Geometria Descritiva I Destinada a alunos de Arquitetura e Engenharia

1. GEOMETRIA
DESCRITIVA I
Alfredo Coelho
Itabuna BA 2011
Atualização agosto de 2012

2. PRELIMINARES
DEFINIÇÃO:
A Descritiva é um ramo da geometria que tem como objetivo
representar objetos de três dimensões em um plano horizontal único.
Esse método de reprentção deve-se ao sábio teórico da Geometria
Analítica e desenhista francês Gaspard Monge (1746 a 1818), um dos
fundadores da Escola Politécnica Francesa. Monge foi também uma
grande figura política do final do século XVIII e início do século XIX.
Por todos os seus feitos, ele pode ser considerado o pai da Geometria
Gaspar Monge (1746 a 1818) Diferencial de curvas e superfícies do espaço, e é por este motivo que a
geometria descritiva é chamada de Geometria Mongeana ou Método de
Monge.
PROJEÇÕES:
Se entre um observador e uma parede for colocada
uma caixa, quando o observador olha para a parede,
justamente na direção em que a caixa se encontra, ele
não vê a região da parede que fica encoberta pela
caixa. Isto acontece porque os raios luminosos que são
refletidos pela parede, nesta região, não chegam ao
olho do observador, pois são empedidos pela caixa. O
observador vê a caixa projetada sobre a parede. Na
figura é a área escura (Área encoberta pela caixa) que
indica a projeção da caixa sobre a parede.
PROJEÇÃO DO PONTO:
Agora vamos voltar nossa atenção para o desenho abaixo:
Consideremos o plano π de projeções, a reta r, o ponto P e a sua
projeção P1, sobre o plano π... Temos:
a. A reta r que passa pelos pontos P e P1 é a reta chamada de reta
projetante do ponto P ou simplesmente projetante;
b. P1 projeção do ponto P sobre o plano π, é o local onde a reta
projetante fura (intercepta) o plano de projeções.
TIPOS DE PROJEÇÕES:
Dependendo da posição do observador podemos considerar dois tipos de projeções: cônicas e
cilíndricas.
As projeções são ditas Cônicas quando as projetantes são oblíquas ao plano de projeções e
passam por um ponto fixo O, e Paralelas ou Cilíndricas quando as projetantes são
perpendiculares ao plano de projeções e paralelas entre si.
Fazendo uma analogia entre as projetantes e os raios luminosos emitidos por uma fonte de luz, as
projeções Cônicas seriam relacionadas com uma fonte luminosa colocada numa posição finita,
próxima ao plano de projeções (Ex. A lâmpada de uma sala). Já as projeções Cilíndricas seriam
2

3. comparadas com uma fonte de luz situada no infinito, muito distante do plano de projeções (Ex.
O Sol que se comporta como o desenho da direita no quadro acima).
PLANOS DE PROJEÇÕES:
São três os planos de projeções, os quais
determinam no espaço Quatro Triedros
(ângulos determinados por três planos
concorrentes), orientados no sentido antihorário.
Plano Horizontal detentor das projeções
superiores.
Plano Vertical , plano das projeções frontais.
Plano de Perfil , plano das projeções laterais
ou de perfil.
DIEDROS:
Inicialmente a geomatria descritiva não trabalha
com os triedros, somente com os diedros que são
ângulos formados por dois planos:
Neste caso o Plano Horizontal de Projeções e o
Plano Vertical de Projeções.
A intersecção entre os dois planos determinam
uma linha horizontal que é chamada de Linha
de Terra (LT) a qual divide os planos
formando quatro semiplanos e
consequentemente quadro diedros:
Os semiplanos:
PVS – Plano Vertical Superior
PVI – Plano Vertical Inferior
PHA – Plano Horizontal Anterior
PHP – Plano Horizontal Posterior
Os diédros:
I Diedro – formado pelos semiplanos PHA e
PVS
II Diedro – formado pelos semiplanos PVS e PHP
III Diedro – formado pelos semiplanos PHP e o PVI
IV Diedro – formado pelos semiplanos PVI e PHA
Os pontos, as retas ou os sólidos vão situar-se nestes “diedros/triedros" e através de suas
projeções cônicas ou ortogonais (cilíndricas ou paralelas) vão ser representados sobre os Planos
de projeções: horizontal, vertical e lateral ou de perfil.
NOTAS:
1. Em geral os objetos sempre se situam no I Diedro/triedro;
2. Sempre que se tratar de lateral vamos citar perfil.
3. Na geometria Descritiva I vamos trabalhar com as projeções cilíndricas ou paralelas.
4. Na Geometria descritiva II em Perspectiva Cônica vamos trabalhar com as projeções
cônicas.
3

