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Los algoritmos determinísticos para generar números pseudoaleatorios se dividen en no congruenciales y congruenciales, ést...
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X8 = (26*622 + 27*6 + 27) mod (8) = 5X9 = (26*522 + 27*5 + 27) mod (8) = 4        Por otro lado, el algoritmo cuadrático g...
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UNIDAD III                  VARIABLES ALEATORIAS1. ¿A qué se llama variable aleatoria y que tipos de variable aleatoria   ...
2. Determine el tipo de distribución a que pertenecen el conjunto de   datos del ejercicio 6 de la página 91 del libro Sim...
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El tipo de distribución de análisis puedeser continua o discreta. En general, todas lasdistribuciones serán tratadas como ...
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Para distribuciones continuas con un límite inferior o mínimo comola exponencial, el límite inferior puede ser obligado a ...
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La distribución ajustada se muestra en el cuadro inferior de laderecha. Si ha seleccionado más de una distribución para aj...
3. Mediante un ejemplo genere una variable aleatoria usando el      método de la transformada inversa.   a) Usando distrib...
a) Usando la distribución de Bernoulli            El método de la transformada inversa también se emplea para      simular...
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Numeros Pseudo-aleatorios y variables aleatorias

  1. 1. UNIDAD II NÚMEROS ALEATORIOS Y PSEUDO ALEATORIOS 1. ¿Qué son los números aleatorios y pseudo aleatorios y para qué sirven? Los números aleatorios tienen la propiedad de ser obtenidos al azar, es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultado no es predecible ya que todo número tiene la misma probabilidad de ser elegido y la elección de uno no depende de la elección del otro. La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado. Los números pseudo aleatorios son números generados en un proceso que parece producir números al azar, pero no lo hace realmente, de aquí el prefijo pseudo que quiere decir falso, ya que su generación parte de algoritmos determinísticos, lo cual nos quiere decir que obtendremos siempre el mismo resultado bajo las mismas condiciones iniciales. Estas condiciones se refieren a varios parámetros de arranque, siendo el valor inicial, también llamado semilla, el denominador común de todos los algoritmos. Estos números tienen la característica de que deben seguir una distribución Uniforme, es decir que pueden tomar cualquier valor dentro del intervalo (0, 1), entonces podemos decir que los números pseudo aleatorios son números entre 0 y 1 que han pasado por un tamizado de pruebas para poder determinar que tendrán una función aproximada a la realidad es decir, haya aleatoriedad. La función de los números pseudo aleatorios es que a partir de ellos podemos generar variables aleatorias las cuales están sujetas en el mayor de los casos, a distribuciones estadísticas que son las que se usan para establecer el comportamiento de materiales, sucesos, personas, etc., en todo proceso de simulación. 2. ¿Para qué y cómo se usan dichos números? Se usan como una fuente confiable de variabilidad dentro de losmodelos de simulación fundamentalmente porque las sucesiones de númerospseudoaleatorios son más rápidas de generar que las de números aleatorios.
  2. 2. La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real,que servirá para dirigir experimentos con el propósito de entender, explicar,analizar o mejorar el comportamiento del sistema. Para simular el comportamiento de una o más variables aleatorias esnecesario contar con un conjunto suficientemente grande de númerosaleatorios, pero por desgracia generar una sucesión de números que seancompletamente aleatorios resulta muy complicado, ya que tendríamos quegenerar una sucesión infinita de valores que nos permitiera comprobar lainexistencia de correlaciones entre ellos, lo que sería costoso y tardadovolviendo impráctica la simulación; por ello es necesario utilizar los númerospseudoaleatorios de los cuales podemos asegurar con un nivel alto deconfiabilidad que se comportan de manera similar a un conjunto de númerosaleatorios. La experimentación directa sobre la realidad puede algunos tipo deproblemas como: costo muy alto, gran lentitud, en ocasiones las pruebas sondestructivas, puede no ser ética (sobre todo si están involucrados sereshumanos), puede resultar imposible, por ejemplo, para predecir sucesosfuturos. 3. ¿Cómo se generan los números pseudo aleatorios entre 0 y 1? Los números pseudo aleatorios se generan mediante algoritmosdeterminísticos, es decir aquellos en que se obtiene el mismo resultado bajolas mismas condiciones iniciales, por lo cual requieren parámetros dearranque. Sea una secuencia ri = {r1 ,r2 ,r3, ..., rn} con n valores distintos, se leconoce como el conjunto necesario de números entre 0 y 1 para realizar unasimulación, siendo n el periodo o ciclo de vida. Esta secuencia forma la parteprincipal de la simulación de procesos estocásticos (basado en probabilidades)y son usados para generar la conducta de variables aleatorias, continuas odiscretas. Estos números se consideran pseudo-aleatorios porque es imposibleel generar números realmente aleatorios. Es preciso contar con un conjunto ri grande, esto con la finalidad desimular el comportamiento de una o más variables aleatorias, además elperiodo de vida debe ser amplio debido a que es conveniente realizar variasréplicas de simulación, corriendo cada una con números pseudo aleatoriosdistintos. Es importante señalar que ri se considera satisfactorio si pasa sinproblema las pruebas de uniformidad e independencia, solo así podrá serusado en la simulación.
