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Medidas de Forma.Momentos, Sesgos y Curtosis.IntroducciónEn estadística es una práctica habitual describir una distribució...
Momentos.Si   ,   …    Son los valores que toma la variable X, se define lacantidad   como el momento de orden r.El moment...
Momentos para datos agrupados.Si , …      Se presentan con frecuencias    ,   …    respectivamente,los momentos anteriores...
Comprobación de Charlier.En el cálculo de momentos por el método clave utiliza las identidadessiguientes:Correcciones Shep...
Sesgos y Curtosis.Así como contamos con medidas de localización y de dispersión, que nosdescriben ciertas características ...
Una importante medida de éste tipo, emplea el momento de tercerorden con respecto a la media expresado en forma adimension...
Medida de FisherPara datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emp...
Otra medida de curtosis, está basada en los cuartiles y percentiles yestá dada por:Donde Q = ½ (Q3 - Q1) es el rango semi-...
Ejemplo ilustrativo: Determinar qué tipo de curtosis tiene la siguientedistribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17. Emplear...
Para calcular los cuartiles y percentiles se ordena los datos de menor amayor:6 9 9 12 12 12 15 17Calculando el cuartil un...
Datos   (x1 – x)6       915,062509       39,062509       39,0625012      0,0625012      0,0625012      0,0625015      150,...
Covarianza. Caso de independenciaEn el estudio conjunto de dos variables, lo que nos interesaprincipalmente es saber si ex...
NOTA: El inconveniente de la covarianza, como medida de asociación essu dependencia de las unidades. Habrá que definir una...
Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación lineal rxy y elde determinación lineal R2            5232rxy       ...
Coeficiente de Determinación.El cambio de la variable Y generalmente depende de muchos factores,en ocasiones, difíciles de...
La diferencia entre Yー observado y          estimado, son variacionesconsideradas debidas a factores diferentes al tenido ...
Gráficamente esta relación se puede representar así:Se dijo anteriormente, que el coeficiente de determinación es lapropor...
Para su cálculo se procede así:4.2    5.44      -1.24    1.54     4.6    -0.84   0.71    -0.4    0.164.9    5.44      -1.2...
Coeficiente de CorrelaciónEste Coeficiente como ya se dijo mide la fuerza de la relación entre lasvariables. El coeficient...
CORRELACION.Hasta este punto hemos supuesto que la variable de regresiónindependiente x es una variable física o científic...
Al sustituir para     y    ² en la expresión anterior para f( x, y),obtenemos la distribución normal bivariada:La constant...
menudo es útil una graficación preliminar de los datos experimentales.Un valor del coeficiente de correlación muestral cer...
El índice de Gini es el coeficiente de Gini expresado en porcentaje, y esigual al coeficiente de Gini multiplicado por 100...
El coeficiente de Gini se calcula como una razón de las áreas en eldiagrama de la curva de Lorenz. Si el área entre la lín...
Ejemplo ilustrado:Se puede encontrar un mapa mundi coloreado según el coeficiente Ginide cada país. Europa es una zona muy...
La curva     de    Lorenz es     una representación     gráfica utilizadafrecuentemente para plasmar la distribución relat...
acumuladas (no relativas) divididas por el número N de elementos de lapoblación. La lógica pretendida es representar qué c...
PropiedadesLa curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos comose deduce de la siguiente relación:(3)En el...
Despejando de la primera ecuación y substituyendo el resultado en lasegunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:E...
Donde el parámetro está relacionado con la renta media mediante       . Después de una cierta cantidad de álgebra trivial ...
Numeros ÍndiceUn número índice es una medida estadística que permite estudiar lasfluctuaciones o variaciones de una magnit...
adolece de ese problema, puede plantear problemas relativos a elegir launidad de referencia para realizar las comparacione...
temporales, a la situación inicial, se le conoce como periodo base oreferencia, mientras que el periodo objeto de comparac...
Índice de Bradstreet-Dudot.Es un índice compuesto sin ponderar definido como media agregativa deíndices simples:Obviamente...
Utilizando esta ponderación en una media aritmética de índices simples,encontramos:Este es el llamado índice de precios de...
Que es el llamado índice de precios de PaascheEl inconveniente de este índice es que(a diferencia del de Laspeyres) laspon...
F) Un último índice es el índice de Fisher, que se define como la mediageométrica de los índices de Laspeyres y Paasche:  ...
Para el índice de Fisher:F´p(t,0) = √ (lp(t,0) + lp(t,0) k ) (pp(t,0) + pp(t,0) k )= √(1+k)2 lp(t,0) pp(t,0) = (1+k) fp(t,...
C) índice cuántico de Edgeworth.Σ qit ( pi0 qi0 + pit qi0 ) Σ qit ( pi0 + pit ) qi0eq = ---------------------------- 100 =...
frecuentes y la anormalidad es un denominador común no se puedetomar como periodo base.Será necesario cambiar la base del ...
EMPALME.- otra operación que es muy usual al respecto de los índicesde base fija es la del empalme, se trata de empalmar í...
Indexación y DeflaciónDeflactación.Para poder llegar a conclusiones validas acerca del comportamiento deuna variable que r...
Es necesario destacar que un proceso de deflactación conduce a valoresreales que pueden tener dos interpretaciones: una ex...
Cambio de la base     En la práctica es deseable que el período base elegido para lacomparación sea un período de estabili...
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASBENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades paraProducir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Ma...
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. (MOMENTOS, SESGOS Y CURTOSIS, NÚMEROS INDICE, COEFICIENTE DE CORRELACIÓN, ETC.

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  1. 1. CAMPUS TAMPICO“ESTADÌSTICA DESCRIPTIVA”LIC. DISEÑO GRÁFICO DIGITAL Tesina presentada por: Alejandra León Rendón Diciembre, 2011.
  2. 2. Medidas de Forma.Momentos, Sesgos y Curtosis.IntroducciónEn estadística es una práctica habitual describir una distribución o unapoblación mediante el valor de un conjunto finito de cantidades, comoson la media, la dispersión, la asimetría, la curtosis, la presencia de”picos”, etc.En finanzas, por ejemplo, estas medidas de la distribución aportansoluciones simples y eficaces a gran cantidad de problemas. Losestadísticos basados en la kurtosis o en la asimetría aparecenconstantemente en esta materia para estudiar la normalidad de ladistribución correspondiente a unos datos conocidos. Y el momentomuestral de cuarto orden estandarizado constituye la regla más utilizadaactualmente en el estudio del peso de las colas en series financieras.Hasta ahora los métodos que más se utilizaban sobre estas medidas sebasaban en el estudio de los Momentos de la distribución. Másprecisamente, se basaban en los momentos muestrales, puesto que lousual es disponer sólo de una serie de datos de la distribución. Elmétodo de los momentos está aún bastante extendido en el estudio detres o cuatro familias de distribuciones paramétricas. Esto se debe a queproporciona estimadores consistentes y viables computacionalmente,mientras que otros métodos más avanzados no se muestran eficacespara estos casos concretos.Un ejemplo lo constituye la familia de las mixturas de distribucionesnormales. Pero en general estos métodos basados en los momentosproporcionan resultados insatisfactorios para otras distribuciones,debido a que son poco eficaces y a que se ven muy influidos por datosanómalos.