4. REPRESENTAÇÃO ESPACIAL DOS
PONTOS:
Os pontos A, B, C e D estão representados no
espaço tridimensional, cada um ocupando um dos
“Diedros”.
Por eles passam diversas projetantes, linhas
perpendiculares e inclinadas em relação aos planos
de projeções. Estas linhas passam pelos pontos e os
projetam sobre os planos ortogonais de projeções;
determinando a projeção superior sobre o plano
Horizontal e a projeção frontal sobre o plano
Vertical.
COMO DETERMINAR AS PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE UM PONTO :
Porcedemos do modo descrito abaixo:
1 – por traçamos a primeira projetante, paralela ao plano vertical encontrando sobre o plano
horizontal;
2 – traçamos a segunda projetante, pelo ponto e paralela ao plano horizontal;
3 – traçamos o segmento de reta , paralelo à segunda projetante, com sobre a linha de terra;
4 – pelo ponto levantamos uma perpendicular da linha de terra até interceptar a segunda projetante;
5 – nesta intersecção marcamos a projeção .
PROJEÇÃO DOS PONTOS SOBRE OS PLANOS DE PROJEÇÕES:
Pelo ponto passam as projetantes ,
perpendiculor ao plano horizontal anterior e a
projetante , perpendicular ao plano vertical
superior. O mesmo ocorrerá com os outros
pontos; passam duas projetantes:
- uma perpendicular ao plano horizontal e a outra
perpendicular ao plano vertical.
Veja que de cada projeção com índice 1parte um
segmento tracejado até a linha de terra, este
segmento que é paralelo à projetante oposta é
chamado de linha de chamada e é uma linha
parpendiculara à LT.
Para representar as projeções usamos índices numéricos ou “linhas”.
Ex. e , ou e . Nós iremos usar índice numérico, mas o aluno fica livre para usar
qualquer um. O indice 1ou ′para as projeções superiores (no plano horizontal) e o índice 2 ou
′′para as projeções frontais (no plano vertical).
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5. ÉPURA:
Para obtermos a épura de um sitema descritivo,
rotacionamos o Plano Horizontal de Projeções
(PH) em torno da Linha de Terra no sentido
horário, de tal forma que este coincida com o
Plano Vertical de Projeção (PV), ficando o
PHA coicidindo com o PVI e o PHP
coicidindo com o PVS.
Observe que tudo que está sobre o PHA fica
representado abaixo da linha de terra LT e tudo
que está no PHP fica representado acima da
linha de terra.
Depois do rebatidos os
planos de projeções se
fundem em um só plano, como se fosse um único plano vertical, o qual
vai corresponder à folha de papel.
Esta nova representação recebe o nome de épura.
A ÉPURA é a representação da figura do espaço
no plano, depois dos rebatimentos de suas
projeções.
Quando lemos em épura visualizamos, pelo
pensamento, os planos ortogonais de projeções:
Plano Horizontal PH, Plano Vertical PV e o
Plano Lateral ou de Perfil PP, e, deste modo
imaginamos a figura representada.
A linha de terra (LT) é a intersecção entre os planos Vertical e
Horizontal.
OBSERVAÇÕES:
1 – Alguns professores optam por rotacionar o plano vertical no sentido antihorário, que é o modo
original de Monge, o resultado é o mesmo. Como os quadros em sala de aulas são perpendiculares,
para facilitar a visão do aluno, alguns professores, inclusive eu, usam rotacionar o plano horizontal no
sentido horário para evitar, uma possível, segunda rotação.
2 – Não faça estes desenhos a mão livre, pois não tem sentido fazer desenho técnico sem o uso dos
intrumentos (par de esquadros, régua e compasso).
3 – Sempre que possível use uma escala (usando a régua) para ter trabalhos proporcionais, lógicos e de
fácil compreensão.
ESTUDO DO PONTO
PONTO:
É um ente geométrico admensional, geralmente representado por uma letra maiúscula do nosso
alfabeto (Ex: . – ponto P, . – ponto R)
Um ponto fica representado em épura, por suas projeções ou coordenadas, sobre os planos:
· Horizontal PH (Vista Superior - VS) que determina o Afastamento do ponto;
· Vertical PV (Vista Frontal - VF) que determina a Cota do ponto;
· Lateral ou de Perfil PP (Vista de Perfil - VP) Não representa a abscissa. A vista Lateral
mostra numa mesma projeção, o afastamento e a cota.
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6. COORDENADAS DO PONTO:
ABSCISSA é a distância de um ponto a um plano de
perfil tomado como orígem. As abscissas são medidas da
esquerda para a direita sobre a Linha de Terra, tanto em
épura quanto no espaço, em geral é positiva podendo ser
negativa. Aqui em geral, nós vamos ter abscissa positiva,
mas, eventualmente aparecerar dados à esquerda da
origem: ponto 0 (zero) marcado sobre a LT.
AFASTAMENTO é a distância do ponto ao plano
vertical de projeções. Em épura, afastamento é a
distância da projeção horizontal (VS) à linha de Terra LT.
COTA é a distância do ponto ao plano horizontal de projeções. Em épura, cota é a distância da
projeção vertical (VF) à linha de Terra LT.
Diedro Abscissa Afastamento Cota
I -/+ ↔ + ↓ + ↑
II -/+ ↔ - ↑ + ↑
III -/+ ↔ - ↑ - ↓
IV - /+ ↔ + ↓ - ↓
OBSERVAÇÃO:
· Abscissa: a seta apontando para a esquerd indica abscissa nagativa, para direirta, positiva.
· Afastamento: a seta apontando para baixo representa afastamento positivo e apontando par
cima representa afastamento negativo.
· Cota: a seta apontando para cima representa cota positiva e apontando para baixo representa
cota negativa.
PONTO SITUADO NOS PLANOS DE PROJEÇÕES:
Anteriormente vimos um ponto em cada
Diedro, agora veremos um ponto em cada
semiplano.
Tomando-se os pontos E, F, G e H temos:
· O ponto E situado no plano horizontal
anterior PHA, e o ponto F situado sobre o
plano horizontal posterior PHP, nestes casos
temos as projeções horizontais, de índice 1,
coincidindo com o Ponto e as projeções
verticais, de índice 2, sobre a linha de terra.
· O ponto G situado no plano vertical
superior PVS, e o ponto H situado no plano
vertical inferior PVI, nestes casos temos as
projeções verticais, de índice 2, coincidindo com o Ponto e as
projeções horizontais, de índice 1, sobre a linha de terra. ÉPURA
Plano Abscissa Afastamento Cota
Horizontal anterior -/+ ↔ + ↓ 0
Vertical superior -/+ ↔ 0 + ↑
Horizontal posterior -/+ ↔ - ↑ 0
Vertical inferior -/+ ↔ 0 - ↓
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7. PONTO SITUADO NOS PLANOS BISSETORES:
- Ops!? ... Plano bisse ... bissetores?!. Hiii ... fessô agora f ... pegou!
- Ké ké issssso sô?! Bissetorr?
– Calma:
Plano bissetor é o plano que divide o diedro em espaços
iguais, formando dois ângulos de 45°.
Como são quatro diedros, então teremos dois planos
bissetores, o I Bissetor que passa pelo I e III diedro,
bissetor impar, e o II Bissetor que passa pelo II e IV
diedro, bissetor par.
Devido ao ângulo de 45° que determina distâncias
perpendiculares com medidas iguais, um ponto situado
sobre um plano bissetor tem o afastamento igual à cota,
em módulo (valor absoluto), mudando apenas o sinal
conforme o diedro.
Se o ponto pertence ao I Bissetor suas projeções: o afastamento e cota ocupam posições distintas,
mas se o ponto pertence ao II Bissetor o afastamento e a cota ocupam a posição coincidente.
Logo a seguir veremos os pontos já rebatidos, mas sem a representação dos planos bissetores
para facilitar o entendimento e compreensão do rebatimento, claro com um menor número de
linhas.
ROTACIONAMENTO DOS PONTOS SITUADOS NOS BISSETORES:
Como os planos bissetores não fazem parte do sistema
projetivo normal, podemos retirá-los para enxugar o
sistema e melhorar a aparência das representações: pontos
e projeções.
Feito isso vamos ao rebatimento das projeções
horizontais, os afastamentos.
Depois de rebatido sistema fica com a aparência abaixo e
a esquerda, que já é a própria épura dos pontos, basta
apagar as linhas que delimitam os planos e temos a
aparência final da nossa representação.
Observe que, conforme já foi explicado antes, pelo
motivo dos planos bissetores estarem a 45° com relação aos planos projetivos, ele determina
distâncias iguais para cada um deles e, desse modo, algumas projeções,
particularmente as do II e IV Diedros são coincidentes.
Veja que as projeções e são coincidentes: o ponto J está no II Diedro,
bem como as projeções e também, pois o ponto K está no IV Diedro.
ÉPURA:
Apagando as linhas limitantes dos planos
encontramos a representação da esperada épura.
Observe que os pontos I, J, K e L, mesmo estando
sobre os planos não foram colocados na épura, pois
eles não são projeções. Realmente, eles pertencem ao
espaço.
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8. PONTO LOCALIZADO SOBRE A LINHA DE TERRA:
Um ponto quando localizados sobre a Linha de
Terra, ele não se situa em nenhum semiplano
nem no espaço, apesar de pertencer a qualquer
um plano que passe pela linha de terra, e
consequentemente ao espaço.
Um ponto sobre a linha de terra LT tem todas as
suas coordenadas nula com exceção da abscissa,
que é medida sobre a LT.
Diedro Abscissa Afastam. Cota
Todos -/+ ↔ 0 0
ÉPURA:
Como o afastamento e a cota são nulos, a sua representação em épura
é de apenas um ponto sobre a linha de terra (LT), conforme a sua
abscissa.
Mesmo o ponto M estando sobre a LT ele não aparece na épura.
E assim concluímos o estudo das 13 posições dos pontos. Há quem diga que só são 9, mas eu
considero, também as 4 posições dos pontos sobre os planos Bissetores.
EXERCÍCIOS sobre Pontos:
Agora que já estamos craque em GD vamos aos exercícios. Use régua, par de esquadros e compasso conforme
vimos em sala de aulas: desenho técnico se faz com instrumentos.
Sugiro que, antes do desenho definitivo, com o uso de papel milimetrado ou papel quadriculado, faça um croqui á
mão livre para ter certeza de sua construção.
NOTA:
Todos os exercícios, mesmo os feitos em casa, deverão ser realizados em papel opaco branco com margens
segundo o padrão oficial, em escala com carimbo simples e com data.
1. Dado o sistema espacial, determine as projeções, faça os devidos rebatimentos e construa a épura dos
pontos, (observe a projetante em cada ponto, use a mesma medida):
2. Pelo sinal do afastamento e da cota dos pontos dados determine o Diedro, Semiplano de Projeções e Plano
Bissetor, ao qual cada um deles pertence:
a. A (2,0; 5,0; –2,5) b. B(7,0; –3,0; –4,0) c. C(8,0; 3,0; 3,0)
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9. d. D(0,0; –2,8; 7,0) i. I(0,0; 0,0; 0,0) m. M(5,0; –3,0; –3,0)
e. E (0,8; 5,5; 5,5) j. (7,0; 0,0; 7,0) n. N(9,0; –3,8; 3,8)
f. F(5,0; –4,0; 8,0) k. K(6,0; –3,0; 0,0) o. O(6,0; –2,8; 7,0).
g. G(0,0; –3,5; –5,0) l. L(10,0; 2,0; 0,0)
h. H(0,0; 4,0; –4,0)
3. Dados os pontos construa a épura:
a. A(6,0; –3,5; 5,0) e. E(5,0; 3,0; –3,0)
b. B(7,0; 0,0; 2,0) f. F(2,0; –3,0; –3,5)
c. C(0,0; 5,5; 5,5)
d. D(3,0; –5,0; 5,0)
4. Na questão anterior determine o Diedro ao qual cada ponto pertence e
justifique.
5. Dada a épura dos pontos de A até F, ao lado, encontre as coordenadas
(Ab, Af, Co) de cada ponto, e identifique onde ele está. As medidas na
vertical estão proporcionais (iguais) às medidas sobre a LT.
(Não são colocadas medidas sobre a linha de terra, em épura, mas por
efeitos didáticos, aqui nós colocamos para orientação na resolução, use a
régua para extrair as medidas na LT e transportar para a vertical). Exercício 5
REBATIMENTO DO PONTO:
Para melhor estudar um ponto podemos fazer o seu rebatimento
sobre um terceiro plano de projeções: um Plano de Perfil
Auxiliar (α3), cujo traço é uma linha perpendicular a linha de
terra “PPa” e, sobre ele encontramos a terceira projeção do
ponto: a projeção de índice 3. O traço PPa acima da LT é a
intersecção do plano vertical com o plano de Perfil Auxiliar e
abaixo é a intersecção deste com o plano Horizontal.
O Rebatimento de um Ponto:
É muito simples, basta procedermos conforme descrito abaixo:
1. Traçamos uma linha perpendicular à LT (traço do PPa);
2. Passamos uma linha de chamada pela projeção horizontal (P1) do ponto P até o PPa,
determinando o ponto p1;
3. Com abertura do compasso igual ao afastamento do ponto e, com centro na intersecção entre a
LT e o PPa, descrevemos o arco 1 3 : p1 (sobre o PPa) e p3 (sobre a LT);
4. De p3 levantamos uma perpendicular à LT, e depois partindo de P2 traçamos uma paralela à LT
até cortar a reta traçada anteriormente (a perpendicular à LT) determinando a intersecção das
duas linhas de chamadas;
5. Nesta intersecção temos a projeção P3 equivalente ao rebatimento do ponto P sobre o plano de
perfil.
Demonstração Gráfica:
1. Para um ponto no primeiro diedro:
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10. 2. Para um ponto no segundo diedro:
3. Para um ponto no terceiro diedro:
4. Para um ponto no quarto diedro:
Em todos os casos a rotação se dá no sentido antihorário a partir do PPa para a LT.
Depois de rebatido o ponto tem as seguintes características:
O rebatimento de um afastamento positivo fica à direita do PPa e se negativo fica à esquerda,
quanto a cota, se essa for positiva, seu rebatimento fica acima da LT e se for negativa fica
abaixo.
EXERCÍCIOS sobre Rebatimento do ponto:
1. Faça o rebatimento dos pontos dados na épura ao lado:
2. Dados os pontos, por suas coordenadas, construa uma épura separada de cada
ponto e faça o rebatimento de cada um deles:
a. A(2,0;2,0;-4,0)
b. B(1,5;3,0;-3,0)
c. C(3,0;2,0;2,0)
d. D(2,0;3,0;0,0)
e. E(3,0;0,0;0,0)
f. F(3,0;-3,0;2,0)
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11. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS:
I - Sobre Pontos:
1.
2. A – IV diedro, B – III diedro, C – I diedro, D – II diedro, E I diedro, F – II diedro, G – III diedro, H – IV
diedro, I – na origem, J – no PVS, K no PHP, L – no PHA, M – no bissetor ímpar III diedro, N no bissetor
par II diedro, O no bissetor par II diedro.
3.
11