  3. 3. Los algoritmos determinísticos para generar números pseudoaleatorios se dividen en no congruenciales y congruenciales, éstos a su vez sedividen en lineales y no lineales.Algoritmos No Congruencialesa) Algoritmo de cuadrados medios Propuesto en la década de los cuarenta del siglo XX por Von Neumanny Metrópolis, este algoritmo requiere un número entero, llamado semilla, conD dígitos, este es elevado al cuadrado para seleccionar del resultado los Ddígitos del centro; el primer número ri se determina simplementeanteponiendo el "0" a esos dígitos. Para obtener el segundo ri se sigue elmismo procedimiento, sólo que ahora se elevan al cuadrado los D dígitos delcentro que se seleccionaron para obtener el primer ri. Este método se repitehasta obtener n números ri. Pasos para generar números con el algoritmo de cuadrados medios:1. Seleccionar semilla (X0) con D dígitos (D > 3).2. Sea X0 = resultado de elevar X0 al cuadrado; sea X1 = los D dígitos delcentro, y sea ri = 0.D dígitos del centro.3. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado; sea Xi+1 = los D dígitos delcentro, y sea ri = 0.D dígitos del centro para toda i = 1, 2, 3,..., n.4. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ri deseados.Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Yi,agregue ceros a la izquierda del número Yi.EjemploGenerar los primeros 5 números ri a partir de una semilla X0 = 5 735, dedonde se puede observar que D = 4 dígitos.Solución:Y0 = (5735)2 = 32 890 225 X1 = 8902 ri = 0.8902Y1 = (8902)2 = 79 245 604 X2 = 2456 ri = 0.2456Y2 = (2456)2 = 06 031 936 X1 = 0319 ri = 0.0319Y3 = (0319)2 = 101 761 X1 = 0176 ri = 0.0176Y4 = (0176) 2= 030 976 X1 = 3097 ri = 0.3097 Generalmente este algoritmo es incapaz de generar una secuencia de r icon periodo de vida n grande. En ocasiones sólo es capaz de generar un
  4. 4. número, Por ejemplo si X0 = 1 000, entonces X1 = 0000; ri = 0.0000 y se diceque el algoritmo se degenera con la semilla de X 0 = 1 000.b) Algoritmo de productos medios La mecánica de generación de números pseudo aleatorios de estealgoritmo no congruencial es similar a la del algoritmo de cuadrados medios.La diferencia entre ambos radica en que el algoritmo de productos mediosrequiere dos semillas, ambas con D dígitos; además, en lugar de elevarlas alcuadrado, las semillas se multiplican y del producto se seleccionan los Ddígitos del centro. A continuación se presentan con más detalle los pasos del método paragenerar números con el algoritmo de producto medios.1. Seleccionar una semilla (X0) con D dígitos (D > 3).2. Seleccionar una semilla (X1) con D dígitos (D > 3).3. Sea Y0 = X0*X1; sea X2 = los D dígitos del centro, y sea ri = 0.D dígitos delcentro.4. Sea Yi = Xi*Xi+1; sea Xi+2 = los D dígitos del centro, y sea ri+1 = 0.Ddígitos del centro para toda f¡= 1,2,3,...,n;5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri deseados.Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Yi agregueceros a la izquierda del número Yi.c) Algoritmo de multiplicador constante Este algoritmo no congruencial es similar al algoritmo de productosmedios. Los siguientes son los pasos necesarios para generar números pseudoaleatorios con el algoritmo de multiplicador constante.1. Seleccionar una semilla (X0) con D dígitos (D > 3).2. Seleccionar una constante (a) con D dígitos (D > 3).3. Sea Y0 - a*X0; sea X1 = los D dígitos del centro, y sea ri = 0.D dígitos delcentro.4. Sea Yi = a*Xi; sea Xi+1 = los D dígitos del centro, y sea ri+1 = 0.D dígitosdel centro para toda i = 1, 2, 3,..., n.5. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri deseados.Nota: Si no es posible obtener los D dígitos del centro del número Yi agregueceros a la izquierda del número Yi.
