Magister kharroubi larbi

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR
UNIVERSITE DIJILLALI LIABES DE SIDI BEL ABBES
FACULTE DES SCIENCES DE L’INGENIEUR
DEPARTEMENT DE L’ELECTRONIQUE

Présenté à l’université de Sidi Bel Abbès
Pour l’obtention du diplôme de

Option : microélectronique
Présenté par KHARROUBI Larbi

Implémentation d’une méthode Multigrille
rapide dans le logiciel de simulation
numérique des composants à
semi-conducteurs
Soutenu le : 14 Octobre 2004
Mr H. Abid :

Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès

Devant le jury :
Président

Mme R. Brahimi : Professeur à l’université de Sidi Bel Abbès

Rapporteur

Mr M. Amrani : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès

Examinateur

Mr Z. Bensaad : Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès

Examinateur

MmeY.Bourezigu: Maître de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès

Examinatrice

Mr M.Azzedine: Chargé de cours au centre universitaire de Mostaganem

Examinateur

Année Universitaire 2003/2004

Remerciements

Le travail présenté dans ce mémoire a été réalisé au sein du laboratoire de
Modélisation des Composants et de Conception des Circuits (LMCCC) sous la
direction de Madame R.Brahimi, docteur de l’école centrale de Lyon et professeur à
l’université de Sidi Bel Abbès.

Je tiens à exprimer ma gratitude et mes profonds remerciements à Monsieur
H.Abid, professeur à l’université de Sidi Bel Abbès, d’avoir accepter de présider ce
jury, j’espère que ce travail sera à la hauteur de sa confiance.

Je remercie chaleureusement Madame R.Brahimi, qui a su m’accorder toute sa
confiance, je ne manquerais pas de saisir cette opportunité pour lui exprimer mes
sincères reconnaissances et profonde gratitude pour l’aide déterminante qu’elle m’a
apportée tout au long de ce travail. Ses conseils précieux et ses encouragements m’ont
été bénéfiques pour mener à terme ce travail.

J’exprime ma profonde gratitude à Monsieur M.Amrani, Maître de conférences
à l’université de Sidi Sel Abbès d’avoir accepter d’être membre de jury.

Mes remerciements les plus sincères s’adressent à Monsieur Z.Bensaad, Maître
de conférences à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter de juger ce modeste
travail.

Mes vifs remerciements s’adressent également à Madame Y.Bourezigu.Smahi
Maître de conférences
membre de jury.

à l’université de Sidi Bel Abbès d’avoir accepter d’être

Je remercie aussi vivement à Monsieur M.Azzedine, Chargé de cours au centre
universitaire de Mostaganem d’avoir accepter d’examiner ce travail et participer au
jury.

Je remercie également tous les membres du laboratoire LMCCC qui m’ont
apporté une aide spontanée pendant le travail de recherche.

Que mes amis et mes collèges trouvent l’expression de mes remerciements pour
l’aide et l’amitié qu’ils m’ont apportées. Comme je salue très respectueusement toute
personne qui a contribuée de près ou de loin à faire avancer ce travail.

DEDICACES

Je dédie ce modeste travail à :
Mes très chers parents
Mon frère et Mes sœurs
Ma belle famille
Ainsi qu’à tous mes amis
Merci à tous et à toutes

K.Larbi

SOMMAIRE
Introduction ……………………………………………………………………1
CHAPITRE I
Les méthodes Multigrilles linéaires
I-Introduction……………………………………………………………………..3
II-Principe des méthodes Multigrilles linéaires…………………………………..3
II-1-Systèmes continus linéaires………………………………………………3
II-2- Systèmes discrets………………………………………………………...4
II-3-Terminologie d’étoile de différence……………………………………...5
II-4-Operateurs d’interpolation et de restriction………………………………6
III-L’idée Miltigrille, composants Multigrille…………………………………..10
III-1-Process de correction d’une grille grossière……………………………11
III-2-Méthodes de relaxation………………………………………………...13
III-3-Structure de deux grilles (h-H)…………………………………………14
IV-Cycle complet de la Multigrille……………………………………………...16
V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille………………………………19
VI-Convergence, coût en calcul, occupation mémoire………………………….21
VI-1-Crirètres de convergence……………………………………………….21
VI-2-Coût en calcul…………………………………………………………..22
VI-3-Occupation mémoire…………………………………………………...23
VII-Conclusion…………………………………………………………………..24

CHAPITRE II
Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D
I-Introduction …………………………………………………………………...25
II- Description de programme (SIM-3D) ……………………………………….25
II-1-Première partie ………………………………………………………….25
II-1-1-Entrée de données ………………………………………………..25
II-1-2-Maillage ………………………………………………………….26
II-1-3-Conditions aux limites …………………………………………...27
II-1-3-a-Conditions de Dirichlet………………………………….28
II-1-3-b-Conditions de Neumann…………………………………29
II-2-Deuxième partie : Résolution numérique……………………………….29
II-2-1-Algorithme de Gummel ………………………………………….29
II-2-1- Algorithme de Newton…………………………………………..32
II-2-1-1-Introduction……………………………………………...32
II-2-1-2-Principe de la méthode Newton Raphson……………….32
1)-Première étape ……………………………………………………….34

2)-Deuxième étape………………………………………………………34
2)-1-Calcul des matrices U et F…………………………………………34
2)-1-1-La matrice Jacobienne…………………………………………...36
2)-1-1-1-Origine septadiagonale de la Jacobienne………………………36
2)-1-1-2-Méthode de stockage des éléments de la matrice Jacobienne…37
2)-1-2-Le vecteur F………………………………………………….…..39
2)-1-3-Résolution du système U d =-F ………………………………….39
III- Conclusion…………………………………………………………………..40

CHAPITRE III
Implémentation de l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D
I-Introduction……………………………………………………………………41
II-Position du problème…………………………………………………………41
II-1-L’opérateur de lissage…………………………………………………...42
II-2-L’opérateur de restriction R(i)…………………………………………...43
II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1)………………………………………43
III- Algorithme Multigrille V-cycle……………………………………………..43
IV- Description de l’algorithme Multigrille dans le programme SIM-3D………45
V- Organigramme Newton-Multigrille…………………………………………47
VI- Description des opérateurs de restriction et d’interpolation………………...49
VI-1-Opérateur de restriction FW…………………………………………..49
VI-2-Interpolation linéaire………………………………………………….52
VII-Conclusion…………………………………………………………………..54

CHAPITRE IV
Résultats et interprétation
I-introduction……………………………………………………………………55
II-Structure de test……………………………………………………………….55
II-1-Schéma de la structure…………………………………………………...55
II-2-Choix de maillage………………………………………………………..56
II-3-Paramètres de simulation………………………………………………...56
III-Résultats de simulation………………………………………………………57
III-1-Simulation avec un maillage large (17x17x17 points)………………….58
III-2-Simulation avec un maillage intermédiaire (33x33x33 points)………...65
III-3-Simulation avec un maillage fin (65x65x65 points)…………………...73
IV-Comparaison des résultats et interprétation………………………………….77
V-Conclusion …………………………………………………………………...81

Conclusion générale ………………………………………………………...82
Annexes ………………………………………………………………………85
Références bibliographiques……………………………………………….99

Introduction.

Le logiciel de simulation numérique SIM-3D des composants à semiconducteurs a
été développé au laboratoire de Modélisation des Composants

et Conception de

Circuits, et permet l’étude du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres
dans le volume des composants et dispositifs à semiconducteurs. La version actuelle
est dédiée aux structures à base de semiconducteurs à relaxation (modèle de piégeage
des porteurs inclus).

SIM-3D comprend à l’origine l’algorithme de Gummel et celui de Newton pour la
résolution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles
relatives au modèle physique. La discrétisation des équations physiques a été réalisée
par les différences finies et la méthode de résolution est celle des relaxations
successives SOR (Successive Over Relaxation).

Les calculs numériques à trois dimensions étant souvent très élevés en terme de
temps, l’objectif de notre travail est essentiellement l’implémentation d’une méthode
Multigrille linéaire rapide dans le logiciel de simulation numérique des composants à
semi-conducteurs à relaxation(SIM-3D).Ceci servira éventuellement à activer les
temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de
discrétisation augmente.Cette méthode basée sur l’utilisation de plusieurs niveaux de
grilles et faisant appel à des opérateurs de lissage, réduction et interpolation de
l ‘erreur, sera partie intégrante dans l’algorithme de Newton.

Ce travail est devisé en quatre chapitres :

Dans le premier chapitre, les méthodes Multigrilles linéaires sont présentées
théoriquement, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé
par les méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents
opérateurs intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons ensuite
différentes expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les
coût en calcul et l’occupation mémoire de la méthode.

1

Introduction.

Au Chapitre deux, nous décrivons les principales étapes de calcul caractérisant la
version initiale du logiciel SIM-3D. Deux algorithmes numériques déjà implémentés
dans SIM-3D sont exposés. Le premier est représentatif de l’algorithme de Gummel, et
le deuxième est lié à l’algorithme de Newton.

Nous présentons dans le troisième chapitre une version améliorée du logiciel
SIM-3D, incluant un algorithme de résolution numérique combinant l’algorithme de
Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à l’accélération des temps de
convergence. Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle a été choisie
avec le plein poids(Full-Weighting :FW) comme opérateur

de restriction,

l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR comme
lisseur d’erreur.

Dans le quatrième et le dernier chapitre, des tests de mesures des temps CPU seront
effectués afin de valider l’implémentation de la méthode Multigrille, et comparer son
efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du
logiciel SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à la
convergence (nombre de points de discrétisation important).Nous présentons les
résultats obtenus par simulation d’une structure P+n N+ à base de GaAs polarisée en
sens direct, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, en appliquant trois
types de maillage différent à pas constant.

Enfin, en conclusion, nous résumons les principaux résultats obtenus et leurs
interprétations respectives.

2

Chapitre I
Les méthodes Multigilles
linéaires

Chapitre I

Les méthod es Multigrilles linéaires.

I-Introduction :
Les méthodes Multigrilles jouent un rôle important dans la solution numérique des
processus physiques. Des processus de produit chimique, techniques sont souvent
mathématiquement modélisés avec les équations partielles (PDE). Les méthodes
Multigrilles sont parmi les plus efficaces algorithmes pour la solution numérique de ce
type d’équations et ont été présentées par A.Brandt (1970). Il a montré comment une
équation partielle (PDE) discrétisée sur N points de grille pourrait être résolue en un
temps de O(N) [5] [7] [10].
Dans ce chapitre nous présentons théoriquement les méthodes Multigrilles
linéaires, en énonçant le principe général de résolution d’un système discrétisé par les
méthodes Multigrilles, et nous donnons la représentation des différents opérateurs
intervenant dans les méthodes Multigrilles. Nous définirons

ensuite

différentes

expressions caractérisant la convergence de la méthode en calculant les coûts en
calcul et l’occupation mémoire de la méthode.

II- Principe des méthodes Multigrilles linéaires [1][11] :
II-1-Systèmes continus linéaires:
Les problèmes linéaires de valeur de limite sont représentés par le système
suivant [1]:

=

LWU
LGU

=

f W( X
f G( X

)

)

XÎ W

,

(I-1)

X Î G = dW

,

Ici X = ( x1, x2, x3,..., xd ) , et W est un domaine donné avec la limite G , LW est un
opérateur linéaire différentiel (elliptique) sur W ,

W = ( 0, A1 )( 0, A2 )( 0, A3 ).....( 0, Ad ) , LG positions pour un ou plusieurs d’opérateurs
.
.
linéaires de limite sur G .
f

W

signifie une fonction donnée sur W .

f G une ou plusieurs fonctions sur G .

