Este documento fornece informações sobre monômios e polinômios. Resume:
1. Apresenta exemplos de monômios e explica que um monômio é uma expressão algébrica constituída por um número ou produto de números e letras, podendo ter expoentes.
2. Explica que um polinômio é uma soma algébrica de dois ou mais monômios.
3. Demonstra como determinar o grau de um monômio e de um polinômio, que é igual à soma dos expoentes das letras nos
2. Problema: Observa as figuras.
6
x-9 6
x–4
Sabendo que as figuras são equivalentes, determina as dimensões do rectângulo.
Resolução:
Se as figuras são equivalentes significa que têm a mesma área, logo
podemos formar a seguinte equação:
x 9x 4 36
No 1.º membro da equação surge um produto que ainda não sabem efetuar.
Portanto, torna-se necessário estudar novas expressões e suas operações
que nos permitam dar resposta a alguns problemas.
3. POLINÓMIOS
1 2a 3
x6
2
2x2 3
7x 4
y 4y 3
2
Exemplos de várias expressões algébricas.
Uma expressão algébrica é constituída por um ou mais termos.
4. No polinómio y 4y 3
2
, às parcelas, y 2, 4 y e 3
chamam-se termos ou monómios.
Um polinómio é uma soma algébrica de pelo menos dois monómios..
Exemplos:
y2 4 y Binómio, porque é constituído por dois monómios.
4 x 2 4 x 30 Trinómios
cada expressão é constituído por 3 monómios
7 y 2 4 xy 7 xy
5. Curiosidade:
MONÓMIOS Monómio é uma palavra de
origem grega, derivada de
monos, que significa único.
Monómio significa único termo.
Um monómio é uma expressão que pode ser constituída por um
número ou por um produto de números em que alguns podem ser
representados por letras.
Exemplos:
23x
M3
y
x
-xy 4
6
NOTA
y 1 1
y y
4 4 4
Nota: Num monómio não aparecem adições nem subtracções.
6. Constituição de um monómio
Exemplo:
-7 y3
Neste monómio podemos distinguir uma parte numérica ou coeficiente (-7) e
uma parte literal (y3).
Exercício:
Completa a tabela seguinte:
Monómio Coeficiente Parte literal
x 1 x
10 __
10
z 1
z
6 6
5 yz yz 5
89xyz 89 xyz
7. Como escrever corretamente um monómio?
Exemplo I
a
x x
A área do maior rectângulo da figura ao lado pode ser dada pela expressão:
2 x a mas deve escrever-se: 2ax
Exemplo II
Observa a figura:
x
7x 2x = 14x2
Qual a sua área? x
8. O produto de dois monómios é outro monómio cujo coeficiente é o
produto dos coeficientes e cuja parte literal é o produto das partes
literais.
Convencionou-se que para escrever um produto de vários fatores (um monómio)
escreve-se primeiro os números, e, em seguida, as letras por ordem alfabética.
Por exemplo:
Monómio Escrita correta
x 5 y 5 xy
5 b a 3 15ab
3 q 2 p 6 pq
3 a 2 b 2 a b 6a3b 2
9. Grau de um monómio
6 grau 0
6a grau 1
2
6a grau 2
6a 3
grau 3
3
6a b grau 4
5 2
6a b grau 7
Então, como se determina o grau de um monómio?
O grau de um monómio é igual à soma dos expoentes das letras que
nele figuram (à soma dos expoentes da parte literal).
13. Adição algébrica de polinómios
Tal como na aritmética, também é possível simplificar expressões algébricas
quando estas têm termos semelhantes.
Aritmética Álgebra
3 + 3 + 3 + 3 = 43 a + a + a + a =4a = 4a
54 + 64 = 114 5a + 6a = 11a
37 + 27 + 47 = 97 3a + 2a + 4a = 9a
Para se obter a soma polinómios basta adicionar os termos semelhantes.
14. Exemplos: Processo:
1. O polinómio Algoritmo
6 x 4 7 x 9 4 x 6 x 4 3x 9
Polinómio reduzido porque não tem termos
semelhantes
2. Transforma num polinómio reduzido os seguintes polinómios:
6 x 7 y 9 x 4 y 12
4 4
6 y3 2 y 5 7 y 3 y 2 3 y 10
15x 3 y 12
4
Simplificar um polinómio
é reduzir os termos
semelhantes
17. a c
A área é dada pela expressão:
b ab bc
ba c b a b c
ab bc
Como escrever correctamente, sem utilizar parênteses, área do maior
rectângulo da figura?
b c
b b2 bc b 2 bc
Repara:
b b c b b b c
b 2 bc
18. Para multiplicar um monómio por um polinómio, aplica-se a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição, isto é, multiplica-se
o monómio por cada um dos termos do polinómio.
2 3x 3 x 1 6x 6 2 x 2
19. Monómios semelhantes
Considera o seguinte polinómio: 6x 7 x 9 4x
4
este polinómio é constituído por 4 monómios 6x 4 ,7 x , 4 x e 9.
Os monómios
7x e 4x são semelhantes.
Mais
exemplos: 4 y 2
e 56 y 2
887xy z 2
e 4xy z
2
4y e 19 y Conseguirás chegar à definição de monómios
semelhantes?
Monómios semelhantes - são monómios que têm a mesma parte literal.
Os monómios 4x e 6x 4 não são semelhantes porque não têm a
mesma parte literal.
20. Monómios simétricos - são monómios com a mesma parte literal e coeficientes
simétricos.
19y e 19 y
Grau de um polinómio
Consideremos o polinómios e o respetivo grau.
6 x 4 5x 2 1 O grau deste polinómio é 4
x y x 9
5 5
Grau 6
x3 1 Grau 3
Definição:
Chama-se grau de um polinómio é o maior dos graus dos monómios que
o constituem.
x 43 x
3
grau 3 grau 1
POLINÓMIO DE GRAU 3
22. A figura representa um rectângulo.
x+8
x+2
A expressão que representa a sua área é:
x 8x 2 Multiplicação de dois polinómios
Para multiplicar dois polinómios também se aplica a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição.
23. x 8x 2
1.º processo: 2.º processo:
x 8x 2 xx 2 8x 2
x 2 2 x 8 x 16
x 2 10 x 16
x 8x 2 x 2x 8x 16
2
x 10 x 16
2 x 10 x 16
2
Polinómio reduzido Para multiplicar polinómios, multiplica-se
cada termo de um, por todos os termos do
outro, obtendo-se assim um novo polinómio.
Expressão que representa a área
do rectângulo dado. 3.º processo:
Algoritmo
24. Exercício:
Transforma num polinómio reduzido:
3x 2 x 5 Se tivermos dois polínómios de graus 2 e 4
então a multiplicação desses polínómios
dará um polinómio de grau 6
1
y 2 x 6
2
2 x 2 3x 4 10 x3
2
2
1 1
y 10 0,4 y y 2
3 3
2 1 x
x 2 x 1
4 2
x 53x 1 2x2 3
25. OBSERVAÇÃO:
3x 2
2 x 5 3x 15x 2 x 10
4 6 2 4
Polinómio de grau 2
Polinómio de grau 4 Polinómio de grau 6
A multiplicação de um polinómio de grau 2 por um polinómio de grau 4 é um polinómio
de grau 6.
grau P Q grau P grau Q
1
y 2 x 6
2