cours de modelisation mse 2013

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INTRODUCTION A LA MODELISATION MACROECONOMETRIQUE
Amen Tayo Philémon DOVOEDO
Table des matières
Chapitre 1
Généralités sur la modélisation économique et l‟évolution de la
modélisation macroéconométrique
I. Définition d‟un modèle économique
II. Objectifs de la modélisation économique
III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique
Chapitre 2
Modélisation macroéconométrique classique ou structurelle
I.Terminologie relative aux modèles économétriques à
équations simultanées et écriture matricielle de ces modèles
II. Construction des modèles macroéconométriques
II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la
comptabilité nationale
II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard

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Chapitre 3
Analyse et évaluation des modèles macroéconométriques
I. Analyse des modèles macroéconométriques
I.1. Simulation historique et prévision
I.2.Définition et calcul des multiplicateurs d‟un
modèle macroéconométrique
I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles
I.4. Simulation stochastique
II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques
II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles :
les statistiques d‟erreur prévisionnelle
II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle
Objectif du cours : initiation à la modélisation macroéconométrique structurelle
en vue de la prévision et de la simulation des politiques économiques.
Volume horaire : 30 heures, dont 22 pour le cours et les exercices d‟application,
et 8 heures de Travaux Pratiques (construction, estimation et simulation du
modèle I de L. Klein).
Chargé du cours : Amen Tayo P. Dovoédo, docteur en économie mathématique
et économétrie et Ingénieur Statisticien Economiste.

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Introduction
La modélisation macroéconométrique a été lancée par les travaux de Tinbergen
qui a construit le premier modèle destiné à l‟étude des cycles économiques aux
Etats Unis dans les années 30. L‟approche de Tinbergen a ensuite été reprise et
développée par L. Klein à partir des années 40 et conduisit à la généralisation de
la construction de modèles reposant essentiellement sur la théorie keynésienne
dans les années 60.Ces modèles étaient destinés à la prévision économique et à
l‟analyse des politiques économiques. Ils ont été l‟objet de critiques et ont été
remis en cause après le premier choc pétrolier, suite aux erreurs de leurs
prévisions. D‟autres approches ont alors vu le jour et entrent depuis en
concurrence avec la modélisation macroéconométrique classique. Il s‟agit
notamment de la modélisation autorégressive vectorielle (VAR), lancée par
Sims et Sargent et des modèles DGSE (Equilibre Général Dynamique et
Stochastique). Ces nouvelles approches ne seront pas développées dans ce cours
introductif.

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Modélisation, A.Dovoédo
CHAPITRE 1
Généralités sur la modélisation économique et l’évolution de la
modélisation macroéconométrique.
Ce premier chapitre expose brièvement les généralités relatives à la modélisation
économique quantitative et les principales étapes du développement de la
modélisation macroéconométrique.
I. Définition d‟un modèle économique
Il s‟agit d‟une représentation schématique de la réalité économique et sociale,
sous la forme d‟une équation ou d‟un groupe d‟équations traduisant ou
explicitant un « comportement », c'est-à-dire une décision d‟un groupe d‟agents
économiques (décision de consommer, d‟épargner, d‟investir, de produire, etc.),
ou une relation de définition ou d‟équilibre entre plusieurs variables
économiques.
Chaque équation de « comportement » reflète les a priori théoriques du
modélisateur, et s‟insère dans un cadre comptable qui décrit les opérations
économiques des différents agents économiques, lorsqu‟il s‟agit d‟un modèle
macroéconomique.
Le fondement théorique des équations de comportement est le plus souvent
l‟hypothèse de recherche d‟un optimum par les agents individuels, c'est-à-dire

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l‟hypothèse de « rationalité » : recherche du maximum de satisfaction ou
d‟utilité pour le consommateur, et du maximum de profit pour la firme.
L‟interaction de ces comportements conduit à un état d‟équilibre de l‟économie,
où l‟offre et la demande sur les différents marchés s‟ajustent soit par
l‟intermédiaire des mouvements de prix, soit par rationnement quantitatif.
L‟équilibre des différents marchés peut être perturbé par l‟action de l‟état ou du
gouvernement qui est supposé agir de façon autonome (politique économique
discrétionnaire).
Les objectifs de la modélisation économique se situent à deux niveaux : d‟une
part, l‟analyse formalisée des comportements isolés d‟agents économiques, et
d‟autre part l‟analyse de l‟interaction de ces comportements individuels et la
compréhension des mécanismes de fonctionnement global de l‟économie.
II. Objectifs de la modélisation économique
II.1. Analyse des comportements isolés
Il s‟agit dans ce cas de comprendre et de prévoir le comportement d‟un groupe
donné d‟agents économiques (consommateurs, entreprises, etc). Les
économistes s‟appuient alors généralement sur un ou plusieurs modèles
théoriques qui proposent une description formalisée du comportement étudié.
Ces modèles théoriques, fondés sur l‟observation de la réalité, mettent en avant

- 6 -
des variables explicatives plausibles du comportement analysé, et précisent les
effets attendus de ces variables. Ainsi, par exemple, on s‟attend qu‟une
augmentation de leur revenu réel disponible conduise les ménages à augmenter
leurs dépenses de consommation, et qu‟une hausse du chômage les incite au
contraire à les réduire et à constituer une épargne de « précaution ».
Mais il arrive qu‟un modèle théorique soit incapable de prédire le signe exact de
l‟effet d‟une variable explicative. Par exemple, on sait que la hausse du niveau
général des prix (c‟est à dire l‟inflation) a deux effets antagonistes sur la
consommation des ménages : d‟une part elle conduit les ménages à réduire leur
consommation et à augmenter leur épargne pour compenser la perte du pouvoir
d‟achat de leurs actifs financiers (effet de « reconstitution de l‟encaisse
réelle ») ; d‟autre part, elle les incite aussi à augmenter leur consommation de
biens dont ils pensent que le prix va croître rapidement. L‟ordre de grandeur de
chacun de ces deux effets contraires n‟est pas connu a priori et ne peut qu‟être
estimé à partir de données concrètes et l‟estimation d‟une fonction de
consommation.
La modélisation des comportements isolés par la spécification et l‟estimation
d‟une équation ou d‟un petit groupe d‟équations vise ainsi plusieurs buts :
- Vérifier tout d‟abord l‟adéquation du modèle théorique proposé à la
réalité, supposée correctement représentée par les données statistiques relatives

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aux variables retenues dans le modèle. L‟estimation économétrique du modèle
théorique ne saurait cependant apporter la preuve formelle de la justesse ou de
l‟inadéquation de ce modèle. Une estimation statistiquement correcte du modèle
permet de ne pas le rejeter, mais n‟est pas un gage de son adéquation définitive
et intemporelle à la réalité. Par contre, une estimation non significative est le
signe que le modèle est certainement inapproprié.
- Le deuxième but de la modélisation des comportements est l‟estimation
précise des effets des variables économiques qui influencent le comportement
étudié. Exemple : chiffrer la valeur exacte de la propension à consommer les
revenus salariaux et celle à consommer les revenus non salariaux, pour pouvoir
comprendre et prévoir les fluctuations de la consommation.
- Le troisième but de la modélisation des comportements individuels est de
lever l‟incertitude relative au signe de l‟effet de certaines variables sur le
comportement étudié, signalée plus haut (cas de l‟effet de l‟inflation sur la
consommation des ménages).
II.2. Analyse du fonctionnement global de l‟économie
Le fonctionnement d‟ensemble de l‟économie résulte de l‟interaction de
nombreux comportements isolés, modélisables chacun par une équation ou un
groupe d‟équations. Il est donc schématisé par ce systèmes d‟équations

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interdépendantes : la consommation est liée au revenu, qui est liée à la
production qui, elle-même est un déterminant de l‟investissement. Ce modèle de
fonctionnement global de l‟économie se caractérise donc par des simultanéités,
et peut de ce fait être de grande taille et très complexe.
La justification d‟un modèle global complexe est de mettre en évidence et de
permettre une estimation plus efficace de la simultanéité des comportements
isolés des différents agents économiques. Le modèle est donc un instrument
indispensable, qui doit être cependant sans cesse amélioré et remis en question,
compte tenu des présupposés théoriques des constructeurs lors de la
spécification des différentes équations de comportement, mais aussi de
l‟incertitude liée à l‟estimation des coefficients des variables explicatives.
III. Etapes de l‟évolution de la modélisation macroéconométrique
La dernière partie de ce chapitre introductif est consacré à un bref historique de
la modélisation macroéconométrique.
On peut identifier plusieurs phases dans l‟évolution de la construction des
modèles macroéconométriques.
- La phase de lancement, qui va des années 30 au début des années 60. On
considère que l‟économiste hollandais Jan Tinbergen est l‟initiateur de la
modélisation macroéconométrique, avec la publication en 1937 de son ouvrage

