jari lingkara dan busur lingkaran di hadapan
sudut pusat yang dibentuk oleh kedua jari-jari tersebut. Juring
6

7. denga sudut pusat kurang dari 1800 dinamakan juring kecil
(gambar daerah A), sedangkan juring dengan sudut pusat lebih
dari 1800 dinamakan juring besar(gambar daerah B). Lihat
gambar (1.c).
A
B
Gambar 1.c
7. Tembereng adalah daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran
dan tali busurnya. Tembereng yang sudut pusatnya kurang dari
1800 dinamakan tembereng kecil (gambar daerah ).
Sedangkan dengan sudut pusat lebih dari 1800 dinamakan
tembereng besar (gambar daerah ). Lihat gambar (1.d).
Juring kecil Juring besar
7

8. 8. Sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh 2 jari-jari
lingkaran (titik sudutnya pada pusat lingkaran). Sedangkan
sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh dua tali busur
yang berpotongan pada titik lingkaran (titik sudut terletak pada
lingkaran). Lihat gambar (1.e).
C
O
O
.
.
.
A .
B
Gambar 1.e
C. Luas Lingkaran
Dalam menghitung luas dan keliling lingkaran dan bangun
runag yang memiliki unsur lingkaran seperti bola, tabung, dan
kerucut. Kita selalu mengunakan nilai perbandingan yang
disebebut phi atau di tulis dengan nilai 3,14. Nilai atau nilai
perbandingan tersebut didapat dari perbandingan keliling lingkaran
dengan diameter. Ilustrasikan kita sebuah hulahop, yang
berdiameter 140 cm dipotong pada satu titiknya. Hulahop tersebut
diluruskan dan di ukur panjangnya, ternyata panjangnya 440 cm.
berarti keliling hulahop tersebut 440.
8

9. Buat perbandingan antara panjang hulahop dengan
diameternya.
Untuk membuktikan hal di atas lakuka percubaan berulang kali
dengan diameter yang berbeda.
Dari percobaan dapat disimpulakan bahwa nilai perbandingan
antara keliling lingkaran dan diameternya merupakan bilangan
yang tetap ( ).
1. Pengertian Luas Lingkaran
Luas lingkaran adalah luas daerah bidang datar yang dibatasi
oleh suatu lingkaran
2. Rumus Luas Lingkaran
Rumus luas lingkaran
atau
Keterangan:
r = jari-jari lingkarn
d= diameter lingkaran (2x r)
9

10. D. Menghitung Luas Lingkaran Dengan Rumus Luas Segitiga
Makalah ini memaparkan hasil perhitungan luas lingkaran dengan
rumus segitiga. Ilustrasi,
a. buatlah lingkaran pada selembar kertas.
b. Gunting lingkaran menjadi 16 potong juring (gambar D.4).
c. Susun juring seperti segitiga (gamabar D.5).
Gambar D.4
Gambar D.5
Berdasarkan hasil ilustrasi pada gambar D.4 dan gambar D.5, maka
kita dapat meng hitung luas lingkaran dengan rumus segitiga.
Rumus segitiga pada umumnya kita kenal
10

11. Berdasarkan susunan juring pada gambar D.5 maka dapat
disimpulkan bahwa juring tersebut dapat kita hitung satu persatu
lalu dijumlahkan. Luas daerah lingkaran = LΔ1 + LΔ2 + LΔ3 +
LΔ4 + … + LΔn-1 + LΔn
Setiap segitiga itu dapat dipandang sebagai sebuah segitiga dengan
tinggi r dan alasnya adalah a, sehingga Luas sebuah segitiga adalah
½ ra.
Atau kita tuliskan
LΔ1= ½ r a1
LΔ2 = ½ r a2
LΔ3 = ½ r a3
…………………….
LΔn-1 = ½ r an-1
LΔn = ½ r an
_______________________ +
Luas daerah keseluruhan adalah (½ r a1 + ½ r a2 + ½ r a3 + … + ½
r an-1 + ½ r an)
L O = ½ r (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)
Kita tahu bahwa a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an keliling lingkaran
berjari-jari r tersebut, sehingga
a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = 2πr
Karenanya L O = ½ r (2πr) = πr2
11

12. Berdasar uraian di atas, ditemukan perhitungan rumus luas segitiga
untuk luas lingkaran sebagai berikut:
Rumus Segitiga =
Rumus segitiga dari model lingkaran untuk mencari luas lingkaran
dengan rumus segitiga.
atau
Untuk nilai a digunakan rumus :
atau
Keterangan:
r = jari-jari lingkarn
a = alas segitiga yang tersusun dari potongan juring.
m= banyak segitiga yang dibentuk dari segitiga
n= banyak potongan juring.
d= diameter lingkaran (2x r)
12

