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PREGUNTA N.o 21                           UNI
Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se
construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta
en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y
BC=3m, calcule el valor de AP ⋅ CQ en m.
                                                                                    → CQ=3a y BQ=2a




                                                                                    	
                                                                                    	
                                                                                         EAP ∼
                                                                                             AP 2
                                                                                               =
                                                                                             BP 3
                                                                                                    CBP




                                                                                            BP=3b y AP=2b
                                                                                                                       MATEMÁTICA




	       A)	 3/5	 B)	 5/6	                                  C)	 6/5                  Luego
	       D)	 5/3			                                         E)	 5/2                  	       AP=2b y QC=3a
                                                                                    Además
Resolución                                                                          	
                                                                                                   2
                                                                                            5b = 2 → b =
                                                                                                   5
Tema: Semejanza de triángulos                                                                      3
                                                                                      5a = 3 → a =
Recuerde                                                                            	              5
                                                                                           4         9
            B                                                                       → AP =    y QC =
                                                                                           5         5
                                                   N                                             6
                                a                                                   ∴  AP ⋅ CQ =
        c                                                       m                                5
                                                   
                                      α                             α               Respuesta
        A                   b                 C    M        n           L
                                                                                        6
                                                                                        5
Según el gráfico,                     ABC ∼         MNL
        a b c
→        = =                                                                                                               Alternativa       C
        m n 


Análisis y procedimiento                                                            PREGUNTA N.o 22
Piden           AP ⋅ CQ .                                                           En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.
                                                       G                            Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).


                        D                                                                                 D
                                                                                F                              M
            2                                                               θ                                          C
                                          B
                                              2a
    E                               3b             Q                                                           R
                α                                                       3
                                    P                                                                 A            O           B
                            2b                         3a
                    2            θ                     α
                            A                               C

Según el gráfico:                                                                   	
	            ABQ ∼               FCQ                                                	       A)	 12 7 p	       B)	 12 5 p	     C)	 12 3 p
        BQ 2                                                                                      24 3                              24 5
          =                                                                         	       D)	        p			                   E)	        p
	       CQ 3                                                                                        3                                 5



                                                                                                                                                 16
Resolución




                                   b
                                       UNI
Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Recuerde que por relaciones métricas en el


                                                   1           1           1
                                                                                    PREGUNTA N.o 23




                                                                                    determine el valor de BC (en u).
                                                                                                                     1
                                                                                                                        MATEMÁTICA


                                                                                    En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.
                                                                                    Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B
                                                                                    (P exterior a AB). Si mPAB= mC y AP=12 u,
                                                                                                                      2
           a                                               =           =
                      h                                2           2
                                                   h           a           b2
                                                                                    	   A)	   3
                                                                                    	   B)	   4
                                                                                    	   C)	   5
Análisis y procedimiento
                                                                                    	   D)	   6
Piden C.                                                                           	   E)	   8

                      D
                                                                                    Resolución
                                   M
                                                                                    Tema: Aplicaciones de la congruencia
                12                         C
                                                                                    Recuerde el teorema de la mediana relativa a la
                               8           6                                        hipotenusa.

                    A          r       O           r               B                                       B
                                               r
                                                           C                                                       m
                                                                                                                       M
                                                                                                  A            m             m            C
Se sabe
C =2pr
AO=OB y AD // OC
                                                                                    Análisis y procedimiento
→ AD=2(OC)=12                                                                       Piden x.
Por relaciones métricas en el                       DAB                             Dato: AP=12
1         1            1
     =          +                                                                                                  P
82       12 2       ( 2r ) 2
           12 5
→ r=
             5
         24 5                                                                                          12                            B
C =          p
           5
                                                                                                                            α
Respuesta                                                                                                               6            x
24 5                                                                                                  α
     p                                                                                                 α                    2α       2α
  5
                                                                                              A                    M                      C Q
                                                                                                           6                     6
                                                   Alternativa                  E                                  12



                                                                                                                                                17
UNI
Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el  APQ se observa que AB es bisectriz y altura
a la vez; por lo tanto, el  PAQ es isósceles.
→	 AP=AQ=12

En el  ABQ se traza la mediana BM relativa a la
                                                        Análisis y procedimiento
                                                                                    MATEMÁTICA


                                                        Piden la longitud del radio x.
                                                        De la figura, por los datos se tiene que
                                                        FO=x – c
                                                        OG=x
                                                        OM=a – x
hipotenusa AQ.                                          ON=b – x
→	 AM=MQ=BM=6.
                                                                                            B
El    MBC es isósceles, por lo tanto, x=6                                               M


Respuesta                                                               x

6                                                                            x–c       b
                                                                        F
                                   Alternativa      D         C
                                                                            b– x   O                      G
                                                                    c
                                                                                            x
                                                                        a
                                                                              N
PREGUNTA N.o 24
Dos circunferencias son tangentes interiores en G.                      A
En la circunferencia mayor se trazan los diámetros
AB y CG que intersecan a la circunferencia menor        Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM
en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a,               (x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2
BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la
                                                                ab
circunferencia mayor.                                   x=
                                                              a+b−c
             ab              b                ab
	    A)	         	   B)	         	    C)	
           a−b+c           a+b−c            a+b+c       Respuesta
                                                              ab
             ab                               a
	    D)	         			                  E)	                   a+b−c
           a+b−c                            a+b+c


Resolución
                                                                                        Alternativa           D
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema de cuerdas
                                                        PREGUNTA N.o 25
                                                        En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de
                       a       y
                                                        AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y
                           x   b                        mDAB=70º, calcule la mCDB.

