การให้เหตุผล

1. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร1
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
การใหเหตุผล
แมวามนุษยจะกาวหนาไปถึง การสรางสมองกลขึ้นมาใหทําตามคําสั่ง แตสมองกลนั้นก็
สามารถทําตามในสิ่งที่มนุษยเรียบเรียงไวอยางเปนระเบียบเทานั้น ไมอาจคิดในเรื่องของเหตุผลได
เหมือนสมองจริง การคิดในเรื่องเหตุผลนี่เองที่ทําใหมนุษยเหนือกวาสิ่งอื่นใด
กระบวนการของการใหเหตุผลนั้นเปนการตอบคําถามวา “ทําไม” ซึ่งประกอบดวยสวนสําคัญ
สองสวน คือ
สวนที่เปนเหตุ สวนที่เปนผล
ในการตอบคําถามวาทําไม บางครั้งผูตอบอาจใชวิธียกตัวอยาง เชน “ทําไมคุณถึงรูวาแพเกสร
ดอกไม” ผูตอบอาจตอบวา “ที่ผานมาเมื่อเวลาอยูใกลดอกไมจะจามและมีผื่นคันขึ้นมาทุกที”
การอางเหตุผลแบบนี้เปนการอางเหตุผลอีกแบบหนึ่งที่ใชประสบการณในอดีต
การใหเหตุผล มี 2 แบบ คือ
1) การใหเหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)
2) การใหเหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
การใหเหตุผลแบบอุปนัย
เปนการสรุปผลโดยอาศัยตัวอยางที่มากพอ หรือประสบการณยอยหลาย ๆ ครั้ง หลายแง
หลายมุม และสรุปเปนความรูทั่วไป เชน
ตัวอยางที่ 1 หลุยส ปาสเตอร (Louis Pasteur ค.ศ. 1822 – 1892) นักวิทยาศาสตรขาวเยอรมัน ทาน
ทดลองฉีดอหิวาหเขาไปในตัวไกปริมาณมากพอที่นาจะทําใหไกตาย หลายสัปดาหตอมาไกไมตาย ทด
จึงทดลองฉีดครั้งที่สองไมตาย แตตัวอื่นๆตาย ทานทดลองอีกหลายครั้ง และทานไดทดลองเชื้อโรค
รายแรงกับสัตวชนิดอื่นๆอีก เชน โรคพิษสุนัขบากับสุนัข โรคนะบาดของวัว ควาย แพะ แกะ โดย
วิธีฉีดเชื้อโรคเขาไปครั้งแรก และทิ้งระยะหนึ่ง จึงฉีดเชื้อโรคเขาไปอีก ปรากฏไดผลดีคือ สัตวไมตาย
ดวยโรคระบาด แมวาจะปลอยไวในหมูสัตวที่เปนโรคระบาดก็ตาม ทานทดลองหลายครั้ง หลานหน
หลายตัวอยาง
แลวทานสรุปวาการฉีดเชื้อโรคครั้งแรก เมื่อทิ้งระยะหนึ่งเชื้อโรคจะออนกําลังลง เมื่อฉีดครั้งที่
สองรางกายจะสรางภูมิคุมกันโรคขึ้น วิธีนี้เรียกวา ฉีดวัคซีน ผลสรุปของหลุยส ปาสเตอร เปนความรูที่
ไดมาดวยเหตุผลแบบอุปนัย #

2. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร2
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
ตัวอยางที่ 2 หมอดูอาศัยประสบการณจากตัวอยางชีวิตคนทั้งที่ดี และไมดีในอดีตมาหลายชั่วอายุคน
แลวสรุปเปนวิชาหมอดู ทํานายโชคชะตาราศีสําหรบคนในปจจุบัน
ความรูดังกลาวเปนตัวอยางหนึ่งของความรูที่ไดมาดวยการใหเหตุผลแบบอุปนัย #
ตัวอยางที่ 3 คนขับรถรับจางในกรุงเทพฯ ขับรถไปเสนทางหนึ่งใชเวลาประมาณ 50 นาที แตเมื่อเลือก
ไปอีกเสนทางหนึ่งใชเวลาประมาณ 30 นาที เขาทดลองอีกหลายครั้ง และเมื่อสอบถามคนอื่นที่ใช
เสนทางทั้งสองก็ใชเวลาเทากับเขา