13. E. Menghitung Luas Linngkaran dengan Rumus Belah Ketupat
Selain dapat membentuk segitiga, potongan juring juga
dapat membentuk bagun belah ketupat. Ilustrasikan:
1. Buat lingkaran pada selembar kertas.
2. Potong lingkaran menjadi 16 juring sama besar (gambar D.4)
3. Susun potongan juring membentuk 2 buah belah ketupat
(gambar E.1)
Berdasarkan ilustrasi di atas maka dapat ditulis rumus sebagai
berikut:
Rumus belah ketupat =
13

14. d1 = diagonal 1
d2 = diagonal 2
Lingkaran jika dipotong menjadi beberapa juring, bila disusun
dapat membentuk 1 atau lebih bangun belah ketupat. Sehingga luas
ligkaran dapat dihitung dengan rumus luas belah ketupat. Rumus
belah ketupat untuk menghitung luas lingkaran di uraikan sebagai
berikut:
Untuk d1 rumusnya adalah:
d1 = p x r
Untuk d2 rumusnya adalah
atau
14

15. Keterangan:
p=jumlah juring yang membentuk tinggi diagonal d1
r = jari-jari lingkarn
d= diameter lingkaran (2x r)
d1 = tinggi diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis AC).
d2 = lebar diagonal belah ketupat ( lihat gambar … garis BD).
m= banyak bangun belah ketupat yang dibentuk dari segitiga
n= banyak potongan juring.
= 3,14
F. Contoh Soal
Beberapa contoh soal dibawah ini menunjukan bahwa hasil
perhitungan luas lingkran dengan rumus lingkaran
atau
Sama dengan hasil perhitungan dengan rumus segitiga:
L = atau , L =
15

16. Untuk nilai a digunakan rumus :
atau
Dan hasil perhitungan dengan rumus belah ketupat:
Untuk d1 rumusnya adalah:
d1 = p x r
Untuk d2 rumusnya adalah
d2 = atau d2 =
Soal:
1. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 4 cm. hitunglah berapa luas
lingkaran tersebut. .
Jawab.
Diketahui: r = 4 .
a. Rumus lingkaran.
L= 3,14 x 4 x 4
= 3,14 x 16
= 50,24 cm2
16

17. b. Rumus segitiga 1
Misalkan: lingkran dibagi menjadi 16 juring dan di susun
menjadi satu bagun segitiga.
Diketahui:
r=4 m= 1 d= 8
n = 16
Jawab :
L=
= a = 1,57
= 8 x 6,25
= 50,24 cm2
Rumus Segitiga 2
Diketahui:
r=4 d= 8
Jawab:
a = 25,12
17

18. 2 x 25,12
50,24 cm2
c. Rumus Belah Ketupat
d1= p x r
Misalkan, lingkaran di bagi menjadi 16 juring sehingga
dapat disusun menjadi 2 buah belah ketupat.
Diketahui:
r=4 d= 8 m= 2
p= 4 n= 16
Jawab:
Mencari nilai d1.
d1= p x r
=4x4
= 16
18

19. Mencari nilai d2.
= 6,28
Subtitusikan nilai d1 dan d2 ke rumus:
cm2
19

20. BAB III
PEENUTUP
A. Kesimpulan
Lingkaran adalah suatu garis lengkung yang kedua ujungnya dan
semua titik yang terletak pada garis lengkung tersebut mempunyai
jarak yang sama jauh terhadap suatu titik tertentu. Jika lingkaran
dipotong dibagi menjadi beberapa juring dan juring-juring tersebut
dapat disusun menjadi bangun datar yang lain seperti segitiga,
belah ketupat, jajargenjang dan persegi panjang. Berdasarkan isi
makalah yang memuat perubahan deri potongan lingkaran yang
terbagi kedalam beberapa juring maka dapat disimpulkan bahwa
luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus dari bangun yang
terbentuk. Seperti potongan juring menjadi segitiga atau belah
ketupat maka luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus luas
segitiga dan rumus belah ketupat. Adapun rumus yang digunakan
sebagai berikut:
1. Rumus luas lingkaran
atau
20

21. 2. Rumus luas segitiga untuk menghitung luas lingkran
untuk nilai
Atau
untuk nilai
3. Rumus luas belah ketupat untuk menghitung luas lingkaran
Untuk d1 rumusnya adalah: d1 = p x r
Untuk d2 rumusnya adalah :
B. Saran
Jagan takut untuk mencoba sesuatu yang baru selama itu baik,
selalu berusaha mengembangkan, mengali, dan terus mencari,
sebab matematika merupakan misteri besar yang dapat
diungkapkan dengan berbagai cara, berbagai kalimat
matematika dan berbagai percobaan.
21