El último teorema de fermat

EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT MARYI GONZÁLEZ AGRADECIMIENTO Agradezco primeramente a Dios por permitirme esbozar mis ideas mediante la elaboración de este trabajo para optar por el Título de Licenciada en Matemática. A mi hermano GIOVANY GONZÁLEZ y a mis padres YOBANI GONZÁLEZ y BENILDA PÉREZ porque siempre me han brindado su apoyo incondicional, por su sacrificio y por sus palabras de ánimo en todo momento. Al Dr. JAIME GUTIÉRREZ, profesor del Departamento de Matemática, por su dedicación en las horas de clases, por su disposición a las consultas y dudas que tuve, por su asesoría y colaboración en el material de mi trabajo. A todos los profesores que han coadyuvado a mi formación profesional. A Maribel Batista y a Esteban Quintana por apoyarme, por sus palabras y compañía en los momentos precisos. DEDICATORIA A mis padres, a mi hermano, a mis amigos y compañeros de IV año de Licenciatura en Matemática. A todos ellos por compartir conmigo la felicidad de ver alcanzada una de mis metas. ÍNDICE AGRADECIMIENTO DRDICATORIA RESUMEN INTRODUCCIÓN CONTENIDO CAPÍTULO I: ANTECEDENTES HISTÓRICOS Diofanto: Sabio y Matemático Pierre de Fermat Fermat y la Aritmética de Diofanto Más de 350 años de Intentos de Demostración del Último Teorema de Fermat Etapa de embuste CAPÍTULO II: DEMOSTRACIÓN DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT Biografía de Andrew John Wiles Historia de Andrew Wiles y el UTF Wiles demuestra el UTF. Una demostración del siglo XX. CAPÍTULO III: MATEMÁTICOS QUE DICEN TENER UNA DEMOSTRACIÓN MÁS ELEMENTAL DEL UTF. EL UTF COMO GÉNESIS DE LA TEORÍA ALGEBRAICA DE NÚMEROS CONCLUSIONES RECOMENDACIONES REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS RESUMEN Nuestra monografía trata de uno de los problemas de Matemática históricamente más difícil de resolver: EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT. Debido a que este teorema se resistió a los Matemáticos más sobresalientes de todos los tiempos y debido al auge de descubrimientos de nuevas herramientas matemáticas nos proponemos presentar algunos acontecimientos históricos y aportes que hicieron los matemáticos cuando intentaban demostrar el Último Teorema de Fermat, su demostración y la profunda historia de motivación de Andrew Wiles, quien lo demostró. Por otra parte, otro de nuestros objetivos es resaltar la importancia de este teorema para la Teoría Algebraica de Números. INTRODUCCIÓN En la teoría elemental de números se estudian los números enteros sin utilizar técnicas provenientes de otros campos de la Matemática. Pertenecen a la teoría elemental de números: los criterios de divisibilidad, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, la factorización de los enteros como producto de números primos, la búsqueda de los números perfectos y las congruencias. En esta monografía trataremos sobre el Último Teorema de Fermat con la finalidad de destacar la inspiradora historia de su demostración, los aportes suscitados por los matemáticos durante más de dos siglos y la importancia de este teorema para una de las ramas más importante de la Matemática: la Teoría de Números. Nuestro trabajo está estructurado en tres capítulos: el primero, antecedentes históricos. El segundo contiene la historia de la demostración del UTF. El capítulo tercero señala los matemáticos que dicen tener una demostración más elemental que la de AndrewWiles; y por último, también enfatizamos sobre el UTF como génesis de la Teoría Algebraica de Números. CAPÍTULO 1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS “El poeta debe ser capaz de ver lo que los demás no ven, debe ver más profundamente que otras personas. Y el matemático debe hacer lo mismo.” S. KOVALEVSKAYA El Último Teorema de Fermat es considerado como el problema matemático más difícil de la historia. Esto se debe, precisamente, porque muchos son los matemáticos que desfilan a lo largo de la historia de su demostración. El enunciado de este teorema es el siguiente: La ecuación xn + yn = zn No tiene soluciones enteras distintas de cero para x, y y z cuando n > 2. Antecedentes Históricos Diofanto: Sabio y Matemático Entre el año 200 y 290 d.C. vivió un matemático griego llamado Diofanto. Vivió en Alejandría. Poco es lo que se conoce de su vida. Por un epitafio sabemos que vivió 84 años. El epitafio dice lo siguiente: quot;
Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad.quot;
 Diofanto fue el primer matemático griego en plantear los problemas aritméticos en un campo abstracto; es decir, rompe con las costumbres de escribir enunciados que apuntaban solo a cálculos de agrimensor. Desde allí, la Matemática comienza a interesarse en las operaciones realizadas con cualquier número. Esta idea permite dar el salto de la Aritmética al Álgebra. En este contexto, Diofanto introduce símbolos para designar incógnitas y operaciones, además, utiliza algunas abreviaturas. Esto da comienzo a una nueva etapa del Álgebra. Su obra más conocida y a la cual debe su reconocimiento es “La Aritmética”. Esta obra era una colección de 189 problemas distribuidos en 13 libros. Sólo 6 de éstos sobrevivieron a la destrucción de la gran biblioteca de Alejandría. La mayoría de los problemas son de ecuaciones lineales y cuadráticas, pero siempre con solución positiva y racional, ya que en aquella época los números negativos y los irracionales no tenían sentido. Según Diofanto, La Aritmética fue escrita para ayudar a uno de sus estudiantes. Esto no los describe en el preámbulo de su Aritmética: “Como sé, muy honorable Dionisio, que quieres aprender a resolver problemas numéricos, he emprendido la tarea de exponer la naturaleza y el poder de los números, empezando por las bases que sustentan estas cuestiones. Es posible que parezcan más difíciles de lo que son por ser desconocidas aún y que los principiantes duden de conseguir alcanzarlas, pero las comprenderás fácilmente gracias a tu actividad y a mis demostraciones, pues que el deseo unido a la enseñanza conduce rápidamente al conocimiento”. Ecuaciones Diofánticas La búsqueda de soluciones enteras de determinadas ecuaciones es una de las tareas que más ha impulsado la Teoría de Números. Actualmente, es esta un área de intensa investigación. Los enunciados de problemas que se traducen en ecuaciones diofánticas abarcan desde situaciones de la vida cotidiana, hasta las sofisticadas ecuaciones de la mecánica