  3. 3. Momentos.Si , … Son los valores que toma la variable X, se define lacantidad como el momento de orden r.El momento de primer orden r=1, es la media aritmética .El momento de orden r con respecto a la media , se define como:Si r=1, m=0Si r=2, m=El momento de orden con respecto a un punto cualquiera A se definecomo:Donde d=X-A son las desviaciones de X de A.Si A=0, la fórmula 3 queda como la 1ª.Nota: Por ésta razón (la fórmula 1) se llama también momento de orden r,con respecto al origen.
  4. 4. Momentos para datos agrupados.Si , … Se presentan con frecuencias , … respectivamente,los momentos anteriores son dados por:Entre momentos con respecto a la Media m, y momentos con respecto aun punto cualquiera se dan las siguientes relaciones:Nótese que = .Cálculo de momentos para datos agrupados.Los métodos clave para el cálculo de la media y la desviación típica,pueden también utilizarse para suministrar un método corto en elcálculo de momentos.Este método parte del hecho de que =A+cu de modo que de laecuación 6 se obtiene: =Que podemos utilizar para hallar mediante las ecuaciones.
  5. 5. Comprobación de Charlier.En el cálculo de momentos por el método clave utiliza las identidadessiguientes:Correcciones Sheppard.Para los momentos son como sigue:m2corregida = m2– c² -m4 corregida = m4- +Los momentos m1 y m3 no necesitan corrección.Momentos en forma Adimensional.Para evitar unidades particulares, se pueden definir los momentosadimensionales respecto a la media.Donde es la desviación típica, puesto que m1=0 y m2= , setiene que a1=0 y a2=1.
  6. 6. Sesgos y Curtosis.Así como contamos con medidas de localización y de dispersión, que nosdescriben ciertas características de una distribución de frecuencias,existen otras medidas que nos pueden ayudar a distinguir cuestionescomo simetría o grado de apuntamiento de una distribución.El sesgo es el grado de asimetría o falta de simetría de una distribución.Si la curva de frecuencias de una distribución tiene la cola más larga a laderecha, tiene sesgo positivo, a la izquierda será negativo.En las distribuciones sesgadas, la media tiende a situarse con respecto ala moda, al mismo lado que la cola más larga.Así, una medida de la simetría, nos viene dada por la diferencia (Media-Moda). Ésta medida puede adimensionarse, dividiéndola por una medidade dispersión, tal como la desviación típica, llegando a:Para evitar el empleo de la Moda, se puede emplear la fórmula empírica:Las medidas anteriores, se conocen como primero y segundo coeficientede sesgo de Pearson respectivamente.Otras medidas del sesgo, dadas en función de cuartiles y percentilesson:
  7. 7. Una importante medida de éste tipo, emplea el momento de tercerorden con respecto a la media expresado en forma adimensional y dadopor:Otra medida del sesgo, viene dada por b1= para curvas simétricas,tal como y son cero.Curtosis.La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de unadistribución con relación a la distribución normal, es decir, mide cuánpuntiaguda es una distribución.Existen varios tipos de Curtosis:La curtosis determina el grado de concentración que presentan losvalores en la región central de la distribución. Así puede ser:Leptocúrtica.- Existe una gran concentración.Mesocúrtica.- Existe una concentración normal.Platicúrtica.- Existe una baja concentración.
  8. 8. Medida de FisherPara datos sin agrupar se emplea la siguiente fórmula:Para datos agrupados en tablas de frecuencias se emplea la siguientefórmula:Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:Donde: = cada uno de los valores; n = número de datos; = mediaaritmética; = Cuádruplo de la desviación estándar poblacional; f =frecuencia absoluta; xm = marca de claseNota:Si a < 3? la distribución es platicúrticaSi a = 3? la distribución es normal o mesocúrticaSi a > 3? la distribución es leptocúrticaUna forma de medir la Curtosis, emplea el momento de cuarto ordencon respecto a la media, expresado en forma adimensional y dado por:Que se designa por b2 para una distribución normal b2 = a4 = a3. Por éstarazón, a veces, se define la curtosis como (b2 – 3), que es positiva parauna distribución leptocúrtica, negativa para una platicúrtica y 0 para ladistribución normal.
  9. 9. Otra medida de curtosis, está basada en los cuartiles y percentiles yestá dada por:Donde Q = ½ (Q3 - Q1) es el rango semi-intercuartílico y se conocecómo Coeficiente de curtosis percentílico para la distribución normal vale0.263.Véase también la siguiente fórmula: K (Letra griega minúscula kappa) = Coeficiente percentil de curtosis. k Si < 0,263 ? la distribución es platicúrtica k Si = 0,263 ? la distribución es normal o mesocúrtica k Si > 0,263 ? la distribución es leptocúrtica k Esta medida no es muy utilizada. Momentos, Sesgo y Curtosis de la Población. Para una población, se emplearán símbolos griegos. Para una muestra poblacional, se emplearan símbolos latinos.EJEMPLOS: MOMENTOS DE UNA POBLACION: μ1, μ2, ETC. MOMENTOS DE UNA MUESTRA: m1, m2, ETC. SIMETRIA DE UNA POBLACION: α3 SIMETRIA DE UNA MUESTRA: a3 CURTOSIS DE UNA POBLACION: α4 CURTOSIS DEUNA MUESTRA: a4
  10. 10. Ejemplo ilustrativo: Determinar qué tipo de curtosis tiene la siguientedistribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17. Emplear la medida de Fisher yel coeficiente percentil de curtosis.Solución: Calculando la media aritmética se obtieneCalculando la desviación estándar poblacional se obtiene:Calculando la Medida de Fisher se obtiene:Datos6 915,06259 39,06259 39,062512 0,062512 0,062512 0,062515 150,062517 915,0625Total 2058,5
  11. 11. Para calcular los cuartiles y percentiles se ordena los datos de menor amayor:6 9 9 12 12 12 15 17Calculando el cuartil uno se obtiene:Calculando el cuartil tres se obtiene:Calculando el percentil 90 se tiene:Calculando el percentil 10 se tiene:Calculando el coeficiente percentil de curtosis se obtiene:Como a= 2,23 y la distribución es platicúrtica.
