Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones

Capítulo
1
INTRODUCCION
En este capítulo se presenta un panorama sobre los diversos tipos de cimentaciones para las
construcciones más comunes, así como su importancia como elemento resistente que forma parte el
sistema denominado estructura. También en forma breve, se transcribe conocimientos de la
Mecánica de Suelos necesarios para elegir y calcular las cimentaciones.
1.1 La importancia de las cimentaciones.
Los siguientes conceptos establecen la importancia que tienen las cimentaciones. El objetivo que
tienen este tipo de estructuras es transmitir las cargas de la superestructuras y el peso propio de las
mismas al terreno, pero presentan otras funciones como apoyar a la construcción, distribuir
adecuadamente las cargas considerando, un factor de seguridad adecuado entre la estructura de
cimentación y el suelo, limitar los asentamientos totales y diferenciales con la finalidad de controlar los
daños en la estructura así como en las construcciones adjuntas y mantener la posición vertical de la
estructura ante los diferentes tipos de acciones.
El Profesor Clarence W. Dunham, dice que la palabra cimentación puede tener los siguientes
significados: el terreno sobre la que se transmiten las fuerzas originadas por el peso propio de la
estructura y sobrecargas que actúan sobre la misma, y otro que es el conjunto de las partes
estructurales de la infraestructura o sea el medio que sirve para transmitir al terreno, el peso de la
superestructura, las acciones que actúan sobre ella y el peso propio de dicho medio o bien la
combinación de los dos conceptos anteriores.
En la figura 1.1. se ilustran cimentaciones en construcciones típicas. Comúnmente se define a la
superestructura e infraestructura de la siguiente manera: la superestructura es la parte de la
construcción que se realiza con el objeto fundamental de ser utilizada por el hombre, la infraestructura
es la parte de la construcción que es necesaria para apoyar a la superestructura

2 Capítulo 1 Introducción
Figura 1.1 Cimentaciones y superestructura.
1.2 Clasificación de las cimentaciones.
En general se pueden dividir a los diversos tipos de cimentaciones en dos grandes grupos:
a) Cimentaciones superficiales.
b) Cimentaciones profundas

Capítulo 1 Introducción 3
Las cimentaciones superficiales más comunes son:
1. Zapatas aisladas.
2. Zapatas corridas o continuas.
3. Losas de cimentación.
4. Retículas de cimentación.
5. Cimentaciones a base de cascarones.
La selección del tipo de cimentación depende fundamentalmente del tipo de construcción, de las
cargas o acciones que actúan sobre de ella y del terreno donde se va a ubicar. Se dice que la elección
de una cimentación debe estar basada en los conocimientos técnicos y el buen criterio del ingeniero, lo
segundo es una cualidad que se desarrolla después de varios años de experiencia. De la referencia
18, se tomaron los siguientes criterios.
Cuando las zapatas aisladas sobre suelo compresible ocupan arriba del 30% del área de la planta del
edificio o cuando los asentamientos diferenciales permisibles no son satisfechos, resulta más
económico y conveniente usar zapatas continuas.
En el caso de tener zapatas continuas muy anchas debido a la descarga y la baja capacidad de carga
del suelo resulta conveniente usar losas con o sin contratrabes. Deberá tomarse esta decisión cuando
el área de la zapata continua ocupe arriba del 50% del área de la planta del edificio.
En las figuras 1.2 a 1.6 se muestran varios tipos de cimentaciones superficiales, se puede observar en
los esquemas que las estructuras usadas son losas y vigas estudiadas en los cursos de Análisis
Estructural y que por consiguiente se conoce el comportamiento mecánico de ellas.
Planta Elevación
Figura 1.2 Zapatas aisladas

Planta Elevación y Planta Elevación
Figura 1.3. Zapatas corridas o continuas
Planta Planta
Figura 1.4. Zapatas corridas

Elevación Elevación
Planta Planta
(a) Losa plana para cimentación (b) Placa plana con bases de mayor
espesor bajo las columnas.
Elevación
Elevación
Planta
Planta
(c) Placa con vigas subterráneas (d) Placa con pedestales en
las columnas.
Figura 1.5 Tipos de placas

Elevación Elevación
Planta Planta
Figura 1.6 Losas y retículas
Es necesario enfatizar que en el análisis de cimentaciones se deben determinar los hundimientos y
presiones de contacto del suelo, así como calcular los elementos mecánicos en las piezas
estructurales de la cimentación, debidos a los movimientos diferenciales, presiones de contacto y las
cargas de la superestructura.
En el planteamiento del problema se deberá considerar la interacción suelo–estructura para suelos
compresibles interviniendo por lo tanto las propiedades del suelo. En los métodos con modelos de
mayor aproximación se trata de esta manera, En forma somera se expone este tema en el capítulo 5.
Las cimentaciones profundas se usan cuando el suelo donde se va a construir no tiene la capacidad
para resistir el peso que le va a transmitir la estructura, por lo tanto, es necesario transmitir la carga a
capas profundas que sean resistentes, por medio de otras cimentaciones, como las cimentaciones por
substitución, por flotación o a base de pilas y pilotes.
Las cimentaciones por substitución, consiste en cambiar el peso de la estructura por su equivalente en
masa de suelo, aprovechando que la capa inferior ya ha sido fatigada por el peso de la masa de suelo
que se va a substituir. Este tipo de cimentación se recomienda su uso en suelos altamente
compresibles y con poder de expansión y baja capacidad de carga.
La función de los pilotes y las pilas es la de transmitir las cargas de la estructura a las capas profundas
mas resistentes por medio de elementos verticales. Existen diferentes tipos de pilotes, una
clasificación de acuerdo a su forma de trabajo con respecto al suelo es la siguiente: pilotes de fricción
en suelos de granos gruesos muy permeables, pilotes de fricción en suelos de granos muy finos y baja
permeabilidad y pilotes resistentes de punta.

Con el objeto de estudiar a las cimentaciones se ha establecido la clasificación expuesta, sin embargo
al seleccionar el tipo de cimentación pueden resultar combinaciones de las mencionadas
anteriormente, es decir cimentaciones mixtas.
1.3 Importancia de la Mecánica de Suelos.
Seguramente se puede advertir por lo antes expuesto la necesidad de un profundo estudio del
comportamiento del suelo o sea de la Mecánica de Suelos. La actividad de la construcción se
incrementó notablemente durante las últimas décadas del siglo XX, creando obras de grandes
dimensiones y de gran peso que obligan a realizar estudios mas a conciencia de los suelos.
El diseño de una cimentación óptima para una estructura, ésta sujeta a la determinación real de las
condiciones del suelo y el comportamiento que tendrá la cimentación cuando esté afectada por la
acción de las cargas que le transmite la superestructura. La valuación de las condiciones reales del
suelo se hacen tomando muestras y realizando ensayos en el laboratorio, obteniéndose algunos
parámetros que aplicados y desarrollados proporcionan los valores de diseño.
Debido al objetivo de este trabajo no es posible profundizar en esta ciencia, además existen libros y
artículos excelentes que el estudiante puede consultar, por lo tanto solamente se resumen algunos
temas que se consideran indispensables para el diseño de cimentaciones superficiales.
1.4 Resistencia al corte.
El conocimiento de la resistencia al corte de los suelos, es requisito indispensable para cualquier
análisis que se relacione con la estabilidad de la masa de suelo. Determina factores tales como la
capacidad de carga admisible para una cimentación, la estabilidad de un talud y el empuje de un
suelo contra un muro de contención.
Coulomb postuló la ecuación de falla de la resistencia al corte, que es una expresión puramente
empírica, ésta es:
τ = c + σ tan φ (1.1)
En donde:
Variable Significado_______________________________________________
τ esfuerzo cortante a la falla
c cohesión del suelo
σ esfuerzo normal en el plano de falla
φ ángulo de fricción del suelo
Esta ecuación no siempre conduce a diseños satisfactorios de estructuras de suelo, lo anterior se hizo
evidente cuando el profesor Terzaghi publicó el principio de esfuerzos efectivos. Por lo que la ecuación
(1.1) en términos de esfuerzos efectivos, se expresa:

τ = c’ + σ’ tan φ’ (1.2)
en la ecuación (1.2) los parámetros c’ y φ’ son propiedades de la estructura del suelo denominados
respectivamente, cohesión efectiva y ángulo de fricción efectiva. Los valores de la cohesión y ángulos
de fricción es común que se obtengan de ensayes de laboratorio realizados sobre muestras de suelo
representativos mediante el ensaye de corte directo o el ensaye de compresión triaxial.
1.5 Relación de Poisson.
El comportamiento esfuerzo-deformación de la masa del suelo rara vez es simple puede decirse que
frecuentemente es muy compleja, sin embargo dentro del contexto de la búsqueda de los esfuerzos y
deformaciones para ciertas condiciones se supone que el suelo se comporta como un material
homogéneo, isotrópico y linealmente elástico cuyas propiedades se definen con la relación de Poisson
y el módulo de elasticidad.
La relación de Poisson está definida como la relación de la deformación longitudinal a la deformación
transversal, esta es:
tε
ε
=µ l (1.3)
En donde:
µ Relación de Poisson
εl Deformación longitudinal
tε Deformación transversal
Esta constante elástica es difícil de evaluar en el laboratorio pero existen otros métodos para
obtenerla.
1.6 Módulo de elasticidad.
En la práctica son de especial interés conocer las deformaciones verticales, es decir, los
asentamientos de la masa del suelo cuando se aplican las cargas. Las soluciones para conocer los
asentamientos basados en la teoría de la elasticidad utilizan el módulo de elasticidad y la relación de
Poisson, es importante hacer notar que una masa de suelo no tiene valores únicos del módulo de
elasticidad y la relación de Poisson, y es difícil obtener los valores apropiados de estos parámetros, lo
cual limita su aplicación.

El módulo de elasticidad, E, se determina de la curva esfuerzo-deformación para materiales tales
como el concreto, acero y mampostería por mencionar los materiales mas comunes en las
construcciones civiles. Desafortunadamente para conocer el módulo de elasticidad del suelo existen
varios factores que complican su obtención.
La curva esfuerzo-deformación no es lineal por lo que uno se pregunta ¿que debe tomarse?, el módulo
tangente inicial, cualquier otro módulo tangente o el módulo secante, además la curva es sensible a
simples perturbaciones. Parece ser que la tendencia es usar el módulo tangente inicial, algunos
valores típicos de módulos pueden consultarse en el capítulo 2 de la referencia 7.
1.7 Módulo de cimentación.
El módulo de cimentación es usado en problemas de interacción entre el suelo y la estructura. Se
define como la relación entre la presión del suelo a la deformación de su masa.
El módulo de cimentación se tratará en el capítulo 5 cuando se estudie el problema de vigas sobre
medios elásticos, en este capítulo se menciona debido a que se considera a éste como una de las tres
propiedades elásticas del suelo junto con el módulo de elasticidad y la relación de Poisson.
1.8 Capacidad de carga.
Se le llama capacidad de carga a la máxima intensidad de presión que una estructura transmite al
suelo, que lo soporta, sin llegar a causar asentamientos que pongan en peligro la estabilidad de la
construcción o se presente falla del suelo por cortante.
El análisis de la capacidad de carga es importante en la evaluación de la estabilidad y economía de las
cimentaciones superficiales y depende de las características geométricas de la cimentación de las
propiedades mecánicas e índices del terreno, así como de la localización del nivel freático.
Se ha observado que la falla por capacidad de carga en las construcciones suceden como producto de
una rotura por corte del suelo de desplante de la cimentación. Los tres tipos de falla principales bajo
las cimentaciones son:
1. Falla por corte general
2. Falla por punzonamiento.
3. Falla por corte local.
La falla por corte general se caracteriza por la existencia, dentro del terreno, de una superficie de
deslizamiento continuo, que se inicia desde un borde de la cimentación hasta la superficie del terreno.

