I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE”                      TRABAJO CÓNICAS TRABAJO CONICAS                                      Trab...
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Trabajo cónicas bis

  1. 1. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS TRABAJO CONICAS Trabajo realizado por: ÁNGEL VICTORIO JIMÉNEZ VILLAFUERTE JAVIER FRANCIA SÁNCHEZ CELIA ROJAS RODRIGUEZ 1
  2. 2. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS ÍNDICE a) SECCIONES CÓNICAS DE UN CONO b) ELIPSE 1. Definición 2. Elementos 3. Parámetros 4. Propiedades 5. Estudio analítico 6. Excentricidad 7. Trazado 8. Ejemplos reales c) HIPÉRBOLA 1. Definición 2. Elementos 3. Propiedades 4. Parámetros 5. Estudio analítico 6. Excentricidad 7. Trazado 8. Ejemplos reales d) PARÁBOLAS 1. Definición 2. Elementos 3. Parámetros 2
  3. 3. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 4. Propiedades 5. Estudio analítico 6. Trazado 7. Ejemplos reales e) HOJA DEL VISIONADO DEL VIDEO f) OPINIÓN PERSONAL a) SECCIONES CÓNICAS DE UN CONO La superficie cónica se genera al girar una recta g (generatriz) alrededor de otrafija llamada eje. Estas dos rectas se cortan en el vértice, V, generándose así dos ramassimétricas. Una sección cónica es una curva que resulta de la intersección de un plano conuna superficie cónica. Las secciones cónicas son: la circunferencia, la elipse, la parábolay la hipérbola. b) ELIPSE 1. DEFINICIÓN DE ELIPSE. Se denomina elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugargeométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros fijos F y F´ llamadosfocos, es constante e igual al eje mayor AB. Si el plano secante es oblicuo al eje de la superficie cónica, corta a todas lasgeneratrices y no pasa por el vértice, la sección que produce es una curva cerrada querecibe el nombre de elipse. 3
  4. 4. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 2. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE. ♣ La elipse tiene dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, y que son los puntos de tangencia entre el plano que genera la elipse y las esferas inscritas en la superficie cónica. Dichos focos, están situados sobre el eje mayor, distantes “a” de los extremos del eje menor. La distancia focal F-F´ es igual a 2c. ♣ La recta que contiene a los focos se denomina eje focal. ♣ Los vértices de la elipse son A, B, C y D. ♣ La elipse tiene dos ejes, el Eje Mayor que se corresponde con el segmento AB, y que es igual a 2a, y el Eje Menor, que se corresponde con el segmento CD, y que es igual a 2b. Además, dichos ejes son siempre ejes de simetría. ♣ El punto de intersección de los dos ejes, O, es el centro de la elipse. 4
  5. 5. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 3. PARÁMETROS DE LA ELIPSE. Como hemos visto anteriormente, la elipse es una curva cerrada y plana, cuyospuntos constituyen un lugar geométrico que tienen la propiedad de que la suma dedistancias de cada uno de sus puntos a otros dos, fijos, F1 y F2, llamados focos, esconstante e igual a 2a, siendo 2a la longitud del eje mayor AB de la elipse. La elipse tiene tres parámetros: 2a = Eje Mayor → AB 2b = Eje Menor → CD 2c = Distancia Focal → FF´ Estos tres parámetros configuran un triángulo rectángulo, y por lo tanto secumple que: a2 = b2 + c2 4. PROPIEDADES DE LA ELIPSE. Como hemos visto, la elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en elpunto medio O, centro de la curva. El eje mayor AB se llama eje focal y se representapor 2a. El eje menor CD se representa por 2b. Los focos están en el eje focal. Ladistancia focal F1-F2se representa por 2c. Entre a, b y c existe la relación: a2 = b2+c2 La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O.Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos, se llaman radio vectores r1 yr2 y por la definición se verifica: r1 + r2 = 2a. La circunferencia principal Cp de la elipse es la que tiene por centro el de laelipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendicularestrazadas por los focos a cada una de las tangentes. Las circunferencias focales C f1 yCf2 de la elipse tienen por centro uno de los focos y radio 2a. La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros delas circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal delotro foco. Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugargeométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Los ejes sondos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferenciatodas las parejas de diámetros conjugados son perpendiculares. 5
