1. 1. ¿Cuál es el propósito general del análisis de regresión?
En términos generales, el análisis de Regresión trata sobre el estudio de la
dependencia de un fenómeno económico respecto de una o varias variables explicativas,
con el objetivo de explorar o cuantificar la media o valor promedio poblacional de la
primera a partir de un conjunto de valores conocidos o fijos de la/s segunda/s.
Utiliza el método de los "mínimos cuadrados" para ajustar una línea a una serie de
observaciones. Puede utilizar esta herramienta para analizar la forma en que los valores
de una o más variables independientes afectan a una variable dependiente; por ejemplo,
en el rendimiento de un atleta inciden varios factores: la edad, la estatura y el peso entre
otros. Basándose en un conjunto de datos de rendimiento, la regresión determinará la
incidencia de cada uno de los factores en la medición del rendimiento y podrán utilizarse
estos resultados para predecir el rendimiento de un atleta nuevo no sometido a ninguna
prueba.
2. En el análisis de regresión intervienen dos tipos de variables: las independientes y
las dependientes. Explique con sus palabras y a través de ejemplos, las
características de estos dos tipos de variables.
En un Análisis de Regresión simple existe una variable respuesta o dependiente (y) que
puede ser el número de especies, la abundancia o la presencia-ausencia de una sola
especie y una variable explicativa o independiente (x).
La variable independiente aquella que produce modificaciones en otra variable con la
cual está relacionada. Suele designársele, por ello, como variable causal.
La variable dependiente, por su lado, experimenta modificaciones siempre que la variable
independiente cambia de valor o modalidad de darse. Por ello, también recibe el nombre
de variable efecto.
Es importante señalar que una variable independiente en una cierta relación puede ser
dependiente en otra, o viceversa.
De manera general, pero simplificada, podemos decir que entre una variable
independiente y su correspondiente variable dependiente se puede dar una variable
interviniente, que actúa como puente entre las dos primeras.

2. 4.- Considere el modelo de regresión lineal simple y i=β0 + β1xi + εi, conteste:
a) Formule las hipótesis que se hacen sobre los parámetros del modelo y explique
la consecuencia de aceptar o rechazar cada una de éstas.
 Prueba de hipótesis para el parámetro β0 (que indica la intersección con el eje y).
H0: β0 = 0
HA: β0 ≠ 0
Al aceptar la H0: β0 = 0, nos indica que nuestra ecuación nos quedaría de la siguiente
manera: yi= β1xi y por lo tanto, al graficar nuestra recta de regresión ésta pasa por el
origen formando respecto al eje de las abscisas, un ángulo de 45°.
Con este resultado, no podemos considerar que nuestro modelo de regresión sea
confiable para predecir resultados debido a que no nos está mostrando una relación de
significancia entre nuestros parámetros.
 Prueba de hipótesis para el parámetro β1 (que indica la pendiente de la recta, es
decir, el incremento o decremento de la variable y por cada incremento de x).
H0: β1 = 0
HA: β1 ≠ 0
Al aceptar nuestra H0: β1 = 0, estamos considerando un valor nulo para nuestra pendiente,
y la ecuación de regresión toma la siguiente forma: yi= β0 + (0) xi es decir, el último
término queda eliminado y por lo tanto, a la hora de graficarlo nos queda de la siguiente
manera:

3. El resultado de la variable dependiente toma el valor constante de nuestro parámetro β0 y
lo que nos queda no es una recta de regresión lineal, ya que como en el caso anterior, no
nos plantea una relación para poder predecir con cierta confianza valores para nuestra
variable dependiente y.
b) Anote en forma detallada el estadístico de prueba, t0, para cada una de las
hipótesis y dé una explicación de por qué sirven para probar las hipótesis. Es
decir, determine cuándo estos estadísticos tienen valores pequeños o grandes, y
la decisión que se tomaría con respecto a su hipótesis correspondiente.
Un estadístico de prueba es aquel calculado de una sola muestra aleatoria simple tomada
de la población de interés, en una prueba de hipótesis para establecer la verdad o
falsedad de la hipótesis nula.
Para el parámetro β1 tenemos que:
̂
√
Para obtener la fórmula de éste estadístico, se hace un análisis respecto a la media y
varianza del parámetro β1 y se considera que tienen una distribución normal. Para calcular
la desviación estándar del estimador se hace una estimación dada por:
̂ √ ⁄
Y recibe el nombre de error estándar de β1. Nótese que esta igualdad se toma en cuenta
para el cálculo del estadístico.

4. La distribución t-student se utiliza para muestras de n≤30. También es importante
mencionar que como nuestra HA contiene desviaciones desde la hipótesis nula en
cualquier dirección (por lo de β1≠0) se denomina hipótesis de dos colas, y he aquí donde
se aplica la distribución t-student.
Para el parámetro β0 tenemos que:
̂
̅
√ [ ]
Como en el caso anterior, para formular el estadístico de prueba se tomó en cuenta que el
parámetro de β0 sigue una distribución normal considerando su media y varianza.
Entonces una estimación de esta última es:
̅ ̅
̂( ̂ ) ̂ [ ] [ ]
De igual manera notamos que esto se toma en cuenta en la estructura del estadístico de
prueba.
En ambos casos para saber si aceptamos o rechazamos nuestra H0, representamos
nuestro criterio de rechazo de la siguiente manera:
| |
Si el valor de nuestro estadístico de prueba es grande o pequeño, podemos decir que es
respecto a los datos que se estén manejando para el análisis del problema, obviamente
para saber si se rechaza nuestra H0, el valor del estadístico debe satisfacer la expresión
anterior, por lo tanto estaremos aceptando la HA, esto quiere decir que el valor del
estadístico si es mayor que el área de rechazo (expresada con el valor que se obtiene de
las tabla de distribución t-student, con cierto nivel de significancia), entonces se encuentra
en el área de aceptación y como todo esto está en función de la H0 podemos sacar
conclusiones respecto de lo que estamos afirmando.

5. c) Con respecto al análisis de varianza para el modelo, escriba y explique la
hipótesis correspondiente. Además, anote con detalle el estadístico de prueba,
F0, y dé una justificación de por qué tal estadístico sirve para probar tal hipótesis.
En este caso, se plantea un análisis enfocado hacia la variabilidad total observada en la
variable de respuesta (Syy), la variabilidad explicada por la recta de regresión (SCR)y la
variabilidad no explicada por la recta de regresión (SCE), obteniendo consecuentemente el
Cuadrado Medio del Error, considerando los grados de libertad. Todo esto se utiliza para
generar otra forma de probar la hipótesis sobre la significancia de la regresión.
Para el análisis de varianza, sólo utilizamos la prueba de hipótesis para el estimador β1,
como ya sabemos, la pendiente.
H0: β1 = 0
HA: β1 ≠ 0
El estadístico de prueba respecto la hipótesis nula es:
F0 = =
En realidad, esta forma de probar la significancia de la regresión, es equivalente a la que
se estableció a través del estadístico t0, ya que al elevar éste al cuadrado obtenemos:
t 02 = = = = F0
La distribución Fisher, se utiliza para probar si dos muestras provienen de poblaciones que
poseen varianzas iguales. Esta prueba es útil para determinar si una población normal
tiene una mayor variación que la otra. Y como al principio se menciona que los datos del
problema están sometidos a un análisis de varianza, es por eso que debemos utilizar este
estadístico de prueba.