  5. 5. Algoritmos Congruencialesd) Algoritmo Lineal Este algoritmo congruencial fue propuesto por D.H. Lehmer en 1951.Según Law y Kelton, este algoritmo ha sido el más usado. El algoritmocongruencial lineal genera una secuencia de números enteros por medio de lasiguiente ecuación recursiva: Xi+1 = (aXi + c) mod (m) i= 0, 1, 2, 3… n donde;X0 = es la semilla, X0 >0 y debe ser entero.a = es la constante multiplicativa, a >0 y debe ser entero.c = constante aditiva, c >0 y debe ser entero.mod m = modulo, significa realizar las operaciones anteriores y dividir elresultado entre el valor de m, para obtener solamente el residuo. Es importante señalar que la ecuación recursiva del algoritmocongruencial lineal genera una secuencia de números enteros S= {0, 1, 2,3,…, m-1}, y que para obtener números pseudo aleatorios en el intervalo (0,1) se requiere la siguiente ecuación: ri = Para que el algoritmo sea capaz de lograr el máximo periodo de vida n,es preciso que dichos parámetros cumplan ciertas condiciones, Banks, Carson,Nelson y Nicol sugieren lo siguiente:m = 2ga = 1 + 4kk, debe ser entero.c, relativamente primo a m.g, debe ser entero.Bajo estas condiciones se obtiene un periodo de vida máximo N= m= 2g.Ejemplo:Generar suficientes números entre 0 y 1 con los parámetros X 0 = 6, k =3,g =3, c =7, hasta encontrar el periodo de vida máximo (N).a = 1 + 4(3) = 13 m = 23 = N= 8X0 = 6X1 = (13*6+7) mod 8 = 5 r1 = 5/7 = 0.714X2 = (13*5+7) mod 8 = 0 r2 = 0/7 = 0.000X3 = (13*0+7) mod 8 = 7 r3 = 7/7 = 1.000
  6. 6. X4 = (13*7+7) mod 8 = 2 r4 = 2/7 = 0.214X5 = (13*2+7) mod 8 = 1 r5 = 1/7 = 0.142X6 = (13*1+7) mod 8 = 4 r6 = 4/7 = 0.571X7 = (13*4+7) mod 8 = 3 r7 = 3/7 = 0.428X8 = (13*3+7) mod 8 = 6 r8 = 6/7 = 0.857 Es importante mencionar que el número generado en X 8 = 6 esexactamente igual a la semilla X0, y si continuáramos generando másnúmeros éstos se repetirían. Además sabemos que el algoritmo congruenciallineal genera una secuencia de números enteros S = {0,1, 2, 3,…, m-1}. Si no se cumple algunas de las condiciones, el periodo de vida máximoN=m no se garantiza, por lo que el periodo de vida será menor que m.e) Algoritmo Congruencial Multiplicativo El algoritmo congruencial multiplicativo surge del algoritmocongruencial lineal cuando c= 0. Entonces la ecuación recursiva es: Xi+1 = (aXi) mod (m) i= 0, 1, 2, 3… n En comparación con el algoritmo congruencial lineal, la ventaja delalgoritmo multiplicativo es que implica una operación menos a realizar. Losparámetros de arranque de este algoritmo son X 0, a y m, todos los cualesdeben ser números enteros y mayores que cero. Para transformar los números Xi en el intervalo de (0, 1) se usa laecuación: ri = De acuerdo con Banks, Carson, Nelson y Nicol las condiciones quedeben cumplir los parámetros para que el algoritmo congruencialmultiplicativo alcance su máximo periodo son:m = 2ga = 3 + 8k o a = 5 + 8kk = 0, 1, 2, 3…X0 debe ser un número impar.g, debe ser entero.A partir de estas condiciones se logra un periodo de vida máximo:N= m/4= 2g-2.
  7. 7. Ejemplo:Generar suficientes números entre 0 y 1 con los siguientes parámetros:X0 = 17, k =2, y g =5 hasta encontrar el periodo o ciclo de vida.Solución:a = 5 + 8(2) = 21 y m X0 = 17=32X1 = (21*17) mod 32 = 5 r1 = 5/31 = 0.1612X2 = (21*5) mod 32 = 9 r2 = 9/31 = 0.2903X3 = (21*9) mod 32 = 29 r3 = 29/31 = 0.9354X4 = (21*29) mod 32 = 1 r4 = 1/31 = 0.3225X5 = (21*1) mod 32 = 21 r5 = 21/31 = 0.6774X6 = (21*21) mod 32 = 25 r6 = 25/31 = 0.8064X7 = (21*25) mod 32 = 13 r7 = 13/31 = 0.4193X8 = (21*13) mod 32 = 17 r8 = 17/31 = 0.5483 Toda vez que la semilla X0 se repite, volverán a generarse los mismosnúmeros. Por lo tanto, el periodo de vida es n =8, el cual corresponde a N=m/4 = 32/4 = 8.f) Algoritmo congruencial aditivo Este algoritmo requiere una secuencia previa de n números enteros X 1,X2, X3, X4,..., Xn para generar una nueva secuencia de números enteros queempieza en Xn+1, Xn+2, Xn+3, Xn+4 ,… Su ecuación recursiva es: Xi = (Xi-1 + Xi-n) mod (m) i = n + 1, n + 2, n + 3,…, NLos números ri pueden ser generados mediante la ecuación ri = xi/ (m-1)EjemploGenerar 7 números pseudo aleatorios entre cero y uno a partir de la siguientesecuencia de números enteros: 65, 89, 98, 03, 69; m = 100.Sean X1 = 65, X2 = 89, X3 = 98, X4 = 03, X5 = 69. Para generar r1, r2, r3 r4,r5, r6 y r7 antes es necesario generar X6, X7, X8, X9, X10, X11, X12.Solución:X6 = (X5 + X1) mod 100 = (60+ 65) mod 100 = 34 r1 = 34/99 = 0.3434X7 = (X6 + X2) mod 100 = (34 + 89) mod 100 = 23 r2 = 23/99 = 0.2323X8 = (X7 + X3) mod 100 = (23 + 98) mod 100 = 21 r3 = 21/99 = 0.2121
