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  1. 1. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 1 MODELO DE REDES EJERCICIO 1 Almacenes MB distribuye sus artículos en 5 ciudades, por lo regular dispone de 10 artículos INSITU. Estos artículos deben ser enviados a 2 locales de construcción designados con el número 3 y 4. En el local 3 se necesitan 3 artículos y 7 en el otro local. Elabore: El diagrama de Red El diagrama de capacidades y costos agregados La formulación de programación lineal (PL) de este problema. La matriz de incidencia (nodo-arco) La tabla de transporte Desarrollo: Minimizar: 𝒁 = 𝐶12 𝑋12 + 𝐶23 𝑋23 + 𝐶24 𝑋24 + 𝐶25 𝑋25 + 𝐶34 𝑋34 + 𝐶43 𝑋43 + 𝐶53 𝑋53 𝑋12 = 10 +10 1 2 5 4 3 -3 -7 C54 C43 C12 C25 C24 C23 +10 1 2 5 4 3 -3 -7 U12 U23 U24 U25 U53 C53 C34 U34 U43 U54
  2. 2. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 2 -𝑋12 + 𝑋23 + 𝑋24 + 𝑋25 = 0 −𝑋23 + 𝑋34 − 𝑋43 − 𝑋53 = −3 −𝑋24 − 𝑋34 + 𝑋43 − 𝑋54 = −7 −𝑋25 + 𝑋53 + 𝑋54 = 0 Matriz de incidencia Tabla de Transporte 𝒁 = 3𝑃13 + 7𝑃14 EJEMPLO 2 A L Q C RG ICGR CRA CAL CLA CAI CLR CRL CQLCQL CCI CRC CCR XGR XRA XAL XLA XAI XCI XQLXLQ XLR XRL XRC XRC 50 -8 -9 -3 -12
  3. 3. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 3 NODO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 VALOR G 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50 R -1 1 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -8 A 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 -9 L 0 0 1 -1 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 -3 Q 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 C 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1 0 1 -18 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -12 𝒁 = 𝟖𝑷𝑮𝑹 + 𝟗𝑷𝑮𝑨 + 𝟑𝑷𝑮𝑳 + 𝟏𝟖𝑷𝑮𝑪 + 𝟏𝟐𝑷𝑮𝑰 EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA Se refiere a una red en la que cada arco (i,j) tiene asociado un número Cij que se interpreta como la distancia (Costo, Tiempo) que hay entre los NODOS i,j. El objetivo consiste en encontrar las rutas más cortas (económicas, rápidas) entre un nodo específico y todos los demás nodos de la red. ALGORITMO PASO 1 CCQ CQC XQC XCQ -18
  4. 4. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 4 Considere todos los nodos que estén directamente conectados con el origen, el componente de distancia de la etiqueta que se pone a cada nodo es la distancia desde el origen, el componente predecesor es el origen. Estas etiquetas se llaman temporales. PASO 2 De entre todos los nodos con etiqueta temporal escoja uno cuyo componente de distancia sea mínima y etiquételo permanentemente. Todos los empates en cualquier punto del algoritmo se rompen arbitrariamente. Tan pronto como todos los nodos han sido etiquetados en forma permanente vaya al paso 4. PASO 3 Todo nodo que no tenga etiqueta permanente no tiene etiqueta o su etiqueta es temporal. Considérese todas las etiquetas de los vecinos del nodo, para cada uno de estos nodos calcular la suma de su distancia más la componente de la distancia de la etiqueta. Si el nodo no está etiquetado asigne una etiqueta temporal que consta de esta distancia y la del predecesor. Si el nodo en cuestión ya tiene etiqueta temporal, cambie si y solo si la distancia recién calculada es menor que la distancia de la etiqueta actual y regrese al paso dos. PASO 4 Las etiquetas permanentes indican la distancia más corta desde el origen a cada nodo de la red también indican el nodo predecesor en la ruta más corta hacia cada nodo. EJERCICIO 1 Una persona hace frecuentes repartos de cerveza a 7 sectores diferentes de Riobamba. Después de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema a cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos conectados se piensa minimizar la totalidad de sus costos asegurando que cualquier reparto futuro se haga a través de la ruta más corta. Se debe resolver en (n-1) pasos. (8-1)=7 pasos 7 1
  5. 5. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 5 4 6 5 3 2 1 T 3 3 2 3 1 1 1 2 7 1 1 8 4 6 1 7 4 6 5 3 2 1 T 1 3 3 2 3 1 1 1 2 7 1 1 8 4 6 1 (0,T) (5,1) (6,3) (9,4) (8,4)
  6. 6. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 6 NODO RUTA MÁSCORTA DESDE T DISTANCIA 1 T-1 4 2 T-1-3-2 6 3 T-1-3 5 4 T-1-3-4 6 5 T-1-3-2-5 8 6 T-1-3-4-6 9 7 T-7 8 EJERCICIO 2 Una persona reparte harina en 5 lugares después de haber obtenido la información necesaria se establece el siguiente esquema. A cada arco se asocia la distancia que hay entre los nodos conectados. Se pide minimizar la totalidad de los costos asegurando que cualquier reparto seguro se haga a través de la ruta más corta. (4,T) (6,3) (8,2) H E D C B A 11 3 6 7 5 23 4 5 10 1