  12. 12. Datos (x1 – x)6 915,062509 39,062509 39,0625012 0,0625012 0,0625012 0,0625015 150,0652017 915,06250
  13. 13. Covarianza. Caso de independenciaEn el estudio conjunto de dos variables, lo que nos interesaprincipalmente es saber si existe algún tipo de relación entre ellas. Estose ve gráficamente con el diagrama de dispersión. Veremos ahora unamedida descriptiva que sirve para medir o cuantificar esta relación: n k ( x i  x )( y j  y )n ij S xy   i 1 j 1 n Si Sxy >0 hay dependencia directa (positiva), es decir a grandesvalores de x corresponden grandes valores de y. Si Sxy = 0 las variables están incorreladas, es decir no hay relación lineal. Si Sxy < 0 hay dependencia inversa o negativa, es decir a grandes valores de x corresponden grandes valores de y.PROPIEDADES DE LA COVARIANZA:1.- Si a todos los valores de la variable x, les sumamos una constante k y a todos los valores de la variable y les sumamos una constante k’, la covarianza no varía.2.- Si a todos los valores de una variable x los multiplicamos por una constante k y a todos los valores de la variable y los multiplicamos por una constante k’, su covarianza queda multiplicada por el producto de las constantes.3.- A partir de las anteriores: si tenemos dos variables x, y con la covarianza Sxy, y transformaciones lineales de las variables de la forma z=ax+b, y t=cy+d, la nueva covarianza se relaciona con la anterior de la forma: Szt=acSxy. x i y j n ij4.- Otra forma de calcular la Covarianza sería: S xy    n  XY . i j Será la que utilizaremos en la práctica.
  14. 14. NOTA: El inconveniente de la covarianza, como medida de asociación essu dependencia de las unidades. Habrá que definir una nueva medida,que no está afectada por los cambios en las unidades de medida. Estamedida será el coeficiente de correlación lineal rxy, con la siguienteexpresión: S xy r xy  SxSy siendo Sx y Sy las desviaciones típicas de x e y. Este coeficiente esadimensional y siempre estará entre –1 y 1.  Si hay relación lineal positiva, rxy>0 y próximo a 1.  Si hay relación lineal negativa rxy<0 y próximo a –1.  Si no hay relación lineal rxy será próximo a 0. Nota: Cuando las variables x e y son independientes, Sxy =0, y por tanto rxy=0. Es decir, si dos variables son independientes su covarianza vale cero. No podemos asegurar lo mismo en sentido contrario. Si dos variables tienen covarianza cero, no podemos decir que son independientes. Sabemos que linealmente no tienen relación, pero podrían tener otro tipo de relación y no ser independientes.Ejemplo: A partir de los siguientes datos, vamos a calcular la Covarianzay el coeficiente de correlación: Altura 17 18 16 15 18 17 17 16 16 16 5 0 2 7 0 3 1 8 5 5 Peso 80 82 57 63 78 65 66 67 62 58 Los cálculos que necesitamos: x  1696 s x  72139 y  678 s y  87567 175  80  180  82  162  57  s xy   1696  678  5232 10
  15. 15. Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación lineal rxy y elde determinación lineal R2 5232rxy   08282 72139  87567Que nos indica que las variables están relacionadas.Ejemplo de AplicaciónPara estudiar la dependencia entre la práctica de algún deporte y ladepresión, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 100 jóvenes,con los siguientes resultados: Sin depresión Con depresiónDeportista 38 9 47No deportista 31 22 53 69 31 100L = (38 – 32,43)2/32,43 + (31 – 36,57)2/36,57 + (9 –14,57)2/14,57 + (22 – 16,43)2/16,43= 0,9567 + 0,8484 + 2,1293 + 1,8883 = 5,8227El valor que alcanza el estadístico L es 5,8227. Buscando en la tablateórica de Chi Cuadrado para 1 grado de libertad se aprecia L t =3,84146 < 5,8227 lo que permite rechazar la hipótesis de independenciade caracteres con un nivel de significación del 5%, admitiendo por tantoque la práctica deportiva disminuye el riesgo de depresión.
  16. 16. Coeficiente de Determinación.El cambio de la variable Y generalmente depende de muchos factores,en ocasiones, difíciles de identificar; con el modelo lineal simple, sólotenemos presente uno. Por ejemplo, en nuestro caso la mediana delingreso depende no sólo del porcentaje de graduados en el nivelsuperior, que es, el factor que tenemos presente, pueden entrar a jugarfactores tales como, la distribución de la edad en la población, ladistribución por sexo en la población, la industrialización de la ciudad, elnumero de universidades y muchos otros.El coeficiente de determinación mide o interpreta la cantidad relativa dela variación que ha sido explicada por la recta de regresión, es decir, laproporción de cambio en Y explicado por un cambio en la variable X ( Xes el factor que se utiliza para calcular la recta de ajuste o ecuación deregresión, en el ejemplo es el porcentaje de graduados en el nivelsuperior en cada ciudad).Para el ejemplo el Coeficiente de determinación va a medir la proporcióndel cambio en el ingreso mediano de cada ciudad, debido o explicadopor un cambio en el porcentaje de graduados en el nivel superior.Veamos algunos componentes de la variabilidad en el análisis deregresión:La diferencia entre cada valor de Yー observado y media se denominavariación de Y.La diferencia entre estimado y media , es la variación tenida encuenta por la ecuación de regresión, razón por la cual se denominavariación explicada de Y.
