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Modelización de
                                                                Sistemas Mecánicos
                                                                  Alfonso Cubillos V




Capitulo 1
Modelización de Sistemas
                                                                Introducción

Mecánicos                                                       Segunda Ley de
                                                                Newton

usando Ecuaciones Diferenciales                                 Resorte
                                                                Amortiguadores

                                                                Método de Lagrange
Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales




                                           Alfonso Cubillos V
                                  Programa de Ing. Mecánica
                                       Universidad de Ibagué
                                                                                 1.1
Modelización de
¿Qué se puede hacer con las Ecuaciones Diferenciales ?        Sistemas Mecánicos
                                                                Alfonso Cubillos V


 Prácticamente todos los sistemas físicos se pueden modelar
 por medio de Ecuaciones Diferenciales

 ¿Qué sistemas se pueden
 modelar por medio de
 Ecuaciones Diferenciales?                                    Introducción

                                                              Segunda Ley de
   • Mecánicos                                                Newton
                                                              Resorte

   • Vibraciones              Esto ha permitido realizar      Amortiguadores

                                                              Método de Lagrange
                              analogías, soluciones
   • Térmicos
                              generales, modelar sistemas
   • Hidráulicos
                              complejos o mixtos, y mucho
   • Eléctricos               más !!!
   • Magnéticos
   • Poblacionales
   • Económicos
   • Espaciales


                                                                               1.2
Modelización de
Sistemas Mixtos               Sistemas Mecánicos
                                Alfonso Cubillos V




                              Introducción

                              Segunda Ley de
                              Newton
                              Resorte
                              Amortiguadores

                              Método de Lagrange




   Sistema Electro-Mecánico


                                               1.3
Modelización de
Sistemas Mixtos           Sistemas Mecánicos
                            Alfonso Cubillos V




                          Introducción

                          Segunda Ley de
                          Newton
                          Resorte
                          Amortiguadores

                          Método de Lagrange




                                           1.4
 Sistema Servo-Mecánico
Modelización de
Algunos datos sobre las Ecuaciones Diferenciales             Sistemas Mecánicos
                                                               Alfonso Cubillos V




 Qué tipo de ecuaciones Diferenciales se pueden encontrar?

   • Según Tipo : Ordinarias y Parciales
   • Según el Orden : Primer, Segundo u Orden Superior
                                                             Introducción
   • Según Linealidad : Lineales y No Lineales
                                                             Segunda Ley de
                                                             Newton
   • Según Coeficientes : Constantes y Variables              Resorte
                                                             Amortiguadores

                                                             Método de Lagrange

 Qué métodos se pueden usar para solucionarlas?

   • Métodos Clásicos Analíticos
   • Aplicando la Transformada de Laplace y obteniendo la
     Función de Transferencia
   • Métodos Aproximados Simulación Digital
   • Elementos Finitos



                                                                              1.5
Modelización de
Segunda Ley de Newton                                      Sistemas Mecánicos
                                                             Alfonso Cubillos V



                                  Descomposición Escalar

  Para sistemas
                                            Fx = m ax
  Traslacionales

                                            Fy = m a y     Introducción
            F=ma                                           Segunda Ley de
                                                           Newton
                                            Fz = m az      Resorte
                                                           Amortiguadores

                                                           Método de Lagrange


 Para sistemas Rotacionales


                   Mx = Ix αx − (Iy − Iz ) wy wz

                   My = Iy αy − (Iz − Ix ) wz wx

                   Mz = Iz αz − (Ix − Iy ) wx wy


                                                                            1.6
Modelización de
Resortes                                                         Sistemas Mecánicos
                                                                   Alfonso Cubillos V

  • Se utilizan para almacenar energía
  • Se caracterizan por su respuesta estática a las cargas
    aplicadas
  • El comportamiento del resorte puede ser lineal o no lineal
  • La fuerza de un resorte depende del desplazamiento           Introducción

    relativo de sus extremos                                     Segunda Ley de
                                                                 Newton
                                                                 Resorte
                                                                 Amortiguadores

                                                                 Método de Lagrange




                                                                                  1.7
Modelización de
Tipos de Resortes                             Sistemas Mecánicos
                                                Alfonso Cubillos V
   Resorte Lineal
   Traslacional


        F = k (x2 − x1 )

                                              Introducción
 Resorte Lineal Rotacional
                                              Segunda Ley de
                                              Newton
                                              Resorte

