Programación lineal de una red donde se desea encontrar el flujo máximo a costo mínimo

1. Optimización de RedesUnidad 5
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
5.5 PROBLEMA DEL FLUJO DE COSTO MÍNIMO
El flujo de costo mínimo se define comoel envió de la oferta disponible ó flujo a través de los diferentes
arcos ó la red,satisfaciendo al mismo tiempo las relaciones del flujo en los arcos y las cantidades de la
oferta y demanda en los nodos, tal que el costo de envío sea mínimo.
La aplicación más importante de este problema es la operación de cualquier red de distribución, otras que
son también comunes se presentan a continuación:
Aplicación
Red de distribución ó
suministros
Fuentes
Fuentes de bienes ó
suministros
Tipo de Nodos
De trasbordo
Bodegas ó almacenes
intermedios
Administración de
flujo de efectivo
Fuentes de efectivo en
tiempos específicos
Opciones de inversión a corto
plazo
Administración de
desechos sólidos
Coordinación de
mezcla de productos
en plantas
Fuente de desechos
sólidos
Instalaciones de procesamiento
Rellenos
Plantas
Producción de un artículo
específico
Distribuidor
Demanda
Clientes internos ó
externos
Necesidades de
efectivo en tiempos
específicos
Este problemaes gran importancia en problemas de optimización de redes como problemas de flujo
máximo, la ruta más corta, el problema del transporte y el de asignación ya que son casos especiales del
problema de flujo de costo mínimo y abarca diversas aplicaciones, su solución es muy eficiente ya que se
puede formular como un problema de programación lineal, y por lo tanto se puede resolver mediante una
versión simplificada del método simplex llamada método simplex de redes.
Descripción de un problema del flujo de costo mínimo:
1. La red es una red dirigida conexa, es decir todos los arcos son direccionales (un sentido). Se permite el
flujo a través de un arco donde la cantidad máxima de flujo está dada porla capacidad del arcose le
asocia con una cantidad bi,sólo en la dirección indicada por la flecha. (Si el flujo puede ocurrir en
ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.)
2.
3.
4.
5.
Al menos uno de los nodos es nodo fuente, bi>0
Al menos uno de los nodos es nodo demanda. bi<0
El resto de los nodos son nodos de trasbordo. bi = 0
La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos los flujos generados
por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.
6. El costo del flujo o costo unitario de envío (no negativo ) está asociado con cada arcoEste costo puede
ser especificado en unidades monetarias, ó tiempo de retardo
7. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para
satisfacer la demanda dada. Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)
Formulación:
Considere la red conexa dirigida en la que los n nodos incluyen al menos un nodo origen y al menos un
nodo destino. El objetivo es minimizar el costo total de mandar los recursos disponibles a través de la red
para satisfacer la demanda dada.
xij= número de unidades de flujo enviadas desde el nodo i al j por el arco i→
j,
cij= costo de transportar una unidad de flujo desde el nodo i al j a través del arco i→
j
uij= cota superior para el flujo a través del arco i→ (capacidad del arco)
j
Lij = cota inferior para el flujo a través del arco i→
j(en general Lij = 0)
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bi= flujo neto generado en el nodo i(entrante o saliente)
El valor de bi depende de la naturaleza del nodo i, en donde
bi>0,
si i es un nodo fuente
bi<0,
si i es un nodo demanda
bi=0
si i es un nodo de trasbordo.
Usando la convención de que las sumas se toman sólo sobre arcos existentes, la formulación de
programación lineal de este problema es
Las restricciones de los nodos en la primera sumatoria representanel balance del flujo total en cada nodo
i, mientras que en la segunda sumatoriapresenta el flujo total que entra al nodo i, tal que la diferencia es el
flujo neto generado en este nodo y garantiza que el flujo en cada arco esté dentro de la capacidad
admisible.Algunas veces es necesario tener una cota inferior Lij>0 para el flujo por cada arco
.