จึงสรุปวา เสนทางที่สองใชเวลานอยกวาเสนทางแรกเสมอ การสรุปเกี่ยวกับการใชเสนทางขับ
รถดังกลาว เปนตัวอยางของการใหเหตุผลแบบอุปนัย #
ตัวอยางที่ 4 แมคากลวยทอดใสงา และมะพราวเปนสวนผสมในแปงที่ทอด ปรากฏวา กลวยทอด
กรอบ หอม อรอย เมื่อลดมะพราวใหนอยลง ปรากฏวากลวยทอดกลับนอยลง หลังจากสังเกตหลายครั้ง
แมคาจึงไดขอสรุปวา ควรใสมะพราวปริมาณเทาใด
จึงจะทําใหกลวยทอดกรอบพอดี ขอสรุปดังกลาวเปนขอสรุปที่ไดมาดวยการใหเหตุผลแบบ
อุปนัย #
ตัวอยางที่ 5 นักเรียนสังเกตการบวกจํานวนคี่ ดังนี้
1+ 3 = 4 สังเกตวาไดผลบวกเปน 22
1+ 3 + 5 = 9 สังเกตวาไดผลบวกเปน 32
1+ 3 + 5 + 7 = 16 สังเกตวาไดผลบวกเปน 42
1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 25 สังเกตวาไดผลบวกเปน 52
นักเรียนทดลองตอไปอีกหลายตัวอยางแลว
จึงสรุปวา “ถาบวกจํานวนคี่ n เทอมแรกนาจะไดผลลัพธเปน n2
” #
ขอสรุปนี้ก็ไดมาจากการใหเหตุผลแบบอุปนัยเชนกัน กลาวคือ สังเกตหลาย ๆ ตัวอยางแลว
สรุปทั้งหมด
การสรุปความรูจากตัวอยางที่กลาวมา มีจุดออนอยูที่วาเราสังเกต ทดลองจากตัวอยางจํานวน
หนึ่ง และสรุปวาทั้งหมดวาเปนไปตามที่เราสังเกตได ซึ่งอาจสรุปผิด อาจมีตัวอยางที่เราไมไดสังเกต
ทดลอง ไมเปนไปตามที่เราสรุปไวก็ได เราคงเคยพบวาหมอดูไมอาจทํานายไดถูกตองทุกเรื่องไป
เพราะวิชาหมอดูเขาสรุปมาจากประสบการณในอดีต นั้น ไมไดมาจากทุกคนในโลกนี้ ทั้งในอดีต
ปจจุบัน และอนาคต

3. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร3
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
ความรูในทางวิทยาศาสตรที่สรางความเจริญใหกับโลกปจจุบันมีรากฐานมาจากการใหเหตุผล
แบบอุปนัย นักวิทยาศาสตรเปนคนชางสังเกต ชางคิด ชางทดลอง ตองใชเวลานานและกวาจะสรุปผล
ออกมาได ตองตรวจสอบแลวตรวจสอบอีก จึงกลาประกาศใหสาธารณชนทราบและกวาจะเปนที่
ยอมรับ บางทานตองใชเวลานาน บางทานเสียชีวิตไปกอนที่ผลงานของตนจะเปนที่ยอมรับ บางทานเปน
ที่เชื่อถือมาเปนรอยป ภายหลังมีผูพบวาความรูนั้นไมถูกตองก็มี เชน เรื่องโลกกลม
อยางไรก็ตาม แมการใหเหตุผลแบบอุปนัยจะมีจุดออน แตก็มีคุณคามาก จึงไดมีนักวิทยา
ศาสตรื และนักปรัชญา หลายทานคิดหลักการที่จะทําให การสรุปผลโดยวิธีนี้มีโอกาสถูกตองมากขึ้น
วิธีการหนึ่งที่ไดรับความนิยม คือ วิธีของ สจวต มิลล (Stuart Mill ค.ศ. 11806 – 1873) นักปรัชญาชาว
อังกฤษ ซึ่งมีหลักดังนี้
1) ตัวอยางหรือประสบการณยอยที่จะนํามาอางจะตองเปนตัวแทนที่ดีที่สุดเทาที่จะทําได และ
จะตองมากที่สุดเทาที่จะทําไดเชนกัน จะทําใหผลสรุปมีโอกาสใกลเคียงความถูกตองมากที่สุด
หลักการนี้ในปจจุบันจะพบเห็นวาไดมีการใชในหลายอาชีพ เชน
นักวิจัย จะสํารวจความคิดเห็นของประชาชนที่มีตอรัฐบาล นักวิจัยไมอาจถามคนททั้งประเทศ
ได จึงตองสุมถามความคิดเห็นจากกลุมตัวอยางที่เปนตัวแทนของประชาชนโดยการสุมตัวอยางมาจาก
