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COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO
2º Ano de Formação Geral – Matemática
Professor Alfredo Coelho

TRIGONOMETRIA
A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu
estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo.


TRIÂNGULO RETÂNGULO
É o triângulo que contém um ângulo reto.
                               No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o
                               ângulo que mede      .
                               Em nosso estudo, se não for dada outra orientação,
                               adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu
                               vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A,
                               vértice B, corresponde ao ângulo B.
No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se
CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos:
O lado    , cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A,                cateto maior,
chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado                que é o maior dos lados, é
chamado de hipotenusa.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Enunciado:
         “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”.
Demonstração:
Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se
                             dividirmos os seus lados como mostrado na figura
                             temos:
                                   A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD,
                                   subtraída da soma das áreas de 1 a 4.
                                   As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados ,       e
                                    , e áreas iguais a           . A figura 5 é um QUADRADO

                                   de lado   e área igual    .
                                   Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a
                                           temos:
                              , verificando o valor da área 5, temos:

                              , de onde podemos verificar que:
      e, assim concluímos que:
                                                     cqd.
Exercícios Resolvidos
Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos       e      iguais a 5,0 e 12,0
centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa   .
Solução:
Pelo teorema de Pitágoras temos
Logo:                                        ou seja         , de onde

Exercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas em
centímetros, determine o valor de x.
Solução:

Pelo teorema de Pitágoras temos

Logo:              de onde               .
Exercícios Propostos

Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos
e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo.
Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual que
mede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que se
encontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra o
helicóptero.

RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos e . Tomando-se o ponto D sobre a
                                  hipotenusa , temos os segmentos:          (h) igual
                                  altura relativa à hipotenusa ,         (m) igual a
                                  projeção do cateto sobre a hipotenusa e         (n)
                                  igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa .
                                     A altura h divide o triângulo ABC em dois outros
                                     triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e
                                     também semelhante ao triângulo ABC.

                    Deste modo temos:
I Triângulo ABC                      II Triângulo ADC                    III Triângulo CDB




De I e II temos                   , então podemos fazer:

                                                                                             2
1-                                            2-

De II e III temos                  , então podemos fazer:
                       3-

De I e III temos                   , então podemos fazer:
4-                                            5-

Exercícios Resolvidos

Exercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e
                         h, em centímetros.
                        Solução:
                        Aplicando o teorema de Pitágoras temos




Respostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm.
Exercícios Propostos

Exercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que         e
         , medido em centímetros, calcule, a medida de      a
medida de      , a medida de    , a medida de     e a área do
triângulo ABC.
Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se
uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma
perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de
segmento MN.
Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão em
metros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas por
letras.


FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois
agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é
oposto à hipotenusa.
São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno
e Tangente.


                                                                                         3
FUNÇÃO SENO
Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a
hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então
teremos:

                                             , isto é,

FUNÇÃO COSSENO
Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um
ângulo e a hipotenusa do triângulo”.

                                                  , isto é,

FUNÇÃO TANGENTE
Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto
adjacente a um ângulo”.

                                                 , isto é,


Exercícios Resolvidos

                                 Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo
                                 calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno,
                                 cosseno e tangente, em relação ao ângulo A.
                                 Solução:
                                                       .
                                                                     ou seja,              .
                             .
                                            ou seja,

                 .
                                     ou seja,
                     .

Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c.,
respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo , calcule        ,       e
    .
Solução:
Cálculo da hipotenusa                                         . .
                         .
                                       , ou seja,             ·.
                             .
                                       , ou seja,
                 .
                                    , ou seja,
                     .
Exercícios Propostos

                                                                                          4
Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funções
seno, cosseno e tangente para os ângulos A e B.


Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede        e a hipotenusa mede
       calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo.
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

1ª – Tomando-se                                                e                                           ,
como               , temos                   simplificando vem:

2ª – Da dedução anterior temos:                                e                           ,   elevando as
igualdades ao quadrado temos,                              e                               .   Somando
com     ,   vem                                                    .    Pelo teorema de Pitágoras
                  , logo teremos a expressão                                                    , pondo
em evidência vem:                                         , ou seja,

3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares:                                        e o
lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo
Demonstração:
Na figura do topo da página, temos:                        e                           para o ângulo A e

             e               para o ângulo B. Desse modo temos:

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido – 8 Dado                calcule            e           .
Solução:

Como                         temos

             ou seja            . Fazendo                  vem

Exercício Resolvido – 9 Dado                 calcule           e               .
Solução:

Como                                 de onde temos                                 .