                                                        	     A)	 8º	  B)	 10º	                 C)	 12º
                      ab=xy
                                                        	     D)	 15º			                        E)	 17º



                                                                                                                  18
Resolución

Observación

	
      a
                        A
                                UNI
Tema: Aplicaciónes de la congruencia


                                     	    Si AQ=QB
                                                             PREGUNTA N.o 26

                                                             siendo a constante?
                                                                                        MATEMÁTICA


                                                             ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k,




                                                                                                    ak
							                                   →    α=θ
    α
 O θ    Q
                            a                                                               θ
                                                                                                    a
                                                                               α
                    B                                                           α

Análisis y procedimiento
                                                             	   A)	 1	 B)	 2	                          C)	 3
                        L                                    	   D)	 4			                               E)	 5
              B
                                C
                    30º
              70º                                    N       Resolución
                                                             Tema: Teorema de correspondencia
                                2a                           Recuerde
                                                60º    a
                                               x x+40º       	   Teorema de correspondencia
        70º                     M             40º D
    A
              a                          a                                          x       y

                                                                                    ω           β
                                                             	
Piden mCDB=x.
Como L mediatriz de AD, entonces                             si b<w
	    AM=MD=a                                                 →	 x<y
    BDA isósceles se cumple que
	    AD=BD=2a.
   BND, Not(30º y 60º), se cumple que
                                                             Análisis y procedimiento
	    DN=a.                                                   Piden el menor valor entero de k.
Por observación anterior                                     Dato: a es una constante
	    mMDC=mNDC=x+40º
   BND se cumple que                                                                                B
                                                                                        agudo
	    x+x+40º=60º
∴	 x=10º                                                                                E                   ak
                                                                                            a
Respuesta                                                                                               D
10º                                                                                             θ
                                                                                                            a
                                                                                α
                                                                                 α
                                         Alternativa     B   	             A                        C



                                                                                                                 19
UNI
Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces
	    DC=DE=a

En el BED, por teorema de correspondencia,
como agudo < recto, entonces
	
	
    a<ak
    1<k
                                                     Resolución
                                                     Tema: Área de regiones planas

                                                     Recordemos que
                                                                                             MATEMÁTICA




                                                     a.	 Área de la región triangular equilátera



Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.                                                       2 3
                                                                                                 A =
                                                     	                                                        4
Respuesta                                                                    
2
                                                     b.	 Área de la región cuadrada en función de su
                                 Alternativa     B       diagonal



                                                                             d                                d2
                                                                                             a     A =
                                                     	                                                        2
PREGUNTA N.o 27
                                                                                 a
Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo
                                  área CEF
equilátero, entonces el valor de           es        Análisis y procedimiento
                                 área ABCD
igual a:
                                                                                      área CEF
                                                     Del gráfico nos piden                     .
                                                                                     área ABCD
                  D               C

                  E                                            D                            15º      C
                                                                                              30º
                                                                                                30º           15º
                                                               E
                                                                                     a 3
                  A          F    B                                45º a                                  
                                                                         M
	   A)	   2 −1                                                       a                   a
                                                                     45º             45º
	   B)	   3 −1                                                 A                             F        B

	   C)	 2 3 − 3
                                                     Como AC es mediatriz de EF,
          1                                          sea EM=MF=a → MC=a 3
	   D)	       		
          2                                          y en el    EAF: AM=a.
          1
	   E)	
          3                                          Luego, AC=a+a 3 =a ( 3 + 1)



                                                                                                                    20
área CEF=(2a)


     área ABCD=
                   2
                      =
                        2
                            UNI
Ahora calculamos las áreas solicitadas.

                            4
                             3
                               =a 2 3

                ( AC)2 (a( 3 + 1))
                            2
                                             2
                                                       	
                                                               h=
                                                                    a 6
                                                                     3


                                                       Análisis y procedimiento
                                                                                         MATEMÁTICA

                                                       En un tetraedro regular se cumple que




                    a2
                  =    (4 + 2 3 ) = a 2 (2 + 3 )
			                  2                                                                   D

       área CEF     a2 3       3
→	              = 2       =         =2 3−3
      área ABCD a (2 + 3 ) (2 + 3 )                                            a                   B

Respuesta
                                                                           θ
2 3−3                                                                              a 3   H
                                                                    A                3

                                     Alternativa   C
                                                                                              C


