Preparación global 3ª evaluación

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Preparación global 3ª evaluación

  1. 1. PREPARACIÓN GLOBAL 3ª EVALUACIÓN1. Dada la función Determina los siguientes límites:2. Dada la función Estudie el comportamiento cuando3. Calcula los siguientes límites
  2. 2. 4. Dada la función a) Determina el valor de a para que la función sea continua en b) Para ese valor de a la función ¿es derivable en ? c) ¿Es derivable en ? a) Para que la función sea continua en x = -1 tiene que verificarse que Para que exista el tienen que existir los limites laterales y ser iguales. Como tiene que ser . b) Para , la función queda y la función derivada será Para que sea derivable en x = -1, tiene que serComo , , las derivadas laterales coinciden luego la función esderivable en x = -1, siendo c) Veamos si es derivable en x = 1. Para que sea derivable debe ser obligatoriamente continua. Perocomo los límites lateralesson distintos, entonces la función no tiene límite en x = 1 y no es continua en ese punto y, por tanto,tampoco es derivable. 5. Sea la función a) Calcule m para que la función sea continua en x = 1. b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1? Para que la función sea continua en x = 1 tiene que verificarse que Para que exista el tienen que existir los limites laterales y ser iguales. Como
  3. 3. tiene que ser . La función derivada, para ese valor de m, es Para que sea derivable en x = -1, tiene que ser Como , , las derivadas laterales no coinciden luego la función no es derivable en x = 1. 6. Sea la función determine los valores de los parámetros a y b, para que sea continua y derivable La función es continua y derivable en cada uno de los trozos por tratarse de funciones polinómicas. El único punto donde podemos tener dudas es el punto x=0. Para que sea continua en x=0 tiene que ser: Calculamos los límites laterales y los igualamos Tiene que ser La función derivada (salvo en x=0) es Para que sea derivable, es necesario que las derivadas laterales sean iguales Luego, tendrá que ser 1. Se considera la función real de variable real definida por:a) Represéntese gráficamente la función f.b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
  4. 4. a)b) La ecuación de la recta tangente en el punto 1 es:La ecuación será: 7. Se considera la curva de ecuación cartesiana: Calcúlense las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva propuesta es paralela ala bisectriz del primer cuadrante.La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación , luego su pendiente es 1.Se trata de hallar los puntos en los que la pendiente de la recta a la curva que nos dan, se 1. La pendiente dela recta tangente a nuestra curva en un punto viene dada por , es decir, habrá de ser .ComoSe trata del punto de abscisa y de ordenadaSolución: 8. Se considera la función real de variable real definida por: . Calcúlense a,
  5. 5. b para que la función f tenga un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 2.Como en los puntos la función tiene puntos singulares, es necesario que en esos puntos se anule laderivada primera. Como , tiene que ser:Resolviendo el sistema se obtiene que 9. Una empresa produce cable de fibra óptica, que vende a un precio de x euros por metro. Se estima que la venta diaria de cable (en miles de metros) se expresa en términos del precio mediante la función:. a) Obténgase la función I(x) que determina los ingresos diarios de la empresa en función del precio x. b) Calcúlese el precio x que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máximo y calcúlese dicho ingreso máximo. c) Determínense las asíntotas de I(x) y esbócese la grafica de la función I(x).Los ingresos diarios vienen dados por función producto de los metros fabricados por el precio de un metro,es decir:Para hallar el máximo de la función , igualamos la derivada primera a cero.Desechamos la solución (es absurdo que el precio sea negativo).Como , la función pasa de creciente a decreciente, luego en alcanza unmáximo, que valeComola recta es asíntota horizontal. No tiene asíntotas verticales (la función nunca se hace ∞) ni tampocoasíntotas oblicuas. La gráfica sería
  6. 6. 10. Dada la función , determine: a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de la función. b. Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.Hallamos la derivada primera -∞ -2 2 +∞ positiva 0 negativa positiva crece decrece crece crece en ∞ ∞ , decrece en . Alcanza un mínimo relativo en x=2 y un máximo relativo en x=-2Hallamos la derivada segundaAnulamos la derivada segunda: -∞ 0 +∞ negativa 0 positiva ∩f es cóncava en ∞ , f es convexa en ∞ . Tiene un punto de inflexión en x = 0.11.Comola recta es asíntota horizontal.Como la función se hace infinito cuando , las rectas y , son asíntotas verticales.No tiene asíntotas oblicuas. -∞ 0 +∞ positiva 0 negativa crece decreceLa función crece en ∞ , decrece en ∞ . Alcanza un máximo relativo en , que vale

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