Mas                                               c                    ou seja         c         , de onde
vem                e            .
Exercícios Propostos

Exercício 8 – Dado                   calcule o valor de                e           .
Exercício 9 – Sendo              calcule o valor de                e               .
                                                                                                           5
Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a
calcule o valor do seno e tangente desse ângulo.
Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos
agudos, é igual     . Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo?
Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado?

CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE
Usaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução.
Ângulo de 30° e 60°
Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos
                          internos A, B e C são iguais a 60° Traçando-se a mediana
                                                            .
                               dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de
                          lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e
                          60° .
                             Cálculo do valor numérico de H.

                             Pelo teorema de Pitágoras temos:                     , de
                             onde                                          ou        .

                             De onde vem               ··; concluindo
Seno, cosseno e tangente de 30°:

Da definição de seno temos                                     ou seja:


Da definição de cosseno temos                                       ou seja:


De                                                       ou seja:

Seno, cosseno e tangente de 60°:
Aplicando a relação para ângulos complementares temos:

              ,              e

Ângulo de 45°
Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C
                              medem 45° respectivamente. O ângulo
                                          ,
                              mede 90°  .
                                 Cálculo do valor numérico de M.



                                                                                         6
Pelo teorema de Pitágoras temos:                       , isto é:

Seno, cosseno e tangente de 45°:

Da definição de seno temos                                        ou seja:


Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais,                     , ou seja:

Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0° até
                                                                                   )
o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90° enquanto que o cateto adjacente pode
                                               ),
variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0° até 0 (para o ângulo de 90°
                                                    )                           ).




Temos as seguintes relações a mais:

                             e

                             e

                e                     (o símbolo     significa não existe)

Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das
principais funções trigonométricas de 0° a 90°.
                                                   Ângulos
             Funções
                             0°          30°         45°         60°         90°

                sen              0                                           1


                cos              1                                           0


                 tg              0                   1


OBSERVAÇÃO
Os ângulos de       ,   e        são chamados de ângulos ou arcos notáveis.
Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de            igual a            .
Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere            ).

                                                                                             7
Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da
torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja.
Sabendo que o ângulo de visão do observador é de      com a horizontal e, considerando
           responda as alternativas:
   a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema.
   b. Calcule a distância do observador ao avião.
   c. Calcule a distância do observador à igreja.
Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o        é retângulo em B e
             . O segmento      é bissetriz do ângulo        e
          . Determine a medida de .
Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão
numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos            e B
formando o segmento de reta      e Carlos está num ponto , de modo que o segmento
    forma um ângulo de      com     e o segmento     forma um ângulo de   com    .
Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de     :
   a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema.
   b. Calcule a distância entre Antonio e Bento.
   c. Calcule a distância entre Bento e Carlos.
Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados,
paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na
outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos       e    são iguais e
medem 75° Determine a largura, aproximada do rio, considerando o c
          .                                                                    ·.


TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO
É no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral.
CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA:
Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma
posição, simultaneamente no espaço, são entidades
geométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna,
contornada pela linha da circunferência uma é área e a
outra linha, logo não tem sentido falar em área da
circunferência, ou em comprimento do círculo.

ÂNGULO E ARCO
Outras duas entidades relacionadas           com    círculo     e
circunferência, são ângulos e arcos.
Num círculo são dados três pontos A e B sobre a
circunferência e C no centro do círculo.
Quando um ponto se move sobre a circunferência, do ponto
A até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamada
de arco de circunferência, ou simplesmente arco            .
Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha


                                                                                     8
que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo,
a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo        .
NOTAS:
     •   Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo;
     •   O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que
         contorna o círculo;
     •   O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco.
     •   O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo;
     •   Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o
         raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja
                    , o arco AB coincide com o ângulo ACB.

