Fundamento Economico De La Tasa De Interes(1)

Fundamento Económico de la
Tasa de Interés

Valor del Dinero en el Tiempo
El valor temporal del dinero es uno de los
conceptos más importantes en finanzas. El
dinero que la empresa posee hoy es más
valioso que el dinero que tendrán en el futuro
porque el dinero que tiene hoy puede invertirse
y ganar rendimientos positivos.

Valor futuro y valor presente:

Valor futuro miden por lo regular los flujos de efectivo al final de la vida de
un proyecto.

Valor presente miden los flujos de efectivo al inicio de la vida de un proyecto.
(tiempo cero)

El valor futuro es efectivo que se recibirá en una fecha futura especifica y el
valor presente es como efectivo que se tiene a la mano hoy.

Línea de Tiempo: Línea horizontal en la que el
tiempo cero aparece en el extremo izquierdo y
los periodos futuros se marcan de izquierda a
derecha; se usan para representar flujo de
efectivo de inversión.

-$10.000 $3.000 $5.000 $4.000 $3.000 $2.000

0 1 2 3 4 5
Fin de Año

Capitalización y Descuento: Línea de tiempo que muestra la
capitalización para calcular el valor futuro y el descuento para calcular
el valor presente.


Principio básico: un dólar hoy
vale más que un dólar
mañana, esto por que puedo
invertirlo hoy para que
empiece a generar intereses
inmediatamente.

Calculo del valor futuro y del valor presente:

Inversión Inicial $ 370,000
Valor estimado actual $ 400,000
Valor estimado futuro $ 420,000
¿Ganancia? $ 50,000

¿Cuál es el valor presente de los $420,000 que se
materializarían dentro de un año?

¿Ese valor presente es mayor que $370,000?


¿Ganancia? $ 50,000
Bono del Tesoro Americano 10 años: 5%

Valor Futuro: $400,000 * 1.05 = $420,000 dentro de un año.
Valor Presente: $420,000 / 1.05 = 400,000


Valor Presente (VP) = Factor de Descuento * C1
C1 = Suma esperada dentro de un año.

Factor de descuento es el valor hoy de un dólar que se recibirá
en el futuro:

Factor de Descuento = 1
1+r

r: tasa de descuento, tasa mínima aceptable o el costo de oportunidad del
capital (es el rendimiento sacrificado por invertir en el proyecto en lugar de
invertir en títulos)

VP = Factor de Descuento x C1 = 1 x C1 = 420.000 = $400.000
1+r 1.05

¿En cuanto vendo el proyecto?

¿Cual precio satisface al vendedor y al
comprador?

Valor Presente Neto

VPN = VP - Inversion Inicial = 400.000 - 370.000 = $30.000
El edificio vale mas de lo que cuesta.

VPN = C0 + C1
1+r
C , es el flujo de efectivo ocurrido en el tiempo cero,
0

es la inversión.

Valor Presente y Tasas de rendimiento

Rendimiento = Ganacias = 420,000 - 370,000 = 0,135 o 13,5%
inversiòn 370.000

Cualquier costo de oportunidad por debajo de 13,5% nos da pie para ejecutar el
proyecto.

Dos reglas de oro:

1. Regla del valor presente neto: Aceptar inversiones que tengan valores presentes
netos positivos.

2. Regla de la tasa de rendimiento. Aceptar inversiones que ofrezcan tasas de
rendimiento que superen sus costos de oportunidad del capital

Valuación de Activos Duraderos

¿Recordar como calcular el valor presente (VP) de un activo que
genera un flujo de efectivo (C1) al cabo de un año?

VP = FD1 * C1 = C1
1 + r1

FD1 es el factor de descuento de un flujo de efectivo a un año, y
r1 es el costo de oportunidad de invertir su dinero un año.

Ejemplo:

C1 = 100 Ingreso del año.

r1 = 0.07 (Tasa de bono del tesoro a un año.

VP = FD1 * C1 = C1
1 + r1

Ejemplo:

C1 = 100 Ingreso del año.

r1 = 0.07 (Tasa de bono del tesoro a un año.)

VP = FD1 * C1 = C1 = 100 = $ 93,46
1 + r1 1.07

¿Qué pasa para el flujo de efectivo, pero para dos
año?

r2 = 0.077 (Tasa de bono del tesoro a dos año.)

VP = FD2 * C2 = C2
(1 + r2)´2

VP = FD2 * C2 = C2 = 200
100 = $ 172,42
(1 + r2)´2 (1.07)¨2

Valuación de Flujos de Efectivo en varios Periodos.

