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Teorema Chinês dos Restos
1. Semin´ario De Fundamentos De ´Algebra
Sistema De Congruˆencias
Teorema Chinˆes Dos Restos
Santos A. E.
aleniac@ufmg.br
UFMG
ICEx
14 de dezembro de 2015
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2. Introdu¸c˜ao
Teorema Chinˆes Dos Restos
O objetivo deste semin´ario ´e apresentar o Teorema Chinˆes dos
Restos como m´etodo para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes e sistemas
lineares de congruˆencias de um anel comutativo com unidade.
Apresentaremos tamb´em uma forma alternativa facilmente
implement´avel em computadores e um exemplo resolvido.
Os teoremas, lemas, corol´arios e proposi¸c˜oes apontados nesta
apresenta¸c˜ao est˜ao contidos no Livro Fundamentos De ´Algebra
Linear [1], conforme as suas respectivas referˆencias.
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3. Parte I - Equa¸c˜oes Lineares
Equa¸c˜oes Lineares
Seja Qm a congruˆencia em m´odulo m ∈ N abaixo:
ax ≡ b mod m, a, b ∈ Z (1)
em que
d = mdc(a, m)
m =
m
d
, se d|b.
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4. Teorema
Considere a congruˆencia Qm (1) e d = mdc(a, m):
Teorema
i) A congruˆencia aX ≡ b mod m tem solu¸c˜ao, se, e somente se, d|b;
ii) Se X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao se, e
somente se, X0 ≡ X mod m em que m = m/d. Em particular, Qm
possui d solu¸c˜oes n˜ao congruentes m´odulo m.
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5. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao i.
Assumiremos por hip´otese que ax ≡ b mod m tem solu¸c˜ao.
Ent˜ao, temos:
ax ≡ b mod m
ax+ my = b. (2)
Aplicando o lema 7.67 [1], (2) tamb´em tem solu¸c˜ao. Da´ı, d|b, e
portanto, ambos lados da equa¸c˜ao abaixo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Consequentemente, mdc(a, m)|b se Qm tem solu¸c˜ao.
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6. Condi¸c˜ao de Existˆencia de Solu¸c˜ao
Rec´ıproca i.
Reciprocamente, Existe d tal que d = mdc(a, m), conforme:
ax + my = d (3)
Note que a equa¸c˜ao (3) tem solu¸c˜ao. Al´em disso, podemos
expressar b = βd, β ∈ Z.
Multiplicando (3) por β, temos:
a(βx) + m(βy) = b
aX0 + mY0 = b,
em que X0 = βx. Logo, aX0 ≡ b mod m.
Portanto X0 ´e uma solu¸c˜ao particular da congruˆencia Qm.
Como quer´ıamos mostrar.
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7. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Demonstra¸c˜ao ii.
Se x = X0 for uma solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao d|b, logo:
a
d
x +
m
d
y =
b
d
.
Ent˜ao podemos escrever:
a = αd, b = βd, m = m d
Reescrevendo Qm em termos de α, β, temos:
ax ≡ b mod m
αdx ≡ βd mod m
⇓ (Corol´ario 7.17 [1])
αx ≡ β mod m . (4)
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8. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Logo, obtemos a congruˆencia (4) que denotaremos por Qm .
Note que mdc(α, m ) = 1. Consequentemente, α posssui inverso
m´odulo m .
Logo, Qm tˆem uma solu¸c˜ao particular da forma:
X0 ≡ βα−1
mod m .
Ent˜ao temos como solu¸c˜ao geral a equa¸c˜ao:
x = X0 + m k, k ∈ Z.
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9. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Da´ı, qualquer elemento X ∈ [X0]m satisfaz Qm .
Logo, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm.
Temos ent˜ao garantido que:
X0 ≡ X mod m .
Portanto, X tamb´em ´e solu¸c˜ao de Qm se X0 ≡ X mod m .
Rec´ıproca ii.
Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm tal que X0 ≡ X mod m .
Obviamente, [X0]m ´e solu¸c˜ao de Qm , ent˜ao X0 e X s˜ao solu¸c˜oes.
Se x = X0 e x = X s˜ao solu¸c˜oes de Qm , temos que x satisfaz:
αx ≡ β mod m .