ทุกอาชีพ
เจาของโรงงาน ตองการจะรูวาผลิตผลแตละครั้งมีขอบกพรองกี่เปอรเซ็นต ก็ไมจําเปนตอง
ตรวจสอบทั้งหมด เพียงแตสุมจากตัวอยางบางสวน เชน จากทั้งหมด 1,000 ชิ้น อาจสุมตัวอยางมา 50
ชิ้น ถาตรวจพบวาผลผลิตบกพรอง 5 ชิ้น คาดการณไดวาผลผลิตจะบกพรอง 5 ใน 50 นั่นคือ 100 ใน
1,000 ทางบริษัทตัวแทนจําหนายจะตองมีการประกันสิ้นคาซอมฟรี หรือเปลี่ยนคืนภายในระยะเวลาที่
กําหนด เพื่อมิใหเสียชื่อเสียง หรือมิฉะนั้นตองปรับปรุงวิธีการผลิตเพื่อใชจํานวนที่บกพรองลดนอยลง
ครู ตองการวิเคราะหขอสอบของแตละวิชาวาแตละขอยากหรืองายเกินไป ก็ไมจําเปนตองนํา
กระดาษคําตอบมาดูทั้งหมด นํากระดาษคําตอบของคนเกงมา 27 % และนํากระดาษคําตอบของคน
ออนมา 27 % ของจํานวนนักเรียนที่เขาสอบทั้งหมด เพื่อดูวาขอใดมีคนทําไดมากไดนอย ขอใดที่คน
ออนทําไดมากถือวาเปนของาย แตถาขอที่คนเกงทําไดนอยก็ถือวาขอนั้นเปนขอยาก
2) ตัวอยางแตกตางกันและเหตุผลที่เกิดกับตัวอยางนั้นเหตุเดียวกัน และทําใหเกิดผล
เชนเดียวกันทุกครั้ง เราอาจจะสรุปวาเหตุนั้นทําใหเกิดผลนั้น เชน
จากการศึกษาประวัตินักเรียนที่เรียนเกงคณิตศาสตร 100 คน พบวาทุกคนขยันทําแบบฝกหัด
เพิ่มเติมจากหนังสืออื่น ๆ ดวย จึงสรุปวา การขยันทําแบบฝกหัดจากหนังสืออื่น ๆ ดวย จะทําใหเกง
คณิตศาสตร

4. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร4
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
3) ถาจากประสบการณยอยมีตัวอยางหนึ่งที่มีเหตุแตกตางไปจากเดิม เราก็สรุปวาผลที่
แตกตางกันอาจมาจากสาเหตุที่แตกตางกันนั้น เชน
เกษตรกร เลี้ยงเปดดวยรํา ปลายขาวและหอยมาเปนเวลานานหลายชั่วอายุคนพบวาไขเปดมีสี
แดง ตอมาขาดแคลนหอยจึงใชโปรตีนจากพืช ปรากฏวา ไขเปดมีสีเหลือง จึงสงสัยวา อาหารโปรตีน
จากพืช นาจะเปนสาเหตุทําใหสีของไขแดงเปลี่ยนไป
4) พิจารณาทั้งเหตุที่เหมือนกันและเหตุที่ตางกัน เชน
นิด หนอย โหนง และหนุย มีอาการแพเปนผื่นแดงขึ้นตามตัว เรียกวาลมพิษ สวนนิดมีอาการ
ปวดทองดวย เมื่อซักประวัติการกินอาหาร และสถานที่ที่ทั้ง 4 คนไปไหนมา พบวา
สถานที่ อาหารที่กิน
นิด ไปโรงเรียน ขาว น้ําพริก ปูมา น้ําตาลสด
หนอย อยูบาน ขาว แกงไก ปูมา มะละกอ
โหนง ไปตลาด ขาว ผัดเผ็ดไก ปูมา
หนุย ไปอําเภอ ขาว ผัดพริกขิง ปูมา
สิ่งที่ทุกกินเหมือนกันหมดทุกคนคือ ขาว และปูมา จึงนาสงสัยปูมา เพราะเราไมเคยพบใครกิน
ขาวแลวเปนลมพิษ สําหรับนิดมีอาการปวดทองดวย จึงนาสงสัย น้ําพริกกับน้ําตาลสด เพราะนิดกิน
สองอยางนี้ตางจากคนอื่น
5) การขจัดตัวอยางที่เราทราบเหตุผลและผลแลวออกไปจนเหลือที่เราตองการ เชน
นักวิจัย เรื่องพืชทดลองใชสาร ก ข ค ผสมเปยปุยใชกับพืชชนิดใหม ปรากฏวาพืชงอกงาม
ตนอวบสมบูรณใหผลดก เขาสงสัยวาสารใดทําใหผลดก จึงพิจารณาจากสารทั้งสามชนิด ถาหากทราบ
