Energiapotencialeconservaao 120913223555-phpapp02

Energia
 Energia

potencial é a energia
associada com a posição da partícula.

 Existe energia potencial gravitacional

mesmo no caso de a mergulhadora
ficar parada no trampolim.
 Nenhuma energia é adicionada ao

sistema mergulhadora –terra. Porém a
energia armazenada é transformada
de uma forma para outra durante sua
queda.

Energia Cinética
 ENERGIA CINÉTICA (K)



A energia cinética é a energia associada ao estado de
movimento de um
objeto.
 Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo,
maior será sua energia cinética. Quando o objeto está em repouso, sua
energia cinética é nula.

 Para um objeto de massa m cuja velocidade v é

bem inferior à velocidade da luz, definimos a sua
energia cinética como
K = ½ mv2
 A unidade de SI para a energia cinética (e todos
os outros tipos de energia) é o joule ( J ), em
homenagem a James Prescott Joule, um cientista
inglês do século XIX.

TRABALHO
Na linguagem comum, a palavra

trabalho é aplicada a qualquer forma de
atividade que requeira um esforço
muscular ou mental. Em física,
entretanto, este termo é usado num
sentido mais específico, que envolve a
aplicação de uma força a um corpo e o
deslocamento deste corpo.

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE SOBRE
UM OBJETO QUE SE MOVE EM UMA DIMENSÃO


F




d

 
W  F .d  W  Fd cos

 O trabalho é uma grandeza algébrica, que

pode ser positivo ou negativo. Quando a força
possui uma componente na mesma direção e
sentido que o deslocamento, o trabalho
realizado por ela é positivo.
 Se o sentido da componente da força for

oposto ao deslocamento, o trabalho será
negativo. Se a força for perpendicular ao
deslocamento, ela não terá componente na
direção do deslocamento e o trabalho será
nulo.

TEOREMA DO TRABALHOENERGIA CINÉTICA
 O trabalho realizado pela força resultante

sobre uma partícula é igual à variação da
energia cinética da partícula

1 2 1 2
W  K  W  mv  mv0
2
2

Se o trabalho resultante realizado sobre

uma partícula for positivo, então a
energia cinética da partícula aumenta
de uma quantidade igual ao trabalho. Se
o trabalho resultante for negativo, então
a energia cinética da partícula diminui
de uma quantidade igual ao trabalho.

TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA
VARIÁVEL: EM UMA DIMENSÃO
Para uma força constante e de mesma

direção e sentido do deslocamento é fácil
verificar que o trabalho realizado por ela é
igual a “área sob a curva” no gráfico , como
está representado na figura abaixo. Mesmo
quando o valor da força estiver variando esta
propriedade é válida, sendo que o trabalho de
uma força variável na direção x pode ser
calculada por

x2

w



x1

w
x1

x2

F ( x) dx

TRABALHO REALIZADO POR
UMA FORÇA DE MOLA


A força exercida pela mola pode,
portanto, ser expressa em termos de
distância x, através da qual ela é
esticada ou comprimida, a partir do seu
comprimento de equilíbrio, por

F  kx

W

xF

xF

xF

xi

xi

xi

 F ( x) dx   kx dx  k  xdx

1 2 2 1 2 2
  k ( x f  xi )  k ( xi  x f )
2
2

POTÊNCIA
A potência devido a uma força é a taxa

com que essa força realiza um trabalho
sobre um objeto. Se a força realiza um
trabalho W durante um intervalo de
tempo é Δt, a potência média é

W
P 
m
t

A potência instantânea P é a taxa

instantânea de realização de trabalho,
que pode ser escrita como

dW
P
dt

Energia
 Como a transformação pode ser

entendida a partir do teorema
trabalho energia.
 Veremos que a soma da energia

cinética e potencial fornece a
energia mecânica total do sistema e
essa energia permanece constante
durante o movimento do sistema
(lei da conservação da energia)

Energia Potencial Gravitacional
 Em muitas situações tudo se passa

como
se
“a
energia
fosse
armazenada em um sistema para
ser recuperado depois.”
 Garoto em um balanço: Nos pontos

mais
elevados,
a
energia
é
armazenada
em
outra
forma, relacionada com a altura do
ponto acima do solo, e esta energia é
convertida em K quanto atinge o
ponto inferior do arco.

 Esse ex. da idéia de que

existe
uma
energia
associada com a posição
dos corpos em um sistema.
Este tipo de energia
fornece o potencial ou a
possibilidade de realizar
trabalho (W)

 Quando um martelo é elevado no

ar, existe um potencial para um
trabalho sobre ele ser realizado pela
força da gravidade, porém isso só
ocorre quando o martelo é liberado.
Por esse motivo, a energia associada
com
a
posição
denomina-se
ENERGIA POTENCIAL.
 Existe

uma energia potencial
associada com o peso do corpo e com
a altura acima do solo. Chamamos
essa
energia
de
ENERGIA
POTENCIAL GRAVITACIONAL.