  17. 17. La diferencia entre Yー observado y estimado, son variacionesconsideradas debidas a factores diferentes al tenido presente por laecuación de regresión por eso se llama: variación no explicada de Y.La diferencia entre Yー observado y estimado, son variacionesconsideradas debidas a factores diferentes al tenido presente por laecuación de regresión por eso se llama: variación no explicada de Y.La sumatoria de las diferencias en cada una de las formas de variaciónla podemos representar así:
  18. 18. Gráficamente esta relación se puede representar así:Se dijo anteriormente, que el coeficiente de determinación es laproporción de cambio explicado en Y, por cambio en X, es decir, laproporción que representa la variación explicada de la variación total.Recuerde una proporción es la relación de una parte con el total, portanto, el coeficiente de determinación será:En otras palabras el coeficiente de determinación es la relación entre lavariación explicada y la variación total. Su valor siempre estará
  19. 19. Para su cálculo se procede así:4.2 5.44 -1.24 1.54 4.6 -0.84 0.71 -0.4 0.164.9 5.44 -1.24 0.29 4.5 -0.84 0.88 0.4 0.167.0 5.44 1.56 2.43 6.6 1.16 1.35 0.4 0.166.2 5.44 0.76 0.58 5.7 0.26 0.07 0.5 0.253.8 5.44 1.64 2.69 4.4 -1.04 1.08 -0.6 0.367.6 5.44 2.16 4.66 8.0 2.56 6.55 -0.4 0.164.4 5.44 1.04 1.08 4.4 -1.04 1.08 0.0 0.005.4 5.44 0.4 0.001 5.2 -0.24 0.06 0.2 0.0443.5 13.271 11.78 1.29Generalmente esta proporción se expresa como porcentaje por tantopodemos decir quer² = 88.76%Como conclusión podemos decir que el 88.76% de la variación en elingreso mediano de las ciudades de la muestra está relacionada oexplicada por la variación en el porcentaje de graduados en educaciónSuperior en cada ciudad.
  20. 20. Coeficiente de CorrelaciónEste Coeficiente como ya se dijo mide la fuerza de la relación entre lasvariables. El coeficiente tiene el signo que tiene b y su valor estará El signo menos en el índice significa una relación negativa yun signo más una correlación positiva. El coeficiente se obtiene sacandola raíz cuadrada al coeficiente de determinación y se simboliza con "r".En este caso el coeficiente r tiene signo positivo ya que toma el valor deb obtenido con las ecuaciones normales toma valor positivo.A continuación se da, a modo de orientación, como podrían interpretarselos valores de r (positivo o negativo)0.0 a 0.2 Correlación muy débil, despreciable0.2 a 0.4 Correlación débil. bajo0.4 a 0.7 Correlación moderada0.7 a 0.9 Correlación fuerte, alto, importante0.9 a 1.0 Correlación muy fuerte, muy altoLa correlación entre los valores de dos variables es un hecho. El que loconsideremos satisfactorio o no, depende de la interpretación. Otroproblema que representa la correlación es cuando se pregunta si unavariable, de algún modo causa o determina a la otra.La correlación no implica causalidad. Si las variables X e Y estáncorrelacionadas, esto puede ser porque X causa a Y, o porque Y causa aX o porque alguna otra variable afecta tanto a X como Y, o por unacombinación de todas estas razones; o puede ser que la relación seauna coincidencia.
  21. 21. CORRELACION.Hasta este punto hemos supuesto que la variable de regresiónindependiente x es una variable física o científica pero no una variablealeatoria. De hecho, en este contexto, x a menudo se llama variablematemática, que, en el proceso de muestreo, se mide con un errorinsignificante. En muchas aplicaciones de las técnicas de regresión esmas realista suponer que X y Y son variables aleatorias y que lasmediciones {(Xi, Yi) ; i= 1, 2, ..., n} son observaciones de unapoblación que tiene la función de densidad conjunta f(x, y).Consideremos el problema de medir la relación entre las dos variables Xy Y. Por ejemplo, si X y Y representan la longitud y circunferencia deuna clase particular de hueso en el cuerpo de un adulto, podemosrealizar un estudio antropológico para determinar si los valores grandesde X se asocian con valores grandes de Y, y viceversa. El análisis decorrelación intenta medir la fuerza de tales relaciones entre dosvariables por medio de un solo numero llamado coeficiente decorrelación. Enteoría a menudo se supone que la distribución condicional f(y x) de Y,para valores fijos de X, es normal con una media µy‫ן‬x = + yvarianza ²y‫ן‬x = ² y X también se distribuye con normalmente conµx y varianza ²x. La densidad conjunta de X y Y es entonces:Donde X es ahora una variable aleatoria independiente del erroraleatorio E. Como la media del error aleatorio E es cero, se sigue que:
  22. 22. Al sustituir para y ² en la expresión anterior para f( x, y),obtenemos la distribución normal bivariada:La constante (rho) se llama coeficiente de correlación poblacional yjuega un papel importante en muchos problemas de análisis de datos dedos variables. El valor de es 0 cuando = 0 , que resulta cuando enesencia no hay una regresión lineal; es decir, la línea de regresión eshorizontal y cualquier conocimiento de X no es de utilidad para predecirY. Como debemos tener ²y ², y ² 1 por ello -1 1.Los valores de = 1 solo ocurren cuando ² = 0, en cuyo casotenemos una relación lineal perfecta entre las dos variables. de estamanera un valor de igual a +1 implica una relación lineal perfecta conuna pendiente positiva, mientras que un valor de igual a –1 resultade una relación lineal perfecta con pendiente negativa. Se puede decirentonces que las estimaciones muéstrales de cercanas a la unidad enmagnitud implican una buena correlación o una asociación lineal entre Xy Y, mientras que valores cercanos a cero indican poca o ningunacorrelación.Se debe señalar que en estudios de correlación, como en problemas deregresión lineal, los resultados que se obtienen solo son tan buenoscomo el modelo que se supone. En las técnicas de correlación que aquíse estudian se supone una densidad normal bivariada para las variablesX y Y, con el valor medio de Y en cada valor x linealmente relacionadocon x. Para observar la conveniencia de la suposición de linealidad, a
  23. 23. menudo es útil una graficación preliminar de los datos experimentales.Un valor del coeficiente de correlación muestral cercano a cero resultarade datos que muestren un efecto estrictamente aleatorio como se indicaen la figura a :en donde se puede observar poca o ninguna relación causal. Esimportante recordar que el coeficiente de correlación entre dos variableses una media de su relación lineal, y que un valor de r = 0 implica unafalta de linealidad y no una falta de asociación. Por ello, si existe unafuerte relación cuadrática entre X y Y como se indica en la figura b,podemos aun obtener una correlación cero que indique una relación nolineal. formula del calculo de rÍndice Gini.El Coeficiente de Gini es una medida de la desigualdad ideada porel estadístico italiano Corrado Gini.Normalmente se utiliza para medir la desigualdad en los ingresos, peropuede utilizarse para medir cualquier forma de distribución desigual.El coeficiente de Gini es un número entre 0 y 1, en donde 0 secorresponde con la perfecta igualdad (todos tienen los mismos ingresos)y donde el valor 1 se corresponde con la perfecta desigualdad (unapersona tiene todos los ingresos y los demás ninguno).
