INTRODUCCION A LOS VECTORES
Cantidades Físicas <ul><li>Llamamos  magnitud física  a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La  masa , la...
Escalares <ul><li>Son  escalares  las magnitudes que se describen con un  valor  y una  unidad .  </li></ul><ul><li>Ejempl...
Vectores <ul><li>Son  vectoriales  las magnitudes que se describen usando un  valor , una  unidad  y una  dirección .  </l...
Fasores <ul><li>Son cantidades que tienen tanto magnitud, dirección y rotación, es decir son vectores rotatorios </li></ul...
Tensores <ul><li>Matriz de vectores que representan una cantidad física en un espacio vectorial </li></ul><ul><li>Ejemplo:...
¿Porque usar vectores? <ul><li>Si nos dicen que un auto circula durante una hora a 60 km/h no podemos saber en qué lugar s...
Vectores <ul><li>Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una direcció...
Cantidad Vectorial: Está definida por la magnitud y dirección La magnitud es cuanto mide el vector. La dirección es el áng...
Pregunta <ul><li>¿Cuál si y cuales no de los siguientes son vectores? </li></ul><ul><li>Fuerza, temperatura, volumen, nume...
Punto de aplicación
Modulo
Dirección
Sentido
Representación de un Vector <ul><li>Vector A =  A  =  </li></ul><ul><li>Magnitud del vector A =  = A  </li></ul>
Vector Unitario : Aquel vector que tiene magnitud igual a 1 Vector nulo :  Aquel vector que no tiene magnitud Vector negat...
Vectores colineales: Son aquellos vectores que tienen una misma línea de acción, o que están contenidos en una misma recta...
Vector Resultante : Es el vector que reemplaza una serie de varios vectores. Es decir produce el mismo efecto por si solo ...
Componentes de un vector . Un vector puede ser representado por sus componentes, es decir las proyecciones del vector a lo...
Componentes de un vector
 
 
 
Componentes Ortogonales Las componentes ortogonales, es decir perpendiculares pueden ser hallados usando las funciones tri...
Pregunta <ul><li>En que circunstancias un vector diferente de cero que esta en el plano xy tendría componentes de igual ma...
Formas para representar un vector <ul><li>Como coordenadas en un sistema de referencia </li></ul><ul><li>V  = (Vx, Vy, Vz)...
Como coordenadas en un sistema de referencia
<ul><li>Con magnitud y dirección </li></ul><ul><li>P  = 40 newtons, 20⁰ grados </li></ul><ul><li>Q  = 60 newtons, 45⁰ nore...
<ul><li>En función de los vectores unitarios </li></ul><ul><li>V  = 2 i  - 5 j  + 9 k  </li></ul>
<ul><li>En función de sus cosenos directores o como vector unitario </li></ul><ul><li>V  =  V (cos α i  + cos β j  + cos γ...
Operaciones con cantidades vectoriales <ul><li>Adición </li></ul><ul><li>Sustracción </li></ul><ul><li>Multiplicación </li...
Adición entre vectores <ul><li>Método Gráfico </li></ul><ul><ul><li>Método del polígono cerrado </li></ul></ul><ul><ul><li...
La adición entre vectores tiene las propiedades siguientes  <ul><li>A + B = B + A (ley conmutativa) </li></ul><ul><li>A +(...
Sustracción de vectores <ul><li>La sustracción de vectores se convierte en una suma de vectores al emplear el concepto de ...
La diferencia de vectores es anticonmutativa <ul><li>A – B ≠ B – A </li></ul>
Realizar las siguientes  operaciones vectoriales a) A + B b) A - B A B -B A + B A - B
Método del paralelogramo <ul><li>Es mas común emplear este método entre dos vectores </li></ul><ul><li>Consiste en trazar ...
Método del paralelogramo A B -B A + B A - B
Método del paralelogramo
Encontrar la resultante entre P y Q
Método del paralelogramo
Método del polígono cerrado <ul><li>Se hace coincidir los extremos de cada vector con los orígenes de los otros y se cierr...