Figuras 1.7 Tipos de falla por capacidad de carga
La falla por punzonamiento se identifica por un movimiento vertical de la cimentación, debido a la
compresión del suelo, inmediatamente debajo de dicha cimentación. El terreno que queda fuera de
área de carga presenta pequeñas alteraciones, quedando el equilibrio de la cimentación tanto vertical
como horizontal.
La falla por corte local presenta una marcada tendencia al bufamiento del suelo a los lados de la
cimentación, presentándose compresiones verticales fuertes debajo de ella, las superficies de
deslizamiento terminan en algún punto dentro de la misma masa de suelo. Este tipo de falla es una
transición entre las dos mencionadas anteriormente.
Se puede establecer, en términos generales, que el tipo de falla depende de la compresibilidad relativa
del suelo en cuanto a las condiciones geométricas y de carga actuante. Se tendrá falla por corte
general en suelos incompresibles, con una resistencia al esfuerzo cortante finita. Y falla por
punzonamiento, cuando se tenga suelos muy compresibles en relación con su resistencia. No
obstante, resulta interesante hacer notar que el tipo de suelo no determina el tipo de falla.
La determinación de la capacidad límite de falla de una cimentación es un problema de equilibrio
elastoplástico. La solución al problema presenta dificultades al encontrar las relaciones esfuerzo-
deformación-tiempo.
Existen varios estudios teóricos para determinar la capacidad de carga de las cimentaciones en
diferentes suelos. A continuación se presentan algunos resultados.
Karl Von Terzaghi, para determinar la capacidad de carga de una cimentación continua para falla por

corte general, presentó la siguiente ecuación:
qd = c Nc + γ ZNq + 0.5 γ BNw (1.4)
En donde:
qd Capacidad de carga límite en kg/m
2
c Cohesión del suelo en kg/m
2
.
γ Peso volumétrico del suelo en kg/m
3
Z Profundidad de desplante de la cimentación en metros.
B Ancho de la zapata.
Nc , Nq , Nw Factores de carga, sin dimensión, que dependen únicamente del
ángulo de fricción interna del suelo.
Para la capacidad de carga límite de una zapata continua para falla por corte local y punzonamiento,
presentó:
qd = c’ Nc’ + γ Z Nq’ + 0.5 γ BNw’ (1.5)
En donde:
c'= 2/3c Cohesión del suelo.
'''
, wqc y Factores de carga, sin dimensión.
Para zapatas cuadradas y corte general.
qd = 1.3 c Nc + γ Z Nq + 0.4 γ B Nw (1.6)
Para zapatas cuadradas y falla por corte local o punzonamiento:
qd = 1.3 c' Nc’ + γ Z Nq’ + 0.4 γ B Nc’ (1.7)
Para zapatas circulares y falla por corte general:
qd = 1.3 c Nc + γ Z Nq + 0.6 γ R Nw (1.8)
Para zapatas circulares y corte local y punzonamiento:

qd = 1.3 c'Nc’ + γ ZNq’ + 0.6 γ RNw’ (1.9)
La capacidad de carga admisible qa, se obtiene dividiendo la capacidad de carga límite por un factor de
seguridad que Terzaghi recomienda.
3
d
a
q
q = (1.10)
Skempton, para obtener la capacidad de carga en suelos cohesivos, propuso:
qd = c Nc + γ Z (1.11)
En donde:
Nc Varía con la relación Z/B.
Z Profundidad de desplante de la cimentación.
B Ancho de la cimentación.
Para valores de Nc, ver por ejemplo la referencia 3.
Para obtención de la capacidad de carga de las cimentaciones sobre arenas, es conveniente hacer
uso de la presión neta, o sea, la presión en la base de la cimentación en exceso de aquella debido a la
sobrecarga del terreno que la rodea.
qd = qd
'
- γ Z 0.5 B γ Nγ + γ Z (Nq-1) (1.12)
La capacidad de carga para cimentaciones desplantadas en terrenos inclinados puede obtenerse con
la siguiente expresión:
qd = cNcg + 0.5 B γ Nwq (1.13)
Para zapatas cuadradas.
qd = 1.3 c Ncg + 0.4 Bγ Nwq (1.14)
El factor de seguridad también se recomienda de 3.

1.3 Asentamientos.
Los asentamientos son el resultado de varias o una de las causas siguientes: deformaciones elásticas
(asentamientos inmediatos), asentamientos catastróficos, consolidación del terreno, desplome minero
y otras causas.
Los asentamientos diferenciales son más importantes que los asentamientos totales, así por ejemplo,
cuando una columna cede 5 cm. más que las próximas a ella, producirá un efecto de mayor
trascendencia en la estructura que si toda la estructura se hundiera 15 cm uniformemente. Razón por
la cual se le da una atención mayor a los asentamientos diferenciales.
Cuando una estructura se ve sujeta a hundimientos diferenciales, se generan en ella acciones internas
o elementos mecánicos que pueden tener gran importancia. Generalmente los hundimientos
diferenciales se efectúan con relativa lentitud, de manera que para evaluar su efecto deben
considerarse módulos de elasticidad bajos, que tomen en cuenta los efectos de flujo plástico del
concreto.
Para calcular los asentamientos y comprender este interesante tema se recomienda estudiar el
capítulo X, de la referencia 1, el capítulo III de la referencia 2 y también el capítulo 21 de la referencia
13.

Capítulo
2
ZAPATAS AISLADAS
Las zapatas aisladas son estructuras constituidas principalmente por una losa que puede tener formas
diversas como cuadradas, rectangulares, circulares o cualquier otra de acuerdo a la construcción. Las
zapatas, con respecto a las acciones que actúan en ellas, puede tener cargas axiales, cargas axiales y
Pmomentos flexionantes además de las fuerzas cortantes.
Es común que este tipo de cimentaciones se use en casas habitación, edificios, naves industriales,
postes de alumbrado y puentes. Se recomienda su empleo de preferencia en suelos de baja
compresibilidad, cuando se tengan asentamientos diferenciales entre columnas que se puedan
controlar por medio de la flexibilidad de la estructura o se incluyan en el diseño nudos o rótulas que
tomen los asentamientos diferenciales y los giros sin dañar la construcción.
2.1 Hipotésis para el diseño.
Por medio de análisis teóricos elásticos y observaciones se demuestra que la distribución de esfuerzos
debajo de las zapatas cargadas simétricamente, no es uniforme. La distribución de los esfuerzos
depende del tipo de suelo debajo de la zapata y de la rigidez de la zapata misma. Para zapatas sobre
material suelto y poco cohesivo, las partículas de suelo tienden a desplazarse hacia los extremos,
quedando relativamente confinadas en el centro, como se ilustra en la figura (2.1.a). En el caso
general de zapatas rígidas sobre suelos cohesivos la figura (2.1.b), muestra la distribución teórica de
presiones. Debido a que las intensidades de la presión abajo de la zapata dependen de la rigidez de
ésta, del tipo de suelo y las condiciones del mismo, el problema es generalmente indeterminado.

16 Capítulo 2 Zapatas Aisladas
Figura 2.1.- Distribución de las presiones debajo de una zapata
En diseños prácticos se recomienda las siguientes hipótesis:
1.La distribución de presiones es lineal, figura 2.1.c.
2.La losa de la zapata se considera rígida.
3.No se admiten tensiones en el terreno.
2.2 Zapatas aisladas con cargas excéntricas.
Es común encontrar zapatas sujetas a carga axial y momentos flexionantes, en este caso, la resultante
de la presión del suelo no coincide con el centroide de la zapata, dos casos se muestran en la figura
2.2. La resultante de la presión coincide con la fuerza axial P, pero no con el centroide de la zapata,
resultando una distribución de esfuerzos no uniforme, es posible también que ocurra una inclinación de
la losa en su extremo. Todo esto puede ser evitado usando un factor de seguridad más grande cuando
se calcule la presión admisible del suelo. La zapata de la figura 2.2.a, tiene una excentricidad
estructural ya que la carga no es colineal con el centro del área. Debe conocerse la rigidez de la unión
zapata - columna como parte del análisis.
P
(b)(a)
(c)
P
P

Capítulo 2 Zapatas Aisladas 17
Figura 2.2.- (a) Columna colocada excéntricamente con respecto al centro de la zapata.
(b) Zapata sujeta a carga axial y momento.
La columna en la figura 2.2.b debe estar rígidamente unida a la zapata, con el objeto de transmitirle
momento. Para cualquier caso donde la columna transmita momento, la excentricidad aparante
e M P= / debida al momento, será contrarrestada por la tendencia de la zapata a rotar en la
dirección del momento.
2.3 Cálculo de las presiones de contacto
Tomando en cuenta que la losa de la zapata ha sido considerada rígida, la presión del suelo puede
ser calculada por la fórmula de la flexocompresión.
q
P
A
M c
I
= ± (2.1)
si
I
c
S
BL
A BL M Pe= = = =
2
6
; ;
entonces :
PP
e=L/6
e < L/6
qmax.
e < L/6e < L/6
e < L/6
e=L/6
(a) (b)
M
LL
C
L
R=P e e=M/P e R=P

q
P
B L
M
B L
P
B L
e
L
= ± = ±
6
1
6
2 ( ) (2.2)
En donde:
Variable Significado
P Carga o fuerza axial
e Excentricidad de la carga axial.
B, L Dimensiones de la zapata.
q Intensidad de la presión del suelo.
En la ecuación (2.2), si e es lo suficientemente grande, la presión del suelo sobre la zapata, actúa
como si ésta tratara de separarse del suelo. Los esfuerzos de tensión no son posibles, por lo que no se
consideran, dando como resultado una reducción en el área efectiva de la zapata. Resolviendo la
ecuación (2.2) para q = 0 , se obtiene e L= / 6 , que es la máxima excentricidad de la presión del
suelo, para ser soportado por toda el área de la zapata y con ningún esfuerzo de tensión debajo de
ésta.
Las presiones máximas y mínimas se calcularan con las expresiones siguientes :
q
P
B L
M
B Lm í n = −
6
2 y q
P
B L
M
B Lm a x = +
6
2
Para excentricidades en dos direcciones, figura 2.3, las presiones de contacto se calculan con :
q
P
A
M C
I
M C
I
X Y
X
Y X
Y
= ± ± (2.3)
En donde:
q Intensidad de la presión del suelo.
Mx, My Momentos alrededor de los ejes x e y respectivamente.
Ix, Iy Momentos de inercia con respecto a los ejes x e y.
Cx, Cy Distancias perpendiculares de los ejes centroidales
principales a los bordes de la losa.
q
P
A
M C
I
M C
Im í n
X Y
X
Y X
Y
= − −
q
P
A
M C
I
M C
Im a x
X Y
X
Y X
Y
= + +
Para qmín = 0 , se tiene:

6
B
e X = y
6
L
eY =
Las líneas que unen estos valores forman un área llamada núcleo central, se ilustra en la figura 2.3.
Figura 2.3.- Núcleo central y línea de presiones nulas (l.p.n.)
Considerando diferentes alternativas en la posición de una carga axial tenemos, cuando la carga esté
dentro del núcleo central, debajo de la zapata solamente se presentarán presiones de compresión
incluyendo el caso cuando actúa en el perímetro del núcleo central. En cambio, si la carga está fuera
del núcleo central, se presentarán tensiones teóricamente. En la figura 2.2 se ilustran con diferentes
tipos de líneas los diagramas de presiones de estas alternativas, tomando como referencia la
excentricidad en el sentido y.
Los puntos donde las presiones valen cero, forman una línea que denominaremos línea de presiones
nulas, como se muestra en la figura 2.3. De acuerdo a la posición de la línea de presiones nulas se
tendrán los diferentes diagramas de presiones de contacto ya mencionadas, esto es:
1. Si la línea de presiones nulas pasa por el núcleo central, el diagrama de presiones tendrá parte de
tensiones. En la figura 2.3, se marca la línea con la letra “a” y el punto donde actúa la carga axial con
la misma letra.
2. Cuando la línea de presiones nulas es tangente al perímetro de la losa de la zapata, el diagrama de
presiones es de forma triangular.
3. Y si la línea de presiones nulas está fuera de la losa, el diagrama es trapecial o sea que solamente
se tendrán esfuerzos de compresión.
Se advierte, que cuando la carga axial está en el centro del núcleo, teóricamente la línea de presiones
nulas está en el infinito, o no existe.
En la gráfica 2.1 se presentan unas gráficas para determinar las líneas de presiones, gráfica a, y
obtener las presiones máximas, gráfica b, del Prof. H. J. Plock. En el ejemplo 2.1 se ilustra su uso.
P
My
Mx
X
Y
B/6
(b)(c)
(a)
b
c
L.p.n
L.p.n
(a)
n.c.
L.p.n
B
L
L/6L/6
B/6

En el diseño de zapatas sujetas a carga axial y momento, se hace la consideración, que la distribución
de presiones se mantiene lineal, y así se obtiene la expresión usada para conseguir la dimensión
reducida del cálculo de la zapata, expresión 2.4.
Figura 2.4.- Ancho reducido de zapata
B B e' = − 2 (2.4)
en donde:
Variable Significado_______________________________________
B’ Ancho de cálculo
B Ancho de la zapata
e Excentricidad
C
L
e
2e B'

Gráficas2.1 a) Curvas para ubicar la línea de presiones nula en la losa de la zapata.
b) Curvas para encontrar la presión del suelo máxima.

Con los valores c y d se entra a la gráfica ( a ).
c
e
B
X
= ; d
e
L
Y
=
Se intercambiarán los valores de c y d, si c > d para zapatas rectangulares s B L' /= .
Para calcular la presión del suelo máximo se usa la expresión 2.5
p
KP
BLmax = (2.5)
2.4 Procedimiento para el diseño de zapatas.
Para el diseño de zapatas se propone la secuela de cálculo siguiente, sin que sea rigurosa para otros
criterios de diseño :
1. Se obtienen las fuerzas axiales y momentos flexionantes últimos, mediante el uso de factores de
carga.
2. Se encuentran las dimensiones de la zapata, de tal forma que las presiones de contacto sean
menores que la admisible del suelo.
3. Obtención de las presiones de diseño.
4. Se revisa por efecto de fuerza cortante :
a) como losa.
b) como viga.
5. Se diseña por flexión, es decir, se calcula el área de acero necesario, número de varillas y su
disposición.
6. Se revisa por aplastamiento.
Para una mejor comprensión, se amplian los puntos anteriores :
1. De acuerdo con el RCDF - 93, para la obtención de las cargas y momentos flexionantes
últimos, se efectuarán las siguientes combinaciones de carga con sus respectivos factores :
)(4.1 CVCMPU += o )(5.1 CVCMPU +=
)(1.1 CACVICMPU ++=

en donde:
UP Fuerza axial última
CM Carga muerta
CV Carga viva máxima
CVI Carga viva instantanea
CA Carga accidental
Las mismas expresiones son aplicables cuando se tienen momentos en lugar de fuerzas.
2. El dimensionamiento de la zapata se obtiene dividiendo la carga axial entre la resistencia del suelo,
lo que dará el área requerida para distribuir la carga uniformemente sin rebasar el valor de la
resistencia del terreno; de ésta manera se tiene que:
para zapatas cuadradas.
aq
P
B =2
(2.6)
para zapatas rectangulares.
aq
P
BL = (2.7)
Debe recorsarse que de cuando la zapata esta sujeta a caraga axial y momento, la dimensión en el
sentido en que esté aplicado el momento se reducirá debido a la excentricidad existente, obteniéndose
un nuevo valor dado por la expresión (2.4).
3. Una vez establecidas las dimensiones se obtienen las presiones de diseño que se usarán para el
cálculo de la zapata.
4. Se deberá revisar el efecto de la fuerza cortante como losa y como viga ancha, proponiendo valores
para el peralte y luego hacer las verificaciones correspondientes. Con el objeto de poder programar
una expresión por medio de la cual se obtengan, de una vez por todas, los peraltes requeridos para
satisfacer el cortante como losa y como viga ancha, se harán las consideraciones siguientes:
4a. Obtención del peralte para satisfacer el cortante como losa, llamado también por penetración.
De la figura 2.6, el perímetro crítico para la columna cuadrada mostrada es )(4 dw+ y el área
encerrada por este perímetro es
2
)( dw + . Sabiendo que la presión del suelo en la base de la zapata
está dada por:
q
P
BLU
U
= (2.8)
Se puede obtener la expresión deseada, sumando las fuerzas verticales en la zona de tensión diagonal
como se muestra en la figura 2.5.