  24. 24. El índice de Gini es el coeficiente de Gini expresado en porcentaje, y esigual al coeficiente de Gini multiplicado por 100.Aunque el coeficiente de Gini se utiliza sobre todo para medir ladesigualdad en los ingresos, también puede utilizarse para medir ladesigualdad en la riqueza. Este uso requiere que nadie disponga de unariqueza neta negativa.Mapa esquemático de países según su nivel de igualdad de ingreso, de acuerdo al coeficiente de Gini. < 0,25 0,25 ↔ 0,29 0,30 ↔ 0,34 0,35 ↔ 0,39 0,40 ↔ 0,44 0,45 ↔ 0,49 0,50 ↔ 0,54 0,55 ↔ 0,59 ≥ 0,60 Sin datos
  25. 25. El coeficiente de Gini se calcula como una razón de las áreas en eldiagrama de la curva de Lorenz. Si el área entre la línea de perfectaigualdad y la curva de Lorenz es a, y el área por debajo de la curva deLorenz es b, entonces el coeficiente de Gini es a/(a+b).Esta razón se expresa como porcentaje o como equivalente numérico deese porcentaje, que es siempre un número entre 0 y 1. El coeficientede Gini se calcula a menudo con la Fórmula de Brown, que es máspráctica:Donde: G: Coeficiente de Gini X: Proporción acumulada de la variable población Y: Proporción acumulada de la variable ingresosDe forma resumida, la Curva de Lorenz es una gráfica de concentraciónacumulada de la distribución de la riqueza superpuesta a la curva de ladistribución de frecuencias de los individuos que la poseen, y suexpresión en porcentajes es el índice de Gini.Propiedades: Todas las curvas de Lorenz pasan por los puntos (0,0) y (1,1). Si dos curvas de Lorenz no se cortan fuera de esos dos puntos, es posible comparar la desigualdad que representan sin necesidad de calcular el índice de Gini. En el caso general, un mayor índice de Gini significa una mayor desigualdad. Para determinar el área entre la curva de Lorenz y la línea de perfecta equidad, lo ideal es calcular una integral definida, pero a veces no se conoce la definición explícita de la curva de Lorenz, por lo que es interesante utilizar otras fórmulas con un número finito de sumandos. Las propiedades del índice de Gini son comparables con las del cuadrado del coeficiente de variación.
  26. 26. Ejemplo ilustrado:Se puede encontrar un mapa mundi coloreado según el coeficiente Ginide cada país. Europa es una zona muy buena para vivir, puesto que casitodos los países tienen un índice Gini entre 0,30 y 0,34, aunque haypaíses como Italia y Portugal que están entre 0,35 y 0,39. Algunospaíses (sobretodo los nórdicos) llegan a tener un índice entre 0,25 y0,29.La peor zona del mundo es Sudamérica y África (continente del queapenas hay datos), en los que no es raro ver muchos países entorno a0,50. Esto además está unido a que son economías pobres, yaque no sólo es importante cómo estén distribuidos los ingresos,sino la riqueza del país (por ejemplo, India tiene un índice Giniparecido al de España, pero su PIB per cápita es más bajo, sevive mejor en España).Y por último una mala noticia para todo el mundo: el índice Gini a nivelmundial está aumentando. Cada vez la riqueza se reparte peor.
  27. 27. La curva de Lorenz es una representación gráfica utilizadafrecuentemente para plasmar la distribución relativa de una variable enun dominio determinado. El dominio puede ser el conjunto de hogares opersonas de una región o país, por ejemplo. La variable cuyadistribución se estudia puede ser el ingreso de los hogares o laspersonas. Utilizando como ejemplo estas variables, la curva se trazaríaconsiderando en el eje horizontal el porcentaje acumulado de personasu hogares del dominio en cuestión y en el eje vertical el porcentajeacumulado del ingreso. Su autoría es de Max O. Lorenz en 1905.Cada punto de la curva se lee como porcentaje acumulativo de loshogares o las personas. La curva parte del origen (0,0) y termina en elpunto (100,100). Si el ingreso estuviera distribuido de maneraperfectamente equitativa, la curva coincidiría con la línea de 45 gradosque pasa por el origen (por ejemplo el 30% de los hogares o de lapoblación percibe el 30% del ingreso). Si existiera desigualdad perfecta,o sea, si un hogar o persona poseyera todo el ingreso, la curvacoincidiría con el eje horizontal hasta el punto (100,0) donde saltaría elpunto (100,100). En general la curva se encuentra en una situaciónintermedia entre estos dos extremos. Si una curva de Lorenz se encuentra siempre por encima de otra (y, por lo tanto, está más cerca de la línea de 45 grados) podemos decir sin ambigüedad que la primera exhibe menor desigualdad que la segunda. Esta comparación gráfica entre distribuciones de distintos dominios geográficos o temporales es el principal empleo de las curvas de Lorenz. El indicador gráfico de bienestar más usado es la Curva de Lorenz Generalizada (CLG), que es una derivación de la curvade Lorenz habitual.La CLG sólo se diferencia de la de Lorenz en que en la escala vertical nose representan las cantidades relativas acumuladas sino las cantidades
  28. 28. acumuladas (no relativas) divididas por el número N de elementos de lapoblación. La lógica pretendida es representar qué cantidad absolutacorresponde a cada porcentaje de individuos. Para clarificar esteaspecto, supóngase que la curva de Lorenz normal de una población nosdice que el 50% de los menos ricos poseen el 25% de la riqueza total.Se puede comprender que es muy diferente la situación de bienestar deeste 50% de la población según si la riqueza total es muy pequeña omuy grande. Es obvio que es peor poseer el 50% de una cantidadpequeña que poseer el 25% de una cantidad mucho mayor. El dividir lascantidades acumuladas por el total de elementos N es necesario parapoder comparar riquezas entre poblaciones distintas que tengan unnúmero diferente de elementos: no es lo mismo una riqueza total de1.000.000€ en un conjunto de 10 personas que esa misma riqueza totalen un conjunto formado por 1.000 personas.Ecuación de la curva de LorenzSi se conoce la distribución de la renta como densidad deprobabilidad para cada valor de renta, la curva de Lorentz puedeencontrarse analíticamente en función de esta. La proporción depersonas o unidades familiares con una renta inferior a un nivel derenta r viene dada por:(1)Mientras que la proporción de renta acumulada por las personas conrentas iguales o inferiores a r viene dada por:(2)Donde Rm es la renta media. Las ecuaciones (1) y (2) constituyen juntaslas ecuaciones paramétricas de la curva en función del parámetro r.