El VP de un flujo de efectivo A + B es igual al VP de A más el VP del flujo de B.

Ejemplo:
Flujo de Efectivo año 1: $100
Flujo de Efectivo año 2: $200
Tasa a un año 7%
Tasa a dos años 7.7%

VP1 + VP2 = $ 93,46 + $ 172,42

VP Total = $265,88

Valuación de Flujos de Efectivo en varios Periodos.

VP = C1 + C2 = 100 + 200 = $ 265,88
(1 + r1)´1 (1 + r2)´2 1.07 1,077´2

VP = C1 + C2 + C3 + …….
(1 + r1)´1 (1 + r2)´2 (1 + r3)´3

La formula anterior es: FLUJO de EFECTIVO DESCONTADO (FED).

VP = ∑ Ct
(1 + rt)´t

Valor Presente Neto (VPN): Se agrega el flujo de efectivo inicial, generalmente
es negativo.

VPN = C0 + VP = C0 + ∑ Ct
(1 + rt)´t

Calculo del VP y VPN.

Valuación Terreno $ 50,000
Primer Pago Contratista $120,000
Segundo Pago Contratista $100,000
Pago Final Contratista $100,000

Calculo del VP y VPN.
Periodo t=0 t=1 t=2
Terreno - 50.000
Contrucciòn - 120.000 - 100.000 - 100.000
Ingreso 420.000
Total - 170.000 - 100.000 320.000
r = 5% C0 C1 C2

VPN = C0 + C1 + C2
(1 + r1)´1 (1 + r2)´2

VPN = - 170.000 - 100.000 + 320.000
1.05 1,05´2

VPN = - 170.000 - 95.238 + 290.249

VPN = 25.011

Ejercicios:

1.- Un Proyecto genera un flujo de efectivo de $432 en el año 1, de $137
en el año 2 y de $797 en el año 3. Si el costo de capital es de 15%, ¿Cuál
es el VP del proyecto?

2.- Si $ 125 es el valor presente de $139, ¿Cuál es el factor de
descuento?

3.- Si el costo de capital es de 9%, ¿Cuál es el VP de $374 pagaderos en el
año 9?

4.- Si usted invirtiera $100 a una tasa de interés de 15%, ¿Cuánto tendría
al final de ocho años?

5.- Una inversión cuesta 1,548 y paga $138 en perpetuidad. Si la tasa de
interés 9%. ¿Cuál es el VPN?

Ejercicios: Respuesta

1.- VP = 432/1.15 + 137/(1.15)´2 + 797/(1.15) ´3
VP = 376+104+524
VP = 1,003

2.- 139/125 = 1.11

3.- 374/(1.09) ´9 = 172

4.- 100 * (1.15) ´8 = 305.9

5.- VPN = - 1,548 + 138/0.09 = 40

Ejercicios: Tarea

1.- El administrador Financiero de Starbuck considera realizar una
inversión que requiere una desembolso inicial de $25,000 dólares
y el que espera obtener entradas de efectivo de $3,000 el primer
año, $6,000 el segundo y tercer año, $8,000 el cuarto año, $8,000
el quinto año y $7,000 el sexto año.
a) Dibuje y describa una línea de tiempo que represente los flujos
de efectivo de la propuesta.
b) Describa la capitalización y descuento de los flujos.
c) ¿Cuál es el método (valor futuro o valor presente) en que se
basan con mayor frecuencia los administradores financieros para
la toma de decisiones? ¿Por qué?

Ejercicios: Tarea

2.- En cada caso presentado en la tabla calcule el valor presente
del flujo de efectivo, descontado a la tasa proporcionada y
asumiendo que el flujo de efectivo se recibe al final del periodo
registrado.
Flujo de efectivo
Tasa de Descuento Periodo Final
Caso Unico
A $ 7.000 12% 4
B $ 28.000 8% 20
C $ 10.000 14% 12
D $ 150.000 11% 6
E $ 45.000 20% 8

ANUALIDADES

¿Cuánto tendrá al termino de 5 años si su empleador retiene e
invierte $1,000 dólares de su bono de fin de año al termino de
cada uno de los próximos 5 años, garantizándole una tasa de
rendimiento anual del 9 por ciento?

¿Cuánto pagaría hoy, dado que puede ganar el 7% en inversiones
de bajo riesgo, para recibir $3,000 dólares garantizados al final de
cada uno de los próximos años?