0)( =−′− perímetrovdPP cU (2.9)
2
)( dwqP U +=′
Substituyendo P’ en la ecuación (2.9) y reordenando términos, se obtiene :
2
)()(4 dwqddwvP UcU +++=
simplificando, se llega a la expresión deseada para columnas cuadradas :
d v
q
d v
q
w
BL w
qc
U
c
U
U
2
2
4 2 4
⋅ + + ⋅ + ⋅ =
−
⋅( ) ( ) (2.10)
la ecuación para columnas redondas, llamando al diámetro w, será :
d v
q
d v
q
w
BL A
qc
U
c
U c
U
2
4 2
⋅ + + ⋅ + ⋅ =
−
⋅( ) ( )
( )
π
(2.11)
haciendo un planteamiento similar al anterior, se obtiene una expresión para columnas rectangulares
quedando de la siguiente forma :
d
q
v
d p
q
v
q
v
AU
c
U
c
U
c
S
2
4
2
1 0⋅ − − − ⋅ ⋅ + + ⋅ =( ) ( ) (2.12)
En las expresiones anteriores :
d Peralte como losa
p Perímetro de la columna rectangular
AS Area de la zapata - área de la columna
qU Presión última de contacto
vc Esfuerzo cortante que toma el concreto cuando se revisa como
losa.
∗
= cc fFRv

(2.13)
Figura 2.5.- Secciones críticas al revisar el cortante como losas
4b. Peralte para satisfacer el cortante como viga ancha. En forma semejante como se hizo en la
sección anterior, es posible obtener una expresión por medio de la cual se consiga el peralte necesario
para resistir el cortante en la zapata al revisarse como viga ancha.
Del RCDF - 93, la fuerza cortante que toma el concreto para porcentajes de acero mayores de 0.01
está dada por la expresión :
v FR b d fc c= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∗
05. (2.14)
por lo que el esfuerzo cortante queda dado por la expresión :
v
V
Bdc
c
= (2.15)
en la figura 2.6 se observa que :
Perimetro resistente al
cortante.
Vcr
W+d
P' =q (w+d)u
2
d
W
Pu
B
L
Sección
crítica
d/ 2
w+d
w
w

V B
L A
d qc U= ⋅
−
− ⋅( )
2
(2.16)
substituyendo (2.16) en (2.15)
v
q
Bd
B
L A
dc
U
= ⋅ ⋅
−
−( )
2
reduciendo términos y despejando el valor de d
)(2
)(
Uc
U
qv
qAL
d
+⋅
⋅−
= (2.17)
en donde :
d Peralte para resistir el cortante como viga ancha.
L Largo o ancho de la zapata
A Lado de la columna
qU Presión de diseño
vc Esfuerzo cortante que toma el concreto cuando se revisa como viga ancha y
vale :
∗
⋅= cc fv 4.0 (2.18)
Figura 2.6.- Sección crítica al revisar el cortante como viga ancha
d
L
B
d
A

Las normas del RCDF - 93 presentan una expresión para la fuerza cortante cuando el porcentaje de
acero es menor que 0.01, por lo que es aconsejable revisar el peralte utilizando esta expresión, y en su
caso, obtener un nuevo peralte que la satisfaga. La expresión a la cual se hace mención es la
siguiente:
V FR bd p fC C= ⋅ ⋅ + ⋅ ∗
( . )02 30 (2.19)
de donde :
v p fC C= ⋅ + ⋅ ∗
08 02 30. ( . )
para porcentaje de acero ≤ 001.
Una vez obtenidos el peralte como viga ancha y el peralte como losa, se elige el mayor, como el
peralte definitivo de la zapata.
Cuando la zapata está sujeta a momento flexionante, el RCDF - 93 propone que se revise el esfuerzo
cortante de diseño, suponiendo que una fracción del momento dada por :
α = −
+ ⋅ + +
1
1
1 0 67 1 2. ( ) / ( )C d C d
(2.20)
Se trasmite por excentricidad de la fuerza cortante total, con respecto al centroide de la sección crítica
mostrada en la figura 2.7. El esfuerzo cortante máximo de diseño vU , se obtendrá tomando en cuenta
el efecto de la carga axial y el momento flexionante, suponiendo que los esfuerzos cortantes varían
linealmente figura 2.7. En columnas rectangulares C1 es la dimensión paralela al momento trasmitido y
C2 es la dimensión perpendicular a C1. En columnas circulares C C D1 2 0 9= = ⋅.
El esfuerzo cortante máximo de diseño no deberá exceder de :
V fC C= ⋅ ∗
08. (2.21)
5. El diseño por flexión estará basado en la teoría de resistencia última, para lo cual se emplea la
expresión siguiente :
M FR A f d
a
U S Y= ⋅ ⋅ ⋅ −( )
2
(2.22)
Se recomienda ver la figura 2.8 y relacionarla con la ecuación (2.22).
Se recordará que FR es el factor de reducción y las otras literales ya son conocidas.

Para una mejor comprensión se recomienda ver la referencia 9 de la bibliografía.
V
V
A
M C
JAB
C
AB
C
= +
⋅ ⋅α
A d C C dC = ⋅ + +2 21 2( )
J
d C d C d d d C d C d
C =
⋅ +
+
+ ⋅
+
⋅ + +( ) ( ) ( )( )1
3
1
3
2 1
2
6 6 2
Figura 2.7.- Trasmisión de momento entre columna y losa
De las normas técnicas mencionadas se tiene :
a
A f
f b
S Y
C
=
⋅
⋅'' (2.23)
sustituyendo la ecuación (2.23) en la ecuación (2.22)
c +d
c
CAB
c
2
c+d2
Sección
crítica
V
M
V
AB
1
1

M FR A f d
A f
f bU S Y
S Y
C
= ⋅ ⋅ ⋅ −
⋅ ⋅
⋅
(
.
)''
05
dividiendo ambos miembros entre f FRY ⋅
M
f FR
A d
A f
f b
U
Y
S
S Y
C⋅
= ⋅ −
⋅ ⋅
⋅
05 2
.
''
si se hace :
F
M
FR f
U
Y
=
⋅
y G
f
f b
Y
C
=
⋅
⋅
05.
''
queda la siguiente expresión :
F A d A GS S= ⋅ − ⋅2
(2.24)
en las expresiones anteriores :
AS Area de acero requerida.
MU Momento último del cantiliver.
FR Factor de reducción por flexión.
fY Esfuerzo de fluencia del acero.
f fC C
''
.= ⋅ ∗
085
b Ancho de la zapata.
La ecuación (2.24) representa una expresión fácil de programar en computadora para obtener la
cantidad de acero requerida en el diseño por flexión.
Luego se calcula el porcentaje de acero y se compara con los porcentajes de acero máximo y mínimo
permitidos por el reglamento.
Por último se propone el armado y diámetro de las varillas, las cuales deben de cumplir con los
requisitos de longitud de desarrollo y anclaje que pieden las normas técnicas del RCDF -93.

Figura 2.8.- Obtención de las ecuaciones para el diseño de resistencia última.
6. La presión de contacto o aplastamiento ejercida por la columna sobre la zapata puede ser un factor
crítico para controlar el peralte, especialmente si el concreto de la columna tiene un esfuerzo a
compresión resistente fC
'
mayor que el de la zapata, por lo tanto, las presiones de contacto no deben
ser mayores que :
f fa C= ⋅ ∗
0 7. (2.25)
y la carga máxima que soporta la zapata por aplastamiento será :
Camáx AfRP ⋅⋅= (2.26)
en donde :
AC área de la columna
R
A
Ac
= ≤1
2 (ver figura 2.9) (2.27)
Para columnas cuadradas
A L d1
2
4= +( )
f"c
Ca
y = d -a/2
T = As

Figura 2.9.- Sección crítica para revisar los esfuerzos de contacto.
Cuando la carga máxima obtenida en la ecuación (2.26) es mayor que la carga última de diseño, será
necesario proporcionar varillas de anclaje que tomen la diferencia de carga existente. Se recomienda
que el diámetro de las varillas no debe ser mayor en 4 mm. que el diámetro de las varillas de la
columna, y no poner menos de cuatro varillas.
Se anexan otras recomendaciones sobre el tema :
El espesor mínimo de la losa de zapatas de concreto reforzado será de 15 cm. y de 30 cm. si la zapata
se apoya sobre pilotes.
Para zapatas apoyadas sobre pilotes, se supondrá al calcular la fuerza cortante en una sección, que
en ella produce esfuerzos cortantes la reaccion de los pilotes cuyos centros quedan a 05. ⋅dp o más
hacia fuera de dicha sección. Se supondrá que no producen cortantes las reacciones de los pilotes
cuyos centros queden a 05. ⋅dp o menos, lléndose hacia dentro de la sección considerada. Para
posiciones intermedias del centro de un pliote se ineterpola linealmente.
Figura 2.10.- Zapatas apoyadas en pilotes.
AC A1
2d
L
L 2d2d
2d
RpRp Rp
dp
0.5 dp

Respecto a la distribución de refuerzo se toman las siguientes consideraciones :
Las zapatas con refuerzo en una dirección y las zapatas cuadradas reforzadas en dos direcciones
llevarán refuerzo espaciado uniformemente.
Para zapatas rectangulares con flexión en dos direcciones, el refuerzo paralelo al lado mayor se
distribuirá uniformemente; el paralelo al lado menor se distribuirá en tres franjas en la forma siguiente:
en la franja central, de ancho a1, una cantidad de refuerzo igual a la totalidad que debe colocarse en
esa dirección, multiplicada por ( / )2 1 1 2a a a+ , donde a1 y a2 son respectivamente, los lados corto y
largo de la zapata. El resto del refuerzo se distribuirá uniformemente en las dos franjas extremas. Ver
ejemplos numéricos.
Se ilustran en la figura 2.11 varias secciones críticas para dimensionar por flexión.
Figura 2.11.- Secciones críticas (S.C.) para dimensionar por flexión.
Para columnas de acero, la sección crítica será el perímetro de la columna, a menos que la rigidez y
resistencia de la placa permitan considerar una sección más alejada.
Figura 2.12 Zapatas con columna de acero
columna
sección
crítica 1m
muro de
concreto
s.c.
muro de piedra
o tabique
d/4
1m1m
s.c.
coluna de acero
soldadura
placa baselechado de concreto

2.5 Resumen de las Normas Técnicas Complementarias 96 del
RCDF-93 para el diseño de zapatas.
Factor de diseño Artículo Requerimientos Generales
Espaciamiento del refuerzo. 3.6.1
3.10
4.3.3
No menor del diámetro nominal
de varilla ni de 1.5 veces el
tamaño máximo del agregado,
ni de 2 cm.
No mayor de 50 cm., ni 1.5 h
No mayor de 2.5 d, en cargas
concentradas.
Empalmes 3.9 Ver en el reglamento
Refuerzo por temperatura 3.10
)100(
600
1
1
+⋅
⋅
=
xf
x
a
Y
S
x1 es la dimensión mínima del
miembro medida
perpendicularmente al refuerzo
en cm.
Recubrimiento mínimo 3.4 5 cm. sin plantilla.
3 cm. con plantilla.
Diseño por flexión 2.1.2
M FR A f d
a
R S Y= ⋅ ⋅ ⋅ −( )
2
a
A f
f b
S Y
C
=
⋅
⋅''
M FR A f d qR S Y= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −( . )1 05
Refuerzo máximo. 2.1.2
A
f
f f
bdb
C
Y Y
= ⋅
+
⋅
''
4800
6000
, sin
sismo
A AS b= ⋅0 75. , con sismo
b
S
p
bd
A
p ≤=
Refuerzo mínimo 2.1.2
A
f
f
bdS
C
Y
=
⋅
⋅
0 7. '
Módulo de Elasticidad 1.4.1
E fC C= ⋅14000 '
(clase 1)
E fC C= ⋅8000 '
(clase 2)
Factor de Reducción. 1.6 0.9 para flexión.