  8. 8. X9 = (X8 + X4) mod 100 = (21 +03) mod 100 = 24 r4 = 24/99 = 0.2424X10 = (X9 +X5) mod 100 = (24 + 69) mod 100 = 93 r5 = 93/99 = 0.9393X11 = (X10 +X6) mod 100 = (93 + 34) mod 100 = 27 r6 = 27/99 = 0.2727X12 = (X11 +X7) mod 100 = (27 + 23) mod 100 = 50 r7 = 50/99 = 0.5050g) Algoritmos congruenciales no lineales En esta sección se analizarán dos algoritmos congruenciales nolineales: el congruencial cuadrático y el algoritmo presentado por Blum,Blum y Shub. 1. Algoritmo congruencial cuadráticoEste algoritmo tiene la siguiente ecuación recursiva:Xi + 1 = (aX2i + bX¡ + c) mod (m) i = 0,1,2,3,…, N En este caso, los números r. pueden ser generados con la ecuación r ¡ =x¡-/(m - 1). De acuerdo con LEcuyer, las condiciones que deben cumplir losparámetros m, a, b y c para alcanzar un periodo máximo de N = m son:m = 2ga, debe ser un número parc, debe ser un número imparg debe ser entero(b- 1) mod 4 = 1De esta manera se logra un periodo de vida máximo N = m.Ejemplo Generar, a partir del algoritmo congruencial cuadrático, suficientesnúmeros enteros hasta alcanzar el periodo de vida, considerando losparámetros X0 = 13, m = 8, a = 26, b = 27 y c = 27. Como todas lascondiciones estipuladas para los parámetros se satisfacen, es de esperarse queel periodo de vida del generador sea N = m = 8, tal como podrá comprobar alrevisar los cálculos correspondientes, que se presentan a continuación.Solución:X1 = (26*1322 + 27*13 + 27) mod (8) = 4X2 = (26*422 + 27*4 + 27) mod (8) = 7X3 = (26*722 + 27*7 + 27) mod (8) = 2X4 = (26*222 + 27*2 + 27) mod (8) = 1X5 = (26*122 + 27*1 + 27) mod (8) = 0X6 = (26*022 + 27*0 + 27) mod (8) = 3X7 = (26*322 + 27*3 + 27) mod (8) = 6
  9. 9. X8 = (26*622 + 27*6 + 27) mod (8) = 5X9 = (26*522 + 27*5 + 27) mod (8) = 4 Por otro lado, el algoritmo cuadrático genera una secuencia denúmeros enteros S = {0,1, 2,3..., m-1}, al igual que el algoritmo congruenciallineal. 2. Algoritmo de Blum, Blum y Shub Si en el algoritmo congruencial cuadrático a = 1, b = 0 y c = 0,entonces se construye una nueva ecuación recursiva: Xi+1= (X2i) mod (m) i = 0, 1, 2, 3,… n La ecuación anterior fue propuesta por Blum, Blum y Shub como unnuevo método para generar números que no tienen un comportamientopredecible.De un ejemplo utilizando un algoritmo de generación de númerospseudo aleatoriosAlgoritmo de cuadrados mediosX0 = 2342 D = 4Y0 = = 05484964 X1 = 4849 r1 = 0.4849Y1 = = 23512801 X2 = 5128 r2 = 0.5128Y2 = = 26296384 X3 = 2963 r3 = 0.2963Y3 = = 08779369 X4 = 7793 r4 = 0.7793Y4 = = 60730849 X5 = 7306 r5 = 0.7306Y5 = = 53406864 X6 = 4068 r6 = 0.4068Y6 = = 165448624 X7 = 5486 r7 = 0.5486Y7 = = 30096196 X8 = 0961 r8 = 0.0961Y8 = = 923521 X9 = 2352 r9 = 0.2352Y9 = = 05531904 X10 = 5319 r10 = 0.5319Y10 = = 28291761 X11 = 2917 r11 = 0.2917Y11= = 08508889 X12 = 5088 r12 = 0.5088Y12= = 25887744 X13 = 8877 r13 = 0.8877Y13= = 78801129 X14 = 8011 r14 = 0.8011Y14= = 64176121 X15 = 1761 r15 = 0.1761Y15= = 03101121 X16 = 1011 r16 = 0.1011Y16= = 01022121 X17 = 0221 r17 = 0.0221Y17= = 048841 X18 = 4884 r18 = 0.4884Y18= = 23853456 X19 = 8534 r19 = 0.8534Y19= = 71132356 X20 = 1323 r20 = 0.1323
  10. 10. 4. ¿Qué propiedades deben cumplir los números pseudoaleatorios entre cero y uno? En gran medida, conocer las propiedades que deben tener losnúmeros aleatorios garantiza una buena simulación, por ello se enumerana continuación. Media de los números aleatorios entre cero y uno En vista de que estos números deben de tener la mismaprobabilidad de presentarse, es preciso que su comportamiento muestreuna distribución de probabilidad uniforme continua, con límite inferiorcero y límite superior uno. La función de densidad de una distribuciónuniforme es la siguiente. Para obtener la media de la distribución multiplicamos la funciónde densidad por x, y la integramos en todo el rango de la distribución dela siguiente manera: ∫ Sustituyendo los valores de a y b Por lo tanto el valor esperado (es decir, la media de los númerosaleatorios entre cero y uno) es Varianza de los números aleatorios Partiendo de la misma distribución uniforme continua obtenemos lavarianza de la distribución por medio de la ecuación Lo que nos da ∫
  11. 11. Al sustituir tenemos que Por lo tanto ( ) Dado estos resultados podemos decir que los números aleatoriosentre cero y uno deben tener Independencia Esta es una propiedad muy importante, e indica que los números aleatorios no deben tener correlación entre sí; es decir, que sean independientes, de manera que puedan dispersarse uniformemente dentro de un espectro de valores posibles.Los datos deben mostrar dispersión como en la figura. Es posible realizar una serie de pruebas para corroborar que noexiste correlación ente los números aleatorios, e incluso para garantizarque no existe un sesgo o tendencia entre los dígitos de cada uno de ellos.