มากอนแลววา สาร ก บํารุงราก สาร ข บํารุงตน นักวิจัยสงสัยวานาจะเปนสาร ค ที่บํารุงผล
6) การเพิ่มระดับความเขมขนในการกระทําอาจทําใหเกิดผลตางกันไป เชน
การทดลองของปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623 – 1662) นักวิทยาศาสตร และคณิตศาสตร
ชาวฝรั่งเศส ทานทดลองนําปรอทใสลงในหลอดแกวปลายเปด 1 ขาง ยาว 1 เมตรจนเต็ม ใชมือปด
ปลายเปดแลวคว่ําลงในอางที่มีน้ํา เมื่อปลอยมือปรากฏวาปรอทลดลงมาเหลือ 69 เซนติเมตร และเมื่อลด
ระดับความสูงของสถานที่ทดลองต่ําลงมา ปรอทจะสูงขึ้นเรื่อย ๆ การทดลองของทานทําใหทานคนพบ
เรื่องความกดดันของอากาศ

5. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร5
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
การใหเหตุผลแบบนิรนัย
การใหเหตุผลแบบนิรนัย เปนการอางเหตุผลจากความรูพื้นฐานชุดหนึ่งที่ยอมรับมากอน
ความรูพื้นฐานที่ตองยอมรับมาใชอางเหตุผลนี้มีชื่อเรียกตาง ๆ กัน เชน เหตุ(premise) สมมติฐาน
(hypothesis) หรือสัจพจน(axiom หรือ postulate) วิธการสรุปความรูพื้นฐานที่ยอมรับมากอนนี้ เปนที่
นิยมใชมาตั้งแตสมัยกรีกโบราณวา 2000 ป มาแลว เชน เทลีส ใชวิธีนิรนัยพิสูจนความรูทางเรขาคณิต
ใหเปนระบบเปนเหตุผลตอเนื่องกัน
ตัวอยางที่ 6 ถาเรายอมรับวา
1. สิ่งมีชีวิตทุกชนิดตองการกินอาหาร
และ 2. คนเปนสิ่งมีชีวิต
เราจะสรุปไดวา คนตองการกินอาหาร #
จะเห็นไดวาการใหเหตุผลนี้ประกอบดวยสองสวน สวนแรกมีสองขอตกเราตองยอมรับกัน
กอน เรียกวา เหตุ หรือ สมมุติฐาน อีกสวนก็คือ ผลสรุป ซึ่งการตัดสินใจวาสรุปถูกตอก็ตอเมื่อ
สมเหตุสมผล (valid) ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลนั้นทําไดหลายวิธี ดั้งเดิมที่ใชกันในสมัย
โบราณ ไดแก วิธีของอริสโตเติลซึ่งในปจจุบันไดพัฒนามาใชแผนภาพแทนเซตของ เวน – ออยเลอร
ซึ่งใชสําหรับขอความที่เขียนแทนดอยแผนภาพแทนเซตได
วิธีของ เวน – ออยเลอร
วิธีของ เวน – ออยเลอร จะวาดแผนภาพใหสอดคลองกับเหตุ หรือ สมมุติฐานทุกกรณีที่
เปนไปได แลวดูวาแผนภาพแตละกรณีสอดคลองกับผลสรุปตามที่สรุปไวหรือไม ถาทุกแผนภาพ
สอดคลองกับผลสรุปตามที่สรุปไว เรากลาววาการใหเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล แตถามีบางกรณีของ
แผนภาพไมแสดงผลสรุปตามที่สรุปไวจะกลาววาการใหเหตุผลนั้นไมสมเหตุสมผล
กอนที่จะใชแผนภาพ เซตของ เวน – ออยเลอร ชวยในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล เรา
จะตองตกลงกันกอนวา ขอความแตละแบบจะวาดแผนภาพแสดงไดอยางไร
ให a เปนสมาชิกของเซต A
b เปนสมาชิกของเซต B
1.) a ทุกตัวเปน b 2.) ไมมี a ตัวใดเปน b
A B A B

6. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร6
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