3

Chapitre I


II-2-Systèmes discrets:
Pour des problèmes discrets nous emploierons la terminologie de fonction de
grille, opérateurs de grille et équation de grille (plutôt que la terminologie de matrice).
L’analogue discret de (I-1) est donné par [1]:

LGU h
h

Où h =

fhW( X

=

LWUh
h
=

fhG( X

)

X Î Wh

,

)

(I-2)

X Î Gh = dWh

,

( hx , hx , hx , ..., hxd ) est un paramètre (formel) de discrétisation. La solution
1

2

3

discrète uh est une fonction de grille définie sur W h U Gh .
LW et LG sont opérateurs de grille.( LW est appelée un opérateur de différence , LG un
h
h
h
h

opérateur discret de limite ) .
Pour la simplicité, nous supposerons que les équations de limite sont éliminées de
(I-2).
Nous écrivons simplement :
=

LhU h

( Wh )

fh

(I-3)

Ici U h et f h sont fonctions de grille sur Wh , et Lh est un opérateur linéaire.
Lh

:

G( Wh ) ® G( Wh )

(I-4)

Où G( Wh ) signifie l’espace linéaire de fonction de grille sur Wh .
Clairement, (I-3) représente un système d’équations algébriques linéaires.
Nous le considérons, cependant, comme une équation de grille.Et avec :
W =

( 0, A )( 0, A )( 0, A )...( 0, A ) et h = ( h , h
.
.
1

2

3

d

où :
hx j = Aj / N j , N jÎ N ,

(

j =1,2,3,...,d )

4

x1

x2

, hx3 , ..., hxd )

Chapitre I


II-3- Terminologie d’étoiles de différences [1]:
Pour

la

définition

concrète

d’opérateurs

discrets LW (sur
h

des

grilles

rectangulaires) la terminologie d’étoiles de différence est commode [1].
Une approximation générale de différence pour X Î Gh est de la forme
suivante :

L .U (X )=åS U (X +K.h)
W
h

h

K

K

K

K Î V

(I-5)

V signifie un certain sous ensemble fini de Z2 (contenant (0,0)).Dans la

Où

terminologie d’étoile de différence [1] ceci s’écrit comme suit :
.
.
.
é
ù
ê
ú
ê
ú
.
.
.
ê
ú
ê
ú
.
.
.
ê
ú
ú . . . S -1,1 S0,1 S1,1 . . . ê
ê
ú
( X + K.h )= ú . . . S -1,0 S0,0 S1,0 . . . ê.U h(X)
hU h
ê
ú
ú . . . S -1,-1 S -1,0 S1,-1 . . . ê
ê
ú
ê
ú
.
.
.
ê
ú
ê
ú
.
.
.
ê
ú
ê
ú
.
.
.
ë
û

(I-6)

L .U ( X )=[s ]
W
h

h

k

et avec : LW = [SK ]h .
h

Les coefficients SK dépendent, bien sur, de h et éventuellement aussi de x .Les
opérateurs discrets LW peuvent être décrits sur un domaine rectangulaire, en utilisant
h
une discrétisation en différence finie ou élément fini, par une étoile de différence de 5
ou 9 points (voir l’exemple suivant) :

é
ù
s0,1
ê
ú
ês-1,0 s0,0 s1,0 ú
ê
ú
ê
ú
s0,-1
ë
ûh

é s-1,1 s0,1 s1,1 ù
ê
ú
ê s-1,0 s0,0 s1,0 ú
ê
ú
ês
ú
ë -1,-1 s0,-1 s1,-1 û h

,

5

(I-7)

Chapitre I


· Exemple :
Prenons comme exemple le cas simple de l’équation de Poisson avec des
conditions de Dirichlet sur le carré d’unité, notamment :

LWU

= -DU

f W( X )

=

,

( X Î W = ( 0,1) )
2

(I-8)
LGU

= U

=

f G( X )

( X Î G)

,

Si ce problème est discrétisé sur une grille carrée( h ) utilisant l’étoile de
différence de 5-point, donc :

LW
h

=

-D h

=

-1
é
ù
ê
ú
1 ê-1 4 -1ú
h2 ê
ú
ê
ú
-1
ë
û

(I-9)

L’opérateur linéaire Lh utilisé dans(I-3) est alors donné dans cet exemple par
l’étoile de différence en (I-9).

II-4- Opérateurs d’interpolation et restriction[1][12] :
A coté des opérateurs discrets Lh , nous requérons des opérateurs d’interpolation
et restriction pour le transfert de fonctions de grille. Dans le contexte Multigrille, nous
emploierons une terminologie d’étoile aussi. Nous illustrons cela pour le transfert de
grille Gh et la grille correspondant à la taille de maille 2h [1].
·

Grilles fines :

Le domaine W est celui dans lequel l’équation différentielle partielle doit être
résolue. Dans le cas de discrétisation sommets centrés, les points discrets de grille sont
localisés aux sommets des cellules comme montré dans la Figure (I-1). La grille est
donc définie par[8] [12] :

6

Chapitre I


Gh =

{XÎR :X = jh, j =( j1, j2, j3,..., jd ),h=(h1,h2,h3,...,hd ),
d

ja =0,1,2,3,...,na ,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d
na

}

(I-10)

3
J2
2
J1
1
1

2

3

1

Fig.(I-1) : Grille à 2D, à sommets centrés.
Dans le cas de discrétisation cellules centrées, les points de grille sont définis au
centre de chaque cellule comme représenté dans la Figure( I-2 ),et la grille Gh est
définie par[8] [12] :
Gh = {XÎRd:X =(j-s)h, j=( j1, j2, j3,..., jd ),s=(1,1,1,...,1)/2,h=(h1,h2,h3,...,hd ),
ja =1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d
na

}

(I-11)

J2
1

J1

0

0

1

Fig.( I-2 ) : Grille à 2D,à cellules centrés.

·

Grilles brutes[8] [12] :

Dans le cas de discrétisation sommet centré, la grille brute est définie par :
G2h = {XÎR :X =2jh, j=( j1, j2, j3,..., jd ),h=(h1,h2,h3,...,hd ),
d

7

Chapitre I


ja =0,1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d
na

}

(I-12)

Dans le cas de discrétisation cellule centré, G2h est défini par :
G2h = {XÎR :X =2(j-s)h, j=( j1, j2, j3,..., jd ),s=(1,1,1,...,1)/2,h=(h1,h2,h3,...,hd ),
d

ja =1,2,3,...,na,ha = 1 ,a =1,2,3,...,d
na

}

(I-13)

Un opérateur de restriction I h2h trace h-fonctions grille en 2h-fonctions grille :
2
Ih h

Gh

G2h

(Ih2h.Uh)(X )= åtˆk.Uh(X +K.h) , (X ÎG2h )

(I-14)

KÎN

Les coefficients tˆk peuvent dépendre de h et X, cependant, les tˆk sont constantes,
pour (I-14) nous écrivons[1] :
.
ù
ú
ú
.
ú
ú
.
ú
ú . . . t-1,1
ˆ
ú
2h
2
ˆ
I h h =[ˆ ] =ú . . . t-1,0
tk h
ú
ú
ˆ
ú . . . t-1,-1
ú
.
ú
ú
.
ú
ú
.
ú
û

.

.

.

.

.

.

ˆ
t0,1

ˆ
t1,1

ˆ
t0,0

ˆ
t1,0

ˆ
ˆ
t-1,0 t1,-1
.

.

.

.

.

.

2h

é
ê
ê
ê
ê
ê
. . .ê
ê
. . .ê
ê
ê
. . .ê
ê
ê
ê
ê
ê
êh
ë

(I-15)

L’opérateur de restriction fréquemment le plus employé est l’opérateur de poids
plein (Full Weighting FW) :

2h

é1 2 1 ù
ê
ú
1 ê 2 4 2ú
16 ê
ú
ê1 2 1 ú h
ë
û

(I-16)

Parallèlement, une interpolation (prolongation) cartes d’opérateur

8

Chapitre I


2h-fonctions grille en h-fonctions grille. Pour la description de tels opérateurs,
nous introduisons la notation suivante :
.
ù
ú
ú
.
ú
ú
.
ú
(
ú . . . t-1,1
ú
( h
(
h
I 2h =] tk [2h =ú . . . t-1,0
ú
(
ú . . . t-1,-1
ú
ú
.
ú
ú
.
ú
ú
.
û

.

.

.

.

.
(
t0,1
(
t0,0
(
t-1,0

.
(
t1,1
(
t1,0
(
t1,-1

.

.

.

.

.

.

h

é
ê
ê
ê
ê
ê
. . .ê
ê
. . .ê
ê
. . .ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë2h

(I-17)

Et avec :
h
I 2h

G2h

Gh

La signification de cette terminologie d’étoile est que les valeurs de grille brute
(

sont « distribuées » à la grille fine lestées par tk .
La méthode d’interpolation la plus fréquemment employée est la bilinéaire de G2h à
Gh. L’étoile correspondante est donnée par :

h

ù1 2 1 é
ú
ê
1 ú 2 4 2ê
4ú
ê
ú 1 2 1 ê 2h
û
ë

(I-18)

Evidement, cet opérateur d’interpolation correspond au (FW) opérateur de
restriction (I-16) : Ces deux opérateurs sont adjoints à chacun autre.

9

Chapitre I


Exemples :

J2

Gh

J2

G2h

4

2

I

3

2h
h

2
1
1

h
I 2h

J1

J1

0

0
0

1

2

3

4

0

1

2

Fig.(I-3) :Grilles à 2D, à sommets centrés.
Gh

J2

G2h
J2

4

2
Ih h

2

3
2
J1
1
1

2

3

h
I 2h

J1
1

4
1

2

Fig.( I-4 ) : Grilles à 2D,à cellules centrés.

III –L’idée Multigrille, composants Multigrille [1] [10]:
Dans cette section nous décrivons l’idée fondamentale Multigrille. Pour cet
objet, nous considérons un système elliptique linéaire discrétisé dont la formulation
est donnée par :
Lh .U h

=

fh

(Wh )

(I-19)

Où Lh est un opérateur linéaire, tel que :
Lh : G (Wh )

G (Wh )
10

(I-20)

Chapitre I


Où G (Wh ) dénote espace linéaire de fonction de grilles sur Wh . Nous
prendrons Wh qui consiste en N= Nh points de grille correspondant aux valeurs des
inconnus de grille de U h .

III-1-Process de correction d’une grille grossière [1] [5]:
Soit U hj une approximation de la solution Uh de (I-19), alors :
= Uh

Vhj

- U hj

(I-21)

Nous dénotons l’erreur de U hj (aussi vu comme correction de U hj ).
Et par :
dhj

=

fh

- Lh.U hj

(I-22)

le défaut (ou le résiduel) de U hj . L’équation de défaut et donc :
Lh.Vhj = dhj

(I-23)

L’équation de défaut et les approximations jouent un rôle essentiel dans la
description de l’idée Multigrille.
Nous débutons la description par le pointage alors que la plus part des méthode
itératives classiques de la solution (I-19) peuvent aussi être interprétées comme
approximation de (I-23) :
ˆ
Si dans (I-23) Lh est remplacé par un « simple » opérateur Lh , donc :
ˆ ˆ
Lh.Vhj

= dhj

(I-24)

donne une nouvelle approximation :

U hj +1 = U hj

ˆ
+ Vhj

(I-25)

A partir d’un certain U h0 , l’application successive de ce process définie une
procédure itérative. Clairement, l’opérateur d’itération de cette méthode est donnée
par :
Ih

G(Wh )

- Bh Lh : G(Wh )

11

(I-26)

Chapitre I


ˆh
Où : Bh = L-1 et I h est dénoté matrice d’identité sur G (Wh ) .

Nous avons ( voir la démonstration en Annexe A ) :
Vhj+1 = æ Ih - BhLh ö.Vhj
ç
÷
è
ø

,

æ j = 0,1,2,3,...ö
ç
÷
è
ø

(I-27)

Pour l’erreur, et :
dhj +1 = æ I h
ç
è

- Lh Bh ödhj
÷
ø

, æ j = 0,1,2,3,....ö
÷
ç
ø
è

(I-28)

Pour le défaut.
ˆ
Un choix tout à fait différent de Lh , consiste en l’utilisation d’une approximation

appropriée LH de Lh sur une grille brute G(WH ) .Donc l’équation (I-24) est remplacée
par l’équation suivante :

ˆ
LHVHj

j
= dH

(I-29)

et avec :
LH : G(WH )

®

G(WH )

(I-30)

j
ˆ
Comme d H et VHj sont fonctions grille sur la grille brute G(WH ) , nous prenons deux

opérateurs de transfert (linéaire) :
H
Ih : G(Wh ) ® G(WH )

,

h
I H : G(WH ) ® G(Wh )

(I-31)

I hH est utilisé pour limiter d hj à la grille brute G(WH ) :
j
dH

= I hH dhj

(I-32)

h
ˆ
et I H pour interpoler la correction VHj à la grille fine G(Wh ) :

ˆ
Vhj

h ˆ
= I H.VHj

(I-33)

Un pas d’itération (calcul U hj +1 de Uhj ) s’effectue comme suit :

12

Chapitre I


1. Calcul du défaut :

dhj

=

2. Restriction du défaut (fin – à – brut) :

j
dH

= I hH dhj .

