Productos y Cocientes Notables. Identidades. Teoremas.

1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Conjunto de variables y constantes unidos
por las diferentes operaciones fundamentales
(adición, sustracción, multiplicación,
radicación, división, potenciación y radicación)
un número limitado de veces.
SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
1
1
2x 3 y + 8x 2 y - x
-
a) 2 3
3
b) - 3 x + y
NO SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
a) 4x 3 - 5cd 5
Porque los exponentes de las letras no pueden
ser números irracionales.
b) x2 + x3 + x4 + ...
Por que tienen un número ilimitado de
términos.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión cuyas variables no están
relacionadas por las operaciones de adición o
sustracción.
Ejemplos:
Las siguientes expresiones algebraicas
constan de un término algebraico.
a) 5x2y
b) ( 3 + 4)xy y
2 -
c) a4b 3
7
¡Atención!
No es término algebraico:
a) 4x2 + 3y
b) 3 x - y + 4z2
PARTES DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO
En todo término algebraico se distinguen
las siguientes partes: coeficiente, parte
variable y exponentes.
exponentes
5 2
7 x a
{ 123
iables
coeficiente
var
-
- 3
. . Exponentes
{
5 3 2
1442443
iables
1
coeficiente
m z x
2
var
OBSERVACIÓN :
El coeficiente incluye el signo que puede ser
positivo o negativo
OPERACIONES CON TÉRMINOS
ALGEBRAICOS
(Adición y sustracción)
TÉRMINOS SEMEJANTES
Se tienen la misma parte literal y las
variables correspondientes afectadas por los
mismos exponentes.
Ejemplo:
1
a) - 3 3x3y2 ~ x3y2
2
b) - 6x2y;4x2y;x2y
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Si dos o más términos semejantes
pueden ser reducidos a uno solo, si es que se
están sumando o restando. Para ello se suman
sus coeficientes y el resultado se pone como
coeficientes de la parte literal común.
Ejemplo:
Reducir los siguientes términos semejantes:
12x5y3 - 17x5y3
Resolución:
= 12x5y3 +17x5y3
= (12+17)x5y3
=29x5y3

2. 1
1. Realizar la siguiente operación:
2(a + 2b - 3c) - 3(2a - 3b + 2c)
2. Obtener (a + b) si:
x2a+1 y17
es semejante a: x13 y3b+2
3. Sean A y B dos términos semejantes
2
A = 7 + m = x10
. Hallar “m”
7
2
x B
5
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios, es necesario tener
en cuenta la siguiente propiedad.
a m . a n = a m + n ; a , Î R ,
· El producto de dos polinomios se realiza,
multiplicando cada término de uno de
ellos por todos los términos del otro. Se
eliminan términos semejantes y eso es
todo.
· En el caso de que hayan más de dos
polinomios, puedes coger a los dos
primeros, los multiplicas y el resultado
multiplicarlo por el siguiente polinomio.
Este nuevo resultado lo multiplicas por el
cuarto polinomio y así sucesivamente.
Veamos el ejemplo:
Multiplicar: (2x + 5x2) (x – 1) (x + 3)
Solución:
(2x + 5x2) (x – 1) (x + 3)
= 2x.x – 2x.1 + 5x2.x – 5x2.1
= 2x2 – 2x + 5x3 – 5x2
= (-3x2 – 2x + 5x3) (x + 3)
= -3x2.x – 3x2.3 – 2x.x – 2x.3 +5x3.x+5x3.3
= -3x3 – 9x2 – 2x2 – 6x +5x4+15x3
= 5x4 + 12x3 – 11x – 6x.
PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones
indicadas, que se obtienen en forma directa, sin
efectuar la multiplicación.
A los productos notables también se les llama
“Identidades Algebraicas”.
Los más importantes son:
I. Trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos:
· (a+2)2=a2+2.a.2+22=a2+4a+4
· (2a-1)2=(2a)2-2.2a.1+12=4a2-4a+1
Corolario: Identidades de Legendre
Ejemplos:
· ( 3 + 2 )2+( 3 - 2 )2=2( 2 2
3 + 2 )=10
· (x+5)2-(x-5)2=4.x.5=20x
·
Importante:
· (a-b)2º(b-a)2
desarrollando:
a2-2ab+b2ºb2-2ab+a2
II. Diferencia de cuadrados.
Ejemplos:
· (a+2)(a-2)=a2-22=a2-4
· (m-1)(m+1)=m2-1
· (y+x)(x-y)=x2-y2
· (a2-3)(a2+3)=(a2)2-32=a4-9
III. Trinomio al cuadrado.
; m Î Z
Ejemplos:
· (x+y+2)2= x2+y2+22+2(xy+2x+2y)
= x2+y2+4+2xy+4x+4y
· (x+y-3)2 = x2+y2+(-3)2+2[xy+x(-3)+y(-3)]
(a+b)2 º a2 + 2ab + b2
(a-b)2 º a2 - 2ab + b2
(a+b)2 +( a-b)2 º 2(a2+b2)
(a+b)2 - ( a-b)2 º 4ab
(a-b)2m º (b-a)2m
(a+b)(a-b) º a2-b2
(a+b+c)2 ºa2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