3.) a บางตัวเปน b (บริเวณแรเงา) 4.) a บางตัวไมเปน b (บริเวณแรเงา)
A B A B
5.) ถาไมทราบความสัมพันธระหวาง A กับ B จะเขียนแผนภาพไดหลายแบบดังนี้
A B A B
A B B A A B
ตัวอยางที่ 7 จงตรวจสอบวา การใหเหตุผลตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม
สมมุติฐาน 1. คนทุกคนเปนสุนัข
2. สุนัขทุกตัวกินอาหาร
ผล 1. คนทุกคนกินอาหาร
วิธีทํา วาดภาพใหสอดคลองตามสมมุติฐานทั้งสองจะไดดังรูป
เมื่อนําผลมาตรวจสอบจะเห็นวาสอดคลอง
กับแผนภาพ ดังนั้นการใหเหตุผลนี้
คน สุนัข พวกกินอาหาร สมเหตุสมผล #
ตัวอยางที่ 8 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผล
สมมุติฐาน 1. ลิงทุกตัวบินได
2. คนบางคนเปนลิง
ผล คนบางคนบินได
วิธีทํา วาดแผนภาพตามสมมุติฐานได 2 กรณี ดังนี้
สิ่งที่บินได สิ่งที่บินได
ลิง คน
คน ลิง

7. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร7
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
จะเห็นไดวา บริเวณที่แรเงานั้นอยูในวงสิ่งที่บินไดเมื่อตรวจดูผลสรุปกับแผนภาพ
จะไดวา คนบางคนบินไดสอดคลองกับทั้งสองภาพ
ดังนั้นการใหเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล #
ตัวอยางที่ 9 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผล
สมมุติฐาน 1. ไมมีคนจนใดเปนคนขยัน
2. ไมมีคนขยันใดเปนคนไมดี
ผล ไมมีคนจนใดเปนคนไมดี
วิธีทํา พิจารณาจากรูปแบบทั้งหมดที่เปนไปได
กรณีที่ 1 คนจน คนไมดี คนขยัน
กรณีที่ 2 คนจน คนไมดี คนขยัน
กรณีที่ 3 คนจน คนไมดี คนขยัน
กรณีที่ 4 คนจน คนไมดี คนขยัน
จะเห็นวาสมมุติฐานไมไดบอกความสัมพันธระหวางคนจนกับคนมาดีมาให ดังนั้น แผนภาพ
ความสัมพันธระหวางทั้งสองพวกจึงเปนไปไดหลายกรณี และนอกจากนี้เรายังพบอีกวาบางกรณี
ผลสรุปไมสอดคลองกับแผนภาพ ดังนั้น การสรุปจึงไมสมเหตุสมผล #
ตัวอยางที่ 10 จงตรวจสอบความสมเหตุสมผล
สมมุติฐาน 1. นกบางชนิดบินได
2. ปลาบางชนิดบินได
ผล นกบางชนิดไมใชปลา

8. เอกสารประกอบการสอน เรื่อง การใหเหตุผล สาขาวิชาคณิตศาสตร8
รายวิชา ค 40101 คณิตศาสตรพื้นฐาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ
วิธีทํา วาดแผนภาพตามสมมุติฐานไดดังนี้
นก สิ่งที่บินได ปลา
นก สิ่งที่บินได ปลา
ปลา
นก สิ่งที่บินได
จะเห็นวามีบางแผนภาพที่ผลสรุปไมสอดคลอง
ดังนั้นผลสรุป ไมสมเหตุสมผล #
การใหเหตุผลเปนเรื่องจําเปนสําหรับการดํารงชีวิต ความเชื่อ การยอมรับ การโตแยง
ตลอดจนการตัดสินใจ ตองอาศัยเหตุผลประกอบ หากเหตุผลดี ถูกหลักการจะทําใหการตัดสินใจไม
ผิดพลาด
นอกจากประโยชนดังกลาว การใหเหตุผลยังเปนพื้นฐานของการศึกษาหาความรูในศาสตรอีก
หลายสาขา เชน คณิตศาสตร วิทยาศาสตร สังคมศาสตร รัฐศาสตร ฯลฯ
ที่มา จากหนังสือการใหเหตุผล ของ ผศ.ดร.สมวงษ แปลงประสพโชค