cuántica. Estas ecuaciones tuvieron su origen en la Aritmética de Diofanto. Definición de Ecuación Diofántica Una ecuación diofántica es una ecuación con una o varias incógnitas cuyos coeficientes son todos números enteros y cuyas soluciones son también enteras. Ejemplo #1: 5x + 7y = 57 Tiene por soluciones: x = 3 + 7t y = 6 – 5t Donde t es un número entero cualquiera. Tiene, por tanto, infinitas soluciones. Las ecuaciones diofánticas del tipo ax+by=c se denominan ecuaciones diofánticas lineales. Resolución de una ecuación diofántica lineal Una posibilidad para resolver ecuaciones diofánticas lineales es ir probando números hasta dar con el par de enteros que la satisfacen, pero esto es poco recomendable porque estas ecuaciones no siempre tienen solución. Un resultado obtenido por Euclides nos permitirá saber si una ecuación de este tipo tiene o no solución. Teorema 1: Una ecuación lineal diofántica de la forma ax+ by=n tiene solución entera x0, y0 si y sólo si el máximo común divisor de a y b es un divisor de n. Además, si llamamos d al mcd(a,b) se tiene que una solución particular de dicha ecuación puede obtenerse de la siguiente forma: (1)x0= nd α y0= nd β Siendo d=αa+βb Teorema 2: Si x0, y0 ∈Z es una solución particular de la ecuación ax+ by =n (1) entonces todas las soluciones enteras xy de la misma son de la forma: (2)x= x0+ bd t y= y0+ bd t con t ∈ Z, siendo d = mcd(a, b), Ejemplo #2 Encuentre las soluciones enteras de 30x + 12y = 1200 Sea d= mcd(30, 12) = 6 La ecuación de Bezout es: a = bq + r Donde q, r ∈Z, q es el cociente de dividir “b entre a” y r el resto. Utilizando el algoritmo de Euclides junto con la ecuación de Bezout, tenemos que: d=αa+βb. Es decir: 6=30α+12β a = bq + r 30 = 12 * 2 + 6; despejando r tenemos que: 6 = 30 – 12*2 Luego: α=1 y β=-2 Por las ecuaciones (1), se tiene que la solución particular es: x0 = 12006* 1= 200 y0 = 12006 * (-2) = - 400 Luego, por las ecuaciones (2), se tiene que las todas las soluciones son de la forma: x0=200+126t=200+2t y0= -400- 306t= -400-5t Ecuación Pitagórica Las ecuaciones pitagóricas también son un ejemplo de ecuaciones diofánticas. Estas ecuaciones tienen la forma: x2+y2=z2 Los enteros x, y, z que cumplan con esta igualdad componen una terna pitagórica. Este nombre se deriva del teorema de Pitágoras, el cual establece que: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En este sentido, cualquier terna pitagórica puede asociarse con las longitudes de dos catetos y una hipotenusa, formando así un triángulo rectángulo. Construcción de ternas pitagóricas La fórmula generalizada es: Si n es impar: (n, n2-1, n2+1) Si n es par: (2n, n2-12 , n2+12 ) donde n є N. Lista de las primeras ternas pitagóricas ( 3 , 4 , 5 )( 5, 12, 13)( 7, 24, 25)( 8, 15, 17)( 9, 40, 41)(11, 60, 61)(12, 35, 37)(13, 84, 85)(16, 63, 65)(20, 21, 29)(28, 45, 53)(33, 56, 65)(36, 77, 85)(39, 80, 89)(48, 55, 73)(65, 72, 97) La Aritmética de Diofanto, contemplada en su conjunto como un monumento algebraico, ejerció gran influencia en el matemático francés Pierre de Fermat. Pierre de Fermat Pierre de Fermat nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont de Lomagne, en Francia. Se prevé que su educación fue muy esmerada, ya que llegó a dominar en absoluto las lenguas clásica, latín y griego, así como la mayoría de las lenguas europeas que se hablaba en ese tiempo. Sus estudios de Magistratura los realizó en Toulouse, donde más tarde acabó instalándose como magistrado. Fermat ejerció como funcionario durante 34 años. Los 17 últimos los ejerció en la Conserjería Real en el Parlamento local de Toulouse, luego de haber sido ascendido en 1648. Debido a que este cargo público exigía, para evitar corrupciones, mantenerse alejado de todo tipo de actividades sociales, Fermat pudo disponer de mucho tiempo libre, el cual dedicó a la Matemática y, gracias a ello, dio muchos frutos. Este matemático francés falleció el 12 de enero de 1665 en Castres, a la edad de 65 años. Sus trabajos publicados, en vida, fueron pocos. La mayoría de sus trabajos se conocen gracias a su hijo Climent Samuel que los publicó en el año 1679. Estos trabajos se encuentran recogidos en una voluminosa correspondencia que Fermat mantenía con matemáticos de la época como: J. Wallis, Pascal, Mersenne, Descartes, G.P. de Roberval, etc. A través de todas estas correspondencias se sabe que a Fermat le gustaba torturar a sus amistades matemáticas, retándolos a encontrar resultados que él mismo ya había conseguido. Entre sus principales aportaciones a la Matemática, podemos mencionar: Números primos de Fermat. Descubrió el método del descenso infinito Fue el primero en representar las curvas y superficies por ecuaciones Encontró un método para factorizar números grandes Es, junto a Pascal, el padre del estudio teórico de las probabilidades Es considerado por muchos como el padre de la Teoría de Números Pequeño teorema de Fermat Fue precursor del Cálculo Diferencial e Integral. Se puede considerar, junto a Descartes, descubridor de la Geometría Analítica. Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre. Este asteroide primero fue denominado asteroide 12007, luego: Fermat. “Fermat (asteroide 12007) es un asteroide del cinturón principal, un 2,0351339 UA. Tiene una excentricidad de 0.0995349 y un período orbital de un 241,04 días (3,4 años). Fermat tiene un promedio de velocidad orbital de 19.81206354 km / s, y una inclinación de 6,36434 º. Este asteroide fue descubierto el 11 de octubre de 1996 por Pablo Comba.” También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro. Fermat y la Aritmética de Diofanto La traducción latina más conocida de Arithmetica es la que hizo Bachet en 1621. Esta se convirtió en la primera edición latina ampliamente disponible. Fermat tenía una copia de esta traducción, la cual estudió durante algún tiempo. Como de costumbre, en los márgenes anotó sus observaciones y comentarios. Cinco años después de que Fermat falleciera su hijo Samuel publicó este libro con todas esas anotaciones. Más tarde, esas notas marginales se hicieron célebres y muchas se convirtieron en importantes teoremas de la Teoría de Números. En efecto, su famoso teorema surge al generalizar una proposición que leyó en el tomo II de la Aritmética: “dividir un cuadrado dado en dos cuadrados”. En esta sección de la Aritmética de Diofanto, Fermat escribió: “Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.” “Es imposible dividir un cubo en suma de otros dos o un bicuadrado en otros dos bicuadrados, en general una potencia cualquiera superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa pero en este margen es demasiado estrecho para contenerla.” Utilizando la notación moderna, esto puede enunciarse de la siguiente manera: Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números x, y, z є N, tales que se cumpla la igualdad:xn + yn = zn Por ser esta la afirmación de Fermat que más años tardó en demostrarse es que se le conoce como El Último Teorema de Fermat. Más de 350 años de Intentos de Demostración del Último Teorema de Fermat “El último teorema de Fermat ocupó el centro de una intrigante saga de valor, embuste, trucos y tragedia que involucró a los mayores héroes de las matemáticas”. A partir de esta cita, señalaremos el porqué Singh hace una denominación, de esta magnitud, al Último Teorema de Fermat. 