UNIDADES DE MEDIDAS
Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra
medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO.
GRAU
Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência,
ou              logo podemos concluir de que uma circunferência
contém um ângulo central total de          .
RADIANO
Um radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual a
medida do raio, ou seja: sendo o ângulo central correspondente
ao arco l, então temos:



Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito ( ) é
dividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominada
de com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de
  , atualmente é aproximado para 3,14.
Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes
(ângulos), igual a        cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo central
total de uma circunferência é igual a        .
Do que foi visto acima temos:
                                          como
Comprimento de uma circunferência é igual a                   . Substittuindo o ângulo total da
circunferência       por    , temos              ,   o qual se pode generalizar para qualquer
arco , tal que:
                                        Sendo α em radiano (rad)
CONVERSÕES
Como a circunferência mede            equivalente a           , temos:


                                                                                              9
. Onde       será o correspondente em graus ( ) e              o
correspondente em radiano (           .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de             e (b) de        para       .
Solução:

   (a)                            , ou seja,

   (b)                               , ou seja,

Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de                  e (b) de           para
graus.
Solução:

   (a)                                                        ·, ou seja,


   (b)                                                        , ou seja,

Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de                e (b) de
Solução:

   (a) De                                 , tomando-se o valor aproximado de       de 3,14 vem:

                   . Nota com esta aproximação o único valor exato é          , usarmos o valor de
     , com 32 casas decimais o valor encontrado seria                Vamos trabalhar com 3,14.

   (b)
NOTAS IMPORTANTES:
   1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede                   rad, e a
      circunferência total mede  rad.
   2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por:

Exercícios Propostos
Exercício 18 – Converta os ângulos (a) de          (b) de          e (c) de 315 para            .

Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de               , (b) de              e (c) de
para     graus.
Exercício 20 – Converta (a)          , (b)            e (b)             para graus.
Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a             , (b)
   , (c)      , sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros.
                                                                                                        10
Respostas dos Exercícios Propostos:
Exercício – 1.        dad
Exercício – 2.              r
Exercício – 3.                      ,                  ,               ,                  e a área     .
Exercício – 4.
Exercício – 5.                  ,                  ,                       e              .
Exercício – 6.                          ,                  ,                   ,                   ,       e


Exercício – 7.                  ,                      e

Exercício – 8.                      e

Exercício – 9.                          e

Exercício – 10.                         e

Exercício – 11.                     e
Exercício – 12. Pela tabela                       logo
Exercício – 13. 20 cm



Exercício – 14. a.                                     b. 1000 m               c. 865 m
Exercício – 15. 12 cm




Exercício – 16. a.                                              b.                            c.
Exercício – 17.

Exercício – 18. (a)   rad, (b)                rad (c)          rad.
Exercício – 19. (a)         , (b)             e (c)        .
Exercício – 20. (a)                         (b)                , (c)                  .
Exercício – 21. (a)             ; (b)              ; (c)




