Solucionario examen de la uni 2012 ii matematica-ii
1. PREGUNTA N.o 21 UNI
Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se
construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta
en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y
BC=3m, calcule el valor de AP ⋅ CQ en m.
→ CQ=3a y BQ=2a
EAP ∼
AP 2
=
BP 3
CBP
BP=3b y AP=2b
MATEMÁTICA
A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 Luego
D) 5/3 E) 5/2 AP=2b y QC=3a
Además
Resolución
2
5b = 2 → b =
5
Tema: Semejanza de triángulos 3
5a = 3 → a =
Recuerde 5
4 9
B → AP = y QC =
5 5
N 6
a ∴ AP ⋅ CQ =
c m 5
α α Respuesta
A b C M n L
6
5
Según el gráfico, ABC ∼ MNL
a b c
→ = = Alternativa C
m n
Análisis y procedimiento PREGUNTA N.o 22
Piden AP ⋅ CQ . En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.
G Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).
D D
F M
2 θ C
B
2a
E 3b Q R
α 3
P A O B
2b 3a
2 θ α
A C
Según el gráfico:
ABQ ∼ FCQ A) 12 7 p B) 12 5 p C) 12 3 p
BQ 2 24 3 24 5
= D) p E) p
CQ 3 3 5
16
2. Resolución
b
UNI
Tema: Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
Recuerde que por relaciones métricas en el
1 1 1
PREGUNTA N.o 23
determine el valor de BC (en u).
1
MATEMÁTICA
En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA.
Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B
(P exterior a AB). Si mPAB= mC y AP=12 u,
2
a = =
h 2 2
h a b2
A) 3
B) 4
C) 5
Análisis y procedimiento
D) 6
Piden C. E) 8
D
Resolución
M
Tema: Aplicaciones de la congruencia
12 C
Recuerde el teorema de la mediana relativa a la
8 6 hipotenusa.
A r O r B B
r
C m
M
A m m C
Se sabe
C =2pr
AO=OB y AD // OC
Análisis y procedimiento
→ AD=2(OC)=12 Piden x.
Por relaciones métricas en el DAB Dato: AP=12
1 1 1
= + P
82 12 2 ( 2r ) 2
12 5
→ r=
5
24 5 12 B
C = p
5
α
Respuesta 6 x
24 5 α
p α 2α 2α
5
A M C Q
6 6
Alternativa E 12
17
3. UNI
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura
a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles.
→ AP=AQ=12
En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la
Análisis y procedimiento
MATEMÁTICA
Piden la longitud del radio x.
De la figura, por los datos se tiene que
FO=x – c
OG=x
OM=a – x
hipotenusa AQ. ON=b – x
→ AM=MQ=BM=6.
B
El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6 M
Respuesta x
6 x–c b
F
Alternativa D C
b– x O G
c
x
a
N
PREGUNTA N.o 24
Dos circunferencias son tangentes interiores en G. A
En la circunferencia mayor se trazan los diámetros
AB y CG que intersecan a la circunferencia menor Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM
en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a, (x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 – cx=ab – ax – bx+x2
BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la
ab
circunferencia mayor. x=
a+b−c
ab b ab
A) B) C)
a−b+c a+b−c a+b+c Respuesta
ab
ab a
D) E) a+b−c
a+b−c a+b+c
Resolución
Alternativa D
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Teorema de cuerdas
PREGUNTA N.o 25
En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de
a y
AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y
x b mDAB=70º, calcule la mCDB.
A) 8º B) 10º C) 12º
ab=xy
D) 15º E) 17º
18
4. Resolución
Observación
a
A
UNI
Tema: Aplicaciónes de la congruencia
Si AQ=QB
PREGUNTA N.o 26
siendo a constante?
MATEMÁTICA
¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k,
ak
→ α=θ
α
O θ Q
a θ
a
α
B α
Análisis y procedimiento
A) 1 B) 2 C) 3
L D) 4 E) 5
B
C
30º
70º N Resolución
Tema: Teorema de correspondencia
2a Recuerde
60º a
x x+40º Teorema de correspondencia
70º M 40º D
A
a a x y
ω β
Piden mCDB=x.
Como L mediatriz de AD, entonces si b<w
AM=MD=a → x<y
BDA isósceles se cumple que
AD=BD=2a.
