1. จำำนวนในระบบเลขฐำน
ต่ำงๆ
ระบบเลขฐำน

2. ตัวเลขในฐำนต่ำงๆ
 ฐำน 2 มีเลข 0,1
 ฐำน 8 มีเลข 0,1,2,3,4,5,6,7
 ฐำน 10 มีเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
 ฐำน 16 มีเลข 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
 Place Value : ระบบเลขที่แต่ละหลักมีค่ำประจำำหลัก
 ค่ำประจำำหลัก คือ ค่ำของเลขฐำนนั้นๆ ยกกำำลังตำม
ตำำแหน่งหลักเริ่ม จำก ศูนย์

3. ตัวเลขในฐำนต่ำงๆ
 พิจำรณำจำำนวน 2134 ในฐำนสิบ หมำยถึง
 ในระบบเลขฐำน 8 ของ 2134 หมำยถึง
)104()103()101()102(2134 0123
10 ×+×+×+×=
)84()83()81()82(2134 0123
8 ×+×+×+×=
10
101010
1116
)4()83()641()5122(
=
+×+×+×=

4. กำรเปลี่ยนจำำนวนในระบบฐำน
ต่ำงๆ
 นิยมใช้เลขฐำนสิบเป็นตัวเชื่อมในกำรแปลงเลขฐำน
 กำรแปลงเลขฐำน 10 เป็น ฐำนใดๆ
 ให้ เป็นจำำนวนธรรมชำติและ เป็น
สัมประสิทธิ์ของจำำนวนในระบบเลขฐำน b นั่นคือ
10N kaaa ,...,, 10
01
2
2
1
110 ,..., ababababaN k
k
k
k +++= −
−
),...,2,1,0(1 kiba =<เมื่อ

5. กำรเปลี่ยนจำำนวนในระบบฐำน
ต่ำงๆ
 พิจำรณำรูปของ ใหม่ดังนี้
 นั่นคือ หำรด้วย จะเหลือเศษ จะได้
 นั่นคือ หำรด้วย จะเหลือเศษ จะได้
10N
01
2
1
1
10 )](...)()[( aabababN k
k
k
k ++++= −
−
−
10N 0ab
)()(...)()( 12
2
1
1
1 abababaq k
k
k
k ++++= −
−
−
12
3
1
2
)](...)()[( aababab k
k
k
k ++++= −
−
−
1q b 1a

6.  นั่นคือ หำรด้วย จะเหลือเศษ จะได้
 ทำำตำมวิธีนี้ไปจนเหลือเศษเป็น และ
 จะได้ว่ำ
กำรเปลี่ยนจำำนวนในระบบฐำน
ต่ำงๆ
23
3
1
2
2 )(...)()( abababaq k
k
k
k ++++= −
−
−
2q b 2a
23
4
1
3
)](...)()[( aababab k
k
k
k ++++= −
−
−
1−ka kk aq =
bkk aaaaaN )...( 012110 −=

7. กำรเปลี่ยนจำำนวนในระบบฐำน
ต่ำงๆ
 Ex1 จงเปลี่ยน เป็นเลขฐำน 8
วิธีทำำ ให้
และ
เนื่องจำก ดังนั้น
101116
0
1
1
2
2
3
310 8881116 aaaa +++=
8,,, 3210 <aaaa
4)1398(111610 +×= 40 =a
1391 =q
3)178( +×= 31 =a
172 =q
1)28( +×= 12 =a
ดังนั้น
ดังนั้น
ให้
ให้

8. การเปลี่ยนจำานวนในระบบฐาน
ต่างๆ
 Ex1 (ต่อ)
 การเปลี่ยนจำานวนจากระบบเลขฐานหนึ่งไปฐานอื่นๆ จะใช้
การเปลี่ยนเป็นเลขฐานสิบก่อน
33 2 aq ==
48381821116 123
10 +×+×+×=
82134=
ให้
ดังนั้น
#

9. การเปลี่ยนจำานวนในระบบฐาน
ต่างๆ
 Ex2 จงเปลี่ยน ให้เป็นเลขฐาน 7
วิธีทำา ให้
สามารถใช้วิธีการหารสั้นได้ดังนี้
หรือ
ดังนั้น
นั่นคือ
4231
10
012
4 45414342231 =×+×+×=
7 45
6 เศษ 03 a=
0 เศษ 16 a=
3)67(45 +×= เศษ 30 =a
11 6 aq ==
7104 6345231 ==
#

10. การเปลี่ยนจำานวนในระบบฐาน
ต่างๆ
 Ex3 จงเปลี่ยน ให้เป็นเลขฐาน 5
วิธีทำา
123BA
012
12 121112312103 ×+×+×=BA
10148711361440 =++=
14875
2975 เศษ 2
595 เศษ 2
115 เศษ 4
2 เศษ 1
ดังนั้น 51012 2142214873 ==BA
#

11. ระบบเลขฐานสอง
 สามารถเขียนจำานวนในระบบเลขฐาน 2 ได้ตามลำาดับดังนี้
ฐาน 10 ฐาน 2
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
ฐาน 10 ฐาน 2
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
16 10000
...
 จำานวนในระบบเลขฐานสอง
คือ 0 และ 1
 การเปลี่ยนเลขฐานใช้วิธีเดียว
กับที่ผ่านมา
 ทำาให้เลขฐานใดๆอยู่ในเลข
ฐานสิบ
 ใช้การหารด้วย 2 เพื่อเอา
เศษ (modulus)