3. Résolution exactement sur G(WH ) :

ˆ
LHVHj

4. Interpolation de la correction (brut – à – fin) :

ˆ
Vhj

5. Calcul de la nouvelle approximation :

ˆ
U hj +1 = U hj + Vhj

fh

- LhU hj .

j
= dH .
h ˆ
= I HVHj .

.
Ce process est illustré dans la Figure (I-5), l’itération associée est donnée par :

Ih

U hj

- Bh Lh

dhj

Avec

=

fh

Bh

h
= I H L-1I hH
H

ˆ
Vhj

- LhU hj

I hH
j
dH

(I-34)

ˆ
U hj +1 = U hj + Vhj

h
IH

ˆ
LH VHj

=

j
dH

Fig.(I-5) : Structure d’un process correction d’une
grille grossière.

III-2- Méthodes de relaxation :
Les méthodes Multigrilles fournissent une manière efficace dans l’espace et le
temps pour la résolution des systèmes d’équations linéaires résultant d’une solution
numérique d’un système PDE. Une méthode itérative conventionnelle ou la méthode
de relaxation est un des composants principaux d’une méthode Multigrille [10]. Les

13

Chapitre I


méthodes itératives procèdent par affinages successifs d’une approximation jusqu’à ce
que celle-ci devienne assez proche de la solution exacte.
Les propriétés de convergence des méthodes de relaxation une fois appliquées
aux équations elliptiques discrètes (I-19) sont connues pour être très mauvaises si
h = 0(nombre de points de discrétisation important).

Pour la convenance, nous présentons la notation :

Uh

(

= RELAX v U h , Lh , fh

)

(I-35)

Où le résultat dénote U h des étapes de relaxation υ appliquées à (I-19) et
commencent par U h en tant qu’à d’abord approximation.

III-3-Structure de deux grilles (h-H)[1][5][6] :
L’idée principale de la méthode Multigrille peut être comprise en considérant le
cas le plus simple d’une méthode de deux niveaux, c’est

à dire un algorithme

Multigrille avec seulement deux grilles [5].
L’algorithme de deux niveaux est un processus relativement simple de
correction de défaut :
D’abord une méthode de relaxation telle que Gauss Seidel est appliquée pour
lisser l’erreur.
Les relaxations atténuent généralement les composantes d’erreur à haute
fréquence bien davantage efficacement que les composants d’erreur de basse
fréquence.
Ensuite, l’erreur (douce) restante est transférée à la grille plus brute près
application de l’opérateur de restriction au résiduel. Ainsi le nombre de points de grille
est beaucoup plus faible sur la grille plus brute, le système résultant peut être plus
facilement approximé par un processus direct de solution ou encore par application
d’une méthode de relaxation. (sur la grille plus brute l’erreur a encore des composants
à haute fréquence).

14

Chapitre I


La correction trouvée ainsi est transférée à la grille plus fine au moyen d’un
opérateur de prolongation et supplémentaire à l’approximation existante. On peut
encore lisser en conclusion, le résultat par une méthode de relaxation [6].
Les trois étapes successives s’appellent respectivement le pré-lissage, correction
de grille brute et post-lissage [1] [6], et sont représentées comme suit:
(calcul U hj +1 à partir Uhj ) :
1. Pré - lissage :

· Calcul U hj par l’application υ1( ³0 )itérations d’une méthode de
relaxation donnée à Uhj :
U hj

(

= RELAX n1 U hj , Lh , fh

)

2. Correction de la grille brute :
· Calcul du défaut :

dhj

=

fh

- LhU hj

· Restriction du défaut (transfert fin –à – brut) : dHj = I hH dhj
· Résoudre exactement sur G(WH ) :

ˆ
LHVHj

= d Hj

h ˆ
ˆ
· Interpoler la correction (transfert brut –à –fin) : Vhj = I HVHj

· Calcul de l’approximation corrigée:

3.

U hj +1 = U hj

ˆ
+ Vhj

Post - lissage :
·

Calcul Uhj+1 par l’application υ2( ³0 ) itérations d’une méthode de
relaxation donnée par :
U hj +1 = RELAX n 2 æ U hj
ç
è

Ce processus est illustré dans la Figure (I-6) :

15

ˆ
+ Vhj , Lh , fh ö
÷
ø

Chapitre I


U hj

d hj = f h - LhU hj

U hj

ˆ
Vh j

n 1relax
I hH

U hj +1

ˆ
U hj + Vhj

n 2relax

h
IH

ˆ
LH VHj = d Hj

d Hj

Fig.(I-6) : Structure d’une méthode de deux
grilles (h-H)

L’opérateur d’itération M hH de la méthode de deux grilles (h-H) est donnée par :
H
M h = Sn 2 .KhH .Sn1
h
h

Avec

H
Kh

= Ih

h
H
- I H.L-1.I h .Lh
H

(I-36)

IV- Cycle complet de la méthode Multigrille :
L’algorithme de deux niveaux peut être employé périodiquement pour
rapprocher le système sur la grille plus brute qui donne un algorithme Multigrille
(stockage de correction).Au lieu de résoudre l’équation de défaut de grille brute
(I-29) exactement, nous pouvons en obtenir une solution approximative en présentant
une grille plus brute et en employant l’itération de la méthode de deux gilles[1].
Si le facteur de convergence de la méthode de deux grilles est assez petit,
nous aurons besoin seulement de quelques étapes de cette itération pour obtenir une
bonne solution rapprochée. Nous dénotons le nombre de telles itérations par g [5] .
Evidement nous pouvons appliquer cette idée périodiquement vers le bas
jusqu’à la grille la plus brute.
Une itération d’une méthode Multigrille, de la grille la plus fine à des grilles
plus brutes puis du sens opposé de la grille brute aux grilles fines, s’appelle un cycle. Il
dépend de la valeur de g , le nombre d’itérations de deux grilles à chaque étape
intermédiaire.Le cas g = 1 est appelé un V-Cycle, alors que g = 2 est appelé un
W-Cycle (voir les Fig.(I-8) et Fig.(I-9) ).Ceux-ci sont les cas les plus utilisés en
pratique[5].

16

Chapitre I


Pour une description formelle des méthodes Multigrilles, nous utilisons
l’index l (pour grilles, fonctions de grille et opérateur de grille).
Dans la suite pour chaque Wl , nous prendrons les opérations linéaires :
Lℓ : G(Wl ) ® G(Wl )
Sℓ : G(Wl ) ® G(Wl )

(I-37)

Ill -1 : G(Wl ) ® G(Wl-1)
Ill-1 : G(Wl-1) ® G(Wl )

et l’équation discrétisée :
Ll .U l

=

(Wl )

fl

(I-38)

Où G(Wl ) dénote l’espace de fonctions grille sur Wl .
L’opérateur Sl comprend les opérateurs linéaires d’itération correspondant
aux méthodes de relaxation données. Le résultat U l de pas u de relaxation (appliqué à
Ll .U l

=

fl

avec la première approximation U l ) sera dénoté par :
Ul

(

= RELAX u U l, Ll, fl

)

(I-39)

Si une certaine approximation U lj de Ul est déterminée, le calcul de la nouvelle
approximation Ulj+1 est donnée comme suite :
· Si l = 1, le problème est réduit à celui du paragraphe III-3
avec W1 , W0 au lieu de Wh , WH respectivement.

17

Chapitre I


· Si l >1 :
1. Prè – lissage :

· Calcul U l j par l’application u

1

(³0 ) itérations

d’une méthode de

relaxation donnée à Ulj :
Ul j

(

)

dl j =

fl - LlUl j .

= RELAX u1 Ulj ,Ll , fl

.

2. Correction de la grille brute :

· Calcul du défaut :
· Restriction du défaut :

dlj-1 = Ill -1dlj .

ˆj
· Calcul d’une solution approximative Vl -1 de l’équation de défaut

sur G(Wl-1 ) :
ˆj
Ll -1Vl -1 = dlj-1 .

· Interpole la correction :
·

ˆ
Vl j

Calcul l’approximation corrigée sur G(Wl ) :

(I-40)

ˆj
= Ill-1Vl -1 .
Ulj

ˆ
+ Vl j .

3. Post - lissage:

· Calcul U lj +1 par l’application u2 (³ 0) itérations d’une méthode
ˆ
de relaxation donnée à U l j + Vl j :

U lj +1 = RELAX u 2 æ U l j
ç
è

ˆ
+ Vl j, Ll, fl ö
÷
ø

Le même processus est décrit dans l’organigramme suivant, un paramètre de
commutation 0 £ C(K ) £ g est introduit.

18

Chapitre I


V-Organigramme d’un pas d’itération Multigrille [1]:

Approximation

VlK

C(K ) = F , K = F,...,l K = l , Vl = VlK
dl = f l

(

VK = RELAX u1 VK ,LK ,dK

)

C(K ) = C(K ) + 1

dK -1 = rK (dK - LKVK )
Non

K

= F?

VK = F

Oui
Résolution exacte de
LKVK = d K

C(K ) = 0

VK +1 = VK +1 + PKVK

(

VK = RELAX u2 VK ,LK ,dK

)

Oui

Non
C(K ) = 0

C (K ) = g

K =l?

Oui

Non

Approximation
VlK +1 = Vl

Fig.(I-7) Organigramme d’un pas d’itération Multigrille pour
la résolution de LlVl = fl , (l ³ 1)

19

Chapitre I


Niveau 3
P3

R3

P2

R2

R1

Niveau 2

Niveau 1

P1
Niveau 0

Résolution exacte.
Grilles intermédiaires.
Fig.(I-8) Schéma représentatif de
V- cycle pour g = 1 , l = 3

Niveau3
R3

P3

R2

P2

R1

P1

Niveau2

Niveau1

Niveau0

Résolutions exactes.
Grilles intermédiaires.
Fig.(I-9) Schéma représentatif de
W- cycle pour g = 2 , l = 3

20

Chapitre I


VI- Convergence, coût de calcul, occupation mémoire :
VI-1 Théorie de convergence [1][2][4] :

La théorie de convergence de la méthode Multigrille classique

donnée par

Hackbusch [1][3] [4] est basée sur la matrice d'itération M l .
Soit M l matrice d’itération d’un cycle Multigrille complet de résolution de
Ll.U l = fl avec g ,n 1 et n 2 donnés.

M l est donné par la relation récursive suivante :
n
1
M1 = S1 2 (I1 - I0 L-1I10 L1 )S1 1
. n
0
n
M ll -1 = Sl 2 (Il - Ill-1L-11Ill -1Ll )Sl 1
. n
l-

, pour : 1£k£l-1

(I-41)

Pour une méthode de deux grilles, la norme de la matrice d’itération est définie
comme suit (on suppose que n 2 =0, n 1 = n ):

l
l
l
n
M l -1 £ Ll -Il -1L-11Il -1 . Ll.Sl
l-

(I-42)

La méthode de deux grilles converge quand les conditions suivantes sont vérifies :
n
Ll Sl £ CS.h( ) h-a , h(n ) ® 0 et comme n ® ¥ ,
n.

(I-43)
Ll - I

l -1 -1
l
l
l -1 l -1

L I

£ CL

.ha

.

Et donc :
l
M l -1 £ CL.CS.h( ) .
n

(I-44)

Les constantes CL , CS et la fonction h(n ) sont indépendants de hk . Le paramètre a
représente l’ordre de l’équation différentielle à résoudre.

La méthode Multigrille obéit aux mêmes propriétés de convergence que pour le
cas de deux grilles.

21

Chapitre I


VI-2 Coût en calculs [1]:

De la définition récursive d’un cycle Multigrille comme donnée dans le paragraphe
IV, il découle immédiatement que le coût en calculs Wl par cycle Multigrille, est
récursivement donné par :
W1 = W01 + W0

(I-45)
Wk +1 = Wkk+1 + g kWk , pour : (k=1,2,3,… l )

Et avec :
·

Wkk+1 dénote le coût en calculs de la méthode de deux grilles (hk+1,hk),

sans compter le coût de résolution de l’équation de défaut sur Wk ,
·

W0 dénote le coût nécessaire pour calculer la solution exacte sur la

grille grossière W0 .
Si g est indépendant de k, on obtient de (I-45), le coût en calculs d’un cycle
Multigrille :
Wl =

l

åg

l-k

.Wkk -1 + g l -1.W0

(l

³ 1)

(I-46)

k =1

Où:
Wkk -1 £ c.Nk

(I-47)
Nk -1 £ 1 .Nk
CH

( k =1,2,3,...)