6. 5.-Con respecto a los intervalos de confianza para la recta y los intervalos de predicción,
señale ¿Cómo se obtienen y para que se aplica cada uno de ellos?
Intervalo de confianza de la recta
̅ ̅
- √ | - √
Un intervalo de confianza está definido por dos valores entre los cuales se encuentra el
valor del parámetro con un determinado nivel de confianza que se denota (1 – ) y que se
aplica para mostrar los valores entre los cuales se puede encontrar nuestro estimador
puntual, para dar una idea de la confiabilidad de nuestro estimador.
Los intervalos de predicción
̅ ̅
- √ | - √
Se utilizan para predecir o pronosticar nuevas o futuras observaciones de Y. Para predecir
por intervalos la nueva observación es independiente de las observaciones utilizadas para
ajustar el modelo de regresión lineal por tal motivo el intervalo anterior no es adecuado.
Este intervalo depende tanto del error del modelo como del error asociada las
predicciones futuras.
Entre más alejado del valor medio es xi, mayores son los intervalos de confianza y de
predicción.
Los intervalos tienen la propiedad de ser de diferente ancho, según el valor de X, siendo
más angostos cuando X es igual al promedio, ensanchándose a medida que nos alejamos
del promedio. Cuando se sale del rango de los datos, se ensanchan más fuertemente. Esto
significa que mientras más nos alejamos del centro de los valores de la variable X, más
imprecisas serán nuestras estimaciones del valor de la variable Y, lo que parece razonable.
15. ¿por qué se requiere la regresión lineal múltiple?
Porque en muchas situaciones practicas existen varias variables independientes que se
cree que influyen o están relacionadas con una variable de respuesta Y, y por lo tanto será
necesario tomar en cuenta si se quiere predecir o entender mejor el comportamiento de
Y.

7. 17 – Considere un modelo de regresión lineal múltiple con cuatro variables: yi =  0
+  1 x1i +  2 x2i + ……..+ 4 x4 +  i ; i = 1,2,…,n, y suponga que para estimar los
parámetros se utilizaron un total de 12 observaciones, es decir, n = 12. Conteste
las siguientes preguntas:
a) Explique en forma esquemática el procedimiento matemático para estimar los
parámetros que minimizan los errores por mínimos cuadrados.
Generalmente, para el caso de k variables independientes X1, X2,....,Xk, la media de Y| X1, X2,....,XK
está dada por el modelo de regresión lineal múltiple
 Y|x1, x2 ,………, xk =  0 +  1 x1 +……..+  k xk
y la respuesta estimada se obtiene de la ecuación de regresión de la muestra
donde cada coeficiente de regresión  i se estima por bi de los datos de la muestra con el uso del
método de mínimos cuadrados. Con 4 variables (x1, x2, x3, x4) y 12 observaciones (n=12) El
procedimiento matemático es mediante el ajuste del modelo de regresión lineal múltiple:
 Y|x1 , x2, x3 , x4 =  0 +  1x1+  2x2+  3x3 +  4x4
a los puntos de datos i= 1,2,....,12 y 12 >4 },
. Al utilizar el concepto de mínimos cuadrados para llegar a las estimaciones 0, 1, 2,  3,  4,
minimizamos la expresión:
Al diferenciar SSE a su vez con respecto a 0, 1, 2,  3,  4, e igualar a cero:
Sustituyendo n con 12 y k con 4, estas ecuaciones se pueden resolver para a 0, 1, 2,  3,  4
mediante cualquier método apropiado para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