                                                                                                               11

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Trigonometria 1

  • 1. COLÉGIO ESTADUAL JOSUÉ BRANDÃO 2º Ano de Formação Geral – Matemática Professor Alfredo Coelho TRIGONOMETRIA A Trigonometria tem origem no Triângulo Retângulo e, por esse motivo, para iniciarmos o seu estudo vamos fazer uma breve revisão do triângulo retângulo. TRIÂNGULO RETÂNGULO É o triângulo que contém um ângulo reto. No triângulo dado o ângulo reto é o ângulo do vértice C é o ângulo que mede . Em nosso estudo, se não for dada outra orientação, adotaremos o nome do ângulo igual ao nome de seu vértice. Por exemplo: vértice A corresponde ao ângulo A, vértice B, corresponde ao ângulo B. No triângulo retângulo os lados têm nomes próprios: os dois menores chamam-se CATETOS e o maior chama-se HIPOTENUSA. Em nosso triângulo temos: O lado , cateto menor, chamado de cateto oposto ao ângulo A, cateto maior, chamado de cateto adjacente ao ângulo A e, o lado que é o maior dos lados, é chamado de hipotenusa. TEOREMA DE PITÁGORAS Enunciado: “O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Demonstração: Com base no triângulo do item anterior, tomamos um quadrado ABCD qualquer. Se dividirmos os seus lados como mostrado na figura temos: A área da figura 5 é igual a área do quadrado ABCD, subtraída da soma das áreas de 1 a 4. As figura 1, 2, 3, e 4 são TRIÂNGULOS de lados , e , e áreas iguais a . A figura 5 é um QUADRADO de lado e área igual . Calculando a área do quadrado ABCD de lados iguais a temos: , verificando o valor da área 5, temos: , de onde podemos verificar que: e, assim concluímos que: cqd. Exercícios Resolvidos
  • 2. Exercício resolvido 1 – Sedo um triângulo retângulo de catetos e iguais a 5,0 e 12,0 centímetros, respectivamente calcule o valor de sua hipotenusa . Solução: Pelo teorema de Pitágoras temos Logo: ou seja , de onde Exercício resolvido 2 – Dado o triângulo ao lado com medidas em centímetros, determine o valor de x. Solução: Pelo teorema de Pitágoras temos Logo: de onde . Exercícios Propostos Exercício 1 – Dado o triângulo ao lado determine quem são os catetos e a hipotenusa. Calcule o valor da hipotenusa e a área do triângulo. Exercício 2 – João avista um helicóptero segundo um raio visual que mede 1300 metros. Sabendo que a distância horizontal de João até a vertical em que se encontra o helicóptero é igual a 500 metros, calcule a altura em que se encontra o helicóptero. RELAÇÕES ENTRE OS LADOS DE UM TRIÂNGULO RETÂNGULO Dado um triângulo retângulo qualquer de catetos e . Tomando-se o ponto D sobre a hipotenusa , temos os segmentos: (h) igual altura relativa à hipotenusa , (m) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa e (n) igual a projeção do cateto sobre a hipotenusa . A altura h divide o triângulo ABC em dois outros triângulos (ACD e CBD) semelhantes entre si e também semelhante ao triângulo ABC. Deste modo temos: I Triângulo ABC II Triângulo ADC III Triângulo CDB De I e II temos , então podemos fazer: 2
  • 3. 1- 2- De II e III temos , então podemos fazer: 3- De I e III temos , então podemos fazer: 4- 5- Exercícios Resolvidos Exercício resolvido – 3 Dado o triângulo retângulo abaixo, calcule as medidas de c, m, n e h, em centímetros. Solução: Aplicando o teorema de Pitágoras temos Respostas: c=10,0cm; m=6,4cm; n=3,6cm e h=4,8cm. Exercícios Propostos Exercício 3 – Dado o triângulo ao lado, sabendo que e , medido em centímetros, calcule, a medida de a medida de , a medida de , a medida de e a área do triângulo ABC. Exercício 4 – Num triângulo equilátero ABC, de lado 16 u.c. A partir do vértice A traça-se uma reta até o ponto médio (M) do lado BC (mediana AM), e daí traça-se uma perpendicular ao lado AC determinando o ponto N, em AC. Calcule a medida de segmento MN. Exercício 5 – No triângulo dado, as medidas estão em metros. Calcule o valor numérico das medidas indicadas por letras. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo temos um ângulo reto e dois agudos, o ângulo reto é determinado pelos catetos e é oposto à hipotenusa. São definidas três funções Trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente. 3
  • 4. FUNÇÃO SENO Defini-se função Seno (sen) como sendo “a razão entre o cateto oposto a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. No nosso triângulo temos vamos considerar o ângulo A, então teremos: , isto é, FUNÇÃO COSSENO Defini-se função Cosseno (cos) como sendo “a razão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo”. , isto é, FUNÇÃO TANGENTE Defini-se função Tangente (tg) como sendo “a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a um ângulo”. , isto é, Exercícios Resolvidos Exercício resolvido – 4 No triângulo retângulo dado abaixo calcule o valor numérico das funções trigonométricas, seno, cosseno e tangente, em relação ao ângulo A. Solução: . ou seja, . . ou seja, . ou seja, . Exercício resolvido – 5 Dado um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 e 8 u.c., respectivamente. Sendo o menor cateto, oposto ao ângulo , calcule , e . Solução: Cálculo da hipotenusa . . . , ou seja, ·. . , ou seja, . , ou seja, . Exercícios Propostos 4