Factor de diseño Artículo Requerimientos Generales
0.8 para cortante y torsión.
0.7 para aplastamiento.
Combinación de Cargas. 1.4 (CM + CV) ó 1.5 (CM +
CV)
1.1 (CM + CV + CA)
Cortante viga ancha. 2.1.5
V FR bd p fCR c= ⋅ ⋅ + ⋅ ∗
( . )02 30 si
p≤001.
V FR bd fCR c= ⋅ ⋅ ⋅ ∗
05. si
p>001.
Cortante como losa. 2.1.5
V FR bd fCR c= ⋅ ⋅ ⋅ ∗
05.
Ver sección 2.1.5.h en el
reglamento cuando existe
momento.
Longitud de desarrollo 3.1.1.c
cm
fd
f
fa
L Yb
c
YS
d
20
006.006.0
'
≥
⋅⋅≥
⋅
=
bd es el diámetro de la barra
en cm.
aS es el área transversal en cm
2
para factor =1.0
Zapatas 4.4.1 Disposiciones generales.
Constantes de diseño 1.4.1
2.1.2
f fc c
∗
= ⋅08. '
f fc c
''
.= ⋅ ∗
085 si fc
∗
≤250
Kg/cm
2
f
f
fc
c
c
''
( . )= − ⋅
∗
∗
105
1250
si fc
∗
>250
Kg/cm
2
Aplastamiento. 2.1.4 ∗
⋅= ca ff 7.0

Ejemplo 2.1.- Determinar la línea de presiones y la presión de contacto máxima para la siguiente
zapata.
D A T O S : Pu = 9014. ton.
Mux = 40 ton-m
Muy = 48 ton-m
qa = 18 ton/m
2
Figura 2.13 Ejemplo 2.1
Proponiendo :
B = 2 50. m
L = 2 50. m
Solución :
Cálculo de las excentricidades.
eX = =
40
9014
0 443
.
.
Muy
Pu
0.662
2.35
2.50
L.p.n.
2.50
Y
X
h

eY = =
48
9014
0532
.
.
Determinación de las constantes c y d
c
e
B
X
= = =
0 443
2 50
0177
.
.
.
d
e
L
Y
= = =
0532
2 50
0 213
.
.
.
Con los valores de c y d se usa las gráficas (a,), obteniendo los valores de a y s .
a = 0.265
s = 1.280
Obteniendo :
a B⋅ = =( . )( . ) .0 265 2 50 0 6625 m.
( ) ( . . ) . .L a B s− ⋅ ⋅ = − ⋅ =2 50 0 6625 128 2 352 m.
Con los valores anteriores se localiza la línea de presiones nulas. En este caso las dimensiones de la
losa de la zapata propuesta no son adecuadas, debido a que existe una zona con reacciones
negativas (esfuerzos de tensión).
Cálculo de la presión máxima.
Con los valores de c y d se usa la gráficas (b), obteniendo el valor de K.
K = 4 2.
p
K P
B Lmax =
⋅
⋅
= =
( . )( . )
( . )
.
4 2 9014
2 50
60572 ton/m
2
La presión anterior deberá compararse con la presión admisible.
Ejemplo 2.- Diseñar una zapata de base cuadrada con los siguientes datos.
P = 50 ton. (Se incluye peso propio de la zapata).
w = 45 cm. (lado de la columna)

fY = 4200 kg/cm
2
fc
'
= 200 kg/cm
2
qa = 7 ton/m
2
Constantes :
f fc c
∗
= = ⋅ =08 08 200 160. .'
kg/cm
2
f fc c
''
. .= = ⋅ =∗
085 085 160 136 kg/cm
2
Solución :
Como la zapata será cuadrada, las dimensiones de sus lados son :
B
P
qa
= = =
50
7
2 67. m.
Se toma un valor de B = 2 8. m.
Presión de contacto :
a
z
qmton
A
P
q 〈=== 2
/37.6
)8.2)(8.2(
50
A
q

Presión de diseño :
q
P
Au
u
z
= = =
70
7 84
8 93
.
. ton/m
2
Cálculo del peralte para satisfacer el cortante como losa.
v fc c= ⋅ = ⋅ =∗
08 08 160 1012. . . kg/cm
2
= 101.2 ton/m
2
v
q
c
u
+ = + =
4
1012
8 93
4
10343.
.
.
( ) ( .
.
) . .v
q
wu
u
+ ⋅ = + ⋅ =
2
1012
8 93
2
0 45 47 55
( ) ( . . )
.
.A w
q
z
u
− = − ⋅ =2
4
7 84 0 2025
8 93
4
17 05
Sustituyendo los valores anteriores en la ecuación (2.9)
103 43 47 55 17 052
. . .⋅ + ⋅ =d d
al resolver la ecuación se obtiene :
d = 024. m.
Cálculo del peralte para satisfacer el cortante como viga ancha.
v fc c= ⋅ = ⋅ =∗
0 4 04 160 505. . . kg/cm
2
= 50.5 ton/m
2
de la ecuación (2.16)
d
B A q
v q
u
c u
=
− ⋅
⋅ +
=
− ⋅
⋅ +
=
( )
( )
( . . ) .
( . . )
.
2
2 8 0 45 8 93
2 505 8 93
018 m
Se toma por el momento : d = 0.24 m
Cálculo del porcentaje de acero balanceado (máximo por flexión).

( ) 0152.0
)10200(4200
4800136
)6000(
4800''
=
⋅
⋅
=
+
⋅
=
yy
c
b
ff
f
p
Momento último del cantiliver
L
B A
=
−
=
−
=
2
2 8 0 45
2
1175
. .
. m
( ) 16.6
2
175.193.8
2
22
=
⋅
=
⋅
=
Lq
M u
u ton-m
Cálculo del área de acero requerida.
( )
( )
154.0
100136
42005.0
100
5.0
''
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
c
y
f
f
G
( )
33.183
42008.0
616000
8.0
=
⋅
=
⋅
=
y
u
f
M
F
Sustitutyendo valores en la ecuación (2.20)
( ) ( )2
15.02433.183 ss AA ⋅−⋅=
de donde
As = 8 05. cm
2
/m
( )
0033.0
10024
05.8
100
=
⋅
=
⋅
=
d
A
p s
p
f
fmin
c
y
=
⋅
=
⋅
=
0 7 0 7 200
4200
0 0023
. .
.
'
Como el porcentaje de acero es menor que 0.01 se obtiene otro peralte como viga, teniendo
p = 0 0033. .

v p fc c= ⋅ + ⋅ ∗
08 02 30. ( . )
vc = ⋅ + ⋅ ⋅08 0 2 30 00033 160. ( . ( . ))
vc = 302. kg/cm
2
d =
− ⋅
⋅ +
= =
( . . ) .
( . . )
. .
2 8 0 45 8 93
2 30 2 8 93
0 268 0 27 m
Este nuevo peralte, resulta un poco mayor que el anterior por lo que se tomará como el peralte
definitivo de la zapata.
Para el nuevo peralte la ecuación (2.20) queda :
18333 27 0154 2
. .= ⋅ − ⋅A As s
de donde :
As = 7 07. cm
2
/m
p pmín=
⋅
= > =
7 07
27 100
0 0026 0 0023
.
. .
A A BsTOT s= ⋅ = ⋅ =7 07 2 8 19 8. . . cm
2
Usando varillas del # 4, el número de varillas es :
V = = ≈
19 8
1266
16 47 17
.
.
. varillas
1747.16
17
10080.2100
≈=
⋅
=
⋅
=
V
B
s cm
L
a f
f
d fd
s y
c
b y= ⋅
⋅
≥ ⋅ ⋅0 06 0 006. .'
0 06 0 06 1266 4200
200
2185
. . .
.'
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅
=
a f
f
s y
c
cm
0 006 0 006 1266 4200 32 0. . . .⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =d fb y cm

entonces :
Ld = 32 0. cm
Revisión por aplastamiento
( ) 1121607.07.0 =⋅=⋅= ∗
ca ff kg/cm
2
Ac = =45 20252
cm
2
A1
2
45 4 27 23409= + ⋅ =( ( )) cm
2
( ) 45360020252112 =⋅=⋅⋅= camáx ARfp kg
453 ton > 70 ton.
Area de acero para la barra de transmisión
A As mín c⋅ = ⋅ = ⋅ =0 005 0 005 2025 1012. . . cm
2
Usando varillas del # 6.
V
A
A
s mín
s
= = = ≈⋅ 1012
2 85
355 4
.
.
. varillas
45
4 Vars #6
17 Vars. #4@ 17(en ambas direcciones).
27
5
280

Ejemplo 2.3. Diseñar una zapata rectangular sujeta a flexo-compresión con los datos siguientes.
A = 40 cm (ancho de columna)
C = 60 cm (largo de la columna)
L = 350. m (longitud de la zapata)
f y = 4200 kg/cm
2
fc
'
= 200 kg/cm
2
qa = 21 ton/m
2
MG = 0 0. ton-m (CM + CV)
PG = 90 ton (CM + CV)
MA = 20 ton-m
17 Vars. #4@ 17(en ambas direcciones).
17Vars.#4@17(enambasdirecciones).
280
Acotaciones en cm.

PA = 0 0. ton
Constantes :
( ) 1602008.0 ==∗
cf kg/cm
2
( ) 13616085.0''
==cf kg/cm
2
Solución :
Cálculo de los momentos y cargas últimas
1264.1 == GuG PP ton
MuG = 0 0. ton-m
( ) 99901.1)(1.1 ==+= AGuA PPP ton
( ) 22201.1 ==uGM ton-m
Se propone B = 170. m
Presión de contacto
( )
( )
( )22
5.37.1
206
5.37.1
906
±=±=
BL
M
A
P
q
qmá x = 2088. ton/m
2
< qa
qmín = 9 37. ton/m
2
No hay tensiones
e
M
P
uA
uA
= = =
22
99
0 22. m
( ) 06.322.025.32'
=−=−= eLL m
Presión de diseño :
( )
03.19
06.37.1
99
'
===
BL
P
q uA
uA ton/m
2
( )
18.21
7.15.3
126
=
⋅
=uGq ton/m
2
Obtención del peralte como losa ( carga gravitacional ).

( ) 24006040 =⋅=⋅= CAAcol cm
2
( ) ( ) 26.024.0222 =⋅+⋅=⋅+⋅= CAP m
71.524.095.5 =−=−= colzs AAA m
2
12.101608.0 ==cv kg/cm
2
q
v
uG
c
+ = + =4
2118
1012
4 4 21
.
.
.
( )
21.21
2.1012
18.21
21
2
=





+
⋅
⋅=





+
⋅
⋅
c
uG
v
q
P
( ) 20.171.5
2.101
18.21
=⋅=⋅ sI
c
uG
A
v
q
Sustituyendo en la ecuación (2.11)
020.121.221.4 2
=+−− dd
de donde: d = 034. m
Cálculo del peralte como viga ancha (carga gravitacional)
06.51604.0 ==cv kg/cm
2
( ) 43.018.21
)18.216.50(2
6.05.3
)(2
=
+
−
=⋅
+
−
= uG
uGc
q
qv
CL
d m
Tomando por el momento d = 043. m
45.1
2
6.05.3
2
=
−
=
−
=
CL
Lc m
( ) 26.22
2
45.118.21
2
22
=== cuG
u
Lq
M ton-m

( )
6.662
42008.0
2226000
8.0
===
y
u
f
M
F
( )
( )
154.0
100136
42005.0
100
5.0
''
==
⋅
⋅
=
c
y
f
f
G
Sustituyendo en la ecuación (2.20)
662 5 43 0154 2
. .= ⋅ − ⋅A As s
As = 16 37. cm
2
/m
( )
00381.0
10043
81.14
100
==
⋅
=
d
A
p s
pb = 0 0152.
( ) 0114.00152.075.0 ==máxp
pmín = 0 0023.
Como p < 0 01. se calcula un nuevo peralte usando p = 0 003.
( )[ ] 93.2160003.0302.08.0 =+=cv kg/cm
2
( ) 60.018.21
)18.213.29(2
6.05.3
=
+
−
=d m
Revisión del peralte bajo CG + CA
C1 60= cm
C2 40= cm
d = 60 cm
C d1 120+ = cm
C d2 100+ = cm
α = −
+ ⋅ + +
1
1
1 0 67 1 2. ( ) / ( )C d C d

α = −
+ ⋅
=1
1
1 0 67 120 100
0 423
. ( ) / ( )
.
α ⋅ = ⋅ =Mu 0 423 22 9 306. . ton-m
( )( )( ) 16.7603.190.12.199 =−=uV
v
V
A
M C
Ju
u
c
u AB
c
= +
⋅ ⋅α
C
C d
AB =
+
= =1
2
120
2
60 cm
2660060)100120(2 =+=cA cm
2
2
)100()120(60
6
)60(120
6
)120(60 233
++=cJ
Jc = ×64 8 106
.
( )
( )
49.2
108.64
6010306.9
26600
76160
6
5
=+=uv kg/cm
2
< vc kg/cm
2
Se observa que la carga gravitacional domina el diseño, quedando como peralte definitivo de la zapata
d = 60 cm.
Refuerzo paralelo al lado largo.
De la ecuación (2.20); pero con d = 60 cm, se obtiene
As = 1139. cm
2
/m
pero
As mín⋅ = 138. cm
2
/m
A As TOT s mín⋅ ⋅= ⋅ =17 2346. . cm
2

A
Av
s TOT
s
= = = ≡
⋅ 2346
2 85
8 23 9
.
.
. varillas # 6
( )
8.18
9
1007.1
==s cm
Ld = 50 78. cm
Refuerzo perpendicular al lado largo.
( ) 3.485.38.13 ==⋅TOTsA cm
2
Para la franja central la cantidad de acero requerida será:
( ) 59.31
1
7.1
5.3
3.482
1
2
=
+
=
+
⋅
= ⋅
B
L
A
A TOTs
sc cm
2
Ase =
−
=
48 3 3159
2
8 35
. .
. cm
2
1108.11
85.2
59.31
≡==scV varillas
( ) 45.15
11
1007.1
==cs cm
392.2
85.2
92.8
≡==seV varillas
( ) 30
3
1009.0
==es cm
Revisión por aplastamiento
( ) 1121607.0 ==cv kg/cm
2

R = = >
510
0 24
4 6 2
.
.
.
( )( ) 53760024001122 ==máxp kg > 126000 kg
Area de acero para las barras de trasmisión
( ) 122400005.0005.0 ==⋅=⋅ colmíns AA cm
2
usando varilla del #6
521.4
85.2
12
≡==V varillas
Ld = 48 43. cm
11 Var. #6 @15
5 Vars. #6
3 Vars. #6 @30
60
90 170
350
9 Vars. #6 @19
40
90170
60
5
11 Var. #6 @ 15 3 Vars. #6 @ 303 Vars. #6 @ 30
9Vars.#6@19
3 Vars. #6 @30
170

Capítulo
3
ZAPATAS CORRIDAS
Cuando las zapatas aisladas en suelos compresibles ocupan arriba del 30% del área de la
cimentación se puede usar zapatas corridas, o bien cuando se presentan cualquiera de los siguientes
casos:
a).- Cuando se tienen restricciones de lindero, si se utilizan zapatas aisladas, éstas estarían cargadas
excéntricamente, figura 3.1a y el problema que puede surgir es que la presión de contacto sea mayor
que la presión admisible del terreno, por lo que se recomienda una zapata combinada o corrida, figura
3.1 (b).
(a) (b)
Figura 3.1 a) Zapatas aisladas b) Zapata corrida

50 Capítulo 3 Zapatas corridas
b) Cuando las columnas están muy próximas una de otras o sea que las zapatas aisladas queden muy
juntas, figura 3.2 (a) o pueden traslaparse, figura 3.2 (b)
Figura 3.2 a) Zapatas aisladas. b) Zapatas traslapadas
c) Cuando los asentamientos permisibles no sean satisfechos, en este caso los asentamientos pueden
ser reducidos por la rigidez que proporcionan las vigas (contratrabes) de la cimentación, figura 3.3.
Figura 3.3 (a) Planta (b) Isométrico de la zapata corrida
Es importante observar que para un análisis racional es conveniente estudiar este problema como
vigas sobre medios elásticos, esto es adecuado cuando el módulo de cimentación unitario es
prácticamente constante, en el capítulo 5 se trata este tema.
d) También en los casos que se presenten momentos flexionantes considerables a nivel de la
cimentación. La profundidad para desplantar la cimentación dependerá de las características del
suelo, magnitud de las cargas, cimentaciones colindantes, la presencia del N.A.F. y otros.