Encontrar la resultante entre P y Q
Método del polígono cerrado
Considere los vectores mostrados en la figura <ul><li>¿Cuál de los siguientes vectores representa mejor al vector  C – B –...
Pregunta <ul><li>Si  B  se suma a  A:  a)¿En que condiciones el vector resultante  A + B  tiene una magnitud igual a A + B...
 
<ul><li>Si una componente de un vector no es cero, ¿su magnitud puede ser cero?, explique </li></ul><ul><li>Respuesta: La ...
Pregunta <ul><li>¿La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que la distancia recorrida? </li></ul>No!
Ley del coseno <ul><li>Método analítico del paralelogramo </li></ul><ul><ul><li>Se usa para encontrar la magnitud del vect...
A B R A Acos θ θ β φ θ α Asen θ Demostración
<ul><li>¿ A que operación corresponderá la siguiente expresión? </li></ul>
A B -B A - B A Acos θ Asen θ θ θ Demostración
En general B C A β φ α
Ley del seno A B R A Acos θ θ β φ θ α Asen θ L
Encontrar la resultante entre P y Q
Método analítico
 
DETERMINE LAS TENSIONES DE LAS  CUERDAS T 1  Y T 2  SI  α =45 0  Y LA FUERZA RESULTANTE ES 25 N HORIZONTAL HACIA LA DERECHA
T1 = 18.9 KN  T2 = 12.95 KN
Suma de Vectores por el método de las componentes <ul><li>Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráfica...
Determine la Fuerza Resultante
 
Método analítico de componentes 110
Pregunta <ul><li>Las magnitudes de dos vectores  A  y  B  son A = 5 unidades y B = 2 unidades. Encuentre los valores mas g...
Pregunta <ul><li>¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo?, Explique </li></ul><ul><li>Respuesta: Nunca la ...
Pregunta <ul><li>Dos vectores tienen magnitudes diferentes. ¿Su suma puede ser cero? </li></ul><ul><li>Respuesta: Nunca </...
Encontrar la resultante entre P y Q por componentes
Vectores en el espacio  coordenadas rectangulares
Vectores unitarios directores
Cosenos directores
 
Multiplicación de un escalar por un vector <ul><li>Sea  λ  un escalar y  A  un   vector entonces definimos el producto  λ ...
<ul><li>λ  = 0; el vector resultante se convierte en el vector nulo </li></ul><ul><li>  Ejemplo:  λ =0 =>  B= 0 A=0 </li><...
Pregunta <ul><li>Exprese el vector  u  de la figura en términos de los vectores  a ,  b  y  c </li></ul><ul><li>A)  –a + b...
<ul><li>¿En cual de los siguientes casos la longitud de a + b es menor que la longitud de a – b? </li></ul><ul><li>A) B) <...
 
Producto de vectores <ul><li>Producto escalar o producto punto </li></ul><ul><li>Producto vectorial o producto cruz </li><...
Producto escalar o producto punto <ul><li>Representación </li></ul><ul><li>θ  debe ser el menor ángulo entre los vectores ...
Aplicación A B Ap Bp θ
Posibles casos  del producto escalar <ul><li>Si  θ  < 90⁰ => C es positivo; cos θ  > 0 </li></ul><ul><li>Si  θ  = 90⁰ => C...
Producto vectorial o producto cruz <ul><li>θ  debe ser el menor ángulo entre los vectores </li></ul>
Propiedades del producto cruz <ul><li>El resultado de la operación es un tercer vector </li></ul><ul><li>El modulo del vec...
Casos particulares del producto cruz <ul><li>Si  θ  = 0⁰ => C = AB(0); sen θ  = 0 </li></ul><ul><li>Si  θ  = 90⁰ => C = AB...