  29. 29. PropiedadesLa curva de Lorenz tiene pendiente positiva en todos sus puntos comose deduce de la siguiente relación:(3)En el punto inicial la pendiente será nula (aun en el caso ellímite anterior sigue siendo válido, pero en el resto de puntos seráestrictamente positiva.Además la curva de Lorenz es cóncava ya que su derivada segundasiempre es positiva:(4)Ejemplo 1En esta sección calculamos la curva de Lorenz y el índice de Gini parauna disttibución de renta exponencial. Aunque ésta no parece unadistribución adecuada para la renta nacional de ningún país, la sencillezde las expresiones obtenidas permite entender de modo sencillo laaplicación de las ecuaciones (1) a (4). Para un país con una rentanacional media con una distribución exponencial la densidad deprobabilidad de la distribución será:Esta expresión permite calcular la proporción de personas por debajo deuna cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personasfácilmente:
  30. 30. Despejando de la primera ecuación y substituyendo el resultado en lasegunda se obtiene la curva de Lorenz explícitamente:El índice de Gini se puede calcular simplemente como:Este es el valor exacto. Cuando para calcular este valor en lugar de unadistribución continua se usa un cálculo aproximado por decilas encambio resulta sólo .Ejemplo 2Índice de Gini para diferentes curvas de Lorenz asociadasa distribuciones gamma . El valor de n corresponde a cadadistribución, mientras que el factor está relacionado con la rentamedia y no influye en el índice de Gini.Una aproximación más verosímil para la renta nacional es usar en lugarde una simple distribución exponencial, una distribución gamma:
  31. 31. Donde el parámetro está relacionado con la renta media mediante . Después de una cierta cantidad de álgebra trivial peroengorrosa puede encontrarse que la proporción de personas por debajode una cierta renta y la renta acumulada de ese grupo de personasvienen dadas por:Donde: En este caso no es posible despejar explícitamente de la primera ecuación. Aunque puede calcularse el índice de Gini mediante la expresión (para entero): En este caso el coeficiente de Gini tampoco depende de la renta media. Dado que el índice de Gini de la mayor parte de países está entre 0,50 y 0,25 la distribución gamma anterior puede usarse de manera aproximada para reproducir la distribución real de la renta.
  32. 32. Numeros ÍndiceUn número índice es una medida estadística que permite estudiar lasfluctuaciones o variaciones de una magnitud o de más de una enrelación al tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los querealizan las comparaciones en el tiempo, por lo que, como veremos másadelante, los números índices son en realidad series temporales.AproximaciónLos números índices nacen de la necesidad de conocer en profundidad lamagnitud de un fenómeno y poder realizar comparaciones del mismo endistintos territorios o a lo largo del tiempo. Una forma inicial de resolverel problema es referir cada situación a la anterior, pero esto no haceviable la posibilidad de comparaciones significativas, al menosdirectamente, salvo en lo concerniente a dos de ellas inmediatas. Poresto es más conveniente escoger una situación determinada como puntode referencia inicial, para remitir a ella todas las demás observaciones,esta situación se denomina situación base y las comparaciones que serealizan vienen establecidas a través de un número índice. Los númerosíndices, o simplemente índices, proporcionan comparaciones entre datoscorrespondientes a diferentes situaciones, escalonadas con arreglo aalgún criterio conocido (por ejemplo, por el transcurso del tiempo).Si definimos a como el Número Índice de un determinado valor o bienen el período t, respecto al período base o, entoncesdonde xt representa el valor del bien en el período t y xo el valor delbien en el periodo o.Las comparaciones, en estadística, entre distintas variables o entre losvalores de una sola variable pueden realizarse de distintas formas. Lasformas más simples son las que se llevan a cabo por diferencia oaquellas que se realizan por cociente. Estas últimas tienen la ventajafrente a las primeras que eliminan el problema de las unidades demedida. En cambio el segundo de los procedimientos, aunque no
  33. 33. adolece de ese problema, puede plantear problemas relativos a elegir launidad de referencia para realizar las comparaciones.PropiedadesUno de los problemas de mayor importancia a la hora de elaborar unnúmero índice es el conseguir que éste sea adecuadamenterepresentativo, para ello es preciso que el índice cumpla ciertaspropiedades de carácter matemático y reúna ciertos requisitos en sudefinición: 1. Identidad. Cuando el período base y el de comparación coinciden, el índice debe ser igual a uno. 2. Inversión. Si en un índice se invierten los períodos base y de comparación, el índice toma el valor recíproco al anterior. 3. Circular. Si se multiplica el índice de un período Z con relación a un período Y por el índice de Y con relación a X, el producto ha de ser el índice de Z con relación a X. 4. Existencia. El índice ha de tomar valores reales y finitos para cualquier valor de la variable observada. 5. Proporcionalidad. El índice elaborado sobre unos determinados valores de una variable ha de ser proporcional al índice correspondiente a los valores de esa variable multiplicados por un mismo número K. 6. Variación proporcional. Si los valores de la variable varían en una cierta cuantía, el índice varía proporcionalmente. 7. Inalterabilidad. Si se introduce una nueva modalidad en el índice complejo, de tal manera que el valor de éste coincide con el del índice simple de aquella, el índice complejo no varía. 8. Homogeneidad. El valor de un índice no ha de ser afectado por modificaciones de las unidades de medida.Índices simples y complejosCuando se realiza una comparación entre los valores de una solamagnitud se obtienen índices simples, En cambio, si se trabaja con másde una magnitud a la vez, se habla de de índices complejos. En los doscasos se comparan siempre dos situaciones, una de las cuales seconsidera como referencia. Cuando se trata de comparaciones
  34. 34. temporales, a la situación inicial, se le conoce como periodo base oreferencia, mientras que el periodo objeto de comparación se denominacorriente o actual. Para elaborar un número índice de carácter simple, seasigna al periodo que es objeto de referencia el valor 100, de estamanera los números índices de las distintas observaciones posteriores,no son otra cosa que porcentajes de cada valor con respecto al de lareferencia. Dentro de los índices complejos se distingue entre índicesponderados y no ponderados, según el peso que se le de a los distintosvaloresClases de número índice y formas de cálculoEn economía los índices más utilizados son los que se refieren a precios(índices de precios), cantidades o producción (índices cuánticos) eíndices de valor (cotizaciones bursátiles).Índices de precios. En este caso la magnitud a estudiar será el precio deun bien, un servicio o de un conjunto de ellos.asi tendremos: Índice simple. Será la comparación del precio de un bien(o servicio) endos instantes de tiempo:Índice de Sauerbeck.Es un índice compuesto sin ponderar definido como media aritmética deíndicesSimples:
  35. 35. Índice de Bradstreet-Dudot.Es un índice compuesto sin ponderar definido como media agregativa deíndices simples:Obviamente los índices de precios mas interesantes son los índicescompuestos ponderados ya que reflejan más fielmente la realidadaunque también son más complejos por el problema de elegir los pesoso ponderaciones.Índices compuestos ponderados.Recordemos que los índices simples de precios de un periodo actual trespecto de un periodo base 0 los calculábamos como:Y nuestra expresión general para un índice compuesto ponderado queera:Veamos ahora las ponderaciones propuestas tradicionalmente y losíndices ponderados compuestos a los que dan lugar. Estasponderaciones son fundamentalmente cuatro:A) W i = pi0 qi0, donde pi0 es el precio de la magnitud i en el añobase y qi0 la cantidad consumida en el año base. Es decir consideramoscomo pesos los valores globales de la cantidad consumida en el periodobase a precios de ese periodo.
