Ecuaciones de una elipse           yo
Definición de la elipse                 Sea ‘d1’ la distancia de un punto                 a otro punto llamado FOCO (F1), ...
Ecuación canónica de una elipse                      a = Radio Mayor                       b = Radio Menor            b   ...
Ahora si la Ecuación canónica de una                elipse                           2         2                          ...
Ejercicio pa’ calentar  Determine la ecuación de la elipse cuyo foco es (-3, 0) y  un vértice en (6,0)                    ...
Y la gráfica
¿ Y si el centro de la elipse no es el               origen?                            2          2                    ( ...
Y como es la ecuación general                   2          2             A x        B y        Cx   Dy    E   0Expliquemos...
( x 1) 2         ( y 3) 2                              1       25 16    25               16                      2        ...
Que pasa si el radio mayor esta sobre                el eje y                           2            2                  ( ...
De la figura anterior pasar la ecuación           a la forma general
De la figura anterior pasar la ecuación           a la forma general ( x 6) 2    ( y 7) 2                        1 25 36  ...
Pasar de la forma general a la forma                   canónica36 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1621 036 x 2 432 x 25 y 2 350 y  ...
Ecuación de la elipse       2               216 x           25 y        32 x 150 y 159 0       2                        21...
Ejercicio, para trabajar individual enclase, no se puede parar ni hablar , ni                respirar                     ...
Solución análitica4 x 2 9 y 2 8 x 90 y 193 0                                                Ordenar las variables4 x 2 8 x...
( x 1) 2   ( y 5) 2                        C (-1,5)                      1   9          4                                 ...
Ejercicios de tarea, refáciles………Determinar las ecuaciones (canónica y luegogeneral) de la elipse para cada uno de lossigu...
Ejercicios para que los hagan de         verdad, si no como aprendenPara cada uno de los siguientes ejercicios, identifiqu...
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  1. 1. Ecuaciones de una elipse yo
  2. 2. Definición de la elipse Sea ‘d1’ la distancia de un punto a otro punto llamado FOCO (F1), Sea ‘d2’ la distancia de un punto a otro punto llamado FOCO (F2), Sea ‘a’ la distancia mayor de un vertice a otro punto llamado CENTRO. (Radio Mayor) ENTONCES LA ELIPSE ES EL LUGAR GEOMETRICO QUE SE DETERMINA POR TODOS AQUELLOS PUNTOS CUYA SUMA DE LAS DISTANCIAS D1 Y D2 ES CONSTANTES (LA MISMA) E IGUAL AL EJE MAYOR (EL EJE MAYOR ES DOS VECES EL RADIO MAYOR a) d1 d 2 2a
  3. 3. Ecuación canónica de una elipse a = Radio Mayor b = Radio Menor b a c = distancia del centro al foco c Se debe cumplir que 2 2 2 a b c
  4. 4. Ahora si la Ecuación canónica de una elipse 2 2 x y 2 2 1 b a b a c Ejemplo simple 2 2 x y 2 2 1 5 4 2 2 x y 1 25 16
  5. 5. Ejercicio pa’ calentar Determine la ecuación de la elipse cuyo foco es (-3, 0) y un vértice en (6,0) 2 2 2 a b c 62 b 2 32 De acuerdo a los datos 6 2 32 b2 se puede determinar 36 9 b 2 que a=6 y c=3 27 b2 2 2 27 b 2 2x y x y 9 3 b 2 2 1 1a b 36 27 3 3 b