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consacré à la modélisation de l‟économie américaine en vue de l‟analyse des
cycles économiques. Il s‟appuie pour ce faire, sur les travaux de T. Haavelmo,
qui est considéré comme le fondateur de l‟économétrie moderne pour avoir été
le premier à formuler de façon probabiliste l‟estimation des relations
économiques. Tinbergen a, quant à lui, inspiré Lawrence Klein qui a construit
dans les années 50 le premier modèle macroéconométrique de l‟économie
américaine, destiné à la prévision et à la simulation de politiques économiques.
Cet économiste a également participé activement aux travaux de la „Cowles
Commission‟ portant sur la mise au point et au développement des méthodes
statistiques rigoureuses d‟estimation et de tests nécessaires à la construction de
ces modèles.
- La phase de généralisation de la construction de ces modèles dans
l‟ensemble des pays développés, dans les années 60 et la première moitié des
années 70. Plusieurs modèles concurrents sont construits pour l‟économie
américaine par des instituts de prévision privés, académiques ou affiliés à la
Réserve Fédérale (Wharton E.F.A., Chase Econometrics, Université du
Michigan, etc.). Cette activité de modélisation s‟étend rapidement aux pays
européens tels que la France, l‟Angleterre, les Pays Bas, etc., mais en se
cantonnant surtout aux administrations publiques (ministères de l‟Economie et
des finances, instituts de Statistique comme l‟INSEE en France). Ces modèles

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reposaient essentiellement sur la théorie kéynésienne ou la synthèse néo
classique pour certaines équations.
- La phase de critique, de contestation théorique et de renouvellement
méthodologique, qui commence au milieu des années 70, avec le premier choc
pétrolier qui mit en évidence les insuffisances prévisionnelles de la plupart de
ces modèles. Cette phase débute par des tentatives d‟amélioration des
fondements théoriques des modèles, par une représentation plus affinée des
comportements des agents et un renforcement des liens de la modélisation
macroéconomique avec la théorie microéconomique. Elle se caractérise ensuite
par la formulation de critiques virulentes à l‟encontre des modèles
macroéconométriques, suite à leurs mauvaises performances prévisionnelles
pendant le premier choc pétrolier en 1973. Le chef de file de cette remise en
cause est Robert Lucas (prix Nobel), dont la fameuse critique, fondée sur la
théorie des anticipations rationnelles, démontrait l‟impossibilité de mise en
œuvre de politiques économiques efficaces à l‟aide de ces modèles, en raison du
lien entre les paramètres de ces modèles et les variables de politique
économique. Bien que la plupart des constructeurs de modèles jugent cette
critique « exagérée » ou même non pertinente pour l‟économie américaine peu
sujette à l‟époque à des changements structurels significatifs, bon nombre
d‟entre eux essaient d‟en tenir compte dans la spécification des équations de

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leurs modèles, en introduisant des variables d‟anticipation, c'est-à-dire des
projections futures de certaines variables endogènes importantes (prix, offre de
monnaie, etc.). Cette démarche a donné naissance aux modèles à anticipations
rationnelles et à la mise au point de méthodes d‟estimation spécifiques requises
par ces modèles.
Une autre critique des modèles macroéconométriques « traditionnels », faite par
Christopher Sims, est la classification arbitraire des variables de ces modèles en
variables endogènes et exogènes. Les variables endogènes sont expliquées et
déterminées par le modèle, tandis que les variables exogènes sont déterminées
en dehors du modèle. Cette classification se traduit par l‟adoption de critères
d‟identification arbitraires et dépourvus de crédibilité, selon cet économiste
(prix Nobel 2011) qui lance dans les années 70 et 80 la modélisation
autorégressive vectorielle (VAR en anglais), dans laquelle les variables non
déterministes sont toutes endogènes et interagissent les unes avec les autres.
Cette approche conduit à la réduction du nombre de variables endogènes et donc
de la taille des modèles, puisque chaque variable est expliquée par ses propres
valeurs retardées et celles des autres variables, ce qui conduit à l‟augmentation
démesurée du nombre de paramètres inconnus à estimer.
La quatrième phase de l‟histoire de la modélisation macroéconométrique se
caractérise par une mise en cause théorique plus radicale et une sophistication

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accrue des fondations microéconomiques de ces modèles, qui permettent
l‟émergence des modèles RBC (modèles des cycles réels) puis des modèles
d‟Equilibre Général Dynamiques et Stochastiques (« DSGE models » en
anglais). Ces modèles essaient d‟intégrer les rigidités nominales et les
nombreuses imperfections de marchés présentes dans les économies
industrialisées mais ignorées dans les modèles macroéconométriques
traditionnels.
Notons pour clore ce bref chapitre introductif que la modélisation économique
quantitative ne se cantonne pas à la sphère macroéconomique. Depuis plusieurs
décennies, des modèles microéconométriques décrivant et formalisant les
dépenses de consommation des ménages et exploitant les données fournies par
les enquêtes budget-consommation, ont été construits dans plusieurs pays. Ces
modèles expliquent la demande individuelle ou simultanée des différents biens
de consommation (courbes d‟Engel, systèmes linéaires ou log-linéaires des
dépenses, etc.). De même plusieurs modèles sectoriels agricoles décrivant le
comportement de production et d‟investissement des agriculteurs ont été
construits dans quelques pays en développement dans les années 70 par la
Banque mondiale et des universités américaines. Enfin signalons également le
développement de la modélisation des marchés d‟actifs financiers qui a donné

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lieu à la naissance d‟outils d‟estimation économétrique spécifiques (modèles
ARCH et GARCH) introduits par les travaux de Engle (1987).

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CHAPITRE 2
MODELISATION MACROECONOMETRIQUE CLASSIQUE OU STRUCTURELLE
Ce chapitre est une introduction à la modélisation macroéconométrique
classique ou structurelle. Il comprend deux parties : la première partie aborde la
terminologie et l‟écriture matricielle des modèles macroéconométriques, tandis
que la deuxième examine la formulation théorique de ces modèles en s‟appuyant
sur l‟exemple de maquette proposé par l‟un des pionniers de la modélisation
macroéconométrique, L. Klein, prix Nobel d‟économie, dans l‟un de ses
ouvrages consacrés à ce sujet ( Lectures in Econometrics (1983)).
I. Terminologie relative aux modèles économétriques à équations
simultanées et écriture matricielle de ces modèles
I.1. Terminologie
Les variables
Les variables d‟un modèle (macroéconométrique) à équations simultanées
sont de deux types : les variables endogènes, expliquées et déterminées
conjointement par le modèle, et les variables exogènes, qui contribuent à
l‟explication des variables endogènes, mais qui ne sont pas expliquées par
elles. Les variables exogènes elles mêmes sont classées en variables de
contrôle, ou de décision, ou instruments, qui sont, comme leur nom
l‟indiquent, fixées et contrôlées par un décideur, et en variables
d‟environnement qui ont une évolution autonome.

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Dans un modèle à équations simultanées, les variables dites endogènes sont
des variables à la fois expliquées et explicatives. Les variables endogènes
décalées ont le même statut que les variables exogènes. L‟ensemble des
variables exogènes et des variables endogènes décalées d‟un modèle
constitue les variables qualifiées de « prédéterminées »
Les équations
Les équations constituant un modèle reposant sur une théorie économique
sont dites « structurelles ». Par définition, une équation structurelle peut
inclure plusieurs variables endogènes et plusieurs variables exogènes. Les
variables du modèle exclues d‟une équation structurelle peuvent être
considérées comme présentes dans cette équation avec des coefficients nuls
(cette convention est utile pour l‟écriture matricielle d‟un modèle à équations
simultanées).
Le nombre d‟équations d‟un modèle doit être égal à son nombre de variables
endogènes.
On distingue 4 types d‟équations structurelles :
1. Les équations de comportement : elles expliquent les comportements des
agents économiques (demande et offre d‟un bien, comportement
d‟investissement des entreprises, etc.).
2. Les équations « technologiques » : elles décrivent en particulier la
combinaison productive des facteurs de production (fonctions de
production).