Capítulo 3 Zapatas corridas 51
Se propone una clasificación de éste tipo de zapatas como a continuación se indica:
a) Zapatas corridas que soportan muros de tabique o de concreto.
b) Zapatas corridas que soportan dos o más columnas sin contratrabe.
c) Zapatas corridas que soportan dos o mas columnas con contratrabes.
Se presenta un método aproximado para el análisis y diseño de zapatas corridas en el inciso 3.1,
basado en las siguientes hipótesis:
1. Se supone la losa rígida.
2. Las presiones del terreno tienen una variación lineal.
3.1 Zapatas corridas para soportar muros.
Se sugiere seguir el siguiente procedimiento:
1.Establecer las limitaciones de cálculo de acuerdo al reglamento que se use.
2. Dimensionamiento preliminar.
3. Determinar el paso de la resultante y el momento flexionante cuando exista excentricidad.
4. Revisar las presiones de contacto.
a) Se compara la presión admisible con la de contacto.
b) Se revisa que no existan esfuerzos de tensión.
5. Diseñar por flexión.
6. Revisar por cortante como viga ancha.
7. Se propone el armado.
Ejemplo 3.1.Diseñar la zapata corrida que va a soportar un muro de concreto que tiene una carga
uniforme w, tome los siguientes datos:
Figura 3.4 Zapatas corridas

Datos:
w = 9 ton/m
qa = 14 ton/m2
γ = 1800 kg/m3
Df = 1.2 m
Materiales:
2
/200' cmkgf c =
2
/4200 cmkgf y =
Limitaciones:
002.0
4200
2007.07.0 '
min ===
fy
cf
p
bpp 9.0max =
fy
fc
fy
pb
"
.
6000
6000 1
+
=
β
22'*
/250/160)200(8.08.0 cmkgcmkgff cc <===
2*'
/136)160(85.0 cmkgff cc ===
280*
<cf
85.01 =β
016.0
4200
136
42006000
5100
=
+
=bp
0145.0)016.0(9.0max ==p

Determinación del paso de la resultante y el momento flexionante.
El peso del muro de 9 ton/m. está considerado hasta la losa.
Se supuso el espesor de la losa.
Los valores de los pesos del terreno y la losa de concreto son:
P = V γ.
P1 = 0.3 x 0.8 x 1.00 x 1.80 = 0.432 ton
P2 = 0.7 x 0.8 x 1.00 x 1.80 = 1.008 ton
P3 = 0.4 x 1.25x 1.00x 2.40 = 1.200 ton
Σp = 9 + 0.432 + 1.008 + 1.200 = 11.64 ton.
Momento respecto al punto d.
M1 = 0.432 x 1.10 = 0.475 ton - m
M2 = 1.008 x 0.35 = 0.353 ton - m
M3 =1.200 x 0.625 = 0.750 ton - m
M4 = 9.00 x 0.825 = 7.425 ton – m
003.9=ΣM ton - m
Por lo tanto:
El paso de la resultante se encuentra a x del punto d
m
P
M
x 7730
6411
0039
.
.
.
==
Σ
Σ
=
La excentricidad con respecto al centro de la figura en la base es:
e = 0.773 - 0.625 = 0.148 m

En la figura 3.5 se ilustran, la excentricidad y el efecto de flexocompresión.
(a) (b)
Figura 3.5 a) Zapata con excentricidad. b) efecto de flexocompresión
M = ΣPe = 11.64 x 0.148 = 1.723 ton - m
Revisión de las presiones de contacto.
S
M
A
P
q ±
Σ
=
Donde:
A = 1.25 x 1.00 = 1.25 m2
3
2
m26.0
6
25.1x00.1
S ==
Sustituyendo valores:
26.0
723.1
25.1
64.11
q ±=
qmin = 2.685 ton/m2
qmáx = 15.939 ton/m2
> 14 ton/m2
Como la presión de contacto resultó mayor que la presión admisible se procede a un segundo tanteo,
aumentando la sección ab a 40 cm. y ahora se determina el paso de la nueva resultante.
P1 = 0.4 x 0.8 x 1.00 x 1.80 = 0.576 ton
P2 = 1.008 ton
P3 = 1.35 x 0.4 x 1.00 x 2.4 = 1.296 ton

ΣP = 11.88 ton.
Momentos respecto al punto d
M1 = 0.576 x 1.15 = 0.662 ton - m
M2 = 0.353 ton - m
M3 = 1.296 x 0.675 = 0.875 ton - m
M = 7.425 ton - m
ΣM = 9.315 ton - m
m784.0
88.11
315.9
P
M
x ==
Σ
Σ
=
e = 0.784 - 0.675 = 0.109 m
M = ΣP e = 11.88 x 0.109 = 1.295 ton - m
Revisión de las presiones de contacto
A = 1.35 x 1.00 = 1.35 m2
3040
6
351x001
S
2
.
..
==
3040
2951
351
8811
q
.
.
.
.
±=
qmin = 4.540 ton/m2
qmáx = 13.060 ton/m2
< 14 ton/m2

Representación esquemática de la distribución de presiones.
Figura 3.6 Distribución lineal de presiones
por triángulos semejantes
350
x
351
5440613 1
..
..
=
−
177.11 =∴ x
q1 = 1.177 + 4.54 = 5.717 ton/m2
70.035.1
54.406.13 2x
=
−
418.42 =∴ x
q2 = 4.418 + 4.54 = 8.958 ton/m2

Diseño por flexión
Considerando el esquema de la figura 3.6 se toma la siguiente viga en cantiliver de un metro de
ancho.
Figura 3.7 Viga de ancho unitario
P = qmin (L) = 4.540 (07)=3.178 ton
P1 = (q2 - qmin )
L
2
= (8.958 -4.540)(0.35)
P1 = 1.546 ton
).("
q501qbdfFM 2
crr −=
pero Mr = Mu
)(.
3
L
P
2
L
P41M 1u +=
Mu = 1.4 (3.178 (0.35)+1.546 (0.233) ) = 2.062 ton - m
Considerando 5 cm de recubrimiento d = 35 cm
0140
3510013690
10x0622
bdfF
M
Q 2
5
2
cr
u
.
))()((.
.
"
===
0140Q211qq501qQ .).( =−−=−=

min
y
"
c
0005.0
4200
136
0140
f
f
qp p. <===
Área de acero.
As = pbd = 0.0024 (100) (35) = 8.40 cm2
Usando varillas de 4/8”
cm1215
48
127
A
a100
s
s
s
.
.
=== φ 4 @ 15
Acero por temperatura.
As = 0.002 (100)(35) = 7 cm2
cm1418
7
127
s .== φ 4 @ 18
Revisión por cortante.
como p < 0.015 Vcr = Fr (0.2 + 20 p) *
cf bd
Vcr = 0.8 (0.2 + 20 (0.0024)) 160 (100) (35) = 8783.5 kg
Vu = 1.4 (4.54 +5 717)
2
35.0
(1.00) = 2.513 ton
Vcr > Vu
por lo cual el peralte propuesto se acepta.
En la figura 3.8 se representa el armado de la zapata.

Figura 3.8 Armado de la zapata

3.2 Zapatas corridas sin contratrabes para soportar dos o más
columnas.
Estos tipos de zapatas pueden o no tener contratrabes, como se ilustran en las figuras 3.1b y 3.3.
Cuando las fuerzas cortantes no son grandes y la losa es aproximadamente rígida, se puede proponer
una losa sin contratrabes. Para el análisis y diseño de este tipo de zapatas se recomienda la siguiente
secuela:
1. Establecer limitaciones de acuerdo al reglamento que se utilice.
2. Determinar el paso de la resultante.
3. Dimensionar preliminarmente.
4. Calcular y revisar las presiones de contacto.
5. Analizar como viga.
6. Diseñar por flexión y revisar por cortante.
7.- Armado.
Si no se tiene el dimensionamiento preliminar, se sugiere tomar de un 10% a 20% del peso de las
descargas para considerar el peso propio de la zapata.
Ejemplo 3.2.Diseñar la zapata combinada para las condiciones y datos mostrados en la siguiente
figura:
Figura 3.9 Zapata corrida con descarga de dos columnas
Datos:
2
c cmkg200f /'
=
2
y cmkg4200f /=
2
a mkg11000q /=
3
m7kg1300 /=℘
m301Df .=
Solución.
P=70 Ton
30
60490
h
Df
L
A
P=70 Ton
30
60

Limitaciones.
002350
4200
20070
f
f70
P
y
c
min .
.. '
===
( ) 2'*
/1602008.08.0 cmkgff cc ===
2"
/136)160(85.0* cmkgff Cc === β
0.0152
4200
136
10200
4800
Pb ==
∴Pmáx = 0.0152
Determinación del paso de la resultante.
Debido a la simetría la resultante pasa por el centroide del área de la zapata, x = 245 cm.
Dimensionamiento preliminar de la zapata.
Se propone:
B = 275 cm
h = 50 cm
A
P
q T
=
terrenopropioascT PPPP ++= ∑ arg
tonP asc 140)70(2arg ==∑
Ppropio = 6.1 (2.75) (0.5) (2,4) = 20.13 ton.
Pterreno = 6.1 (2.75) (0.8) (1.3) = 17.45 ton

PT = 140 + 20.13 + 17.45 = 177.57 ton.
A = BL = 2.75 (6.1) = 16.77 m2
2
a
2
mton0011qmton5910
7716
57177
q /./.
.
.
=<==
Presión de diseño.
La presión que genera momentos flexionantes y fuerzas cortantes que se consideró es la que
corresponde únicamente a las descargas, esto es sin incluir peso propio de la zapata y del relleno.
2
ton/m8.35
16.77
140
A
P
q ==
∑
=
qu = Fc q B = 1.4(8.35)(2.75) = 32.14 ton/m.l.
Esta es la carga linealmente distribuida sobre la viga simplemente apoyada, vea la figura 3.10
Figura 3.10 Actuación de la presión última
P
P

Resultados del análisis de la viga Isostática.
Figura 3.11 Viga isostática
Determinación del peralte por flexión.
a) En el sentido longitudinal de la viga, el peralte se obtendrá de acuerdo al diagrama de
momentos flexionante anterior.
bK
M
d
u
u
=
).("
q501qfFK cru −=
Ru = Fr fy (1-0.5q)
Se propone p = 0.01
3090
136
4200
010 ..
f
f
pq "
c
y
===

Ku = 0.9(136)(0.309)(1.0-0.5) (0.309) = 31.97
Ru 0.9(4200)(1.0-0.5) (0.309) = 3195.99
Substituyendo valores se obtiene:
cm32
2759731
106190
bK
M
d
5
u
u
===
)(.
).(
b) En sentido transversal de la viga se idealiza de la siguiente forma.
Figura 3.12 Viga en voladizo
Se considera un ancho unitario para la viga.
b = 100 cm
cm512215
2
275
L .' =−=
qu = 1.4 bq = 1.4(1.00)(8.35) = 11.69 ton/m.l.
mton8.77
2
5)11.69(1.22
2
Lq
M
22
u
u −===
cm16.5
31.97(100)
10(8.77)
d
5
==
por flexión rige d = 32 cm.
Determinación del peralte por cortante.
a).- Como losa.
El cortante crítico se presenta a medio peralte a partir del paño de la columna o dado.