12. 4. (A) está no II diedro: o afastamento é negativo e a cota é positiva; (B) está sobre PVS: o afastamento nulo e
a cota é positiva; (C) está no bissetor impar e no I diedro: o afastamento igual a cota e ambos positivos; (D)
está no bissetor par e no II diedro: o afastamento e cota com módulos iguais e sinais opostos, com a cota
positiva; (E) está no bissetor par e no IV diedro: o afastamento e cota com módulos iguais e sinais opostos,
com a cota negativa; (F) está no III diedro: o afastamento e a cota são ambos negativos.
5. (8,0; 5,0; 2,0) o ponto está no I diedro; (6,0; − 2,0; 1,0) o ponto está no II diedro; (4,0; 3,0; 0,0) o
ponto está sobre o PHA; (1,0; − 3,0; 3,0) o ponto está sobre o bissetor par no II diedro; (6,5; 5,5; 4,0) o
ponto está no I diedro; (2,5; 0,0; 0,0) o ponto está sobre a LT.
II - Sobre Rebatimento do Ponto:
1.
2.
ESTUDO DAS RETAS:
O espaço é constituído de infinitos pontos e consequentemente, constituído por infinitas retas e
planos.
Reta é o conjunto de infinitos pontos alinhados em uma única direção, a reta é um ente
unidimensional.
12