12. ระบบเลขฐานสอง
Ex4 จงเปลี่ยน 715 ให้เป็นเลขฐาน 2
วิธีทำา 2 715
2 357
2 178
2 89
2 44
2 22
2 11
2 5
2 2
1
เศษ 1
เศษ 1
เศษ 0
เศษ 1
เศษ 0
เศษ 0
เศษ 1
เศษ 1
ดังนั้น 715 =111001011
#

13. ระบบเลขฐานสอง
 Ex5 จงเปลี่ยนเลขฐานสองต่อนี้ให้เป็นเลขฐาน 10
 110101, 11010001, 10000100000
วิธีทำา
012345
212021202121110101 ×+×+×+×+×+×=
5310401632 =+++++=
01234567
212020202120212111010001 ×+×+×+×+×+×+×+×=
209100016064128 =+++++++=
510
212101000010000 ×+×=
1056321024 =+= #
#
#

14. การบวกลบเลขฐานสอง
 การบวกเลขฐานสองมีเพียง 4 กรณีเท่านั้น
 0 + 0= 0
 0 + 1 = 1
 1 + 0 = 1
 1 + 1 = 10
 การลบเลขฐานสองมีเพียง 4 กรณีเท่านั้น
 0 – 0 = 0
 1 – 0 = 1
 1 – 1 = 0
 10 – 1 = 1

15. การบวกลบเลขฐานสอง
 การบวกลบเลขฐานสองหลายหลัก
 เหมือนการบวกเลขฐานสิบโดยเริ่มบวกที่หลักขวาสุด
 เหมือนการลบเลขฐานสิบโดยเริ่มบวกที่หลักขวาสุด
1
1 1 1 0 0
1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
ตัวทด
+
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
0
-
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
1 0
-
1 0 1 0 1
1 0 0 1 1
0 0 0 1 0
-
ยืม

16. การบวกลบเลขฐานสอง
 Ex6 จงหาผลบวกของ 0011 1110 กับ 0111 0101
0 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0 1
+
11001101
#

17. การบวกลบเลขฐานสอง
 Ex7 จงหาผลบวกของ
101001+110111+111001+11101+101111+111110
วิธีทำา ใช้การตั้งบวก
1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1
0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0
+
+
+
+
+
1 0 0 1 0 0 0 1 1
#

18. การบวกลบเลขฐานสอง
 Ex8 จงแสดงการบวกและลบเลขฐาน 2 ของ
 24010 กับ 13010
วิธีทำา เปลี่ยนเลขฐาน 10 ให้เป็นเลขฐานสองจะได้
240=1111 0000 และ 130=1000 0010
ดังนั้นจะได้
101110010=370
01101110=110
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0 1 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 1 1 1 0
+ -
#

19. การบวกลบเลขฐานสอง
 Ex9 จงแสดงการบวกและลบเลขฐาน 2 ของ
 110 101 + 101 010
 101 110 + 101 001
 101 011 + 10 110
 111 111 + 101 001
 100 101 – 11 011
 10 11 – 1 11
 11 10 – 10 10
 101 101 – 100 110
 10 011 – 11 101

20. วงจรสำาหรับการบวก
 การบวกเลขฐานสองมีเพียง 4 กรณี
 0 + 0 = 0 0
 0 + 1 = 0 1
 1 + 0 = 0 1
 1 + 1 = 1 0
 วงจรสำาหรับการบวกจะส่งสัญญาณออก 2 สัญญาณ
 Carry Output จะสอดคล้องกับ AND-Gate หรือ “P Λ Q”
 SUM Output จะสอดคล้องกับประพจน์ “(P V Q) Λ ~(P Λ Q)”
INPUT OUTPUT
P Q CARRY SUM
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 0
P Λ Q (PVQ)Λ~(PΛQ)

21. วงจรสำาหรับการบวก
 วงจรสำาหรับการบวกเลขฐานสองสามารสร้างได้ดังนี้
P
Q SUM
Carry
วงจร Half - Adder

22. วงจรสำำหรับกำรบวก
 กำรบวกเลขฐำนสองหมำยถึงกำรบวกเลขทีละสองจำำนวน
 กำรบวกเลขฐำนสองสำมจำำนวน P+Q+R
P
Q
C S
+
P
Q
C1 S1
+
C1 S1
R
C2 S2
+

23. วงจรสำำหรับกำรบวก
 กำรบวกเลขฐำนสองสำมจำำนวน P+Q+R (ต่อ)
INPUT OUTPUT
P Q R Carry SUM
1 1 1 1 1
1 1 0 1 0
1 0 1 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
0 0 0 0 0

24. วงจรสำำหรับกำรบวก
P
Q
R
C1
S1
C2
S
2
C
วงจร Full – Adder สำำหรับกำรบวก P+Q+R

25. วงจรสำำหรับกำรบวก
 วงจรกำรบวกเลข 3 หลัก 2 จำำนวน
P Q R
+ S T U
W X Y Z
R
U C1
Q
T
P
S
C2
S1=Z
S2=Y
S3=X
C3=W