1630, Pierre de Fermat 17386301905 Para el caso n=4 el mismo Fermat probó su conjetura. Para ello, utilizó un método que él mismo inventó: método descenso infinito. Este método se utiliza para demostrar afirmaciones sobre números naturales. Consiste en decir que ninguno de los números naturales de un cierto subconjunto cumple cierta propiedad. Formalmente, este método prueba proposiciones de la forma: ∀n∈A ϲ N:~P(n) Donde: A ϲ N : es un cierto subconjunto de los números naturales. Este método también se basa en el axioma de que el conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado. La buena ordenación implica que: Si existe un n tal que P (n) sea verdadera, entonces, existe un elemento mínimo x dentro de N tal que P (x) es verdadera. Esto empieza de la siguiente manera: se tiene un número natural x que no cumple la proposición P, entonces se define un número natural y a partir de x tal que y < x. Como logra verificarse que y tampoco cumple con la proposición P esto da lugar a que se defina un número natural z de manera análoga a lo anterior y así sucesivamente. Esto lleva a una condición de descenso infinito, lo que demuestra que no existe tal número que cumple con la proposición, pero como el principio del buen ordenamiento es una condición necesaria en el conjunto de las supuestas n que hacen a P(n) verdadera y como el descenso infinito prueba que el principio del buen ordenamiento falla, se concluye entonces que no existe n que satisfaga la proposición P. Utilizando este principio, Fermat supuso que x4 + y4 = z4 tenía una solución entera: x0, y0, z0. A partir de ella, fabricó otra (x1)4 + (y1)4 = (z1)4 en la que z1 era menor que z0. Aplicando esto repetidas veces, pero una cantidad finita, se llegaba a que 1, por ser el elemento mínimo de los números naturales, era una suma de cuartas potencias de números positivos, lo que es contradictorio: 14 + 14 = 2; pero 2 ≠ z4, con z ϵ N Esto fue lo que demostró Fermat: no hay enteros que cumplan la ecuación x4 + y4 = z4. Con respecto al caso general, Fermat aﬁrmó tener una prueba maravillosa que no cabía en aquel margen. Sin embargo, nunca se encontró tal demostración. Después de más de 100 años 1735, Leonhard Paul Euler Leonhard EulerNació el 15 de abril de 1707 en Basel, Suiza. Las facultades que desde temprana edad mostró para las matemáticas pronto ganaron la estima del patriarca de los Bernoulli. Johann Bernoulli, uno de los más eminentes matemáticos de su tiempo, fue profesor de Euler en la Universidad de Basilea. En 1733, Euler relevó a Daniel Bernoulli en la cátedra de Matemática. Por su extrema dedicación al trabajo, pierde la visión del ojo derecho. Esto no afectó ni a la calidad ni al número de sus hallazgos. En Geometría desarrolló conceptos básicos como: ortocentro, circuncentro y baricentro de un triángulo. En Álgebra obtuvo resultados destacados: reducción de una ecuación cúbica a una bicuadrada y la determinación de la constante que lleva su nombre. Introdujo gran número de nuevas técnicas, contribuyó a la moderna notación Matemática de conceptos como función, suma de los divisores de un número y expresión del número imaginario. En teoría de números su mayor aporte fue la ley de la reciprocidad cuadrática. Años más tarde pierde la visión del otro ojo. Su memoria privilegiada y su prodigiosa capacidad para el tratamiento computacional de los problemas le permitieron continuar su actividad científica. Escribe Lettres à une princesse d’Allemagne y en el expone los principios básicos de la mecánica, la óptica, la acústica y la astrofísica de su tiempo.El 18 de septiembre de 1783, pereció en San Petersburgo. Tras su muerte, se inició un ambicioso proyecto para publicar la totalidad de su obra científica, compuesta por más de ochocientos tratados, lo cual lo convierte en el matemático más prolífico de la historia. Después de más de 100 años de que Fermat había enunciado su teorema, Euler publicó su demostración para el caso n=3. Euler, el 4 de agosto de 1735, escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n=3. En su libro Introducción al Álgebra publicado en 1770 se encontró un error en la demostración. En su demostración Euler trabajó con números de la forma a + b√-3 sin darse cuenta de que estos números no se comportan igual que los enteros. Del análisis de la demostración fallida de Euler surge que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros. Este es otro de los descubrimientos de la Matemática que fue propiciado por el Último Teorema de Fermat. Pese a que Euler había trabajado con estos números erróneamente, el error resultaba muy difícil de corregir directamente. Debido a que otros aportes hechos por Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples, es que se le atribuye la demostración para el caso n=3. Quedó entonces demostrado que la ecuación x3 + y3 = z3 no tiene soluciones enteras. Cerca de tres cuartos de siglo más tarde Marie Sophie Germain Nació el 1 de abril de 1776 en París (Francia). Comenzó a estudiar Matemática a la edad de trece años, aunque sus padres intentaron disuadirla de que no lo hiciera. Varios años después logra conseguir apuntes de la Escuela Politécnica de París, escuela que no admitía mujeres. Para esto, mantuvo correspondencia con Joseph-Louis Lagrange bajo el pseudónimo de «Sr. Le Blanc», uno de los antiguos estudiantes de Lagrange. Sophie admiraba a Gauss y también le escribió varias veces, haciéndose pasar por Le Blanc para comunicarle sus descubrimientos. Sophie sospechaba que, siendo