Matriz inversa(17 08-2012)
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Matriz inversa(17 08-2012) Matriz inversa(17 08-2012) Presentation Transcript

  • Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente deA si podemos transformar A en B mediante una combinación delas operaciones elementales de fila:Multiplicar una fila de A por un número realcualquiera diferente de cero. Intercambiar filas. Sumar a una fila de A cualquier otra fila.
  • Ejemplo:A=
  • Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan deizquierda a derecha fila a fila.Ejemplo:
  • Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y en susrespectivas columnas son los únicos diferentes de cero.Ejemplo:
  • Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferentede cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la filaanterior. Pivotes
  • Ejercicio:Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su formaescalonada reducida por filas. Matriz escalonada por filas
  • Matriz escalonadareducida por filas.
  • MATRICES REDUCIDAS POR FILAS Una matriz es reducida por filas si cumple lo siguiente:1. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, es 1.2. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay ceros
  • Ejemplo:la siguiente matriz es reducida por filas
  • MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA POR FILASSe cumplen las siguientes condiciones de matriz escalonada y: Sus pivotes son todos iguales a 1 En cada fila el pivote es el único elemento no nulo de su columna.
  • Ejemplo:
  • MATRIZ INVERSA *Encontrar una matriz B de modo que A·B =B·A=ICuando tenemos este caso decimos que dichamatriz B que cumpla las condiciones anteriores esla matriz inversa de la matriz AUna matriz cuadrada A es invertible si existe unamatriz que denotemos por A-1 que cumple: A · A-1 = A-1 · A = I
  • Para: A · A-1 = A-1 · A = IDonde I es la matriz identidad. En este caso se dice queA-1 es la inversa de ANotamos que: A · A-1 son conmutables
  • PROPIEDADES (A · B)-1 = B-1 · A-1 (A-1)-1 = A (k · A)-1 = k-1 · A-1 (A t)-1 = (A -1)t No toda matriz cuadrada tiene inversa, la condición es que su determinante sea diferente de cero
  • Cálculo de una matrizinversa:Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos lamatriz identidad luego aplicamos el método deGauss Jordan.Al final debemos obtener la matriz identidad peroen el lado izquierdo y lo que nos quede en el ladoderecho será nuestra matriz inversa. GAUSS -1) (A|I) (I|A
  • EJERCICIOHallar la matriz inversa de la matriz An
  • F2=F2-F1
  • F3=F3+F2F2=F2-F3
  • F1=F1+F2F2=(-1)F2
  • COMPROBACIÓNA · A-1 = A-1 · A = I