Aplicación <ul><li>Si los vectores A y B forman un paralelogramo, entonces el modulo del producto cruz representa el área ...
Demostración A B θ
Vectores unitarios directores
Vectores unitarios directores <ul><li>A cada eje coordenado  x, y, z  se le asigna correspondientemente un vector unitario...
Vectores unitarios directores a i  =  a b j  =  b c k  =  c Notación: vector unitario i =  i  =  =
Vectores unitarios y producto punto <ul><li>i•i  =  </li></ul><ul><li>i•j  =  </li></ul>j•j  =  j•k  =  k•k  =  i•k  =  0 ...
Vectores unitarios y producto cruz <ul><li>ixi  =  </li></ul><ul><li>ixj  =  </li></ul><ul><li>ixk  = </li></ul>jxj  =  jx...
<ul><li>El vector resultante de la operación producto cruz se lo puede obtener como la determinante de la matriz que forma...
Producto vectorial en R3
Problema <ul><li>Sean los vectores D = 2i – 3pj + 2k, E = i + 2j + 3k y F = -2i + 2j + 2k </li></ul><ul><li>1) El valor de...
<ul><li>2) El ángulo entre  E  y  F  es: </li></ul><ul><li>a) 90 c) 51.9 e) 22.2 </li></ul><ul><li>b) 72.4 d) 38.1 </li></ul>
<ul><li>3) El ángulo que el vector  F  forma con el semieje x positivo es: </li></ul><ul><li>a) 125.3 c) 54.7 e) -35.3 </l...
<ul><li>4) El vector 2 E  – 3 F  es: </li></ul><ul><li>a) -4i + 10j + 12k   c) 8i – 2j e) 4i - j </li></ul><ul><li>b) 4i –...
<ul><li>5) un vector perpendicular a E y F es: </li></ul><ul><li>A) 2i + 8j + 6k </li></ul><ul><li>B) 2i – 8j + 6k </li></...
Problema <ul><li>Los vectores  A  y  B  forman entre si un ángulo de 30⁰. El modulo de A vale 3. Hallar cual debe ser el m...
<ul><li>Sean A, B, C y D cantidades físicas vectoriales diferentes. ¿Cuál de las siguientes no es posible realizar? </li><...
<ul><li>La figura muestra una circunferencia de centro “O”. El vector  X  en función de los vectores  A  y  B  es:  </li><...
<ul><li>De acuerdo al grafico mostrado, si  A + B = 3i  entonces el vector  B  es: </li></ul><ul><li>a) 8i + 4.6j   b) 11i...
 
 
<ul><li>Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10, 15 y 20 unidades respectivamente, como se muestran en la figura...
10 A=300 5 Z(m) X(m) Z(m)
<ul><li>Los vectores indicados en la figura tienen la misma magnitud y se encuentran en el mismo plano. ¿Cuál de las sigui...