Et CH = 4 , pour H = 2h.
N k représente le nombre de points de la grille W k au niveau k.

A base ces hypothèses, on obtient immédiatement à partir de (I-46) l'évaluation
suivante pour tout le coût en calculs Wl d'un cycle Multigrille complet :

22

Chapitre I


Wl ~ 3/4 C N l pour γ=1 (V-cycle).
Wl ~ 2 C N l pour γ=2 (W-cycle).
Wl ~4 C N l

pour γ=3 (F-cycle).

Wl =0 ( N l log ( N l ) ) pour γ=4

Cette estimation du coût, avec le critère de convergence de (VI-1) montre le
caractère optimal des méthodes Multigrilles pour 2 £ g £ 3 .

VI-3 Occupation mémoire [1][4]:

A chaque niveau il faut stocker la solution U et le résiduel d. Il est inutile de
stocker l’opérateur de restriction r et l’opérateur d’interpolation p, car ils suivent
toujours des lois très simples. De même si L l est simple (par exemple opérateur
différences finies) il est inutile de le stocker.[1]
Plus nous allons vers un niveau grossier, moins il y a de valeurs à stocker. Ainsi,
soit une structure de données qui croit en C N l

au niveau l . Le coût total G de

stockage vaut donc :
l*

G =Cå Nl

(I-48)

0

si on à une relation de type Nk -1£ 1 Nk est vérifié alors :
CH

l*

åN
0

et

l

£ Nl*.(1+ 1 +....+ 1 * ) < 11 Nl*
l
1- C
CH
CH
H

G£C CH Nl*
CH -1

(I-49)

(I-50)

Donc le coût on occupation mémoire du cycle Multigrille est du même ordre de
grandeur que le coût de stockage du vecteur solution sur le maillage le plus fin.

23

Chapitre I


VII-Conclusion :
Le principe de la méthode Multigrille est d’estimer une correction de l’erreur de
la solution obtenue après quelques relaxations sur la grille fine. Les méthodes de
relaxation itératives classiques de Gauss Seidel et Jacobi ont la propriété d’être de
bons lisseurs hautes fréquence. Les basses fréquences qui non pas été lissées sur la
grille fine seront lissées sur les grilles grossières [9].

Les méthodes Multigrilles sont des méthodes itératives très intéressantes :
· Elles ont de bonnes propriétés de convergence (le taux de
convergence de la méthode Multigrille linéaire est indépendant de la
maille [1][4] ).
· Leurs coûts en calculs sont faibles.
· L’occupation mémoire nécessaire se réduit à celle du
niveau le plus fin, c'est-à-dire l’occupation mémoire de toute méthode
itérative classique.

24

Chapitre II
Présentation de la version
actuelle du logiciel
SIM-3D

Chapitre II

Présentation de la version initiale du logiciel SIM-3D.

I-Introduction :
Ce chapitre contient la description des principales étapes de calcul caractérisant la
version actuelle de SIM-3D [13] écrite en langage C++sous Windows version5. Ce
dernier offre la possibilité de déclarer des tableaux tridimensionnels de grande taille,
et permet une meilleure gestion de l’espace mémoire.
SIM-3D intègre deux algorithmes de Gummel et celui de Newton pour la
solution du système couplé d’équations non linéaires aux différentielles partielles
relatives au modèle physique(voir annexe C)[15].

II- Description de programme (SIM-3D)[13][14] :
II-1-Premiere partie :
II-1-1-Entree des données :
Cette première partie concerne la définition géométrique et physique, le
maillage et les conditions aux les limites voir Figure (II-1).Au début chaque dimension
de la structure d’étude exprimée en micron est entrée par l’utilisateur. Ainsi la
profondeur et la largeur des différentes diffusions sont définies, cette phase est suivie
par l’entrée des caractéristiques physiques du composant tel que [13][14] :
· Le profil de dopage et le type d’impuretés, N ou P, dans les couches semiconductrices.
· Les caractéristiques des diffusions (gradient et type de dopage).
Cette étape comprend les procédures suivantes dans l’organigramme de la
Figure (II-1) :

25

Chapitre II


Entrée des dimensions
géométriques
de la structure

Entrée des caractéristiques
physiques de la structure
et des paramètres de précision
Géométr
Entrée Des Dimensions
Discrétisation
de la
structure

Normalisation
des
paramètres physiques

Entrée des conditions
aux limites

Fig.(II-1) : Organigramme d’entrée des données.

II-1-2-Maillage :
Apres que les paramètres géométriques et physiques soient introduits par
l’utilisateur, la procédure de maillage est entamée, ce qui représente une étape très
délicate puisque les résultats dépendront essentiellement de la discrétisation (voir
annexe D) choisie et du pas utilisé (voir Figure (II-2)).

26

Chapitre II


Entrées des dimensions du domaine à
discrétiser, les pas initiaux et le nombre de
point représentatifs choisie par l’utilisateur

Détermination de la raison de calcul
(en partant d’un maillage à pas variable
défini par une série géométrique)

Calcul des valeurs des pas successifs
le long de la structure discrétisée

Fig.(II-2) : Discrétisation et détermination des pas de calcul.

Après l’étape de discrétisation, la normalisation des paramètres utilisés dans le
calcul est effectuée [13][14] .Ceci sert à éviter les écarts importants pouvant surgir
entre certaines valeurs ce qui pourrait compromettre les calculs.

II-1-3-Conditions aux limites :
D’une manière générale, une équation aux dérivées partielles admet une
infinité de solutions. La solution particulière désirée est déterminée à partir de
conditions supplémentaires. Ces conditions sont appliquées dans la plus part des cas
sur la frontière d’un domaine fermé.
Soit une structure P+υ représentée par le domaine limité de la Figure (II-3).

27

Chapitre II


y
o

D

C

x

B

A
z

υ

P+

H

G

E
F
Fig.(II-3) : Structure utilisée.

Les deux principales conditions aux limites dans le logiciel SIM-3D sont:

II-1-3-a-Conditions de Dirichlet :
Les conditions de Dirichlet sont établies comme suit : Aux contacts, le modèle
utilisé est celui du contact ohmique idéal, c’est a dire un contact parfaitement
recombinant et qui ne présente pas de zone de charge d’espace.
Les conditions seront définies par l’équation thermodynamique, tel que :

n.p = ni2

(II-1)

Où ni représente la concentration intrinsèque. Au contact ohmique la valeur de la
fonction sera égale a la tension de polarisation. On aura pour le plan ACEH :

ψijl = 0
Nijl =

(II-2)

ni2
NA

28

Chapitre II


et Pour le plan BDFG:
ψijl = log nc.Na
ni2
2
Pijl = ni
nc

(II-3)

Où ψijl ,Nijl ,et Pijl sont le potentiel, la concentration en électrons et trous
respectivement en tout point (i,j,l) .

II-1-3-b-Conditions de Neumann :
Les valeurs des dérivées de la fonction sur le long de la normale sont nulles.
Ainsi au niveau des frontières ou l’on ne connaît pas les valeurs de N et P, les
conditions aux limites sont de type Neumann.
Ceci se traduit mathématiquement, en prenant la dérivée de ψ ,N et P par-rapport à
la variable d’espace nulle à la limite considérée, par l’expression :
dy dn dp
= = =0
dm dm dm

(II-4)

m est le vecteur orienté suivant la direction spatiale choisie, ces conditions

s’appliquent dans le cas de la Figure(II-3) sur les plans : (ABEF),
(CDHG),(EFGH),(ABCD).

II-2-Deuxieme partie : Résolution numérique :
II-2-1-Algorithme de Gummel :
La méthode de Gummel[12][16][17] consiste en une résolution successive de
trois systèmes couplés de N équations à N inconnues.Chaque système d’équations est

29

Chapitre II


voué à déterminer la valeur d’un seul type d’inconnue. Par exemple l’équation de
Poisson fournit les valeurs des potentiels ψ pour des concentrations N et P déjà
déterminées.
Le principe général de la méthode de Gummel est le suivant :
A partir d’une solution initiale estimée (ψ0,N0,P0) l’équation Fψ(ψ,N,P) = 0
(voir annexe D) d’inconnue ψ est résolue en premier. Les valeurs de ψ ainsi
déterminées seront reportées dans les systèmes d’équations Fn et Fp
(voir annexe D). L’équation Fn (ψ,N,P) = 0 est aussi mise à jour et résolue à son tour
pour l’inconnue N .Ce processus de mise à jour et de résolution est répétée par
alternance pour Fp,Fn,Fψ jusqu'à convergence complète du système. L’algorithme de
Gummel est représenté par l’organigramme de la Figure (II-4) :

30

Chapitre II


Initialisation des valeurs y ,N,P

Résolution en dy de l’équation de
Poisson
Non

Oui
Si dy <e1

Mise à jour de y dans l’équation de
Continuité Fn

Résolution en dn de l’équation de
continuité des électrons Fn
Oui

Non
Si dN <e 2

Mise à jour de y et N dans l’équation
de continuité des trous Fp

Résolution en dp de l’équation de
continuité des trous Fp
Non

Si dP <e 3
Oui
Mise à jour de y ,N,P dans l’équation de
Poisson Fy

Non
Si dy , dN , dP

Fig.(II-4) Organigramme de la
méthode de GUMMEL
31

Oui
uggfffdddOui
FIN

Chapitre II


II-2-2-Algotithme De Newton :
II-2-2-1-Introduction :
L’algorithme de Newton ou méthode couplée est mieux adapté à la résolution
des équations fortement couplées liées à la considération des structures à base des
semi-conducteurs à relaxation .Cette méthode est très sensible aux valeurs initiales, et
sa convergence dépend essentiellement de ces dernières, ce qui nous a mené à tenir en
compte des valeurs calculées à l’équilibre thermodynamique comme valeurs initiales .
En ce qui concerne la tension de polarisation, et pour toujours, éviter le
problème de divergence, on s’est proposé de polariser la structure utilisée, pas à pas.
Ce ci consiste à crée un pas de polarisation et injecter a chaque fois les
paramètres calculés précédemment dans une prochaine simulation avec un nouvel
incrément du pas de polarisation.

II-2-2-2- Principe de la Méthode Newton Raphson [18] [19] :
La méthode de Newton consiste à effectuer à partir d’un point initial
(approximation de la solution) un développement en sérier de Taylor limité d’ordre un,
pour chacune des équations du système non linéaire.
La résolution du système linéaire obtenu permet d’aboutir à une nouvelle
approximation de la solution. Le principe de la méthode Newton Raphson est le
suivant :

Notons
linéaire :

*

[

*

*

*

x = x 1, x 2, x 3,......., x

fi( x )=0

] le

* t
n

vecteur solution du système non

, avec i=1,2,3,…….,n .

Si chaque fonction fi est continue et continûment différentiable, alors par
développement en série de Taylor dans le voisinage d’un estimé x (k) proche de x *
(obtenu à la K-ieme itération), on obtient :

32

Chapitre II


dfi(x)
x =x
j =1 dx j
n

fi( x *)= fi( x (k) +( x *- x (k)))= fi( x (k)) + å
n

+ 1å
2 j =1

d (x )
å(x -x ) (x -x )dx dx

(K)

(x -x )
*
j

(K)
j

2

n

*
j

(K)
j

(K)
r

*
r

j

r =1

x= x K

+………..=0. i=1,…….,n.

(II-5)

r

Si x (k) est un estimé proche de x *, les éléments (xi* - xi(K) ) sont négligeables,
2

ainsi que les termes de degrés supérieur. L’équation (II-5) s’écrit donc :

n

dfi(x)

å dx
j =1

j

=

x x

(K)

(x -x ) = - fi( x (k))
*
j

(K)
j

(II-6)

Définissons la matrice E (K) des dérivées premières telles que :

(K
Eij ) =

df i ( x )
dx j x = x

(K)

i=1,2,3,…,n j=1,2,3,…n .