13. Determinação de uma Reta:
Da geometria plana e geometria analítica plana, sabemos que dois pontos determinam uma única
reta. Sendo os pontos e : a porção da reta, entre aos pontos e é chamada de segmento de
reta e o conjunto total de pontos alinhados numa direção, que contém o segmento é a reta
suporte do segmento: reta = . A representação , lê-se reta AB ou reta suporte do
segmento AB.
Assim como na Geometria plana as retas, em descritiva, são representadas por letras minúsculas
do Alfabeto, , , … etc.
Teorema Um: A projeção de uma reta sobre um plano não perpendicular a esta reta é uma reta.
Se o plano for perpendicular a esta reta a projeção da reta é um único ponto sobre o plano.
Teorema Dois: A posição de uma reta fica determinada no espaço quando conhecemos as
projeções desta reta.
Teorema Três: Um ponto pertence a uma reta quando as projeções desse ponto estão sobre as
projeções de mesmo nome da reta.
Traço:
Traço de uma reta é o ponto em que a reta intercepta (fura) um plano de projeção, se for o plano
Horizontal o traço é o ponto (ponto onde a reta fura o plano horizontal), se for o plano Vertical
o traço é o ponto (ponto onde a reta fura o plano vertical). O traço indica a passagem de uma
reta de um diedro par outro diedro.
Teorema Quatro: Em épura, a projeção V1 do traço vertical e a projeção H2 do traço horizontal
estão obrigatoriamente sobre linha de terra LT, de onde V1= v e H2 = h. A representação dessas
projeções é facultativa, mas caso ela seja representada, na outra projeção deve constar os índices
1 ou 2.
Visibilidade:
Como podemos notar na figura ilustrativa, a parte visível da reta é o trecho que se encontra no
primeiro diedro/triedro, pois é onde o observador está. Em épura, a reta nunca é visível após
ultrapassar a linha de terra LT.
EXERCÍCIOS Sobre Reta:
1. Representar em épuras separadas, as retas, destacando a visibilidade e indicar os diedros
atravessados pela reta:
a. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5)
b. definida por (4,0; 1,0; 3,0) e (7,0; 2,5; 1,5)
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14. c. definida por (1,0; 4,2; 2,0) e (7,0; 1,0; 2,0)
Soluções:
TIPOS DE RETAS:
Em Geometria Descritiva podemos enumerar setes tipos diferentes de retas conforme elas se
apresentam nos diedros/triedros de projeções.
Reta Qualquer é toda reta oblíqua em
relação aos planos de projeções: plano
Horizontal e plano Vertical e, é também
oblíqua em relação a um plano de perfil
auxiliar.
Em épura, o ângulo que faz com a linha
de terra é o ângulo que o plano forma
com o plano Vertical de projeções. O
ângulo que faz com a linha de terra é o
ângulo que o plano forma com o plano
Horizontal de projeções.
Como percebemos a reta qualquer não
apresenta nenhum paralelismo com os
planos de projeções e/ou os planos projetantes. Ela pode apresentar os dois traços H e V, ou
somente um deles, depende apenas de sua posição no espaço.
Reta Horizontal é toda reta paralela ao
plano Horizontal de projeções e oblíqua
ao plano Vertical de projeções.
A reta horizontal tem apenas um traço: o
vertical V sobre a projeção vertical da
reta e a projeção horizontal de V: “v”
está sobre a LT.
Em épura, a projeção vertical de uma reta
horizontal é uma reta paralela à linha de
Terra, sobre o Traço vertical V, do plano
Horizontal que contém a reta. Já a
projeção horizontal de uma a reta
horizontal “r1” é oblíqua em relação à
linha de Terra e o ângulo que “r1” forma
com a LT é o ângulo que a reta
horizontal forma com plano Vertical de projeções.
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15. Reta Frontal é toda reta paralela ao
plano Vertical de projeções e oblíqua ao
plano Horizontal de projeções.
A reta frontal tem apenas um traço: o
horizontal H sobre a projeção horizontal
da reta e projeção vertical de H: “h” está
sobre a LT.
Em épura, a projeção horizontal de uma
reta frontal é uma reta paralela à linha de
Terra, sobre o Traço horizontal H, do
plano Frontal que contém a reta. Já a
projeção vertical de uma a reta frontal
“r2” é oblíqua em relação à linha de
Terra e o ângulo que “r2” forma com a
LT é o ângulo que a reta frontal forma
com plano Horizontal de projeções.
Reta de Perfil é toda reta oblíqua aos
dois planos de projeções: Horizontal e
Vertical e paralela a qualquer plano de
Perfil Auxiliar.
A reta de perfil apresenta os dois traços:
o traço horizontal H sobre a projeção
horizontal da reta e o traço vertical V
sobre a projeção vertical da reta. Sobre a
LT, a projeção vertical de H, coincide
com a projeção horizontal de V: “h = v”.
Em épura a reta de perfil é determinada
por uma reta perpendicular à linha de
terra e situada sobre o Traço do plano de
Perfil que a contém.
Como a reta de perfil é oblíqua aos
planos de projeções horizontal e vertical e, estes são perpendiculares entre si, então os ângulos
que a reta de perfil forma com estes planos são ângulos complementares (α + β = 90°).
Reta Vertical é toda reta perpendicular
ao plano Horizontal de projeções e
paralela ao plano Vertical de projeções,
é uma reta contida num dos planos da
família dos planos verticais: Frontal,
Perfil ou Vertical.
A reta vertical tem apenas um traço: o
horizontal H sobre a projeção horizontal
da reta a projeção vertical de H: “h” está
sobre a LT.
Em épura a projeção Horizontal é o
próprio traço da reta que coincide com a
projeção de todos os pontos da reta, ou
seja, com a própria projeção horizontal
da reta. A projeção vertical é uma reta
perpendicular à linha de Terra.
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16. Reta de Topo é a reta paralela ao plano
Horizontal de projeções e em
consequência, perpendicular ao plano
Vertical de projeções.
A reta de topo tem apenas um traço: o
vertical V sobre a projeção vertical da
reta e a projeção horizontal de V: “v”
está sobre a LT.
Em épura a projeção Horizontal é uma
reta perpendicular à linha de Terra e, a
projeção vertical o próprio traço da reta
que coincide com a projeção de todos os
pontos da reta, isto é, com a própria
projeção vertical da reta.
Reta Fronto-horizontal é toda reta
paralela à linha de Terra e
consequentemente paralela aos planos
de projeções: Vertical e Horizontal.
A reta Fronto-horizontal não tem
nenhum traço, nem horizontal nem
vertical, suas projeções são paralelas aos
planos de projeções.
Em épura as suas projeções são paralelas
à linha de Terra.
As retas qualquer e perfil passam por
três diedros distintos, as retas horizontal,
frontal, vertical e de topo passam por
dois diedros, mas a reta fronto-
horizontal só pode passar por um diedro:
1º, 2º, 3º ou 4º.
NOTA:
Estudando as retas Qualquer, Horizontal e Frontal, podemos observar o ESPAÇO. Mas, agora,
com a Fronto-Horizontal, podemos vê com mais clareza uma figura geométrica espacial.
Observe bem o Paralelepípedo “ABB1A1aA2B2 b” que apresenta as três retas mais importantes na
representação gráfica: Fronto-horizontal, Vertical e De Topo, as quais determinam os planos:
Horizontal ABB2 A2, Frontal ABB1A1 e De Perfil AA1aA2 e os seus paralelos.
RETAS PELAS COORDENADAS:
Podemos identificar uma reta pelas coordenadas de dois de seus pontos observando os dados
listados na tabela abaixo.
Reta Abscissa Afastamento Cota
1. Qualquer Diferentes Diferentes Diferentes
2. Horizontal Diferentes Diferentes Iguais
3. Frontal Diferentes Iguais Diferentes
4. De Perfil Iguais Diferentes Diferentes
5. Vertical Iguais Iguais Diferentes
6. De Topo Iguais Diferentes Iguais
7. Fronto-horizontal Diferentes Iguais Iguais
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17. EXERCÍCIOS Sobre tipos de Retas:
1. Identificar as retas dadas, determinar os seus traços e verificar quais os diedros que elas atravessam, nos
casos abaixo.
2. Identifique as retas abaixo e determine os diedros que elas atravessam:
3. Construir a épura da reta que contém os pontos dados, marcar os seus traços e verificar quais os diedros que
a reta atravessa, em cada caso:
a. A(4,0;1,0;3,0) e B(9,0;4,0;3,0). c. A(3,0;2,0;–1,0) B(10,0;2,0;4,0).
b. A(5,0;1,0;3,0) B(12,0;6,0;–1,0). d. A(2,0;–3,0;–2,0) B(8,0;1,0;5,0).
Soluções:
17