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10. Classes Distintas De Solu¸c˜oes
Se β = bd, ent˜ao o podemos aplicar o corol´ario 7.11 [1] em Qm
multiplicando-a por d:
dαx ≡ dβ mod dm
⇓
ax ≡ b mod m
em que a = a d e m = m d.
Logo, a solu¸c˜ao geral de Qm ´e dada por:
x ≡ X mod m, X ∈ [X0]m . (5)
Portanto, se X ´e solu¸c˜ao de Qm, ent˜ao X0 tamb´em ´e.
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11. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Verifica¸c˜ao.
Seja X0 uma solu¸c˜ao particular de Qm e Qm na forma reduzida,
0 ≤ X0 < (m − 1).
Seja Rm e Rm , respectivamente, os conjuntos das classes de Zm e
Zm .
Fazendo u = m − 1 e espandindo ambos conjuntos, temos:
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u, . . . , 2u, . . . , 3u, . . . , du}
Rm = {0, 1, . . . , X0, . . . , u}
Temos que a congruˆencia Qm (4) possui solu¸c˜ao da forma:
x = X0 + m k, k ∈ Z.
Isto ´e, [X0]m ∈ Rm ´e solu¸c˜ao ´unica de Qm .
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12. N´umero De Solu¸c˜oes N˜ao Congruentes M´odulo m
Da´ı, a solu¸c˜ao geral de Qm (5) pode ser escrita da seguinte forma:
x = X + mt t ∈ Z
em que X ∈ [X0]m .
Note que:
1 O conjunto Rm possui m = m d classes distintas.
2 As solu¸c˜oes X n˜ao s˜ao congruentes m´odulo m, pois:
[X0]m = [X0]m .
3 Cada solu¸c˜ao X ´e um representante de alguma classe de Zm.
4 Rm possui exatamente d elementos congruentes a X0 m´odulo m , a
saber, cada um deles est´a entre cada m´ultiplo de (m − 1).
Conclu´ımos, portanto, que Qm possui d solu¸c˜oes distintas m´odulo
m. Como quer´ıamos mostrar.
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13. Parte II - Sistemas De Congruˆencias
Sistemas de Congruˆencias
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:
a1x ≡ b1 mod m1
a2x ≡ b2 mod m2
...
...
akx ≡ bk mod mk
Vamos assumir que:
1 O mdc(ai, mi) = 1, para todo i = 1, 2, ..., k;
2 O mdc(mi, mj) = 1, para todo i = j.
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14. Defini¸c˜oes Importantes
Defini¸c˜oes:
M =
k
i=1
= mmc(m1, m2, ..., mk)
Ni =
M
mi
=
m1m2...mi...mk
mi
Note que:
a) mi|Nj para todo i = j. Consequentemente, Nj ≡ 0 mod mi;
b) O mdc(Ni, mi) = 1. Portanto, Ni posssui inverso m´odulo mi, ou
seja:
NiLi ≡ 1 mi, em que Li = N−1
i . (6)
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15. Teorema Chinˆes Dos Restos
Teorema
Suponhamos as hip´oteses (1) e (2), ent˜ao para quaisquer das
congruˆencias dadas nos seus respectivos m´odulos m1, ..., mk, o
sistema possui solu¸c˜ao da forma:
X0 =
k
i=1
ciNiLi
em que:
ci ´e uma solu¸c˜ao de aix ≡ bi mod mi.
NiN−1
i ≡ 1 mod mi possui solu¸c˜ao N−1
i = Li.
Al´em disso, X ´e uma outra solu¸c˜ao do sistema se, e somente se,
X ≡ X mod M.
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16. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Demonstra¸c˜ao.
Vamos assumir que X0 = k
j=1 cjNjLj ´e uma solu¸c˜ao particular
do sistema de congruˆencias dado. Isto ´e, para todo i = 1, ..., k,
aiX0 ≡ bi mod mi. Ent˜ao, temos:
aiX0 = ai(
k
j=1
cjNjLj)
=
k
j=1
aicjNjLj.
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17. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Note que, se i = j, Nj(aicjLj) ´e m´ultiplo de mi, pois mi|Ni. Logo:
aicjNjLj ≡ 0 mod mi.
Portanto,
k
j=1
aicjNjLj = aiciNiLi. (7)
Da´ı, reescrevemos a equivalˆencia da seguinte forma:
aiX0 ≡ aiciNiLi mod mi
≡ aici mod mi (8)
aplicando NiLi ≡ 1 mod mi em (8).