BND, Not(30º y 60º), se cumple que
Análisis y procedimiento
DN=a. Piden el menor valor entero de k.
Por observación anterior Dato: a es una constante
mMDC=mNDC=x+40º
BND se cumple que B
agudo
x+x+40º=60º
∴ x=10º E ak
a
Respuesta D
10º θ
a
α
α
Alternativa B A C
19
5. UNI
Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces
DC=DE=a
En el BED, por teorema de correspondencia,
como agudo < recto, entonces
a<ak
1<k
Resolución
Tema: Área de regiones planas
Recordemos que
MATEMÁTICA
a. Área de la región triangular equilátera
Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2. 2 3
A =
4
Respuesta
2
b. Área de la región cuadrada en función de su
Alternativa B diagonal
d d2
a A =
2
PREGUNTA N.o 27
a
Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo
área CEF
equilátero, entonces el valor de es Análisis y procedimiento
área ABCD
igual a:
área CEF
Del gráfico nos piden .
área ABCD
D C
E D 15º C
30º
30º 15º
E
a 3
A F B 45º a
M
A) 2 −1 a a
45º 45º
B) 3 −1 A F B
C) 2 3 − 3
Como AC es mediatriz de EF,
1 sea EM=MF=a → MC=a 3
D)
2 y en el EAF: AM=a.
1
E)
3 Luego, AC=a+a 3 =a ( 3 + 1)
20
6. área CEF=(2a)
área ABCD=
2
=
2
UNI
Ahora calculamos las áreas solicitadas.
4
3
=a 2 3
( AC)2 (a( 3 + 1))
2
2
h=
a 6
3
Análisis y procedimiento
MATEMÁTICA
En un tetraedro regular se cumple que
a2
= (4 + 2 3 ) = a 2 (2 + 3 )
2 D
área CEF a2 3 3
→ = 2 = =2 3−3
área ABCD a (2 + 3 ) (2 + 3 ) a B
Respuesta
θ
2 3−3 a 3 H
A 3
Alternativa C
C
Del tetraedro regular de arista lateral a
PREGUNTA N.o 28 la altura DH =
a 6
.
Calcule la medida de un ángulo formado entre una 3
arista lateral y la base de un tetraedro regular.
En el AHD
A) arc tan( 2)
a 3
B) arc sen( 2) AH =
3
C) arc cos( 3 )
D) arc cos( 2) a 6
E) arc cot( 3 ) tan θ = 3
a 3
3
Resolución
tan θ = 2
Tema: Razones trigonométricas para ángulos agudos
D
θ = arc tan 2
a B
h Respuesta
arc tan 2
A
C
Alternativa A
21
7. PREGUNTA N.o 29 UNI
Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-
pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine
el área del rectángulo cuyos vértices son justamente
los puntos generados.
MATEMÁTICA
En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos
ON=MP=4
Con los puntos P, P ', P '' se determina el rectángulo
PP 'JP '', además, PP ' = 2 13 y PP ''=8.
A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 Por lo tanto, el área del rectángulo PP 'JP '' es
D) 13 13 E) 12 13 8 × 2 13 = 16 13
Resolución Respuesta
16 13
Tema: Geometría analítica
Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado
por los ejes X e Y.
Alternativa A
Análisis y procedimiento
Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son
PREGUNTA N.o 30
los generados.
Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-
Z A'B'C'D'E'F' cuyos lados de la base y la altura miden
P '(3; – 2; 4)
13 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye
N
13 4
exteriormente un cuadrado de lados E'D'D''E'', luego
(– 3; 2; 4)P 3 4 por las aristas AB y D''E'' pasa un plano formando un
–4
2 –3 sólido ABD''E''A'B'. Calcule el volumen de la parte
4 –2 Q
1 –1 del sólido exterior al prisma exagonal.
–3
13 0 3 X
1
M
(– 3; 2; 0) 2 – 1
4 A) 3( 3 + 1)a 3
3 –2
4
4 –3 J B) 3( 3 − 1)a 3
–4 13
Y S
P '' 13 – 5 C) 2( 3 + 1)a 3
(– 3; 2; – 4)
D) 2( 3 − 1)a 3
Sea P ' el simétrico de P respecto de Z , entonces 4
P '=(3; – 2; 4) E) ( 3 − 1)a 3
3
Sea P '' el simétrico de P respecto del plano Z=0, Resolución
entonces P ''=( – 3; 2; – 4)
Tema: Prisma
En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0) B V: volumen
h
→ OM = 2 2 + 3 2 = 13 V=B h
Luego, PN = NP ' = 13
22
8. Análisis y procedimiento
Piden V.