                                                       Del tetraedro regular de arista lateral a

PREGUNTA N.o 28                                        la altura DH =
                                                                           a 6
                                                                               .
Calcule la medida de un ángulo formado entre una                            3
arista lateral y la base de un tetraedro regular.
                                                       En el      AHD
	    A)	 arc tan( 2)
                                                                      a 3
	    B)	 arc sen( 2)                                           AH =
                                                       	               3
	    C)	 arc cos( 3 )
	    D)	 arc cos( 2)		                                                a 6
	    E)	 arc cot( 3 )                                          tan θ = 3
                                                                      a 3
                                                       	               3
Resolución
                                                       	       tan θ = 2
Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos
                                 D
                                                       	      θ = arc tan 2

                    a                    B
                             h                         Respuesta
                                                       arc tan 2
              A

                                     C
                                                                                             Alternativa   A


                                                                                                               21
PREGUNTA N.o 29              UNI
Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-
pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine
el área del rectángulo cuyos vértices son justamente
los puntos generados.
                                                                                                 MATEMÁTICA

                                                                   En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos
                                                                   	   ON=MP=4

                                                                   Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo
                                                                   PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8.


	    A)	 16 13 	 B)	 15 13 	                  C)	 14 13            Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es
	    D)	 13 13 			                            E)	 12 13            8 × 2 13 = 16 13


Resolución                                                         Respuesta
                                                                   16 13
Tema: Geometría analítica
Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado
por los ejes X e Y.
                                                                                                   Alternativa        A

Análisis y procedimiento
Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son
                                                                   PREGUNTA N.o 30
los generados.
                                                                   Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-
                             Z                                     A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden
                                                  P '(3; – 2; 4)
                                     13                            2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye
                                 N
                        13   4
                                                                   exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luego
    (– 3; 2; 4)P             3                    4                por las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un
                                     –4
                             2     –3                              sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte
              4                  –2               Q
                              1 –1                                 del sólido exterior al prisma exagonal.
                   –3
                       13        0        3            X
                              1
             M
               (– 3; 2; 0) 2 – 1
                                                  4                	   A)	 3( 3 + 1)a 3
                         3 –2
                       4
             4               –3                   J                	   B)	 3( 3 − 1)a 3
                             –4      13
       Y                         S
           P ''          13 – 5                                    	   C)	 2( 3 + 1)a 3
         (– 3; 2; – 4)

                                                                   	   D)	 2( 3 − 1)a 3 		
                                              
Sea P ' el simétrico de P respecto de Z , entonces                           4
	   P '=(3;  – 2; 4)                                               	   E)	     ( 3 − 1)a 3
                                                                             3

Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0,                 Resolución
entonces P ''=( – 3; 2;  – 4)
                                                                   Tema: Prisma
En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0)                                    	                         B           V: volumen
                                                                              h
→ OM = 2 2 + 3 2 = 13                                                                                    V=B h
                                                                   					
Luego,  PN = NP ' = 13



                                                                                                                            22
Análisis y procedimiento
Piden V.
V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’

	
                               2a
                                          UNI
                                          C
                                                   2a
                                                                                  PREGUNTA N.o 31
                                                                                                                         MATEMÁTICA


                                                                                  El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la
                                                                                  proyección de su generatriz sobre el plano de la base
                                                                                  mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm,
                                                                                  calcule el área de la base en cm2.

                 B                                           D                              2π                       4π                       6π
                                                                                  	   A)	      	               B)	      	               C)	
                                                                                             3                        3                        3
          2a

                                              E              Q                              8π                                                10 π
     A                                                                            	   D)	      			                                      E)	
                          F                C'                                                3                                                  3
                     B'                                          D'
    2a                                        P
                                                                            D''
                                                                                  Resolución
                                                                                  Tema: Cilindro
                              2a 3
                                                    B
    A'         30º                                                    E''
                               2a R      60º E '        2a
                              60º h
           2a        F'                                                           Análisis y procedimiento
                              2a     M                                            Piden A base
                                      4a 3              N                         Dato: vcilindro =40π
                                        3                                                   oblicuo


                                                                                                                 30º                base
Sabemos que
	   V=Bh; h=2a y B=ah                                                                                                2
→	 V=2a2h					                                              (I)                                            g                2               30º
                                                                                            sección
                                                                                             recta                                10
  RMN ∼ AA’N
    h    MN
       =
	   2a A ' N
           4a 3                                                                                  H                              5
    h        3
       =
    2a 4 a 3
               + 4a                                                                                            oblicuo
                                                                                                                         (
                                                                                  •	 Sabemos que vcilindro = A sección ⋅ g
                                                                                                                                recta   )
          3
	
→	 h = a ( 3 − 1)
                                                                                  		        (A   sección
                                                                                                 recta     )g=40π
                                                                                  		        π(2)2g=40π
Reemplazando en (I)
                                                                                  	   →	 g=10
	        V = 2 ( 3 − 1) a 3
                                                                                  •	 Pero
                                                                                            A sección = ( A base ) cos 30º
Respuesta                                                                         		           recta

2(       3 − 1) a 3                                                                                      3
                                                                                       4 π = ( A base ) 
                                                                                                         2 
                                                                                                            
                                                                                  		
                                                                                                 8π
                                                        Alternativa           D   	 ∴	 A base =
                                                                                                   3



                                                                                                                                                     23
Respuesta
8π
 3
                               UNI     Alternativa   D
                                                         Recuerde que
                                                         	




