O documento discute intervalos numéricos, incluindo sua representação gráfica na reta real, notação com colchetes e conjuntos, e tipos como intervalos abertos, fechados, infinitos ou limitados. Exemplos e exercícios ilustram esses conceitos.

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Intervalos numéricos.
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Intervalos numéricos:
Podemos associar o conjunto dos números reais a
uma reta e cada um dos seus infinitos pontos a um
número real. Se quisermos expressar um
subconjunto dos reais é comum utilizarmos parte
dessa reta. Observe o exemplo:
Representar todos os números reais entre 3 e 5:
O primeiro passo é representar a reta real. Observe
que ela tem setas nas extremidades. Isso se deve
ao fato que o conjunto dos reais é infinito.
Agora devemos representar os números 3 e 5 na
reta dos reais através de pontos em cima da reta. O
menor número, no caso o número 3 deve ser
posicionado à esquerda e o número 5 à direita.
Por último devemos ressaltar a parte da reta que
compreende o intervalo, isto é, o intervalo da reta
entre 3 e 5. Nesse exemplo os números 3 e 5
inteiros fazem parte do intervalo.
Caso os extremos do intervalo não façam parte do
mesmo, isto é, fazem parte do intervalo todos os
números entre 3 e 5, excluindo os inteiros 3 e 5,
devemos representar os pontos sem
preenchimento. Nesse caso dizemos que o
intervalo é aberto.
Z  I = R
Existem outras duas maneiras de expressar um
intervalo numérico, através de colchetes e
parênteses e também pela notação de conjuntos
representando uma desigualdade entre chaves.
Para o nosso primeiro exemplo, onde expressamos
o intervalo compreendido entre 3 e 5 na reta real,
podemos expressar o mesmo intervalo por
colchetes com os dois extremos entre eles
separados por vírgula.
Na notação de conjuntos devemos expressar o
intervalo como se segue, lendo da seguinte forma:
x pertencente aos reais tal que 3 seja menor ou
igual a x que é menor ou igual a 5.
Caso os extremos não façam parte do intervalo, os
colchetes devem estar virados para fora. Os
parênteses também são utilizados quando os
extremos não fazem parte do intervalo. Na
notação de conjuntos devemos expressar apenas o
símbolo de menor.

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Um intervalo pode ser aberto à direita e fechado à
esquerda ou fechado à direita e aberto à esquerda.
Todos os intervalos que vimos até agora são
intervalos imitados por dois extremos. Porém
existem intervalos ilimitados. Para expressar esses
intervalos utilizamos o símbolo de infinito ().
Exemplo:
Devemos expressar todos os números reais
maiores que 5. Então:
Note que o símbolo de infinito é representado
juntamente com o sinal positivo, pois o intervalo é
ilimitado para o lado positivo. O colchete do lado
infinito sempre deve ser aberto podendo-se utilizar
parênteses também.
Na notação de conjuntos devemos expressar o
intervalo infinito com apenas com um sinal de
desigualdade. No exemplo anterior lê-se da
seguinte forma: x pertencente aos reais tal que x3
seja maior ou igual a 5.
Caso desejarmos expressar todos os números
menores que 5 o procedimento é muito
semelhante ao anterior. Observe:

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EXERCÍCIOS:
5.1 Represente graficamente na reta real os
seguintes intervalos:
a) { x IR / -1 < x < 3}
b) ] - , 2]
c) 






2
1
3,
d) { x  IR / x  6}
e) { x  IR / 2  x < 7}
f) ( 55, )
g) {x  IR / x < -4}
h) [ 0, 6)
5.2 Represente os intervalos entre colchetes e pela
notação de conjuntos:
5.3 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada
uma das seguintes afirmações:
a) 2  [2, 6]
b) -1  (-5, -1)
c) 0  {x  IR / -1 < x < 1 }
d) 3  {x  IR / 3 < x < 4 }
e) { 2, 5 }  [ 0 , +[
f) [0, 2] = {x  IR / 0  x  2 }
g) -3  ( - , -1]
h) ( 1 + 2 )  {x  IR / 0  x  1 }
5.4 Dados A = {x  IR / -1 < x < 1 } e B = [0, 5[,
determine:
a) A  B
b) A  B
c) A – B
d) B – A
e) C
A
B
5.5 Dados os conjuntos A = [2, 4] e B = [3, 6] :
a) A  B
b) A  B
c) A – B
d) B – A
e) C
A
B

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5.6 Dados A = {x  IR / x < 4} e B = {x  IR / x < 1}:
a) B  A
b) A  B
c) C
A
B
d) C
B
A
5.7 Dados os conjuntos A = (-2, 1) e B = [-3, 0] :
a) A
b) B
c) BA 
d) A B
5.8 Dados os conjuntos A = ]-, 3] e B = ]2, 5]:
a) A
b) B
c) C
)BA(
A

d) B - A
5.9 Dados os conjuntos A = ]-5, 2], B = [-6, 6] e
C = ]-, 2] calcule:
a) A  B  C
b) A  B  C
c) (A  B)  C
d) A  (B  C)
5.10 Dados os conjuntos A = [-1, 4[, B = [1, 5]
C = [2, 4] e D = ]1, 3], verifique se 1 pertence ao
conjuntos (A  B ) – (C  D).
GABARITO:
5.1
5.2
a) [-4, 2]
{ x  IR / -4  x  2 }
b) [5, +[
{ x  IR / x  5 }
c) ]-3, 3[
{ x  IR / -3 < x < 3 }
d) ]0, 2[
{ x  IR / 0 < x < 2 }

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e) [-4, 2]
{ x  IR / -4  x  2 }
f) ] -, 1]
{ x  IR / x  1 }
g) [0, + [
{ x  IR / x  0 }
5.3
a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
f) V
g) V
h) F
5.4
a) [0, 1 [
b) ] -1, 5 [
c) ]-1, 0 [
d) [1, 5 [
e) Não existe pois A B
5.5
a) [3, 4]
b) [2, 6]
c) [2, 3 [
d) ]4, 6]
e) Não existe pois A B
5.6
a) ] -, 1 [
b) ] -, 4 [
c) [1, 4 [
d) Não existe pois B A
5.7
a) ] -, -2 ]  [ 1 , +[
b) ] -, -3 [ ] 0, +[
c) ] -, -2 ]  [ 0, +[
d) ] -, -2 ]  [ 0, +[
5.8
a) ] 3, +[
b) ] -, 2 ]  ] 5, +[
c) ] -, 2 ]
d) ] -, 2]
5.9
a) ] -, 6]
b) ] -5, 2]
c) [-6, 2 ]
d) ] -5, 2]
5.10
(A  B ) – (C  D) = [1, 2[ e ]3, 4[
Portanto 1  (A  B ) – (C  D)