Figura 3.13 Ilustración de la fuerza cortante crítica
Vcr = Fr
*
cf bo d
Donde:
Perímetro de la zona crítica.
bo = (t+d) 4
P’ = Av qu
Av = (t+d)2
qu = 1.4 (8.35) = 11.69 ton/m2
por equilibrio
Vcr + P’
– Pu = 0
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación anterior, se tiene:
Fr
*
cf bo d + A v qu – Pu = 0
0.8 160 d(30 + d)4 + 1.169(30 +d)2
- 98000 = 0
d/2
Pu
Vcr p'
Pu
Vcrp'

Reduciendo
d2
+ 0.308 d - 2328 = 0
De la solución de la ecuación cuadrática se obtiene el peralte efectivo, se considera el recubrimiento y
finalmente el peralte total.
d = 35 cm r = 5 cm h = 40 cm.
b) Como viga:
Vcr = Fr (0.2+30p) bd *
cf si p < 0.01
Vcr = 0.5 Fr bd *
cf si p ≥ 0.01
Como no se conoce p se propone un valor y posteriormente se revisa o bien se propone como peralte
el mayor de los ya determinados, así d = 35 cm. Ahora sedeterminan las áreas de acero, y los
porcentajes de acero para cada sección de momento máximo y haciendo Vu = Vcr, en las expresiones
anteriores se determina el peralte buscado.
Para este caso se propone p = 0.01
Vcr = 0.5 Fr bd *
cf haciendo Vu = Vcr
cm53
160275850
10x973
fbF50
V
d
3
r
u
c
===
))((..
.
*.
por lo que finalmente
d = 53 cm h = 60 cm.
Diseño por flexión; sentido longitudinal
para Mu = 3.25 ton - m.
Q =
325 10
0 9 136 275
0 0034
5
2
.
. ( )( )(53)
.
x
=
q = 1 - 1 2 0 0034− ( . ) = 0.0034
p = 0.0034
136
4200
0 0001= . < 0.01

As = 0.01 (275)(53) = 145 cm2
Usando varillas del No. 8; as = 5.07 cm
2
s = cm1069
145
075275
A
a275
s
s
≈== .
).(
φ 8 @ 10
Para Mu 90.61 ton - m
Q =
90 61 10
0 9 136 275
0 0958
5
2
.
. ( )( )(53)
.
x
=
q = 1 - 1 2 0 0958 0101− =( . ) .
p = 0.101
136
4200
0 0033= . > pmin
As = 0.0033(275)(53) = 47.63 cm2
s =
275 07
47 63
29
(5. )
.
= cm ∴ φ 8 @ 30
Armado en el sentido transversal.
Mu = 8.77 ton - m
Q =
877 10
0 9 136 100
0 0255
5
2
x
. ( )( )(53)
.=
q = 1 - 1 2 0 0255 0 258− =( . ) .
p = 0.0258
136
4200
0 0008= . < p min
As = 0.00235(100)(53) = 12.455
usando φ 6 as = 2.85 cm.
s = cm23822
45512
285
A
a100
s
s
≈== .
.
φ 6 @ 20
En la figura 3.14 se ilustra el armado propuesto.
>t + 1.5 d
o 8 @30
o 6 @20
o 8 @10
60 cm
o 8 @30
o 8 @10

3.3 Zapatas Corridas Con Contratabe.
Las contratrabes se recomiendan cuando el peralte por flexión o por cortante resulta relativamente
grande o bien como ya se mencionó, para darle mayor rigidez a la cimentación y con esto disminuir
los asentamientos diferenciales.
Procedimiento.
1. Establecer limitaciones de acuerdo al reglamento que se use.
2. Determinar la posición de la resultante del sistema de cargas.
3. Dimensionamiento preliminar.
4. Calcular y revisar las presiones de contacto.
5. Diseñar por flexión y revisar por cortante de la losa como viga ancha.
6. Analizar la contratrabe.
En este caso se sugieren dos etapas.
a).- Analizar la viga cargada con las presiones de contacto y apoyada en columnas. Cuando dicha
viga sea continua se sugiere el método de distribución de momentos para su análisis ó usar un
programa de computadora de análisis estructural de vigas.
b).- Analizar la viga sujeta a cargas Pv (cortantes desequilibrados), éstas cargas se obtienen de la
diferencia de las reacciones obtenidas en el caso (a) que llamamos Q y las descargas a la
cimentación P llevadas por las columnas (datos), para el análisis de estas vigas llamadas flotantes se
sugiere el método de N.M. Newmark.
Finalmente se superponen los diagramas de momentos y cortantes de los casos (a) y (b), obteniendo
así, los diagramas para diseño.
7.- Diseñar la Contratrabe.
8.- Armado.
Ejemplo 3.3 Un puente para un periférico va a llevar dos columnas que descargan 180 y 225 tons.
respectivamente, es necesario separarlas 6.10 m. De los estudios de mecánica de suelos se
determinó un esfuerzo permisible de 15 ton/m
2
. En la siguiente figura se muestran los datos y
condiciones que deberán considerarse.
Datos:
P1 = 180 ton
P2 = 225 ton
qa = 15 ton/m2
peso específico del terrero.
γ= 1.6 ton/m3
f ’c = 200 Kg/cm2

fy = 4200 Kg/cm2
Limitaciones
002350
4200
20070
f
f70
P
y
c
min
.
..
'
'
===
2
c cmkg16020080f80fc /)(.. '*
===
2
c cmkg136160850f850fc /)(.. *''
===
0152.0
4200
13600
10200
4800
=•=bp
01520pmax .=
).("
q501qfFK cru −=
Se propone p = 0.01 Ku = 31.97
Determinación del paso de la resultante.
Tomando momentos respecto a a
( ) 0xP106PM T2a =−=∑ .
x
P
P
m
T
= = =
610 610 225
405
3392. . ( )
.
e x
L
m= − = − =
2
339
610
2
0 34.
.
.
Dimensionamiento preliminar.
La longitud total de la zapata TL se determina considerando que la distribución de presiones es
uniforme, para esto el paso de la resultante debe coincidir con el centro de gravedad del área de la
zapata. Aumentando 2e hacia la derecha se elimina la excentricidad, TL queda como se ilustra en la
figura 3.15.
P1 P2
PT
1.00
(a)

Figura 3.15 Zapata corrida propuesta.
Se propone B = 3.25 m.
Peso terrreno = 10.78 (3.25 - b) (1.0) (1.6)
Ancho propuesto para la contratrabe, b = 50 cm.
Peso terreno = 10.78 (2.75) (1.0) (1.6) = 47.43 ton
Peso propio de cimentación = 40.5 ton (10% de las descargas)
P P P ton= + = + =∑ 1 2 225 180 405
P tonT = + + =405 47 43 405 492 93. . .
Presión de contacto
q
P
A
ton m qT
a= = =
492 93
325 10 78
14 07 2.
. ( . )
. / p
Presión de diseño
2
u mton1816
7810253
40541
A
P41
q /.
).(.
)(..
===
∑
Diseño por flexión de la losa.
Considerando un ancho unitario, de la losa de la zapata se obtiene una viga en cantiliver.
1.375
qu = 16.18 ton/ml
W L
2
2

Figura 3.16 Viga idealizada.
mton2915
2
37511816
M
2
u −== .
).(.
cm821
1009731
10x2915
K
M
d
5
u
u
b
.
)(.
.
=== < 30 cm (peralte efectivo supuesto).
Se puede considerar d = 22 cm, sin embargo es recomendable por hipótesis que la cimentación sea
rígida, por lo que se tomará d = 30 cm.
Cálculo del área de acero.
13880
3010013690
10x2915
bdcfF
M
Q
2
5
2
r
u
.
))()((.
.
''
===
15013880211q ..( =−−=
... minp004860
4200
136150p 〉==
As = 0.00486 (100) (30) = 14.58 cm2
Seleccionando φ 6 que tiene as = 2.85 cm
2
s = 6cm519
5814
852100
A
a100
s
s
φ== ..
.
).(
@ 20 cm.
El armado longitudinal de la losa se considera por temperatura.
As =.002 (100)(30) = 6 cm2.
Usando φ4” as = 1.27 cm
2
cm21
6
271100
s ==
).(
φ4 @ 20 cm.
Revisión por cortante.
En la figura 3.17 se muestran las dimensiones que se consideran en esta revisión.

Figura 3.17 Dimensionamiento de la zapata.
Vu = Aqu = 1.00 (1.0750) (16.18) = 17.39
Como p < 0.01
Vcr = 0.8 (0.2+30(0.00486)) (100) (30) 160 = 10498 Kg.
Vu > vcr
Por lo que se incrementa en peralte de la losa a 40 cm. y el porcentaje de refuerzo a p = 0.0065
Vu = 1.00 (0.975) (16.18) = 15.77 ton.
Vcr = 0.8 (0.2+30(0.0065)) (100) (40) 160 = 15998 Kg> Vu
Corrigiendo el armando de la losa.
As = 0.0065 (100) (40) = 26 cm2
Seleccionando varillas 6/8” as = 2.85 cm2
cm910
26
852100
s .
).(
== φ6 10 cm.
Refuerzo longitudinal.
As = 0.002 (100) (40) = 8 cm2

Usando varillas de 4/8” as = 1.27 cm
2
cm815
8
271100
s .
).(
== φ4 @ 15 cm.
Análisis de la Viga
Figura 3.18 Viga simplemente apoyada
Como: Pu1 = R1 y Pu2 = R2, no hay cortantes desequilibrados.
Determinación del peralte.
bK
M
d
u
u
=
).("
q501qfFk cru −=
78.89
105.19
146.81
120.50
147.53
174.04
114.66140.96
Vu
Pu1 Pu2
59.16
105.19
38.36
108.43
188.88
124.28
99.67
Mu

se propone p = 0.01 y b = 35 cm
q = =0 01
4200
136
0 309. .
Ku = 0.9 (136) (0.309) (1-0.5 x 0.309) = 31.97
d = cm
x
105
)35(97.31
1028.124 5
=
Revisión de la sección por cortante.
kg92971160(105)(35)(0.8)2.5fdbF2.5 *
cr ==
Vu = 147530 kg > 92971 kg.
la sección no se acepta por cortante
Determinación del peralte por cortante
Vu = fdbF2.5 *
cr
Se propone b = 50 cm
6116
160508052
530147
fbF52
V
d
cr
u
.
))(.(.
.
. *
===
La sección queda b = 50 d = 120 h = 125 cm
Cálculo de áreas de acero
Para Mu = 59.16 ton – m
06710
1205013690
101659
Q 2
5
.
))()((.
).(
==
06950Q211q .=−−=

minP00230
4200
136
06950p <== ..
As = 0.00235 (50) (120) = 14.10 cm2
; 3 φ 8
1130
1205013690
106799
Q 2
5
.
))()((.
).(
==
12001130211q .).( =−−=
minp00390
4200
136
120p >== ..
A s = 0.0039 (50) (120) = 26.95 cm2
5 φ 8
1410
1205013690 2
.
))()((.
10(124.28)
Q
5
==
En forma análoga se obtienen:
0.1527q =
p = 0.0049 > pmin
As = 26.95 cm 2
6 φ 8
Determinación del refuerzo por cortante
Como en las tres ecuaciones de momento máximo, el porcentaje de refuerzo es menor que 0.01, el
cortante que resiste el concreto se determina con la expresión.

*
crcr fbd30p)(0.2FV +=
tramo AB
Vu = 78.89 ton p = 0.00235
Vc r = 0.8 (0.2 + 0.00235 (30)) (50) (120) 160 = 16424 kg.
Vcr < Vu
Separación de estribos
cru
yvr
VV
dfAF
s
−
=
usando estribos del No. 4 as = 1.27 cm2
Av = 2 as = 2 (1.27) = 2.54 cm2
4E3916
1642478890
φ=
−
= .
4200(120)(2.54)0.8
s @ 15 cm
pero no deberá exceder
cm68
5053
420054280
b53
===
)(.
))(.(.
.
dfAF
s
yvr
91073kg160120)(0.8)(50)(1.5fbdF1.5 *
cr ==
2dsVu /fbdF1.5 *
cr ≤>
A continuación se realiza para cada tramo el mismo procedimiento, solamente se anotarán los
resultados:
Tramo BC

Vu = 120.50 ton p = 0.0039
Vcr = 19247 Kg
s = 10.11 cm E φ 4 @ 10 cm
Tramo CD
Vu = 147.53 ton p = 0.0049
Vcr = 21068 Kg
s = 8 cm E φ 4 @ 8 cm
Tramo DE
VU = 114.66 ton p = 0.0049
Vcr = 21068 Kg
s = 10.9 E φ 4 @ 10 cm
Corte de varillas
Se recomienda correr un 50% de refuerzo, tanto para momento positivo como negativo.
Momento que resiste una varilla para cada sección.
u
s
s
r M
A
a
M =
Para el momento negativo, eje B.
mton92218978
2418
075
Mr −== .).(
.
.
Para el momento positivo
mton59216799
423
075
Mr −== .).(
.
.

Longitud de anclaje.
La = Ld + d
Ld = 32
La = 32 + 120 = 152 cm L.I
Ld = 45
La = 45 + 120 = 165 cm L. S
El armado longitudinal de la losa lleva estribos del No. 4 a cada 15 cm
3 o 8
4 o 8
5 o 8
6 o 8o 6 @10
E o4 @15 E o4 @8 E o4 @10

Capítulo
4
RETICULAS DE CIMENTACION
Estos tipos de cimentaciones se usan en suelos compresibles, cuando el peso de la superestructura
no es conveniente soportarlo con zapatas aisladas o corridas. La primera alternativa puede ser una
placa continua o losa corrida que cubra toda la base de la construcción, como si fuera una losa de
piso, ver figura 1.5. Esta placa de cimentación puede presentar la necesidad de reforzar las franjas de
ejes de columnas, como si éstas fueran vigas conservando el peralte de la losa o pueden tener un
peralte mayor generando vigas peraltadas llamadas contratrabes, ver figura 1.6, algunos le llaman a
este tipo de cimentación placas de cimentación nervadas o reticuladas.
Los métodos de cálculo de las cimentaciones sobre terreno compresible generalmente son
discrepantes y poco racionales. Los ingenieros tienden a simplificar el problema debido a las
dificultades de análisis que se tiene entre el sistema integrado por las estructuras de sustentación y la
del suelo, así como por las incertidumbres que se presentan en la predicción del comportamiento del
suelo.
Los procedimientos prácticos para este tipo de cimentación consideran que trabajan bajo dos
condiciones, una que se presenta a corto plazo o instantáneamente y la otra a largo plazo o diferida.
Para el calculo estructural se toman las losas nervuradas como un sistema integrado por vigas o
contratrabes y un conjunto de tableros de losas. Considerando a las vigas como los elementos
primarios, se pueden definir las condiciones en la siguiente forma:
a) A corto plazo, las vigas se suponen que se comportan como vigas continuas con apoyos fijos
en las columnas sujetas a cargas distribuidas uniformemente debido a las presiones del suelo.
b) A largo plazo, las vigas se consideran como un sistema flotante sujeto a las descargas de la
superestructura y la reacción uniforme del terreno. La estructura experimenta asentamientos
que por lo general son máximas en el centro de cargas y mínimas en los extremos, esto indica
que el suelo reacciona en la forma no uniforme.
La primera condición conduce a elementos mecánicos relativamente pequeños en la contratrabe
porque se desprecian los efectos de asentamientos diferenciales, en la segunda condición los
elementos mecánicos son mayores pero muy conservadores, debido a que se ignora la redistribución
de presiones de contacto.