  6. 6. Y la gráfica
  7. 7. ¿ Y si el centro de la elipse no es el origen? 2 2 ( x h) ( y k ) 2 2 1 a b Ecuación canónica 2 2 ( x 2) ( y 2) 1 36 16
  8. 8. Y como es la ecuación general 2 2 A x B y Cx Dy E 0Expliquemos con un ejemplo:A partir de la canónica llegar a ( x 1) 2 ( y 3) 2 1la general 25 16
  9. 9. ( x 1) 2 ( y 3) 2 1 25 16 25 16 2 2 25 16 ( x 1) 25 16 ( y 3) 25 16 25 16 2 2 16 ( x 1) 25 ( y 3) 400 2 2 16 ( x 2 x 1) 25 ( y 6 y 9) 400 2 216 x 32 x 16 25 y 150 y 225 400 2 216 x 25 y 32 x 150 y 16 225 400 0 2 216 x 25 y 32 x 150 y 159 0
  10. 10. Que pasa si el radio mayor esta sobre el eje y 2 2 ( x h) ( y k) 2 2 1 b a a = radio mayor b = radio menor h,k = las coordenadas del centro de la elipse
  11. 11. De la figura anterior pasar la ecuación a la forma general
  12. 12. De la figura anterior pasar la ecuación a la forma general ( x 6) 2 ( y 7) 2 1 25 36 25 3625 36( x 6) 2 25 36 ( y 7) 2 25 36 25 3636( x 6) 2 25( y 7) 2 25 3636( x 2 12 x 36) 25( y 2 14 y 49) 25 36 2 236 x 432 x 1296 25 y 350 y 1225 90036 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1296 1225 900 036 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1621 0
  13. 13. Pasar de la forma general a la forma canónica36 x 2 25 y 2 432 x 350 y 1621 036 x 2 432 x 25 y 2 350 y 162136( x 2 12 x ) 25( y 2 14 y ) 162136( x 2 12 x 36 ) 25( y 2 14 y 49 ) 1621 36 36 25 4936( x 6) 2 25( y 7) 2 90036( x 6) 2 25( y 7) 2 900 900 900 900( x 6) 2 ( y 7) 2 1 25 36
  14. 14. Ecuación de la elipse 2 216 x 25 y 32 x 150 y 159 0 2 216 x 32 x 25 y 150 y 159 2 216 x 32 x 25 y 150 y 15916( x 2 2 x 1) 25( y 2 6 y 9) 159 16 225 2 216( x 2 x 1) 25( y 6 y 9) 400 2 216( x 1) 25( y 3) 400 2 2( x 1) ( y 3) 1 25 16
  15. 15. Ejercicio, para trabajar individual enclase, no se puede parar ni hablar , ni respirar Para la ecuación dada, determine su centro, coordenadas de cada uno de los vértices, focos. Y realice un bosquejo de la elipse
  16. 16. Solución análitica4 x 2 9 y 2 8 x 90 y 193 0 Ordenar las variables4 x 2 8 x 9 y 2 90 y 1934( x 2 2 x ) 9( y 2 10 y ) 193 Sacar factor comun4( x 2 2 x 1 ) 9( y 2 10 y 25 ) 193 4 1 9 25 Completar el cuadrado y4( x 1) 2 9( y 5) 2 36 Balancear la ecuación4( x 1) 2 9( y 5) 2 36 36 36 36( x 1) 2 ( y 5) 2 1 9 4
  17. 17. ( x 1) 2 ( y 5) 2 C (-1,5) 1 9 4 a2 9 b2 4 Comparando la ecuación a 9 3 b 4 2 a2 b2 c2 a b 9 4 c2 c 9 4 c2 2 5 c c 5
  18. 18. Ejercicios de tarea, refáciles………Determinar las ecuaciones (canónica y luegogeneral) de la elipse para cada uno de lossiguientes casos, No olvide gráficar la solución1. Vértices en (-3,2) y (5,4)2. Focos (3,-1) y (10,-1) radio menor =23. Centro (-1,-1), radio mayor=4, vértice (-1,1)4. Foco (6,0) y vértice (0,4)5. Foco(-4,0) centro (1,0) y radio menor=1
  19. 19. Ejercicios para que los hagan de verdad, si no como aprendenPara cada uno de los siguientes ejercicios, identifique si es un elipse ouna circunferencia.Si es una circunferencia, determine su centro y su radio (graficar)Si es una elipse, determine sus radios, centro, focos y vértices(graficar)

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