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GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 32. Área entre curvas de funciones c...
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  1. 1. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 1Universidad de El Salvador.Facultad de Ciencias EconómicasDepartamento de Matemática y estadística.Asignatura: Matemáticas 3 / ciclo 01 2013Docente: Saúl Quintanilla.Instructor: Aarón MeléndezGuía #2Gráficas y áreas entre curvas enMatlab.Recordando los comando esenciales para realizar gráficos rápidos en Matlab, ahora conviene relacionarlos en torno alcontenido de la asignatura, específicamente en algunos ejercicios clave propuesto en la guía de estudio.1. Área entre curvas de funciones seccionadas.Para una función seccionada a veces no es conveniente las opciones de ploteo automático del comando ezplot. Para elloahora utilizaremos el comando plot, el cual necesita que se le defina un intervalo a la función, para que esta sea graficada.Ejercicio 13. Parte VI.Encuentre el área entre la regio limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar lospuntos de intersección requeridos.𝑦 = 1𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = { 𝑥2𝑠𝑖 𝑥 < 0𝑥3𝑠í 𝑥 ≥ 0}Para establecer intervalos adecuados para la gráfica, asumamos que el primer segmento de f(x) será de x[-5 0] y elsiguiente segmento de x[0 5], para ello establecemos el rango de la función en Matlab.Usaremos los comandos x: inicio: paso: final , esto crea un vector “x”, indicando el valor inicial, la cantidad de cálculos opasos a realizar hasta llegar al valor final.Funcion=(condición).*(Sección de función) genera una función condicionada; plot(x,y) donde “x” es la variableindependiente y “y” es la función a graficar. Note que las multiplicaciones se indican como “.*” dado que es la sintaxis queentiende Matlab para una multiplicación vectorial.x=-5:0.001:5;y1=(-5<x<5).*(1+0.*x);y2=(x<0).*(x.^2)+(x>0).*(x.^3);plot(x,y1);hold onplot(x,y2);grid onEso nos genera la gráfica seccionada, y la línea recta. Ahora, como puede ver, el problema es que el área es muy pequeña.Para eso cambiemos el valor del eje Y en Tools>>Axes Properties en la ventana de gráficos. Pongamos un valor de 0 hasta3.
  2. 2. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 2Gráfica seccionadaComo podemos ver, obtenemos la gráfica seccionada, siendo a la izquierda la cuadrática, y a la derecha la cubica.Ahora, por análisis, podemos llegar a la conclusión que su área se calcula como:á𝑟𝑒𝑎 = ∫ (1 − 𝑥2)𝑑𝑥0−1+ ∫ (1 − 𝑥3)𝑑𝑥10En Matlab tenemos:La respuesta es 1.416 u2.
  3. 3. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 32. Área entre curvas de funciones continúas.Ejercicio 21. Parte VI.Encuentre el área entre la regio limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Asegúrese de encontrar lospuntos de intersección requeridos.𝑦 = 𝑥3− 6𝑥2+ 8𝑥𝑦 = 𝑥2− 4𝑥Ingresamos los comandos en Matlab:clear allclcsyms xy1=x^3-6*x^2+8*x;y2=x^2-4*x;ezplot(y1)hold onezplot(y2)grid onComo se dará cuenta, la gráfica automática, arroja unos intervalos muy grandes, y el área de interés es muy pequeña. Paraeso cambiaremos el valor de los ejes en las propiedades del grafico asignando x[-1 5] y[-10 10]Gráfica con acercamiento por modificación de valores de ejes.Al analizar, vemos que tenemos dos secciones distintas, y por intuición podemos definir que:
