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Fasciculo secundaria matemática VII
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Fasciculo secundaria matemática VII

  1. 1. 1TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSTercero, cuarto y quinto grados de Educación SecundariaHoy el Perú tiene un compromiso: mejorar los aprendizajesTodos podemos aprender, nadie se queda atrásMovilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesNúmero y operacionesCambio y relacionesVII CICLOFascículo1¿Qué y cómo aprendennuestros adolescentes?
  2. 2. 2 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesMINISTERIO DE EDUCACIÓNAv. De la Arqueología, cuadra 2 - San BorjaLima, PerúTeléfono 615-5800www.minedu.gob.peVersión 1.0Tiraje: 51 800 ejemplaresEmma Patricia Salas O’BrienMinistra de EducaciónJosé Martín Vegas TorresViceministro de Gestión PedagógicaEquipo coordinador de las Rutas del Aprendizaje:Ana Patricia Andrade Pacora, Directora General de Educación Básica RegularNeky Vanetty Molinero Nano, Directora de Educación InicialFlor Aidee Pablo Medina, Directora de Educación PrimariaDarío Abelardo Ugarte Pareja, Director de Educación SecundariaAsesor general de las Rutas del Aprendizaje:Luis Alfredo Guerrero OrtizEquipo pedagógico:Róger Saavedra SalasPedro David Collanqui DíazDaniel José Arroyo GuzmánHolger Saavedra Salas, asesorAntonieta de Ferro, asesoraAgradecimientos:Agradecemos la colaboración del equipo de especialistas de IPEBA y UMC por su participación en larevisión del documento.Corrección de estilo: Jorge Coaguila QuispeDiseño gráfico y diagramación: Haydé Pumacayo CondoriIlustraciones: Haydé Pumacayo CondoriEquipo editor: Juan Enrique Corvera Ormeño, Carmen Rosa León Ezcurra, Luis Fernando Ortiz ZevallosImpreso por:Corporación Gráfica Navarrete S.A.Carretera Central 759 Km 2 Santa Anita – Lima 43RUC 20347258611Distribuido gratuitamente por el Ministerio de Educación. Prohibida su venta.Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.º 2013-01775Impreso en el Perú / Printed in Peru
  3. 3. 3TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSEstimada (o) docente:Queremos saludarte y reiterar el aprecio que tenemos por tu labor. Es por elloque en el Ministerio de Educación estamos haciendo esfuerzos para comenzara mejorar tus condiciones laborales y de ejercicio profesional. Esta publicaciónes una muestra de ello.Te presentamos las «Rutas del Aprendizaje», un material que proporcionaorientaciones para apoyar tu trabajo pedagógico en el aula. Esperamos quesean útiles para que puedas seguir desarrollando tu creatividad pedagógica.Somos conscientes que tú eres uno de los principales actores para que todoslos estudiantes puedan aprender y que nuestra responsabilidad es respaldarteen esa importante misión.Esta es una primera versión, a través del estudio y uso que hagas de ellas,así como de tus aportes y sugerencias, podremos mejorarlas para contribuircada vez mejor en tu trabajo pedagógico. Te animamos entonces a caminarpor las rutas del aprendizaje. Nosotros ponemos a tu disposición el portalde Perú Educa para que nos envíes tus comentarios, aportes y creaciones;nos comprometemos a reconocer tus aportes, realizar seguimiento ysistematizarlos. A partir de ello, mejorar el apoyo del Ministerio de Educacióna la labor de los maestros y maestras del Perú.Sabemos de tu compromiso para hacer posible que cambiemos la educacióny cambiemos todos en el país. Tú eres parte del equipo de la transformación,junto al director y con los padres y madres de familia, eres parte de la granMovilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes.Te invitamos, a ser protagonista en este movimiento ciudadano y a compartirel compromiso de lograr que todos los niños, niñas y adolescentes puedanaprender y nadie se quede atrás.Patricia Salas O’BrienMinistra de Educación