  7. 7. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 7 NODO RUTA MÁS CORTA DESDE H DISTANCIA A H-A 1 B H-A-B 6 C H-A-C 5 D H-A-D 4 E H-A-D-E 7 EJERCICIO 3 H E D C B A 11 3 6 7 5 23 4 5 10 1 (0,H) (1,H) (5,A) (4,A) (6,A) (7,D) Y D E A (0,y) (1,y) (3,A) (4,A) 1 2 3 7 8
  8. 8. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 8 NODO RUTA MÁSCORTA DESDE Y DISTANCIA A Y-A 1 B Y-A-B 6 C Y-A-C 5 D Y-A-D 4 E Y-A-E 3 PROBLEMA DEL ÁRBOL EXÁNDIDO MÍNIMO (ENLACES DE COMUNICACIÓN) La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la red con un costo total mínimo. Esto se conoce como árbol expandido mínimo o árbol de expansión mínima como sabemos un árbol es el conjunto n-1 arcos (pasos) en una red de nodos en una red con n nodos que conecte todo par de nodos. ALGORITMO GLOTÓN Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple, existen 2 formas que son: El Método Gráfico El Método Tabular Método Gráfico 1. Comience en cualquier nodo, escoja el arco más barato que parta de cada nodo, este es su primer enlace y se conoce como segmento de conexión entre dos nodos, los demás nodos se llaman nodos desconectados. C B (5,A) (6,B) 4 5 6
  9. 9. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 9 2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a los nodos a los nodos desconectados. Seleccione el más económico como siguiente enlace. Rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo nodo al segmento de conexión Repita este paso hasta que todos los nodos estén conectados, es decir, requiere de n-1 pasos. Método Tabular 1. Empiece arbitrariamente con cualquier nodo, se designa este nodo como conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a este nodo y tache el índice de la columna que corresponde a este. 2. Considere todas las filas que tenga el visto, busque el valor mínimo en las columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en un círculo. Si existe empates rompa arbitrariamente, la columna que tenga ese elemento encerrados en un círculo designe al nuevo nodo conectado. Se tacha el índice de la columna y coloque una marca en el renglón correspondiente a este nodo. Repita este paso hasta cuando todos los nodos estén conectados. 3. Una vez que todos los nodos hayan sido conectados identifique el árbol de expansión mínima mediante los elementos encerrados en el círculo. Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor elección posible. Este es uno de los pocos problemas de la ciencia administrativa donde se garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución óptima. EJERCICIO: Se desea instalar una red de comunicación entre 12 ciudades, los costos entre pares permisibles directos aparecen en el siguiente diagrama, cada unidad de costo representa $1000.00. Recuerde la red identifica enlaces directos posibles.
  10. 10. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 10 Para este ejemplo se ha empezado en el NODO 1: 1 1211109 5 6 7 8 2 3 44 6 6 1 9 5 4 3 25 7 1 2 3 7 1 2 1 2 2 6 1211 7 10 9 5 7 8 5 5 3 3 4 4 4 6 6 4 5 2 5 5 3 1 1 9 3 7 7 2 1 2
  11. 11. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 11 FLUJO MÁXIMO Aquí encontramos un solo nodo fuente (un solo nodo de entrada) y un solo nodo destino (un solo nodo de salida) el objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad de flujo total 1 1211109 5 6 7 8 2 3 46 1 5 4 3 25 1 3 1 2
  12. 12. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 12 (petróleo, agua, mensajes, tránsito) que puede circular a través de la red en una unidad de tiempo. La cantidad de flujo por unidad de tiempo en cada arco está limitado por las restricciones de capacidad por ejemplo el diámetro del oleoducto del petróleo, el púnico requerimiento es que para cada nodo se cumpla la siguiente relación: Flujo que sale del nodo=flujo que entra al nodo. En términos formales siendo 1 la fuente y m el destino debe cumplirse lo siguiente: MAX f ∑ 𝑋𝑖𝑗 − 𝑋𝑖𝑗 = −𝑓; 𝑖 = 𝑛 0 en otros casos i≠n 0 ≤ 𝑋𝑖𝑗 ≤ 𝑈𝑖𝑗 ; 𝑖 − 𝑗 destino Origen FLUJO FACTIBLE 1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino. 2. El flujo en cada nodo debe satisfacer la condición de conservación. 3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un camino es = o < de las capacidades de los arcos de dicho camino. EJEMPLO 1 1 5 1 3 1 4 1 2 6 1 6 0 0 20 4 R 6 3 0 2 0 2 0 6 0 0 1 0
  13. 13. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 13 1 5 1 3 1 4 1 2 6 1 6 0 0 20 4 R 6 3 0 2 0 2 0 6 0 0 1 0 2+4+2 2+4+2 4 2 0 2 0 2 0 4 2 4 4 2 2 1 0 0 6 6 2 0 0 4 1 53 42 6 6 4 R 4 2 2 2 6 8 8
  14. 14. UNIDAD III Modelo de redes y Administración de Proyectos ABIGAIL CRIOLLO INVESTIGACIÓN OPERATIVA II 14

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