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  • Vectores Cg Invierno2008

    1. 1. INTRODUCCION A LOS VECTORES
    2. 2. Cantidades Físicas <ul><li>Llamamos magnitud física a aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa , la longitud , la velocidad o la temperatura son todas magnitudes físicas . </li></ul><ul><li>Las cantidades físicas de acuerdo a sus propiedades se definen como: </li></ul><ul><li>Escalares, vectores, fasores y tensores </li></ul><ul><li>El aroma o la simpatía , puesto que no pueden medirse, no son magnitudes físicas . </li></ul>
    3. 3. Escalares <ul><li>Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad . </li></ul><ul><li>Ejemplo: masa, tiempo, trabajo y energía, etc. </li></ul>
    4. 4. Vectores <ul><li>Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor , una unidad y una dirección . </li></ul><ul><li>Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleración, etc. </li></ul>
    5. 5. Fasores <ul><li>Son cantidades que tienen tanto magnitud, dirección y rotación, es decir son vectores rotatorios </li></ul><ul><li>Ejemplo: Voltaje alterno, corriente alterna </li></ul><ul><li>Un fasor es un constante numero complejo que representa la amplitud compleja (magnitud y fase) de una función de tiempo sinusoidal </li></ul>
    6. 6. Tensores <ul><li>Matriz de vectores que representan una cantidad física en un espacio vectorial </li></ul><ul><li>Ejemplo: Esfuerzos de un material </li></ul><ul><li>la noción tensorial es absolutamente general, y se aplica a todos los ejemplos antedichos; los escalares y los vectores son clases especiales de tensores. </li></ul>
    7. 7. ¿Porque usar vectores? <ul><li>Si nos dicen que un auto circula durante una hora a 60 km/h no podemos saber en qué lugar se encontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. </li></ul>
    8. 8. Vectores <ul><li>Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar una dirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movía hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes. </li></ul><ul><li>Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud. </li></ul>
    9. 9. Cantidad Vectorial: Está definida por la magnitud y dirección La magnitud es cuanto mide el vector. La dirección es el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X y define su línea de acción A A  X
    10. 10. Pregunta <ul><li>¿Cuál si y cuales no de los siguientes son vectores? </li></ul><ul><li>Fuerza, temperatura, volumen, numero de espectadores en un programa de televisión, altura, velocidad, edad </li></ul>
    11. 11. Punto de aplicación
    12. 12. Modulo
    13. 13. Dirección
    14. 14. Sentido
    15. 15. Representación de un Vector <ul><li>Vector A = A = </li></ul><ul><li>Magnitud del vector A = = A </li></ul>
    16. 16. Vector Unitario : Aquel vector que tiene magnitud igual a 1 Vector nulo : Aquel vector que no tiene magnitud Vector negativo de otro vector: Aquel vector que tiene la misma magnitud del otro vector pero un ángulo con 180 o de diferencia 180 o – A A Vector Paralelo : Aquel vector que tiene la misma dirección de otro vector, aunque puede tener otro punto de aplicación Clases de vectores
    17. 17. Vectores colineales: Son aquellos vectores que tienen una misma línea de acción, o que están contenidos en una misma recta A B C Vectores coplanares: Cuando están contenidos en un mismo plano
    18. 18. Vector Resultante : Es el vector que reemplaza una serie de varios vectores. Es decir produce el mismo efecto por si solo que si estuvieran actuando todos los otros vectores a la vez. Algunas veces se trata del vector suma.
    19. 19. Componentes de un vector . Un vector puede ser representado por sus componentes, es decir las proyecciones del vector a los ejes Y y X en el plano ortogonal, o también en los ejes X, Y y Z en el espacio tridimensional . Y V V y Vx X
    20. 20. Componentes de un vector
    21. 24. Componentes Ortogonales Las componentes ortogonales, es decir perpendiculares pueden ser hallados usando las funciones trigonométricas Seno y Coseno . V Vy  Vx