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3. Les équations institutionnelles : ce sont des relations ou des règles définies
par les administrations fiscales, financières ou autres, d‟un pays (par exemple
la liaison entre les différents impôts et taxes et le revenu des imposables).
4. Les identités, qui définissent certaines variables, ou qui sont des égalités
comptables entre certaines variables.
I.2. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées
Soit Z le vecteur-colonne contenant les g variables endogènes d‟un
modèle à équations simultanées, et X le vecteur-colonne des k variables
exogènes. On suppose que le décalage maximal des variables endogènes est égal
à un. On peut écrire ce modèle dynamique d‟ordre un sous la forme matricielle
suivante en omettant pour l‟instant le vecteur des erreurs :
1100  ttt ZAXBZA
Avec : A0 = matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes
courantes ;
A1= matrice (gxg) des coefficients structurels des variables endogènes
décalées ;
B0= matrice (gxk) des coefficients structurels des variables exogènes
courantes ;

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Exemple
Soit le modèle keynésien simplifié :
)4(
)3(
)2()(
)1()(
10
110
10
tttt
tt
ttt
ttt
GICY
YT
YYI
TYC








Avec : C = dépenses de consommation ; I = investissement ; T = impôts ;
Y = revenu ; G = dépenses publiques (exogènes).
Les variables endogènes de ce modèle bien connu sont : Ct, It, Tt, et Yt.
Les variables prédéterminées sont Gt (exogène) et Yt-1 (revenu décalé).
On peut réécrire les équations du modèle en déplaçant à gauche du signe
«= » les variables endogènes, et à droite les constantes et les variables
prédéterminées :
tttt
tt
ttt
ttt
GICY
YT
YYI
YTC





01
1101
011



D‟où l‟écriture matricielle du modèle :






















































































1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
11
0000
0000
000
0000
1
10
0
0
0
1011
100
010
01
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Y
T
I
C
G
Y
T
I
C








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C'est-à-dire avec les notations introduites plus haut :
1100  ttt ZAXBZA , A0 étant la matrice (4x4) des coefficients des 4
variables endogènes courantes regroupées dans le vecteur Zt, A1, la
matrice des coefficients des
variables endogènes décalées Zt-1, et B0 la matrice des termes constants et
du coefficient de la variable exogène Gt.
D‟une façon générale, un modèle macroéconométrique à équations
simultanées comportant g variables endogènes courantes rassemblées dans
le vecteur Zt, avec un décalage maximum d‟ordre p de ces variables
endogènes , k variables exogènes courantes regroupées dans le vecteur Xt
et ayant des décalages jusqu‟à l‟ordre q, s‟écrit sous la forme matricielle
suivantes :
,...... 0110 qtqtptptt XBXBZAZAZA   les lettres A0, …, Ap,
B0,…, Bq désignant les matrices des coefficients, Zt, …,Zt-1, désignant les
vecteurs des variables endogènes courantes et décalées, et Xt, …, Xt-q les
vecteurs des variables endogènes courantes et décalées.
I.3. Ecriture matricielle des modèles à équations simultanées avec prise en
compte des erreurs aléatoires des équations institutionnelles et de
comportement
Reprenons l‟exemple du modèle keynésien simplifié donné ci-dessus et
introduisons des termes d‟erreur aléatoire dans les deux équations de

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comportement et l‟équation institutionnelle, comme il se doit. On a :
)8(
)7(
)6()(
)5()(
310
2110
110
tttt
ttt
tttt
tttt
GICY
YT
YYI
TYC








Substituons l‟identité comptable (8) définissant le revenu Yt dans les 3
premières équations du modèle. On obtient pour l‟équation de
consommation :
)9()1()( 101111110 ttttttttttt TGICTGICC  
De même les équations (6) et (7) deviennent :
)10()1( 20111111111 ttttttt GICGIC   
)11(30111 ttttt GTIC  
L‟écriture matricielle du nouveau modèle (à 3 équations) ainsi obtenu est
donc :
Avec :











































































t
t
t
t
t
t
t
t
t
t et
G
X
T
I
C
Z
BBAA
3
2
1
11
10
10
10
0111
11
11
111
0
,
1
,
00
0
00
,,
000
0
000
,
1
01
1













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Le modèle obtenu par substitution de l‟identité comptable dans les autres
équations est entièrement stochastique et comporte évidemment moins
d‟équations que le modèle initial.
A l‟instar de ce modèle, la plupart des modèles macroéconométriques sont
dynamiques, c'est-à-dire spécifiés sous forme autorégressive. Autrement
dit, ils possèdent des variables endogènes décalés dans la liste de leurs
variables explicatives. Le modèle kéynésien simplifié présenté ci-dessus
est un modèle dynamique d‟ordre 1. On peut le généraliser facilement à
un modèle dynamique d‟ordre p, c'est-à-dire autorégressif d‟ordre p.
,...... 0110 tqtqtptptt XBXBZAZAZA  
Cette écriture générale repose sur la théorie économique et constitue la
forme « structurelle » du modèle. Chacune des équations institutionnelles
ou de comportement fournit, en général, la valeur de l‟une des variables
endogènes en fonction des valeurs courantes des autres variables, des
valeurs décalées de l‟ensemble des variables endogènes, des variables
exogènes courantes et décalées, et d‟un terme d‟erreur aléatoire.
La forme réduite du modèle est celle dans laquelle chaque variable
endogène s‟exprime en fonction des variables endogènes retardées, des
variables exogènes, et d‟un terme d‟erreur. Elle existe lorsque la matrice
A0 des coefficients structurels des variables endogènes est inversible. La
forme réduite est alors égale à :
tqtqtptptt AXBXBZAZAAZ 1
0011
1
0 )......( 




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Si les éléments du vecteur d‟erreurs structurelles et sont supposés non
correlés, il en sera de même pour le vecteur d‟erreurs tA 1
0

de la forme
réduite. Toute la dynamique du système, c'est-à-dire l‟effet du passé sur le
présent, est alors résumé dans les matrices des coefficients réduits
.1,,1, 1
0
1
0 qàjBAetpàiAA ji  
Exercice :
Soit le modèle keynésien simplifié avec investissement exogène et sans
dépenses étatiques :
)3(
)2(
)1(1
tt
ttt
ttt
YR
ICY
dbCaRC


 
Commenter ce modèle. L‟écrire sous forme matricielle et donner sa forme
réduite.
Les 3 relations définissent la forme structurelle du modèle. La relation (1)
est une équation de comportement (fonction de consommation
macroéconomique). La relation (2) est une égalité comptable ou une
relation d‟équilibre entre la demande (Ct+It) et l‟offre (la production) Yt.
Enfin, la relation (3) définit le revenu Rt en l‟assimilant à la production.
Variables endogènes du modèle : Ct, Yt, Rt.
Variable exogène : It
Ecriture matricielle du modèle : ce modèle peut se réduire à une équation
par substitution dans (1) des relations d‟équilibre et de définition (2) et
(3). Mais on l‟écrira plutôt sous forme matricielle en conservant les deux
relations non stochastiques, ce qui donne :

- 22 -


















































































0
0
1
00
10
0
000
000
00
010
001
00
1
1
1 t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t u
I
d
R
Y
Cb
R
Y
Ca
R
Y
C
On en déduit que :
Soit formellement ,0110 tttt XBZAZA   avec











t
t
t
t
R
Y
C
Z , 






t
t
I
X
1
, et











0
0
t
t
u
 , A0 étant la matrice des coefficients de Zt, A1 celle de Zt-1 et B0
celle de Xt.
Le déterminant de A0 est égal à 1-a. A0 est donc inversible si a est
différent de 1. L‟inverse de A0 est égal à :












111
11
1
1
11
0 a
aa
a
A
La forme réduite du modèle s‟écrit : tttt AXBAZAAZ 1
00
1
011
1
0




Tous calculs faits, on trouve :



































 
t
t
t
ttt
u
u
u
a
X
d
a
Z
b
b
b
a
Z
1
1
11
11
0
1
1
00
00
00
1
1
1

- 23 -
Les équations réduites du modèle s‟en déduisent :
t
t
ttt
t
ttt
R
a
u
a
d
I
a
C
a
b
Y
a
u
a
d
I
a
a
C
a
b
C



















111
1
1
1111
1
1
II. Construction des modèles macroéconométriques
II.1. Liens entre la modélisation macroéconométrique et la comptabilité
nationale
Un modèle économique est une représentation schématique de la réalité
économique et une tentative d‟explication du fonctionnement de cette réalité. Il
doit donc s‟appuyer sur une description de cette réalité. Dans le cas d‟un modèle
économique national, une description pertinente de la réalité est celle de la
comptabilité nationale. Le système simplifié de comptabilité nationale considère
que l‟économie est constituée d‟agents qui effectuent des opérations qu‟on peut
résumer dans des comptes. Dans ce système, quatre types d‟agents économiques
sont identifiés : les Ménages, les Entreprises, l‟Etat ou le Gouvernement, et
l‟Extérieur.
Les comptes de chaque groupe d‟agents enregistrent leurs emplois et ressources
selon le principe de la partie double : les ressources d‟un groupe d‟agents sont
les emplois (ou les dépenses) d‟un autre groupe. Les soldes des comptes
d‟agents (Emplois – Ressources) constituent l‟épargne de ces agents. Les 4
comptes d‟agents sont complétés par le compte d‟utilisation des ressources (ou
de capital).