(II- 7)

Le vecteur d’erreur Dx(K) par :

Dx(K) = x*j - x(jK)

(II- 8)

Puis le vecteur F (K) par :

Fi (K) = - fi( x (k))

(II-9)

Alors la relation ( II-6)

E (K) . Dx(K) = F (K)

(II-10)

33

Chapitre II


Dans ce système d’équations linéaires, toutes les quantités sont connues
hormis les Dx(K) , les méthodes classiques de résolution des systèmes linéaires sont
applicables pour leur détermination [20].
Par ailleurs si Dx(K) est estimé de l’erreur commise en approximation x *par

x (k) on peut donc obtenir un meilleur estimé x (k+1) de x * en écrivant :
x (k+1) = x (k) + Dx(K) .
Les itérations s’arrêtent lorsque :

x* - x(K) ® 0
Les principales étapes de cet algorithme (voir la figure Figure (II-6)) sont les
suivantes :

1-Première étape :
Les données sont introduites par des fichiers en mode Read, ces fichiers
contiennent le nombre de points sur chaque direction, les valeurs de potentiels, des
densités de porteurs libres calculées à l’équilibre thermodynamique, et les pas de
discrétisation en chaque direction.

2-Deuxième partie :
2-1-Calcul des matrices U et F :
L’application de la méthode de Newton dans la simulation numérique des
dispositifs conduit à résoudre simultanément Fψ, Fn et Fp. Cela revient à calculer ψ, N
et P comme solution d’un système à 3N équations, en chaque point du réseau de
discrétisation tridimensionnel.
Les trois systèmes d’équations discrétisés (voir annexe D) sont regroupés en un
seul système :

34

Chapitre II


r r r
U.d =-F

(II-11)

Où :

r
U : La matrice Jacobienne complète du système.
r
d : Le vecteur de correction.
r
F : Le vecteur seconde membre.
Initialisation des valeurs de :y, NetP

V = V +dV

Calcul et stockage de
U et F

Résolution de système U. d =-F

Test sur dy ,dN ,dP

Mise à jour y, N,P

Test sur y, N,P

Non
Si V=Va
Oui
FIN

Fig.(II-6) Organigramme de
résolution par la méthode couplée

35

Chapitre II


2-1-1-La matrice Jacobienne :
2-1-1-1-Origine Septadiagonale de la Jacobienne :
La résolution du système se fait en trois dimensions ce qui signifie que chaque
nœud de discrétisation possède six voisins (deux voisins selon chaque
direction).Ainsi on peut distinguer la matrice Jacobienne comme une matrice bande
à sept diagonales d’éléments non nuls, dont chaque élément est lui même, une
matrice carrée d’ordre trois.
Z
Y
k+1
Dy
Dz

J+1
i-1

i,j,k
X
i+1

J-1
k-1

Dx

Fig.(II-7) Représentation
géométrique d’un ensemble de nœud de
discrétisation

En tout point de discrétisation, la grandeur physique calculée est déterminée en
fonction de la contribution du point lui même plus celles de ses six proches voisins sur
les trois directions de calcul X,Y et Z. Le domaine d’étude est composé de m=nX.nY.nZ
points avec :
nX=NX-1, nY=NY-1, nZ=NZ-1.
36

Chapitre II


NX, NY et NZ représente respectivement le nombre de nœuds dans les directions
X ,Yet Z.
Le développement de l’équation (II-6) conduit, pour trois dimensions à l’écriture
matricielle suivante :

d1

d3
d5

d7

d2

æ Uijl Ui+1jl
ç
ç Ui1jl .
ç
ç 0
.
ç
çUij-1l
ç
ç
.
ç 0
ç
çUijl-1
ç
ç 0
ç
è

d4

d6

0 Uij+1l 0 Uijl+1 0 ö æ d111 ö æ F111 ö
÷ ç
÷
÷ ç
÷ ç . ÷ ç . ÷
.
. .
÷ ç
÷
÷ ç
÷ ç . ÷ ç . ÷
. .
.
÷ ç
÷ ç
÷
÷ ç
÷ ç
÷
. . .
. ÷. .
ç
÷ =ç . ÷
÷ ç
÷ ç
÷
. . .
÷ ç . ÷ ç . ÷
÷ ç
÷ ç
÷
.
. . . ÷ ç . ÷ ç . ÷
÷ ç
÷ ç
÷
. . ÷ çd nxnynz ÷ ç Fnxnynz ÷
÷ è
ø
ø è
ø

(II-12)

Chaque élément de la matrice U et du vecteur d en un nœud quelconque est
de la forme:(Le calcul des éléments de la matrice Jacobienne est exposé en Annexe E ).

U=

æ dFy
ç
ç dy
ç
ç dFn
ç dy
ç
ç dFp
è dy

dFy dFy ö
dN dP ÷
÷
÷
dFn dFn ÷
dN dP ÷

, et

÷

dFp dFp ÷
dN dP ø

æ dy ö
ç ÷
ç ÷
d = ç dn ÷
ç ÷
ç ÷
çd p ÷
è ø

2-1-1-2-Méthode de stockage des éléments non nuls de la matrice
Jacobienne :
Soit M une matrice équivalente à la Jacobienne U et d’ordre nX.nY.nZ.Si on
note par R un vecteur mono dimensionnel et qu’on veuille établir une
correspondance entre M et R , de manière à ne stocker dans R que les éléments non
nuls de M ,il en découle :

37

Chapitre II


Le tableau suivant nous permet de repérer un élément du vecteur R par-rapport
à son équivalent dans la Jacobienne M .

Elément de la matrice Jacobienne
M [i] [j] [l]
M [i+1] [j] [l]
M [i-1] [j] [l]
M [i] [j+1] [l]
M [i] [j-1] [l]
M [i] [j] [l+1]
M [i] [j] [l-1]

Elément du vecteur équivalent
R [k]
R [K+1]
R [K-1]
R [K+nX]
R [ K-nX]
R [ K+nX.nY]
R [ K-nX.nY]

Tableau (II-1).

Pour établir la correspondance entre un élément de la matrice M et son
équivalent dans le vecteur R, la formule suivante peut être utilisée, tel que :

K=(i-1)+((j-1).nx)+((l-1).nx.ny)

(II-13)

Dans le sens inverse, la position d’un nœud de cordonnées i,j,l se déduit par
les expressions suivantes :

i=modulo(k/nx)+1
l=int(k/nx. ny)+1

(II-14)

j=(k-(I-1)-((l-1). nx. ny)/ nx.
Lors d’un calcul en un nœud en fonction des variables aux nœuds voisins,
certains points peuvent ne pas nécessiter la contribution des six nœuds voisins
classiques.En considérant le vecteur équivalent R, et pour vérifier l’éventuelle
contribution des nœuds voisins pour un point donné, les tests suivants peuvent être
effectués :

38

Chapitre II


1)-si : k<dim-1
2)-si : k-1>=0
3)-si : k<dim- nx
4)-si : k- nx >=0
5)-si : k<dim-(nx. ny)
6)-si : k-(nx. ny)>=0

d2 existe,
d3 existe,
d4 existe,
d5 existe,
d6 existe,
d7 existe,

2-1-2-Le vecteur F :
Les éléments du vecteur f second membre représentent chacun un vecteur de trois
éléments qui sont la fonction de Poisson et celles de continuité (-Fψ,-Fn,-Fp).

2-1-3-Résolution du système Uδ=-F :
Une écriture indicée du système linéaire Uδ=-F est donnée par l’expression
suivante :
Uijl-1. δ ijl-1+ Uij-1l. δ ij-1l +Ui-1jl. δ i-1jl+ Uijl. δ ijl+ Uijl+1. δ ijl+1+ Uij+1. δ ij+1l+Ui+1jl. δ i+1jl= -Fijl-1

(II-15)

En passant des cordonnées (i,j,l) à la notation indicée en utilisant k, nous
aurons :

d7[k-(nx. ny)]. δ[k-(nx. ny)]+ d6[k]. δ[k+(nx. ny)]+ d5[k-nx]. δ[k-nx]+
d4[k]. δ[k+nx]+ d3[k-1]. δ[k-1]+ d2[k+1]. δ[k+1]+ d1[k]. δ[k]= -F[k]

39

(II-16)

Chapitre II


III-Conclusion :
L’algorithme le mieux adapté à la résolution des équations non linéaires et
fortement couplées découlant du modèle physique en est celui de Newton
(voir Annexe C).

L’algorithme de Gummel [21] intervient essentiellement lors des calculs de
simulation à l’équilibre thermodynamique.Ces derniers résultats pouvant être injectés
dans l’algorithme de Newton comme valeurs initiales pour une éventuelle étude de
même composant sous polarisation. Dans le chapitre qui suit nous présentons une
nouvelle version améliorée du logiciel SIM-3D, incluant un algorithme de résolution
numérique combinant l’algorithme de Newton à la méthode Multigrille rapide dédiée à
l’accélération des temps de convergence.

40

Chapitre III
Implémentation de
l’algorithme Multigrille
au logiciel SIM-3D

Chapitre III

Implémentation de

l’algorithme Multigrille au logiciel SIM-3D

I-Introduction :
Les calculs numériques étant souvent prohibitifs en temps, l’implémentation
d’une méthode Multigrille rapide permet une amélioration des temps de
convergence.
Ce chapitre est concerné par la description de l’implémentation de
l’algorithme Multigrille dans l’algorithme de Newton.
Concernant la méthode Multigrille, la configuration V-cycle est choisi avec
le plein poids (Full-Weighting : FW) comme opérateur de restriction,
l’interpolation linéaire comme opérateur de prolongation, et la méthode SOR
comme lisseur d’erreur.

II -Position du problème :
Le système d’équations non linéaires résultant est linéarisé a l’intérieur de
l’algorithme Newton (voir l‘annexe D) avant l’application de la méthode
Multigrille[1][12].
On considère le problème elliptique linéaire avec les conditions aux limites,
devant être résolu par la méthode de Multigrille, comme étant le suivant :

U .d = - F

(sur le domaine W)
(III-1)

d = - f0

(sur le domaine dW )

Et avec :

U : La matrice Jacobienne complète du système.

d

: Le vecteur de correction.

F : Le vecteur seconde membre.

41

Chapitre III

Implémentation de


Il s’avère être commode de considérer une grille de (2 l -1).(2 l -1).(2 l -1)
points des inconnus .Nous ajoutons les nœuds à la frontière, pour obtenir la grille G l
de (2 l +1).(2 l +1).(2 l +1) points sur laquelle l’algorithme opérera.

Nous posons P(i) le problème à résoudre par un système discrétisé à trois
équations couplées ( Poisson et continuités) sur une grille Gi de
(2i +1).(2i +1).(2i +1) points, avec (2i -1).(2i -1).(2i -1) inconnus.

Le problème est indiqué par la taille i de grille, la matrice Jacobienne U(i), et le
F(i ) représentant le second membre. Nous produirons un ordre des problèmes relatifs
P(i),P(i-1),P(i-2),P(i-3),…,P(1) sur des grilles de plus en plus grossières, où la solution
à P(l-1) est une bonne approximation de P(i). Pour déterminer l’erreur de la solution
approchée avec un pas h (grille fine), il suffit de trouver la solution pour un pas
2h(grille brute)[22].
Pour expliquer comment l’algorithme fonctionne, nous avons besoin de
quelques opérateurs qui posent un problème sur une grille, et l’améliorent ou le
transfèrent à un problème relatif sur une autre grille.

II-1- L’opérateur de lissage :
Il consiste en l’amélioration de la solution approximative par une méthode de
relaxation SOR[23]. La méthode (SOR) est une version légèrement modifiée de la
méthode Gauss-Seidel. Comme la méthode de Jacobi, la méthode SOR
emploie une moyenne pondération de la nouvelle et vieille approximation.

42

Chapitre III

Implémentation de


.

II-2- L’opérateur de restriction R(i) :

Soit ( F(i), δ(i )), les composants d’un problème P(i) , et (F(i-1), δ(i-1)),
un problème plus simple sur la prochaine grille brute, avec la conjecture
commençante par δ(i-1 ), tel que:

[ F(i-1), δ(i-1 )] =R(i) [ F(i), δ(i )]

(III-2)

Nous montrons que la restriction est mise en application simplement en
calculant une valeur pondérée à chaque point de grille par rapport à ses voisins les
plus proches.

II-3-L’opérateur d’interpolation In(i-1) :
Soit une solution approximative δ(i-1 ) pour P(i-1). Elle et convertie en δ(i )
pour le problème P(i) sur la prochaine grille plus fine, tel que :

[F(i), δ(i )] =In(i-1) [ F(i-1), δ(i-1 )]

(III-3)

Son exécution exige également une moyenne pondérée par rapport aux points
voisins les plus proches.