3. 2
= x2+y2+9+2[xy-3x-3y]
= x2+y2+9+2xy-6x-6y
IV. Binomio al cubo.
Ejemplos:
· (a+2)3 = a3+3a2.2+3a.22+23
= a3+6a2+12a+8
· (2a-1)3=(2a)3-3(2a)2.1+3(2a).12-13
= 8a3-12a+6a-1
También:
Ejemplo:
· Si la suma de dos números es 4 y el
producto es 5. calcular la suma de cubos.
Resolución:
(a+b)3ºa3+b3+3ab(a+b)
Reemplazamos: a+b=4 Ù ab=5
⇒ 43=a3+b3+3.5.4
64=a3+b3+60
a3+b3=4
V. Suma y diferencia de cubos
Ejemplos:
· (x+2)(x2-2x+4)=x3+23=x3+8
· ( 3 3 + 3 2 )( 3 9 - 3 6 + 3 4 )=
3 3 3 3 3 + 2 =5
VI. Producto de Binomios con un término
común.
Ejemplos:
· (a + 2)(a + 3) =a2+(2+3)a+2.3
= a2+5a+6
· (a + 4)(a - 1)=a2+(4-1)a+4(-1)
= a2+3a-4
· (a-6)(a+2)=a2+(-6+2)a+(-6)(2)
= a2-4a-12
· (a-4)(a-5)=a2+(-4-5)a+(-4)(-5)
= a2-9a+20
También:
Ejemplos:
· (x+1)(x+2)(x+3)=x3+(1+2+3)x2+(1.2+1.3
+2.3)x+1.2.3
= x3+6x2+11x+6
· (x-2)(x+3)(x+4)=x3+(-2+3+4)x2+(-2.3+-
2.4+3.4)x+(-2)(3)(4)
= x3+5x2-2x-24
· (x+2)(x-4)(x+6)=x3+(2-4+6)x2+[2(-4)+(-
4)6+6.2]x+2(-4)6
= x3+4x2-20x-48
· (x+1)(x-3)(x-5)=x3+(1-3-5)x2+[1(-3)+(-
3)(-5)+(-5).1]x+1(-3)(-5)
= x3-7x2+7x+15
· (x-2)(x-4)(x-6)=x3+(-2-4-6)x2+[(-2)(-4)+(-
4)(-6)+(-6)(-2)]x+(-2)(-4)(-6)
= x3-12x2+44x-48
VII. Trinomio al cubo
Ejemplo: Si se verifica que:
a+b=1, b+c=4, a+c=3
Calcular: a3+b3+c3
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
a+b = 1
b+c = 4 a+b+c = 4 y
a+c = 3
(a+b)3 ºa3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 ºa3-3a2b+3ab2-b3
(a+b)3 ºa3+b3+3ab(a+b)
(a-b)3 ºa3-b3-3ab(a-b)
a3+b3 º(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3 º(a-b)(a2+ab+b2)
(x+a)(x+b) ºx2+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b)(x+c) º x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc
(x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y)(x+z)(y+z)
(x+y+z)3ºx3+y3+z3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz

4. 3
(a+b)(b+c)(a+c)=12
⇒ (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)
43=a3+b3+c3+3(12)
a3+b3+c3=28
1. Efectuar:
(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)
2. Calcular:
OTRAS IDENTIDADES
I. Identidad trinómica de Argand.
II. Identidad de Gauss.
III. Identidad Especial
IV. Identidad de LAGRANDE
V. Igualdades condicionales.
Si: a+b+c=0 , entonces se cumple:
VI. Teoremas.
Sean: {x,y,z} Ì R ; {m,n,p} Ì Z+
Luego:
1. x2m+y2n+z2p=0 Û x=y=z=0
2. x2+y2+z2=xy+xz+yzÛx=y=z
Ejemplos:
1. Si: a2+b2+c2=3(ab+ac+bc)
Hallar:
a b c 3abc
(a b c)(ab ac bc)
M
3 3 3
+ + + +
= + + -
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
En la identidad de Gauss
a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
3(ab+ac+bc)
Entonces:
a3+b3+c3-3abc=2(a+b+c)(ab+ac+bc)
M=
+ + + +
2( )( )
a b c ab ac bc
a b c ab ac bc
+ + + +
( )( )
M=2
2. Simplificar:
( )
3 ( )3 ( )3
x y y z z x
= - + - + -
x y y z z x
9( )( )( )
R
- - -
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
Haciendo:
x-y=a ; y-z=b ; z-x=c
Se observa que: a+b+c=0
Luego tendremos:
a3 + b3 + c3
9abc
Por la igualdad condicional:
si: a+b+c=0 ⇒ a3+b3+c3=3abc
de donde:
abc
abc
3 3 3
a b c
abc
R
3
9
9
=
+ +
=
R=
1
3
3. Si se cumple que: a3+b3+c3=0
( )2 ( )2 ( )2 ( )2
R = 5 + 2 + 14 + 2 + 5 - 2 - 14 - 2
(a2+a+1)(a2-a+1)ºa4+a2+1
(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)ºa4+a2b2+b4
a3+b3+c3-3abcº(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
(a+b)(a+c)(b+c)+abcº(a+b+c)(ab+ac+bc)
(a2+b2)(x2+y2)º(ax+by)2+(ay-bx)2
a2+b2+c2=-2(ab+ac+bc)
a3+b3+c3=3abc
(ab+ac+bc)2=(ab)2+(ac)2+(bc)2

5. 4
Simplificar:
3 abc
¹
= abc
a b a b c b c a c
; 0
- + - + -
( ) ( ) ( )
M
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
3
abc
2 2 2
ab a bc b ca c
M
- + - + -
=
3
abc
a2 b2 c2 ab ac bc
( )
M
- + + - - -
=
= -
3
abc
a2 b2 c2 ab ac bc
( )
M
+ + - - -
Como a3+b3+c3+=0, podemos colocarlo así:
= + + -
a b c 3
abc
3 3 3
2 2 2
( a b c ab ac bc
)
M
+ + - - -
Por la identidad de Gauss:
2 2 2
= + + + + - - -
( a b c )( a b c ab ac bc
)
2 2 2
( a b c ab ac bc
)
M
+ + - - -
Es aquella operación que tiene por finalidad
hallar una expresión denominada “cociente”,
dadas otras dos denominadas “dividendo” y
“divisor”, tal que, el valor numérico del dividendo
es igual al producto de los valores numéricos del
divisor y el cociente, más el valor numérico del
resto para cualquier sistema de valores
atribuidos a sus letras.
ó
Donde:
R
( )
D
( )
x
x
· D(x) = Dividendo
· d(x) = Divisor
· q(x)= Cociente
· R(x) = Resto o residuo
Clases de división
1. División exacta:
Es división exacta Û R(x)º0
Luego:
2. División Inexacta:
Es división inexacta Û R(x) 0
Luego:
Observación: Si R(x) º 0, tenemos
D(x)ºd(x).q(x), luego podemos decir:
· d(x) es divisor de D(x)
· d(x) es factor de D(x)
· D(x) es divisible por d(x)
Ejemplo: EL Polinomio d(x) = x-1, es un
factor de D(x)=3x2+2x-5
Pues, D(x) es divisible por d(x), es decir:
0
= 3 x + 2 x
- 5
x
D
( x ) ⇒ R
º
1
( )
2
( )
-
x
x
d
PROPIEDADES DE GRADO
1. El grado del cociente es igual al grado del
dividendo menos el grado del divisor:
2. El grado del residuo es siempre menor que el
grado del divisor, su máximo grado es una
unidad menor que el grado del divisor (a
excepción de los Polinomios homogéneos).
3. El término independiente del dividendo
estará determinado por el producto de los
términos independientes del divisor y el
cociente más el término independiente del
residuo.
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
D(x)ºd(x).q(x)+R(x)
( )
( )
( )
x
x
x
d
q
d
º +
D(x)ºd(x).q(x)
D(x) º d(x).q(x)+R(x)
[q(x)]0 = [D(x)]0 – [d(x)]0
RMÁX = [d(x)]0-1
T.I.(D)=T.I.(d).T.I.(q)+T.I.(R)