                                                         		
                                                                Volumen del anillo esférico


                                                                     V anillo =
                                                                         esférico
                                                                                      πa 2h
                                                                                       6
                                                                                               MATEMÁTICA




                                                         	   a: longitud de la cuerda AB
PREGUNTA N.o 32                                          	   h: longitud de la proyección de AB
Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-
do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.
                                                         Análisis y procedimiento
                           Y
                                                                                           Y

                                                                                           A
                  2π           R       2π                                                       R
                                   R                                                                2
                           O                                                               R
                                             X

                                                                                           O        R    B   X

	    A)	 πR3

           πR 3
	    B)	
            3
           πR 3
	    C)	                                                 Piden VRS (volumen del sólido generado).
            4
           πR 3                                          Se observa
	    D)	
            6
                                                         	      VRS= V anillo
           πR 3
	    E)	                                                                   esférico
            9
                                                         Por teorema
Resolución
                                                                         π (R 2 ) R
                                                                                       2
Tema: Anillo esférico                                           V RS =
                                                         	                    6
                               B
                                                                         πR 3
                                                         ∴	 V RS =
                                                                          3
                           a       h
                                                         Respuesta
                       A                                 πR 3
                                                          3
                                                                                                    Alternativa   B


                                                                                                                      24
PREGUNTA N.o 33               UNI
La figura representa un recipiente regular, en donde a
y  son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-
mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.
                                                         Piden el volumen máximo

                                                         	   V=b h=
                                                                              a2
                                                                               2
                                                                                  ⋅ sen θ
                                                                                             MATEMÁTICA




                                                         Para que el volumen sea máximo, senq=1.

                                                         	 v =
                                                                       a2
                                                                          
          a                                                             2
                  θ                           θ
                      a
                                                         Respuesta
                                  
                                                         1 2
                                                           a 
                                                         2
	   A)	    2a 2 
                                                                                              Alternativa   D
         3 2
	   B)	   a 
        2
                                                         PREGUNTA N.o 34
         2 2
	   C)	   a                                             En la siguiente ecuación trigonométrica
        2
                                                               x 1               7
       1                                                 cos 4   − cos ( 2 x ) =
                                                                2 8              8
	   D)	 a 2 
       2                                                 El número de soluciones en [0; 2π] es:
          3 2 2
	   E)	      a                                          	   A)	   1
           2
                                                         	   B)	   2
Resolución                                               	   C)	   3
                                                         	   D)	   4
Tema: Sólidos - Prisma                                   	   E)	   5
Recuerde
                                                         Resolución
                                                         Tema: Ecuaciones trigonométricas
                                      h
                                                         •	 cos2θ=2cos2θ –1

                          B                              •	 2cos2θ=1+cos2θ
		
                                                         •	 cosθ=1 → θ=2np; n ∈ Z

			                   Vprisma=B h
                                                         Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento                                 Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la
                                                         ecuación
                                                                   x 1           7
      a                                                      cos 4   − cos 2 x =
              B                                          	          2 8          8
                                          a
           θ          a                       θ   a                             2
                                                                       x
                                                             2  2 cos 2  − cos 2 x = 7
                                                        	             2



                                                                                                                25
→	
     2(1+cosx)2 – cos2x=7
     2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7

     cosx=1
     x=0; 2π
                               UNI
     2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7



Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación
                                                                              Y


                                                                                      π
                                                                                      2
                                                                                           MATEMÁTICA




                                                                                               y=|arc tanx|

                                                                                                     X
es 2.


Respuesta
2
                                     Alternativa   B   Análisis y procedimiento
                                                       	   f(x)=|arc senx|+|arc tanx|

                                                       	   f1(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1
PREGUNTA N.o 35
                                                       	   f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R
Sea f una función definida por
f(x)=|arc senx|+|arc tanx|                             →	 x ∈ [– 1; 1]
Determine el rango de f.

          π                                          Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la
	    A)	 0; 
          2                                          función y=|arc senx|+|arc tanx|
          π
	    B)	 0;
          2                                                                      Y
          3π 
	    C)	 0;                                                                              3π
            4 
               
                                                                                          4
          3π                                                                                      y=f(x)
	    D)	 0;
            4

	    E)	 [0; π〉
                                                                         –1           0        1     X
Resolución
Tema: Funciones inversas
                                                                    3π 
                                                       ∴	 Ran f ∈  0;
                       Y                                              4 
                                                                         
                           π
                           2                           Respuesta
                                   y=|arc senx|
                                                        3π 
                                                       0; 4 
                                                            

                  –1           1     X                                                             Alternativa   C


                                                                                                                     26
PREGUNTA N.o 36          UNI
Cuál de los gráficos mostrados representa a la función
y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo.
                                                         Graficando
                                                         	   y= – cos2x

                                                                               Y
                                                                                   1
                                                                                       MATEMÁTICA




                                                                                            y = cos2x



	   A)	                                                      –π        – π/2       0     π/2            π X

          – π/2          π/2                                                   –1           y = – cos2x