  4. 4. 4 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  5. 5. 5TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 5Introducción 7I. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática? 9II. ¿Qué aprenden nuestros adolescentes? 15III. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes? 21 3.1 Desarrollando escenarios de aprendizaje 21 3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBR 22 3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando los indicadores propuestos 25 3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticas para desarrollar las capacidades matemáticas 27 3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladas 33 3.6 Resolviendo problemas 34 3.7 Fases de la resolución de problemas 35 3.8 Promoviendo el trabajo cooperativo 36IV. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real? 37 4.1 Algunas situaciones de aprendizaje 38 4.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a números reales 50V. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a las funciones cuadráticas? 61 5.1 Algunas situaciones de aprendizaje 62 5.2 Algunas actividades para el desarrollo de las capacidades vinculadas a las funciones cuadráticas 77VI. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto a sucesiones con números reales y programación lineal? 89 6.1 Algunas situaciones de aprendizaje 90Bibliografía 99Índice
  6. 6. 6 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes
  7. 7. 7TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS 7IntroducciónEl Proyecto Educativo Nacional establece, en su segundo objetivo estratégico, la necesidad detransformar las instituciones de Educación Básica de manera tal que asegure una educaciónpertinente y de calidad, en la que todos los niños, niñas y adolescentes puedan realizarsus potencialidades como persona y aportar al desarrollo social. Es en este marco que elMinisterio de Educación, como una de sus políticas priorizadas, busca asegurar que: Todos ytodas logran aprendizajes de calidad con énfasis en comunicación, matemática, ciudadanía,ciencia, tecnología y productividad.En el ámbito de la matemática, nos enfrentamos al reto de desarrollar las competencias ycapacidades matemáticas en su relación con la vida cotidiana. Es decir, como un mediopara comprender, analizar, describir, interpretar, explicar, tomar decisiones y dar respuestaa situaciones concretas, haciendo uso de conceptos, procedimientos y herramientasmatemáticas.Reconociendo este desafío se ha trabajado el presente fascículo, que llega hoy a tus manos,como parte de las rutas de aprendizaje, y busca ser una herramienta para que nuestrosestudiantes puedan aprender. En él se formulan seis capacidades matemáticas que permitenhacer más visible el desarrollo de la competencia matemática y trabajarla de forma integral.Se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir deuna situación problemática, se desarrollan las seis capacidades matemáticas, en formasimultánea, configurando el desarrollo de la competencia.En este fascículo encontrarás:• Algunas creencias que aún tenemos los docentes en nuestras prácticas educativas y que,con espíritu innovador, tenemos que corregir.• Los estándares de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término de los ciclosVI y VII de la Educación Básica Regular, en dos dominios: número y operaciones, cambio yrelaciones.
  8. 8. 8 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes• Las competencias y capacidades cuyo desarrollo permitirá alcanzar esos estándares deaprendizaje, con mayor énfasis en el primer dominio.• Orientaciones respecto de cómo facilitar el desarrollo de las competencias y capacidadesmatemáticas vinculadas a los dominios de número y operaciones, cambio y relaciones.Esperamos que este fascículo contribuya en tu labor cotidiana. Por nuestra parte estaremosmuy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolo en las próximas ediciones, demanera que sea lo más pertinente y útil para el logro de los aprendizajes a los que nuestrosestudiantes tienen derecho.