6. 5
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
I. División de Monomios.- Para dividir dos
monomios, se dividen los signos (según la ley
de signos) luego se dividen los coeficientes y
por último las partes literales de acuerdo a la
ley de exponentes.
Ejemplos:
*
5 5
4xyz
8x y = 2xy4z-2
2
*
m n
- 36 a b = -6am-1bn-2
2
6 ab
II. División de un polinomio entre un
Monomio.- Para dividir un Polinomio entre
un monomio se divide cada uno de los
términos del polinomio separadamente entre
el monomio divisor y se suman
algebraicamente cada uno de éstos
resultados.
Ejemplo: Dividir:
P=
6 5 3 7 5 2
x y + x y - x y
42 21 35
2
7
xy
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn::::
P=
5 2
x y
2
3 4
x y + x y
-
2
6 5
2
35
7
21
7
42
7
xy
xy
xy
P=6x5y3+3x2y5-5x4
III. División de dos polinomios.- La división
de polinomios sólo es aplicable para:
a) Polinomios de una sola variable
b) Polinomios homogéneos
Se debe tener en cuenta que los polinomios
deben ser completos y ordenados en forma
decreciente, con respecto a una letra llamada
“ORDENATRIZ”, si faltase alguna variable
se remplazarán por ceros.
Para dividir dos polinomios se utilizan los
siguientes métodos:
1. Método clásico o General
2. método de los coeficientes separados
3. Método de los coeficientes
indeterminados.
4. Método de Horner
5. Método de Ruffini
ESTUDIO DE CADA UNO DE LOS MÉTODOS
1. Método clásico ó General.- Para dividir
dos polinomios mediante éste método se
debe tener en cuenta las siguientes reglas:
a. Ordenar tanto el dividiendo como el
divisor según las potencias,
decrecientemente con respecto a una
variable.
b. En caso de faltar una potencia de la
variable se coloca en su lugar el término
faltante con coeficiente cero.
c. Dividir el primer término del dividendo
por el primer término del divisor para
obtener el primer término del cociente.
d. Este término se multiplica por cada uno
de los términos del divisor y se pasan a
restar con los correspondientes términos
del dividendo.
e. Tratar el resto obtenido en el paso (d),
como si fuera un nuevo dividendo y
repetir los pasos (c) y (d).
f. Continuar este proceso hasta que el resto
obtenido sea tal que su grado resulte
menor que el del divisor (o que sea
cero), dando el proceso como terminado.
Ejemplo: Dividir:
a2+2a4-3a3+a-2 entre a2-3a+2
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
2ª4-3a3+a2+a-2 |a2-3a+2
-2ª4 + 6a3-4a2 2a2+3a+6
3a3-3a2+a
-3a3+9a2-6a
6a2-5a-2
-6a2+18a-12
13a-14
q(x) = 2a2+3a+6
R(x) = 13a-14
2. Método de los coeficientes separados.-
En este caso, además de las consideraciones
anteriores se debe tener en cuenta:

7. 6
a) Se trabaja solamente con los coeficientes
y sus correspondientes signos del
dividendo y divisor.
b) En caso de faltar un término con una
potencia de la variable se coloca en su
lugar cero, tanto en el dividendo como en
el divisor.
c) De esta manera se obtienen los
coeficientes con sus signos del polinomio
cociente.
d) Para determinar el grado del coeficiente y
resto se aplican las propiedades.
[q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]°
[R(x)]° = [d(x)]° - 1
Ejemplo: Dividir.
6a5-20a4-13a3+25a2-12a+7
3a2-a+1
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn::::
6 – 20 – 13 + 25 – 12 + 7 |3 – 1 + 1
-6 + 2 - 2 2 – 6 – 7 + 8
-18 – 15 + 25
+18 – 6 + 6
-21 + 31 - 12
+21 – 7 + 7
24 – 5 + 7
-24 + 8 – 8
3 – 1
· [q(x)]° = [D(x)]° - [d(x)]°
[q(x)]° = 5 – 2 = 3
· [R(x)]° = [d(x)]° – 1
[R(x)]° = 2 –1 = 1
q(x) = 2a3 – 6a2 – 7a + 8
R(x) = 3a - 1
3. Método de los coeficientes
indeterminados.- Este método consiste en
plantear el resultado con coeficientes
desconocidos, basándose en la identidad
fundamental de la división algebraica.
El cociente (q) y residuo (R) se asumen que
son conocidos con coeficientes
indeterminados para poder establecer la
identidad.
Ejemplo: Dividir:
6x4-x3-17x2+5x-3
3x3+4x2-2x-1
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
· Análisis de Grados:
[q(x)]° = 4 – 3 = 1
[RMÁX]° = 3 – 1 = 2
q(x) y R(x) son de la forma:
q(x) = ax+b ......... (I)
R(x) = cx2+dx+e ………(II)
· Sabemos que: D=d.q+R, para nuestro caso:
D(x) d(x) q(x) R(x)
· Realizando operaciones en el segundo
miembro y agrupando convenientemente.
6x4-x3-17x2+5x-3º3ax4+(4a+3b)x3+
(-2a+4b+c)x2+(-a-2b+d)x+(-b+e)
Identificando coeficientes:
i) 6=3a ⇒ a=2
ii) –1=4a+3b ⇒ b=-3
iii) –17=-2a+4b+c ⇒ c = -1
iv) 5=-a-2b+d ⇒ d = 1
v) –3=-b+e ⇒ e=-6
q(x) = ax+b = 2x-3
R(x) = cx2+dx+e = -x2+x-6
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
1. Método de Guillermo Horner.- Este
método es un caso particular y sintetizado
del método de los coeficientes separados y
se emplea para la división de polinomios de
cualquier grado de una y dos variables
(asumiendo a una de ellas como tal y las
demás hacen el papel de números
constantes) teniendo en cuenta que los
polinomios deben ser completos y ordenados
D=d.q+R
6x4 - x3 -17x2 + 5x - 3 º(3x3 + 4x2 - 2x -1)(ax+b) +(cx2 + dx+ e)

8. 7
en forma descendente con respecto a dicha
variable llamada letra ordenatriz, si falta
alguna variable se reemplazará por ceros.
Gráficamente:
d Coeficientes del dividendo
- I
- V
- I ¸ . + Å
- S
- 0
- R
Coef. del cociente Coef. del resto
· Los coeficientes del dividendo se escriben
con su propio signo arriba de la línea
horizontal.
· Los coeficientes del divisor se escriben en
el lado izquierdo de la línea vertical, el
primer coeficiente entre la horizontal y
vertical con su propio signo, los demás
coeficientes cambiarán de signo.
· Luego trazaremos otra línea vertical
punteada separando tantos términos del
dividendo como términos tenga el divisor
con signo cambiado contándolos a partir
del extremo derecho del dividendo y así
definiremos el cociente y el residuo. En
otras palabras podemos decir que el
número de columnas que se separan para
el resto lo determina el grado del divisor,
contándose de derecha a izquierda y las
demás le pertenecen al cociente.
Procedimiento para dividir:
1° Se divide el primer coeficiente del dividendo
entre el primer coeficiente del divisor
obteniéndose el primer coeficiente del cociente.
2° El primer coeficiente del cociente multiplica a
cada uno de los coeficientes del divisor con
signo cambiado y los resultados se colocan
debajo de los términos del dividendo
corriéndose un lugar hacia la derecha.
3° Se suman los términos de la segunda columna y
el resultado se divide entre el primer término
del divisor obteniéndose así el segundo término
del cociente.
4° Luego se repiten los procedimientos 2° y 3°
hasta obtener el último término del cociente,
con el cual se obtiene la última fila del
dividendo.
5° Llegado éste momento se reducen las columnas
que faltan, separando respectivamente el
cociente y el resto en sus zonas respectivas.
Ejemplo: Dividir:
2x3+10x4+10x2+10x-3+5x5+2x6
x3+2x2+3x-4
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
q(x)=2x3+x2+2x+3
R(x)=2x2+9x+9
2. Método de Paolo Ruffini.- Este método es
un caso particular de la división por “Horner”
se emplea para divisores binomios de primer
grado de la forma:
ax ± b ; a¹0 Ù b>0
o transformables a primer grado
REGLAS A SEGUIR
· Se verifica si el polinomio dividendo está
completo y ordenado. Si faltara uno o
más términos éstos se completaran con
ceros.
· De existir dos o más variables, se asume
a una de ellas como tal y las demás
hacen el papel de números o constantes.
PROCEDIMIENTO PARA DIVIDIR
1° Se distribuyen en forma horizontal los
coeficientes del dividendo; en forma paralela a
éste paso se iguala el divisor a cero, se despeja
la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior
izquierdo del gráfico.