	   B)	                                                  Respuesta

          – π/2          π/2

                                                                   – π/2                    π/2

	   C)	
          – π/2           π/2
                                                                                        Alternativa           C

                                                         PREGUNTA N.o 37
	   D)	                                                  De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son
                                                         sectores circulares, donde el área de las regiones
          – π – π/2   π/2 π
                                                         EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si
                                                         L = 4 unidades, calcule LCD + 3 LEF .
                                                           AB                               


	   E)	                                                                                                 A
          – π/2          π/2                                                            C
                                                                               E
                                                                   O
Resolución
                                                                               F
Tema: Funciones trigonométricas directas
                                                                                        D
                                                         	                                              B
Análisis y procedimiento
Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p).            	   A)	 2 2
	   y=cos(2x – p)                                        	   B)	 3 2
	   y=cos( – (p – 2x))                                   	   C)	 4 2
	   y=cos(p – 2x)                                        	   D)	 5 2 		
	   y= – cos2x                                           	   E)	 6 2




                                                                                                                  27
Resolución               UNI
Tema: Área de un sector circular

                                 A
                                                       PREGUNTA N.o 38
                                                                                         MATEMÁTICA


                                                       En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es

                                                                                     Y

                                                                                         β

                        θrad S        L                                                          X
                   O                                                                     φ
                                                       	

                                 B                     	     A)	 – 2	 B)	 – 1	                  C)	 – 1/2
                                                       	     D)	 1/2			                         E)	 1
	    S: área del sector circular AOB
           L2                                          Resolución
     S=
	          2θ                                          Tema: Ángulos en posición normal
                                                       Si AO=OA’
Análisis y procedimiento
                                                                                     Y
Piden x + 3y.
                                                                     A(– m; n)
                                          A
                                 C
                         E
                                                                                         O       X
                   θrad S y 2S       x 3S     4
           O                                                         A' (– n; – m)
                         F                             Análisis y procedimiento
                                 D
                                          B            Del gráfico
               2             2
        y           (4)                                                              Y
•	    S=     ∧ 6S =
        2θ           2θ                                               P(– a; b)
           y 2  16
      →6  =        → 3y = 2 2                                                          β
           2θ  2θ
	
                                                                                                X
         x2          (4)2                                                                φ
•	    3S =    ∧ 6S =
         2θ           2θ                                             P '(– b; – a)
          x 2  16
      → 6  =      →x=2 2                             Por definición
          6θ  2θ
	                                                                           −a   b 
                                                           tan φ ⋅ tan β =    
∴ x + 3y = 4 2                                         	                    −b   − a 
                                                       ∴  tanf · tanb= – 1

Respuesta
                                                       Respuesta
4 2                                                    – 1

                                     Alternativa   C                                         Alternativa    B


                                                                                                                28
PREGUNTA N.o 39



	
	
        5π 
Si tan   =
               1
        4  3x + 5

        A)	 – 4/5	
        D)	 5/3			
                           UNI
                           3π 
                    , cot   = y − 4, calcule x+y.
                           2 

                        B)	 – 3/4	      C)	 – 3/5
                                        E)	 8/3
                                                        PREGUNTA N.o 40

                                                        (x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos


                                                        	
                                                                                        MATEMÁTICA


                                                        Al determinar la forma compleja de la ecuación



                                                             A)	 zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
                                                        	    B)	 zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0
Resolución
                                                        	    C)	 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0
Tema: Reducción al primer cuadrante
                                                        	    D)	 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0
	       sen(p+q)= – senq
                                                        	    E)	 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0
	       cos(p+q)= – cosq
	       tan(p+q)=tanq
                                                        Resolución
Análisis y procedimiento
                                                        Tema: Números complejos
De
              5π      1                               •	   ∀ z ∈ C: |z|2=z · z
	        tan   =
              4  3x + 5
                                                        •	   Ecuación de la circunferencia
                  π     1
	        tan  π +  =                                  	    (x – x0)2+(y – y0)2=r2
                  4  3x + 5
             π       1                                	    o  |z – z0|=r  con z=x+yi  ∧  z0=x0+y0i
	        tan   =
              4  3x + 5
                1
	        1=                                             Análisis y procedimiento
             3x + 5
                                                        Tenemos que
	       3x+5=1
                                                        	    (x – 1)2+(y – 1)2=12
          4
 → x=−                                                  →  |z – (1+i)|2=12;  z=x+yi
          3
De                                                      →    (z – (1+i))(z – (1+i))=1
        3π 
	  cot   = y − 4                                      →    (z – (1+i))(z – (1+i))=1
        2 
	  0=y – 4                                              →    (z – (1+i))(z – (1 – i))=1
→  y=4                                                  →  z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1
Nos preguntan                                           →  z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1
             4
	    x+y=− +4                                                                          /          /
                                                        →  z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1 – ( – 1)=1
             3
          8                                             ∴  zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
∴ x+y=
          3

Respuesta                                               Respuesta
    8                                                   zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
    3
                                     Alternativa    E                                        Alternativa   A