  36. 36. Utilizando esta ponderación en una media aritmética de índices simples,encontramos:Este es el llamado índice de precios de Laspeyres.Este es uno de los índices mas utilizados (por ejemplo para ladeterminación del i.p.c. En España), teniendo la ventaja de que lasponderaciones se mantienen fijas en todos los periodos, ventaja que asu vez se convierte en inconveniente, ya que al alejarnos del periodobase el índice va perdiendo representatividad.B) la segunda de las ponderaciones consiste en considerar como pesosw i = pit qit, es decir los valores globales de la cantidad consumida enel periodo t a precios de ese periodo. Aquí pit es el precio de lamagnitud i en el periodo actual t y qit la cantidad consumida en elperiodo actual. Esta ponderación no es muy utilizada.C) la tercera de las ponderaciones consiste en considerar como pesos wi = pi0 qit, es decir los valores globales de la cantidad consumida en elperiodo t a precios del periodo base. Aquí pi0 es el precio de lamagnitud i en el periodo base y qit la cantidad consumida en el periodoactual.Considerando estas ponderaciones en nuestra expresión general deíndice ponderado compuesto:100 100
  37. 37. Que es el llamado índice de precios de PaascheEl inconveniente de este índice es que(a diferencia del de Laspeyres) lasponderaciones finales son variables, es decir en cada periodo t, paracalcularlo, es necesaria información no solo de los precios del periodosino también de las cantidades consumidas. Aunque las ponderacionesde este índice son representativas de la estructura del momento actual,también sucede (como al de Laspeyres) que va perdiendorepresentatividad a medida que se efectúan comparaciones masalejadas del año base.D) una cuarta ponderación no utilizada es considerar: w i = pit qi0Aunque no tan utilizados como los de Laspeyres y Paasche, otros dosíndices de precios importantes son los de Edgeworth y Fisher:E) el índice de Edgeworth (Marshall-Edgeworth) es una mediaagregativa ponderada, utilizando los pesos o ponderaciones: w i = qit + qi0 Σ pit ( qi0 + qit) ep = ---------------------- 100 Σ pi0 ( qi0 + qit )Podemos ver que es un índice media agregativa similar al de Bradstreet,pero utilizando los pesos w i = qit + qi0.También podemos verlo como un índice media aritmética ponderada quetoma como pesos las ponderaciones de Laspeyres y Paasche: Σ pit ( pi0 qi0 + pi0 qit ) Σ pit ( qi0 + qit ) pi0 ep = ----------------------------100 =---------------------- 100 Σ ( pi0 qi0+ pi0 qit ) Σ pi0 ( qi0 + qit )
  38. 38. F) Un último índice es el índice de Fisher, que se define como la mediageométrica de los índices de Laspeyres y Paasche: Fp = √ lp ppPara estudiar la idoneidad de estos índices, estudiemos que propiedadesde las deseables verifican:Propiedades verificadas por los índices de Sauerbeck, Bradstreet,Laspeyres, Paasche, Edgeworth y Fisher.Propiedad 1.- existencia e identidad: la verifican todos los índices deprecios definidos.Propiedad 3.- la propiedad de reversión temporal solo la verifican losíndices de Bradstreet, Edgeworth y Fisher. (Si intercambiamos losperiodos base y actual los índices obtenidos son inversos)Propiedad 5.- la homogeneidad no la verifica ninguno de los índicescompuestos estudiados.Propiedad 6.- la proporcionalidad se verifica algebraicamente en todoslos índices compuestos estudiados, pero haremos algunas objeciones detipo económico para los de Paasche, Edgeworth y Fisher. Laproporcionalidad se cumplirá si al variar los precios p en una proporciónfija k el índice varia en la misma proporción:Recordemos que los índices simples de precios de un periodo actual trespecto de un periodo base 0 los calculábamos como: pit ii = ----- 100 pi0Si los precios se incrementan pit + k pitEn nuestra expresión general para un índice compuesto ponderado queera:ncc
  39. 39. Para el índice de Fisher:F´p(t,0) = √ (lp(t,0) + lp(t,0) k ) (pp(t,0) + pp(t,0) k )= √(1+k)2 lp(t,0) pp(t,0) = (1+k) fp(t,0) = fp(t,0) + k fp(t,0)La objeción económica es que aunque algebraicamente esto siempreserá así, en la realidad un incremento de precios llevara aparejadoconsigo (dependiendo de la elasticidad precio de la demanda) unadisminución de las cantidades consumidas, por lo que solo los índices noponderados( S p , B-D p) y los ponderados en los que no aparecen lascantidades consumidas en el periodo actual (Laspeyres) verificaran dehecho esta propiedad.Índices cuánticos o de producciónOtra alternativa de los números índices, es considerar como magnitud aestudiar en lugar de los precios las cantidades físicas. Así surgen losíndices cuánticos o de producción que atenderán a las variacioneshabidas en la producción física de un conjunto de bienes y/o servicios,para medir su evolución en el tiempo, “no considerando el efecto quesobre ello haya podido tener la variación de precios.Solo estudiaremos índices compuestos ponderados, siendo los másutilizados los siguientes:A) índice cuántico de Laspeyres:Σ qit qi0 pi0 Σ qit pi0qi0lq = -------------------- 100 = ------------------ 100Σ pi0 qi0 Σ pi0 qi0B) índice cuántico de PaascheΣ qit pit qio Σ qit pitqi0pq = -------------------- 100 = ------------------ 100Σ pit qi0 Σ pit qi0
  40. 40. C) índice cuántico de Edgeworth.Σ qit ( pi0 qi0 + pit qi0 ) Σ qit ( pi0 + pit ) qi0eq = ---------------------------- 100 = ---------------------- 100Σ ( pi0 qi0+ pit qi0 ) Σ qi0 ( pi0 + pit )D) índice cuántico de Fisher.Fq(t,0) = √ lq(t,0) pq(t,0)6.4.3.- Índices de valorEl valor de un conjunto de bienes y/o servicios, para dos periodos detiempo, el actual t y el base 0, vendrá dado respectivamente por lassiguientes expresiones:vt = Σ v it = Σ p it q it (valor en el periodo actual)V0 = Σ v i0 = Σ p i0 q i0 (valor en el periodo base)Un índice conjunto del valor del periodo actual respecto del periodo baseviene dado por el cociente de las dos expresiones anteriores:vtiv = ------v0Es evidente que en un índice de valor se reflejan conjuntamente lasvariaciones de los precios y las cantidades, ya que la variación entre losvalores es un efecto conjunto de la variación de las cantidades(producidas, consumidas...) Y de la variación de sus precios entreambos periodos.BASE DE UN NUMERO INDICEBASE DE UN NUMERO INDICE.- Al definir un numero índice se hadestacado que se trata de una comparación de dos momentos en eltiempo o dos puntos en el espacio. El momento o punto con respecto alque se establece la comparación recibe el nombre de base y se le asignael valor de 100 para analizar las variaciones porcentuales.Hay que tener siempre presente el objetivo que se persigue con elíndice. En personal se estima que el periodo base debe ser normal, esdecir un periodo durante el cual no existen accidentes o cambioviolentos, cuando en los países en desarrollo los cambio son muy