9. 8
Así:
D I V I D E N D O
x=N
COCIENTE Resto
2° El primer término del cociente es igual al primer
término del dividendo.
3° Luego éste valor se multiplica por el valor
despejado de la variable y el resultado se
coloca debajo del dividendo, se reduce y se
obtiene el segundo término del cociente.
4° Se procede como en el procedimiento 3°, hasta
llegar al último término del dividendo al reducir
obtenemos el resto de la división el cual
siempre será un valor numérico.
CASO I
· Cuando el primer coeficiente del divisor es
igual a la unidad, divisor de la forma (x±b).
Ejemplo: Dividir:
3 2 2 5
- + -
x
x x x
2
-
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
i) Divisor = 0 ⇒ x-2=0
X=2
ii) Llevando a la gráfica de Ruffini:
1 -2 1 -5
2 2 0 2
1 0 1 -3
q(x) = x2+1
R(x) = -3
CASO ESPECIAL: Podemos reconocerlo por que
los exponentes del dividendo son múltiplos exactos
del exponente del divisor (binomio no
necesariamente de primer grado), dichos
problemas se resolverán haciendo un cambio de
variable.
Ejemplo: Dividir:
8 4 2
- - +
3 x 28 x 5 x
4
3
2
+
x
Resolución:
· Colocando como potencias de (x2)
2 4 2 2 2
- - +
3( x ) 28( x ) 5( x
) 4
3
2
+
x
· Haciendo un cambio de variables: x2=y
3 4 28 2 5 4
- - +
y y y
3
+
y
· Ahora aplicamos el método de Ruffini.
i) Divisor = 0 ⇒ y + 3 = 0
y = - 3
ii) Llevando a la gráfica
3 0 -28 -5 4
-3 -9 27 3 6
3 -9 -1 -2 10
q(y)=3y3-9y2-y-2
R(y)=10
Pero y=x2, reemplazando:
q(x) = 3x6-9x4-x2-2
R(x) = 10
OBSERVACIÓN: Cuando las potencias del
dividendo son múltiplos de la potencia del divisor,
se podrá aplicar el proceso anterior.
CASO II
· Cuando el primer coeficiente del divisor es
diferente de la unidad, divisor de la forma ax±b.
Gráficamente:
D I V I D E N D O
x=±
b
a
Cociente falso Resto
¸a
Cociente verdadero
q(x) =
cociente
a
R(x) = Resto
OBSERVACIÓN:
De la identidad fundamental:
D(º(ax+b).q(x)+R(º b
x)x)( a.q() x) R(x)