80 Capítulo 4 Retículas de cimentación
Para diseñar se puede considerar la condición más desfavorable o combinando ambas condiciones.
Los métodos tradicionales no abordan explícitamente el estudio de la interacción entre la
subestructura y el suelo, se recomienda estudiar el capítulo 5.
A continuación se presentan procedimientos aproximados que sirven para hacer estimaciones
prácticas en el diseño y no requieren el uso de computadoras. En el capítulo 5 se presenta una
introducción a los métodos que pretenden ser exactos en el análisis de la distribución de esfuerzos y
deformaciones en las cimentaciones, y se requiere el uso de computadoras.
4.1.- Losas de Cimentación.
Una placa continua de cimentación es una subestructura que transmite las cargas al suelo y que
generalmente abarca toda el área de la base de la subestructura, como si fuera una losa de piso. Una
losa de cimentación fácilmente se construye si tiene un espesor uniforme.
Se presenta un método aproximado para el análisis y diseño de placas de cimentación, suponiendo
que la placa debe ser rígida, gruesa y resistente, las columnas deberán estar apoyadas en dados o
pedestales, éstos tienen el mismo objetivo que los capiteles en una losa plana de piso, es decir,
ampliar la zona critica para absorber esfuerzos cortantes y momentos flexionantes, evitando
concentraciones de esfuerzos locales peligrosos. Se parte de considerar que la placa es rígida y la
carga constante, que el suelo plástico se comprimirá de tal manera que la carga de cada columna se
distribuirá casi uniformemente bajo la placa en las inmediaciones de dicha columna particular.
Figura 4.1 Placa de cimentación para un edificio

Capítulo 4 Retículas de cimentación 81
1. Se colocarán dados o pedestales en cada columna con el objeto de ampliar las secciones
críticas hasta un perímetro suficiente con el fin de evitar concentraciones locales de
esfuerzos cortantes y flexionantes críticos que puedan provocar fallas en la losa; se puede
usar otras alternativas como, un armado embebido en el espesor de la losa pero
rehundido, como si fueran zapatas aisladas. Las dimensiones de la base del dado, hp
ancho del pedestal, se recomienda que este comprendido entre un quinto y un cuarto del
claro entre columnas. Con el objeto de comprender estos conceptos se recomienda
observar la figura 4.1.
2. La obtención de las cargas o presiones de contacto sobre la losa de cimentación se
pueden obtener considerando que debido a que la placa es rígida y las cargas constantes,
el suelo plástico se comprimirá y se reajustará, de tal manera que la carga de cada
columna se repetirá casi uniformemente bajo la losa.
En la zona próxima a la columna la presión del suelo se obtiene con la expresión 4.1
( )
dcba
dcba
dcba
dcba
Area
losaladepropioPeso
Area
PPPP/
q +
+++
=
41
(4.1)
Se puede despreciar el peso propio de la losa de acuerdo a criterio del calculista.
En los casos donde las cargas de columnas contiguas, difieran mucho, no es
recomendable usar este tipo de cimentación debido a la posibilidad de un hundimiento
local por que la placa no puede repartir cargas desiguales a distancias alejadas en suelos
compresibles.
Se recomienda que la relación entre los claros de columnas largo a corto en direcciones
ortogonales no sea mayor de 1.2. Los claros entre ejes de columnas no deben ser
mayores de 6 o hasta 7 metros, ya que de mayores dimensiones se requerirá una losa
muy gruesa.
3. Para el análisis se considera a la losa dividida en franjas de columnas que tenga un ancho
de hp + 3d, o un valor mayor, sin rebasar la mitad de la longitud de claros de lados
contiguos, el valor d es el peralte efectivo de la losa. Como se puede observar en la figura
4.1, se obtiene una retícula de vigas o franjas de columnas, si esta retícula de vigas es el
adecuado se puede imaginar que las losas de las franjas centrales están apoyadas en las
vigas, en la figura 4.1 se ilustran las franjas de ejes y con sombra las pequeñas losas
centrales.
4. Para canalizar las cargas o presiones del suelo, se trazan líneas a 45°a partir del centro
de columnas, resultando áreas de forma triangular o trapezoidal, vea figura 4.2. Las
presiones bajo la superficie abdc se pueden considerar que se distribuyen de la siguiente
forma, la franja de columnas soportará la carga correspondiente al área que le
corresponde a dicha franja y los pequeños triángulos sobrantes se canalizan a la losa
central ghij. En forma similar se procede a distribuir cargas correspondientes al área
aeck, y de la misma manera se realiza la distribución para toda la superficie.
5. Ahora se procede al análisis estructural. El cálculo para las franjas de columnas o vigas
planas se puede realizar como vigas continuas, usando el método de distribución de
momentos o mas conservadoramente como vigas doblemente empotradas. En la figura
4.2 se ilustra el diagrama de momentos flexionantes, en donde debido al efecto de los

pedestales, el momento máximo en los apoyos tiende a reducirse, dicha reducción se
ilustra con líneas discontinuas en el diagrama mencionado.
Figura 4.2 Losa de cimentación y momentos flexionantes
La losa central se puede analizar como una tablero empotrado en sus cuatro bordes, por
ejemplo el tablero ghij, dichos empotres se consideran en los bordes de las vigas planas.
Otra alternativa es considerar el empotramiento a una distancia, del borde, de un 20% del
ancho de las franjas, pero sin exceder el peralte efectivo de la losa. Para analizar la losa
se puede usar cualquiera de los métodos de diseño de losas propuestos por los
reglamentos.

Una recomendación conservadora para el diseño es la siguiente, para determinar el
armado inferior se considera a la losa como si estuviera empotrada en los bordes de las
franjas y para el armado superior se considera como simplemente apoyada a lo largo de
dichos bordes.
6 Conocidos los elementos mecánicas se procede a diseñar, o sea a determinar las
cantidades de refuerzo en las vigas anchas y en las losas centrales.
Ejemplo.- Diseñar en forma practica una losa plana de cimentación con los datos que se indican a
continuación.
Datos:
La losa continua de cimentación se encuentra en suelo arcilloso plástico.
La resistencia del terreno es de 7 Ton/m
2
Materiales
f’c = 250 kg/cm
2
fy = 4200 kg/cm
2
Las cargas se ilustran en la figura 4.3
Columnas de 60x60 cm.
La estructura pertenece al grupo B
Figura 4.3 Descargas sobre la losa continua de cimentación.

Solución:
Revisión de las presiones del suelo.
Descarga total de la losa de cimentación, sumando por renglones.
∑ =+++= 1630280535535280P .Tons
Se supone un peralte de losa de 30 cm.
El peso de los pedestales están incluidos en las cargas iP
Área total de la losa
86.373)60.18)(10.20( ==TA
Peso de la losa = 18.269)40.2)(30.0)(86.373( = Ton
El peso total será:
18.189918.2691630 =+=TP Ton
Obtención del peso de la resultante, para esto, se calcularan las excentricidades, usando el teorema
de Varignon:
8.9
1630
)544(5.6)528(0.13)286(5.19
=
++
=X m
0.9
1630
)535(6)535(12)280(18
=
++
=Y m
05.075.98.9 =−=Xe
00.90.9 =−=Ye
En el sentido y el diagrama de presiones es rectangular.
En el sentido x es un trapecio:
52.108.5
12/))10.20)(6.18((
)05.10)(05.0)(18.1899(
86.373
18.1899
2
±=±=q
56.3min =q No hay tensiones
60.6max =q aq<
Cálculo de la carga de diseño.

Para obtener la carga de diseño en forma aproximada se tomara el criterio usado anteriormente;
puede usar otro.
BL
PF
q TC
u
'
+
=
meLL 20)05.0(210.202' =−=−=
15.7
)6.18)(20(
)18.1899)(4.1(
==uq 2
/ mTon
Revisión por penetración
Se proponen las dimensiones de la base del pedestal usando las recomendaciones anteriores.
m
l
h x
px 30.1
5
5.6
5
===
m
l
h
y
py 20.1
5
6
5
===
4.2.- Retículas de Cimentación.
Las retículas de cimentación se pueden formar con zapatas corridas en ambas direcciones, figura
4.3.a. También las vigas se pueden colocar por debajo de la placa de cimentación, lo que implica que
para su construcción se tenga que realizar una retícula de cepas o zanjas primeramente y luego
colocar la losa continua de cimentación. Si se invierte la disposición de las contratrabes de tal forma
que la placa de cimentación quede en el fondo se obtiene un tipo de cimentación de uso más común
como la que se ilustra en la figura 4.3b, en este caso estos cajones no servirán de sótano y se tendrá
que poner otra losa para tapar los cajones, la infraestructura la constituye pues una losa nervada. El
método práctico que se expone en este capítulo considera a las contratrabes y los tableros de la losa
continua.
Las retículas de cimentación pueden estar sujetas a cargas verticales y/o fuerzas laterales. En este
tipo de estructuras los elementos mecánicos primarios son momentos flexionantes, fuerzas cortantes y
momentos torsionantes. Los métodos prácticos o aproximados consideran solamente momentos
flexionantes y fuerzas cortantes.
En el cálculo se consideran los siguientes puntos:
a) La cimentación deberá ser rígida.
b) La placa será una losa de gran espesor armada en una o dos direcciones.
c) Las losas, contratrabes y muros se deberán considerar como elementos continuos.
d) Se sugiere dejar juntas de construcción en la placa, así como entre la liga losa-viga. Se
recomienda que éstas juntas se coloquen en las secciones donde los esfuerzos cortantes son
pequeños.

Figura 4.3 Retículas de Cimentación.
e) Las contratrabes pueden analizarse como vigas doblemente empotradas o continuas, según
sean las dimensiones de los elementos interconectados.
f) Al dimensionar la losa de cimentación, puede suponerse, que actúa sobre ella carga
uniformemente repartida, con las fronteras empotradas o continuas, con la advertencia del
inciso (e).
g) Si los muros o contratrabes llevan huecos relativamente pequeños en los centros de los
claros, dichas aberturas pueden no considerarse. En cambio si son amplios, es preferible
considerar el muro como si estuviera articulado. La parte superior e inferior de esos huecos
deberán armarse para evitar grietas.
4.3.- Procedimiento de cálculo.
A continuación se presenta el procedimiento de cálculo para el análisis aproximado y diseño de
retículas.
Hipótesis fundamentales:
Se supone el suelo como un medio elástico.
Se considera a la cimentación como un cuerpo rígido.
Se desprecian los efectos de torsión.
Descripción breve del procedimiento.
1) Selección del tipo de cimentación, con los datos del terreno y la superestructura.
2) Determinación del centro de cargas y del centro de gravedad de áreas.
3) Cálculo de los esfuerzos debidos a cargas verticales.
4) Cálculo de los esfuerzos debidos a cargas laterales.
5) Resumen de todos los esfuerzos.
6) Revisión de las presiones de contacto.
7) Análisis de la retícula de contratrabes.
7.1) Cálculo de elementos mecánicos por carga vertical.
7.2) Cálculo de elementos mecánicos por sismo en ambas direcciones.
8) Combinación de efectos en las direcciones “x” y “y”.
9) Diseño de contratrabes.
10) Análisis de la losa de cimentación.