18. 1. No ponto em que a projeção horizontal intercepta a LT temos projeção horizontal “v” do traço vertical V,
no caso da projeção vertical determina a projeção vertical “h” do traço horizontal H. A parte da projeção
horizontal que fica acima da LT ou além do traço horizontal H, assim como a parte da projeção vertical que
fica abaixo da LT ou além do traço vertical V é invisível: represnta-se pontilhado ou tracejado curto.
2. Vertical, qualquer, de topo e frontal.
3.
18

19. Nos casos a, b, c, e e, o procedimento é o mesmo:
A intersecção da projeção horizontal, da reta sobre a LT, determina a abscissa em que a reta fura
o plano Vertical de projeções (o traço V) e a intersecção da projeção vertical, da reta sobre a LT,
determina a abscissa em que a reta fura o plano Horizontal de projeções (o traço H).
No caso da letra d o procedimento só é possível com a realização do rebatimento.
Verificamos que a projeção do rebatimento corta o PPa em V e a LT em H. Projetando o H e o V
sobre as projeções da reta (de perfil) (“rebatimento contrário”):
Encontrado V sobro PPa, projetamos esse sobre a própria projeção vertical;
Encontrando H sobre o prolongamento da LT o projetamos sobre o PPa e daí até a projeção
horizontal na épura.
Rebatimento de Uma Reta
Para o rebatimento de uma reta fazemos o rebatimento de dois de seus pontos procedendo do
mesmo modo que fizemos para um ponto, e temos a reta rebatida.
Exemplos:
1. Dada a reta de perfil definida pelos pontos A e B determine os seus traços e os ângulos
que a mesma forma com os planos
de projeções: P. Horizontal e P.
Vertical.
Primeiro: rebatemos os pontos A e B;
Segundo: traçamos o segmento AB e
o prolongamos até o PPa e até a LT,
marcando aí os traços V e H,
respectivamente e a partir daí a reta
é tracejada.
Terceiro: rebatemos os dos traços no
sentido contrário e encontramos as
projeções: Horizontal H e Vertical V dos traços da reta.
19

20. Quarto: com o transferidor medimos os ângulos e encontramos dois ângulos complementares.
2. Dados os pontos A(5,0; 8,0; –3,0) e B(5,0; –6,0; 9,0), determine os seus traços e os
ângulos que ela forma com os planos de projeções.
Procedemos como no
modo anterior, com os
mesmos passos,
observando que o ponto
A no quarto Diedro e o
ponto B está no segundo.
Desse modo leia
atentamente os processos
de rebatimento de pontos
nos respectivos diedros.
Siga as setas de
orientação para traçar o
rebatimento. Após
definido os traços, não deixe de indicar a visibilidade da reta e observar quais os diedros
que ela atravessa.
EXERCÍCIOS Sobre Tipos de Retas:
1. Representar em épura, a reta horizontal que passa pelo ponto P(2,0; 4,0; 3,0) e fura o
plano vertical na abscissa 10,0 e indique a sua visibilidade.
2. Traçar as retas r e s, numa mesma épura, sendo r uma reta horizontal e s uma reta frontal,
que se interceptam no ponto P(2,0; 2,0; 3,0) tal que r fura o plano vertical de projeções
na abscissa 12,0 e s fura o plano horizontal de projeções na abscissa 8,0. Não se esqueça
de mostrar a sua visibilidade.
3. Traçar numa só épura, as projeções das retas r de topo e, a reta s, vertical sabendo que
elas passam pelos pontos P(2,0; 4,0; 3,0) e T(6,0; 4,0; 3,0), respectivamente.
4. Faça a épura, da reta que passa pelos pontos A(3,0; 1,0; 3,0) e B(6,0; 2,0; –1,0) e
determine o ponto P em que a reta fura o plano bissetor impar.
5. Sendo uma reta qualquer que passa pelo ponto A(9,0; 4,5; 1,0) e fura o plano vertical no
ponto V de Abscissa 3,0 e cota 6,0 determine o ponto em que a reta fura o plano bissetor
impar.
6. Sendo a reta de topo que contém o ponto A(5,0; 2,0; 3,0) determine o ponto P e o ponto R
em que a reta fura o plano bissetor impar e o plano bissetor par, respectivamente.
7. Proceda do mesmo modo anterior para a reta vertical que passa por A(3,0; 4,0; 5,0).
8. Traçar a épura de uma das retas que contém o ponto A(1,0; 2,0; 2,0) e está contida no I
bissetor.
9. Determinar a épura da reta paralela ao plano bissetor impar que fura um plano horizontal
num ponto de abscissa 3,0 e cota 3,0.
10. Trace a épura da reta r contida no plano bissetor impar que intercepta a LT na abscissa
3,0 e passa por um ponto de abscissa 5,0.
11. Determinar o traço do plano α que contém o ponto A(2,0; 2,0; 4,0) e é paralelo ao I
bissetor.
12. Determine o traço da reta frontal s que intercepta o plano bissetor impar na abscissa 5,0 e
afastamento 2,0 sabendo que s fura o plano de perfil no ponto de abscissa 10,0 e cota 4,0.
13. Determinar os traços do plano paralelo ao I bissetor que intercepta o plano vertical de
projeções na cota 3,5.
Resolução dos exercícios de 1 a 13
20

