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Ecuaciones diferenciales exactasSi la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, entonces pordefinición hay una funci...
EJEMPLO ILUSTRATIVO ECUACIONES EXACTASResuelva:                    2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0.Solución :Aqui :Y la ecuaci...
Ecuaciones diferenciales exactas por factor                      integranteSi la ecuación M dx + N dy = 0 es exacta, esto ...
Entonces:(1/y)(3x´2ydx + ydy=0)3x´2dx + dy=0Al resolver tenemos que M=NPor tanto:F(x,y)= I3x´2dx +I(1-derivada parcial de:...
Ejemplo ilustrativo linealesResuelva:            x y´ + (3x+1) y = ´-3xp(x)= 3+ (1/x)Q(x)=x´-1 ´-3x          ´(3+1/x)dx = ...
Ecuaciones diferenciales de BernoulliSon ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se caracterizanpor tener...
Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial puedencalcularse utilizando la expresión:CASO PARTICULAR:...
Ahora efectuemos la transformación            . Puesto que              , laecuación se transforma en:Simplificando obtene...
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Ecuaciones diferenciales blog 2

  1. 1. ALEXANDRE ROSALES FLORES10310375DOCUMENTO EN WORD, 3 ECUACIONES SIGUIENTESME Ing. CÉSAR OCTAVIO MARTINEZ PADILLAECUACIONES DIFERENCIALESB:212
  2. 2. Ecuaciones diferenciales exactasSi la ecuación diferencial M dx + N dy = 0 es exacta, entonces pordefinición hay una función U(x, y) tal que: (1)Pero, del cálculo elemental (2)y así, al comparar (1) y (2), vemos que (3)Diferenciando la primera de las ecuaciones (3) con respecto a y y lasegunda con respecto a x, encontramos* (4)Bajo condiciones apropiadas, el orden de la diferenciación esindiferente, así que la ecuación (4) lleva a la condición (5)Esto es una condicion necesaria para la exactitud; esto es, si laecuación diferencial es exacta. El teorema recíproco establece quesi (5) se cumple, entonces M dx + Ndy es una diferencial exacta.Para ilustrar el teorema, considere la ecuación, esto es:(2xy + 3X2)dX + x2 dy = 0Así, por la parte de suficiencia del teorema, se nos garantiza unafunción U tal que:(2xy + 3x2)dx + x2 dy = dU (6)
  3. 3. EJEMPLO ILUSTRATIVO ECUACIONES EXACTASResuelva: 2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0.Solución :Aqui :Y la ecuación es exacta. Así U existe tal que:Integrando la primera ecuación con respecto a x da U=.x” y + f(v).Sustituyendo en la segunda ecuación de, encontramos: x2 + y(y) = x2 + cos y, f’(Y) = cos Y, -OY) = sen yDe donde, U= x2 y + sen y y la solución general requerida es: x2 y + sen y = c
  4. 4. Ecuaciones diferenciales exactas por factor integranteSi la ecuación M dx + N dy = 0 es exacta, esto es, si:Entonces la ecuación se puede resolver por los métodos de lasección anterior.En caso de que la ecuación no sea exacta, es posible que laecuación la podamos hacer exacta al multiplicarla por un factorintegrante apropiado u, de modo que la ecuación resultante:será exacta, esto es: EJEMPLO ILUSTRATIVO FACTOR INTEGRANTEResuelva: 3x´2ydx + ydy=0Solución:M(3x´2)= 3x´2N(y)=0Tenemos:M distinto de NP(y)=0-3x´2/3x´2y =-1/yEl factor integrante es:1/y
  5. 5. Entonces:(1/y)(3x´2ydx + ydy=0)3x´2dx + dy=0Al resolver tenemos que M=NPor tanto:F(x,y)= I3x´2dx +I(1-derivada parcial de: I(3x´2dx))dy =x´3 + I(1-derivada parcial de: (x3))dy =x´3 + Idy= x´3 + y + c Ecuaciones diferenciales linealesForma ordinaria:Cuando Q(x) es 0 la ecuación es homogénea y se resuelve por variablesseparables.Cuando Q(x) es distinto de 0, la ecuación no es homogénea y se puederesolver por factor integrante o por variación de parámetrosPara obtener el factor integrante:Con lo cual se procederá a realizar la solución general: .
  6. 6. Ejemplo ilustrativo linealesResuelva: x y´ + (3x+1) y = ´-3xp(x)= 3+ (1/x)Q(x)=x´-1 ´-3x ´(3+1/x)dx = ´3x + ln x = ´3x * ´ln x = ´3x *xAplicando la forma de la solución general, tenemos:y= 1/(x ´3x) x ´3x (x´-1 ´-3x) dxy= 1/(x ´3x) dxy= 1/(x ´3x)(x + c)
  7. 7. Ecuaciones diferenciales de BernoulliSon ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que se caracterizanpor tener la forma:donde P y Q son funciones de x y la potencia es una constante.CASO GENERAL:Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide laecuación por yα se obtiene:Definiendo:lleva inmediatamente a las relaciones:Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuacióndiferencial lineal obteniendo como resultado:Donde es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
  8. 8. Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial puedencalcularse utilizando la expresión:CASO PARTICULAR: α = 0En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuyasolución viene dada por:CASO PARTICULAR: α = 1En este caso la solución viene dada por: Ejemplo ilustrativo BernoulliResuelva la ecuación:Solución:Ésta es una ecuación de Bernoulli con , yPara resolverla primero dividamos por
  9. 9. Ahora efectuemos la transformación . Puesto que , laecuación se transforma en:Simplificando obtenemos la ecuación lineal:Cuya solución es:y al sustituir se obtiene la solución de la ecuación originalObservación: en esta solución no está incluida la solución , que seperdió durante el proceso de dividir por . Es decir, se trata de una soluciónsingular.

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