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Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales

  1. 1. Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales. (Eliminación de Gauss y Gauss-Jordán). Un conjunto finito de ecuaciones lineales de las variables X1, X2,. . . . . . . . . Xn, recibe elnombre de sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo un, sistema general de tres ecuaciones lineales en cuatro incógnitas seescribe así: a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + a24x4 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + a34x4 = b3 Un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede abreviar escribiendoúnicamente el arreglo rectangular de números: a11 a12………… a1n b1 a21 a22………… a2n b2 . . . . . . . . . am1 am2………… amn bm Esto se conoce como matriz aumentada del sistema. (El término matriz se emplea enmatemáticas para denotar un arreglo rectangular de números. Las matrices aparecen envarios contextos).Como ejemplo la matriz aumentada del siguiente sistema de ecuaciones es: El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste enreemplazar el sistema dado por un nuevo sistema que tenga el mismo conjunto solución,pero que sea más fácil de resolver. Por lo general, este nuevo sistema se obtiene en unaserie de etapas, aplicando los siguientes tres tipos de operaciones. 1. Multiplicar una ecuación (o renglón) por una constante diferente de cero. 2. Intercambiar dos ecuaciones (renglones). 3. Sumar un múltiplo de una ecuación (renglón) a otra. Dado que los renglones (líneas horizontales) de una matriz aumentada corresponden alas ecuaciones del sistema asociado, estas tres operaciones equivalen a las operacionescon renglones de la matriz aumentada. A continuación se da un ejemplo que ilustra la forma en que estas operaciones sepueden emplear para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
  2. 2. Método de eliminación de Gauss El método se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea losuficientemente sencilla como para poder resolver el sistema de ecuaciones a simple vista. En la última etapa del ejemplo anterior se obtuvo la matriz aumentada. Después de la cual, fue fácil obtener la solución x = 1, y = 2, z = 3 para el sistemaoriginal de ecuaciones. Sin embargo, es posible hacer la solución más evidente, a partir de lamatriz aumentada, aplicando unas cuantas operaciones adicionales en los renglones. Porejemplo, en la matriz anterior,Multiplique el primer renglón por -1 y sume al segundo renglón para obtener.Ahora, multiplique el tercer renglón por – (11/2) y sume al primer renglón y el segundomultiplique por 7/2 y sume el tercero. Esto da El sistema de ecuaciones correspondientes es X1 =1 X2 =2 X3 =3 Por tanto, la solución X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3 se hace obvia examinando la raíz aumentada.La matriz anterior es un ejemplo de una matriz que tiene la forma escalonada reducida. Paratener esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades.1. Si un renglón no consta exclusivamente de ceros, entonces el primer elemento diferente de cero en el renglón es 1.2. Si hay renglones exclusivamente de ceros, entonces están agrupados en la parte inferior de la matriz.3. Si los renglones j y j + 1 son dos renglones sucesivos cualesquiera que no constan exclusivamente de ceros, entonces, el primer numero diferente de cero en el renglón j + 1 aparece a la derecha del primer número diferente de cero en el renglón j.4. Todas las columnas que contienen el primer elemento diferente de cero de algún renglón tienen ceros en todas las posiciones restantes.
  3. 3. Método de eliminación de Gauss-JordánEl estudiante acaba de ver con que facilidad se resuelve un sistema de ecuaciones linealesuna vez que su matriz aumentada tiene la forma escalonada reducida. Ahora se dará unprocedimiento esquemático, conocido como eliminación de Gauss-Jordán, que puede serempleado para llevar cualquier matriz a la forma escalonada reducida, A medida que seenuncia cada etapa, se ilustrara el procedimiento llevando la siguiente matriz a la formaescalonada reducida.Etapa 1. Localizar en el extremo izquierdo la columna (línea vertical) que no constaexclusivamente de ceros. Columna en el extremo izquierdo que no cumpla exclusivamente de cerosEtapa 2. Si es necesario, intercambiar el renglón superior con otro renglón, de tal maneraque el elemento que esta al comienzo de la columna señalada en la etapa 1 sea diferentede cero. Se intercambiaron los dos primeros renglones de la matriz anterior.Etapa 3. Si el elemento que ahora esta al comienzo de la columna que se encontró en laetapa 1 es a, entonces, multiplicar el primer renglón por 1/a, de tal manera que el primerelemento sea 1. El primer renglón de la matriz anterior se multiplica por 1/2.Etapa 4. Sumar múltiplos adecuados del primer renglón a los renglones que le siguen, detal forma que en la columna localizada en la etapa 1, todos los elementos después delprimero sean ceros. El primer renglón de la matriz anterior se multiplica por -2 y el resultado se sumo al tercer renglón.
  4. 4. Etapa 5. Cubrir el primer renglón de la matriz y comenzar de nuevo con la etapa 1 aplicadaa la submatriz resultante. Proseguir de esta manera hasta que la matriz completa este enforma escalonada. Columna en el extremo izquierdo de la submatriz que no consta exclusivamente de ceros. Se multiplico por -1/2 el primer renglón de la submatriz. El primer renglón de la submatriz se multiplico por -5 y el resultado se sumo al segundo renglón de la submatriz Se cubrió el primer renglón de la submatriz y se regreso a la etapa 1 Columna en el extremo izquierdo de la nueva submatriz que no consta exclusivamente de ceros. El primer (y único) renglón de la nueva submatriz se multiplico por 2. La matriz completa ya esta en forma escalonada. Etapa 6. Comenzando por el último renglón, y avanzando hacia arriba, sumar múltiplosadecuados de cada renglón a los renglones que estén encima de él, de tal manera quesatisfaga el cuarto requisito de la definición de matriz en forma escalonada reducida. Al segundo renglón de la matriz anterior se le sumo el tercero multiplicado por 7/2.
  5. 5. Al primer renglón se le sumo el tercero multiplicado por -6 Al primer renglón se le sumo el segundo multiplicado por 5. La última matriz tiene la forma escalonada reducida.El sistema de ecuaciones correspondientes es X1 +2X2 +3X4 =7 X3 =1 X5 = 2Despejando las variables principales se obtiene X1 = 7 -2x2 -3x4 X3 = 1 X5 = 2Puesto que a X2, y X4, se les asigna valores arbitrarios r, s y t, respectivamente, el conjuntosolución queda definido por las formulas. X1 = -3r -4s -2t, X2 = r, X3 = -2s, X4 = s, X5 = t X6= 1/3
  6. 6. 2.4 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales. (Eliminación de Gauss y Gauss-Jordán).Ejercicios para resolver1.- ECUACIÓN LINEAL 1- .-2. ELIMINACIÓN DE GAUSS 2- .- 3- -3.- ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN 4- 2x1 +X2 +X3 = 8 - 3x1 -2x2 -3x3 = 1 4x1 -7x2 +3x3 = 10 5- X1 +X2 +X3 = 0 - -2x1 +5x2 +2x3 = 0 -7x1 +7x2 +x3 = 0

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