21. 1. Tratando-se de uma reta horizontal só temos
o traço vertical V, pois a reta horizontal só
pode passar por diedros simétricos em relação
ao plano vertical, I e II, ou III e IV.
A projeção vertical dessa reta é paralela á LT,
marcamos as projeções do ponto A e a
abscissa do traço V, ligamos A1 á projeção do
traço sobre a LT “v”, daí levantamos a linha
de chamada “vV” com a cota de V igual a
cota de A. A parte da projeção horizontal
acima da LT não é visível ficando tracejada,
juntamente com a projeção vertical a partir de
V.
2. Tratando-se das retas horizontal e frontal,
ambas só apresentam um traço.
O traçado da reta horizontal está descrito
acima, quanto a reta frontal é semelhante,
mas agora quem é paralela a LT é a projeção
horizontal.
Marcam-se as projeções do ponto P e a
abscissa do traço horizontal “v” sobre a LT
baixa-se uma linha de chamada até a projeção
horizontal, determinando H com mesmo
afastamento de P.
A reta frontal só pode passar por diedros
simétricos ao plano horizontal de projeções: I
e IV ou II e III.
3. As retas têm comportamentos simétricos em
relação às projeções: vertical e horizontal.
· Na reta de topo a projeção horizontal é
perpendicular à LT e a projeção vertical
é um ponto representado por seu traço
V, ou seja, todos os pontos da projeção
coincidem com V.
· Já a reta vertical é o contrário: a
projeção horizontal é um ponto e a
projeção vertical é uma reta
perpendicular à LT. Neste caso o traço
horizontal H coincide com todos os
outros pontos da projeção.
4. 9 Traçamos a épura normal da reta e em
seguida determinamos um plano de perfil
auxiliar, pelo seu traço “PPa” procedemos o
rebatimento da reta e da parte do traço do
plano bissetor impar, que ocupa o I diedro.
Observe que o afastamento e a cota do ponto
P são simétricas em relação a LT, pois os
pontos sobre o plano bissetor Impar têm
afastamentos e cotas iguais, devido ao ângulo
de 45°.
21

22. 5. Traçamos normalmente a épura da reta e,
em seguida rebatemos a reta e a parte do
traço do plano bissetor impar que ocupa o
primeiro diedro, sobre um plano de perfil
representado pelo seu traço PPa. A projeção
P3 é o próprio ponto que estamos
procurando.
Procedendo-se o contra rebatimento
encontramos as projeções P1 e P2 do ponto P.
Pelo motivo já explicado as projeções P1 e P2
são simétricas em relação à LT.
6. A reta de topo fura tanto o plano bissetor
impar no I diedro com o plano bissetor par no
II diedro.
Traçamos a épura da reta normalmente e, em
seguida rebatemos as partes do plano
bissetores, adequadas para a resolução do
exercício, e nos pontos em que a reta
representada em perfil, intercepta os
bissetores temos P3 e R3, respectivamente no I
e II diedro.
Veja que R2 coincide com todos os pontos da
projeção vertical da reta.
7. A reta vertical fura tanto o plano bissetor
impar no I diedro com o plano bissetor par no
IV diedro.
Traçamos a épura da reta normalmente e, em
seguida rebatemos as partes do plano
bissetores, adequadas para a resolução do
exercício, e nos pontos em que a reta
representada em perfil, intercepta os
bissetores temos R3 e P3, respectivamente no I
e IV diedro.
Veja que P1 coincide com todos os pontos da
projeção horizontal da reta.
8. Como não foi dada uma abscissa na qual na
reta intercepta a LT temos várias soluções.
Adotamos esta solução que resulta abscissa
positiva igual a 3.0.
A outra solução teria abscissa igual a – 3,0 e a
abertura angular voltada para a direita.
22

23. 9. 1 - Traçamos em épura o traço do plano
horizontal na cota 3,0;
2 - Tomamos o rebatimento do plano Bissetor
impar no I triedro;
3 - Marcamos V sobre , na abscissa dada e,
por ele traçamos a projeção r2 paralela à
projeção rebatida do plano bissetor;
4 - Prolongamos r2 até a LT indicando a
projeção (h) do traços horizontal H sobre a
LT;
5 - Rebatemos H, o qual deve coincidir sobre
o traço do plano Horizontal, e ligamos H a V,
e prolongamos;
6 - Finalmente, estudamos a visibilidade e
temos a solução do problema.
10. Marcamos a abscissa do traço vertical
coincidindo com o traço horizontal “H=V” e,
em seguida marcamos a projeção vertical da
reta, a qual forma um ângulo de 45° com a
LT, ângulo equivalente ao ângulo do bissetor.
Marcamos a abscissa do ponto A
determinando a projeção vertical A2 e daí
baixamos uma linha de chamada até A1 com a
mesma distância de A2 até a LT.
Ligamos H=V a A1 e temos a solução do
problema.
11. Marcamos a épura do ponto A e sobre a
abscissa deste ponto tomamos o plano de
perfil auxiliar, PPa.
Traçamos uma reta paralela ao plano bissetor
impar passando pela cota do ponto A, até
interceptar a LT determinando (h), abscissa
do traço horizontal H.
Rebatendo o traço H sobre o PPa
encontramos = que são os traços,
coincidentes, do plano pedido.
12. Como a reta fura o plano bissetor impar na
abscissa 5,0 e afastamento 2,0 marcamos o
ponto P(5,0; 2,0; 2,0), pois no plano bissetor
impar o afastamento é igual a cota. Marcando
a cota 4,0 na abscissa 10,0 temos a projeção
vertical definida, a qual prolongada toca o
eixo das abscissas na origem, determinando o
traço horizontal H.
“- A representação do Pl. Bis. Impar, neste problema
seria dispensado.”
13. Traçamos qualquer plano de perfil auxiliar
PPa e tomamos o Plano Bissetor Impar
rebatido sobre ele e, pela cota 3,5 do PPa
traçamos o rebatimento do plano solicitado, o
qual na intersecção com a LT determina a sua
projeção horizontal . Rebatendo temos
a épura de
23

24. ESTUDO DOS PLANOS:
Determinação:
Um plano é constituído por infinitas retas e consequentemente por infinitos pontos, deste modo
um plano, no espaço pode ser determinado por:
1. Três pontos não colineares;
2. Duas retas paralelas;
3. Duas retas concorrentes;
4. Uma reta e um ponto não pertencente a esta reta.
Observa-se que, segundo os Postulados de Euclides, os quatro casos se resumem ao primeiro,
pois se uma reta fica determinada por dois pontos A e B, um terceiro ponto C, teríamos:
· Em 1 – o triângulo formado pelos segmentos de retas , e , concorrentes
nos vértices A, B e C.
· Em 2 – a reta definida pelo segmento de reta tem uma reta paralela que passa por um
ponto C. Passando segmentos de retas pelos pontos temos a possibilidade de construir o
triângulo .
· Em 3 – a reta definida pelo segmento de reta tem uma reta concorrente que passa pelo
ponto C. Se procedermos como no caso anterior, ainda temos a possibilidade de construir
o triângulo .
· Em 4 – este caso está resume aos casos 1, 2 e 3.
O espaço é constituído por infinitos planos, mas particularmente, dependendo da posição que um
plano ocupa em relação aos planos de projeções, eles podem ser denominados como:
Qualquer ou oblíquo aos planos de projeções; Horizontal ou de nível; Frontal ou de frente; de
Perfil ou lateral, Vertical, de Topo, Paralelo à Linha de Terra ou de Rampa e Plano que Passa
pela LT.
Planos Projetantes:
Os planos dividem-se em dois tipos de planos: os Projetantes e os não Projetantes.
Projetante é todo plano que é, pelo menos, perpendicular a um dos planos de projeções:
- O plano horizontal, o plano frontal, o plano de topo, o plano vertical e o plano de perfil, são
planos projetantes. O Plano qualquer o plano paralelo à linha de terra e o plano que passa pela
linha de terra são planos não projetantes.
Teorema cinco: Traço:
A linha que representa a intersecção do plano com os planos de projeções é denominada de traço
do plano. Sobre o plano horizontal – Traço de índice 1 e sobre o plano vertical – Traço de índice
2.
Plano Qualquer é um plano oblíquo aos planos
horizontal e vertical de projeções, mais
precisamente, obliquo a qualquer outro plano
projetante no espaço. Em épura os traços deste
plano formam ângulos com a linha de terra. O
ângulo formado pelo traço horizontal e a LT
é o ângulo formado pelo plano Qualquer e o
plano vertical de projeções, o ângulo formado
pelo traço vertical e a LT é o ângulo formado
pelo plano Qualquer e plano horizontal de
projeções.
Mesmo não sendo um plano projetante,
podemos, sobre ele ter projeções em verdadeira
grandeza VG.
24