x + a



+
D(x) ¸ ax ± b ; a=1
D(x) ¸ ax ± b ; a ¹ 1

10. 9
Se observa que el cociente queda multiplicado por “a”.
Ejemplo: Dividir:
27 4 6 2 15
- + +
x
x x x
-
3 1
Resolución
i) Divisor = 0 ⇒ 3x-1=0
x=1/3
ii) Llevando a la gráfica
27 0 -6 1 15
x=
1 9 3 -1 0
3
27 9 -3 0 15
¸3
9 3 -1 0
q(x) = 9x3+3x2-x
R(x) = 15
TEOREMA DE RENÉ DESCARTES
(TEOREMA DEL RESTO)
Finalidad.- Se utiliza para hallar el resto en una
división de polinomios sin la necesidad de efectuar
dicha operación, es decir, de una manera directa.
Teorema.- En toda división de la forma P(x) entre
(ax+b), el resto se halla mediante el valor numérico
b 
.

-
del polinomio P(x) cuando x toma el valor de 

a
Es decir:
P x
-
( ) ⇒
x a
Demostración.- Utilizando la identidad
fundamental de la división será posible expresar
así:
P(x) º (ax+b) . q(x) + R
Cociente Resto o residuo
Evaluando la identidad en x=-b/a
R
b

- 



b b q
+ a

b
a
= -
P a
a




+ 




-

.
1442443
0
P R
b =
a



-

Ejemplo: Hallar el resto en:
4 3 5 2 3 1
- + -
x
x x x
2
+
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
i) Divisor = 0 ⇒ x+2=0
x= -2
ii) Reemplazando x = -2 en el dividendo con lo
cual se halla el resto.
R = 4(-2)3-5(-2)2+3(-2)-1
R = -32-20-6-1
R=-59
COCIENTES NOTABLES
Son aquellas divisiones algebraicas en las cuales
el cociente y el residuo de la división se obtienen
sin mediar algoritmo correspondiente, o sea sin
necesidad de efectuar la operación.
La división es exacta (esto es, el resto es nulo).
Estos casos especiales son de la forma general.
xn an
±
±
Donde: x, a son las bases
nÎN Ù n³2
Condiciones que deben cumplir
a) Deben tener las bases iguales.
b) Deben tener los exponentes iguales.
Así:
xn an
±
±
x a
Numéricamente:
x10 a10
±
±
x a
CASOS DE COCIENTES NOTABLES
Existen cuatro casos de cocientes notables, que
se determinan combinando convenientemente
los signos; las cuales son:
xn an
- ;
-
x a
xn an
+ ;
-
x a
xn an
+ ;
+
x a
xn an
-
+
x a
PRIMER CASO:
xn an
-
-
A. Cálculo del Resto: Por el teorema del
resto.
x-a = 0 ⇒ x=a
R=an-an=0
R=0
R=P(a)
Resto de la división
x a
x a

11. 1 0
Esto indica que para cualquier valor entero
de “n”, será siempre exacta por lo tanto es
un cociente notable.
B. Cálculo del cociente:
-
x a = - + - + - + + - + -
-
Donde “n” es par o impar
Ejemplo: Calcular el cociente en forma
directa de:
-
x a = + + +
3 2 2 3
4 4
x x a xa a
-
x a
SEGUNDO CASO:
xn an
+
-
A. Cálculo del resto: Por el teorema del resto.
x-a=0 ⇒ x=a
R=an+an
R=2an¹0
Vemos que en éste caso para cualquier valor
de “n” el resto es siempre diferente de cero
por lo cual el cociente que se obtiene será
siempre un cociente completo y nunca un
cociente exacto.
B. Cálculo del cociente:
x a 2a
n
+ - - - -
Donde “n” es par o impar.
Importante: Excluiremos el presente caso
debido a que la división no es exacta, en
consecuencia no es un cociente notable.
TERCER CASO:
xn an
+
+
A. Cálculo del Resto: Por el teorema del
resto.
x+a=0 ⇒ x=-a
R=(-a)n+an
Si:n=# par ⇒ R=an+an=2an¹0 (cociente
completo)
Si:n=# impar ⇒ R= -an+an=0 (cociente
exacto):
B. Cálculo del cociente.-
+
x a = - - - + - - - - + -
+
Donde “n” es impar.
Ejemplo: Calcular el cociente en forma
directa de:
+
x a = - + - +
4 3 2 2 3 4
5 5
x x a x a xa a
+
x a
CUARTO CASO:
xn -
an
+
A. Cálculo del resto.- Por el teorema del
resto.
x+a=0 ⇒ x=-a
R=(-a)n-an
Si:n = # par ⇒=an-an=0 (cociente exacto)
Si:n = # impar⇒R=-an-an=-2an¹0(cociente
completo)
B. Cálculo del cociente.-
-
x a = - - - + - - + - - -
+
Donde “n” es par.
FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Es una fórmula que nos permite encontrar un
término cualquiera en el desarrollo de los
cocientes notables sin necesidad de conocer los
demás:
Sabemos que:
= n - 1
+ - + - + + - + -
{
n 2 n 1
n 3 2
t
n 2
t
t
n n
x x a x a ... xa a
-
x a
x a
1 2 3
-
123 14243
Donde:
t1=xn-1=xn-1a°
t2=xn-2a=xn-1a1
t3=xn-3a2=xn-3a2
t69=……..=xn-69a68
En General
n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
n n
x x a x a ..... xa a
x a
x a
x a
x x a x a .... a
x a
n 1 n 2 n 3 2 n 1
n n
-
= + + + + +
-
x a
n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
n n
x x a x a ... xa a
x a
x a
n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1
n n
x x a x a ... xa a
x a
tk= xn-kak-1
¯
signo
; 1£ k £ n