    22. 25. Pregunta <ul><li>En que circunstancias un vector diferente de cero que esta en el plano xy tendría componentes de igual magnitud </li></ul><ul><li>Respuesta: Si forma un ángulo de 45 grados con el eje x </li></ul>
    23. 26. Formas para representar un vector <ul><li>Como coordenadas en un sistema de referencia </li></ul><ul><li>V = (Vx, Vy, Vz) </li></ul>Vz V Vy Z X Y Vx
    24. 27. Como coordenadas en un sistema de referencia
    25. 28. <ul><li>Con magnitud y dirección </li></ul><ul><li>P = 40 newtons, 20⁰ grados </li></ul><ul><li>Q = 60 newtons, 45⁰ noreste </li></ul>
    26. 29. <ul><li>En función de los vectores unitarios </li></ul><ul><li>V = 2 i - 5 j + 9 k </li></ul>
    27. 30. <ul><li>En función de sus cosenos directores o como vector unitario </li></ul><ul><li>V = V (cos α i + cos β j + cos γ k ) </li></ul>
    28. 31. Operaciones con cantidades vectoriales <ul><li>Adición </li></ul><ul><li>Sustracción </li></ul><ul><li>Multiplicación </li></ul><ul><ul><li>Multiplicación entre vectores </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>Producto Punto </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Producto Vectorial </li></ul></ul></ul><ul><ul><li>Multiplicación de un vector con un escalar </li></ul></ul>
    29. 32. Adición entre vectores <ul><li>Método Gráfico </li></ul><ul><ul><li>Método del polígono cerrado </li></ul></ul><ul><ul><li>Método del paralelogramo </li></ul></ul><ul><li>Método Analítico </li></ul><ul><ul><li>Ley del seno </li></ul></ul><ul><ul><li>Ley del coseno </li></ul></ul><ul><ul><li>Método de las componentes </li></ul></ul>
    30. 33. La adición entre vectores tiene las propiedades siguientes <ul><li>A + B = B + A (ley conmutativa) </li></ul><ul><li>A +(B + C) = (A + B) + C (ley asociativa) </li></ul><ul><li>λ (A + B) = λ A + λ B (ley distributiva) donde λ es una cantidad escalar </li></ul>
    31. 34. Sustracción de vectores <ul><li>La sustracción de vectores se convierte en una suma de vectores al emplear el concepto de vector negativo </li></ul>
    32. 35. La diferencia de vectores es anticonmutativa <ul><li>A – B ≠ B – A </li></ul>
    33. 36. Realizar las siguientes operaciones vectoriales a) A + B b) A - B A B -B A + B A - B
    34. 37. Método del paralelogramo <ul><li>Es mas común emplear este método entre dos vectores </li></ul><ul><li>Consiste en trazar paralelas a cada vector hasta formar un polígono cerrado de cuatro caras </li></ul><ul><li>El vector resultante estará en la diagonal del paralelogramo </li></ul>
    35. 38. Método del paralelogramo A B -B A + B A - B
    36. 39. Método del paralelogramo
    37. 40. Encontrar la resultante entre P y Q
    38. 41. Método del paralelogramo
    39. 42. Método del polígono cerrado <ul><li>Se hace coincidir los extremos de cada vector con los orígenes de los otros y se cierra el polígono con el vector resultante </li></ul>A B C R
    40. 43. Encontrar la resultante entre P y Q
    41. 44. Método del polígono cerrado
    42. 45. Considere los vectores mostrados en la figura <ul><li>¿Cuál de los siguientes vectores representa mejor al vector C – B – A </li></ul>A B C a) b) c) d) e)
    43. 46. Pregunta <ul><li>Si B se suma a A: a)¿En que condiciones el vector resultante A + B tiene una magnitud igual a A + B?, b)¿Bajo que condiciones el vector resultante es igual a cero? </li></ul><ul><li>Respuesta: a) Solo si los vectores son colineales y tienen el mismo sentido, b) Solo si los vectores son colineales, tienen sentido contrario e igual magnitud </li></ul>
    44. 48. <ul><li>Si una componente de un vector no es cero, ¿su magnitud puede ser cero?, explique </li></ul><ul><li>Respuesta: La magnitud de un vector esta dada por , por lo que si una componente no es cero, su magnitud tampoco es cero </li></ul>Pregunta
    45. 49. Pregunta <ul><li>¿La magnitud del desplazamiento de una partícula puede ser mayor que la distancia recorrida? </li></ul>No!