11) Diseño de la losa de cimentación.
Ejemplo 4.1.- En la figura 4.4. se anotan las dimensiones de la base del edificio, así como las
descargas que llegan a la cimentación, las longitudes están dadas en metros y las cargas en
toneladas, considerando que la presión admisible del terreno es de 6.00 ton/m2
.
Suponiendo que el peso de la cimentación tenga un valor de 8 a 10% de la descarga total, se tendrá
en forma aproximada el peso de la cimentación. En la figura 4.4. se anotan estas cargas
incrementadas por el peso de la cimentación, así por ejemplo:
Para el nodo 4-A.
Pt = 30.00 + 10%(30.00) = 33.00 ton.
O bien se puede considerar el 10% del peso total, esto es 98.8 toneladas y distribuirlas uniformemente
(0.343 ton/m
2
) en la base y luego concentrarlas bajo cada columna.
Determinación del centro de carga y del centro de gravedad.
Figura 4.4.- Descargas en la retícula.
El área de la base del edificio es:
A = 16.00 x 18.00 = 228 m2
.
El centro de cargas se obtiene de la siguiente manera. Vea la figura 4.4 y tome de ahí los valores.
t
c
t
c P
Py
y
P
Pxx
ΣΣ=

Σ Px = 218.90(16) + 298.10(11) + 339.90(6) = 8820.9
Σ Py = 165.00(18) +341.00(13) + 380.66(6) = 9686.60
Pt = 1986.80 tons.
Sustituyendo valores, se obtiene:
Xc = 8.07 m; yc = 8.91 m.
El centro de gravedad de las áreas es:
Xg =8.00 m; yg = 9.00 m.
Los momentos de inercia de la base con respecto a los ejes centroides son:
4
33
7776
12
1816
12
m
)(bh
xx ===Ι
4
3
6144
12
)16(18
myy ==Ι
Cálculo de las presiones del terreno debido a cargas verticales.
a) Por carga axial, se tienen esfuerzos de compresión:
2
1 /77.3
288
80.1086
mton
A
P
f t
===
b) Por momento flexionante, se tienen esfuerzos de flexión:
yy
xy
xx
x
M
f;
yM
f
Ι
=
Ι
= 32
Las excentricidades en la base son:
Ex = 8.07 – 8.00 = 0.07 m.
Ey = 9.00 – 8.91 = 0.09 m.
Los momentos flexionantes provocados por la carga total y las excentricidades anteriores tienen los
siguientes valores.
Mx = Pt ey = 1086.80 (0.09) = 9781 ton-m.
My = Pt ex = 1086.80 (0.07) = 76.07 ton-m.
Sustituyendo valores, se obtiene:

F2 = 0.113 ton/m2
; f3 = 0.099 ton/m2
.
Se representarán en la figura 4.5 los esfuerzos obtenidos anteriormente con el afán de ser objetivo,
marcando el centro de cargas y el centro de gravedad, así como los esfuerzos de flexocompresión.
Cálculo de esfuerzos en el terreno debido a cargas laterales.
Las cargas accidentales, fundamentalmente viento o sismo, generan efectos laterales sobre las
estructuras. Existen varias formas de análisis para obtener estas fuerzas. Así por ejemplo, para el
análisis sísmico tenemos los métodos estático y dinámico, que establece el Reglamento de
Construcciones del D. F.
Las fuerzas sísmicas que actúan en cada piso del edificio se ilustran en la figura 4.6, así como las
alturas de los diferentes niveles con respecto al nivel cero. Las fuerzas son resultado de un análisis
sísmico estático.
El momento de volteo generado por las fuerzas laterales es:
Mv = F1 h1 + F2 h2 + F3 h3 +F4 h4 + F5 h5 = 1271 ton-m.

Figura 4.5 Esfuerzos del terreno debido a cargas de gravedad.
Ahora se revisa la estabilidad del edificio.
Me = Pt (d).
D es la distancia del centro de cargas por donde pasa Pt con respecto a la orilla más próxima.

( ) mtonMe −== 32.861893.78.1086 .
La condición para que no exista volteo es:
Figura 4.6 Edificio sujeto a sismo.
5.1
M
M
v
e
≥
5.178.6
1271
32.8618 〉=∴
Cálculo de los esfuerzos debido al momento de volteo Mv.
yy
y
xx
x
xM
f
yM
f
Ι
=
Ι
= 54 ;
Sustituyendo valores, se tiene:
2
4 /456.1
7776
)00.9(1271
mtonf ==
2
5 /640.1
6144
)00.8(1271
mtonf ==
En la figura 4.7 se representan gráficamente estos esfuerzos, considerando el efecto del sismo en
ambas direcciones y en ambos sentidos.

Sismo derecho-izquierdo Sismo izquierdo-derecho (eje x-x)
Sismo inferior-superior Sismo superior-inferior (eje y-y)
Figura 4.7 Esfuerzos del terreno debido a fuerzas sísmicas.
Resumen de los esfuerzos.
En la tabla 4.1 se muestran todos los esfuerzos anteriores, así como las combinaciones de los sismos.

Para la distribución de esfuerzos en todas las contratrabes será lineal, por lo que se puede hacer
mediante proporciones, esto es:
1 2 3 4
6 3 4 5
18
Esta revisión se debe observar que la presión de contacto por carga estática (fe) y por la combinación
de carga estática más sismo (fE + fS) sea menor o igual que la presión admisible del terreno dada
como dato, ni tener esfuerzos de tensión (esfuerzos negativos). Favor de ver las columnas 5, 8,9, 19 y
11 de la tabla 4.1.
Análisis de la retícula de contratrabes.
a) Cálculo de los elementos mecánicos en las contratrabes debido a las cargas verticales.
Primeramente se uniformizan las cargas (presiones del terreno) que actuarán sobre la losa de
cimentación. El esfuerzo promedio se obtiene tomando los esfuerzos en las cuatro esquinas de una
losa y dividiendo entre cuatro, esto es:
4
ffff
f B3A3B4A4
L
+++
=Ι
Enumerando las losas con números romanos como se muestra en la figura 4.8, obteniendo los
siguientes esfuerzos o cargas uniformemente repartidas para cada una de ellas. Se toman los valores
de la columna 5 de la tabla 4.1.
FLI = 3.627 ton/m2
FLIV = 3.702 FLVII = 3.784
FLII = 3.695 FLV = 3.771 FLVIII = 3.852
FLIII = 3.756 FLVI = 3.831 FLVIX = 3.914
Ahora se canalizan las cargas de las losas a las vigas, haciendo una distribución por medio de líneas
a 45°, como se ilustra en la figura 4.8, esta es un a forma de canalizar cargas, se pueden usar otras.
Las áreas típicas de triángulos y trapecios son:
25.1100.1200.925.675.85.2
2
16
5432
2
1 =====
+
= AAAAmA
050.0
038.0
30.9
113.0
1 =
=∴
=
xy
x
xx
x1
f2
f2

TABLA 4.1

Figura 4.8 Canalización de cargas.
A continuación se deben analizar todas las vigas continuas, que se obtienen de aislar éstas de la
retícula de contratrabes, las cargas uniformemente distribuidas sobre las vigas se obtienen con la
siguiente expresión
W = A fL / L (ton/m)
Como ejemplo se anotan los resultados del análisis de solamente dos vigas, una en el sentido (2),
viga 1 y otra en el sentido y, viga A.
Para analizar las vigas continuas se puede usar el método de distribución de momentos en las figuras
4.9 y 4.10. Se anotan los momentos flexionantes finales, cortantes, reacciones así como se dibujan las
diagramas de momentos. Se recomienda analizar las otras seis vigas continuas.
Cálculo de los momentos flexionantes debido a los cortantes desequilibrados.
Se designarán como cortantes desequilibrados a las fuerzas que se obtienen de sumas
algebraicamente las reacciones en los nodos debidas a las presiones del terreno, determinadas al
analizar las vigas continuas anteriores (Q), más las descargas dadas como dato (Pt), por ejemplo:
Nudo 4 – A.
Pv = Q – Pt = 20.33 - 33.00 = - 12.67 ton.

VIGA DEL EJE 2.
D1
Figura 4.9 Elementos mecánicos de la viga continua (contratrabe) 2 y diagrama de
momentos flexionantes y cortantes.

VIGA DEL EJE B.
D2
Figura 4.10 Elementos mecánicos de la viga continua (contratrabe) B y diagrama de
momentos flexionantes y cortantes.

Los valores de Q están anotados en la figura 4.11.
Figura 4.11 Reacciones en los nodos debidas a la presión del suelo.
Y los valores de Pt están anotados en la figura 4.4. En la figura 4.12 están anotados los valores de los
cortantes desequilibrados.
Figura 4.12 Cortantes desequilibrados.
Se deben comprobar que la suma de los cortantes desequilibrados en la retícula es nula.

Ahora se distribuyen los cortantes desequilibrados. Para obtener el cortante que toma cada
contratrabe que llega al nodo se utilizan factores de distribución al corte. Recuerde que las rigideces al
corte relativas están dadas por I/L
3
.
Se propone los siguientes momentos de inercia relativos para las contratrabes.
I = 1.5 para las contratrabes centrales.
I = 1.0 para las contratrabes perimetrales.
En la tabla 4.2 se anota en el renglón superior el nombre del nudo de la retícula, en el segundo
renglón las flechas indican la concurrencia de las contratrabes, en el tercer renglón los factores de
distribución, en el cuarto los cortantes desequilibrados y en los siguientes se anotan distribuciones y
transportes, así como los cortantes finales.
Se puede comprobar el equilibrio de cortantes en cada nudo, sumando los cortantes finales, estos
deben ser iguales al cortante desequilibrado pero con signo contrario. Por ejemplo:
En el nudo 4 – A.
Pv = 12.67 ton.
Suma de Vf = -6.63 – 6.04 = - 12.67 ton.
Se sugiere se vea la tabla 4.2 con el auxilio de la retícula y los correspondientes nombres de los
nodos.
Análisis de las contratrabes o vigas flotantes.
En el análisis de las vigas de la retícula sujetas a los cortantes finales obtenidos de la tabla 4.2, el
objetivo es obtener momentos flexionantes y fuerzas cortantes, así como los diagramas respectivos.
En este análisis se utiliza el método numérico de Newmark. Por ejemplo vea la viga 1, en la figura
4.13.
En el nudo 1 – B se tienen dos cortantes en esa dirección cuyos valores son + 0.11 y + 3.59, la suma
es +3.70, entonces el cortante que actuará en el nudo es 3.70. Para el nudo 1 – C se procede en
forma semejante y en los nudos 1 – A y 1 – D como solo existe un cortante en esa dirección, se
pondrán esos valores.
En la tabla de la figura 4.13 para el procedimiento numérico, se anotan primeramente los claros en
metros, en el segundo renglón los cortantes (P) calculados, en el tercer renglón los cortantes
acumulados (Vi), sumándose de izquierda a derecha según indican las flechas, obteniéndose un
cortante desequilibrado de la viga (encerrado en un rectángulo). En los siguientes renglones se tienen:

TABLA 4.2

Vc es el cortante correctivo, esto se determina por medio de una corrección lineal, esto es:
Pf representa los cortantes que mantienen en equilibrio la viga flotante, ahora se calculan nuevamente
los cortantes acumulados como se indica en la tabla.
Vd es el producto del cortante por el claro d.
M es la suma de los momentos flexionantes acumulados, que por condiciones de frontera debe ser
nulo en D, sin embargo existe un momento cuyo valor está encerrado en un rectángulo.
Mc es el momento flexionante correctivo, para que se cumpla la condición de frontera M = D. Los
valores de los momentos correctivos se obtienen de la siguiente manera:
Mr son los momentos flexionantes reales o finales de la viga, en la parte inferior se dibujan los
diagramas de momentos.
Con este procedimiento se analizan todas las vigas, en las figuras 4.13 y 4.14 solamente se ilustra el
cálculo de dos vigas.
30.100.6
16
16.4
30.100.5
16
16.4
56.100.6
16
16.4
−=
−
=
−=
−
=
−=
−
=
CD
BC
AB
Vc
Vc
Vc
30.4300.11
16
98.62
62.2300.6
16
98.62
==
==
C
B
Mc
Mc
6 5 5
4.16
6 5 5
62.98
23.62
43.30

VIGA DEL EJE 2.
D3
Figura 4.13 Ilustración del método de Newmark para la viga 2.
VIGA DEL EJE B.
D4
Figura 4.14 Ilustración del método de Newmark para la viga B.

Cálculo de los elementos mecánicos debidos a sismo.
Tomando los esfuerzos de la columna 7 de la tabla 4.1 estos esfuerzos son generados por el sismo en
la dirección x-x, nuevamente se ilustran en la figura 4.15a, en la figura 4.15b se presentan los
esfuerzos promedio con el objeto de concretar carga en los nodos de la retícula.
Figura 4.15 Esfuerzos debido a sismo.
En la figura 4.16 se marcan con un rayado las áreas que le corresponden a cada nudo, y estas
reacciones se obtienen en la forma siguiente:
0=−= PtperoPtQPv
Por ejemplo, para el nodo 4-A se tiene:
tonPv 99.93325.150.7 =×=
En la figura 4.16b se anotan las reacciones sobre los nodos de la retícula.
En forma análoga se considera ahora el sismo en la dirección y-y tomando los esfuerzos de la
columna de la tabla 4.1. las figuras 4.17a y 4.17b ilustran los esfuerzos y los cortantes
desequilibrados.
Teniendo los valores de los cortantes desequilibrados debidos al sismo en la dirección x-x, se hace los
mismo que en el caso de las cargas verticales, caso 7.1, esto es, la distribución de cortantes, ver tabla
4.3 y el análisis de vigas flotantes.

Figura 4.16 Áreas y reacciones para los nodos.
Figura 4.17 Esfuerzos y cortantes desequilibrados.
Finalmente se procede en la misma forma para los efectos del sismo en la dirección y-y. Los cálculos
se tienen en la tabla 4.4 y a continuación los análisis de las vigas flotantes, solamente se anotan los
análisis de las vigas flotantes 1 y A, para ambas direcciones, ver figuras 4.18 al 4.21.
Algunos calculistas con el objeto de tener mayor aproximación incluyen las rigideces de las columnas
del primer entrepiso, usando métodos de análisis llamados exactos manuales o de computadora, sin
embargo las hipótesis de partida se siguen conservando. Este procedimiento es recomendable para
dimensionamientos preliminares de las retículas de contratrabes, falta aun el análisis de la losa de
cimentación.

TABLA 4.3

VIGA DEL EJE 2.
D5
Figura 4.18 Contratrabe con carga debido al sismo x-x.
VIGA DEL EJE B.
D6
Figura 4.19 Contratrabe debido al sismo x-x.

TABLA 4.4.

VIGA DEL EJE 2.
D7
Figura 4.20 Contratrabe con carga debido al sismo y-y.
VIGA DEL EJE B.
D8
Figura 4.21 Contratrabe con carga debido al sismo y-y.

Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones

Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (19)

Similar a Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones

Similar a Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones (20)

Más de Adan Vazquez Rodriguez

Más de Adan Vazquez Rodriguez (7)

Último

Último (20)

Tipos de cimentaciones superficiales para construcciones