III-Algorithme Multigrille V-cycle :
L’algorithme mis en place ci-dessous est représentatif d’un V-cycle
Multigrille[1][4][6] :(voir Fig.(I-7),et (I-8) du Chapitre I ).

43

Chapitre III

Implémentation de

U(lmax).δ(lmax) = -F(lmax);

d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ;
d(lmax) =- F(lmax) - U(lmax).δ(lmax) ;


Itérations pour la résolution du système
linéaire sur la grille la plus fine.
Restriction du résidu sur la prochaine
grille brute.
Calcul du résiduel (d) sur la grille
plus fine.

for(jj=lmax –1 ;l>=lmin +1;j--)
d(lmax-1) = R(lmax-1)( d(lmax)) ;

Restriction du résiduel sur la prochaine
grille brute.

{
for(jj=l= δ (jj); min +1;jj--)
δ(jj) max –1 ;jj>=l

Initialisation de δΨ , δn et δp .

in

{

U(jj).δ(jj) = F(jj);

Linéaire sur grille brute.
Initialisation de δΨ , δn et δp .

δ(jj) = δin(jj);
F(jj) =d(jj);
d(jj) = F(jj) U(jj).δ(jj) = F(jj); U(jj).δ(jj) ;

Calcul du résiduelpour la résolution du système
Itérations en le limitant
à la prochaine grille brute. brute.
linéaire sur grille
Calcul du résiduel en le limitant
à la prochaine grille brute.

d(jj) = F(jj) - R(jj-1)( d(jj-1)) ;
d(jj-1) = U(jj).δ(jj) ;
d(jj-1) = R(jj-1)( d(jj-1)) ;

}

}

δ(l = ) = δ );
δ(lmin) minδin(lminin(lmin);

Initialisation de δΨ de δΨ ,δp surδp sur la
Initialisation , δn et δn et la
grillegrille grossière.
grossière.

.δ(lmin) = d(l
U(lU(lmin)min) = d(lmin); min);
min) .δ(l

Résolution sur la sur la grille grossière
Résolution grille la plus brute
Jusqu’à convergence.
Jusqu’à convergence.

for(jj=lmin+1 ;jj>=lmax ;jj++)
{

for(jj=lmin+1 ;l>=lmax +1;j++)
{
V(jj) = In(jj) (δ(jj-1)) ;

Interpolation de l’erreur sur grille
plus fine.
Interpolation de de la solution .
Correction l’erreur sur grille
plus fine.
Correction de la solution .

V(jj) ancie(jj) + V(jj) ;
δnouv(jj) ==δIn(jj) (δ(jj-1)) ;
if(jj== lmax )= δancie(jj) + V(jj) ;
δnouv(jj) d(jj)=-F (jj) ;
U(jj).δ(jj) = d(jj);

linéaire sur grille fine.
Linéaire sur grille fine.

U(jj).δ(jj) = F(jj);

}

}

44

Chapitre III

Implémentation de


IV-Description de l’algorithme Multigrille dans le programme
SIM-3D :
Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D, la méthode de Newton est
combinée à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle
emploie plusieurs ordre de grilles au lieu d’une grille simple utilisée dans l’algorithme
SOR et déjà implémentée dans l’ancienne version SIM-3D.
Un cycle de l’algorithme numérique, qui combine les deux méthodes Newton et
Multigrille linéaire, appliqué pour résoudre les équations couplées décrites et
discrétisées dans l’annexe D , est le suivant[24][25] :
1.

Linéarisation du système non linéaire à équations couplées

par une 1ere étape de la méthode de Newton.
2.

Résolution du système :U(i).δ(i)=-F(i),en appliquant quelques

itérations N 0 . Par la méthode de relaxation SOR.(Sur la grille Gi ).
3.

Après quelques étapes de relaxation, les méthodes

multigrilles effectuent une opération de transfert inter grille .Pour les
méthodes multigrilles qui emploient l’arrangement de correction cette
opération implique un calcul de résiduel et la restriction du résiduel à une
grille brute .Typiquement ces deux opérations sont combinées dans une
seule opération où le résiduel est calculé et immédiatement transféré à la
grille brute.

Le résiduel est donné par la relation suivante :

d(i) = F(i) – U(i).δ(i)

(III-4)

L’erreur étant :

e(i) = δ(i)- δ0(i)

(III-5)
45

Chapitre III

Implémentation de


Si δ0(i) :est la conjecture initiale.
Cette erreur satisfait l’équation de défaut suivante :

U(i).e(i) = d(i)

(III-6)

L’équation de défaut est projetée sur grille brute en utilisant un opérateur de
restriction plein poids (FW) R(i) ,et nous pouvons écrire :
U(i-1).δ(i-1) = R(i)( d(i))

(III-7)

Cette équation est résolue pour δ(i-1) sur une grille Gi-1.en appliquant un
nombre de relaxation N1 d’itérations SOR.
L’étape 3 est répétée périodiquement jusqu'au niveau le plus grossier, où
l’équation va être résolue jusqu'à convergence.

4.

Le résultat obtenu est soumis à une interpolation pour corriger la

solution courante sur la grille fine (Voir l’équation (III-8)) suivi par un nombre
de relaxation N2 d’itérations SOR .Cette étape peut être utilisée itérativement
jusqu'à remonter à la grille réelle (la plus fine).
La correction de la solution est donnée par l’équation suivante :

δnouv (i)= δanc(i)+V(i)

(III-8)

V(i)= In(i)( δ(i-1))

(III-9)

avec:

5.

Mise à jour de la solution du système avant la reprise d’une nouvelle
itération de Newton.
Remarque :
Une itération Multigrille inclut les étapes 3et4.

46

Chapitre III

Implémentation de


V-Organigramme Newton –Multigrille :
Initialisation Ψ ,N,et P
D
V = V + dV
C
l = l max

B
Début d’un cycle

Résolution du système linéaire :
U( l ).δ( l ) = -F( l )
Calcul du résiduel :
d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l )
l = l -1

Restriction de résiduel :
d( l ) = U( l ).δ( l ) -F( l )
Non
Si : l = l min

Oui
U( l min).δ( l min) = -F( l min) jusqu’à convergence
U( l ).δ( l ) = -F( l )

A

47

Chapitre III

Implémentation de


A

l = l +1

Interpolation de l’erreur :
V( l ) = In( V( l -1) )

Correction de la solution courante δ( l ) par :
δnouv( l ) = δance( l ) + V( l )
V(l) = In( V(l-1) )
U( l ).δ( l ) = d( l )

Si : l = l max
Non
Oui

Non

Test de vergence

sur :

B

δΨ , δn, δp
Oui
Fin de cycle Multigrille

Mise à jour de : Ψ ,n,et p

Test de convergence
sur : δΨ/ Ψ, δn/n,
δp/p

Oui
Fin de programme

Non
C

Non
D

Si : V=Va
Oui
Fig.(III-1) Organigramme de calcul
par Newton-Multigrille dans SIM-3D
48

Chapitre III

Implémentation de


V-Description des opérateurs de restriction et d’interpolation :
VI-1- Opérateur de restriction FW :
Après quelques itérations par méthode SOR sur un niveau de grille, et le
calcul des

résiduels pour l’ensemble des points de grille(excepté les points de

frontières), une opération de transfert inter grille va transférer les résiduels à la
prochaine grille brute via un opérateur plein poids (FW)[24].
Pour obtenir le second membre de l’équation U(i).δ(i)=F(i) en tout point de
grille brute, un opérateur de restriction plein poids R(i) est mis en application. Ce
dernier va transférer les résiduels des 27 points de grille fine contribuant au calcul du
point de grille brute correspondant.

Si R est l’opérateur de restriction et U est le résiduel de ¶ Ψ, ¶ n ou ¶ p
alors :

UH(x,y,z) = R (Uh(x,y,z))

(III-10)

UH(x,y,z) = Uh(x,y,z) + 1 (Uh(F1)+Uh(F2)+………+ Uh(F6) ) +
2

1 (Uh(A1)+Uh(A2)+………+ Uh(A12) )+
4
1 (Uh(S1)+Uh(S2)+………+ Uh(S8) )
8

(III-11)

Où :
Fi : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 2 nœuds de GH).
2
Ai : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 4 nœuds de GH).
4
Si : sont les nœuds de Gh avec une contribution de 1 (entouré par 8 nœuds de GH).
8

49

Chapitre III

Implémentation de


Les figures suivantes montrent la représentation géométrique des points
(nœuds) de grille fine à pondération déterminée, et leur situation par rapport au point
de grille brute correspondant.

y
1

2

x

3
U0

4
z

6

5

Les nœuds de Gh
Les nœuds de GH

Fig.(III-2) : Les points à contribution d’un
poids de 1/2, situés dans les axes x,y et z.

U(A1)
y
U(A2)

U0

U(A4)
z

U(A3)

Les nœuds de Gh
Les nœuds de GH

Fig.(III-3) : Les points à contribution
d’un poids de 1/4 ,situés dans
le plans yoz.
50

Chapitre III

Implémentation de


U(A6)

U(A5)

x
U0
z
U(A7)

U(A8)

Les nœuds de Gh
Les nœuds de GH

Fig.(III-4) :Les points à contribution d’un
poids de 1/4 ,situés dans le plans xoz.

U(A10)

y
U(A11)

x

U0
U(A12)

Les nœuds de Gh
Les nœuds de GH
Fig.(III-5) : Les points à contribution d’un
poids de 1/4 ,situés dans le plans xoy.

51

U(A9)

Chapitre III

Implémentation de


VI-2-Interpolation linéaire :
Après que la correction ai été calculée et stockée en tout point de grille
brute VH(x,y,z), elle est propagée aux points de grille fine Vh(x,y,z) en effectuant
une régénération des 26 (points situés sur les faces, arrêts et sommets) points
voisins les plus proches. Un opérateur d’interpolation linéaire est mis en
application de la manière suivante[24] :
Si V est la valeur de correction de ¶ Ψ, ¶ n ou ¶ p , nous aurons :
· Quand les nœuds de GH et Gh sont superposés alors :
Vh(x,y,z) = VH(x,y,z)

(III-12)

· Quand un nœud de Gh est entouré par deux nœuds de GH alors :
Sur la direction des x:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y,z) + VH(x+h,y,z) )
2

(III-13)

Sur la direction des y:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y-h,z) + VH(x,y+h,z) )
2

(III-14)

Sur la direction des z:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y,z-h) + VH(x,y,z+h) )
2

52

(III-15)

Chapitre III

Implémentation de


· Quand un nœud de Gh est entouré par quatre nœuds de GH alors :

Sur le plans xoy:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y-h,z) + VH(x-h,y+h,z) + VH(x+h,y-h,z) +
4
VH(x+h,y+h,z) )

(III-16)

Sur le plans yoz:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x,y-h,z-h) + VH(x,y-h,z+h) + VH(x,y+h,z-h) +
4
VH(x,y+h,z+h) )

(III-17)

Sur le plans xoz:

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y,z-h) + VH(x-h,y,z+h) + VH(x+h,y,z-h) +
4
VH(x+h,y,z+h) )

(III-18)

· Quand un nœud de Gh est entouré par 8noeuds de grille GH alors :

Vh(x,y,z) = 1 ( VH(x-h,y-h,z-h) + VH(x-h,y-h,z+h) + VH(x-h,y+h,z-h) +
8
VH(x+h,y-h,z-h) + VH(x-h,y+h,z+h) + VH(x+h,y+h,z-h) +
VH(x+h,y-h,z+h)+ VH(x+h,y+h,z+h) )

53

(III-19)

Chapitre III

Implémentation de


VII-Conclusion :
Nous avons mis au point une nouvelle version du logiciel SIM-3D
regroupant deux algorithmes combinés, Newton et Multigrille linéaire, adapté
à la représentation et simulation des structures à base de semi-conducteurs à
relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus). SIM-3D permet l’étude
du courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace
tridimensionnel.

La programmation de deux algorithmes combinés nous a permis de
mettre en évidence la grande difficulté mais nécessaire implémentation de
l’algorithme Multigrille pour une meilleure optimisation des temps de calcul.

Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions
du logiciel SIM-3D sont présentés, comparés et discutés dans le chapitre
suivant.

54

Chapitre IV
Résultats
et
interprétations

Chapitre IV

Résultats et interprétations.