 Quando um corpo cai sem resistência

do ar, a energia potencial diminui à
medida que a energia cinética
aumenta.
“ usando o teorema do
trabalho-energia para concluir que K
do corpo em queda livre aumenta
porque a força gravitacional realiza
trabalho sobre ele.

 Vimos

 Usaremos o teorema W-K para demonstrar que essas duas

descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma
expressão para energia potencial.

 Considere um corpo de massa m que

se move ao longo de um eixo 0y. A
força que atua sobre ele é a
gravitacional.
 Qual o Wg realizado pelo peso sobre
o corpo qdo cai de uma altura y1
acima da origem até uma altura
menor y2?
O peso e o deslocamento possui mesmo
sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é
positivo.

W g Fg d  Fg ( y1  y2 )  mg ( y1  y2 )  mg ( y1  y2 )
 Equação também válida para quando

y2 é maior que y1. Neste caso:

 Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início

e no final do deslocamento.
U  mgy

Energia potencial
gravitacional

 Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2;

U  U 2  U1
 Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional

durante o deslocamento de y1 a y2 como
W  U1  U 2  (U 2  U1 )  U
 Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-);

U aumenta (U >0).
 Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+);

U diminui (U >0).

Forças conservativas e não
conservativas
 As forças que atuam num sistema,

modificando-lhe a configuração,
dizem-se conservativas quando,
regressando o sistema à configuração
inicial, readquire também a energia
cinética inicial.
 Isto
significa que as forças
conservativas
conservaram
a
capacidade que o sistema tinha de
realizar trabalho, e daí o seu nome.
 Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia

potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz
na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido
armazenada.

Forças conservativas e não
conservativas
 As forças que atuam num sistema dizem-

se não conservativas ou dissipativas
quando, ao deixarem de realizar trabalho,
o sistema ou não regressa à configuração
inicial ou regressa a ela com energia
cinética diferente da que tinha no
princípio.
 Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservaram
a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho.
 A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia

potencial

Independência da trajetória para o
trabalho de forças conservativas
 Consideremos uma partícula em movimento em um percurso

fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo,
então dizemos que as forças são conservativas.
 Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a

partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado
é nula.

Exemplo: O lançamento de um tomate.
Wres  0
“O WR realizado pela força conservativa

movendo-se entre dois pontos não depende
da trajetória.”

Independência da trajetória para o
trabalho de forças conservativas
 Consideremos

um percurso fechado
arbitrário para uma partícula sujeita a uma
ação de uma única força.
 A partícula se move do ponto inicial a para
um ponto final b ao longo da trajetória 1 e
retorna pela trajetória 2.
“A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo
de cada trajetória.”

• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1
• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2

 Se F for conservativa; Wres = 0.

Wab,1  Wba , 2  0
Wab,1  Wba , 2
 O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo

do W realizado ao longo da volta.
 Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula
quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2.
Wab , 2  Wba , 2

Substituindo a equação acima na equação anterior.
Wab,1  Wab, 2

Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.

Determinando Valores de Energia
Potencial
 Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia

discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia
potencial elástica.
 Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a
energia potencial a ela associada.
• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que

é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa.
“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação U na energia
potencial associada ao sistema é o negativo do W.”
W  U

Determinando Valores de Energia
Potencial
 No caso geral onde a força pode variar com a posição
xf

W   F ( x)dx
xi

Substituindo W = - U, temos:
xf

U    F ( x)dx
xi

Relação geral entre força e energia potencial.

 Consideremos

uma partícula com massa m movendo-se
verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que
a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela.
xf

xf

xi

xi

U    F ( x)dy    (mg )dy  mg | y12  mgy
y

Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta
em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto:
U ( y)  mgy
“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da
Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da
posição. Horizontal.”

Energia Potencial Elástica
 Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se

movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k.
Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola
F = -kx realiza W sobre o bloco.
xf

xf

1
U    F ( x)dx    ( kx)dx  kx |  kx
2
xi
xi
x2
x1

1 2 1 2
U  kx f  kxi
2
2

Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na
qual a mola se encontra relaxado x= 0.
U 0 

1
1 2
kx  0; U  kx2
2
2

Conservação da Energia Mecânica
 A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética

e potencial dos objetos que compõem o sistema:
Emec  K  U

Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext
= 0).
 Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro
de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e
a U do sistema. Pelo teorema W-K

K  W

 Usando a equação da variação na energia potencial

U  W
Combinando as duas equações anteriores

K  U
Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra
diminui.
Podemos reescrever como

K 2  K1  (U 2  U1 )
K 2  U 2  K1  U1

Conservação da energia
mecânica.

“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam
variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem
variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode
variar”
Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA
ENEGIA MECÂNICA.
Podemos escrever esse princípio de outra forma
Emec  K  U

Este princípio nos permite resolver
Problemas que seriam difíceis usando
apenas as Leis de Newton.

Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante
sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.

 Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um

pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida
entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.
 Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto

mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do
ponto mais baixo.
 Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência,

com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará
momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no
ponto mais baixo?
K 2  0  0  20;

K 2  20 J

Interpretando uma curva de energia
potencial
 Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no

qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula
se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza
W sobre ela.
 Podemos obter bastante informação sobre o movimento da
partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x).
 Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula

podemos encontrar a energia potencial
xf

U    F ( x)dx
xi

potencial
 Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia

potencial U(x) e queremos determinar a força.
 Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força

que atua sobre a partícula se move através de uma distância x é
F(x) x. Podemos escrever

U  W   F ( x)x
Passando ao limite diferencial

dU ( x)
F ( x)  
dx

potencial
 Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial

elástica e U(x) = mgx.
 A curva de energia potencial

- U versus x : podemos encontrar F

medindo a inclinação da
curva de U(x) em vários
pontos.

potencial
 Pontos de retorno

Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um
Sistema possui um valor constante dado por
K ( x)  U ( x)  Emec

K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema.
K ( x)  Emec  U ( x)

Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no
ponto x5
K ( x)  5  4  1J

potencial
 Pontos de Retorno
 O valor de K máximo (5J)

é no ponto x2 quando U(x) é

mínimo.
• K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a
para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula
se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em
x1.
• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a
partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para
direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto
x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U
= E) e a partícula inverte o sentido do movimento.

potencial
Pontos de Equilíbrio
 3 valores diferentes de Emec.
 Se Emec = 4 J, o ponto de retorno

mudar de x1 para um valor entre
x1 e x2.
 Qualquer ponto a direita de x5, a
energia mecânica do sistema é
igual a U(x); portanto, K = 0
e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está
em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em
EQUILÍBRIO NEUTRO.

potencial
 Se Emec = 3 J, existe dois pontos

de retorno: um entre x1 e x2 e
outro entre x4 e x5. Além disso x3
é um ponto onde K = 0. Se a
partícula estiver neste ponto, a F
= 0 e a partícula permanecerá em
repouso.
Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos,
uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula
continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em
tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.

potencial
 Se Emec = 1 J. Se colocarmos em

x4 ela permanecerá nesta posição.
Ela não pode se mover nem para
direita nem para esquerda por sua
conta
própria,
pois
seria
necessário uma K negativa.
Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece
uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula
em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.

Trabalho Realizado por uma Força
Externa sobre um Sistema
vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE
um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este
sistema.”
Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre
Um sistema.
Quando a transferência de
energia é PARA o sistema.

Quando a transferência de
energia é DO o sistema.

NA AUSÊNCIA DE ATRITO
Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você
se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da
bola sobre o peso.
Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa
suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto.
Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto
é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual
sistema?

NA AUSÊNCIA DE ATRITO
Verificar quais energias se modificam:
Há variação K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada,
também houve uma variação Ug do sistema bola-terra.
Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bolaterra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é
W  K  U  Emec
Energia equivalente para o W realizado por Fext
sobre um sistema sem atrito.

NA PRESENÇA DE ATRITO
Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco
ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velocidade do bloco de v0 para v.

O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton
F  f c  ma

2
Como as forças são constantes v 2  v0  2ad , temos

Fd  K  f c d

Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma
rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir
tal variação, temos
Fd  Emec  f c d
Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao
longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco
desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia
térmica é igual
ET  f c d
Portanto
Trabalho realizado pelo sistema
W  Emec  ET
em presença de atrito.

Conservação da Energia
Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO,
que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é
a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de
energia interna.
“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de
energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.”
O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W
realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece
W  E  Emec  ET  Eint

A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.

SISTEMA ISOLADO
Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver
trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da
energia diz:
“A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.”
Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética
em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema
não pode variar.

A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras:
Emec  ET  Eint  0

W 0

e
Emec, 2  Emec,1  ET  Eint

“Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um
dado instante com a energia total em outro instante sem ter que
considerar as energias em tempos intermediários.”

FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA

Uma força externa pode mudar a K ou U de um
objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia
para o objeto. Em vez disso, é a força responsável
pela transferência de energia de uma forma para
outra dentro do objeto.
Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra
um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K
aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela.
No entanto a F não transfere energia para o corrimão
para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao
contrário a K aumenta como resultado de transferências
internas a partir da energia bioquimica contida nos seus
musculos.

FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA

Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com
a variação da energia mecânica do objeto.
Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos
considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a
patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos.
K  K 0  Fd cos
K  Fd cos
A situação também envolve uma variação na elevação do objeto,

podemos incluir a energia potencial
K  U  Fd cos

A força do lado direito dessa
Eq. não realiza W, mais é responsável
pelas variações das energias.

POTÊNCIA
Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma
para outra.
“Se uma certa quantidade de energia E é transferida durante um
intervalo de tempo t, a potência média devida à força é”

Pmed

E

t

E a potencia instantânea
P

dE
.
dt

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