12. 1 1
Donde: K® es el lugar pedido
N ® es el exponente de las bases en el
numerador
El signo ® se colocará de acuerdo al caso
que corresponda.
REGLA PARA EL SIGNO
a) Cuando el divisor es de la forma (x-a):
b) Cuando el divisor es de la forma (x+a) y si:
Ejemplo: En el cociente notable de:
60 - 60
x y
-
x y
Hallar el término de lugar 15.
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn:
Recordando en
xn yn
- ⇒ tk=xn-kyk-1
-
x y
En el problema n=60 Ù k=15
⇒ t15 = x60-15 . y15-1
t15=x45y14
LEYES DE UN COCIENTE NOTABLE:
I. Si la división tiene la forma que origina un
cociente notable, el exponente que se repite en
el dividendo indica el número de términos del
cociente.
x100 y100
-
a) # de términ os 100
x y
⇒ =
-
b)
4 50 6 50
- ⇒
(x ) (y )
4 6
200 300
-
x y
4 6
x y
x y
-
-
# de términos = 50
II. El cociente se caracteriza por ser completo y
ordenado respecto a sus bases; además de ser
homogéneo respecto a las mismas.
III. El primer término del desarrollo se obtiene
dividiendo el primer término del dividendo
entre el primero del divisor.
IV. A partir del segundo término los exponentes de
la primera base disminuyen de uno en uno,
mientras que los de la segunda van
aumentando de uno en uno.
V. Si el divisor es un binomio diferencia (x-a)
todos los términos del cociente serán positivos;
pero si es un binomio suma (x+a) los términos
del cociente serán alternados (los de lugar
impar positivos y los de lugar par negativos).
VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del término
central tendrán igual exponente.
Ejemplo:
-
x a = + + + + + +
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
7 7
x x a x a x a x a xa a
-
x a
VII. Para calcular un término cualquiera contando
de derecha a izquierda, sólo basta con
intercambiar las bases tanto en el numerador
como en el denominador, para luego aplicar la
fórmula del término general.
Ejemplo: Calcular el término 35 contando a
partir de derecha a izquierda del desarrollo de:
x121 a121
-
-
x a
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn:
Intercambiando las bases:
a121 x121
-
-
a x
Luego: t35=a121-35x35-1=x34a86
VIII. Si:
m n
x a
± origina un cociente notable
x a
p q
±
Entonces se cumple:
n
q
m =
p
n
m
Además: = =
q
p
número de términos
Ejemplo: si
+ -
n 1 200
x y
x y
2 4
-
origina un cociente
notable, calcular el valor de “n”.
RRRReeeessssoooolllluuuucccciiiióóóónnnn
* Como origina un cociente notable:
n + 1 = 200
⇒ n+1=(50)(2)
4
2
n=100-1
n=99
Todos son positivos (+)
K=# impar ⇒ (positivo +)
K=# par ⇒ (negativo -)

13. 1