                                                                                                               29

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  • 1. PREGUNTA N.o 21 UNI Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP ⋅ CQ en m. → CQ=3a y BQ=2a  EAP ∼ AP 2 = BP 3  CBP BP=3b y AP=2b MATEMÁTICA A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 Luego D) 5/3 E) 5/2 AP=2b y QC=3a Además Resolución 2 5b = 2 → b = 5 Tema: Semejanza de triángulos 3 5a = 3 → a = Recuerde 5 4 9 B → AP = y QC = 5 5 N 6 a ∴ AP ⋅ CQ = c m 5  α α Respuesta A b C M n L 6 5 Según el gráfico,  ABC ∼  MNL a b c → = = Alternativa C m n  Análisis y procedimiento PREGUNTA N.o 22 Piden AP ⋅ CQ . En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm. G Calcule la longitud de la circunferencia (en cm). D D F M 2 θ C B 2a E 3b Q R α 3 P A O B 2b 3a 2 θ α A C Según el gráfico:  ABQ ∼  FCQ A) 12 7 p B) 12 5 p C) 12 3 p BQ 2 24 3 24 5 = D) p E) p CQ 3 3 5 16
  • 2. Resolución b UNI Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo Recuerde que por relaciones métricas en el 1 1 1 PREGUNTA N.o 23 determine el valor de BC (en u). 1 MATEMÁTICA En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB). Si mPAB= mC y AP=12 u, 2 a = = h 2 2 h a b2 A) 3 B) 4 C) 5 Análisis y procedimiento D) 6 Piden C. E) 8 D Resolución M Tema: Aplicaciones de la congruencia 12 C Recuerde el teorema de la mediana relativa a la 8 6 hipotenusa. A r O r B B r C m M A m m C Se sabe C =2pr AO=OB y AD // OC Análisis y procedimiento → AD=2(OC)=12 Piden x. Por relaciones métricas en el  DAB Dato: AP=12 1 1 1 = + P 82 12 2 ( 2r ) 2 12 5 → r= 5 24 5 12 B C = p 5 α Respuesta 6 x 24 5 α p α 2α 2α 5 A M C Q 6 6 Alternativa E 12 17
  • 3. UNI Se prolongan AC y PB hasta Q. En el  APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el  PAQ es isósceles. → AP=AQ=12 En el  ABQ se traza la mediana BM relativa a la Análisis y procedimiento MATEMÁTICA Piden la longitud del radio x. De la figura, por los datos se tiene que FO=x – c OG=x OM=a – x hipotenusa AQ. ON=b – x → AM=MQ=BM=6. B El  MBC es isósceles, por lo tanto, x=6 M Respuesta x 6 x–c b F Alternativa D C b– x O G c x a N PREGUNTA N.o 24 Dos circunferencias son tangentes interiores en G. A En la circunferencia mayor se trazan los diámetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, (x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2 BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la ab circunferencia mayor. x= a+b−c ab b ab A) B) C) a−b+c a+b−c a+b+c Respuesta ab ab a D) E) a+b−c a+b−c a+b+c Resolución Alternativa D Tema: Relaciones métricas en la circunferencia Teorema de cuerdas PREGUNTA N.o 25 En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de a y AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y x b mDAB=70º, calcule la mCDB. A) 8º B) 10º C) 12º ab=xy D) 15º E) 17º 18
  • 4. Resolución Observación a A UNI Tema: Aplicaciónes de la congruencia Si AQ=QB PREGUNTA N.o 26 siendo a constante? MATEMÁTICA ¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, ak → α=θ α O θ Q a θ a α B α Análisis y procedimiento A) 1 B) 2 C) 3 L D) 4 E) 5 B C 30º 70º N Resolución Tema: Teorema de correspondencia 2a Recuerde 60º a x x+40º Teorema de correspondencia 70º M 40º D A a a x y ω β Piden mCDB=x. Como L mediatriz de AD, entonces si b<w AM=MD=a → x<y  BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.  BND, Not(30º y 60º), se cumple que Análisis y procedimiento DN=a. Piden el menor valor entero de k. Por observación anterior Dato: a es una constante mMDC=mNDC=x+40º  BND se cumple que B agudo x+x+40º=60º ∴ x=10º E ak a Respuesta D 10º θ a α α Alternativa B A C 19
  • 5. UNI Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces DC=DE=a En el BED, por teorema de correspondencia, como agudo < recto, entonces a<ak 1<k Resolución Tema: Área de regiones planas Recordemos que MATEMÁTICA a. Área de la región triangular equilátera Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.   2 3 A = 4 Respuesta  2 b. Área de la región cuadrada en función de su Alternativa B diagonal d d2 a A = 2 PREGUNTA N.o 27 a Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo área CEF equilátero, entonces el valor de es Análisis y procedimiento área ABCD igual a: área CEF Del gráfico nos piden . área ABCD D C E D  15º C 30º 30º 15º E a 3 A F B 45º a  M A) 2 −1 a a 45º 45º B) 3 −1 A F B C) 2 3 − 3 Como AC es mediatriz de EF, 1 sea EM=MF=a → MC=a 3 D) 2 y en el  EAF: AM=a. 1 E) 3 Luego, AC=a+a 3 =a ( 3 + 1) 20