    46. 50. Ley del coseno <ul><li>Método analítico del paralelogramo </li></ul><ul><ul><li>Se usa para encontrar la magnitud del vector resultante </li></ul></ul><ul><ul><li>Pero matemáticamente puede usarse en cualquier triangulo para encontrar uno de sus lados </li></ul></ul>
    47. 51. A B R A Acos θ θ β φ θ α Asen θ Demostración
    48. 52. <ul><li>¿ A que operación corresponderá la siguiente expresión? </li></ul>
    49. 53. A B -B A - B A Acos θ Asen θ θ θ Demostración
    50. 54. En general B C A β φ α
    51. 55. Ley del seno A B R A Acos θ θ β φ θ α Asen θ L
    52. 56. Encontrar la resultante entre P y Q
    53. 57. Método analítico
    54. 59. DETERMINE LAS TENSIONES DE LAS CUERDAS T 1 Y T 2 SI α =45 0 Y LA FUERZA RESULTANTE ES 25 N HORIZONTAL HACIA LA DERECHA
    55. 60. T1 = 18.9 KN T2 = 12.95 KN
    56. 61. Suma de Vectores por el método de las componentes <ul><li>Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente. Supongamos que tenemos los vectores A = ( 4 , 3 ) , B = ( 2 , 5 ) . </li></ul><ul><li>Para conocer el vector suma (A+B) sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y : </li></ul><ul><li>A+B = ( 4+2 , 3+5 ) = ( 6 , 8 ) </li></ul><ul><li>Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A= (- 1 , 4 ) , B = ( 3 , 6 ) , C = (- 2 , -3 ) y D = ( 5 , 5 ): </li></ul><ul><li>A+B+C+D = (- 1+3-2+5 , 4+6-3+5 ) = ( 5 , 12 ) </li></ul>
    57. 62. Determine la Fuerza Resultante
    58. 64. Método analítico de componentes 110
    59. 65. Pregunta <ul><li>Las magnitudes de dos vectores A y B son A = 5 unidades y B = 2 unidades. Encuentre los valores mas grandes y mas pequeño posibles para el vector resultante R = A + B </li></ul><ul><li>Respuesta: R = 7u. y R = 3u. </li></ul>
    60. 66. Pregunta <ul><li>¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo?, Explique </li></ul><ul><li>Respuesta: Nunca la magnitud de un vector es negativa </li></ul>
    61. 67. Pregunta <ul><li>Dos vectores tienen magnitudes diferentes. ¿Su suma puede ser cero? </li></ul><ul><li>Respuesta: Nunca </li></ul>
    62. 68. Encontrar la resultante entre P y Q por componentes
    63. 69. Vectores en el espacio coordenadas rectangulares
    64. 70. Vectores unitarios directores
    65. 71. Cosenos directores
    66. 73. Multiplicación de un escalar por un vector <ul><li>Sea λ un escalar y A un vector entonces definimos el producto λ A </li></ul><ul><li>Si multiplicamos λ A = B </li></ul><ul><li>Existen varios casos dependiendo del valor y signo de λ </li></ul><ul><li>0< λ <1; el vector resultante mantiene la misma dirección pero se reduce λ veces </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =0,5=1/2 => B= 0.5 A </li></ul><ul><li>λ = 1; el vector resultante es el mismo vector </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =1 => B= 1 A </li></ul><ul><li>λ >1; el vector resultante mantiene la misma dirección pero aumenta λ veces </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =2 => B= 2 A </li></ul>