  12. 12. Ejemplifique generando un conjunto de números y aplicándoles laspruebas necesarias para comprobar que reúnen las propiedades.Algoritmo congruencial linealX0 = 23K=4g=5c = 31m = 32a = 17 6 6/31= 0.1935 5 5/31= 0.1612 20 20/31= 0.6451 19 19/31= 0.6129 2 2/31= 0.0645 1 1/31= 0.0322 16 16/31= 0.5161 15 15/31= 0.4838 30 30/31= 0.9677 29 29/31= 0.9354 12 12/31= 0.3870 11 11/31= 0.3548 26 26/31= 0.8387 25 25/31= 0.8064 8 8/31= 0.2580 7 7/31= 0.2258 22 22/31= 0.7096 21 21/31= 0.6774 4 4/31= 0.1290 3 3/31= 0.0967 18 18/31= 0.5806 17 17/31= 0.5483 0 0/31= 0.0000 31 31/31= 1.0000 14 14/31= 0.4516 13 13/31= 0.4193 28 28/31= 0.9032 27 27/31= 0.8709 10 10/31= 0.3225 9 9/31= 0.2903 24 24/31= 0.7741 23 23/31= 0.7419
  13. 13.  Prueba de medias ̅ ∑ ̅ ∑Límites de aceptación inferiores y superiores ̅ ( ) ( ) √ √ ̅ ( ) ( ) √ √ Con lo anterior podemos comprobar que el valor de la media delconjunto de datos se encuentra dentro de los límites de aceptación, por lotanto se acepta la H0 que nos dice que el conjunto de números pseudoaleatorios cumplen con la primer propiedad de tener una media de 0.5.  Prueba de varianza ̅ ̅ ∑ ̅
  14. 14. Dado que el valor de la varianza V(r)= se encuentra dentro delos límites de aceptación, podemos decir que no se puede rechazar que elconjunto de números tiene una varianza de 1/12.  Prueba de uniformidad H 0: r i U (0,1) H1: ri no son uniformes Para comprobar si nuestro conjunto de datos se distribuyenuniformemente en el intervalo (0, 1) procederemos a comprobarlo mediante laprueba de Chi-Cuadrada, en la cual se debe calcular un estadístico de pruebaque posteriormente se va a comparar con un valor crítico utilizando la tablade la distribución Chi-cuadrada, si X20 < se acepta la H0. Para llevar a cabo esta prueba, es necesario dividir el intervalo (0, 1) enm subintervalos, en donde es recomendable m= √ posteriormente, seclasifica cada número pseudo aleatorio del conjunto r i en los m intervalos. Ala cantidad de números ri que se clasifican en cada intervalo se le denominafrecuencia observada (Oi), y a la cantidad de números ri que se esperaencontrar en cada intervalo se le llama frecuencia esperada (E i). A partir deestos valores se calcula el estadístico de prueba: X20 =∑ ( )2
  15. 15. Oi Ei = (0.00 – 0.166) 6 5.6569 0.0209222 (0.166 – 0.33) 5 5.6569 0.0760848 (0.33 – 0.5) 5 5.6569 0.0760848 (0.5 – 0.666) 5 5.6569 0.0760848 (0.666 – 0.833) 5 5.6569 0.0760848 (0.833 – 1) 6 5.6569 0.0209222 0.3461838 El estadístico = 0.3461838 es menor al valor críticocorrespondiente de la chi-cuadrada , entonces no se puederechazar que el conjunto de números ri sigue una distribución uniforme.  Prueba de independencia H0: los números de los conjuntos ri son independientes H1: los números de los conjuntos ri no son independientes Existen múltiples métodos que tratan de corroborar que si los númerosen el intervalo (0, 1) son independientes o, en otras palabras sí parecenpseudoaleatorios, a continuación se realizará la prueba de corridas arriba yabajo. El procedimiento de esta prueba consiste en determinar una secuenciade números (S) que sólo contiene unos y ceros, de acuerdo con unacomparación entre ri y ri-1, la cual se construye de la siguiente manera: secoloca un cero si el número ri ≤ ri-1; en caso de ser mayor que el que número rianterior, se pone un uno. Posteriormente, se determina el número de corridasobservadas, Co la cual se identifica como la cantidad de unos o cerosconsecutivos. Además se necesita hacer los siguientes cálculos: µCo = = Para aceptar o rechazar la hipótesis nula, es necesario hacer unacomparación entre el siguiente estadístico de prueba y el valor crítico,si Z0< Zα/2 podemos concluir que los números generados corresponden a lapropiedad de ser independientes.