V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’
2a
UNI
C
2a
PREGUNTA N.o 31
MATEMÁTICA
El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 y la
proyección de su generatriz sobre el plano de la base
mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm,
calcule el área de la base en cm2.
B D 2π 4π 6π
A) B) C)
3 3 3
2a
E Q 8π 10 π
A D) E)
F C' 3 3
B' D'
2a P
D''
Resolución
Tema: Cilindro
2a 3
B
A' 30º E''
2a R 60º E ' 2a
60º h
2a F' Análisis y procedimiento
2a M Piden A base
4a 3 N Dato: vcilindro =40π
3 oblicuo
30º base
Sabemos que
V=Bh; h=2a y B=ah 2
→ V=2a2h (I) g 2 30º
sección
recta 10
RMN ∼ AA’N
h MN
=
2a A ' N
4a 3 H 5
h 3
=
2a 4 a 3
+ 4a oblicuo
(
• Sabemos que vcilindro = A sección ⋅ g
recta )
3
→ h = a ( 3 − 1)
(A sección
recta )g=40π
π(2)2g=40π
Reemplazando en (I)
→ g=10
V = 2 ( 3 − 1) a 3
• Pero
A sección = ( A base ) cos 30º
Respuesta recta
2( 3 − 1) a 3 3
4 π = ( A base )
2
8π
Alternativa D ∴ A base =
3
23
9. Respuesta
8π
3
UNI Alternativa D
Recuerde que
Volumen del anillo esférico
V anillo =
esférico
πa 2h
6
MATEMÁTICA
a: longitud de la cuerda AB
PREGUNTA N.o 32 h: longitud de la proyección de AB
Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-
do al rotar la región sombreada alrededor del eje X.
Análisis y procedimiento
Y
Y
A
2π R 2π R
R 2
O R
X
O R B X
A) πR3
πR 3
B)
3
πR 3
C) Piden VRS (volumen del sólido generado).
4
πR 3 Se observa
D)
6
VRS= V anillo
πR 3
E) esférico
9
Por teorema
Resolución
π (R 2 ) R
2
Tema: Anillo esférico V RS =
6
B
πR 3
∴ V RS =
3
a h
Respuesta
A πR 3
3
Alternativa B
24
10. PREGUNTA N.o 33 UNI
La figura representa un recipiente regular, en donde a
y son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-
mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.
Piden el volumen máximo
V=b h=
a2
2
⋅ sen θ
MATEMÁTICA
Para que el volumen sea máximo, senq=1.
v =
a2
a 2
θ θ
a
Respuesta
1 2
a
2
A) 2a 2
Alternativa D
3 2
B) a
2
PREGUNTA N.o 34
2 2
C) a En la siguiente ecuación trigonométrica
2
x 1 7
1 cos 4 − cos ( 2 x ) =
2 8 8
D) a 2
2 El número de soluciones en [0; 2π] es:
3 2 2
E) a A) 1
2
B) 2
Resolución C) 3
D) 4
Tema: Sólidos - Prisma E) 5
Recuerde
Resolución
Tema: Ecuaciones trigonométricas
h
• cos2θ=2cos2θ –1
B • 2cos2θ=1+cos2θ
• cosθ=1 → θ=2np; n ∈ Z
Vprisma=B h
Análisis y procedimiento
Análisis y procedimiento Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la
ecuación
x 1 7
a cos 4 − cos 2 x =
B 2 8 8
a
θ a θ a 2
x
2 2 cos 2 − cos 2 x = 7
2
25
11. →
2(1+cosx)2 – cos2x=7
2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7
cosx=1
x=0; 2π
UNI
2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7
Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación
Y
π
2
MATEMÁTICA
y=|arc tanx|
X
es 2.
Respuesta
2
Alternativa B Análisis y procedimiento
f(x)=|arc senx|+|arc tanx|
f1(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1
PREGUNTA N.o 35
f2(x)=|arc tanx| → x ∈ R
Sea f una función definida por
f(x)=|arc senx|+|arc tanx| → x ∈ [– 1; 1]
Determine el rango de f.
π Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la
A) 0;
2 función y=|arc senx|+|arc tanx|
π
B) 0;
2 Y
3π
C) 0; 3π
4
4
3π y=f(x)
D) 0;
4
E) [0; π〉
–1 0 1 X
Resolución
Tema: Funciones inversas
3π
∴ Ran f ∈ 0;
Y 4
π
2 Respuesta
y=|arc senx|
3π
0; 4
–1 1 X Alternativa C
26
12. PREGUNTA N.o 36 UNI
Cuál de los gráficos mostrados representa a la función
y=cos(2x – p), en un intervalo de longitud un periodo.
Graficando
y= – cos2x
Y
1
MATEMÁTICA
y = cos2x
A) –π – π/2 0 π/2 π X
– π/2 π/2 –1 y = – cos2x
B) Respuesta
– π/2 π/2
– π/2 π/2
C)
– π/2 π/2
Alternativa C
PREGUNTA N.o 37
D) De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son
sectores circulares, donde el área de las regiones
– π – π/2 π/2 π
EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si
L = 4 unidades, calcule LCD + 3 LEF .
AB
E) A
– π/2 π/2 C
E
O
Resolución
F
Tema: Funciones trigonométricas directas
D
B
Análisis y procedimiento
Piden la gráfica de la función y=cos(2x – p). A) 2 2
y=cos(2x – p) B) 3 2
y=cos( – (p – 2x)) C) 4 2
y=cos(p – 2x) D) 5 2
y= – cos2x E) 6 2
27
13. Resolución UNI
Tema: Área de un sector circular
A
PREGUNTA N.o 38
MATEMÁTICA
En la figura mostrada, el valor de tanf · tanb es
Y
β
θrad S L X
O φ
B A) – 2 B) – 1 C) – 1/2
D) 1/2 E) 1
S: área del sector circular AOB
L2 Resolución
S=
2θ Tema: Ángulos en posición normal
Si AO=OA’
Análisis y procedimiento
Y
Piden x + 3y.
A(– m; n)
A
C
E
O X
θrad S y 2S x 3S 4
O A' (– n; – m)
F Análisis y procedimiento
D
B Del gráfico
2 2
y (4) Y
• S= ∧ 6S =
2θ 2θ P(– a; b)
y 2 16
→6 = → 3y = 2 2 β
2θ 2θ
X
x2 (4)2 φ
• 3S = ∧ 6S =
2θ 2θ P '(– b; – a)
x 2 16
→ 6 = →x=2 2 Por definición
6θ 2θ
−a b
tan φ ⋅ tan β =
∴ x + 3y = 4 2 −b − a
∴ tanf · tanb= – 1
Respuesta
Respuesta
4 2 – 1
Alternativa C Alternativa B
28
14. PREGUNTA N.o 39
5π
Si tan =
1
4 3x + 5
A) – 4/5
D) 5/3
UNI
3π
, cot = y − 4, calcule x+y.
2
B) – 3/4 C) – 3/5
E) 8/3
PREGUNTA N.o 40
(x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos
MATEMÁTICA
Al determinar la forma compleja de la ecuación
A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0
Resolución
C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0
Tema: Reducción al primer cuadrante
D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0
sen(p+q)= – senq
E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0
cos(p+q)= – cosq
tan(p+q)=tanq
Resolución
Análisis y procedimiento
Tema: Números complejos
De
5π 1 • ∀ z ∈ C: |z|2=z · z
tan =
4 3x + 5
• Ecuación de la circunferencia
π 1
tan π + = (x – x0)2+(y – y0)2=r2
4 3x + 5
π 1 o |z – z0|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i
tan =
4 3x + 5
1
1= Análisis y procedimiento
3x + 5
Tenemos que
3x+5=1
(x – 1)2+(y – 1)2=12
4
→ x=− → |z – (1+i)|2=12; z=x+yi
3
De → (z – (1+i))(z – (1+i))=1
3π
cot = y − 4 → (z – (1+i))(z – (1+i))=1
2
0=y – 4 → (z – (1+i))(z – (1 – i))=1
→ y=4 → z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1
Nos preguntan → z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 – i2=1
4
x+y=− +4 / /
→ z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1 – ( – 1)=1
3
8 ∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
∴ x+y=
3
Respuesta Respuesta
8 zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0
3
Alternativa E Alternativa A
29