No todo problema tiene una solución factible, una condición necesaria para que un problema de flujo de
costo mínimo tenga una solución factible es que:
Es decir, el flujo total generado en los nodos origen es igual al flujo total absorbido por los nodos destino,
el problema esta balanceado, en caso contrario si los valores de que se dan en alguna aplicación violan
esta condición, es decir, elproblema esta desbalanceado, el paso análogo es agregar un nodo de demanda
ficticio para que absorba el exceso de recursos (agregando arcos con cij=0 de este nodo a todos los nodos
demanda).
Propiedad de soluciones enteras: Si el problema de flujo de costo mínimo tiene valores enteros en los
costos y en todas las y
, entonces todas las variables básicas factibles (BF) en cada solución básica
factible incluyendo la óptima tendrán también valores enteros.
La empresa “El Calvario” cuenta con tres bodegas de almacenamiento de sorgo(1, 2, 3) que distribuye a
sus tres granjas porcinas, la capacidad recolección de cada bodega es de 100000, 200000 y 50000 costales
de sorgo, la demanda en las tres granjas (A, B, C) es de 150000, 80000 y 120000 costales de alimento. El
Calvario la mayoría de las veces utiliza ferrocarriles para transportar el sorgo a las granjas, con excepción
de tres rutas en las cuales se utilizan camiones. En la siguiente red se muestran las rutas disponibles y sus
costos entre las bodegas y las granjas.
Problema del flujo de costo mínimo (Ejemplo)
[-150]
$1
A
[100] 1
(50,80)
(100,120)
$1
$2
[50]
$4
(70,120)
C [-120]
3
$3
$2
$5
$6
Las granjas están representadas por los
nodos A, B y C, con demandas en miles de [150], [-80] y [-120] costales
respectivamente.
Se tienen 9 rutas
$4
[200] 2
Las bodegas están representadas por los
nodos 1, 2 y 3, cuyas cantidades de oferta en
miles de costales son [100], [200] y [50],
respectivamente.
B [-80]
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que permiten el transbordo entre las bodegas.
Los arcos (1,A), (3,A) y (A,C) correspondes a rutas exclusivas para camiones con capacidades mínimas y
máximas. Por ejemplo la capacidad de la ruta (1,A) es entre 50 y 80 mil costales.
Las rutas de ferrocarril utilizan transbordos cuya capacidad máxima es prácticamente ilimitada. Los
costos de transporte por costal se indican en los respectivos arcos.
Se fabricará un nuevo producto en dos plantas distintas y después tendrá que enviarlo a dos almacenes. La
red de distribución disponible para el envío de este producto se muestra en la siguiente red donde:
1 y 2 son las fábricas,
A es el centro de distribución,
B y C sonlos almacenes.
Las cantidades que deben enviarse desde 1 y 2son [65] y
[52], las que deben recibirse en B y Cson [-45] y [-72].
Cada flecha representa unaruta factible de envío.
La fabrica 1,tiene 3 rutas posibles y para mandar bienes a C:
(1→ C);(1→ A→
A→
2→ C);(1→ C);
B→
para enviar producto al almacénB es una ruta directa,(1→
B),
ó se utilizan las que llegan del A al nodo C desde el nodo 1,
(1→ C→ (1→ A→ B);
A→ B);
2→ C→
La fábrica 2,solo tiene una ruta hacia el almacénC (2→ C) y
A→
una a B (2→ C→
A→ B).
Cuánto se debe enviar a través de cada canal de distribución paras minimizar el costo total de envío.
El costo por unidad enviada a través de cada ruta se muestra al lado de la flecha. También, junto a los
arcos (1→ y (A→ se muestran los flujos máximos que se pueden enviar por estas rutas. Las otras rutas
2)
C)
tienen suficiente capacidad para transportar todo lo que las dos fábricas pueden enviar.
FORMULACION
Sujeto a:
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SOLUCIÓN CON WINQSB
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