  4. 4. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 4á𝑟𝑒𝑎 = ∫ (𝑥3− 6𝑥2+ 8𝑥) − (𝑥2− 4𝑥)𝑑𝑥30+ ∫ (𝑥2− 4𝑥) − (𝑥3− 6𝑥2+ 8𝑥)𝑑𝑥43Al ingresarlo a Matlab tenemos:3. Curvas de oferta y demanda.Ejercicio 15. Parte VII.Un establecimiento de comida rápida determina que la ecuación de demanda de su nuevo platillo “lahamburguesa doble suiza” se expresa por 𝑝 =128(𝑞+1)2, donde p es el precio, por ración y “q” es la cantidad deraciones que se pueden vender por hora a ese precio. Al mismo tiempo la franquicia está preparada para vender𝑞 = 0.5𝑝 − 1 raciones por hora a un precio de p dólares. Calcule el precio de equilibrio p0 y los excedentes delconsumidor y del productor en ese nivel de precio.El ejercicio nos arroja las ecuaciones:Ecuación de demanda:𝑝 =128(𝑞 + 1)2Ecuación de oferta:𝑞 = 0.5𝑝 − 1Dado que la ecuación de oferta está en términos de q, es necesario despejar, por lo que tenemos:Ecuacion de oferta:𝑝 = 2𝑞 + 2Si igualamos ambas ecuaciones, debemos de encontrar el punto en que se cruzan, es decir el precio y cantidad deequilibrio:2𝑞 + 2 =128(𝑞 + 1)2Al despejar tenemos:(2𝑞 + 2)(𝑞 + 1)2= 128
  5. 5. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 5Lo que al desarrollar nos lleva a:2𝑞3+ 6𝑞2+ 6𝑞 + 2 = 128Lo indicamos como ecuación cubica:2𝑞3+ 6𝑞2+ 6𝑞 − 126 = 0Ahora en Matlab utilizamos el comando solve(‘ecuación’). Este comando sirve para resolver ecuaciones.Las respuestas son:𝑞1 = 3𝑞2 = −3 + 2√3𝑖𝑞3 = −3 − 2√3𝑖Donde “i” hace referencia a números imaginarios. Por lo tanto q2 y q3 son números complejos. (Para mayores referenciasconsulte un libro de algebra en la sección de números imaginarios).Ya que en economía, los números imaginarios no tienen ningún tipo de validez o aplicación (hasta el momento), estasrespuestas se obvian; siendo la única respuesta de nuestro interés q1=3.Esto quiere decir, que el punto en que se interceptan la curva de oferta y demanda es en q=3. Si tomamos cualquierecuacion y sustituimos dicho valor, obtenemos su intercepción en p:𝑝 = 2𝑞 + 2𝑝 = 2(3) + 2𝑝 = 8Así que el punto óptimo (o precio de equilibrio) se da en (3,8) siendo (q,p) las coordenadas.
  6. 6. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 6Si graficamos en Matlab, podemos comprobarlo. Dado que es una aplicación de economía, solamente nos interesa elprimer cuadrante, por lo que resulta conveniente ajustar los ejes así: x[0 6] y[0 20].Curvas de oferta y demandaComo puede verse, el excedente del productor está limitada entre la recta y=8 y la curva de oferta.En cambio, el excedente del consumidor, está limitada entre la recta y=8 y la curva de demanda, la cual es tan extensaque no alcanza a mostrarse en la gráfica.Ahora integramos:𝜀 𝑝 = ∫ (8 − 2𝑞 + 2)𝑑𝑞30𝜀 𝑝 = ∫ (10 − 2𝑞)𝑑𝑞30Y también:𝜀 𝑐 = ∫ (128(𝑞 + 1)2− 8) 𝑑𝑞30Ingresamos en Matlab:
  7. 7. GUIA #2 · GRÁFICAS Y ÁREAS ENTRE CURVAS EN MATLAB · MATEMATICAS 3 CICLO 01 2013. PÁG. 7Por la aplicación usada, sabemos que el resultado esta expresado en unidades monetarias U.M. por lo que las respuestasson:𝜀 𝑐 = 72 𝑈. 𝑀.𝜀 𝑝 = 9 𝑈. 𝑀.4. Comandos nuevos.Los nuevos comandos utilizados son:Para tener un conocimiento completo de dichos comandos, consultar la ventana de ayuda)Clear all Borra todas las variables y funciones creadas y cargadas en memoriaclc Limpia la ventana de comandosplot Genera un gráfico a partir de una cadena de valores.x=inicio:pasos:finalGenera una matriz “x” de valores entre un valor inicial y un final, definiendo los pasos o sucesionesindicadas.5. CONCLUSIONES.Matlab, aunque resulte difícil su uso, su robustez en análisis matemático resulta muy útil; por lo que bien vale la penahacer un esfuerzo por dominarlo.REFERENCIAS UTILIZADAS:Help Windows de Matlab 5.3

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