- 24 -
L‟examen d‟un modèle simplifié de l‟économie nationale fait apparaître les
équations suivantes :
1. Des équations comptables exprimant l‟équilibre des quatre comptes
d‟agents et l‟équilibre du compte d‟utilisation des ressources.
2. Des équations de comportement de certains agents, des équations
relatives aux institutions (fiscalité et autres), et des équations
technologiques exprimant par
exemple la combinaison optimale des facteurs de production dans le
processus productif
Une liste non exhaustive de ces équations comprend :
- La fonction de consommation agrégée, qui explique les dépenses de
consommation courantes des ménages.
- L‟équation de taxation directe des ménages, qui explique le niveau des
impôts sur le revenu perçus par l‟Etat (l‟administration fiscale).
- L‟équation de taxation directe des entreprises par l‟Etat.
- L‟équation d‟importation, qui lie le volume des importations à la
demande intérieure résultant de l‟activité et de la compétitivité des
entreprises nationales.
- L‟équation d‟exportation, si cette variable est considérée comme
endogène.
- L‟équation de dépréciation du capital.
- L‟équation d‟investissement des entreprises (FBCF) et des ménages
(investissement en logement).
Cette liste non exhaustive des équations d‟un modèle macroéconométrique
montre l‟importance des variables du système de comptabilité nationale dans la
spécification des équations de ce type de modèle. Il existe un lien inextricable

- 25 -
entre la modélisation macroéconométrique et le système de comptabilité
nationale. Toutes les variables utilisées concrètement dans ou fournies par
l‟élaboration des comptes et essentielles à la modélisation des comportements
des agents économiques, notamment les variables de marché telles que les prix
des biens, les taux d‟intérêt, les taux de salaire, etc, sont indispensables à la
construction des modèles macroéconométriques. La spécification des équations
de ces modèles s‟efforce de prendre en compte certains types de non linéarité
inévitables, de même que la dynamique des comportements des agents. Cette
dynamique des comportements est modélisée grâce à l‟introduction de variables
endogènes décalées dans la liste des variables explicatives, justifiée
théoriquement par une hypothèse d‟ajustement partiel des variables endogènes à
un niveau désiré, ou plus rigoureusement, à partir des années 80, par la
cointégration de certaines variables endogènes conduisant à la spécification d‟un
modèle à correction d‟erreurs (théorème de représentation de Granger (1987)).
Les implications d‟une spécification dynamique fondée sur la théorie de la
cointégration ne seront pas développées dans ce cours introductif (voir le cours
d‟Econométrie). Nous présenterons et commenterons de préférence ici une
maquette classique d‟un modèle macroéconométrique, développée par Lawrence
Klein dans l‟un de ses ouvrages.
II.2. Maquette d‟un modèle macroéconométrique standard
Identités comptables ou de définition
- Définition du PNB
)1()( tttttt XIMEGIC 

- 26 -
- Réconciliation entre le PNB et le revenu national
)2(321 rttttttttt TTTYDpTXp 
-Définition du revenu national
)3(32 rttttttt TTTYPLw 
-Définition du stock de capital
)4(1 tttt DIKK  
Relations technologiques et équations de comportement
-Fonction de consommation
)5()( 11210 ttttt uCpYC  
-Fonction d‟investissement
- )6(213210 ttttt uKrXI  
-Fonction d‟exportation
)7()()( 313210 tttwttt uEppWTE  
-Fonction d‟importation
)8()()()( 413210 ttmtttt uIMppXIM  

- 27 -
-Fonction de production
)9()ln()ln()ln()ln( 5131210 ttttt uLKXL   
-Equation de formation des prix
)10()/( 6210 tmttttt upXLwp  
-Equation de salaire
)11()ln()])/(()[()ln( 7210 tttttt upLLFLFw  
-Taux de participation de la main d‟œuvre (taux d‟activité)
)12()/(])/())[((/)( 8210 tttttttt upwLFLLFNLF  
-Equation d‟offre de monnaie
)13()ln()/ln( 9210 tttttt uprMXp  
-Equation de dépréciation du capital
)14(101 ttt uKD  

- 28 -
Equations institutionnelles
-Equation de taxation indirecte
)15()( 11101 tttt uXpT  
-Equation de taxation directe personnelle
)16(12102 ttt uYT  
-Equation de taxation directe des entreprises
)17(13103 ttt uPT  
Equation de transfert
)18())(( 14210 ttttrt uwLLFT  
Variables endogènes ou dépendantes
Ct = Dépenses réelles de consommation
Yt=Revenu nominal disponible des ménages
pt = Niveau général des prix
It = Formation Brute de Capital Fixe (Investissement)
Xt = PNB réel
rt = Taux d‟intérêt nominal

- 29 -
Kt = Stock réel de capital en fin de période
Et = Exportations réelles
(IM)t = Importations réelles
Lt = Emploi
wt = Taux de salaire
(LF)t = Main d‟œuvre
Dt = Consommation réelle de capital (dépréciation)
T1t = Taxes indirectes nominales
T2t = Taxes directes nominales sur les personnes
T1t = Taxes directes nominales sur les entreprises
Trt = Transferts nominaux aux ménages
Pt = Profits (revenu non salarial nominal)
Variables exogènes ou indépendantes
Gt = Dépenses publiques réelles en bien et services
(WT)t = Volume réelles du commerce mondial
pwt = Prix du commerce mondial
pmt = Prix des importations
Nt = Population

- 30 -
Mt = Offre nominale de monnaie
Commentaire des principales équations non comptables de cette maquette
1. La fonction de consommation (équation (5))
La consommation réelle courante Ct est une fonction linéaire du revenu réel
courant (Yt/pt) et de la consommation réelle de la période écoulée Ct-1. La
présence de la consommation décalée Ct-1 dans la liste des variables
explicatives équivaut, en fait, à la spécification de Ct comme une fonction à
retards échelonnés des revenus réels courant et passés, soit :



 


0
121
2
0
),19()/()(
1 i
titit
i
t pYC 


avec l‟hypothèse que l‟erreur suit un processus autorégressif d‟ordre un, soit :
.11121 ttt u 
Dans cette spécification, on suppose que  102  , ce qui exprime la
consommation Ct comme une fonction linéaire affine de la somme pondérée
infinie des revenus courant et passés, les pondérations suivant une progression
géométrique décroissante.
La somme 



0
2 )/()(
i
itit
i
pY s‟interprète comme un indicateur de la valeur de
long terme du revenu.

- 31 -
Pour montrer que la spécification (19) équivaut à la spécification autorégressive
(5), il suffit de calculer 12 tC en utilisant (19) et de soustraire cette quantité de
Ct. On a :
 














1
1121
0
11
1
2121
1
2
20
12
)/()()/()(
)/(
1
)1(
i
tt
i
itit
i
itit
i
tttt
pYpY
pYCC





= ttt upY 110 )/( 
Ce qui donne bien la spécification (5).
La fonction d‟investissement (6)
Il s‟agit d‟une version de l‟accélérateur flexible. Sa dérivation théorique repose
sur l‟hypothèse que la variation Kt du stock de capital est proportionnelle à
l‟écart entre le stock courant de capital désiré par les entrepreneurs et le stock de
capital effectif de la période écoulée, soit :
)1()( 1
*
1 HKKKKK ttttt   
Le coefficient  représente la « vitesse d‟ajustement » du stock effectif de
capital au stock désiré.
On suppose ensuite que le stock désiré de capital est une fonction linéaire du
PNB réel Xt et du taux d‟intérêt nominal rt, soit :

- 32 -
)20(*
2
*
2
*
1
*
0
*
tttt urXK  
Cette relation découle de l‟hypothèse que la production utilise une technologie
de type Cobb-Douglas. On montre en effet que dans ce cas, une condition de
maximisation du profit brut (c'est-à-dire avant impôt), à long terme, est :
),()( *
ttttt XpKrp   c'est-à-dire que la valeur optimale du capital
(charges courantes d‟intérêt *
ttt Krp plus les charges d‟amortissement )( *
tt Kp )
est proportionnelle à la valeur de la production.
Il s‟ensuit que :




t
t
t
r
X
K*
, relation dont la linéarisation conduit à l‟expression (20), au
terme d‟erreur près.
On obtient, en substituant (20) dans l‟hypothèse H1 :
*
21
*
2
*
1
*
0 tttt uKrXK   
Par ailleurs, en tenant compte de l‟identité (4) et de l‟équation de dépréciation
du capital (14), on peut écrire :
*
21
*
2
*
1
*
0 tttttt uKrXDIK   
C'est-à-dire :

