1. 11 모집단과
표본 추정하기
예측하기

2. 표본 모집단
표본에서 모집단을 추정.
모집단에서 표본을 추정.

3. 표본에서 모집단으로
표본에서 모집단의 평균값과 분산
추정
61.9 62.6 63.3 64.8 65.1
66.4 67.1 67.2 68.7 69.9

4. 모집단의 평균값 추정
표본의 평균값을 모집단의 평균값
으로 사용.
거의 동일하다고 기대
도수
표본 모집단
맛 지속시간

5. 점추정(point estimator)

6. 점추정(point estimator)
표본의 평균값이 모집단의 평균값과 정확
히 일치한다고 할 수 없다.

7. 점추정(point estimator)
표본의 평균값이 모집단의 평균값과 정확
히 일치한다고 할 수 없다.
그러나, 최선의 예측.

8. 점추정(point estimator)
표본의 평균값이 모집단의 평균값과 정확
히 일치한다고 할 수 없다.
그러나, 최선의 예측.
표본의 평균값은 모집단의 평균값을 위한
점추정이라 한다.

9. 점추정(point estimator)
표본의 평균값이 모집단의 평균값과 정확
히 일치한다고 할 수 없다.
그러나, 최선의 예측.
표본의 평균값은 모집단의 평균값을 위한
점추정이라 한다.
점추정은 모집단의 평균값을 추정하기 위
해 표본의 데이터에 기초한 계산.

10. 점추정
점추정은
모집단 파라미터의 근사치를
구할 수 있다.

11. 점추정
점추정은 ^ 기호를 사용
모집단의 평균값 : μ
점추정 :

12. 표본의 평균값
x̅ = ∑ x / n
모집단의 평균값을 표본의 평균값을 이용해
서 추정.

13. 연필을 깎으며...
표본의 데이터가 아래와 같을 경우
모집단의 평균값은?
61.9 62.6 63.3 64.8 65.1
66.4 67.1 67.2 68.7 69.9

14. 표본이 편향된 경우
표본이 편향된 경우 점추정이 정확하지 않다.
표본의 크기가 클수록 점추정값들이 정확해
진다.

15. 모집단의 분산 추정
표본의 분산으로 모집단의 분산을
추정하는 것은 최선의 방법이 아니
다.
도수 표본에는 더 적은 수의 값이 포함되어,
극단적인 값들이 포함되지 않을 가능
성이 높다
표본 모집단
맛 지속시간

16. 모집단의 분산 추정
표본의 분산보다 좀 더 높은 값을 제공하는
함수가 필요.

17. 연필을 깎으며...
표본의 데이터가 아래와 같을 경우
모집단의 분산은?
61.9 62.6 63.3 64.8 65.1
66.4 67.1 67.2 68.7 69.9

18. 연필을 깎으며...
표본의 데이터가 아래와 같을 경우
모집단의 분산은?
61.9 62.6 63.3 64.8 65.1
66.4 67.1 67.2 68.7 69.9
6.23 < 6.92
(n-1에 의해 분산이 더 커졌다)

19. 표본 비율에서 모집단 비율

20. 표본 비율에서 모집단 비율
40명의 사람중 32명이 좋아하고,
8명은 좋아하지 않는다.

21. 표본 비율에서 모집단 비율
40명의 사람중 32명이 좋아하고,
8명은 좋아하지 않는다.
즉, 32/40 = 0.8 비율.

22. 표본 비율에서 모집단 비율
40명의 사람중 32명이 좋아하고,
8명은 좋아하지 않는다.
즉, 32/40 = 0.8 비율.
표본의 성공 비율로
모집단의 성공 비율 추정 가능.

23. 표본 비율에서 모집단 비율
Ps = 성공의 횟수 / 표본의 크기
모집단에서의 성공 비율에 대한 점추정도 0.8

24. 확률과 비율의 관계
성공을 얻을 확률을 계산하는 것과 성공의 비
율을 계산하는 과정은 완전히 똑같다.
5개질문에 성공 확률과 비율 => 3/5
1 1 0 0 1

25. 표본의 비율에 대한 확률
모집단의 25%가 빨간색 풍선껌.
하나의 박스에 100개의 풍선껌.
하나의 박스를 선택했을 때
빨간색 풍선껌이
40%가 있을 확률.

26. 표본의 확률

27. 표본의 확률
모든 표본에 대한 비율 검사.

28. 표본의 확률
모든 표본에 대한 비율 검사.
표본의 비율에 대한
기대치와 분산 계산.

29. 표본의 확률
모든 표본에 대한 비율 검사.
표본의 비율에 대한
기대치와 분산 계산.
비율의 분포를 이용하여
표본의 확률을 계산.

30. 비율의 표본분포
X~B(n,p) Ps = X/n
표본 각각의 분포는 이항분포에 따른다.
각 표본에 대한 빨강 풍선껌의 비율에 대한
분포를 비율의 표본분포 또는
Ps의 분포라고 한다.