mujer, Gauss no se molestaría en leer sus cartas. Las aportaciones de Sophie Germain en teoría de números fueron grandes, sobre todo la que hizo para tratar de resolver el último teorema de Fermat. También hizo grandes aportaciones a la teoría moderna de la elasticidad.En 1830, y con el impulso de Gauss, la Universidad de Göttingen acordó otorgar a Germain un grado honorífico; pero antes de que ella pudiera recibirlo, murió de cáncer de mama el 27 de junio de 1831. Los casos n=3 y n=4 ya habían sido demostrados, pero Germain no quería demostrar casos particulares. Sophie Germain desarrolló lo que hoy conocemos como Teorema de Germain. Este teorema probó que el UTF era verdadero para cualquier n que fuese un número primo menor que 100. Para ello, adoptó esta estrategia: si n es un número primo y 2n+ 1 también lo es, entonces xn + yn = zn no tiene soluciones enteras no triviales. Estos números primos son conocidos como números primos de Germain. Los primos de Germain menores que 100 son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89. 1825, Adrien-Marie Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet Adrien-Marie LegendreNació en París en 1752. Tras completar sus estudios en el Collège Mazarin, entró a trabajar en la Escuela Militar, para la que completó un estudio sobre la trayectoria de los proyectiles que le supuso el Premio de la Academia de Berlín en 1782. A partir de 1795 enseñó matemáticas en la École Normale. En sus primeros trabajos, centrados en la mecánica, introdujo conceptos como la función que lleva su nombre o la primera demostración del método de los mínimos cuadrados. Tras los pasos de Euler y Lagrange, estudió las funciones elípticas y las redujo a tres formas básicas. Ese fue su mayor trabajo. Fue el primero en dedicar una obra estrictamente a la teoría de números, ámbito en el que obtuvo resultados fundamentales como la demostración en 1830 de la ley de la reciprocidad cuadrática. En 1794 publicó los Elementos de geometría, una versión reordenada y simplificada de la obra original de Euclides, que fue traducida a más de treinta idiomas.Falleció en el año 1833. Dirichlet, un anciano de más de 70 años y Legendre, un joven de 20 años; ambos franceses, utilizaron el método de Germain y de manera independiente probaron que el caso n = 5 no tiene soluciones enteras. 1832, Peter Gustav Lejeune Dirichlet Lejeune Dirichlet(Düren, actual Alemania, 1805-Gotinga, id., 1859) Matemático alemán. Cursó sus estudios en París, relacionándose con matemáticos como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte. Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de los números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Consiguió una demostración particular del problema de Fermat, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series. En el campo del análisis matemático perfeccionó la definición y concepto de función, y en mecánica teórica se centró en el estudio del equilibrio de sistemas y en el concepto de potencial newtoniano. Dirichlet publicó una demostración para el último teorema de Fermat cuando n = 14. Estaba tratando de demostrar el caso n = 7 pero había demostrado un resultado más débil. 1839, Gabriel Lamé Demostró el último teorema de Fermat para el caso n=7. Mostraba por qué Dirichlet había tenido tanta dificultad ya que, aunque en la prueba de Dirichlet para n = 14 se usaban aargumentos similares (pero computacionalmente mucho más difíciles) a los casos anteriores, Lamé tuvo que introducir algunos métodos totalmente nuevos. La demostración de Lamé es extremadamente difícil y hace parecer como que progresar a n más grandes sería casi imposible sin formas de pensar radicalmente novedosas. Gabriel Lamé(Tours, 1795-París, 1870) Matemático francés. También ingeniero, fue profesor en la Escuela Politécnica de París y miembro de la Academia de Ciencias. Dirigió diversos trabajos de ingeniería en Rusia. Entre sus aportaciones destacan la introducción de las cuádricas homofocales en geometría y el desarrollo de una teoría matemática aplicada a la elasticidad. Etapa de embuste Germain había aportado cómo descartar un sector completo de casos de números primos). Después de los avances de Germain la Academia Francesa ofreció una serie de premios: una medalla de oro y 3000 francos para el que probara el U.T.F. 1847 La Academia Francesa comenta Singh: “celebró la reunión más dramática de su historia”. Gabriel Lamé anunció a la comunidad matemática que estaba a punto de probar el U.T.F, y que en pocas semanas entregaría una versión completa de la prueba. Entre los matemáticos de esta reunión estaba Augustin-Louis Cauchy, el cual pidió la palabra y anunció que él también tenía una prueba del UTF y que estaba a punto de publicarla. Tres semanas después tanto Lamé como Cauchy entregaron unos sobres sellados a la Academia. El 24 de mayo de ese año se terminó la especulación; Joseph Liouville dirigió a los presentes en la Academia para leer una carta del matemático Ernst Kummer, las pruebas dadas por Lamé y Cauchy utilizaban una propiedad conocida como “factorización única” - hoy llamado Teorema Fundamental del Álgebra- y este no es válido para los números imaginarios utilizados por Lamé y Cauchy, y por tanto este era un error fatal. Pero no todo era un desastre, Kummer probó que utilizando técnicas adicionales era posible utilizar la factorización única para dar la prueba del UTF para algunos valores de n; y así se pueden probar los casos hasta n = 31, no así el caso n = 37, n = 59 y n = 67. Augustin Louis Cauchy(París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después.Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. En 1830 se exilió en Turín, donde trabajó como profesor de física matemática hasta que regresó a París (1838). Pasó el resto de su vida enseñando en La Sorbona. Ernst Eduard Kummer(Sorau, 1810-Berlín, 1893) Matemático alemán. Desarrolló la teoría de integrales definidas y la de ecuaciones diferenciales, las series y las transformaciones hipergeométricas. Dio su nombre a algunas superficies geométricas especiales. 