  6. 6. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 5. ESTUDIO ANALÍTICO. ♣ Tomamos una elipse cuyo centro es el origen de coordenadas, y cuyos focos estén situados en los puntos F(c,0) y F´(-c, 0). Como se cumple que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse, P(x, y), a los focos es 2a: d(F, P) + d(F´, P) = 2a → = 2a ♣ Resolvemos la ecuación. ♣ Elevando de nuevo al cuadrado, y simplificando. (a2 – c2) x2 + a2y2 = a2 (a2 – c2) ♣ Como a2 – c2= b2, sustituimos: b2 x2+ a2y2 = a2 b2. ♣ Así nos queda: 6. EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE. La excentridad de una elipse es la razón c/a (coseno del ángulo en F) y es unvalor que está comprendido entre 0 y 1. Es la razón de distancias de un punto cualquiera de la curva al foco y a ladirectriz correspondiente. Excentridad = c/a 6
  7. 7. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 7. TRAZADO DE LA ELIPSE. 7.1.Trazado de la elipse por puntos. - Situamos los focos, trazando un arco de centro C y radio “a”. - Situamos varios puntos al azar entre el foco y el centro de la curva. - Trazamos arcos pinchando en los focos F y F´. A1 + 1B = 2a A2 + B2 = 2a A3 + B3 = 2a A4 + B4 = 2a - Unimos los puntos calculados y los extremos de los ejes.http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=292 7.2.Trazado de la elipse por afinidad. - Trazamos dos circunferencias concéntricas de centro O y diámetros iguales a los ejes de la curva: (O, a) y (O, b). - Se trazan diámetros que corten las dos circunferencias. Por su intersección con las circunferencias trazamos paralelas a los ejes, obteniendo puntos de la curva. - Unimos los puntos calculados y los extremos de los ejes.http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=294 7.3.Trazado de la elipse por haces proyectivos. - Trazamos un rectángulo de lados paralelos a los ejes de la curva. 7
  8. 8. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS - Dividimos el eje mayor y los lados del rectángulo en partes iguales. - Trazamos líneas desde los extremos del eje menor, uniendo divisiones con la misma numeración para obtener los puntos de la elipse. - Unimos los puntos calculados y los extremos de los ejes.http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php 7.4.Método del Jardinero. Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud igual al eje mayor, colocamos sus extremos sobre los focos y estiramos la cuerda para dibujar la curva. Paso1 Paso2 8
  9. 9. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS Paso3 http://platea.pntic.mec.es/~migarcia/conicas/elipse_ac.html 8. EJEMPLOS REALES. o Órbitas Planetarias: Las órbitas de los planetas al girar alrededor del Sol son elípticas. El Sol estaría situado en uno de sus focos, y la excentridad es muy cercana a 0, es decir, se acerca bastante a una circunferencia. o Cualquier forma circular que no observemos frontalmente es una elipse: platos, discos, señales de tráfico, ruedas, vasos etc. 9
  10. 10. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS o Bóvedas Elipsoidales: que permiten a dos personas situadas en los focos, mantener una conversación, sin que las personas más próximas se enteren. o La forma que adopta la proyección de un foco puntual sobre un plano oblicuo, respecto a su eje de iluminación es una elipse. o La forma elíptica está presente en todas las manifestaciones del diseño. Por ejemplo: los limones, algunos relojes, los espejos, mesas etc. 10
  11. 11. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICASEJEMPLO TRAZADOS ELIPSEc) HIPÉRBOLA.1. DEFINICION DE HIPÉRBOLA. 11