    67. 74. <ul><li>λ = 0; el vector resultante se convierte en el vector nulo </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =0 => B= 0 A=0 </li></ul><ul><li>-1< λ <0; el vector resultante cambia su dirección 180⁰ pero se reduce λ veces </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =-0,5=-1/2 => B=- 0.5 A </li></ul><ul><li>λ = -1; el vector resultante se convierte en el negativo del vector </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =-1 => B= -1 A </li></ul><ul><li>λ <-1; el vector resultante cambia su dirección 180⁰ pero aumenta λ veces </li></ul><ul><li> Ejemplo: λ =-2 => B= -2 A </li></ul>
    68. 75. Pregunta <ul><li>Exprese el vector u de la figura en términos de los vectores a , b y c </li></ul><ul><li>A) –a + b + c </li></ul><ul><li>B) a + b + c </li></ul><ul><li>C) a – b + c </li></ul><ul><li>D) –a – b – c </li></ul><ul><li>E) –a – b + c </li></ul>a b u c
    69. 76. <ul><li>¿En cual de los siguientes casos la longitud de a + b es menor que la longitud de a – b? </li></ul><ul><li>A) B) </li></ul><ul><li>C) D) </li></ul>b a b a b b a a
    70. 78. Producto de vectores <ul><li>Producto escalar o producto punto </li></ul><ul><li>Producto vectorial o producto cruz </li></ul>
    71. 79. Producto escalar o producto punto <ul><li>Representación </li></ul><ul><li>θ debe ser el menor ángulo entre los vectores </li></ul><ul><li>Ejemplo físico: </li></ul>
    72. 80. Aplicación A B Ap Bp θ
    73. 81. Posibles casos del producto escalar <ul><li>Si θ < 90⁰ => C es positivo; cos θ > 0 </li></ul><ul><li>Si θ = 90⁰ => C es cero; cos θ = 0 </li></ul><ul><li>Si θ > 90⁰ => C es negativo; cos θ < 0 </li></ul>
    74. 82. Producto vectorial o producto cruz <ul><li>θ debe ser el menor ángulo entre los vectores </li></ul>
    75. 83. Propiedades del producto cruz <ul><li>El resultado de la operación es un tercer vector </li></ul><ul><li>El modulo del vector resultante es ABsen θ donde θ es el menor ángulo entre los vectores </li></ul><ul><li>El vector resultante quedará en una recta perpendicular al plano formado por los vectores A y B y cuya dirección estará dada por la regla de la mano derecha </li></ul><ul><li>El producto cruz no es conmutativo, es decir </li></ul>
    76. 84. Casos particulares del producto cruz <ul><li>Si θ = 0⁰ => C = AB(0); sen θ = 0 </li></ul><ul><li>Si θ = 90⁰ => C = AB(1); sen θ = 1 </li></ul><ul><li>Si θ = 180⁰ => C = AB(0); sen θ = 0 </li></ul><ul><li>El producto vectorial de un vector por si mismo es cero </li></ul>
    77. 85. Aplicación <ul><li>Si los vectores A y B forman un paralelogramo, entonces el modulo del producto cruz representa el área del paralelogramo </li></ul>
    78. 86. Demostración A B θ
    79. 87. Vectores unitarios directores
    80. 88. Vectores unitarios directores <ul><li>A cada eje coordenado x, y, z se le asigna correspondientemente un vector unitario i, j, k </li></ul><ul><li>Todo vector unitario tiene por definición modulo 1 y es adimensional </li></ul><ul><li>Cada vector unitario tiene la dirección de su propio eje </li></ul><ul><li>Cualquier cantidad real en un eje multiplicada por el correspondiente vector unitario, se convierte en una magnitud vectorial con la dirección de ese eje según el signo de la cantidad </li></ul>
    81. 89. Vectores unitarios directores a i = a b j = b c k = c Notación: vector unitario i = i = =
    82. 90. Vectores unitarios y producto punto <ul><li>i•i = </li></ul><ul><li>i•j = </li></ul>j•j = j•k = k•k = i•k = 0 1 0 0 1 1