25. Plano Horizontal é um plano perpendicular ao
plano Vertical de projeções e paralelo ao plano
Horizontal de projeções. Por ser um plano
perpendicular ao plano Vertical de projeções, é
um plano projetante.
Em épura o plano Horizontal só apresenta do
traço vertical , paralelo à linha de terra.
Todos os pontos de uma figura que estiver sobre
um plano horizontal terão a projeção vertical
sobre o traço vertical . Isto quer dizer que: “o
traço vertical é o lugar geométrico de todos os
pontos sobre um plano horizontal,” e a projeção
horizontal de qualquer figura estará em
verdadeira grandeza VG.
Plano Frontal é um plano perpendicular ao
plano Horizontal e paralelo ao plano Vertical,
deste modo é um plano da família vertical. Por
ser um plano perpendicular ao plano Horizontal
de projeções é um plano projetante.
Em épura o plano Frontal só apresenta a
projeção sobre o plano Horizontal de projeções:
o traço horizontal paralelo à linha de terra.
Todos os pontos de uma figura que estiver sobre
um plano frontal terão a projeção horizontal
sobre o traço horizontal, isto é, “o traço
horizontal é o lugar geométrico de todos os
pontos sobre um plano frontal,” e a projeção
vertical estará em verdadeira grandeza VG.
Plano de Perfil é um plano da família vertical é
simultaneamente perpendicular ao plano
Horizontal e ao plano Vertical de projeções. Por
ser um plano perpendicular a ambos os planos
de projeções é um plano projetante: seus traços
são o lugar geométrico das projeções de um
objeto sobre este plano.
Em épura, o plano de perfil apresenta as duas
projeções sobre uma mesma perpendicular à
linha de terra: traço Horizontal e traço
Vertical .
Todos os pontos de uma figura que estiver sobre
um plano de perfil terão a projeção horizontal e
a projeção vertical sobre o traço de mesmo nome e , isto é, “os traços vertical e horizontal
são o lugar geométrico de todos os pontos sobre um plano de perfil,” já a sua verdadeira
grandeza VG, se dá apenas quando for efetuado o rebatimento da projeção sobre o plano vertical
de projeções.
NOTA;
A projeção de perfil está relacionada a uma terceira projeção, na qual é representada em
verdadeira grandeza.
25

26. Plano Vertical é um plano perpendicular ao
plano horizontal de projeções e oblíquo em
relação ao plano vertical de projeções, é um
plano da família vertical e por ser perpendicular
ao plano horizontal é um plano projetante.
Em épura apresentam duas projeções: o traço
Horizontal formando um ângulo com a linha
de terra e o traço Vertical perpendicular à
linha de terra LT.
Todo ponto de uma figura sobre o plano
Vertical tem sua projeção horizontal sobre o seu
traço horizontal, isto é, “o traço horizontal é o
lugar geométrico de todos os pontos sobre um
plano vertical,”. Quanto à projeção vertical do
ponto, esta não se apresenta verdadeira devido a inclinação do plano Vertical em relação ao
plano Vertical de projeções.
Plano de Topo é um plano perpendicular ao
plano Vertical de projeções e oblíquo em
relação ao plano Horizontal de projeções, assim
como o plano vertical, o plano de Topo é um
plano projetante, por ser perpendicular, neste
caso, ao plano Vertical de projeções.
Em épura o ângulo que o traço Vertical
forma com a linha de terra é o mesmo ângulo
que o plano ângulo forma com o plano
Horizontal. A projeção e do traço Horizontal
determina o ângulo que é perpendicular a
linha de Terra LT.
Todo ponto de uma figura sobre o plano de
Topo tem sua projeção vertical sobre o seu traço vertical, isto é, “o traço vertical é o lugar
geométrico de todos os pontos sobre um plano de topo”. Quanto à projeção horizontal, esta não
se apresenta verdadeira devido a inclinação do plano de Topo em relação ao plano Horizontal de
projeções.
Plano Paralelo à linha de Terra ou Plano de
Rampa é o plano que forma ângulo com os
planos de projeções e é disposto frontalmente ao
plano Vertical de projeções.
O plano Paralelo à Linha de Terra ou plano de
Rampa é chamado de plano dos Ângulos
Complementares, pelo fato de que, o ângulo que
ele faz com o plano Horizontal de projeções
( ), somado com o ângulo que ele faz com o
plano Vertical de projeções ( ) ser igual a 90°,
ou seja: + = 90°.
Se o plano paralelo a LT formar ângulos iguais
com os planos Horizontal e Vertical de
projeções (45°), ele será perpendicular a um dos planos Bissetores e paralelo ao outro.
Quanto às projeções, tanto horizontais quanto verticais, não estão em verdadeira grandeza.
26

27. Plano que passa pela linha de Terra
É todo plano que contém a linha de terra.
Em épura os traços do plano que Passa Pela
Linha de Terra, coincidem com a linha de terra e
desse modo os traços não são suficientes par
determinarmos o plano.
Num mesmo plano que passa pela linha de terra,
a relação entre o afastamento e a cota é uma
( )
constante, ou seja: = , sendo
)
(
( ) e ( ) ,
é .
Se o ângulo entre o plano Que Passa Pela LT e
os planos de projeções Horizontal e Vertical for
igual a 45°, esse plano é um plano Bissetor.
RETAS PERTENCENTES A UM PLANO
Observe nas demonstrações gráficas a comprovação do seguinte teorema:
Teorema 5: “É condição necessária e suficiente para que uma reta pertença a um plano
que os traços da reta estejam sobre os traços de mesmo nome do plano, isto é, traço
horizontal da reta sobre o traço horizontal do plano e o traço vertical da reta sobre o
traço vertical do plano.”. Não se aplica à reta Paralela a linha de terra: reta Fronto-
horizontal.
1. Retas que pertencem ao plano QUALQUER
O Plano Qualquer é o plano que contém o maior número de retas de tipos diferentes,
quatro: reta horizontal, reta frontal, reta de perfil e reta qualquer.
Qualquer outro plano só contém três tipos diferentes de retas.
27

28. 2. Retas que pertencem ao plano HORIZONTAL
3. Retas que pertencem ao plano FRONTAL
28

29. 4. Retas que pertencem ao plano de PERFIL
5. Retas que pertencem ao plano VERTICAL
29

30. 6. Retas que pertencem ao plano de TOPO
7. Retas que pertencem ao plano PARALELO A LINHA DE TERRA
30