                           T = k (θ2 − θ1 )   Amortiguadores

                                              Método de Lagrange




                                                               1.8
Modelización de
Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos   Sistemas Mecánicos

Estructurales                                       Alfonso Cubillos V



   Tracción Pura

             EA
        k=
              L
                                                  Introducción

 Torsión Pura                                     Segunda Ley de
                                                  Newton
                                                  Resorte
                                                  Amortiguadores
                           G Ixx
                        k=                        Método de Lagrange
                            L




                                                                   1.9
Modelización de
Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos   Sistemas Mecánicos

Estructurales                                       Alfonso Cubillos V


 Flexión Pura
 Depende del tipo de carga


                                                  Introducción

                                                  Segunda Ley de
                                                  Newton
                                                  Resorte
                                                  Amortiguadores

                                                  Método de Lagrange




                                                                   1.10
Modelización de
Amortiguadores                                                 Sistemas Mecánicos
                                                                 Alfonso Cubillos V




                                                               Introducción

                                                               Segunda Ley de
                                                               Newton
                                                               Resorte
                                                               Amortiguadores

                                                               Método de Lagrange
                            Amortiguador Lineal Traslacional


                                       F = b (x˙2 − x˙1 )


   Amortiguador Lineal
   Rotacional


       T = b (θ˙2 − θ˙1 )
                                                                                1.11
Modelización de
Ecuaciones de Lagrange                                          Sistemas Mecánicos
                                                                  Alfonso Cubillos V
 Para desarrollar el método de Newton, normalmente es
 necesario separar los cuerpos y realizar los diagramas de
 cuerpo libre de cada uno de ellos. Sin embargo, se presentan
 casos donde no es necesario conocer las fuerzas entre los
 diferentes elementos. Lagrange (Matemático Frances, 1736 -
 1813) demostró que una consideración energética permite
                                                                Introducción
 resolver el problema.                                          Segunda Ley de
                                                                Newton
   • Seleccionar un número mínimo de coordenadas                Resorte
                                                                Amortiguadores
     independientes necesarias para describir la posición del
                                                                Método de Lagrange
     sistema
   • Cada una de estas coordenadas se denomina qi , y como
     Qi las cargas en cada coordenada
   • Se selecciona un sistema de referencia y se expresa la
     Energía Potencial la cual incluye a los resortes y el
     cambio en la altura de la masa.
                                    Ug = W · g
                   U = f1 (qi ) ⇒        1
                                    Ue = 2 K · s2
                                                                                 1.12
Modelización de
Ecuaciones de Lagrange                                           Sistemas Mecánicos
                                                                   Alfonso Cubillos V
  • La energía cinética T es función de la masa, inercia,
    velocidad lineal y angular.
                                             1
                                        Tt = 2 m x 2
                                                 ˙
                      T = f2 (q 2 ) ⇒
                              ˙
                                                     ˙
                                               1
                                                   I θ2
                                        Ta =   2
                                                                 Introducción
  • Las pérdidas por fricción de los dispositivos se describen
                                                                 Segunda Ley de
    como energía de disipación y esta depende de la              Newton
                                                                 Resorte
    velocidad del sistema y del coeficiente de                    Amortiguadores

    Amortiguamiento                                              Método de Lagrange


                                             1
                      R = f3 (q 2 ) ⇒ R =      b x2
                              ˙                  ˙
                                             2
  • La fuerzas se concideran como Qi asociadas con cada
    coordenada.
  • Usando el principio de d’Alembert, se puede obtener la
    ecuación de movimiento para cada coordenada utilizando
                 d     δT         δT    δR     δU
                              −                    = Qi
                                      +      +
                         ˙                ˙
                 dt    δ qi             δ qi
                                  δqi          δqi
                                                                                  1.13