1983, Gerd Faltings Gerd FaltingsNació el 28 de julio de 1954 en Alemania. Es un matemático muy conocido por su trabajo en Geometría Algebraica Aritmética. Se le concedió la Medalla Fields en 1986 por probar la conjetura de Mordell. Es el director del Instituto Max Planck para la Matemática en Bonn desde 1995. En 1996 recibió el Premio Gottfried Wilhelm Leibniz: este es el máximo honor concedido a la investigación en Alemania. Los geómetras diferenciales que intentaron abordar problemas en Teoría de Números fueron conocidos como «geómetras algebraicos aritméticos», y en 1983 proclamaron su primera victoria importante cuando Gerd Faltings, del Institute for Advanced Study de Princeton, hizo una importante contribución para la comprensión del Último Teorema de Fermat. Faltings creía que podía hacer progresos en la demostración del último teorema mediante el estudio de las formas geométricas asociadas a diferentes valores de n. Las superficies correspondientes a cada una de las ecuaciones son distintas, pero tienen una cosa en común: todas están perforadas por agujeros. Faltings fue capaz de demostrar que, debido a que las figuras siempre tienen más de un agujero, la ecuación de Fermat asociada sólo podía tener un número finito de soluciones enteras. Un número finito de soluciones podía ser entre cero, que fue lo que Fermat aseguró, hasta un millón o un billón. En otras palabras, el matemático alemán Faltings demostró que para n > 2 pueden existir a lo sumo un número finito de ternas (a, b, c) tales que an+ bn=cn. Faltings no demostró el último teorema de Fermat, pero al menos había podido descartar la posibilidad de una infinidad de soluciones. 1988, Yoichi Miyaoka Miyaoka es un matemático que actualmente trabaja en la Geometría Algebraica. Este gran matemático demostró la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau en 1977. En 1988, pensó que había demostrado el UTF. En Bonn, Miyaoka describió que había enfocado el problema desde un ángulo completamente nuevo; desde la geometría diferencial. Miyaoka aseguró que podía ir un paso más allá de la contribución de Faltings. Cuando tenía poco más de veinte años había creado una conjetura concerniente a la llamada desigualdad de Miyaoka. Quedó claro que la prueba de su propia conjetura geométrica demostraría que no sólo las soluciones de la ecuación de Fermat son finitas, sino que son cero. El 8 de marzo de 1988, los titulares de la primera página de los diarios decían que el último teorema de Fermat había sido demostrado. ElWashington Post y el New York Times anunciaban que Yoichi Miyaoka, de treinta y ocho años y que trabajaba en la Universidad Metropolitana de Tokio, había descubierto una solución al problema más difícil del mundo. Dos semanas después de su anuncio de Bonn, Miyaoka publicó las cinco páginas de álgebra que detallaban su demostración, y empezó el escrutinio. Los teóricos de números y los geómetras diferenciales de todo el mundo examinaron la demostración línea por línea, buscando la más mínima brecha en el argumento lógico o la más pequeña indicación de una falsa suposición. En pocos días varios matemáticos resaltaron lo que parecía ser una preocupante contradicción en la demostración. Parte del trabajo de Miyaoka llevaba a una particular conclusión en teoría de números que, al ser traducida otra vez a la geometría diferencial, entraba en conflicto con un resultado que había sido demostrado unos años antes. Aunque esto no invalidaba necesariamente toda la demostración de Miyaoka, chocaba con la filosofía del paralelismo entre la teoría de números y la geometría diferencial. Un ejército de teóricos de números intentó ayudar a Miyaoka a arreglar su error, pero todos los esfuerzos fracasaron. Dos meses después de su anuncio existía un consenso de que la prueba original estaba destinada a fracasar. Como ocurrió con otras pruebas fallidas en el pasado, Miyaoka había creado matemáticas nuevas e interesantes. Por más de 2 siglos cualquier intento por probar el UTF fue un fracaso. CAPÍTULO II DEMOSTRACIÓN DEL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT Demostración del UTF “El último teorema era una sirena matemática que tentaba a genios solo para destrozarle sus esperanzas. El último teorema de Fermat era la prueba definitiva y quien quiera que lo demostrara había triunfado donde Cauchy, Euler, Kummer y muchos otros habían fracasado.” dice Signh. 344170184150 Antes de Wiles, los matemáticos vinculados con el último teorema durante siglos anteriores contribuyeron a engrandecer la Teoría Algebraica de Números, pero no lograron demostrar el teorema. Biografía de Andrew John Wiles Nació el 11 de abril de 1953 en Cambridge, Inglaterra. Es un matemático británico. Actualmente es profesor en la Universidad de Princeton , especializado en la Teoría de Números. En 1974, obtuvo el título de Licenciatura en Matemática en el Merton College de Oxford. En 1980, obtuvo un doctorado en el Clare College de Cambridge. Después de una estancia en el Instituto de Estudios Avanzados en Nueva Jersey en 1981, Wiles hizo profesor en la Universidad de Princeton.A Wiles se le han otorgado muchos premios, entre los más destacados podemos mencionar: Premio Fermat (1995), Premio Wolf (1995/1996), Medalla Royal (1996), IMU Silver Plaque (1998), Premio Shaw (2005). Historia de Andrew Wiles y el UTF Andrew Wiles siendo tan solo un niño de diez años encontró en la biblioteca un libro titulado The Last Problem de Eric Temple Bell, en él halló el enunciado del UTF. Dice Wiles: <<Parecía tan simple, y ninguno de los grandes matemáticos de la historia lo había demostrado aún. Allí había un problema que yo, un niño de diez años, podía entender, y desde aquel momento supe que jamás se me iría de la cabeza. Tenía que resolverlo>>. Desde niño intentó resolver el Último Teorema de Fermat: “...yo, con diez años de edad, pude entenderlo. Desde ese momento traté de resolverlo yo mismo; era un gran desafío, un problema tan bonito, este problema era el Último Teorema de Fermat”. Taniyama y Shimura Enero 1954, un joven matemático Goro Shimura en un encuentro accidental por causa de un libro con otro joven matemático japonés Yutaka Taniyama plantearan al mundo matemático una conjetura que sería fundamental en la prueba definitiva del Último Teorema de Fermat; ellos estudiaron un tópico conocido como Formas Modulares. Por otro lado, en 1975 Andrew Wiles bajo la dirección de su tutor John Coates comenzó sus estudios de postgrado en la Universidad de Cambridge. Señala Wiles: “cuando fui a Cambridge dejé a Fermat de lado. No fue que lo olvidara, siempre estaba allí, pero me di cuenta que las únicas técnicas que teníamos para abordarlo existían desde hacía 130 años.” Coates persuadió a Wiles para que estudiara curvas elípticas. Este