    83. 91. Vectores unitarios y producto cruz <ul><li>ixi = </li></ul><ul><li>ixj = </li></ul><ul><li>ixk = </li></ul>jxj = jxk = jxi = kxk = kxi = kxj = k 0 i j 0 0 -j -k -i
    84. 92. <ul><li>El vector resultante de la operación producto cruz se lo puede obtener como la determinante de la matriz que forman los vectores </li></ul>
    85. 93. Producto vectorial en R3
    86. 94. Problema <ul><li>Sean los vectores D = 2i – 3pj + 2k, E = i + 2j + 3k y F = -2i + 2j + 2k </li></ul><ul><li>1) El valor de p para que D y E sean perpendiculares es: </li></ul><ul><li>a) 3/4 c) -4/3 e) 0 </li></ul><ul><li>b) 4/3 d) -3/4 </li></ul>
    87. 95. <ul><li>2) El ángulo entre E y F es: </li></ul><ul><li>a) 90 c) 51.9 e) 22.2 </li></ul><ul><li>b) 72.4 d) 38.1 </li></ul>
    88. 96. <ul><li>3) El ángulo que el vector F forma con el semieje x positivo es: </li></ul><ul><li>a) 125.3 c) 54.7 e) -35.3 </li></ul><ul><li>b) 60 d) 35.3 </li></ul>
    89. 97. <ul><li>4) El vector 2 E – 3 F es: </li></ul><ul><li>a) -4i + 10j + 12k c) 8i – 2j e) 4i - j </li></ul><ul><li>b) 4i – 10j – 12k d) -8i + 2j </li></ul>
    90. 98. <ul><li>5) un vector perpendicular a E y F es: </li></ul><ul><li>A) 2i + 8j + 6k </li></ul><ul><li>B) 2i – 8j + 6k </li></ul><ul><li>C) -2i +8j + 6k </li></ul><ul><li>D) -2i + 8j – 6k </li></ul><ul><li>E) -2i – 8j + 6k </li></ul>
    91. 99. Problema <ul><li>Los vectores A y B forman entre si un ángulo de 30⁰. El modulo de A vale 3. Hallar cual debe ser el modulo de B para que A – 2B sea perpendicular a A . </li></ul><ul><li>a) 1.73 </li></ul><ul><li>b) 6.00 </li></ul><ul><li>c) 3.00 </li></ul><ul><li>d) 0.77 </li></ul><ul><li>e) 0.57 </li></ul>
    92. 100. <ul><li>Sean A, B, C y D cantidades físicas vectoriales diferentes. ¿Cuál de las siguientes no es posible realizar? </li></ul><ul><li>A) A = B + C + D </li></ul><ul><li>B) A = B x (C x D) </li></ul><ul><li>C) B = A●(C x D) </li></ul><ul><li>D) D = (B●C)A </li></ul>
    93. 101. <ul><li>La figura muestra una circunferencia de centro “O”. El vector X en función de los vectores A y B es: </li></ul><ul><li>a) X = B/2 – A/2 </li></ul><ul><li>b) X = A/2 – B/2 </li></ul><ul><li>c) X = B – A </li></ul><ul><li>d ) X = B – A/2 </li></ul>0 X A B
    94. 102. <ul><li>De acuerdo al grafico mostrado, si A + B = 3i entonces el vector B es: </li></ul><ul><li>a) 8i + 4.6j b) 11i + 4.6j </li></ul><ul><li>c) 5i – 3j </li></ul><ul><li>d) 5i – 4.6j </li></ul><ul><li>e) -11i – 4.6j </li></ul>30º A y x
    95. 105. <ul><li>Se tienen tres vectores A, B y C de magnitudes 10, 15 y 20 unidades respectivamente, como se muestran en la figura. El valor de la operación: (A●C) + (B●C) es </li></ul><ul><li>A) -12.3 </li></ul><ul><li>B) 12.3 </li></ul><ul><li>C) 275,8 </li></ul><ul><li>D) -275,8 </li></ul>
    96. 106. 10 A=300 5 Z(m) X(m) Z(m)
    97. 107. <ul><li>Los vectores indicados en la figura tienen la misma magnitud y se encuentran en el mismo plano. ¿Cuál de las siguientes operaciones dará como resultado un vector de mayor magnitud? </li></ul><ul><li>a) (A x C)●B </li></ul><ul><li>b) (A x B) x (B x C) </li></ul><ul><li>c) (A - C) x B </li></ul><ul><li>d) (A + C) x B </li></ul>
    98. 108. ESO ES TODO POR HOY:::::: GRACIAS!

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