ANUALIDADES

Conjunto de flujos de efectivo periódicos e iguales durante un
periodo especifico. Estos flujos de efectivo pueden ser ingresos de
rendimiento obtenidos por inversiones o salidas de fondos
invertidos para obtener rendimientos futuros.

Generalmente, estos flujos de efectivo son anuales, pero pueden
ocurrir en diferentes intervalos, como mensuales (renta, pago de
cuotas)

ANUALIDADES

Tipos de Anualidades:

Anualidad Ordinaria: Anualidad en la que el flujo de efectivo
ocurre al final de cada periodo.

Anualidad Anticipada: Anualidad en la que el flujo de efectivo
ocurre al inicio de cada periodo.

ANUALIDADES
Ambos flujos son iguales,
la anualidad anticipada
Compraciòn de los Flujos de Efectivo tendría un valor futuro
de una anualidad ordinaria y una mas alto que la anualidad
anualidad anticipada (1,000 dòlares, ordinaria, por que cada
5 años) uno de sus cinco flujos de
Flujo de efectivo anuales efectivo pueden ganar
intereses durante un año
Anualidad A Anualidad B
más.
Fin de año (ordinaria) (Anticipada)
0 $ - $ 1.000
En general, tanto el valor
1 $ 1.000 $ 1.000
futuro como el presente de
2 $ 1.000 $ 1.000
una anualidad anticipada
3 $ 1.000 $ 1.000
4 $ 1.000 $ 1.000
son siempre mayores que
el de una anualidad
5 $ 1.000 $ - ordinaria idéntica.
Totales $ 5.000 $ 5.000

COMO VALUAR ANUALIDADES

Una anualidad es un activo que cada año genera una suma fija
durante un numero determinados de años.
Año: 1 2 3 4 5 6 ……. Valor Presente

1. Perpetuidad A $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 $ 1 ……. 1/r

2. Perpetuidad B $ 1 $ 1 $ 1 ……. 1/r(1+r)^3

3. Perpetuidad C $ 1 $ 1 $ 1 1/r - 1/r(1+r)^3

Una anualidad que genera pagos durante los años del 1 al 3 es
igual a la diferencia entre dos perpetuidades.

COMO VALUAR ANUALIDADES

VP = 1 - 1
r r(1 + r)´t
Factor de anualidad

Una anualidad equivale a la diferencia entre una perpetuidad
inmediata y otra diferida.

COMO VALUAR ANUALIDADES, Ejemplo:

Comercializadora de autos ofrece “pago facil” para adquirir el ultimo
Volvo S60. Este financiamiento es sin pie y con 5 pagos anuales de
$5,000 al final de cada año. ¿Cuál es el costo real?
Tasa 7%
VP = 5,000(1/0.07 - 1/0.07(1.07)^5)

VP = 5,000 * 4.1

VP = 20,500

Como se presenta en la línea del tiempo ? (1/r¨t)


Se acaba de ganar el Kino con $295,700 millones, pero el premio
se pagara en 25 anualidades de $11,828 millones. Si el primer
pago ocurriera al final del primer año, ¿Cuál sería el valor presente
del premio a una tasa de interés del 5.9%?

VP = 11,828 * factor de anualidad de 25 años

VP = 11,828 * (1/0.059 - 1/0.059(1.059)^25)

VP = 5,000 * 12.9057
11,828

VP = 152,6 millones

Anualidad Anticipada:

¿Cuánto cambiaria el valor del premio, si el pago se realiza al
principio de cada año?

Aumenta en (1+r), esto es $152,6*(1+r) = 152,6*1.059 = $161,6 MM

Una seria de pagos constantes que empieza inmediatamente se
conoce como anualidades anticipada y vale (1+r) veces el valor de
una anualidad vencida.


Usted tiene un crédito hipotecario de $250,000 para un
departamento con pagos a 30 años. El banco debe establecer los
pagos de tal forma que su suma tenga un valor presente de
$250,000.
VP = pago Hiotecario * Factor de anualidad de 30 años = 250,000

Pago Hipotecario = 250,000 / Factor de anualidad de 30 años

Tasa 12%

Factor de Anualidad de 30 año = (1/0.12 - 1/0.12(1.12)¨30 = 8.055
y
Pago Hipotecario = 250,000 / 8.055 = $31.037

Desarrollo de deuda, Ejemplo:

Año Saldo Inicial Intereses Cuota Amortizaciòn Saldo Insoluto
1 1.000,00 100,00 315,47 215,47 784,53
2 784,53 78,45 315,47 237,02 547,51
3 547,51 54,75 315,47 260,72 286,79
4 286,79 28,68 315,47 286,79 0,00
Tasa 10%

Ejercicio: Valor futuro de una anualidad

Desea compra en el futuro un Audi A4, y con el ahorro anual de su
trabajo ($20,000) lo invierte a una tasa de 8%.
¿Cuál será su saldo disponible después de 5 años?

