1. EQUAÇÃO DO 2º GRAU
SEM COMPLICAÇÃO...
Afonso Carioca

2. IDENTIFICANDO OS COEFICIENTES
Seja uma equação de 2º grau escrita na sua forma normal:
ax 2 bx c 0
Identifiquemos os coeficientes numéricos “a”, “b” e “c”. Acompanhe no exemplo a seguir:
2
5x 3x 8 0
Onde :
a 5 b 3 c 8

3. CALCULANDO O DISCRIMINANTE
O discriminante da equação de 2º grau é dado pela expressão:
2
b 4ac
No nosso exemplo, temos:
b 2 4ac
Susbtituindo :
32 4 5 8 9 160 169 169

4. APLICANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARA
Vamos, agora, aplicar a Fórmula de Bháskara:
b
x
2a
Substituindo :
3
169 3 13
x
2 5 10
Assim :
2
3 13 16 8 8 3 13 10
x1 2
x1 e x2 1 x2 1
10 10 5 5 10 10
8
S ,1
5

5. EXEMPLO 01: 5x² - x - 6 = 0
5x 2 x 6 0
Coeficientes :
a 5 b 1 c 6
Discri min ante :
2
b 2 4ac 1 4 5 6 1 120 121 121
Fórmula de Bháskara :
b 1 121 1 11
x
2a 2 5 10
Assim :
1 11 10
x1 1 x1 1
10 10
e
2
1 11 12 6 6
x2 2
x2
10 10 5 5

6. EXEMPLO 02: 4x² - 4x + 1 = 0
4x 2 4x 1 0
Coeficientes :
a 4 b 4 c 1
Discri min ante :
2
b 2 4ac 4 4 4 1 16 16 0 0
Fórmula de Bháskara :
4
b 4 0 4 0 4 1
x 4
2a 2 4 8 8 2
Assim :
b 1
x1 x2 0 x1 x2
2a 2

7. EXEMPLO 03: x² - 4x + 5 = 0
x 2 4x 5 0
Coeficientes :
a 1 b 4 c 5
Discri min ante :
2
b 2 4ac 4 4 1 5 16 20 0 4
Fórmula de Bháskara :
b
0 x i, i 1 unidade imaginária
2a 2a
Assim :
b 4 4 4 4 2
x i i i 2 i 2 i x 2 i
2a 2a 2 1 2 1 2 2 2
Raízes Complexas Conjugadas :
x1 2 i e x 2 2 i

8. RELAÇÕES DE GIRARD
Dada uma equação de 2º grau ax² + bx + c = 0, existe duas relações entre suas raízes
reais ou complexas x1 e x 2 e seus coeficientes “a”, “b” e “c”. Assim, temos:
b
x1 x 2
a
c
x1 x 2
a
Com essas relações podemos compor qualquer equação de 2º grau, uma vez conhecidas
suas raízes e também podemos resolver equações de 2º grau sem o emprego da Fórmula
de Bháskara. É o que veremos nos próximos slides.

9. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.
Solução:
b b
2 5 3 b 3a
a a
c c
2 5 10 c 10a
a a
Fazendo :
a 1 b 3 e c 10
Assim :
x 2 3x 10 0 é a equação solicitada.

10. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Exemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 .
5
Solução:
1 b 9 b 9a
2 b
5 a 5 a 5
1 c 2 c 2a
2 c
5 a 5 a 5
Fazendo :
9 2
a 1 b e c
5 5
Assim :
9 2 ELIMINANDO
x2 x 0 OS DENOMINADORES 5x 2 9x 2 0
5 5
5x 2 9x 2 0 é a equação solicitada.

11. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO D0 2º GRAU
Poderíamos resolver os exemplos anteriores de uma outra forma, mas para isso
precisamos saber que toda equação de 2º grau que admite raízes racionais (fracionárias
ou inteiras) x1 e x 2 pode ser decomposta em um produto de dois binômios de 1º grau.
Assim:
ax 2 bx c 0 a x x1 x x 2 0
Exemplo 01: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 5.
Solução:
Se x1 2 e x2 5
x x1 x x 2 0 x 2 x 5 0 x 2 5x 2x 10 0
x 2 3x 10 0 é a equação solicitada.

12. COMPOSIÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Exemplo 02: Escreva uma equação de 2º grau cujas raízes sejam -2 e 1 .
5
Solução:
1
Se x1 2 e x2
5
1 x 2
x x1 x x 2 0 x 2 x 0 x2 2x 0
5 5 5
Assim :
5x 2 x 10x 2 0 5x 2 9x 2 0 é a equação solicitada.
Analisando os dois métodos de solução, verificamos que o método da decomposição é
mais rápido. Mas você deve se sentir à vontade para escolher o método mais adequado
ao seu aprendizado.

13. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
Analisando os dois exemplos, podemos observar que uma equação de 2º grau possui
raízes inteiras se o coeficiente numérico do termo x² for igual à unidade; se este
coeficiente for diferente de um, então, a equação de 2º grau apresenta pelo menos uma
raiz fracionária. É claro que, nesses casos, também é satisfeita a condição de o
discriminante Δ ser maior ou igual a zero.
Desta forma, podemos resolver TODA equação de 2º grau onde ∆≥0, usando a Relações
de Girad. Para isto devemos analisar os seguintes casos:
1º) Caso: ∆≥0 e a = 1
2
Resolva a equação de 2º grau x x 30 0 sem utilizar a Fórmula de Bháskara.
Para resolvermos este exemplo precisamos encontrar dois números que somados sejam
iguais a – b, ou seja, sua soma seja igual a 1; e que multiplicados sejam iguais a c, ou seja, o
seu produto seja igual a – 30. Observe, se o produto é negativo esses números têm sinais
contrários e se a soma é positiva, o número de módulo maior é positivo. Encontrando os
divisores de 30, facilmente encontramos + 6 e – 5, como as raízes desta equação.

14. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
2º) Caso: ∆≥0 e a≠1
Resolva a equação de 2º grau 12x 2 5x 2 0 sem usar a Fórmula de Bháskara.
Para resolvermos esta equação, primeiro devemos escrever a seguinte equação auxiliar:
x 2 5x 24 0 que foi obtida ao multiplicarmos 12 e -2 cujo produto é o novo termo
independente; com isso recaímos no caso anterior.
Precisamos encontrar dois números inteiros cuja soma seja igual a 5 e o produto seja igual a
– 24 e, entre os divisores de 24, encontramos os 8 e -3 que satisfazem essas condições. E
para encontramos as raízes da equação original basta dividirmos esses números por 12 e
simplificarmos as frações . Assim, obtemos:
4 3
8 2 3 1 1 2
x1 4
e x2 3
S ;
12 3 12 4 4 3

15. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
Outras simplificações também são importantes na resolução de uma equação do 2º grau
sem que seja necessária a aplicação da Fórmula de Bháskara.
1ª) Se a + b + c = 0
Se uma equação do 2º grau apresentar a soma de seus coeficientes igual a
zero, então, temos as seguintes raízes:
c
x1 1 e x 2
a
Veja o exemplo a seguir (você pode conferir resolvendo através da Fórmula de Bháskara).
3x 2 5x 2 0
a 3 b 5 c 2
Mas :
a b c 0 3 5 2 0
Logo :
c 2 2
x1 1 e x 2 S ;1
a 3 3

16. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
É importante notar que toda equação polinomial (de qualquer grau) cuja soma de seus
coeficientes seja igual a zero, uma de suas raízes será igual à unidade. Com esta
propriedade conseguimos abaixar o grau de uma equação polinomial.
2ª) Se b = a + c
Se uma equação do 2º grau apresentar a relação b = a+c, então, ela terá as seguintes raízes:
c
x1 1 e x2
a
Acompanhe o exemplo a seguir:
3x 2 5x 2 0
a 3 b 5 c 2
Mas :
b a c 5 3 2
Logo :
c 2 2
x1 1 e x2 S 1;
a 3 3

17. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
3ª) Se c = 0
Numa equação do 2º grau cujo termo independente de x esteja ausente, significa que c = 0.
Assim, suas raízes são:
b
x1 0 e x2
a
O exemplo a seguir esclarece esta situação:
5x 2 16x 0
a 5 b 16 c 0
Assim :
b 16 16 16
x1 0 e x2 S 0;
a 5 5 5

18. ALGUMAS SIMPLIFICAÇÕES
4ª) Se b = 0
Se a equação de 2º grau apresentar o termo de 1º grau nulo, então suas raízes
serão simétricas.
(i) Se a e c tiverem sinais diferentes, as raízes serão simétricas e reais.
24
6x 2 24 0 6x 2 24 x2 4 x2 4 x 4 x 2
6
(ii) Se a e c tiverem sinais iguais, as raízes serão complexas conjugadas.
125
5x 2 125 0 5x 2 125 x2 25 x2 25
5
Assim :
x 25 i 25i x 5i

19. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo dessa aula é apresentar a Equação do 2º Grau de uma forma descomplicada e
que incentive todos que tenham dificuldade em resolver este tipo de equação que
procure resolver o maior número possível de exercícios, seguindo os passos
apresentados nesses slides.
Espero que este material seja útil em seus estudos e toda comunicação de eventuais
erros ou dúvidas deverão ser dirigidas para os seguintes endereços eletrônicos:
afonsocarioca@hotmail.com
afonsocarioca@afonsocarioca.com.br
Muito Obrigado!

20. AULAS PARTICULARES EM GOIÂNIA
AFONSO CARIOCA – AULAS PARTICULARES
RUA 96 Nº 45 – SETOR SUL – GOIÂNIA – GO
FONES: (62) 3092-2268 / 9216-9668 / 8109-4036