31. 8. Retas que pertencem ao plano QUE PASSA PELA LINHA DE TERRA
PONTO PERTENCENTE A UM PLANO
Teorema seis: A condição para que um ponto pertença a uma reta é que ele pertença a uma reta
do plano. Ou seja: “se o ponto pertence à reta e é uma reta do plano então, pertence a
”.
NOTA: (Veja o teorema três)
EXERCÍCIOS
1. Determinar, em épura, o plano Paralelo à linha de terra ao qual a reta definida pelos pontos
(3,0; 2,0; 1,0) e (6,0; 1,0; 2,0) pertence.
2. Determine os ângulos que o plano da questão anterior forma com os planos de projeções.
3. Determinar, em épura os traços do plano qualquer, que passa pela origem, ao qual a reta
pertence sabendo que (4,0; 1,0; 1,5) e (7,0; 3,0; 1,5).
4. Trace a épura de plano Paralelo à linha de terra que determina ângulos iguais com os plano de
projeções, e intercepta o plano horizontal de projeções no afastamento 5,0 unidades.
5. Verifique se o ponto (5,0; 2,0; 3,0) pertence ao plano da questão anterior.
Resolução dos exercícios de 1 a 5
1 Traçamos as projeções da reta
normalmente e, em seguida;
traçamos as projeções dos traços
do plano, pelos traços da reta: - O
traço vertical por V e o traço
horizontal por H.
Como o plano é paralelo a linha de
terra, seus traços também são.
31

32. 2 Traçando o plano de perfil auxiliar
(PPa) encontramos o ponto V3
sobre o PPa que indica o
rebatimento do traço vertical do
plano.
Rebatendo o traço 1
determinamos o ponto h3 sobre a
LT.
Ligando h3 a V3 encontramos a
projeção rebatida do plano ,
paralelo à linha de terra.
Com o auxílio de um transferidor
medimos os ângulos partindo da
linha de terra e do PPa
encontrando os ângulos de 48° e
42°, respectivamente.
Como o plano paralelo à LT é
chamado de plano dos ângulos
complementares: temos
48°+42°=90°.
3 Traçamos as projeções da reta,
normalmente e em seguida
determinamos os traços, com se
trata de uma horizontal só existe o
traço vertical V.
Ligamos o ponto V à origem, pois
pelo enunciado o plano passa pela
origem.
Como a reta dada é uma reta
frontal, só temos o traço: o traço
vertical na reta.
Neste caso a projeção do traço
horizontal do plano é paralelo ao
traço horizontal de reta.
4 Marcamos o traço horizontal do
plano paralelo à linha de terra no
afastamento igual a 5,0 unidades.
Em seguida traçamos um plano de
perfil auxiliar (PPa) interceptando
o traço, do plano procurado, no
ponto H.
Rebatemos o ponto H sobre a linha
de terra (LT) e com vértice neste
ponto (e com um transferidor),
marcamos o ângulo de 45° em
relação à LT encontrando o ponto
V sobre o PPa.
Pelo ponto V determinamos o
traço vertical do plano paralelo à
LT.
32

33. 5 Tomamos a épura do plano e nela
marcamos as projeções do ponto
A.
Rebatemos o plano e em seguida
fazemos o rebatimento do ponto
A.
Verificamos que a projeção A3,
rebatimento do ponto A, coincide
com a projeção rebatida do plano.
Quando a projeção rebatida de um
plano coincide com o rebatimento
de um plano, então este ponto
pertence ao plano.
No caso em questão o ponto A
pertence o plano dado.
ÉPURA DE PEÇAS EM TRÊS DIMENSÕES:
Toda figura em três dimensões têm suas representações geométricas espaciais: projeção Horizontal –
Vista Superior; projeção Vertical – Vista Frontal; projeção Lateral – Vista de Perfil. Estas projeções
determinam o espaço tridimensional.
Como determinar as
vistas:
Tomamos o objeto no
primeiro Triedro e por
cada uma de suas
arestas traçamos uma
visual projetante que a
projetará
perpendicularmente no
plano de projeções a
sua frente. O conjunto
de pontos projetados
definirá a épura da
peça.
Na representação acima temos algumas retas que se projetam em verdadeira grandeza (VG) em uns
planos e em outros não. É o caso das retas frontais só se projeta em VG no plano vertical de projeções.
Já as retas verticais estão em VG no plano vertical de projeções e no plano de perfil auxiliar, no plano
horizontal, a projeção desta reta é um ponto. (Veja o exercício 17 da seção anterior).
Exemplo:
Vamos agora fazer algo que fique perto da Arquitetura
ou qualquer outro Desenho Técnico que vamos realizar.
Dado o sólido geométrico ao lado verificamos três tipos
de retas:
a. De topo: AB, CD, EF e GH;
b. Fronto-horizontal: AC, BD, EG e FH;
c. Vertical: AE, BF, CG e DH.
33

34. Tomando o ponto E como referência, temos E(1,0; 5,0; 1,0), em metros, faça as projeções,
(horizontal, vertical e de perfil) de cada um dos, ligue as projeções e tenha as retas numa épura.
Use a escala de 1:100.
Observando a figura tridimensional temos o
plano ABCD visto de cima: Projeção
Horizontal (Vista Superior) vista de frente
temos o plano BDFH: Projeção Vertical (Vista
Frontal) e, visto de lado temos o plano ABEF:
Projeção Lateral (Vista de Perfil).
As retas de Topo: AB, CD, EF e GH, estão em
verdadeira grandeza nas projeções superior
e de perfil, as retas Fronto-horizontais: AC,
BD, EG e FH estão em verdadeira grandeza
nas projeções frontal e superior, enquanto
que as retas verticais: AE, BF, CG e DH estão
em verdadeira grandeza nas projeções
frontal e de perfil.
Exercícios:
Executar a épura de cada uma das peças dadas abaixo:
1. 2.
3. 4.
34

35. 5. 6.
Solução (de 1 a 6)
Para representarmos as peças em épura procedemos como no exemplo do primas ABCDEFGH,
mostrado acima.
Observa-se a predominância das retas:
· De topo;
· Vertical;
· Fronto-horizontal.
· Aparecem retas de perfil no exercício 1 e 6, reta frontal no exercício 4 e reta horizontal
no exercício 5.
Devemos seguir a sequência gráfica necessária e teremos as representações.
Em sala de aula o professor fará as representações na sequência lógica necessária.
1
35

36. 2
3
36

37. 4
5
37

38. 6
Procure identificar as retas que aparecem nas resoluções comparando-as com o desenho
isométrico dado no enunciado.
BIBLIOGRAFIA:
VITAL, Carlos Gentil Magalhães, Do Ponto Da Reta Do Plano, Vol. Único – Salvador BA:
Centro Editorial e Didático da UFBA, 1990. 1ª Edição
FONSÊCA, Ana Angélica Sampaio e – CARVALHO, Antonio Pedro Alves de – PEDROSO,
Gilberto de Menezes. Geometria Descritiva: Noções Básicas Vol. Único – Salvador BA:
Quarteto Editora, 5ª Edição 2003.
PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis, Noções de Geometria Descritiva vol.1. São Paulo: Editora
Nobel, 2008.
PRINCIPE JR. Alfredo dos Reis. Noções de Geometria Descritiva vol.2. São Paulo: Editora
Nobel, 2008.
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