  12. 12. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS Se llama Hipérbola a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico delos puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F y F’ llamamosfocos, es constante e igual al eje real V1 V2. La diferencia de los radios vectores r y r’ es igual al eje mayor V1V2. Otra definición conocida de parábola es el lugar geométrico de los puntos tales queel valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, esconstante.2. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA. • F Y F´ son los focos, los puntos fijos de la hipérbola. • La recta que une los focos F y F´ se llama eje focal. • Los vértices A y A´ son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola. • El punto medio del segmento que une los focos, O, es el centro de la hipérbola. • Las dos rectas a las que la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas, r y r´, se denominan asíntotas. • Situando la hipérbola en unos ejes cartesianos y su centro sobre el origen de coordenadas se cumple que: d(F, F´) = 2c d(A, A´) = 2a • La hipérbola tiene dos ejes perpendiculares: eje real y eje imaginario o virtual. El eje real contiene los vértices y los focos de la curva y es igual a 2. El eje virtual es igual a 2b. • Las asíntotas son las tangentes a la hipérbola en puntos del infinito. Son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O. Cuando forman con los ejes ángulos de 45º, la hipérbola se denomina “equilátera”, y se cumple que a = b. 12
  13. 13. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS • La hipérbola tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, que se cortan en el centro de la curva (O).3. PROPIEDADES DE LA HIPÉRBOLA. • La diferencia de las distancias desde un punto de la hipérbola a los focos es 2a d(A, F´) – d(A, F) = d(A, F´) - d(A´, F´) = d(A, A´) = 2a Como A es un punto de la hipérbola, se cumple que: Por lo tanto, tenemos que k = 2a • En una hipérbola se cumple siempre que: c2 = a2 + b2 El punto B es uno de los puntos de intersección de la recta perpendicular al eje focal que pasa por O (eje Y ), con la circunferencia de centro A y radio c. A la distancia entre O y B la llamamos b. Como el triangulo OAB es rectángulo, c2 = a2 + b24. PARÁMETROS DE LA HIPÉRBOLA. ♣ 2a= eje real V1V2 ♣ 2b =eje virtual ♣ 2c= distancia focal FF’ Los tres parámetros configuran un triángulo rectángulo por lo que se cumple: 13
  14. 14. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS c2 = b2 + a25. ESTUDIO ANALÍTICO. Tomando una hipérbola cuyo centro es el origen de coordenadas, sus focos estánsituados en los puntos F(c, 0) y F´(-c, 0). Se cumple que la diferencia de las distanciasde cualquier punto de la hipérbola, P(x, y), a los focos es 2a. = 2a Al eliminar el valor absoluto consideramos la posibilidad del doble signo.Esto genera dos ecuaciones distintas que, al pasar una de las raíces al otro miembro,elevar al cuadrado y simplificar, se reducen a una ecuación: Como b2 = c2 – a2; Sustituimos: Al dividir entre a2b2, obtenemos la ecuación de la hipérbola. Ecuación reducida de la hipérbola: Con la fórmula reducida de la hipérbola podemos conocer las coordenadas detodos sus puntos. Cambiando sobre el gráfico los valores de las coordenadas (x, y), y de losparámetros de la hipérbola (a, b, c), observamos la posición que adopta el punto P.6. EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA. La excentricidad de una hipérbola, c/a, es siempre mayor que 1 porque c > a Fijando un valor de a, cuanto menor separación tengan los focos de los vértices,más se acerca el valor de c al valor de c al valor de a y, por tanto, la excentricidad seacerca a 1. En casos, la hipérbola es muy cerrada. Por el contrario, cuanto más alejados estén los focos, la excentricidad se aleja de1 y la hipérbola será más abierta. 14
  15. 15. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS7. TRAZADOS DE LA HIPÉRBOLA.7.1 Trazado por puntos. • Situamos los focos, el centro y el vértice de la hipérbola. • Tomamos con el compás la medida V1 1 y pinchando en los focos trazamos arcos a ambos lados. • Repetimos el paso anterior pero con la medida V21 para dibujar desde los focos y localizar los puntos de la hipérbola. • tomamos con el compás la medida V22 y pinchando en los focos trazamos arcos a ambos lados. • Repetimos el paso anterior pero con la medida V12 para dibujar desde los focos y localizar los puntos de la hipérbola. • Unimos los puntos calculados y los vértices V1 y V2 15
  16. 16. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS7.2. Trazado por papiroflexia. • Dibuja una circunferencia en un papel y, en su exterior, un punto P. Dobla el papel de forma que el punto coincida con la circunferencia. • Repite el procedimiento varias veces y descubrirás una hipérbola. • El doblez es una tangente a la hipérbola, y a su vez, eje de simetría entre el punto P (foco de la elipse) y los puntos de la circunferencia de papel (circunferencia focal del otro foco 0).8. EJEMPLOS REALES. ♣ Iluminación: La luz que proyecta la lámpara troncocónica sobre una pared paralela a su eje, tiene forma de hipérbola. ♣ Reloj solar: La sombra que proyecta una varilla recta clavada perpendicularmente sobre un plano, tiene forma de hipérbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposición. La sombra arrojada cada día es diferente al anterior. 16