  9. 9. 9TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSNuestras creencias, es decir, nuestra visión particular de las matemáticas, influyen sobre loque hacemos en clase y sobre cómo aprenden nuestros estudiantes.A continuación, presentamos dos situaciones de enseñanza que te permitirán reflexionar ymejorar tu práctica pedagógica.Creencia: Las ecuaciones se aprenden resolviendo muchos ejercicios ysolo después se emplean para resolver problemas.Roberto y Luisa son profesores de Matemática del mismo grado en una institución educativa.Veamos cuáles son sus experiencias de enseñanza de las ecuaciones cuadráticas:I. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en Matemática?Yo parto de una situación problemáticaque se puede resolver con una ecuacióncuadrática. Durante la resolución delproblema, los estudiantes obtienen unaecuación cuadrática y desconocen susolución. Justo hoy tengo clases con laotra sección; le invito a que observe misesión.Tal como he aprendido cuandoestaba en el colegio: muestro la formageneral de la ecuación cuadrática yresuelvo un ejercicio como ejemplo.Luego dejo cinco ejercicios pararesolver en clase en forma individualy al final les planteo un problema deaplicación. ¿Y usted cómo enseña?Profesor Roberto, quierocomentarle algo.Tengo serias dificultades conlos estudiantes del tercer gradoD, pues no tienen interésen aprender ecuacionescuadráticas.¿Podría ser por su formade enseñar? ¿Cómo estádesarrollando la sesión?
  10. 10. 10 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesLos veopreocupados. ¿Quédificultades tienen?Salen dos soluciones,profe. Una es positiva yotra negativa: 90 y -120.¿La medida puede serun número negativo?Entonces los 10 800 m2de césped donadopor el alcalde alcanzarán para cubrir elcampo deportivo con las dimensiones quehan calculado.Profesor, tengo unapregunta: ¿es la única formade resolver la ecuacióncuadrática?Profesor, yo tengo otrapregunta: ¿hay otrasaplicaciones de las ecuacionesde segundo grado?Jóvenes, hay otras formas de resolver las ecuacionesde segundo grado, como también existen muchasaplicaciones, pero el tiempo nos ha ganado. La próximaclase desarrollaremos otras aplicaciones y otras formasde resolver estas ecuaciones.El alcalde del distrito de San Pablo dona10 800 m2de gras natural para cubrir elcampo de fútbol, cuyo largo mide 30 mmás que el ancho. ¿Cuáles deberán ser lasdimensiones del campo deportivo para quepueda usarse todo el gras donado?Bien, muchacho, justo esperabaescuchar eso. Es cierto loque dices, pero todos sabenfactorizar polinomios.No, profe, entonces lasolución de la ecuaciónes 90; es decir, el anchomediría 90 metros y ellargo 120 metros.Ahora, ¿qué valoreshan obtenido?Jóvenes, hoy resolveremos un problema aplicandolo que han aprendido de ecuaciones. Escribiré elenunciado del problema en la pizarra. Mientrastanto, formen grupos de tres, elijan con quiénesdesean trabajar.El alcalde del distrito de San Pablo dona10 800 m2de gras natural para cubrir elcampo de fútbol, cuyo largo mide 30 mmás que el ancho. ¿Cuáles deberán ser lasdimensiones del campo deportivo para quepueda usarse todo el gras donado?El alcalde del distrito de San Pablo dona10 800 m2de gras natural para cubrir elcampo de fútbol, cuyo largo mide 30 mmás que el ancho. ¿Cuáles deberán ser lasdimensiones del campo deportivo para quepueda usarse todo el gras donado?Profe, este problema no lopodremos resolver. Saleuna ecuación cuadráticay usted enseñó soloecuaciones lineales.