  16. 16. Z0 = [ ] √ Se aplica la prueba de corridas arriba abajo al conjunto de 32 númerospseudo aleatorios generados anteriormente: 0.1935 0.1612 0.6451 0.6129 0.0645 0.0322 0.5161 0.4838 0.9677 0.9354 0.3870 0.3548 0.8387 0.8064 0.2850 0.2258 0.7096 0.6778 0.1290 0.0967 0.5806 0.5483 0 1 0.4516 0.4193 0.9032 0.8709 0.3225 0.2903 0.7741 0.7419S = {0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 00 1 0 0 0 1 0} Co = 19 = = 21 = = 5.3666 Z0 = * + = - 0.8634 √ = = 1.96 entonces - 0.8634 es menor que 1.96 se concluyeque no se puede rechazar que los números del conjunto r i seanindependientes.
  17. 17. UNIDAD III VARIABLES ALEATORIAS1. ¿A qué se llama variable aleatoria y que tipos de variable aleatoria existen? El término variable significa valores inestables, pero decir que una variable es aleatoria, se refiere a mediciones cuyos valores se obtienen de algún tipo de experimento aleatorio. Los experimentos aleatorios presentan un tratamiento matemático, en el cual se deben cuantificar los resultados de modo que se asigne un número real a cada uno de los resultados posibles del experimento. Las variables aleatorias son aquellas que tienen un comportamiento probabilístico de la realidad.Tipos de variables que existen:  Variables Discretas Son aquellas que presentan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho de otra manera, se define una variable discreta como la variable tal que entre dos cualesquiera valores observables hay por lo menos un valor no observable. Por ejemplo 3 y 4 son potencialmente observables, mientras que 3.5 no lo es. Las variables discretas son valores enteros que no presentan continuidad o sea, existe una ruptura, por ejemplo, el número de hijos.  Variables Continuas Las variables continuas son aquella que puede tomar un valor cualquiera para un determinado intervalo. Tienen la propiedad de que entre dos cualesquiera valores observables, hay otro valor observable. En pocas palabras son números enteros y fraccionarios, por ejemplo, el peso, la estatura.
  18. 18. 2. Determine el tipo de distribución a que pertenecen el conjunto de datos del ejercicio 6 de la página 91 del libro Simulación y Análisis de sistemas con Promodel con la herramienta Stat: :Fit. Objetivo Utilizar la herramienta Stat::Fit con la finalidad de determinar ladistribución de probabilidad a partir de un conjunto de datos. Introducción Stat::Fit permite comparar los resultados entre varias distribucionesanalizadas mediante una calificación. Entre sus procedimientos emplea laspruebas estadísticas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y deAnderson-Darling. Conjuntamente calcula los parámetros apropiados para cada tipo dedistribución, e incluye información estadística adicional como media,moda, valor mínimo, valor máximo y varianza, entre otros datos. Stat::Fit se puede ejecutar desde la pantalla de inicio de Promodel, obien desde el comando Stat::Fit del menú Tools. Entrada de datos y manipulación Tabla de Datos Un nuevo proyecto se crea haciendo clic en el icono new documenten la barra de control o seleccionando File en la barra de menúy luego New en el submenú, esta acción genera un nuevo documento deStat::Fit , y muestra una tabla vacía de datos.
  19. 19. Es en la tabla vacía donde se insertan uno por uno los datos delejemplo: Opciones de entradaOpciones de entrada de datos (Input options) permite establecer variasopciones de manejo: El número de intervalos para el histograma, la precisión con que losdatos se muestran y almacenan, y los tipos de distribución que sepermitirán. El cuadro de diálogo Opciones de entrada se ingresa haciendoclic en el icono Input Options o mediante la selección Input de la barrade menú y luego Options en el menú secundario. Se aconseja que el número de intervalos se calcule con la raízcuadrada del total de datos, 10 para este ejemplo. La precisión de los datos es el número de decimales que se muestranen los datos de entrada y todos los cálculos posteriores. La precisión pordefecto es de 6 cifras decimales y se ajusta inicialmente. La precisión sepuede ajustar entre 0 y 15. Tenga en cuenta que la mayoría de los datos deeste ejemplo tiene un máximo de 5 dígitos por lo tanto es este valor que seestablecerá.