31. Ps 의 기대치?
모집단의 빨간 풍선껌의 비율이 25% 이므로
표본의 비율도 25%와 비슷할 것이다.
E(Ps) = E(X/n) = E(X)/n
= np/n = p
X~B(n,p), E(X)=np

32. Ps 의 분산?
Var(Ps) = Var(X/n) = Var(X)/n2
= npq / n2 = pq / n
Var(ax) = a2Var(x)
X~B(n,p), Var(X)=npq
비율의 표준오차=√(pq/n)

33. Ps의 분포
E(Ps)=p, Var(Ps)=pq/n
n의 값이 클 때 Ps의 분포
기대치=P
분산=pq/n

34. Ps는 정규분포
일반적으로 30<n 큰 경우
정규분포를 따른다.
Ps~N(p, pq/n)
Ps = X/n, 연속성 보정 = ±(1/2)
Ps 에 대한 연속성 보정
= ±(1/2)/n = ±1/2n

35. 연습문제
모집단 빨간 풍선껌 25%,
100개의 풍선껌을 담고 있는 상자에 40%가
빨강색일 확률?

36. 모집단과 표본

37. 모집단과 표본
표본을 이용해서 모집단을 예측.

38. 모집단과 표본
표본을 이용해서 모집단을 예측.
모집단에 대한 지식을 활용해서 표
본을 예측.

39. 표본 평균값의 확률
봉지 포장에 풍선껌의 개수는 10개이고 분산
은 1이다.
30봉지를 구입했는데,
풍선껌의 평균값이 8.5 였다?

40. 표본 평균값의 확률

41. 표본 평균값의 확률
모든 표본에 대한 평균값 검사.

42. 표본 평균값의 확률
모든 표본에 대한 평균값 검사.
표본의 평균값에 대한
기대치와 분산 계산.

43. 표본 평균값의 확률
모든 표본에 대한 평균값 검사.
표본의 평균값에 대한
기대치와 분산 계산.
표본 평균값의 분포를 이용하여
표본의 확률을 계산.

44. 봉지 하나에 대한 기대치, 분산
하나의 봉지 포장에 대한 풍선껌의 수
E(X)= μ , Var(X)=σ2

45. 여러 봉지 표본
N개로 구성된 봉지로 이루어진 표본에 담긴
풍선껌
x̅ = (x1 + x2 + ... + xn) / n
평균값들이 형성하는 분포를 평균값의 표본
분포 혹은 x̅의 분포라고 한다.

46. x̅ 의 기대치?
E(x̅) = E((x1 + x2 + ... + xn) / n)
= 1/n (E(x1) + E(x2) + ... + E(xn))
= 1/n (μ+μ+...+μ)
= 1/n (nμ)
=μ
모든 표본이 갖는 평균값의 기대치는
모집단의 평균값과 같다.

47. x̅ 의 분산?
var(x̅) = var((x1+x2+...+xn)/n)
= var(1/n*x1+1/n*x2+...+1/n*xn)
= var(1/n*x1)+var(1/n*x2)+...+var(1/n*xn)
= (1/n)2*(var(x1)+var(x2)+...+var(xn))
= (1/n)2*nσ2
= σ2/n
평균값의 표준오차=σ/√n

48. 평균값의 표준오차
평균값의 표준오차=σ/√n
도수 x̅의 분포
봉지당 풍선껌의 수

49. x̅ 의 분포?
x 가 정규분포면 x̅ 정규분포?
만약 x~n(μ, σ2)이면 x̅~n(μ, σ2/n)

50. 중심극한정리
(central limit theorem)

51. 중심극한정리
(central limit theorem)
정규분포를 따르지 않는 모집단 x에서 어떤 표본
을 추출했을 때,
표본의 크기가 충분히 크면 x̅분포가 근사적으로
정규분포이다.

52. 중심극한정리
(central limit theorem)
정규분포를 따르지 않는 모집단 x에서 어떤 표본
을 추출했을 때,
표본의 크기가 충분히 크면 x̅분포가 근사적으로
정규분포이다.
x̅~n(μ, σ2/n) ☞ x가 정규분포일때와 동일.

53. 중심극한정리
(central limit theorem)
정규분포를 따르지 않는 모집단 x에서 어떤 표본
을 추출했을 때,
표본의 크기가 충분히 크면 x̅분포가 근사적으로
정규분포이다.
x̅~n(μ, σ2/n) ☞ x가 정규분포일때와 동일.
단, x가 정규분포이면 표본의 크기는 상관없음.

54. 중심극한정리와 이항분포
n이 30보다 클 때 X~B(n,p)인 모집단있을 때,
μ=np이고, σ=npq 이다.
중심극한정리에 의해
x̅~N(np, pq)

55. 중심극한정리와 포아송분
n이 30보다 클 때 X-Po(λ)인 모집단이 있을 때,
μ = σ2 = λ 이다.
중심극한정리에 의해
x̅~N(μ, σ2/n) ☞ x̅~N(λ, λ/n)

56. 연습문제
봉지에 담긴 풍선껌 수의 평균값은 10, 분산
은 1 이다.
30개의 봉지로 이루어진 표본을 취했을 때 봉
지 당 풍선껌의 표본 평균값이 8.5 이하일 확
률?