1. COLEGIO INTEGRADO DE
FONTIBÓN

2. La trigonometría resuelve el siguiente
problema: conocidos algunas de las
componentes de un triángulo, determinar
las restantes
La geometría (teórica) nos dice cuándo
ciertos datos determinan que salvo por
posición un triángulo de lados dados, la
trigonometría (práctica) nos dice cómo
calcular los restantes.

3. Comencemos con triángulos rectángulos.
Si conocemos dos de los lados
del triángulo, como el Teorema
de Pitágoras afirma que
c
b
a2 + b2 = c2,
a conocemos el tercer lado.
Eso sí, debemos saber si los
lados que conocemos son catetos
o la hipotenusa.

4. Resolución de triángulos rectángulos.
Pero no tenemos ninguna información acerca de los
ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este
problema.
Dividimos los catetos en r partes iguales, y
formamos una retícula. Los catetos de los
triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y
su hipotenusa será, por el Teorema de
Pitágoras igual a c/r.
NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los
puntos de la retícula. Los triángulo de las
esquinas tienen los mismos ángulos.

5. Problema
¿ Cuál será la altura
del árbol que
proyecta una
sombra de 4 m si
se encuentra al
lado de Alberto
que mide 1.75 m y
proyecta una
sombra de 3.5 m ?

6. Sigamos con el problema de encontrar los
ángulos en triángulos rectángulos.
Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que
representen a cada triángulo rectángulo.
Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

7. Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria
c
b 1
b/c
de pasamos a 1
a a/c
a 2 + b 2 = c2 (a/c)2 + (b/c)2 = 1

8. 
cuerda 
En un comienzo, a cada ángulo se
asoció la cuerda subtendida por él
en una circunferencia de radio fijo.

9. Razonando con la figura al
/2 lado se muestra que
/2
cuerda  
 sen
2 2

10. Para conseguir nuevos valores se
usa la identidad
sen 

1 cos  
2 sen2
 1  cos 
2
y se obtienen tablas de cuerdas que
van de 5o en 5o.

11. ángulo cuerda seno coseno tangente
3 1/2
60o 1 3
2
3 1
30o 2 3 1/2
2 3
15o 2 3 2 3 1
2 2 2 2 3
2 2
45o ? 1
2 2

12. La figura muestra las funciones trigonométricas
asociadas a un ángulo agudo  ubicado en una
circunferencia
 sen 
coseno
cosecante  cos 
seno
tan 

secante cotan 
sec 
cosec 

13. cateto opuesto a
sen   
hipotenusa c
c 1
a/c

a b/c

b

14. cateto adyacente b
cos   
hipotenusa c
c 1
a/c

a b/c

b

15. cateto opuesto a cateto adyacente b
tan    cotan   
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c

a b/c

b

16. hipotenusa c hipotenusa c
sec    cosec   
cateto adyacente b cateto opuesto a
c 1
a/c

a b/c

b

17. cos  = 1 - sen 2 
tan  =
cotan  =
sec  =
cosec  =

18. La identidad fundamental
es consecuencia del
1 Teorema de Pitágoras
sen 

cos 
sen   cos   1
2 2

19. Si  es el ángulo complementario
de  , hay un triángulo rectángulo
1  que los tiene como ángulos agudos
sen 
 y se tiene que
cos 

sen   cos   cos 90   

cos   sen   sen 90 


20. En una diapositiva anterior
demostramos que
1
 
2sen 2
 1  cos 
2
o bien, tomando   2
cos 2  1  2sen  2

21. P Para calcular el seno (o el
coseno) de un ángulo agudo  ,
colocamos un triángulo

rectángulo como en la figura.
El seno (o coseno) del ángulo es
la ordenada (o la abscisa) del
P
punto de intersección de la
hipotenusa con el círculo.
Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta
con tener la recta que une P con el origen.