- 33 -
ttttt uKrXI 213210   , en posant :
.;;;; 10
*
223
*
22
*
11
*
00 ttt uuu  
Remarquons enfin le caractère simplificateur de l‟utilisation d‟un prix unique
(niveau général des prix) pour valoriser la production et les composantes de la
demande. Cette démarche élimine en effet les prix de l‟équation
d‟investissement. Le rôle des prix peut néanmoins être pris en compte dans cette
équation en remplaçant le taux d‟intérêt nominal par le taux d‟intérêt réel.
3.Equations du commerce extérieur
3.1. Exportations
Elles sont liées au niveau d‟activité mondiale, représenté par le volume du
commerce mondial, aux prix relatifs des biens produits à l‟extérieur par rapport
aux biens intérieurs, exprimés en unité monétaire locale (par application du taux
de change), et à la valeur décalée des exportations, qui traduit la lenteur de la
réaction des exportations aux variations de prix et aux autres chocs qui affectent
le commerce mondial. Notons que le niveau d‟activité mondiale aurait pu être
mesuré par la production réelle mondiale, mais celle-ci est plus difficile à
estimer que le volume du commerce mondial.

- 34 -
3.2. Importations
Elles dépendent d‟une part du niveau d‟activité intérieure, assimilé à la
production intérieure Xt, ce qui semble plus approprié pour les biens industriels
que pour les biens de consommation. L‟importation de ces derniers dépendrait
plutôt du revenu réel disponible qui serait une meilleure mesure de l‟activité
intérieure. D‟où la pertinence de l‟estimation de deux fonctions d‟importation au
moins, une pour les biens d‟équipement industriels, et une pour les biens de
consommation.
Elles dépendent d‟autre part du prix relatif des produits intérieurs par rapport
aux produits importés (p/pm), le prix pm des importations étant exprimé en
unités monétaires locales via le taux de change. Enfin la prise en compte des
importations décalées dans l‟explication des importations courantes se justifie de
la même façon que pour les exportations, à savoir la lente réaction de cette
variable aux modifications de prix et autres chocs qui affectent l‟activité
intérieure (d‟où la formulation autorégressive retenue pour l‟équation).
4. Fonction de production
Cette fonction est introduite pour décrire les conditions physiques de l‟offre (la
production réelle Xt). Elle n‟est cependant pas écrite sous la forme traditionnelle
de la fonction Cobb-Douglas classique, soit :

- 35 -
tttt uKALX 
1
En effet, d‟une part, il a été procédé à la re-normalisation de cette formulation de
façon à exprimer le facteur travail Lt nécessaire à la production comme variable
dépendante. Bien qu‟équivalente mathématiquement à la formulation
traditionnelle, la formulation retenue est différente notamment du point de vue
du sens de la causalité. Si la production Xt et le stock de capital Kt-1 peuvent
être déterminés par d‟autres équations du modèle, la fonction de production re-
normalisée sert uniquement à calculer la force de travail nécessaire à l‟activité
productive.
Par ailleurs cette formulation représente la fonction de production de court
terme, ou plus exactement le processus d‟ajustement de la production aux
variations du seul facteur variable à court terme, à savoir le travail.
5. Equation de formation des prix
Il s‟agit d‟une relation empirique entre le niveau général des prix, le coût
unitaire de la main d‟œuvre, et le prix unitaire des importations. Le coût unitaire
de la main d‟œuvre est égal au ratio du taux de salaire wt et de la productivité du
travail (Xt/Lt). La relation entre le prix et le coût unitaire du facteur travail peut
être considérée, sur le long terme, comme une conséquence de la condition de

- 36 -
maximisation du profit avec une technologie de type Cobb-Douglas. Dans ce cas
en effet, on sait que :
t
t
t
t
p
w
L
X



: rémunération du travail à sa productivité marginale en valeur, c'est-à-
dire :
.
t
t
t
t
p
w
L
X

On en déduit que :
t
tt
t
X
Lw
p


Remarquons que la prise en compte du prix pm des importations dans l‟équation
des prix se justifie par la présence, dans les produits importés, de biens
intermédiaires et de biens d‟équipement utilisés dans le processus de production.
6. Equations de salaire et de participation de la main d‟œuvre
L‟équation de salaire explique la variation du taux de salaire par la variation du
niveau général des prix et l‟inverse du taux de chômage (relation de Philips).
Le taux d‟activité de la population est quant à lui lié au taux de chômage et au
taux réel de salaire.

- 37 -
7. Equation d‟offre de monnaie
En raison des fluctuations de la vitesse de circulation de la monnaie, la théorie
quantitative de la monnaie est généralement inappropriée pour expliquer la
détermination du revenu national et le niveau absolu des prix (de plein emploi).
L‟équation proposée lie la variation de la vitesse de circulation de la monnaie
positivement au taux d‟intérêt nominal et au taux d‟inflation et découle de la
théorie keynésienne et de certaines théories des cycles.
8. Equation de dépréciation du capital
Cette relation, purement technique, permet de lier le stock courant de capital à la
chronique des investissements bruts passés.
En effet, en remplaçant Dt par sa valeur dans cette équation, on obtient la
relation de récurrence suivante :
tttt uKIK ,101)1(  
Cette relation dit que le stock actuel de capital est la somme du capital non
déclassé (1-)Kt-1 et des nouveaux achats d‟équipement (investissement brut).
Le développement de cette relation de récurrence donne la formule :
  it
i
t IK )1(  vt

- 38 -
avec : vt=(1-)vt-1-u10,t
Le stock courant de capital Kt est donc bien la somme pondérée des
investissements bruts courants et passés, le poids (1-)i
des investissements étant
une fonction décroissante de leur ancienneté i et du taux de dépréciation du
capital, .
9. Les équations institutionnelles
Elles sont relatives aux variables fiscales et aux transferts qui interviennent dans
la définition des principaux agrégats relatifs à la production et au revenu
national (produit national aux prix du marché, revenu national aux coûts des
facteurs, revenu des ménages avant impôts, revenu disponible des ménages).
Elles sont supposées dépendre linéairement du niveau d‟activité économique.
D‟autres variables spécifiques reflétant les particularités institutionnelles
nationales (par exemple les exemptions fiscales particulières et les niveaux
minima imposés à certains transferts) peuvent être introduites dans la
spécification de ces équations, si nécessaire.
En raison de leur grande instabilité due aux changements réguliers de la
législation, ces équations doivent être souvent réestimées ou corrigées en
fonction des informations hors modèle disponibles.

- 39 -
Enfin, il est à noter que ces équations sont en général nominales, à la différence
des équations de comportement telles que l‟équation de consommation ou
d‟investissement.

- 40 -
CHAPITRE 3
ANALYSE ET EVALUATION DES MODELES MACROECONOMETRIQUES
Ce chapitre présente les principales notions nécessaires à l‟analyse et à
l‟évaluation des modèles macroéconométriques.
I. Analyse des modèles macroéconométriques
I.1. Simulation historique et prévision
Un modèle macroéconométrique à équations simultanées est généralement
spécifié sous forme dynamique, c'est-à-dire que certaines de ses variables
explicatives sont des variables endogènes décalées. Une fois estimé, ce modèle
peut être résolu par rapport à ses variables endogènes, en annulant le vecteur des
résidus et en se donnant des valeurs initiales pour les variables endogènes,
lorsqu‟on connaît les valeurs des variables exogènes.
Définition
La simulation d‟un modèle dynamique est la résolution de ce modèle sur
une période de temps donnée, pour des valeurs initiales connues des variables
endogènes et des valeurs observées ou fixées des variables exogènes. La
simulation est qualifiée d‟historique ou de rétrospective lorsqu‟elle est relative à
la période d‟estimation du modèle.
Motivation de la simulation : les motifs de la simulation d‟un modèle sont
divers : test de la qualité et évaluation du modèle sur la période d‟estimation,
test de la qualité prévisionnelle, analyse des politiques économiques. C‟est
l‟objectif visé par la simulation qui détermine l‟horizon temporel de celle-ci.
Supposons que le modèle a été estimé sur la période [1960, 1990] et qu‟on
se situe en t>1990.