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18. Teorema Chinˆes Dos Restos - Demonstra¸c˜ao
Observe que:
aici ≡ aiX0 mod mi
aiX0 ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aici ≡ bi mod mi
E, portanto,
aiX0 ≡ bi mod mi.
Como quer´ıamos provar.
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19. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Seja X uma outra solu¸c˜ao do sistema. Ent˜ao pra todo i = 1, ..., k:
aiX0 ≡ bi mod mi
e
aiX ≡ bi mod mi
⇓ (Transitividade)
aiX0 ≡ aiX mod mi
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.16 [1])
X0 ≡ X mod mi
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, ii [1])
X0 ≡ X mod mmc(m1, ..., mk).
Da´ı, conclu´ımos que X ≡ X0 mod M.
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20. Solu¸c˜oes Equivalentes Mod M
Rec´ıproca
Reciprocamente, temos:
X ≡ X0 mod M
⇓ (Proposi¸c˜ao 7.18, i [1])
X ≡ X0 mod mi
⇓
aiX ≡ aiX0 mod mi
⇓ (X0 satisfaz a congruˆencia i)
aiX ≡ bi mod mi
Portanto, conclu´ımos que X tamb´em ´e uma solu¸c˜ao do sistema.
Como quer´ıamos provar.
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21. M´etodo Iterativo Para Congruˆencias Lineares
Sistemas de congruˆencias da forma x = bi mod mi
Como pudemos verificar, devemos considerar a h´ıpotese de que o
mdc(mi, mj) = 1, para todo i = 1, ..., k e i = j, no m´etodo
apresentado.
Al´em disso, ´e dif´ıcil de implement´a-lo computacionalmente.
Mostraremos uma t´ecnica alternativa que facilita a implementa¸c˜ao
em computadores e que n˜ao depende que o mdc(mi, mj) = 1, i = j.
O mdc(ai, mi)|bi, para i ∈ {1, ..., k}, ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e
suficiente para que uma congruˆencia tenha uma solu¸c˜ao individual.
Em contrapartida, n˜ao necessariamente, o sistema tem solu¸c˜ao se
mdc(ai, mi)|bi [3].
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22. Isolando A Ic´onita X Do Sistema
Considere o sistema de congruˆencias lineares em que
di = mdc(ai, mi) e di|bi:
{aix ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Vimos que um passo crucial foi dividir cada equa¸c˜ao de ordem i
pelo seu respectivo di. E, consequentemente, reca´ımos numa nova
congruˆencia da forma:
{αix ≡ βi mod mi, i = 1, ..., k,
cujo mdc(αi, mi) = 1.
Sabemos que αi possui inverso m´odulo mi. Da´ı, mutiplicando
ambos lados de cada equa¸c˜ao pelo seu inverso, obtemos:
{x ≡ βiα−1
i mod mi, i = 1, ..., k.
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23. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos considerar um novo sistema da forma:
{x ≡ bi mod mi, i = 1, ..., k.
Resolvemos este sistema solucionando-o par a par. Substitu´ımos,
ent˜ao, o par original pela nova congruˆencia encontrada.
O processo se repete sucessivamente at´e a ´ultima equa¸c˜ao.
A princ´ıpio, vamos considerar as duas primeiras equa¸c˜oes do
sistema dado:
x ≡ b1 mod m1 (a)
x ≡ b2 mod m2 (b)
Sabemos que a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (a) acima ´e da forma:
x = b1 + m1k, k ∈ Z. (9)
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24. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Da´ı, podemos levar o lado direito de (9) para a equa¸c˜ao (b):
x ≡ b2 mod m2
b1 + m1k ≡ b2 mod m2
⇓
m1k ≡ b2 − b1 mod m2
⇓
k ≡ (b2 − b1)m−1
1 mod m2,
em que m−1
1 ´e o inverso de m1 m´odulo m2.
Portanto,
k = (b2 − b1)m−1
1 + m2t
em que t ∈ Z ´e um valor arbitr´ario.
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25. Solucionando As Duas Primeiras Congruˆencias
Uma vez obtido o valor de k, podemos substituir na equa¸c˜ao (9):
x = b1 + m1k
x = b1 + m1[(b2 − b1)m−1
1 + m2t]
Calculado o valor de x em termos de t ∈ Z, obtemos uma
congruˆencia X mod mmc(m1, m2), solu¸c˜ao comum do par.