Antes de nada nos debemos de dar una idea de cuanto vale sus
ahorros hoy. Si guarda $20,000 anual durante 5 años, ¿Cuál es el valor
presente de esta anualidad?

VP = 20,000 * factor de anualidad de 5 años

VP = 20,000 * (1/0.08 - 1/0.08(1.059)^5)

VP = $79,854

Ejercicio: Valor futuro de una anualidad

¿Cuánto tendría después de 5 años si invirtiera $79,854 hoy?

Valor al Final de año 5 = $79,854 * 1,08 ^5 = $117,332

Nos podríamos comprar un auto por $ 117,332

Valor Futuro de la Anualidad = 1 - 1 * (1 * r)´t = (1 * r)´t - 1
{ r r(1 + r)´t } r

Perpetuidad Creciente

Veamos como evaluar flujos que se incrementan a una tasa
constante.

Tenemos un plan de donación de $10,000 millones para
educación en zonas de riesgo social en un plazo de 10 años. Pero
no tomo en cuenta los incrementos de salarios y otros costos, los
cuales promediarían 4% al año a partir del año 1. Por lo tanto , en
lugar de donar $1,000 millones anuales, deberá donar $1,000 en
el año 1, 1.04*$1,000 millones el año 2, y así sucesivamente.

Perpetuidad Creciente

g = tasa de crecimiento anual (4%)

Valor Presente de la perpetuidad creciente = C1
r-g

VP = $ 1,000 = $ 16,667
0.10 - 0.04
Por lo tanto la cantidad a donar será de $16,667 millones

Anualidad Creciente

Supongamos que se desea comprar una membrecía al club de Golf, la cual es tiene un costo anual
de $5,000, pero una membrecía de tres años costaría solamente $12,750 pagados por adelantado.
¿Cuál es la mejor alternativa?, esto depende que tan rápido se incremente las cuotas los próximos
años.
Supongamos se pagan al final de cada año y se espera que aumente un 6% por año.

Tasa de descuento de 10%

Si recordamos Una anualidad equivale a la diferencia entre una perpetuidad inmediata y otra
diferida.

VP = 1 - 1
r r(1 + r)´t

Anualidad Creciente

Entonces el valor presente de una anualidad creciente es igual a la
diferencia entre dos perpetuidades creciente:

VP = $1 - $1 * (1+g)´t
(r - g) (r - g) (1 + r)´t

Factor de anualidad

VP = 2.629 * $5,000
VP = $ 13,146 Es mejor pagar los tres años hoy.

Tasas de Interés Compuesta y Valores Presentes

Tasa de Interés Compuesta: Cada pago de interés se re-
invierte.

Tasa de Interés Simple: El pago de interés no re-
invierte.

Normalmente siempre las empresas suponen interés
compuesto.


Interes Simple Interes Compuesto
Año Saldo Inicial + Intereses = Saldo Final Saldo Inicial + Intereses = Saldo Final
1 100 + 10 = 110 100 + 10 = 110
2 110 + 10 = 120 110 + 11 = 121
3 120 + 10 = 130 121 + 12 = 133
4 130 + 10 = 140 133 + 13 = 146
10 190 + 10 = 200 236 + 24 = 260
100 1.090 + 10 = 1.100 1.252.783 + 125.278 = 1.378.061
200 2.090 + 10 = 2.100 17.264.116.042 + 1.726.411.604 = 18.990.527.646
230 2.390 + 10 = 2.400 301.248.505.631 + 30.124.850.563 = 331.373.356.194
Valor de $100 invertidos a tasas de interes compuestas y simples de 10%

El descuento es un proceso de interés compuesto, por esto podemos sustituir la
pregunta: ¿cuál es el valor presente de $100 a recibir en 10 años a partir de ahora si el
costo de oportunidad del capital es de 10%?, por la pregunta:
¿cuánto tendría que invertir ahora para recibir $100 después de 10 años dada una tasa
de interés del 10%?