- 41 -
La simulation est dite historique si elle concerne la période d‟estimation, comme
on l‟a déjà dit. Les valeurs des variables endogènes observées sur la période
antérieure à 1960 sont utilisées comme valeurs initiales, et les observations des
variables exogènes sur la période
[1960, 1990] sont utilisées dans la résolution du modèle par rapport aux
variables endogènes courantes. Au-delà de 1960, les solutions calculées reposent
sur les solutions obtenues pour les années antérieures : d‟où le terme
« simulation », c'est-à-dire calcul enchaîné des solutions successives en utilisant
les solutions des années précédentes.
La comparaison des solutions de simulation historique et des véritables valeurs
des variables endogènes permet de tester la validité du modèle.
Pour évaluer les scénarios de politique économique à l‟aide du modèle, on
procède à une simulation dite « ex-post ». Ceci peut se faire en modifiant la
valeur de certains coefficients estimés ou de certaines variables instruments de
politique économique (taxes, dépenses publiques), et en calculant les nouvelles
solutions du modèle après ces modifications, que l‟on peut comparer aux
solutions du modèle non modifié. Les conséquences économiques d‟une
modification des dépenses publiques, des impôts et taxes directes, ou de l‟offre
de monnaie, peuvent ainsi être déterminées à l‟aide de simulations ex-post.
Lorsque la simulation du modèle concerne une période postérieure à la période
d‟estimation, on parle de prévision. Lorsque la prévision est effectuée à un
moment où les valeurs des variables exogènes sont disponibles pour la période
ciblée par cette prévision, c‟est à dire lorsque l‟horizon prévisionnel est inférieur

- 42 -
à la date où on se situe et que les vraies valeurs des exogènes sont disponibles,
on parle de prévision ex-post ou inconditionnelle. La prévision ex-post vise à
tester la précision prédictive du modèle. Lorsque par contre la prévision est
effectuée pour une date future, c'est-à-dire postérieure à la date actuelle, elle
nécessite l‟estimation ou la projection préalable des valeurs futures des variables
exogènes. On parle de prévision « ex ante » ou conditionnelle.
A l‟instar de la simulation historique, la prévision est utilisable pour l‟analyse de
différents scénarios de politique économique relatifs aux variables exogènes
contrôlées par les autorités et au calcul de leurs effets sur les valeurs futures des
variables endogènes.
La simulation et la prévision à l‟aide des modèles macroéconométriques sont
réalisées aisément grâce aux divers logiciels économétriques actuellement
disponibles (Eviews, RATS, etc) qui utilisent des méthodes de résolution
numérique des modèles, notamment l‟algorithme de Gauss-Seidel qu‟on
présentera ultérieurement. La résolution ne peut se faire analytiquement que
pour les modèles de petite taille.
Exemple :
Considérons le modèle standard du multiplicateur-accélérateur :
Ct=a1+a2Yt-1 (1)
It=b1+b2(Yt-1-Yt-2) (2)
Yt=Ct+It+Gt (3)
C=consommation ; I=investissement ; Y=produit national brut ;
G=dépenses publiques (variable exogène).

- 43 -
Par substitution, on trouve l‟équation de récurrence d‟ordre 2 en Y :
Yt-(a2+b2)Yt-1+b2Yt-2=(a1+b1)+Gt (4)
Connaissant les valeurs estimées des coefficients ai et bi, 2 valeurs initiales pour
Y et la valeur de la variable exogène, cette équation de récurrence se résout
facilement (voir plus loin,à la sous-section I.3). Les solutions obtenues pour Y
servent ensuite à calculer C et I.
I.2. Définition et calcul des multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique
Les différents types de multiplicateurs d‟un modèle macroéconométrique
dynamique sont définis dans le cas d‟un modèle simple à deux équations puis
dans le cas d‟un modèle dynamique plus général.
Cas le plus simple :
Soit le modèle suivant :
Ct=aYt-1+b
Yt=Ct+At
Ct=Consommation ; Yt=PIB ; At=autres composantes de la demande, supposées
exogènes.
En substituant l‟équation de consommation dans l‟identité comptable, on peut
écrire les égalités successives :
Yt=aYt-1+b+At
aYt-1=a2
Yt-2+ab+aAt-1
a2
Yt-2=a3
Yt-3+ a2
b+a2
At-2
…………………………

- 44 -
En sommant et en simplifiant les deux membres de ces égalités successives, on
obtient la forme réduite de Yt :
Yt=(At+aAt-1+a2
At-2+…)+b(1+a+a2
+…)=
a
b
Aa it
i
i




 10
On peut définir les différents types de multiplicateurs à partir de cette forme
réduite.
Multiplicateur d‟impact :
C‟est la variation instantanée de Yt résultant d‟une variation unitaire de la
variable exogène At. C‟est donc : 1


t
t
A
Y
Multiplicateur décalé d‟ordre un :
C‟est l‟impact d‟une variation unitaire de At-1 sur Yt, soit : a
A
Y
t
t



1
Multiplicateur décalé d‟ordre i :
C‟est la variation courante de Y, résultant d‟une variation unitaire de A survenue
i période plus tôt, soit : i
it
t
a
A
Y




Multiplicateur de longue période ou de long terme
C‟est le cumul des multiplicateurs décalés et du multiplicateur d‟impact, soit :
a
a
i
i



 1
1
0
en supposant que a]-1, 1[ .
C‟est l‟impact à long terme sur le revenu d‟une variation unitaire de la variable
exogène.

- 45 -
Généralisation
Considérons l‟expression matricielle d‟un modèle à équations simultanées, à
structure autorégressive d‟ordre 1, en omettent le vecteur des erreurs.
ttt BXZAZA  110 où Zt est le vecteur des variables endogènes courantes,
Zt-1 le vecteur des variables endogènes décalées d‟une période, Xt le vecteur des
variables exogènes courantes, A0, A1, et B des matrices de coefficients.
La forme réduite de ce modèle s‟écrit comme on le sait :
ttttt XZBXAZAAZ 211
1
011
1
0  



avec 1
1
01 AA
 et BA 1
02


Définition
La matrice
t
t
X
Z


2 représente la matrice des multiplicateurs d‟impact du
modèle. C‟est la matrice des variations instantanées de toutes le variables
endogènes suite à une variation unitaire de chaque variable exogène.
Développons la forme réduite du modèle. On a les égalités successives
suivantes :
nt
n
nt
n
nt
n
nt
n
nt
n
nt
n
ttt
ttt
ttt
XZZ
XZZ
XZZ
XZZ
XZZ















211
1
11
12
1
111
1
1
22
2
13
3
12
2
1
1212
2
111
211
.........................................
En sommant et en simplifiant ces égalités, on trouve l‟équation matricielle

- 46 -
1
1
12122
2
11212 ... 

  nt
n
nt
n
tttt ZXXXXZ
Les définitions générales suivantes résultent de l‟équation donnée ci-dessus :
Définition
La matrice des multiplicateurs décalés d‟ordre i des variables endogènes par
rapport au variables exogènes est la dérivée partielle du vecteur des variables
endogènes courantes par rapport au vecteur des variables exogènes décalées i
fois, soit : 21



i
it
t
X
Z
. Elle donne l‟impact sur toutes les variables endogènes
d‟une variation unitaire de chaque variable exogène, survenue i périodes plus
tôt.
Définition
La matrice des multiplicateurs de longue période des variables endogènes par
rapport aux variables exogènes est la somme de la matrice des multiplicateurs
d‟impact et des matrices des multiplicateurs décalées d‟ordre i, i variant de 1 à
l‟infini, soit :





 



0
2
1
121
0
)(
i
i
i it
t
I
X
Z
, en supposant que la matrice (I- 1) est
inversible, I étant la matrice identité dont l‟ordre est égale au nombre de
variables endogènes.
Cette matrice mesure l‟impact à long terme sur les variables endogènes d‟une
variation unitaire de chaque variable exogène.
Exemple
Considérons la version suivante du modèle du multiplicateur-accélérateur, sans
terme constant et avec une fonction d‟investissement ayant comme variable
explicative la variation courante du revenu :

- 47 -
tttt
ttt
tt
GICY
YYbI
YaC





)( 12
12
On suppose que a2=0,5 et b2=2
Ecriture matricielle du modèle :
t
t
t
t
t
t
t
G
Y
I
C
Y
I
C

























































1
0
0
000
200
5,000
111
210
001
1
1
1
, soit ttt BXZAZA  110
avec : A0=












111
210
001
A1=











000
200
5,000
B=










1
0
0
Le déterminant de A0 est égal à -1, donc A0 est inversible et son inverse est égal
à :












111
212
001
1
0A
La forme réduite du modèle s‟écrit : ttt XZZ 211   , avec :

































 
5,100
100
5,000
000
200
5,000
111
212
001
1
1
01 AA

































 
1
2
0
1
0
0
111
212
001
1
02 BA : c‟est le vecteur des multiplicateurs
d‟impact.
Calculons les multiplicateurs décalés d‟ordre 1 et 2.