estudio sería crucial para la carrera de Wiles y la prueba del UTF. La Conjetura Taniyama-Shimura y sus implicaciones La conjetura de Taniyama–Shimura establece que cada curva elíptica puede asociarse unívocamente con un objeto matemático denominado forma modular. Las formas modulares constituyen uno de los más extraños y maravillosos objetos de la Matemática. El aspecto clave de las formas modulares es su excesivo nivel de simetría. Las formas modulares estudiadas por Taniyama y Shimura se pueden desplazar, intercambiar, rotar y reflejar en un número infinito de maneras y aún así permanecen inalteradas, lo que hace de ellas los objetos matemáticos más simétricos. Desafortunadamente dibujar, o incluso, imaginarse una forma modular es imposible. Si el último teorema de Fermat fuese falso, entonces existiría una curva elíptica tal que no puede asociarse con ninguna forma modular, y por lo tanto la conjetura de Taniyama-Shimura sería falsa. La demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura suponía ya de por sí un reto de suma importancia, ya que constituía uno de los puntos del llamado Programa Langlands, cuyo objetivo consiste en unificar áreas de las matemáticas que aparentemente no tienen relación entre sí. Wiles pasó los 8 años siguientes a la demostración de Ribet en completo aislamiento trabajando en el problema, lo cual es un modo de trabajo inusual en matemáticas, donde es habitual que matemáticos de todo el mundo compartan sus ideas a menudo. Para no levantar sospechas, Wiles fue publicando artículos periódicamente, como haría cualquier matemático de cualquier universidad del mundo. Último teorema de Fermat establece que no existe solución con números enteros para la ecuación: xn + yn = zn si n es un entero más grande que dos.Asociación entre Fermat y TaniyamaSi p es un primo impar y a, b y c son enteros positivos tales que ap+bp=cp entonces la ecuación correspondiente y² = x(x - ap)(x + bp) define una curva elíptica hipotética, llamada la curva de Frey, que debe existir si hay un contraejemplo al último teorema de Fermat. Siguiendo el trabajo de Yves Hellegouarch, quien fue el primero en considerar esta curva, Frey señaló que si tal curva existiese tendría propiedades peculiares, y sugirió en particular que aquella curva no sería una curva modular. Después de tres años de esfuerzo continuo Wiles había hecho una serie de avances. Había aplicado los grupos de Galois a las ecuaciones elípticas, había despedazado las ecuaciones elípticas en un número infinito de piezas y había demostrado que la primera pieza de cada ecuación elíptica debía ser modular. Desde 1986, por seis años trabaja, aisladamente, en la demostración del Último Teorema de Fermat. Por todos estos años de dedicación, Wiles describe lo que siente al hacer matemáticas como un recorrido en la oscuridad en una mansión desconocida: «Uno entra en la primera habitación de la mansión y está en la oscuridad. En una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada pieza del mobiliario. Al fin, tras seis meses más o menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está iluminado. Puedes ver exactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses en las tinieblas. Así, cada uno de estos progresos, aunque algunas veces son muy rápidos y se realizan en sólo un día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los que el avance sería imposible.» Tras seis años de intenso esfuerzo, Wiles creía que el final estaba a la vista. Semana tras semana progresaba, demostrando que nuevas y mayores familias de curvas elípticas debían ser modulares. Había aplicado con éxito el método de Kolyvagin–Flach a familia tras familia de ecuaciones elípticas y en este estadio sólo una se resistía a la técnica. Pero esta familia ya no se resistió más, pues había encontrado como hacer funcionar la técnica. “Estaba mirando por encima un artículo de Barry Mazur y había una frase en él que captó mi atención. Mencionaba una construcción del siglo XIX y de repente me di cuenta de que podía usarla para hacer funcionar el método de Kolyvagin–Flach sobre la última familia de ecuaciones elípticas”. 1993, Andrew Wiles Wiles aprovechó una serie de conferencias en el Instituto Isaac Newton, de la Universidad de Cambridge, para realizar su anuncio. El título de sus conferencias fue deliberadamente poco específico. Al cabo del primero de los tres días que duró las conferencias, se comenzó a expandir el rumor de que Wiles iba a demostrar el último teorema de Fermat, lo cual provocó que su última conferencia estuviera abarrotada de gente. La reacción de Wiles a los rumores y la creciente presión fue simple: «La gente me preguntaba, antes de acudir a mis conferencias, qué iba a decir exactamente. Entonces les decía: “Ven a mis conferencias y escucha.”» Al final de esta conferencia, Wiles pronunció: quot;
…y esto demuestra el último teorema de Fermat. Creo que lo dejaré aquíquot;
. Las charlas terminaron con una cerrada ovación y la fama mundial para su autor. Sin embargo, Wiles no quiso exponer su artículo al escrutinio detallado de toda la comunidad matemática hasta que hubiera sido revisado por un pequeño grupo de matemáticos, a cada uno de los cuales fue encargado revisar una parte del manuscrito original de más de 100 páginas. Dicho escrutinio reveló un error fatal, que Wiles no pudo solucionar de inmediato. “…adoré cada minuto de los primero siete años que trabajé en este problema por más duro que haya sido. Hubo retrocesos, cosas que parecían ser irremontables pero estaba comprometido con una clase de batalla privada y muy personal. Luego, cuando surgió el problema, hacer matemática en esta manera tan sobreexpuesta fue ciertamente no mi estilo y no quisiera que se repita….” Wiles demuestra el UTF. Una demostración del siglo XX. Wiles trabajó arduamente por más o menos un año, ayudado por R Taylor y el 19 de Septiembre de 1994, casi rendido, decidió tratar un último intento: “...De repente, inesperadamente, tuve esta revelación increíble. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que haga en adelante será tan indescriptiblemente bello, tan simple y tan elegante, y yo solo me quedé mirándolo en descreimiento por veinte minutos, me pase el resto del día dando vueltas por el departamento. Volvía a cada rato a mi escritorio para ver si seguía ahí…. Y seguía ahí” Tras estos dos años de trabajo intenso y la ayuda de su ex doctorando Richard Taylor, Wiles publicó en Annals of mathematics el artículo definitivo. La primera vez que el profesor Shimura se enteró de la demostración de su propia conjetura fue cuando leyó la primera plana del New York Times: «Por fin, un grito de “¡Eureka!” en un antiguo misterio matemático.» Treinta y cinco años después de que su amigo Yutaka Taniyama se suicidase, la conjetura que habían creado juntos había sido justificada. Andrew Wiles había cimentado algunas de las partes más importantes de la Teoría de Números. Ya no era tan solo el haber resuelto el enigma matemático más duradero, sino haber hecho avanzar las fronteras de la Matemática misma. CAPÍTULO III MATEMÁTICOS QUE DICEN TENER UNA DEMOSTRACIÓN MÁS ELEMENTAL DEL UTF. EL UTF COMO GÉNESIS DE LA TEORÍA ALGEBRAICA DE NÚMEROS Matemáticos que dicen tener una demostración más elemental del UTF Los matemáticos Chandrashekhar Khare (Universidad de Utah) y Jean-Pierre Wintenberger (Universidad de Estrasburgo), e, independientemente, el ítalo-argentino Luis Víctor Dieulefait (Universidad de Barcelona), han resuelto parcialmente un importante problema abierto en teoría algebraica de números: la conjetura de Serre, proporcionando de este modo una nueva demostración del último teorema de Fermat, quizá más sencilla que la obtenida en 1995 por Andrew Wiles con la colaboración de Richard Taylor. Un artículo titulado “Fermat's Last Theorem. Is this the marvelous proof?; en español: Último Teorema de Fermat. Es esta una demostración maravillosa? Este artículo propone demostrar el Último Teorema de Fermat usando técnicas que el mismo Fermat podría haber utilizado. El autor de este intento de demostración es Daniele De Pedis, que trabaja en el National Institute of Nuclear Physics de Italia, y nos dice que lo suyo es un intento sin ánimo de engañar y con la premisa de que puede estar equivocado. EL UTF COMO GÉNESIS DE LA TEORÍA ALGEBRAICA DE NÚMEROS La Teoría Algebraica de Números es una rama de la teoría de los números en la cual el concepto de número se expande a los números algebraicos, los cuales son las raíces de los polinomios con coeficientes racionales. La teoría de números empezó con el matemático griego Diofanto de Alejandría en el siglo III d.c. Diofanto escribió trece libros dedicados a la resolución de ecuaciones algebraicas, intentando dar métodos para encontrar sus soluciones enteras o racionales. Algunos ejemplos de los problemas que trataba en su libro son: ¿Qué números son suma de dos números al cuadrado? ¿Qué números son suma de tres números al cubo? La contribución (indirecta) más importante de Diofanto fue a partir de la traducción al latín de los seis primeros libros con el nombre de Aritmética en 1621 por C.G. Bachet. Esta traducción fue la que inspiró al verdadero padre de la teoría de números, Pierre de Fermat. Se le considera así porque a partir de su conjetura nuevas herramientas matemáticas fueron creadas con el fin de encontrar la solución de esa conjetura de la que él afirmaba tener una demostración. Probablemente un “pesimista” llamaría fracaso a cada uno de los intentos de demostración que realizaron los matemáticos. Pero esto significaría entonces que el trabajo de algunos matemáticos como por ejemplo Sophie Germain (p=2n+1=primo, caso I y II, etc), el de Kummer y sus objetos “ideales” que dio origen a la teoría algebraica de los números, refiriéndose a los primos “regulares” y los cuerpos ciclotómicos, y otros, etc., serían fracaso. Pero esto no puede concebirse así, pues por esta razón es que el UTF es considerado Génesis de la Teoría de Números pues este problema hizo avanzar a la Matemática más allá de sus fronteras. La Matemática del UTF El UTF es un enunciado de la teoría de números. Los primeros intentos de probarlo, por los fundadores de la teoría de números tales como Euler, Dirichlet y Legendre, usualmente involucran solo técnicas quot;
elementalesquot;
- esto es, argumentos (aunque a menudo muy brillantes y creativos) que pueden ser entendidos por cualquiera que conozca el álgebra de secundaria actual. Todo dio un giro profundo cuando Kummer se dio cuenta que las suposiciones necesarias acerca de la factorización prima (única) que funciona para enteros ordinarios falla para los enteros generalizados de un campo de números algebraicos (un campo de números algebraicos es una quot;
extensiónquot;
finita de los números racionales ordinarios para incluir las soluciones de ecuaciones polinómicas específicas). Para resolver este problema, Kummer inventó una nueva especie de número quot;
idealquot;
donde se mantuviera la factorización única. Varias décadas de refinamiento de las ideales de Kummer nos llevan a los anillos del álgebra moderna y a la teoría moderna de números algebraicos tal como la conocemos hoy. A pesar del gran poder e importancia de la teoría de ideales de Kummer, y de la subsecuente sofisticación de los desarrollos tales como la quot;
teoría del cuerpo de clasesquot;
(class field theory), los intentos de probar el UTF por métodos puramente algebraicos siempre se quedaron cortos. Algo sorprendente pasó. Bernard Riemann fue uno de los grandes matemáticos del siglo diecinueve, tal vez mejor conocido por poner el cálculo integral sobre una base rigurosa (con la integral de Riemann). Él hizo muchísimo más que algo relevante en teoría de números y el UTF. En 1850, Riemann investigó las propiedades de cierta función compleja llamada función zeta, la cual había sido de intéres mucho antes para gente como Euler y Dirichlet. La función zeta es quizás la más simple de una clase de funciones definida por una expansión en serie llamadas más tarde quot;
de Dirichletquot;
. El comportamiento analítico de esta función, en particular la localización de sus ceros y sus polos, mostraron tener una profunda conexión con la distribución de números primos. El conocimiento de la función zeta permitió eventualmente a Hadamard probar el quot;
Teorema de los números primosquot;