  17. 17. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS ♣ LORAN, navegación hiperbólica. La aeronave dotada de un equipo Loran proporciona información de posición.La aeronave puede estar situada en cualquier punto de la hipérbola. Pues en cada uno desus puntos, la diferencia de tiempo en la llegada de las estaciones LORAN, es constante. Para conocer exactamente la posición del avión sobre la hipérbola será necesariosintonizar otro grupo LORAN para llevar a cabo el mismo procedimiento. La intersección de las dos hipérbolas será la posición del avión. ♣ Telescopios de tipo Cassegrain. La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Siproyectamos un haz de luz desde un foco, por ejemplo de f, se reflejará en la hipérbolaen dirección del foco f’. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. Fueinventado en 1672 por el físico francés N. Cassegrain. d) PARÁBOLA. 1. DEFINICIÓN DE PARÁBOLA. 17
  18. 18. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama, que determinael lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamadofoco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz. PM=PF Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie, a estageneratriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en el infinito; la sección quese produce es una parábola. 2. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA. ♣ F es el foco de la parábola y s es la directriz. ♣ A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p. ♣ La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje. ♣ El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola. ♣ Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que: 3. PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA. La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva. 18
  19. 19. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS p = FD 4. PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA. Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Dichaparábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y esperpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a ladirectriz. La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y alvértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría. El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, porlo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF. La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto decada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hace decircunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal yse define como en las curvas anteriores. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde éstacorta al eje de la curva. 5. ESTUDIO ANALÍTICO.Tomando un punto, p (x,y), de una parábola cuyo vértice es el origen de coordenadas,V(0,0), y su eje se sitúa sobre el eje Y, tenemos: d(P,F) = d(P,s) y como F(0, ); s: y = d(P,F) = d(P,s) → x2 + → x2 + y2 – py + y2 + py + 19
  20. 20. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS Ecuación Reducida de la parábola: x2 = 2py 6. TRAZADO DE LA PARÁBOLA. a. Trazado por haces proyectivos. 1º Se sitúan los datos con los que contamos, y se determina el punto P’,simétrico de P respecto del eje. Por el vértice A de la curva se traza una perpendicular aleje, y por P y P’ se trazan las paralelas al eje; donde estas cortan a la perpendicular seobtienen los puntos M y N. 2º Se dividen MP y AM en un número de partes iguales, por ejemplo seis. Por lasdivisiones obtenidas sobre AM se trazan paralelas al eje. Se unen con el vértice A lospuntos de la división MP, y donde estas rectas cortan a las paralelas se obtienen lospuntos 1, 2, 3, etc. Los puntos 1’, 2’,3’, etc., se hallan por simetría. 3º Uniendo los puntos así determinados con una línea continua, se obtiene laparábola pedida. b. Trazado por puntos. 1º Sobre el eje y a partir del vértice situamos puntos al azar. 2º Tomamos con el compás la medida 1D y haciendo centro sobre el foco F, cortamos la vertical en 1, obteniendo dos puntos de la curva. 3º Trazamos un paralela a la directriz por el punto 2. 4º Tomamos con el compás la medida 2D y haciendo centro sobre el foco F, cortamos la vertical en 2, obteniendo dos puntos de la curva. 5º Trazamos un paralela a la directriz por el punto 3. 20
