Teorema de Pitàgores, Semblança/Proporcionalitat geomètrica, Teorema de Tales

1. Unitat 6: Triangles i Semblança
1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació
2. El Teorema de Pitàgores
2.1 Formulació
2.2 Aplicacions
3. Semblança
4. Plànols, mapes i maquetes
5. El Teorema de Tales
5.1 Formulació
5.2 Aplicacions

2. 1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació
-Vèrtexs: amb lletres majúscules (A, B, C)
-Costats: amb lletres minúscules (a, b, c)
-Angles: amb lletres minúscules de l'alfabet grec (α, β, γ)
a) Nomenclatura
a
b
c
A
C
B
α
β
γ

3. 1. Introducció: els triangles, nomenclatura i classificació
-Segons els costats:
-Equilàter: tots els costats iguals
-Isòsceles: dos costats iguals
-Escalè: els tres costats diferents
b) Classificació
-Segons els angles:
-Acutangle: tots els angles aguts
-Rectangle: un angle recte (90°)
-Obtusangle: un angle obtús
Realització del quadre

4. 2. El Teorema de Pitàgores
En un triangle rectangle, la suma dels quadrats dels catets
és igual al quadrat de la hipotenusa.
2.1 Formulació
Pitàgores de Samos (illa grega), 582-496 aC,
filòsof i matemàtic, relació matemàtiques i la
música, terra rodona, secta dels pitagòrics,
doctrina estricta, “tot és nombre”, prohibit
menjar faves, llegenda mort pel camp de faves.
c
b
a
a2
=b2
c2

5. En un tringle rectangle, la hipotenusa és el costat oposat a
l'angle recte i el més llarg; els catets són els dos costats
adjacents a l'angle recte.
catet
hipotenusa
catet
Demostració:

6. 2. El Teorema de Pitàgores
a) Si coneixem 2 catets, càlcul de la hipotenusa
2.2 Aplicacions
c=8cm
b=15cm
a?
a
2
=b
2
c
2
a= b
2
c
2
a
2
=15
2
8
2
;
a
2
=22564;
a
2
=289 ;
a= 289=17cm
Ex1 pàg115, 6.4

7. 2. El Teorema de Pitàgores
b) Si coneixem la hipotenusa i un catet, càlcul de l'altre catet.
2.2 Aplicacions
c=20dm
b?
a=29dm
a
2
=b
2
c
2
b= a
2
−c
2
29
2
=b
2
20
2
;
841=b
2
400 ;
b
2
=841−400=441;
b= 441=21dm
Ex2 pàg115, 6.5

8. c) Si coneixem els tres costats, comprovar si és rectangle o no.
34
2
=30
2
16
2
;
Exercicis 231-257
Exemple 1: Tenim un triangle de costats 30, 16 i 34 cm. És un
triangle rectangle?
El més llarg hauria de ser la hipotenusa, per tant s'hauria de complir:
1156=900256 ; 1156=1156
SÍ
43
2
=32
2
20
2
;
Exemple 2: Tenim un triangle de costats 43, 20 i 32 cm. És un
triangle rectangle?
1849=1024400 ; 1849=1424
NO

9. 3. Semblança
Dues figures són semblants quan són iguals o només es
diferencien en les dimensions que tenen.
a
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=
d '
d
=k
Exemple gràfic amb triangle
6.16, 261, 262, 263, (263 dibuix)
b
c
d
a'
b'
c'
d'
Els segments corresponents són proporcionals, és a dir, la raó
entre cada parella de valors és constant.

10. 4. Plànols, mapes i maquetes
Són representacions o figures semblants a la realitat.
La raó de semblança amb la realitat és l'Escala, que és el
quocient entre la unitat de longitud en la reproducció i la longitud
corresponent a la realitat.
E = 1:200 E = 1/200
Un centímetre al plànol són 200 cm de la realitat

11. 4. Plànols, mapes i maquetes
-Exercici tipus 1: En el plànol d'una casa dibuixat a E=1/200, una
paret fa 2,5 cm. Quant fa a la realitat?
plànol
realitat
1
200
=
2,5
x
x=
200·2,5
1
=500cm=5m
-Exercici tipus 2: Dues ciutats disten 35 km. A quants centímetres
estan en un mapa a E=1/100000?
1
100000
=
x
3500000
x=
3500000·1
100000
=35cm
plànol
realitat

12. 4. Plànols, mapes i maquetes
-Exercici tipus 3: Calcula a quina escala està la maqueta d'un
cotxe si una roda, que fa 60 cm de diàmetre a la realitat, hi és
representada amb un diàmetre de 2 cm.
plànol
realitat
1
x
=
2
60
x=
60·1
2
=30 E=1/30
258, 259, 260
Activitat (llibreta):
I. Distància de Ripollet a Mataró / Distància de Manresa a l'Hospitalet
II. De l'Estació a l'Ajuntament / De la Presó al Centre Natació
III. Altura façana (x), Altura golfes (y), Profunditat semisoterrani (z)
IV. Ample edifici habitacions (x), Ample garatge (y), Llargada façana
sud (z)

13. 5. El Teorema de Tales
Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes
secants, els segments que hi determinen són proporcionals.
5.1 Formulació
Tales de Milet (actual Turquia), 625-546 aC,
filòsof, matemàtic, físic i astrònom, “aigua com
a origen de totes les coses”, terra rodona, lluna
reflecteix llum del sol, prediu eclipsi solar
585aC, viatg. Egipte, llegenda altura piràmides.

14. Si un feix de rectes paral·leles tallen dues altres rectes
secants, els segments que hi determinen són proporcionals.
5.1 Formulació
b
a
c
b'
a'
c'
a'
a
=
b'
b
=
c'
c
=k
Un parell d'exercicis d'exemple

15. 5. El Teorema de Tales
Comparteixen tots els angles, per tant són triangles semblants.
5.2 Aplicacions

16. 5. El Teorema de Tales
5.2 Aplicacions
Quan dos triangles tenen dos dels costats sobre la mateixa
recta, i el tercer és paral·lel al corresponent, diem que estan en
posició de Tales, podem afirmar que són semblants i , per tant,
que els seus costats són proporcionals.
b
a
c
b'
a'
c'
b
a
c
b'
a'
c'
266, 265, 267, 268, Exem p126, 6.26, 6.27