La primera pregunta se responde como:

VP = 100/(1.10)´10 = $38.55

Y la respuesta a la segunda pregunta es:

Inversión * (1.10)´10 = $100

Inversión = 100/(1.10)´10 = $38.55

El descuento es un viaje en reversa a lo largo de la línea inferior, desde el valor futuro
hasta el valor presente.

Capitalización Continua:

Se utiliza para la capitalización durante un año.

r = tasa anual
m = veces al año

Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m) ] ´m -1

Ejemplo: Usted tiene un crédito hipotecario de $250,000 para un departamento con
pagos a 30 años. (caso anterior)
Supongamos que el banco sugiere pagar una tasa mensual de 1%, en ves de pagar una
tasa anual de 12%.

Usted liquidaría mensual mente , y los pago hipotecarios serían deducidos de su cuenta
bancaria. Se calcula el pago del dividendo el valor del préstamo entre el factor de
anualidad de 360 meses:

Factor de anualidad de 360 meses = [1/0.01 – 1/(0.01(1.01) ´360 ] = 97.218


Abono Hipotecario mensual = Monto del préstamo / factor de anualidad de 360 meses

= 250,000/97.218 = $2,575

Por lo tanto los pagos anuales se reducirían de $31,037 a solo 12 * $2,572 = $30,864

Si aquí se ignora el valor del dinero en el tiempo, es cierto que el pago del plan mensual
es menor, por que comienza antes. Pero la tasa anual del 1% mensual no es 12% si no:

Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m) ] ´m -1

1.01^12 -1 = 12.68%


Tasa Efectiva anual o equivalente = [1+ (r/m)] ´m -1
(También conocida como tasa anual nominal o efectiva)

Habría realizar demasiados cálculos para encontrar una tasa de interés capitalizable
continuamente, pero esto se puede simplificar de la siguiente manera:

Algunos recuerdos de algebra:

Conforme m se aproxima al infinito [1+ (r/m)] ´m se aproxima a (2,7183)´r.

2,718 se conoce como e = base del logaritmo natural

Por lo tanto un dólar o peso invertido a una tasa r capitalizable continuamente crecerá
hasta e ´r = (2,7183)´r al final del primer año y hasta e ´rt = (2,7183)´rt.


Ejemplo 1: Se invierte un dólar a una tasa capitalizable continuamente de 11% (r=0.11)
por un año (t=1)

e´0,11 = 1.12 = 11,63%; es decir invertir a 11% durante un año capitalizable
continuamente es exactamente lo mismo que invertir a 11,63% durante un año
capitalizable anualmente.

Ejemplo 2: Se invierte un dólar a una tasa capitalizable continuamente de 11% (r=0.11)
por dos año (t=2)

e ´rt = (2,7183)´0.22 = 1,25 = 24,6%;

Resumen de formulas y ecuaciones
Definiciòn de Variable

e = funciòn exponencial = 2,7183
TEA = Tasa Efectiva Anual
FVn = Valor Futuro o monyo al final del periodo n
FVAn = Valor futuro de una anualidad de n años
i o r = tasa de interes anual
m = numero de veces al año en que se compone el interes
n = numero de periodos, generalmente años, durante los cuales el dinero gana rendimiento.
PMT = monto depositado o recibido al final de cada año.
PV = Principal inicial o valor presente
PVAn = Valor presente de una anaualidad de n años.
t = indice de numero de periodos.

Resumen de formulas y ecuaciones
Formulas del Factor de Interes

Valor Futuro de un monto unico con una capitalizaciòn anual

FVIF i,n = (1 + i)´n

Valor Presente de un monto unico

PVIF i,n = 1
(1 + i)´n

Valor Futuro de una anualidad ordinaria
n

FVIFA i,n = ∑ (1 + I)´t-1
t=1

Valor Presente de una anualidad ordinaria
n

PVIFA i,n = ∑ 1
t=1
(1 + i)´t

Valor Presente de una perpetuidad

PVIFA i,∞ = 1
i

Valor Futuro con una capitralizaciòn y con una frecuencia mayor que la anual

FVIF i,n = 1+ i m*n
m

Para calcular una capitalizaciòn continua m = ∞
i*n
FVIF i,n ( capitalizaciòn continua ) = e

Para Calcular la tasa efectiva anual

TEA = 1+ i m -1
m

Ecuaciones Básicas

Valor Futuro (monto únicos) FVn = PV * (FVIF i,n)

Valor Presente (monto únicos) PV = FVn * (PVIF i,n)

Valor Futuro (anualidad) FVAn = PMT * (FVIFA i,n)

Valor Presente (anualidad) PVAn = PMT * (PVIFA i,n)

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