8. b) Denote el modelo en forma matricial: y=X + exprese con precisión todas las
matrices involucradas en el modelo.
De manera resumida:
Y= X= = 
[ ] [ ] [ ] [ ]
La matriz de datos Y es el conjunto de todas las observaciones en cuanto a la variable dependiente
se observaron en el experimento, de aquí que va de y1 hasta y12 con respecto a la totalidad de
observaciones n = 12.
La matriz de datos X representa en realidad los valores de las variables independientes ya sean en
cuadrados, cubos, productos cruzados u otras funciones de las variables de predicción. Se observa
que la primera columna de la matriz X es una columna de unos, por tanto, estamos insertando un
valor de x, específicamente x0, como coeficiente de b0. Donde x0 siempre es igual a 1.
La siguiente matriz representa los estimadores del modelo, para cada parámetro de la matriz hay
una columna en la matriz X.
La última matriz representa el error aleatorio inherente a todo modelo de regresión.
c) Proporcione la expresión matricial para los estimadores de mínimos cuadrados.
Entonces la solución de mínimos cuadrados para la estimación de 0, 1, 2,  3,  4 , implica
encontrar b para la que
SSE = (y - Xb)'(y - Xb)
se minimiza. Este proceso de minimización implica resolver para b en la ecuación
El resultado se reduce a la solución de b en(X'X) = X'Y
Podemos escribir la solución para el coeficiente de regresión como
 =(X’X)-1 X’Y
De esta forma se puede obtener la ecuación de predicción o la ecuación de regresión al resolver
un conjunto de k + 1 ecuaciones con un número igual de incógnitas. Esto implica la inversión de la
matriz X'X de k + 1 por k + 1.

9. d) Especifique la hipótesis de significancia del modelo y lo que significa aceptar o
rechazar esta hipótesis.
La hipótesis más importante sobre un modelo de regresión múltiple consiste en ver si la
regresión es significativa:
H0 : 1 2  3  4 = 0
HA : j ≠ 0 Para al menos un j = 1, 2, 3, 4
 Aceptar H0 indica que ningún término en el modelo tiene una contribución
significativa al explicar la variable de respuesta, Y.
 Rechazar H0 implica que por lo menos un término en el modelo contribuye de
manera significativa a explicar Y.
e) De la expresión del estadístico de prueba, F0, para la hipótesis anterior, así como
una explicación racional de por qué funciona como estadístico de prueba, es decir,
vea cuando este estadístico tiene valores grandes o pequeños, y lo que eso significa
en términos de calidad de ajuste.
F0 = CMR/CME
La hipótesis nula anterior se rechaza si: F0 > F (α, 4, 7)
Dado que un estadístico es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos de
una muestra, con el objetivo de estimar o contrastar características de una
población o modelo estadístico, en este caso nos permite aceptar o rechazar la hipótesis, cuando
el valor de F0 es mayor que el valor F(α, 4, 7) implica que debemos descartar la hipótesis nula y aceptar la
alternativa que nos habla de una significación del modelo, además si F0 es notablemente grande refiere a
una mayor significancia dado que se aleja del criterio de rechazo establecido.
f) Formule las hipótesis sobre los parámetros individuales del modelo y comente que
significa aceptar o rechazar cada una de estas.
H0 : j = 0
HA : j ≠ 0 j = 1, 2, 3, 4
Aceptar la hipótesis nula, para cualquier estimador, indica que el mismo no contribuye
esencialmente a predecir Y en general, en caso contrario, rechazar hipótesis nula y por
consiguiente aceptar la hipótesis alternativa, indica que el parámetro Bj es significativo.

10. g) Proporcione la expresión para el estadístico de prueba para el caso anterior y
comente por que estos estadísticos funcionan como criterio de aceptación o
rechazo.
t0 =
La hipótesis nula anterior se rechaza si: t0 > t (α/2, 7 )
La prueba t de Student como todos los estadísticos de contraste se basa en el cálculo de
estadísticos descriptivos previos: el número de observaciones, la media y la desviación típica en
cada grupo. A través de estos estadísticos previos se calcula el estadístico de contraste
experimental. Por lo tanto el criterio de rechazo anterior funciona perfectamente con cada
estimador j
h) ¿Cuáles son los riesgos de hacer predicciones fuera de la región de los datos
originales?
Fuera de la región, los aspectos físicos o sociales que están atrás de todo modelo de regresión
pueden empezar a actuar de otra forma, muy fuera de la región de los datos originales empiezan a
actuar otros fenómenos no considerados en el modelo original. Este riesgo es más grande en el
análisis de regresión múltiple, ya que se trabaja con regiones multidimensionales.