  • 5. Exercício 6 – No triângulo dado abaixo determine as funções seno, cosseno e tangente para os ângulos A e B. Exercício 7 – Num triângulo retângulo um dos catetos mede e a hipotenusa mede calcule as funções seno, cosseno e tangente do maior ângulo agudo. RELAÇÕES FUNDAMENTAIS 1ª – Tomando-se e , como , temos simplificando vem: 2ª – Da dedução anterior temos: e , elevando as igualdades ao quadrado temos, e . Somando com , vem . Pelo teorema de Pitágoras , logo teremos a expressão , pondo em evidência vem: , ou seja, 3ª – Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares: e o lado oposto ao ângulo A é adjacente ao ângulo B e vice-versa. Desse modo Demonstração: Na figura do topo da página, temos: e para o ângulo A e e para o ângulo B. Desse modo temos: Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido – 8 Dado calcule e . Solução: Como temos ou seja . Fazendo vem Exercício Resolvido – 9 Dado calcule e . Solução: Como de onde temos . Mas c ou seja c , de onde vem e . Exercícios Propostos Exercício 8 – Dado calcule o valor de e . Exercício 9 – Sendo calcule o valor de e . 5
  • 6. Exercício 10 – Tomando o cosseno de um ângulo encontrou-se a medida igual a calcule o valor do seno e tangente desse ângulo. Exercício 11 – Num triângulo retângulo a tangente calculada, de um de seus ângulos agudos, é igual . Qual o valor do seno e cosseno desse ângulo? Exercício 12 – No exercício anterior quais os ângulos agudos do triângulo dado? CÁLCULO DO VALOR NUMÉRICO DO SENO, DO COSSENO E DA TANGENTE Usaremos triângulos equiláteros e isósceles de 45° para a dedução. Ângulo de 30° e 60° Consideremos um triângulo equilátero de lado L. No triângulo equilátero os ângulos internos A, B e C são iguais a 60° Traçando-se a mediana . dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos de lados H, L/2 e L, com os ângulos complementares 30° e 60° . Cálculo do valor numérico de H. Pelo teorema de Pitágoras temos: , de onde ou . De onde vem ··; concluindo Seno, cosseno e tangente de 30°: Da definição de seno temos ou seja: Da definição de cosseno temos ou seja: De ou seja: Seno, cosseno e tangente de 60°: Aplicando a relação para ângulos complementares temos: , e Ângulo de 45° Consideremos um triângulo isósceles de lados L e base M, cujos ângulos da base: B e C medem 45° respectivamente. O ângulo , mede 90° . Cálculo do valor numérico de M. 6
  • 7. Pelo teorema de Pitágoras temos: , isto é: Seno, cosseno e tangente de 45°: Da definição de seno temos ou seja: Como o cateto oposto e cateto adjacente ao ângulo A são iguais, , ou seja: Como no triângulo retângulo e o cateto oposto pode variar de 0 (para o ângulo de 0° até ) o tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 90° enquanto que o cateto adjacente pode ), variar do tamanho da hipotenusa (para o ângulo de 0° até 0 (para o ângulo de 90° ) ). Temos as seguintes relações a mais: e e e (o símbolo significa não existe) Com os dados calculados acima podemos construir a TABELA de valores numéricos das principais funções trigonométricas de 0° a 90°. Ângulos Funções 0° 30° 45° 60° 90° sen 0 1 cos 1 0 tg 0 1 OBSERVAÇÃO Os ângulos de , e são chamados de ângulos ou arcos notáveis. Exercício 13 – Um triângulo retângulo tem lado oposto ao ângulo de igual a . Qual a medida da hipotenusa desse triângulo? (Considere ). 7
  • 8. Exercício 14 – Quando um avião está na altura 500 metros, do solo, na mesma vertical da torre de uma igreja, é avistado por um observador, na mesma horizontal da igreja. Sabendo que o ângulo de visão do observador é de com a horizontal e, considerando responda as alternativas: a. Construa um triângulo retângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância do observador ao avião. c. Calcule a distância do observador à igreja. Exercício 15 – (OM-SP) Na figura, o é retângulo em B e . O segmento é bissetriz do ângulo e . Determine a medida de . Exercício 16 – Três colegas: Antonio, Bento e Carlos estão numa quadra. Antonio e Bento ocupam os pontos e B formando o segmento de reta e Carlos está num ponto , de modo que o segmento forma um ângulo de com e o segmento forma um ângulo de com . Sabendo que a distância entre Antonio e Carlos é de : a. Desenhe um triângulo para ilustrar o problema. b. Calcule a distância entre Antonio e Bento. c. Calcule a distância entre Bento e Carlos. Exercício 17 – (FUVEST-SP) (Adaptado) Dois pontos A e B, estão situados, paralelamente, na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio, está