I-Introduction :
Les résultats de simulation que nous présentons dans ce chapitre ont servi à
valider la méthode Multigrille, et comparer son efficacité par rapport à la méthode
SOR.

Les calculs sont appliqués pour 3 types de maillage différent : 17x17x17,
33x33x33 et 65x65x65, en assurant un nombre de points égal et homogène dans les
trois directions de calcul.

Le programme SIM-3D a été réalisé en Borland C++ 5.0, sous Windows XP
professionnel version 2002,et exécuté sur une machine Intel(R) à base de Pentium (R)
4 CPU, avec une fréquence 2.40Ghz et 128 Mo de RAM, et de 40 Go de disque dur .

La nouvelle version SIM-3D a une taille de mémoire 136 Ko, et son exécution
nécessite 187 Ko.

Nous rappelons que l’algorithme Multigrille a été implémenté dans le but
d’activer les temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de
point de discrétisation augmente.

II-Structure de test :
II-1-Schéma de la structure :
Le matériau de base étant le GaAs[26][27] nous avons validé nos programmes
par l’utilisation d’une structure P+n N+[28]polarisée en sens direct (figure (IV-1)). Le
GaAs, étant plus de type N à cause de la forte densité NT, l’ensemble de nos
simulations concernent la jonction P+n en présentant différents coups transversales de

55

Chapitre IV


concentrations en porteurs libres et distributions de potentiels. Ces résultats ont déjà du
coté physique, fait l’objet de comparaison avec ceux obtenus dans la référence [ 29 ] .

XP+

Xn

y
x

Y

o

z

Z

P+

υ

N+

Fig.(IV-1) :Schéma de la structure de test
matériau de base GaAs.

II-2-Choix du maillage :
Dans le but de valider la méthode Multigrille implémentée dans SIM-3D et ceci
particulièrement dans des conditions défavorables à la convergence(nombre de points
de discrétisation importante), nous réalisons l’ensemble de nos simulations en
appliquant un maillage homogène dans l’ensemble des directions de calcul.

II-3-Paramètres de simulation :
Nous résumons l’ensemble des grandeurs numériques de paramètres électriques
et géométriques relatifs à la structure de test, dans le tableau suivant :

56

Chapitre IV


Paramètres physiques :

Paramètres géométriques :

KT=26.10-3 ev.
Nc =4.43.1017 cm-3.
Nv = 8.84.1018 cm-3.
εr =12.5.
ni =2.106 cm-3.
EG =1.432 ev.
µn =4000 cm2/v.s.
µp=280 cm2/v.s.

Longueur de la partie P+ :
XP+ =0.15µm.
Longueur de la partie ν:
X ν =0.15µm.
Dimension en largeur :

EL2:
Nt =2.1016 cm-3.
n1t =2.1.106 cm-3.
τnt =2.7.10-9s.
p1t =1.905.106 cm-3.
τpt =1.5.10-6s.

Y =2µm.
Dimension en profondeur :
Z =2µm.

Er :
n1r =4.45.105 cm-3.
τnt =10-10s.
p1r =8.989.106 cm-3.
τpt =10-10s.
Tableau (IV-1) : Paramètres de simulation.

III-Résultats de simulation :
Les figures (IV-2) à (IV-33)

représentant des coupes transversales de la

distribution du potentiel et des profils de densités de porteurs libres N et P et leurs
erreurs associées, calculées par les deux méthodes Multigrille et SOR, et obtenues
avec trois types de maillage différent à pas constants.
57

Chapitre IV


III-1-Simulation avec un maillage (17x17x17 points) :
Le tableau ci-dessous sert de récapitulatif le nombre d’itérations et les temps
d’exécution obtenus par Multigrille et par SOR.

Concernant les résultats obtenus par la méthode Multigrille, le nombre optimum de
V-cycle /itération Newton est égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est l =4.

Multigrille

SOR

Nombre
d’itérations
de Newton:

16

24

Le temps
d’exécution
(s) :

14

339

Tableau (VI-2) : Résultats de simulation avec un maillage de 17x17x17 Points,
obtenus par Multigrille et SOR.

58

Chapitre IV


30

25

psi (kT/q)

20

15

10
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

0

axe X

Fig.(VI-2) : Distribution de potentiel pour une polarisation de10kT/q
(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

-3

x 10
7
6
5
4

¶psi
psi

3
2
1
0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

0

axe X

Fig.(VI-3) : Les erreurs sur le potentiel pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille.

59

Chapitre IV


30

25

psi (kT/q)

20

15

10
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

0.5
0

axe Y

0

axe X

Fig.(VI-4) : Distribution de potentiel pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.

0.05

0.04

¶psi
psi

0.03

0.02

0.01

0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

0

axe X

10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode SOR.

60

Chapitre IV


7

x 10

4
3.5
3
2.5

-3

2

n(cm )

1.5
1
0.5
0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

axe X

0.5

Fig.(VI-6) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

2.5

2

¶n
n

1.5

1

0.5

0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

0

axe X

Fig.(VI-7) :Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de

61

Chapitre IV


7

x 10

4

n(cm-3)

3

2

1

0

2
2

1.5

axe Y

1.5
1
1
0.5

axe X

0.5

Fig.(VI-8) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation
de 10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.

4.5
4
3.5
3
2.5

¶n
n

2
1.5
1
0.5
0
2
2

1.5

axe Y

1.5

1
1
0.5

axe X

0.5
0

0


62

Chapitre IV


17

x 10
10

8

p(cm-3)

6

4

2

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-10) : Distribution de porteurs libres P pour une polarisation de

4.5
4
3.5
3

¶p
p

2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

0

axe X

Fig.(VI-11) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de 10kT/q
(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille.

63

Chapitre IV


17

x 10
10

8

p(cm-3)

6

4

2

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

0.5
0

axe Y

0

axe X


10

8

¶p
p

6

4

2

0
2
2

1.5

axe Y

1.5

1
1
0.5

0.5

axe X

Fig.(VI-13) : Les erreurs sur les trous P pour une polarisation de

64

Chapitre IV


Le nombre d’itérations et les temps d’exécution pour les deux méthodes sont
donnés dans le tableau ci-dessous. Concernant les résultats de simulation calculés par
la méthode Multigrille sont obtenus avec un nombre optimum de
V-cycle /itération Newton est égal à 2, et un nombre de niveau de grille est l =5.
Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la
méthode SOR, nous avons fait deux simulations, sans et avec un critère de
convergence sur la grille grossière correspondant à un taux d’erreur supérieur ou
égale à 10-10 voir les figures (VI-20) et (VI-21) . Le tableau suivant sert de récapitulatif
aux principaux résultats obtenus par SOR et par Multigrille.

Multigrille
SOR
Simulation sans
critère de
convergence
Nombre
d’itérations
de Newton :

Le temps
d’exécution
(s) :

Simulation avec
critère de
convergence

20

20

40

147

111

584

Tableau (VI-3) : Résultats de simulation avec un maillage de 33x33x33 Points,
obtenus par Multigrille et SOR.

65

Chapitre IV


30

25

psi (kT/q)
20

15

10
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

axe X

0

10 kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

0.045
0.04
0.035
0.03

¶psi
psi

0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
2
1.5

2
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


66

Chapitre IV


30

25

psi (kT/q)
20

15

10
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

axe X

0


0.05

0.04

¶psi
psi

0.03

0.02

0.01

0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

0

axe X


67

Chapitre IV


7

x 10
4
3.5
3

n(cm-3)

2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-18) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille.

9
8
7
6

¶n
n

5
4
3
2
1
0
2
2

1.5
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


68

Chapitre IV


7

x 10
5

4

3

n(cm-3)
2

1

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-20) :Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY,Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille1.

0.7
0.6
0.5

¶n
n

0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
2

1.5
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X

Fig.(VI-21):Les erreurs sur les électrons N pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, = 0.25μm), obtenues par méthode Multigrille1.
1 : Simulation de la méthode Multigrille avec critère de convergence sur la grille grossière .

69

Chapitre IV


7

x 10
4
3.5
3

n(cm-3)

2.5
2
1.5
1
0.5
0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-22) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation
de 10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode SOR.

16
14
12
10

¶n
n

8
6
4
2
0
2
2

1.5
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


70

Chapitre IV


17

x 10
10

8

p(cm-3)

6

4

2

0
2
2

1.5
1.5

1
1

axe Y

0.5

axe X

0.5
0

0


9
8
7
6

¶p
p

5
4
3
2
1
0
2
2

1.5
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


71

Chapitre IV


17

x 10
12

10

8

p(cm-3)

6

4

2

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

axe X

0


18
16
14
12

¶p
p

10
8
6
4
2
0
2
2

1.5
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


72

Chapitre IV


Les résultats suivants sont obtenus par la méthode Multigrille, avec un nombre
optimum de V-cycle /itération Newton égal à 2, et le nombre du niveau utilisé est
l =6, et en appliquant un critère de convergence sur la grille grossière avec un taux

d’erreur supérieur ou égale à 10-10 .

Multigrille

Nombre
d’itérations
de Newton:

6

Le temps
d’exécution

11328

(s) :

Tableau (VI-4) : Résultats de simulation avec un maillage de 65x65x65
Points, obtenus par Multigrille .

73

Chapitre IV


30

25

psi (kT/q)

20

15

10
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-28) : Distribution de potentiel pour une polarisation de 10kT/q
(plan XOY, Z = 0.25μm), obtenue par méthode Multigrille.

0.045
0.04
0.035
0.03
0.025

¶psi
psi

0.02
0.015
0.01
0.005
0
2
2

1.5

axe Y

1.5

1
1
0.5

0.5

axe X


74

Chapitre IV


7

x 10
6

5

4

n(cm-3)
3

2

1

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

axe Y

0.5
0

axe X

0

Fig.(VI-30) : Distribution de porteurs libres N pour une polarisation de
10kT/q (plan XOY, Z = 0.25μm),obtenue par méthode Multigrille.

30
25
20

¶n
n

15
10
5
0
2
1.5

2
1.5

1

axe Y

1
0.5

0.5

axe X


75

Chapitre IV


17

x 10
10

8

6

p(cm-3)
4

2

0
2
2

1.5
1.5

1
1
0.5

0.5

axe Y

0

axe X

0


35
30
25
20

¶p
p

15
10
5
0
2
1.5

2
1.5

1
1

axe Y

0.5

0.5

axe X


76

Chapitre IV


IV- Comparaison des résultats et interprétation :
Lors des simulations que nous avons effectuées, nous avons limité le nombre
d’itérations sans pour autant aller jusqu'à convergence.

En se fixant dans les mêmes conditions de simulations et en utilisant le taux
d’erreur comme critère de comparaison, nous remarquons que les mêmes résultats
sont obtenus par Multigrille et par SOR avec un nombre d’itérations Multigrille
beaucoup plus faible que celui réaliser par SOR.
L’efficacité de la Multigrille devient plus conséquente à mesure que le nombre de
Ceci revient au fait que la vitesse de lissage d’erreur liée à la Multigrille est
beaucoup plus grande que celle liée à la méthode SOR.
Le nombre d’itérations affecte évidement le temps de calcul globale qui est
beaucoup plus réduit lorsque l’algorithme Multigrille est appliqué.
Il est également constate une limite d’application de l’algorithme SOR. En effet,
les résultats de comparaisons ont été réalisés avec un certain taux d’erreur, qui peut
continuer à être réduit par la méthode Multigrille (voir la Figure (VI-21) ) alors que la
méthode SOR diverge en cas de continuité de calculs.
La méthode Multigrille est même non seulement plus rapide mais également plus
efficace dans la résolution du taux d’erreur, les résultats physiques qui peuvent en
découler peuvent être approchées à une excellence précision.
Dans le but de pousser l’efficacité de la méthode Multigrille par rapport à la
méthode SOR, nous avons appliqué un critère de convergence sur la grille grossière
correspondant à un taux d’erreur supérieur ou égale à 10-10, les résultats révèlent
observe que la méthode Multigrille continue de lisser l’erreur par rapport la méthode

77

Chapitre IV


SOR qui devient dans ce cas complètement inefficace, comme le montrent les figures
(IV-20) et (IV-21).