Esta mesma deve substituir as duas primeiras congruˆencias do
sistema. Obt´em-se, portanto, um sistema equivalente com uma
equa¸c˜ao a menos.
Repetimos ent˜ao este processo at´e, finalmente, obter a solu¸c˜ao
geral do sistema.
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26. Exemplo De Sistema Com Trˆes Congruˆencias
Exemplo.
Considere o sistema de congruˆencias abaixo:
i)
3x ≡ 5 mod 4
2x ≡ 3 mod 5
4x ≡ 2 mod 3
⇓
ii)
x ≡ 5 · 3 mod 4
x ≡ 3 · 3 mod 5
x ≡ 2 · 4 mod 3
⇓
⇓
iii)
x ≡ 15 mod 4
x ≡ 9 mod 5
x ≡ 8 mod 3
⇓
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
Note que os valores destacados em vermelho s˜ao os inversos
m´odulo mi dos seus respectivos ai, isto ´e, a1 = 3, a2 = 2, a3 = 4.
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27. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Separando as duas primeiras congruˆencias do sistema (iv), temos:
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 4 (a)
x ≡ 4 mod 5 (b)
Da congruˆencia (a), temos que:
x = 3 + 4k, (10)
em que k ∈ Z ´e um valor arbitr´ario.
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28. Solu¸c˜ao Do Primeiro Par De Congruˆencias
Levamos, ent˜ao, esta express˜ao para a congruˆencia (b):
x ≡ 4 mod 5
3 + 4k ≡ 4 mod 5
⇓
4k ≡ 1 mod 5
⇓
k ≡ 1 · 4 mod 5
⇓
k ≡ 4 mod 5.
Logo, obtemos k = 4 + 5t, onde t ´e um inteiro arbitr´ario.
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29. Substituindo A Nova Congruˆencia No Sistema
Substituindo k na equa¸c˜ao (10), obtemos:
x = 3 + 4k
x = 3 + 4(4 + 5t)
x = 19 + 20t.
Da´ı, obtemos uma nova congruˆencia:
X ≡ 19 mod 20. (11)
Substituindo o primeiro par por X no sistema (iv), obtemos um
sistema equivalente:
iv)
x ≡ 3 mod 4
x ≡ 4 mod 5
x ≡ 2 mod 3
=⇒
x ≡ 19 mod 20 (a)
x ≡ 2 mod 3 (b)
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30. Solu¸c˜ao Do Segundo Par De Congruˆencias
Obtendo x da congruˆencia (a) deste sistema, temos:
x = 19 + 20k (12)
Substituindo (12) na congruˆencia (b):
x ≡ 2 mod 3
19 + 20k ≡ 2 mod 3
⇓
20k ≡ −17 mod 3
⇓
k ≡ 1 · 2 mod 3
⇓
k ≡ 2 mod 3.
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31. Solu¸c˜ao Final Do Sistema
Portanto, k = 2 + 3t e, substituindo na equa¸c˜ao (12), temos:
x = 19 + 20k
x = 19 + 20(2 + 3t)
x = 59 + 60t
Portanto a solu¸c˜ao geral do sistema ´e x = 59 + 60t. Em outras
palavras,
x ≡ 59 mod 60.
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32. Coment´arios
Coment´arios:
O exemplo resolvido ´e o mesmo encontrado em 7.70 [1] cujo
mesmo foi resolvido pelo m´etodo anterior. Vale ressaltar que a
solu¸c˜ao que encontramos est´a na sua forma reduzida, por´em ´e
congruente com a solu¸c˜ao dos autores de [1], como esper´avamos.
Contudo, em aplica¸c˜oes, deve-se considerar qual solu¸c˜ao particular
vai refletir corretamente a interpleta¸c˜ao da forma aplicada.
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14 de dezembro de 2015 32 /
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33. Bibliografia
Bibliografia.
VIDIGAL A. e outros, (2009), Fundamentos de ´Algebra,
Universidade Federal de Minas Gerais.
COUTINHO S.C., (2011), N´umeros Inteiros e Criptografia RSA,
Instituto de Matem´atica Pura e Aplicada.
SOMBRIO G. S., (2001), Teorema Chinˆes De Restos e Teorema
Da Aproxima¸c˜ao, Universidade Federal de Santa Catarina.
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/
81876/179152.pdf.
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