, el cual da una fórmula asíntotica para el número de primos menores que un número dado. Una fuerte conjetura que permanece sin probar todavía acerca de la función zeta, llamada la Hipótesis de Riemann (la cual dice que los únicos ceros de la función zeta que estan en la banda 0≤Re(z)≤1 se encuentran sobre la línea Rez=1/2, nos da muchísima información precisa acerca de la distribución de primos. A través de los años, otros matemáticos han inventado e investigado generalizaciones de la función zeta de Riemann y las series de Dirichlet las cuales están tan íntimamente relacionadas con generalizaciones de los números racionales ordinarios como la función zeta está con los mismos números racionales. Por ejemplo, hay funciones zeta de extensiones algebraicas finitas de los racionales, y funciones similares llamadas L-funciones que expresan hechos acerca del grupo de Galois de la extensión del campo. Hay también funciones zeta y L-funciones de curvas elípticas y de campos finitos. Hay hasta versiones p-ádicas de funciones zeta y L, definidas sobre campos p-ádicos. Varias versiones de funciones zeta y funciones L son usadas fuertemente en teoría de números y áreas relacionadas. En particular, es posible formular un equivalente de la conjetura de Taniyama-Shimura en los siguientes términos: para cada curva elíptica hay una forma modular la cual tiene tiene asociada la misma función L. Esto representa una muy tentadora y profunda relación entre objetos matemáticos analíticos y algebraicos. Riemann, en una carrera relativamente corta, fertilizó un gran número de campos matemáticos. Y como si lo que hemos mencionado no fuera suficiente, él también hizo contribuciones absolutamente fundamentales al análisis complejo con la invención del concepto de superficies de Riemann. Una superficie de Riemann es una generalización del plano complejo y un dominio de definición natural para las funciones analíticas. Las superficies de Riemann hacen posible definir y estudiar de una manera natural una muy interesante clase de funciones llamadas funciones elípticas, las cuales fueron investigadas por Weierstrass. Estas superficies mostraron estar cercanamente relacionadas con las curvas elípticas. Dando un vistazo a las funciones definidas sobre una superficie de Riemann desde las funciones elípticas uno puede construir otro tipo de funciones conocidas como funciones modulares. En formas más generales de la conjetura de Taniyama-Shimura, pueden ser vistas todavía en otra forma para afirmar que hay una muy significativa relación entre funciones modulares y curvas elípticas. Pero aún antes de esto, las funciones modulares han sido investigadas por sus muchas propiedades que conducen a resultados teóricos muy elegantes. De manera incidental, Riemann fue también responsable de la geometría Riemanniana, i.e. el estudio de curvas y superficies con técnicas del cálculo diferencial. De hecho, como sugiere su invención de las superficies de Riemann, Riemann contribuyó a la geometría tanto como al análisis. En realidad, hizo un gran trabajo para unificar los dos campos. Conceptos tales como cálculo tensorial y variedades diferenciales son un resultado directo de su trabajo y se convirtieron en herramientas esenciales de la teoría general de la relatividad de Einstein. Estos son algunos de los conceptos empleados en la demostración del UTF: Curvas y funciones elípticas Las curvas elípticas son objetos relativamente simples que ayudaron a inspirar el campo de la geometría algebraica por algunas propiedades muy especiales. Curvas elípticas y funciones modulares Una forma modular es algo como una función elíptica. Los dos conceptos son casos especiales de funciones automorfas, lo cual significa que son invariantes ante cierto grupo de operaciones sobre sus dominios de definición. Esto introduce consideraciones sobre teoría de grupos y simetría en el estudio de funciones complejas y de superficies de Riemann. Esto produce mucho paralelismo entre la teoría de curvas elípticas y la de formas modulares, lo cual tiene consecuencias profundas para ambas teorías. Función zeta y L-funciones Estas series de Dirichlet y sus generalizaciones enlazan información de carácter teórico y analítico en teoría de números, de una manera profunda y misteriosa. Representaciones de Galois Otra clase de construcción matemática la cual puede ser hecha para curvas elípticas y formas modulares. Nosotros vemos los grupos de Galois y sus representaciones como matrices sobre varios anillos, incluyendo los números p-ádicos. CONCLUSIONES Finalizado este trabajo, me atrevo afirmar que la importancia del Último Teorema de Fermat no radica en su demostración sino en el aporte que dio a la Matemática en sí misma: expansión del conocimiento matemático y la creación de nuevas técnicas matemáticas. Por esta razón, se interpreta el Último Teorema de Fermat como génesis se la Teoría Algebraica de Números. Todos esos años de intentos de demostración son, especialmente para los matemáticos, una historia inspiradora. Aunque he mencionado que en sí no es la demostración la de relevante importancia, hay que señalar que humanamente tiene un gran valor: Andrew Wiles es un ejemplo de perseverancia. Así mismo lo son todos los héroes de la Matemática que también desarrollaron una Matemática nueva a través de todos los intentos de demostración. La historia del UTF aún no acaba, todavía queda la interrogante de si Fermat tenía una demostración maravillosa y elemental. Como a los matemáticos le gusta dar siempre respuestas que convenzan, no que siembren dudas, hay matemáticos que se aventuran a darle una solución más sencilla al UTF como asumió Fermat que la tenía. Los trabajos propuestos por estos matemáticos aún no han sido declarados válidos. RECOMENDACIONES Investigar sobre los trabajos propuestos por Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger y Luis Víctor Dieulefait que suponen una demostración del UTF más sencilla que la de Andrew Wiles. Estudiar el artículo “Fermat's Last Theorem. Is this the marvelous proof?” de Daniele De Pedis que supone una demostración maravillosa como la pudo haber tenido Femat. Realizar una monografía de Literatura sobre el suicidio y los matemáticos. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Libro Sighn, Simon. Editorial Planeta. 2006. El Enigma de Fermat. Barcelona, España. WEB SITES http://es.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles http://www.fisicanet.com.ar/biografias/cientificos/l/legendre.php http://www.biografiasyvidas.com/http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=39466.20;wap2 http://translate.google.com/translate?hl=es&sl=pt&u=http://pt.wikipedia.org/wiki/12007_Fermat&ei=lYwkTsaWFaLZ0QHApSkAw&sa=X&oi=translate&ct=result&resnum=1&ved=0CB8Q7gEwAA&prev=/search%3Fq%3Dasteroide%2B12007%26hl%3Des%26biw%3D1280%26bih%3D663%26prmd%3Divns

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