  • 6. área CEF=(2a) área ABCD= 2 = 2 UNI Ahora calculamos las áreas solicitadas. 4 3 =a 2 3 ( AC)2 (a( 3 + 1)) 2 2 h= a 6 3 Análisis y procedimiento MATEMÁTICA En un tetraedro regular se cumple que a2 = (4 + 2 3 ) = a 2 (2 + 3 ) 2 D área CEF a2 3 3 → = 2 = =2 3−3 área ABCD a (2 + 3 ) (2 + 3 ) a B Respuesta θ 2 3−3 a 3 H A 3 Alternativa C C Del tetraedro regular de arista lateral a PREGUNTA N.o 28 la altura DH = a 6 . Calcule la medida de un ángulo formado entre una 3 arista lateral y la base de un tetraedro regular. En el  AHD A) arc tan( 2) a 3 B) arc sen( 2) AH = 3 C) arc cos( 3 ) D) arc cos( 2) a 6 E) arc cot( 3 ) tan θ = 3 a 3 3 Resolución tan θ = 2 Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos D θ = arc tan 2 a B h Respuesta arc tan 2 A C Alternativa A 21
  • 7. PREGUNTA N.o 29 UNI Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res- pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados. MATEMÁTICA En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4 Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8. A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es D) 13 13 E) 12 13 8 × 2 13 = 16 13 Resolución Respuesta 16 13 Tema: Geometría analítica Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y. Alternativa A Análisis y procedimiento Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son PREGUNTA N.o 30 los generados. Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF- Z A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden P '(3; – 2; 4) 13 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye N 13 4 exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luego (– 3; 2; 4)P 3 4 por las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un –4 2 –3 sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte 4 –2 Q 1 –1 del sólido exterior al prisma exagonal. –3 13 0 3 X 1 M (– 3; 2; 0) 2 – 1 4 A) 3( 3 + 1)a 3 3 –2 4 4 –3 J B) 3( 3 − 1)a 3 –4 13 Y S P '' 13 – 5 C) 2( 3 + 1)a 3 (– 3; 2; – 4) D) 2( 3 − 1)a 3  Sea P ' el simétrico de P respecto de Z , entonces 4 P '=(3;  – 2; 4) E) ( 3 − 1)a 3 3 Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0, Resolución entonces P ''=( – 3; 2;  – 4) Tema: Prisma En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0) B V: volumen h → OM = 2 2 + 3 2 = 13 V=B h Luego,  PN = NP ' = 13 22
  • 8. Análisis y procedimiento Piden V. V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’ 2a UNI C 2a PREGUNTA N.o 31 MATEMÁTICA El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2. B D 2π 4π 6π A) B) C) 3 3 3 2a E Q 8π 10 π A D) E) F C' 3 3 B' D' 2a P D'' Resolución Tema: Cilindro 2a 3 B A' 30º E'' 2a R 60º E ' 2a 60º h 2a F' Análisis y procedimiento 2a M Piden A base 4a 3 N Dato: vcilindro =40π 3 oblicuo 30º base Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah 2 → V=2a2h (I) g 2 30º sección recta 10 RMN ∼ AA’N h MN = 2a A ' N 4a 3 H 5 h 3 = 2a 4 a 3 + 4a oblicuo ( • Sabemos que vcilindro = A sección ⋅ g recta ) 3 → h = a ( 3 − 1) (A sección recta )g=40π π(2)2g=40π Reemplazando en (I) → g=10 V = 2 ( 3 − 1) a 3 • Pero A sección = ( A base ) cos 30º Respuesta recta 2( 3 − 1) a 3  3 4 π = ( A base )   2   8π Alternativa D ∴ A base = 3 23
  • 9. Respuesta 8π 3 UNI Alternativa D Recuerde que Volumen del anillo esférico V anillo = esférico πa 2h 6 MATEMÁTICA a: longitud de la cuerda AB PREGUNTA N.o 32 h: longitud de la proyección de AB Determine, en la siguiente figura, el volumen genera- do al rotar la región sombreada alrededor del eje X. Análisis y procedimiento Y Y A 2π R 2π R R 2 O R X O R B X A) πR3 πR 3 B) 3 πR 3 C) Piden VRS (volumen del sólido generado). 4 πR 3 Se observa D) 6 VRS= V anillo πR 3 E) esférico 9 Por teorema Resolución π (R 2 ) R 2 Tema: Anillo esférico V RS = 6 B πR 3 ∴ V RS = 3 a h Respuesta A πR 3 3 Alternativa B 24