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Cap1 Modelizacion

  • 1. Modelización de Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Capitulo 1 Modelización de Sistemas Introducción Mecánicos Segunda Ley de Newton usando Ecuaciones Diferenciales Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales Alfonso Cubillos V Programa de Ing. Mecánica Universidad de Ibagué 1.1
  • 2. Modelización de ¿Qué se puede hacer con las Ecuaciones Diferenciales ? Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Prácticamente todos los sistemas físicos se pueden modelar por medio de Ecuaciones Diferenciales ¿Qué sistemas se pueden modelar por medio de Ecuaciones Diferenciales? Introducción Segunda Ley de • Mecánicos Newton Resorte • Vibraciones Esto ha permitido realizar Amortiguadores Método de Lagrange analogías, soluciones • Térmicos generales, modelar sistemas • Hidráulicos complejos o mixtos, y mucho • Eléctricos más !!! • Magnéticos • Poblacionales • Económicos • Espaciales 1.2
  • 3. Modelización de Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Sistema Electro-Mecánico 1.3
  • 4. Modelización de Sistemas Mixtos Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.4 Sistema Servo-Mecánico
  • 5. Modelización de Algunos datos sobre las Ecuaciones Diferenciales Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Qué tipo de ecuaciones Diferenciales se pueden encontrar? • Según Tipo : Ordinarias y Parciales • Según el Orden : Primer, Segundo u Orden Superior Introducción • Según Linealidad : Lineales y No Lineales Segunda Ley de Newton • Según Coeficientes : Constantes y Variables Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Qué métodos se pueden usar para solucionarlas? • Métodos Clásicos Analíticos • Aplicando la Transformada de Laplace y obteniendo la Función de Transferencia • Métodos Aproximados Simulación Digital • Elementos Finitos 1.5
  • 6. Modelización de Segunda Ley de Newton Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Descomposición Escalar Para sistemas Fx = m ax Traslacionales Fy = m a y Introducción F=ma Segunda Ley de Newton Fz = m az Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Para sistemas Rotacionales Mx = Ix αx − (Iy − Iz ) wy wz My = Iy αy − (Iz − Ix ) wz wx Mz = Iz αz − (Ix − Iy ) wx wy 1.6
  • 7. Modelización de Resortes Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V • Se utilizan para almacenar energía • Se caracterizan por su respuesta estática a las cargas aplicadas • El comportamiento del resorte puede ser lineal o no lineal • La fuerza de un resorte depende del desplazamiento Introducción relativo de sus extremos Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.7
  • 8. Modelización de Tipos de Resortes Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Resorte Lineal Traslacional F = k (x2 − x1 ) Introducción Resorte Lineal Rotacional Segunda Ley de Newton Resorte T = k (θ2 − θ1 ) Amortiguadores Método de Lagrange 1.8
  • 9. Modelización de Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos Estructurales Alfonso Cubillos V Tracción Pura EA k= L Introducción Torsión Pura Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores G Ixx k= Método de Lagrange L 1.9
  • 10. Modelización de Constante de Elasticidad o Rigidez de elementos Sistemas Mecánicos Estructurales Alfonso Cubillos V Flexión Pura Depende del tipo de carga Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange 1.10
  • 11. Modelización de Amortiguadores Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Introducción Segunda Ley de Newton Resorte Amortiguadores Método de Lagrange Amortiguador Lineal Traslacional F = b (x˙2 − x˙1 ) Amortiguador Lineal Rotacional T = b (θ˙2 − θ˙1 ) 1.11
  • 12. Modelización de Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V Para desarrollar el método de Newton, normalmente es necesario separar los cuerpos y realizar los diagramas de cuerpo libre de cada uno de ellos. Sin embargo, se presentan casos donde no es necesario conocer las fuerzas entre los diferentes elementos. Lagrange (Matemático Frances, 1736 - 1813) demostró que una consideración energética permite Introducción resolver el problema. Segunda Ley de Newton • Seleccionar un número mínimo de coordenadas Resorte Amortiguadores independientes necesarias para describir la posición del Método de Lagrange sistema • Cada una de estas coordenadas se denomina qi , y como Qi las cargas en cada coordenada • Se selecciona un sistema de referencia y se expresa la Energía Potencial la cual incluye a los resortes y el cambio en la altura de la masa. Ug = W · g U = f1 (qi ) ⇒ 1 Ue = 2 K · s2 1.12
  • 13. Modelización de Ecuaciones de Lagrange Sistemas Mecánicos Alfonso Cubillos V • La energía cinética T es función de la masa, inercia, velocidad lineal y angular. 1 Tt = 2 m x 2 ˙ T = f2 (q 2 ) ⇒ ˙ ˙ 1 I θ2 Ta = 2 Introducción • Las pérdidas por fricción de los dispositivos se describen Segunda Ley de como energía de disipación y esta depende de la Newton Resorte velocidad del sistema y del coeficiente de Amortiguadores Amortiguamiento Método de Lagrange 1 R = f3 (q 2 ) ⇒ R = b x2 ˙ ˙ 2 • La fuerzas se concideran como Qi asociadas con cada coordenada. • Usando el principio de d’Alembert, se puede obtener la ecuación de movimiento para cada coordenada utilizando d δT δT δR δU − = Qi + + ˙ ˙ dt δ qi δ qi δqi δqi 1.13