situado de tal modo que os ângulos e são iguais e medem 75° Determine a largura, aproximada do rio, considerando o c . ·. TRIGONOMETRIA NO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO É no círculo onde o estudo da trigonometria fica mais completo e geral. CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA: Círculo e circunferência, apesar de ocuparem a mesma posição, simultaneamente no espaço, são entidades geométricas diferentes. O círculo refere-se à região interna, contornada pela linha da circunferência uma é área e a outra linha, logo não tem sentido falar em área da circunferência, ou em comprimento do círculo. ÂNGULO E ARCO Outras duas entidades relacionadas com círculo e circunferência, são ângulos e arcos. Num círculo são dados três pontos A e B sobre a circunferência e C no centro do círculo. Quando um ponto se move sobre a circunferência, do ponto A até o ponto B, ele descreve uma linha de A até B chamada de arco de circunferência, ou simplesmente arco . Enquanto o ponto se desloca sobre a circunferência, a linha 8
  • 9. que liga o ponto C ao ponto A (raio da circunferência) descreve uma área sobre o círculo, a qual nós chamamos de ângulo central, ou simplesmente ângulo . NOTAS: • Ângulos e arcos são entidades geométricas ligadas ao mesmo círculo; • O ângulo descreve uma área no círculo e o arco descreve uma linha na circunferência que contorna o círculo; • O arco depende do raio, quanto maior o raio, maior será o arco. • O ângulo central não depende do raio. Independente do raio o ângulo central é o mesmo; • Veremos no círculo trigonométrico que tanto faz falarmos em ângulo como em arco, pois o raio é unitário e desse modo, ângulo e arco tornam-se uma mesma entidade, ou seja , o arco AB coincide com o ângulo ACB. UNIDADES DE MEDIDAS Os ângulos são medidos em GRAUS e os arcos são medidos em RADIANOS, outra medida, (pouco utilizada) para medir anglos é o GRADO. GRAU Grau é a tricentésima sexagésima parte da área da circunferência, ou logo podemos concluir de que uma circunferência contém um ângulo central total de . RADIANO Um radiano é o ângulo central (arco) cuja medida do arco é igual a medida do raio, ou seja: sendo o ângulo central correspondente ao arco l, então temos: Em qualquer circunferência, quando a medida do comprimento total por ela descrito ( ) é dividida pelo seu diâmetro (d) o resultado é igual a uma constante irracional denominada de com unidade em radiano (rad). O diâmetro é igual a dois raios e valor numérico de , atualmente é aproximado para 3,14. Quando uma circunferência é dividida por seu diâmetro, ela fica dividida em duas partes (ângulos), igual a cada uma, o que nos leva à conclusão de que o ângulo central total de uma circunferência é igual a . Do que foi visto acima temos: como Comprimento de uma circunferência é igual a . Substittuindo o ângulo total da circunferência por , temos , o qual se pode generalizar para qualquer arco , tal que: Sendo α em radiano (rad) CONVERSÕES Como a circunferência mede equivalente a , temos: 9
  • 10. . Onde será o correspondente em graus ( ) e o correspondente em radiano ( . Exercícios Resolvidos Exercício Resolvido – 10. Converta os ângulos (a) de e (b) de para . Solução: (a) , ou seja, (b) , ou seja, Exercício Resolvido – 11. Converta os ângulos (a) de e (b) de para graus. Solução: (a) ·, ou seja, (b) , ou seja, Exercício Resolvido – 12. Calcular o valor, em graus, (a) de e (b) de Solução: (a) De , tomando-se o valor aproximado de de 3,14 vem: . Nota com esta aproximação o único valor exato é , usarmos o valor de , com 32 casas decimais o valor encontrado seria Vamos trabalhar com 3,14. (b) NOTAS IMPORTANTES: 1. Tratando-se de ângulo central a metade de uma circunferência mede rad, e a circunferência total mede rad. 2. Com o conceito de radiano o comprimento de um arco em graus será dado por: Exercícios Propostos Exercício 18 – Converta os ângulos (a) de (b) de e (c) de 315 para . Exercício 19 – Converta os ângulos (a) de , (b) de e (c) de para graus. Exercício 20 – Converta (a) , (b) e (b) para graus. Exercício 21 – Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central (a) é igual a , (b) , (c) , sendo os raios respectivamente iguais a: 5; 3 e 8 metros. 10
  • 11. Respostas dos Exercícios Propostos: Exercício – 1. dad Exercício – 2. r Exercício – 3. , , , e a área . Exercício – 4. Exercício – 5. , , e . Exercício – 6. , , , , e Exercício – 7. , e Exercício – 8. e Exercício – 9. e Exercício – 10. e Exercício – 11. e Exercício – 12. Pela tabela logo Exercício – 13. 20 cm Exercício – 14. a. b. 1000 m c. 865 m Exercício – 15. 12 cm Exercício – 16. a. b. c. Exercício – 17. Exercício – 18. (a) rad, (b) rad (c) rad. Exercício – 19. (a) , (b) e (c) . Exercício – 20. (a) (b) , (c) . Exercício – 21. (a) ; (b) ; (c) 11