  • 10. PREGUNTA N.o 33 UNI La figura representa un recipiente regular, en donde a y  son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter- mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3. Piden el volumen máximo V=b h= a2 2  ⋅ sen θ MATEMÁTICA Para que el volumen sea máximo, senq=1. v = a2  a 2 θ θ a Respuesta  1 2 a  2 A) 2a 2  Alternativa D 3 2 B) a  2 PREGUNTA N.o 34 2 2 C) a En la siguiente ecuación trigonométrica 2 x 1 7 1 cos 4   − cos ( 2 x ) =  2 8 8 D) a 2  2 El número de soluciones en [0; 2π] es: 3 2 2 E) a  A) 1 2 B) 2 Resolución C) 3 D) 4 Tema: Sólidos - Prisma E) 5 Recuerde Resolución Tema: Ecuaciones trigonométricas h • cos2θ=2cos2θ –1 B • 2cos2θ=1+cos2θ • cosθ=1 → θ=2np; n ∈ Z Vprisma=B h Análisis y procedimiento Análisis y procedimiento Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación x 1 7 a cos 4   − cos 2 x = B  2 8 8 a θ a θ a 2  x 2  2 cos 2  − cos 2 x = 7   2 25
  • 11. 2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7 cosx=1 x=0; 2π UNI 2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7 Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación Y π 2 MATEMÁTICA y=|arc tanx| X es 2. Respuesta 2 Alternativa B Análisis y procedimiento f(x)=|arc senx|+|arc tanx| f1(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1 PREGUNTA N.o 35 f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R Sea f una función definida por f(x)=|arc senx|+|arc tanx| → x ∈ [– 1; 1] Determine el rango de f.  π Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la A) 0;   2 función y=|arc senx|+|arc tanx|  π B) 0;  2 Y  3π  C) 0; 3π  4   4  3π y=f(x) D) 0;  4 E) [0; π〉 –1 0 1 X Resolución Tema: Funciones inversas  3π  ∴ Ran f ∈  0; Y  4   π 2 Respuesta y=|arc senx|  3π  0; 4    –1 1 X Alternativa C 26
  • 12. PREGUNTA N.o 36 UNI Cuál de los gráficos mostrados representa a la función y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo. Graficando y= – cos2x Y 1 MATEMÁTICA y = cos2x A) –π – π/2 0 π/2 π X – π/2 π/2 –1 y = – cos2x B) Respuesta – π/2 π/2 – π/2 π/2 C) – π/2 π/2 Alternativa C PREGUNTA N.o 37 D) De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones – π – π/2 π/2 π EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si L = 4 unidades, calcule LCD + 3 LEF . AB   E) A – π/2 π/2 C E O Resolución F Tema: Funciones trigonométricas directas D B Análisis y procedimiento Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p). A) 2 2 y=cos(2x – p) B) 3 2 y=cos( – (p – 2x)) C) 4 2 y=cos(p – 2x) D) 5 2 y= – cos2x E) 6 2 27
  • 13. Resolución UNI Tema: Área de un sector circular A PREGUNTA N.o 38 MATEMÁTICA En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es Y β θrad S L X O φ B A)  – 2 B)  – 1 C)  – 1/2 D) 1/2 E) 1 S: área del sector circular AOB L2 Resolución S= 2θ Tema: Ángulos en posición normal Si AO=OA’ Análisis y procedimiento Y Piden x + 3y. A(– m; n) A C E O X θrad S y 2S x 3S 4 O A' (– n; – m) F Análisis y procedimiento D B Del gráfico 2 2 y (4) Y • S= ∧ 6S = 2θ 2θ P(– a; b)  y 2  16 →6  = → 3y = 2 2 β  2θ  2θ X x2 (4)2 φ • 3S = ∧ 6S = 2θ 2θ P '(– b; – a)  x 2  16 → 6  = →x=2 2 Por definición  6θ  2θ  −a   b  tan φ ⋅ tan β =     ∴ x + 3y = 4 2  −b   − a  ∴  tanf · tanb= – 1 Respuesta Respuesta 4 2 – 1 Alternativa C Alternativa B 28
  • 14. PREGUNTA N.o 39  5π  Si tan   = 1  4  3x + 5 A)  – 4/5 D) 5/3 UNI  3π  , cot   = y − 4, calcule x+y.  2  B)  – 3/4 C)  – 3/5 E) 8/3 PREGUNTA N.o 40 (x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos MATEMÁTICA Al determinar la forma compleja de la ecuación A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0 B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0 Resolución C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0 Tema: Reducción al primer cuadrante D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0 sen(p+q)= – senq E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0 cos(p+q)= – cosq tan(p+q)=tanq Resolución Análisis y procedimiento Tema: Números complejos De  5π  1 • ∀ z ∈ C: |z|2=z · z tan   =  4  3x + 5 • Ecuación de la circunferencia  π 1 tan  π +  = (x – x0)2+(y – y0)2=r2  4  3x + 5 π 1 o  |z – z0|=r  con z=x+yi  ∧  z0=x0+y0i tan   =  4  3x + 5 1 1= Análisis y procedimiento 3x + 5 Tenemos que 3x+5=1 (x – 1)2+(y – 1)2=12 4 → x=− →  |z – (1+i)|2=12;  z=x+yi 3 De →  (z – (1+i))(z – (1+i))=1  3π  cot   = y − 4 →  (z – (1+i))(z – (1+i))=1  2  0=y – 4 →  (z – (1+i))(z – (1 – i))=1 →  y=4 →  z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1 Nos preguntan →  z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1 4 x+y=− +4 / / →  z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1 – ( – 1)=1 3 8 ∴  zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0 ∴ x+y= 3 Respuesta Respuesta 8 zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0 3 Alternativa E Alternativa A 29