  20. 20. El tipo de distribución de análisis puedeser continua o discreta. En general, todas lasdistribuciones serán tratadas como cualquiertipo de forma predeterminada. Sin embargo,el análisis puede ser forzado a cualquiera delas distribuciones continuas o distribucionesdiscretas, marcando la casilla correspondienteen el cuadro de diálogo Opciones de entrada.Continua en este caso, clic en OK paraguardar las opciones registradas. Un gráfico de los datos deentrada se puede ver mediante laselección de input de la barra demenús y, a continuación inputgraph desde el menú secundario, ohaciendo clic en el icono de gráficode entrada. Un histograma de losdatos se desplegara en pantalla. Análisis estadístico Estadística Descriptiva La estadística descriptiva de losdatos de entrada se puede ver mediantela selección de Statistics en la barra deMenú y luego descriptive desde elmenú secundario. Se muestra lasiguiente ventana: El comando de Estadística Descriptiva proporciona lasobservaciones y los cálculos estadísticos básicos sobre los datos de entraday los presenta en una vista simple como se muestra arriba. El tiempo queesta ventana este abierta, los cálculos se actualizarán a medida que losdatos de entrada cambien.
  21. 21. Ajuste de la Distribución El ajuste automático de distribuciones continuas se puede realizarmediante el comando Auto::Fit. Este comando sigue el mismoprocedimiento como se explica a continuación para el ajuste manual, peroopta por la distribución adecuada de los datos de entrada. También calificalas distribuciones de acuerdo con su relativa bondad de ajuste, y da unaindicación de su aceptación como buenas representaciones de los datos deentrada. En el ajuste manual de las distribuciones de análisis de los datos deentrada en la tabla de datos, las distribuciones adecuadas de los datos deentrada deben ser elegidas en la configuración del ajuste (setup) junto conlas pruebas de bondad de ajuste deseadas. Comience el proceso deajuste de la distribuciónmediante la selección de Fit enla barra de menú y luego desetup desde el menúsecundario, o haciendo clic enel icono de setup apropiado. La página de distribuciones del cuadro de diálogo Configuración deajuste proporciona una lista de distribuciones para la elección de ladistribución para el ajuste posterior. Todas las distribuciones elegidas aquíse utilizarán de forma secuencial para las estimaciones y pruebas debondad de ajuste. Después de seleccionar las distribuciones, vaya a la siguientepestaña del cuadro de diálogo para seleccionar los cálculos a realizar. Las estimaciones pueden ser obtenidas en momentos o cálculos deprobabilidad máxima (MLEs). El valor predeterminado para el cálculo esMLE.
  22. 22. Para distribuciones continuas con un límite inferior o mínimo comola exponencial, el límite inferior puede ser obligado a asumir un valorigual o inferior al valor mínimode datos. Este límite inferior seutilizará tanto para losmomentos y las estimaciones demáxima verosimilitud. Deforma predeterminada, se dejadesconocido, esto causa quetodos los procedimientos deestimación varíen el límiteinferior con el resto de losparámetros. Pruebas de bondad de ajuste Las pruebas de bondad de ajuste no son más que las comparacionesde los datos de entrada a las distribuciones ajustadas de una maneraestadísticamente significativa. Cada prueba tiene la hipótesis de que elajuste es bueno y calcula un estadístico de prueba para la comparación conun estándar. Las pruebas de bondad de ajuste son: • Chi-cuadrada • Kolmogorov Smirnov • Anderson Darling Si la elección de la prueba es incierto, utilice el test de KolmogorovSmirnov, que es aplicable a la gama más amplia de datos y parámetrosajustados. Auto::Fit El ajuste automático distribucionescontinuas se puede realizar haciendo clic en elicono Auto::Fit o mediante la selección de Fitde la barra de Menú y luego Auto::Fit en elsubmenú.
  23. 23. Este comando sigue el mismo procedimiento como se mencionóanteriormente para el ajuste manual. Auto::Fit elegirá automáticamentedistribuciones continuas adecuadas para adaptarse a los datos de entrada,calcular las estimaciones de probabilidad máxima para las distribuciones,los resultados de la prueba de bondad de ajuste, y mostrar la distribuciónpor orden de su calificación relativa. La calificación relativa se determinapor un método empírico que utiliza efectivos cálculos de la bondad deajuste. Una calificación alta indica que la distribución ajustada es unabuena representación de los datos de entrada. La distribución Normal con media 18.7 y desviación estándar 4.11consigue una calificación de 100, por lo cual se acepta que esta es laindicada para seleccionar que los datos del ejemplo siguen estadistribución. Gráficos Un gráfico de la densidad de los datos de entrada y la densidadajustada pueden ser vistos seleccionando Fit de la barra de menús y, acontinuación Result Graphs, submenú Density, también se puede accedera las gráficas haciendo clic sobre la distribución en la ventana AutomaticFitting. Este gráfico muestra un histograma de los datos de entradacubierto de las densidades ajustadas para distribuciones específicas. El gráfico aparecerá con la configuración por defecto de los datos deentrada en un histograma azul y los datos ajustados en un polígono decolor rojo, como se muestra a continuación.