- 48 -
Multiplicateurs décalés d‟ordre 1 1 2=




































5,1
1
5,0
1
2
0
5,100
100
5,000
Multiplicateurs décalés d‟ordre 2 :







































































25,2
5,1
75,0
5,1
1
5,0
5,100
100
5,000
1
2
0
5,100
100
5,000
5,100
100
5,000
2
2
1
Multiplicateurs de long terme : 2
1
1 )(  
I














5,000
110
5,001
1I ;



























 
200
210
101
100
15,00
5,005,0
5,0
1
)( 1
1I
Donc :




































 
2
0
1
1
2
0
200
210
101
)( 2
1
1I
Remarque : les formules matricielles de calcul des différents types de
multiplicateurs données ci-dessus ne sont évidemment valables que pour les
modèles linéaires et ne sont concrètement utilisables que pour les modèles de
petite taille. Lorsque le modèle est de grande taille et/ou non linéaire, les
multiplicateurs décalés ou dynamiques doivent être calculés par simulation. On
fait varier chaque variable exogène d‟une unité en maintenant inchangées les

- 49 -
autres variables exogènes, et on résout le modèle. La comparaison de ces
nouvelles solutions aux solutions de référence (i.e. avant modification) permet
de calculer les multiplicateurs de tous ordres. Notons que pour les modèles non
linéaires, les multiplicateurs dynamiques dépendent aussi des valeurs initiales
des variables endogènes pour la période de simulation.
I.3. Analyse du comportement dynamique des modèles
Les modèles à équations simultanées sont censés décrire les interactions
dynamiques entre les différentes variables représentatives de l‟activité
économique. Il est donc primordial de connaître le comportement dynamique de
ces modèles, et d‟étudier leur stabilité, pour apprécier leur adéquation à la réalité
et leur pertinence.
L‟étude de la dynamique ou de la stabilité des modèles repose sur la résolution
d‟équations aux différences (ou de récurrence), vérifiées par les variables
endogènes du modèle. La résolution de ces équations permet d‟établir les
conditions de stabilité ou d‟instabilité des solutions des modèles dynamiques à
équations simultanées. La détermination de ces conditions sera effectuée à l‟aide
du modèle classique du multiplicateur-accélérateur (Samuelson) donné à la page
2. Ce modèle linéaire se ramène à une équation de récurrence par substitution de
la consommation et de l‟investissement dans l‟identité comptable. Cette
équation, appelée équation dynamique fondamentale, s‟écrit :
tttt GbaYbYbaY   )()( 1122122
Il s‟agit d‟une équation de récurrence d‟ordre 2.
L‟étude de la dynamique du modèle se ramène à la résolution de l‟équation
homogène associée à l‟équation précédente, qui s‟écrit :
0)( 22122   ttt YbYbaY

- 50 -
La résolution de cette équation se fait, rappelons le, en supposant qu‟une
solution particulière générale s‟écrit sous la forme t
t AY  .En reportant cette
solution dans l‟équation homogène, on obtient l‟équation caractéristique du
modèle :
0)( 222
2
 bba 
Les solutions de l‟équation caractéristiques, appelées racines caractéristiques,
déterminent les propriétés dynamiques du modèle. Ces solutions s‟écrivent :
2
)( 22
1


ba
 et
2
)( 22
2


ba
 , avec 2
2
22 4)( bba 
Les solutions de l‟équation homogène sont donc
t
t AY 11 et t
AY 222  , où A1 et A2 sont des constantes qui dépendent des
valeurs initiales de Yt. Il en résulte que la solution générale de l‟équation
homogène est la somme de ces deux solutions particulières : tt
t AAY 2211   .
La stabilité ou la dynamique du modèle repose sur la valeur des racines 1 et2
de l‟équation caractéristique. Les différents cas suivants sont à envisager :
1. Les racines caractéristiques sont réelles, c'est-à-dire >0 ( 222 2 bba  ) :
Dans ce cas soit les solutions Yt évolueront de manière stable et non
oscillatoire , si les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1 en
valeur absolue, et a2 et b2 sont alors compris entre 0 et 1, soit ces solutions
suivront une trajectoire explosive et non oscillatoire si l‟une au moins des
racines caractéristiques est supérieure en valeur absolue à 1 , et dans ce
cas, a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient à [1,4] (représenter
graphiquement la courbe d‟équation 222 2 bba  ).

- 51 -
2. Les racines caractéristiques sont complexes, c'est-à-dire<0, soit
222 2 bba 
Dans ce cas, soit la trajectoire des solutions sera stable et oscillatoire
(sinusoïdale) si les coefficients a2 et b2 sont compris entre 0 et 1, soit cette
trajectoire explosive et oscillatoire si a2 appartient à [0, 1] et b2 appartient
à [1, 4].
3. L‟équation caractéristique a une racine réelle double, c'est-à-dire =0, soit
222 2 bba 
Cette racine double est égale à 2
22
1
2
b
ba


 . Les deux solutions de
l‟équation de récurrence homogène sont donc t
A 11 et t
tA 12  , et leur somme est
la solution générale de cette équation. La trajectoire des solutions de l‟équation
générale sera instable (explosive) si 11  , c'est-à-dire si b2>1. Elle sera
convergente et stable au bout d‟une période de temps plus ou moins longue dans
le cas contraire.
Notons que cette résolution analytique de l‟équation de récurrence qui décrit la
trajectoire des solutions d‟un modèle dynamique n‟est possible que si le
décalage maximum des variables endogènes du modèle est inférieur à 3.
Lorsque l‟ordre de l‟équation de récurrence est élevé, sa résolution doit se faire
numériquement, ce qui se fait aisément à l‟aide de la plupart des logiciels
économétriques disponibles actuellement.
Exemple d‟étude de la stabilité d‟un modèle
Reprenons le modèle du multiplicateur-accélérateur étudié plus haut.
Supposons que a2=0,6 et b2=0,1. Alors, 1=0,35+0,15=0,5 et2=0,35-0,15=0,20.

- 52 -
Donc les deux racines caractéristiques sont inférieures à 1, et la trajectoire des
solutions est stable et non oscillatoire (non cyclique).
Supposons maintenant que a2=0,6 et b2=0,8. Alors =1,96-3,2=-1,24<0. Les
racines caractéristiques sont donc complexes et s‟écrivent :
1=0,7+0,56i et 2=0,7-0,56i
Par ailleurs le module de ces racines est inférieur à 1. Les solutions du modèle
suivent donc dans ce cas une trajectoire amortie et cyclique, c'est-à-dire stable.
I.4. Simulation stochastique
La simulation historique ou les prévisions formulées à l‟aide d‟un modèle sont
des solutions déterministes de ce modèle, c'est-à-dire des solutions obtenues en
annulant le vecteur des résidus du modèle.
Si le modèle est dynamique d‟ordre p, on peut l‟écrire de la façon suivante :
F(Zt,…,Zt-p, Xt, a)=ut , où F est un vecteur de fonctions représentant la
partie déterministe des équations, Zt, …, Zt-p, désignant les vecteurs des variables
endogènes courantes et décalées, Xt désignant le vecteur des variables exogènes,
a étant un vecteur regroupant l‟ensemble des coefficients du modèle, et ut étant
le vecteur des perturbations aléatoires associées aux équations stochastiques du
modèle. Une fois le vecteur a estimé par â à l‟aide de toute méthode appropriée,
on peut calculer le vecteur des résidus ût en soustrayant tZ et son estimation,
obtenue en supposant dans un premier temps que ût est nul, c'est-à-dire en
résolvant le système :
F(Zt,…,Zt-p, Xt, â)=0