Lors des essais de simulation effectués avec le maillage 65x65x65 points, nous
avons confronté des difficultés avec la simulation par la méthode SOR, car l’exécution
du programme ne continue pas, et la machine est bloqué après quelques minutes de
calcul, par contre la simulation avec la méthode Multigrille n’empêche pas l’exécution
du programme comme montrent les figures (VI-28) à (VI-33). On remarque
l’indépendance de la méthode Multigrille du nombre de points de discrétisation, par
contre la méthode SOR est fortement dépend du nombre de points de maillage, et cette
dernière devient inutilisable à mesure que le maillage s’affine.

Le tableau suivant sert de récapitulatif aux principaux résultats obtenus par SOR
et par Multigrille.

Multigrille
Simulation sans
critère de
convergence
Nbr itrs

17x17x17
points

33x33x33
points

Temps

16

Nbr itrs

147
(s)

Temps

14
(s)

40

SOR

Simulation avec
critère de
convergence
Nbr itrs

24

40

6

65x65x65
points

111
(s)

20

Temps

339
(s)

11328
(s)

584
(s)

Tableau (VI-5) : Tableau récapitulatif de résultats de simulation, obtenus par
Multigrille et SOR, avec les différents types de maillage.

78

Chapitre IV


La comparaison des résultats numériques du tableau (IV-5) montre que la méthode
Multigrille nécessite moins d’itérations de Newton pour la résolution du système
linéaire par rapport à la méthode SOR, et donc un coût de calcul plus petit, par contre
la méthode SOR nécessite un coût de calcul assez grand, et montre aussi l’efficacité
et l’intérêt de la Multigrille, qui devient plus conséquente à mesure que le nombre de

V-Conclusion:
Les résultats de simulation représentés dans ce chapitre permettrent de valider
la méthode Multigrille pour la simulation dans un espace tridimensionnel du
potentiel électrostatique et des concentrations en porteurs libres N et P d’une
structure P+n N+ polarisée en sens direct .

La comparaison entre les deux méthodes Multigrille et SOR, montre l’efficacité
de la méthode Multigrille dans la résolution du taux d’erreur et la rapidité de
lissage d’erreur pour des résultats physiques qui peuvent être comparables avec des
résultats obtenus dans le cas réel[29], et par contre la méthode SOR devient
moins performante dans les mêmes conditions.

La simulation avec le maillage 65x65x65 montre l’intérêt de la Multigrille à mesure
que le maillage s’affine, et on constate une limite d’application de l’algorithme SOR
dans ce cas là.

79

Conclusion générale.

Dans ce travail nous avons réalisé une nouvelle version du logiciel SIM-3D
permettant l’intégration de l’algorithme Multigrille à celui de Newton, l’objectif étant
une représentation et simulation plus rapide des structures à base de semi-conducteurs
à relaxation (modèle de piégeage des porteurs inclus).SIM-3D permet donc l’étude du
courant, distribution de potentiel et de porteurs libres dans un espace tridimensionnel.

L’étude théorique des méthodes Multigrilles classiques montre généralement que
ces méthodes ont de bonnes propriétés de convergence et des coûts de calculs faibles.

La description de la version initiale du logiciel SIM-3D est présentée en premier
lieu, en donnant les deux algorithmes numériques déjà implémentés dans le logiciel
SIM-3D. Les algorithmes de Gummel et de Newton se basent sur une méthode de
résolution dite des relaxations successives SOR (Succesive Over Relaxation). Cette
méthode bien que relativement rapide n’est pas forcément celle qui mène aux
meilleures vitesses de convergences. L’utilisation de méthodes plus rapides tel que la
méthode Multigrille pourrait aboutir à des améliorations sensibles en temps de calcul.

Donc pour améliorer encore plus les temps de convergence, l’implémentation
d’une méthode Multigrille linéaire rapide s’avère nécessaire pour une meilleure
optimisation des temps de calcul.

Dans la partie numérique du logiciel SIM-3D la méthode de Newton est combinée
à une méthode Multigrille linéaire basée sur une configuration V-cycle. Elle utilise le
plein poids (Full Weighting : FW) comme opérateur de restriction, l’interpolation
linéaire comme opérateur de prolongation et la méthode SOR comme lisseur d’erreur.
Cette méthode emploie plusieurs ordre de grilles.

Les résultats de simulation découlant de l’utilisation des deux versions du logiciel
SIM-3D, ont été obtenus à partir des tests de structures de types P+n N+polarisées en

82


sens direct et à base de GaAs. Trois types de maillage différent à pas constant sont
appliqués.

Les résultats physiques de l’étude d’une diode longue à base de GaAs ont déjà été
validés dans un précédent travail, les simulations ont été reprises dans un but unique
de valider l’intégration de la méthode Multigrille dans SIM-3D

Le but d’implémentation de la méthode Multigrille linéaire est lié à l’activation des
temps de calcul 3D qui deviennent prohibitifs à mesure que le nombre de point de
discrétisation augmente.

Les différentes simulations permettent de tester la méthode Multigrille
implémentée dans SIM-3D, et ceci particulièrement dans des conditions défavorables à
la convergence (nombre de points de discrétisation important), et comparer son
efficacité par rapport à la méthode SOR déjà implémentée dans l’ancienne version du
logiciel SIM-3D.Nous sommes arrivé aux conclusions suivantes :

· L’analyse effectuée sur les résultats obtenus par les deux méthodes, avec un
maillage large, montre la nette rapidité des méthodes Multigrille par rapport à la
méthode SOR. Néanmoins cette dernière reste efficace dans ce cas de maillage.

· En appliquant un maillage intermédiaire, nous avons testé deux
configurations(Multigrilles) sans et avec critère de convergence totale sur la grille
grossière correspondant à une précision d’arrêt de calcul supérieure ou égale à 10-10. Il
a été constaté ce qui suit :

La méthode Multigrille a une vitesse de lissage d’erreur plus grande que
celle liée à la méthode SOR. Elle se révèle non seulement plus rapide mais également
plus efficace dans la réduction du taux d’erreur. Cette efficacité pourrait devenir plus
conséquente à mesure que le nombre de points de discrétisation augmente.

83


· En troisième lieu, et pour s’assurer encore plus de l’intérêt de la méthode
Multigrille sur une discrétisation plus fine, nous appliquons un maillage de 65x65x65
points. Les résultats révèlent l’indépendance de l’efficacité de la méthode Multigrille
par rapport au nombre de points de discrétisation, la méthode SOR étant au contraire
fortement dépendante du nombre de nœuds du maillage. Cette méthode n’a pu donner
de résultats et a complètement divergé dans ce cas de figure.

Cette étude a permi

l’implémentation d’un code Multigrille dans la version

séquentielle du logiciel SIM-3D. En perspective, qui permettrait lors de futures
simulations d’obtenir des résultats bien approchés en des temps raisonnables mêmes
en procédant à des maillages très fins des grilles de discrétisation.

L’utilisation de la méthode Multigrille pourrait également être adaptée à un calcul
parallèle. L’idée de son intégration dans la version parallèle s’exécutant sur un réseau
de processus est en cours d’étude. Sa mise au point, permettrait de faire chuter
considérablement les temps de calcul découlant des simulations à trois dimensions.

84

Annexe A

Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération.

Démonstration de la formule de l’opérateur d’itération :

Soit U hj une approximation de la solution Uh de (I-19), alors :
Vhj

= Uh

(A-1)

- U hj

Nous dénotons l’erreur de U hj .
On peut dénoté la nouvelle approximation Uhj+1 , tel que :
U hj +1 = U h

ˆ
+ Vhj

(A-2)

et donc l’erreur dans ce cas est donnée comme suite :
(A-3)

Vhj+1 = Uh - Uhj+1

et le défaut donnée par :
Lh.Vhj +1 = dhj +1

(A-4)

On substitue (A-1) et (A-2) en (A-3), on obtient alors :
ˆ
Vhj +1 = Vhj - Vhj

(A-5)

et avec l’équation de défaut donnée par :
Lh.Vhj = dhj

(A-6)

et son approximation donnée par :
ˆ ˆ
Lh.Vhj = dhj

(A-7)

( )

ˆ
ˆ -1
(A-7) Û Vhj = Lh .dhj = B.dhj

(A-8)

On substitue (A-8) en (A-5), on obtiens alors :
(A-9)

Vhj +1 = Vhj - B.dhj

(A-6) et (A-9) Û Vhj +1 = ( I h - B.Lh )Vhj
.
Et avec :

(A-10)

I h - B.Lh représente l’opérateur d’itération.

(A-4),(A-7) et (A-10) Û dhj +1 = ( I h - B.Lh )dhj
.

85

(A-11)

Annexe B

La stru cture étudiée(Diode PIN).

1). LA DIODE PIN
Une diode PIN[28]est réalisée en empilant une couche P+ très dopée, une zone I
très peu dopée (idéalement intrinsèque) et une couche N+ très dopée.
La région I est soit P peu dopée, dans ce cas on aura affaire à une diode P+-π-N+,
soit N peu dopée dans ce cas on aura affaire à une diode P+-ν-N+.
L’empilement peut être réalisé :
Soit par diffusion des régions P+ et N+ de part et d’autre d’un substrat de haute

q

résistivité.
Soit par épitaxie d’une couche π ou ν sur un substrat P+ ou N+ suivi d’une

q

diffusion localisée N+ ou P+ dans la couche épitaxie.
Les contacts de la diode sont évidemment pris sur les couches P+ et N+.

2). CARACTERISIQUES DU GaAs SEMI-ISOLANT
Le GaAs[26][27]est l’élément représentatif des composés III-V, qui présente une
densité de centres profonds importante.
Le matériau GaAs préparé par la méthode de Czochralski (Liquid Encapsulated
Czochralski : L.E.C ), présente :
q

Le niveau accepteur peu profond EA (NA) est du au bore et au carbone de
l’encapsulant B2O3 .

q

Le niveau donneur profond EL2, Et (Nt) qui assure la compensation des
défauts accepteurs peu profonds présents à l’état naturel (ce niveau occupée
est neutre et chargé positivement lorsqu’il est vide).

q

Un niveau donneur peu profond provenant de la présence de Si. Mais comme
nous avons en général NA>ND ; NA sera en fait la densité effective de centres
accepteurs peu profonds : avec NA= [ NA(C) – ND(Si) ]. Une condition
nécessaire pour que le substrat de GaAs soit semi-isolant est que l’on ait :
86

Annexe B

La stru cture étudiée(Diode PIN).

Nt > N A
q

Un centre recombinant efficace Er situé au milieu de la bande interdite dont la
densité Nr << Nt. Cela signifie que la capacité à stocker une charge d’espace de
ce centre Er est négligeable par rapport à celle du centre Et.

ne

Ec

+

EL2

+

+

EFe
Et, Nt
Er, Nr

EG=1.432 eV
_

_

_

pe

_

EA, NA
Ev

Figure (B-1) : Représentation schématique des bandes d’énergie et des
niveaux pièges pour le GaAs semi-isolant.

87

Annexe C

Le modèle physique.

I)-Equations de base des semi-conducteurs :
I-1)-Equations électrostatiques :
L’équation de Poisson [30] [31] permet de relier le potentiel électrostatique y à la
densité formée par les charges dues aux porteurs libres et aux impuretés(supposées
totalement ionisées).
r

(

)

div egrady =-r .
Pour les semi-conducteurs supposés homogènes, c’est à dire pour une permittivité e
indépendante de la position, on obtient l’équation de Poisson sous la forme :

(

r

)

e. div grady =-r .

où :
e = e .e La permittivité diélectrique du semi-conducteur.
0

r

r : La densité de charges libres qui s’écrira dans le cas général :

r = q.( p - n + N+D - N-A – nr ).
q: La charge élémentaire = 1.6.10-19C.
p et n : Les densités de trous et d’électrons libres .
N+D et N-A : Les densités de donneurs et d’accepteurs ionisées.
nr : La charge piégée sur un centre profond. Dans le cas où il existe n centres
n

profonds on remplace nr par : ånr .
i

i =1

88

Annexe C

Le modèle physique.

I-2)-Equations de continuité :
Les équations de continuité [31] expriment la conservation des porteurs dans un
élément de volume.

¶n = 1 divrn -U + G .
j
n
opt
¶t
q
r
¶p
= - 1 divj p - Up + Gopt .
q
¶t

Où Un et Up représentent respectivement les taux nets de transports d’électrons sur
le centre ER en provenance de la bande de conduction, et de trous vers la bande de
valence en provenance de ER .
Gopt permet de prendre en compte la génération optique bande à bande.

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