  24. 24. La distribución ajustada se muestra en el cuadro inferior de laderecha. Si ha seleccionado más de una distribución para ajustar, una listade las distribuciones se da en el cuadro superior de la derecha. Seleccionedistribuciones adicionales para mostrarlas, para compararlas, haciendo clicen el nombre de la distribuciones en el cuadro superior. Habrá unaleyenda en la parte inferior de la gráfica, como se muestra a continuación: Se puede observar que la distribución Lognormal traslapa a ladistribución Normal, dada la semejanza con esta última, y que obtuvo unacalificación de 99.9. La distribución Uniforme es la que menos se ajustapues los datos evidentemente no siguen esta tendencia.
  25. 25. 3. Mediante un ejemplo genere una variable aleatoria usando el método de la transformada inversa. a) Usando distribución exponencial El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f(x) y la generación de números pseudo aleatorios r i U (0, 1). El método consiste en desarrollar los siguientes pasos: 1. Definir la función de densidad F(x) que represente la variable a modelar: F(x) = λe-λx para x≥ 0 2. Calcular la función acumulada F(x): F(x) = ∫ dx = 1-e-λx para x≥ 0 3. Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa F(x)-1 Despeje de la variable aleatoria: Xi = - ln (1-ri) Función acumulada inversa: Xi= -λLn (1-ri) 4. Generar las variables aleatorias x, sustituyendo los valores con números pseudo aleatorios ri U (0, 1) en la función acumulada inversa.El tiempo, en minutos, que un alumno usa una terminal de cómputo en unaimportante universidad sigue una distribución exponencial de probabilidad, conpromedio de 36 minutos. Xi= -36Ln (1-ri) Alumno ri Tiempo Alumno ri Tiempo 1 0.4849 23.882192 11 0.2917 12.4159517 2 0.5128 25.8869003 12 0.5088 25.5925405 3 0.2963 12.6505134 13 0.8877 78.716931 4 0.7793 54.3942348 14 0.8011 58.1383114 5 0.7306 47.2160885 15 0.1761 6.97342016 6 0.4068 18.8000521 16 0.1011 3.83700547 7 0.5486 28.6344509 17 0.0221 0.80452309 8 0.0961 3.63731559 18 0.4884 24.1276395 9 0.2352 9.65307302 19 0.8534 69.1217096 10 0.5319 27.3266399 20 0.1323 5.10873286
  26. 26. a) Usando la distribución de Bernoulli El método de la transformada inversa también se emplea para simular variables aleatorias de tipo discretas. El método consiste en: 1. Calcular todos los valores de la distribución de probabilidad p(x) de la variable a modelar. 2. p(x)= px (1-p) 1-x para x=0, 1 Se calculan las probabilidades para x=0 y x=1, para obtener: x 0 1 p(x) 1-p p 3. Calcular todos los valores de la distribución acumulada P(x). x 0 1 P(x) 1-p 1 4. Generar números pseudo aleatorios ri U (0, 1). 5. Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x). Si ri (0, 1 –p) x=0 Xi = Si ri (1 –p, 1) x=1La probabilidad de que un prospecto elegido al azar realice una compra a un agentede ventas es 0.20 (x=1) y de 0.8 de que no compre (x=0) en un dia determinado.p(x)= (0.2)x (0.8) 1-x para x=0, 1 Cálculo de probabilidades puntuales y acumuladas para x=0 y x=1. X 0 1 p(x) 0.8 0.2 P(x) 0.8 1
  27. 27. Si ri (0 – 0.8) x=0 Xi = Si ri (0.8 - 1) x=1 Si el número pseudo aleatorio es menor que 0.8, no hay compra. Si el número pseudo aleatorio es mayor que 0.8, si hay compra. Persona ri Xi Evento: Compra 1 0.1935 0 No 2 0.1612 0 No 3 0.6451 0 No 4 0.6129 0 No 5 0.0645 0 No 6 0.0322 0 No 7 0.5161 0 No 8 0.4838 0 No 9 0.9677 1 Si 10 0.9354 1 Si 11 0.387 0 No 12 0.3548 0 No 13 0.8387 1 Si 14 0.8064 1 Si 15 0.285 0 No 16 0.2258 0 No 17 0.7096 0 No 18 0.6774 0 No 19 0.129 0 No 20 0.0967 0 No 21 0.5806 0 No 22 0.5483 0 No 23 0 0 No 24 1 1 Si 25 0.4516 0 No 26 0.4193 0 No 27 0.9032 1 Si 28 0.8709 1 Si 29 0.3225 0 No 30 0.2903 0 No 31 0.7741 0 No 32 0.7419 0 No
  28. 28. Instituto Tecnológico de ReynosaIngeniería Industrial6to semestre Simulación MII. José María González RodríguezUNIDAD II: Números Aleatorios y Pseudo aleatoriosUNIDAD III: Variables Aleatorias Abasolo Melchor Alberto Carranza García Alberto de Jesús De Luna Pérez Nancy Yadira Hernández Martínez Diana Celeste Medrano Meza Erick RobertoReynosa, Tamps, 09 de Mayo de 2011

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