  21. 21. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 6º Tomamos con el compás la medida 3D y haciendo centro sobre el foco F, cortamos la vertical en 3, obteniendo dos puntos de la curva.http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_general_info&products_id=292 c. Método de las semicircunferencias. 1º Situamos el eje, la directriz, el vértice y calculamos la posición del foco. 2º Marcamos divisiones equidistantes sobre el eje, 1, 2 y 3. 3º Llevamos la longitud del eje OF sobre la vertical por el vértice, para obtener el punto A. 4º Trazamos la mediatriz del segmento AF y obtenemos el punto B, sobre el eje, centro de la circunferencia que pasa por A y F y que determina el punto C. 5º Las circunferencias que pasan por el punto C y a su vez por los puntos 1, 2 y 3, cortan la vertical en V respectivamente en 1´, 2´y 3´. 6º Por 1, 2 y 3 trazamos paralelas a la directriz y por 1´, 2´y 3´ paralelas al eje. La intersección de estas rectas determinan los puntos de la parábola.http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2006/curva_conicas/index.html 21
  22. 22. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 7. EJEMPLOS REALES. - Superficies parabólicas: Cuando la forma de la superficie es parabólica todos los rayos que llegan paralelos al eje de la parábola se reflejan pasando por un mismo punto que se denomina "foco“. Espejos Parabólicos Antenas Parabólicas - Iluminación: La forma que adopta la proyección, de un foco puntual sobre un lado paralelo a un lado del foco. - Trayectoria de proyectiles: La trayectoria que describen los proyectiles (despreciando el rozamiento con el aire) 22
  23. 23. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS - Diseño: La parábola es utilizada frecuentemente en la arquitectura moderna y en diseño industrial. e) HOJA DEL VISIONADO DEL VÍDEO EN CLASE. 1. Hoy vamos a hablar de unas curvas que han atraído la atención de los matemáticos. Éstas son las parábolas, círculos, elipses e hipérbolas. 2. Las curvas mencionadas que se ven en el vaso son el círculo y la elipse. 3. Para dibujar las cónicas sobre una pared se utilizan lámparas colocadas en distintas posiciones. 4. Los estudios de un matemático no parecen útiles, pero en realidad sí lo son. Los conceptos matemáticos acerca de estas curvas tuvieron utilidad en la ciencia a partir del siglo IV a.C. como por ejemplo con los relojes solares. 5. Apolonio de Pérgamo es el autor del más importante tratado de la antigüedad dedicado a las cónicas. 6. El nombre de cónicas se les dio al ver que cortando un cono se pueden obtener dichas curvas. 7. El primero que utilizó las cónicas fue Johannes Képler, que las utilizó para estudiar el movimiento de los astros como la elipse de Marte. 8. La propiedad geométrica que caracteriza a las elipses es que la suma de las distancias de cada punto ésta a los focos es siempre la misma. 23
  24. 24. I.E.S “RIBERA DEL BULLAQUE” TRABAJO CÓNICAS 9. Las elipses las encontramos en el metro, en las bóvedas, en algunos balones como el de rugby, en las órbitas de los planetas… 10. La parábola aparece en los lanzamientos de baloncesto, en los tiros de fútbol, en el lanzamiento de la llama en los Juegos Olímpicos de Barcelona (1992), en el agua de la fuente, en el tiro de una flecha… 11. La parábola la descubrió Galileo a principios del siglo XIX, aunque fue Newton quién la desarrolló. f) OPINIÓN PERSONAL. - Ángel Victorio Jiménez Villafuerte: - Celia Rojas Rodríguez: - Javier Francia Sánchez: el trabajo realizado sobre las superficies cónicas me ha parecido muy interesante, ya que me ha aportado muchos conocimientos acerca de unas curvas que llevan tanto tiempo siendo estudiadas, pero de las cuáles yo desconocía ciertos aspectos. También me ha ayudado a relacionar dichas curvas (elipse, parábola…) con la realidad, puesto que se encuentran muy presentes en ella.Página De Interés Acerca de las Cónicas:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Las_conicas_como_lugares_geometricos_trazado/parabola.htm 24

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