Conjuntos

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Una breve introducción a conjuntos

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Conjuntos

  1. 1. Preparatoria Tapachula Estadística IIRepaso de Notación de Conjuntos Ing. Aldo Ahmed Solís Zenteno
  2. 2. Conjuntos• Un conjunto es una colección de objetos• Denotaremos a un conjunto con letras mayúsculas A,B,C,…• Por ejemplo si los elementos de un conjunto A son a1, a2 y a3 escribiremos: Α a1 , a2 , a3• Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos.
  3. 3. Conjuntos• No tiene un orden específico {a,b,c,d} y {b,c,d,a} son el mismo conjunto• Contiene elementos distintos, es decir, solo existe una ocurrencia de cada elemento de un conjunto { a, a, a, b, c, d} se debe escribir como {a,b,c,d}• Conjuntos Infinitos B = { x | x es un entero positivo par }
  4. 4. Conjuntos• Un conjunto sin elementos se denota como conjunto vacío y se denota por el símbolo• Si un elemento x pertenece a un conjunto X decimos que x X• Si no pertenece decimos que x X• Si X es un conjunto finito |X| es igual al número de elementos en X.
  5. 5. Conjuntos• Conjunto Universal – Todo conjunto es un subconjunto del conjunto universal o universo. – Lo denotaremos con la letra U• Nota: en probabilidad este conjunto U se vuelve el conjunto S o espacio maestral.
  6. 6. Conjuntos• Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos, es decir X = Y si y solo si cualquier elemento x que pertenece a X también pertenece a Y, y viceversa.• Ejemplo A={3,2,1} B={2,1,3} A=B
  7. 7. Conjuntos• Si A y B son dos conjuntos, diremos que A es subconjunto de B o que B contiene A, si todo elemento de A también pertenece a B. A B• De forma que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier otro conjunto
  8. 8. Diagramas de Venn• Los conjuntos y sus interrelaciones pueden representarse mediante Diagramas de Venn U B A A B
  9. 9. Diagramas de Venn• Unión. U A B A B• Intersección U A B A B
  10. 10. Diagramas de Venn• Diferencia U B A A B• Complemento U A A B
  11. 11. Ejemplo• Sea el conjunto universal U = { 1,2,3,…,10} y dados los conjuntos A = {2,4,6,8}, B = {1,3,5,7} y C = {2,3,4}.a) Calcular A  B, A  B, A  C, B  C, A  B  C , A, B , C , A C, B C, A  ( B  C )b) Dibujar Diagrama de Venn
  12. 12. Leyes• Sean U un conjunto universal. A,B y C subconjuntos de U. Se cumplen las siguientes propiedades: – Asociativa: ( A  B)  C A  (B  C) , ( A  B)  C A  (B  C) – Conmutativa: A  B B  A , A  B B  A – Distributiva: A  ( B  C ) ( A  B)  ( A  C ) A  (B  C) ( A  B)  ( A  C ) – Del Neutro y del Idéntico: A A , A U A
  13. 13. Leyes• Complemento A A U , A A• Idempotencia A A A, A A A• Acotación A U U , A• Absorción A  ( A  B) A, A  ( A  B) A• Involución A A• 0/1 U, U• De Morgan ( A  B) A  B , ( A  B) AB
  14. 14. Conjuntos Mutuamente Excluyentes• Dos conjuntos A y B son disjuntos o mutuamente excluyentes, si A B• Los conjuntos mutuamente excluyentes no tienen elementos en común. U A B
  15. 15. Ejemplo• Consideremos U = {1,2,3,4,5,6}. Sea A = {1,2} y B= {1,3} y C={2,4,6}. Tenemos que: A  B {1,2,3} A  B {1} A {3,4,5,6} BCObserve que B y C son mutuamente excluyentes mientras que A y B no lo son.
  16. 16. Pares Ordenados y Producto Cartesiano• Un par ordenado de elementos, se escribe (a,b) y se considera distinto del par ordenado (b,a). Si X y Y son conjuntos, X Y denota el conjunto de todos los pares ordenados ( x, y ) tales que x X y y Y . X Y es el producto cartesiano de X y Y .
  17. 17. Ejemplo• Si X={1,2,3} y Y={a,b}, calcular: X Y Y X X X Y Y

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