- 53 -
Les solutions ainsi obtenues sont dites déterministes. Elles sont entachées
d‟erreurs, en raison du caractère imparfait de l‟estimation â de a, et de
l‟hypothèse de nullité retenue pour les résidus d‟estimation. Il importe donc de
pouvoir estimer l‟incertitude relative aux solutions déterministes du modèle,
c'est-à-dire leur précision.
Cette précision est estimée à l‟aide des techniques de simulation stochastique. Il
s‟agit d‟évaluer l‟écart-type des erreurs des solutions déterministes du modèle en
tirant des pseudo-échantillons d‟erreurs permettant de calculer des échantillons
de solutions non déterministes sur une période donnée. Ces solutions non
déterministes (ût non nul) sont utilisées pour construire une série d‟erreurs de
simulation dont l‟écart-type représente la précision des solutions déterministes
du modèle.
Le tirage aléatoire des pseudo-échantillons d‟erreurs se fait en supposant que le
vecteur ût des résidus d‟estimations suit une loi normale multidimensionnelle de
moyenne le vecteur nul et de matrice de variance-
méthode d‟estimation. Les logiciels économétriques actuellement disponibles
sont d‟un grand secours pour ce genre de tirages. Mais la mise en oeuvre des
techniques de simulation stochastique reste encore une tâche ardue. Le lecteur
intéressé peut se reporter par exemple à Ray C. Fair (1984).
II. Méthodes d‟évaluation des prévisions macroéconométriques
L‟évaluation de la qualité des prévisions d‟un modèle macroéconométrique est
une autre façon d‟apprécier la pertinence des spécifications retenues pour les
équations du modèle. Les prévisions d‟un modèle peuvent être évaluées de façon
ponctuelle ex post, en déterminant les causes probables de la bonne ou de la
mauvaise qualité de ces prévisions. Cette analyse explicative a posteriori des
causes des erreurs ponctuelles de prévision est cependant insuffisante, et doit

- 54 -
être complétée par une analyse statistique des séries d‟erreurs de prévision
enregistrées sur une période de temps suffisamment longue. Deux approches
sont couramment utilisées pour analyser statistiquement les séries de prévisions
et d‟erreurs de prévision d‟un modèle macroéconométrique : le calcul sur
différentes périodes de statistiques d‟erreurs, et le test de l‟efficacité
prévisionnelle du modèle.
II.1. Mesures synthétiques de la qualité prévisionnelle des modèles : les
statistiques d‟erreur prévisionnelle.
Soit yt, t=1 à n, la série des observations d‟une variable pour les dates comprises
entre t=1 et t=n, et y*t, la série des prévisions de la même variable effectuées à
l‟aide du modèle en t-l (prévisions à l‟horizon l).
La série des erreurs de prévision à l‟horizon l est égale à : et=yt-y*t, t=1,…, n.
La qualité des prévisions peut être appréciée visuellement en représentant
graphiquement les deux séries (yt) et (y*t) (courbes des observations et des
prévisions de la variable). Si les prévisions sont de bonne qualité, les deux
courbes sont pratiquement confondues. Dans le cas contraire, elles sont
nettement distinctes, voir divergentes. Cette appréciation graphique doit être
vérifiée et complétée par le calcul de quelques statistiques d‟erreur qui résument
la qualité des prévisions analysées. Les statistiques les plus utilisées sont :
L‟erreur quadratique moyenne MSE ou sa racine carrée RMSE


n
t
te
n
MSE
1
21
; 2
1
1
2
)
1
( 

n
t
te
n
RMSE
Cette statistique d‟erreur est considérée comme la meilleure statistique d‟erreur
parce qu‟elle est mathématiquement analogue à une fonction de risque

- 55 -
quadratique, préférée dans la plupart des problèmes de décision formalisée, et
utilisée notamment en estimation statistique (critère des moindres carrés).
L‟erreur quadratique moyenne en pourcentage ou sa racine carrée



n
t t
tt
y
yy
n
MSE
1
2
*
*
)(
1
% et %MSE
L‟erreur moyenne


n
t
te
n
EM
1
1
Le test de sa nullité correspond au test d‟absence de biais prévisionnel
systématique.
L‟erreur absolue moyenne


n
t
te
n
EAM
1
1
L‟erreur absolue moyenne en pourcentage



n
t t
tt
y
yy
n
EAM
1
*
*
1
%
Ces statistiques, purement descriptives, sont utiles pour comparer la qualité
prévisionnelle du modèle pour différentes périodes, ou pour comparer les
performances de différents modèles.
II.2. Test de l‟efficacité prévisionnelle d‟un modèle
Ce test, proposé par H. Theil, est une autre approche utilisée pour apprécier la
qualité prévisionnelle d‟un modèle. Il consiste à vérifier si la droite d‟ajustement

- 56 -
de la série (At) des observations d‟une variable, à la série (Pt) des prévisions de
cette variable, se confond avec la droite de prévision parfaite, At=Pt.
Il suffit donc d‟estimer la droite d‟équation At=a+bPt, et de tester l‟hypothèse
(a=0 et b=1).
Le non rejet de cette hypothèse par un test usuel de Fisher signifie, d‟après la
terminologie de H. Theil, que les prévisions du modèle sont efficaces.
La validité de ce test repose évidemment sur la stationnarité des séries (Pt) et
(At), ou à défaut, sur leur cointégration.
En plus de ces résumés statistiques et des tests d‟absence de biais et d‟efficacité
prévisionnelle, les prévisions d‟un modèle sont appréciées en comparaison avec
celles d‟autres modèles disponibles ou faciles à construire (modèles
d‟extrapolations naïves ou sophistiquées comme les modèles de Box et Jenkins).

- 57 -
Eléments de Bibliographie
1. Artus P., Deleau M., et P. Malgrange : Modélisation macroéconomique,
Economica, 1986.
2. Daloz J.-P. et C. Goux : Macroéconomie appliquée : du simple au
complexe, Cujas, 1985.
3. Fair, R.: Specification, Estimation and Analysis of Macroeconometric
Models, Harvard University Press, 1984.
4. Klein, L.: Lectures in Econometrics, North Holland, 1983.
5. Pyndick R. S. and D. L. Rubinfeld : Econometric Models and Economic
Forecasts, Mc Graw Hill.
6. Wallis K. F.: “Large Scale Macroeconometric Modeling”, in Handbook of
Applied Econometrics, Vol.1, Pesaran M. H. and M. R. Wickens, ed.,
Blackwell, 1999.

- 58 -
Exercices
Exercice 1 :
Dans un modèle relatif à l’économie américaine (celui de Ray C. Fair), l’équation de la production
nationale repose sur les 3 hypothèses suivantes :
Hypothèse 1 : )log()log( *
tt XV  (log=logarithme népérien).
Hypothèse 2 : ))log()(log()log()log( 1
**
 tttt VVXY 
Hypothèse 3 : ttttt YYYY    ))log()(log()log()log( 1
*
1
Avec : Vt=niveau des stocks des entreprises à la fin de la période t.
Xt=niveau des ventes des entreprises pour la période t.
Yt=production des entreprises à la période t.
*
tV et *
tY désignent les niveaux désirés ou anticipés de Vt et Yt, et t est un terme d’erreur
aléatoire. Les lettres ,  et  sont des coefficients.
1. Donner la signification de chacune des trois hypothèses, en précisant la signification
de  et 
2. Déterminer l’expression de log(Yt) qui résulte de ces hypothèses.
3. Calculer les élasticités de court et de long terme de la production par rapport aux ventes, sachant
que les estimations des coefficients de l’équation de production sont :
683,01   , 243,0 , 88,0)1(  .
Exercice 2 :
On propose la spécification suivante pour la demande agrégée de travail des entreprises au niveau
national :

- 59 -
ttttt uLKXL   )log()log()log()log( 131210 
Avec : Xt=PNB réel de l’année t ; Kt-1=stock réel de capital à la fin de l’année t-1 ;
Lt=demande agrégée de travail à l’année t ; ut=terme d’erreur aléatoire ; les lettres
grecques indicées i sont des coefficients ; log=logarithme népérien.
1. Commenter cette équation.
2. Montrer qu’elle résulte de la renormalisation et de la dynamisation d’une fonction de production
agrégée de type Cobb-Douglas.
Exercice 3 :
On donne le modèle suivant, décrivant une économie fictive fermée :
tt YC 9,0
tttt YYYI 2,0)(5,0 21  
tttt GICY 
Avec : Ct=consommation en t ; Yt=revenu en t ; It=investissement en t ; Gt=dépenses publiques en t
(exogènes).
1. Commenter succinctement ce modèle.
2. Ecrire le modèle sous la forme matricielle suivante :
tttt BXZAZAZA   22110
Avec:











t
t
t
t
Y
I
C
Z , et Ai, i=0, 1,2 et B désignant les matrices des coefficients.
3. Déterminer la forme réduite du modèle.
4. Calculer les multiplicateurs d’impact, les multiplicateurs décalés d’ordre un, et les
multiplicateurs de long terme des variables endogènes par rapport à la variable exogène.
Commenter les résultats obtenus.
5. Etudier la stabilité du modèle.

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