  41. 41. frecuentes y la anormalidad es un denominador común no se puedetomar como periodo base.Será necesario cambiar la base del índice cuando los supuestosplanteados pierdan validez a medida que pasa el tiempo, es el caso delos índices de costos de vida. Cuya base debe modificarse toda vez quela estructura de consumo presente cambios significativos con respectode la admitida en el periodo base.TIPOS DE BASE.- existen 2 tipos. Base fija y variable.INDICES DE BASE FIJA.- Son aquellas que mantienen como base unperiodo fijo de referencia.INDICES DE BASE VARIABLE.- so aquellos que tienen como base elperiodoinmediatamente anterior. Con un índice de base fija puede calcularse elcorrespondiente de base variable y viceversa.Ejemplo.-Supóngase que el índice de Laspeyres para los precios de los materialesde construcción sea el siguiente:Calculando el índice de base variable será:
  42. 42. EMPALME.- otra operación que es muy usual al respecto de los índicesde base fija es la del empalme, se trata de empalmar índices con basesdistintas.Mediante una sencilla regla de tres puede completarse cualesquiera delas dos series,para el movimiento del índice durante todo el periodo.Este tipo de empalme significa solo una aproximación que puede serdefectuosa.
  43. 43. Indexación y DeflaciónDeflactación.Para poder llegar a conclusiones validas acerca del comportamiento deuna variable que representa “valor”, será necesario expresar los montosmonetarios nominales en unidades homogéneas, esta transformaciónrecibe el nombre de deflactación, y con ella se pretende eliminar,exclusivamente, el efecto de alteración en los precios. Cuando se deseatransformar unidades monetarias heterogéneas (unidades de cadaperiodo), en unidades monetarias homogéneas (unidades del periodobase), y permitir de este modo la comparación en el tiempo, el primerrecurso al cual se apela, es expresar los montos monetarios nominalesen unidades de moneda extranjera de valor más o menos estable,dólares, libras, etc.La mecánica de la deflactación implica dividir los montos monetariosnominales por el índice de precios elegidos como deflactor adecuado, ysu explicación podrá aplicarse en la siguiente regla de tres. Si en el añon se tiene un valor nominal VNn y un índice de precios IPn,¿Cuál sería el valor nominal expresado en unidades monetarias de igualpoder adquisitivo que las del año base? En otros términos. ¿Cual seríaeste valor si el índice de precios no hubiera variado?Por tanto:Desde otro punto de vista, se justifica la deflactación pensando en loscomponentes de un valor: precio por cantidad
  44. 44. Es necesario destacar que un proceso de deflactación conduce a valoresreales que pueden tener dos interpretaciones: una expresión física y unpoder de compra. Una variable monetaria está compuesta por una sumade valores del tipo Pn qn , si esta serie se deflacta por un índice deprecios de los productos considerados en la serie nominal, el resultadoserá una expresión física de la serie nominal, el resultado será unaexpresión física de la serie. En efecto, utilizando un índice deflactor dePasche, se tiene:El resultado es evidente un quantum, es decir, cantidades del periodo n,valorizados a precios del periodo base. Si se hubiera deflactado por uníndice de Laspeyres, de tendrá:Resultado que equivale a proyectar un valor en el periodo base, a travésde un índice de cantidades de Pasche.
  45. 45. Cambio de la base En la práctica es deseable que el período base elegido para lacomparación sea un período de estabilidad económico no muy alejadoen el pasado. De cuando en cuando puede ser necesario, por tanto,cambiar el período base. Una posibilidad es recalcular todos los números índice en términosdel nuevo período base. Un método aproximado más simple consiste endividir todos los números índice para los diversos años correspondientesal período base antiguo por los números índice para los diversos añoscorrespondientes al nuevo período base, expresando los resultadoscomo porcentajes. Estos resultados representan los nuevos númerosíndice, siendo el número índice para el nuevo período base 100 (%),como debe ser. Matemáticamente hablando, este método es estrictamenteaplicable solo si los números índices satisfacen el criterio circular. Sinembargo, para muchos tipos de índices el método, afortunadamente, daresultados que en la práctica son suficientemente próximos a los que setendrían teóricamente.
  46. 46. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICASBENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades paraProducir Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario Ed.Graficolor, Ibarra, Ecuador.DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con MicrosoftExcel, Grupo Editorial Megabyte,Lima, Perú.SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje Holístico de Matemática,Ed. Gráficas Planeta,Casuso, Rafael L. "Cálculo de probabilidades e inferencia estadística",UCAB. Caracas. 1996.Mendenhall, Schaeffer y Wackely. "Estadística matemática conaplicaciones", Edit. Iberoamérica. México. 1986.Mendelhall, William y Sincich. "Probabilidad y estadística para ingenieríay ciencias", Edit. Prentice may. México. 1997.Miller, Irwin y otros. "Probabilidad y estadísticas para ingenieros", Edit.Prentice may. 4ta edición. México. 1992.Ross, Sheldon. "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias",Edit. Mc Graw Hill. México. 2001.WALPOLE, Myers y Myers (1998), "Probabilidad y Estadística paraIngenieros", Edit. Prentice Hall, México.

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