  11. 11. 11TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS¿Cuáles son las creencias que tienen los docentes respecto a la enseñanzade ecuaciones?El informe pedagógico de los resultados de la evaluación nacional de estudiantes de EducaciónSecundaria evidencia deficiencias en el desarrollo de aprendizajes en Matemática. Losestudiantes tienen serias dificultades para hacer tareas tan elementales como la aplicaciónde algoritmos algebraicos, como el cálculo del conjunto solución de ecuaciones (EN 2004-UMC). Solo el 2,9 % de los estudiantes evaluados está en capacidad de describir en términosmatemáticos una situación de la vida real; por ejemplo, en situaciones como las descritasanteriormente, se observa que para lograr desarrollar esta capacidad es necesario promoversituaciones de aprendizaje como Roberto.Estos resultados se explican en parte porque los profesores resuelven ejercicios algorítmicossin relacionarlos con el contexto de la vida diaria de sus estudiantes, tal como muestra laexperiencia de Luisa. Tales prácticas pedagógicas reducen el interés de los estudiantes y sonpocos los docentes que consiguen motivarlos mediante actividades más significativas comolas planteadas por Roberto.¿Por qué es importante contextualizar los contenidos matemáticos a partirde la resolución de problemas?La competencia no encierra en sí misma los conocimientos, la capacidad o la actitud paraaprender; requiere de la movilización de estos contenidos y de su contextualización (Perrenoud,1999). Necesitamos, pues, promover el uso de los conocimientos, más que memorizarlos oaplicarlos mecánicamente. Y esto se logra centrando la actividad de la clase en la resoluciónde problemas contextualizados. Además, los datos del contexto del problema que se quiereresolver demandan que se empleen operaciones mentales complejas.El desarrollo de conceptos matemáticos necesita partir de las situaciones relacionadas conla vida de los estudiantes, en los contextos donde se desenvuelven. En el relato anterior, elrecubrimiento del campo de fútbol con gras natural responde a los intereses de los estudiantes.“MATEMÁTICA ES MÁS QUE RESOLVER ECUACIONES”Lo felicito por su clase,profesor Roberto. Hastaahora pensaba que solo sepodía enseñar a resolverproblemas de aplicaciónde ecuaciones cuadráticasdespués de haber enseñadotodos los algoritmos desu resolución. Además,usted me ha demostradoque pueden aprenderestos algoritmos en elcontexto de la resolución deproblemas.Gracias, profesora Luisa,formular un problema deaplicación de ecuacionescuadráticas lleva tiempo.Por ello, al igual que muchosdocentes, elegimos lo mássencillo y rápido: resolverejercicios mecánicamente sinque estos aporten a la soluciónde un problema; pero así losestudiantes pierden interés porla matemática.
  12. 12. 12 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesCreencia: Se usan materiales concretos para enseñar matemáticasolo en primaria o inicial; en secundaria no es necesario.Me parece interesantetrabajar con hojas. Perocreo difícil conseguirlo.Muchachos, hoy les tengo undesafío. ¿Doblando una hojade papel A4 podemos llegar ala Luna?Los estudiantes al usar hojas A4para la técnica del doblado de papelreconocen también la utilidad de la“notación científica”.Saquen una hoja y procedan adoblar en partes iguales tantas vecescomo sea necesario hasta alcanzarla distancia a la Luna.Muy bien, recuerden que tenemosque pensar en actividades o tareasque permitan a los estudiantesdesarrollar sus capacidades pararesolver problemas.Yo voy a iniciarcon la técnicadel doblado depapel.Ese tema es fácil,voy a refrescar a misestudiantes con lasiguiente operación:Profesora, ¿cuánto mideel grosor de una hoja depapel A4?Creo que podemos averiguarlo apartir de la medida del grosor deun paquete de 100 hojas de papeltamaño A4.Claro, tendríamosque dividirlo entre100. A ver, ¿cuántosale?Enseñaré primerorecordando la definiciónde la potenciación yluego las propiedades4...2 2 2 2 2 16na a an= × ×= × × × =4 43( 2) 5(4 9)− + − =En esta unidadenseñaremos la notacióncientífica y empezarérecordando la potenciacióncon exponente negativoen Q.
  13. 13. 13TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS¿Cuál sería el grosor después de14 dobleces? y ¿después de 19dobleces?Si llamamos ‘n’ al número de veces quedoblamos un papel, ¿cómo podemosconocer el tamaño que obtenemos aldoblar ‘n’ veces un papel?Mediante: Grosor = 2n•10-4metrosEl segundo doblezgeneraría cuatro partes; elgrosor sería 4•10-4metros.Tras 14 dobleces, el espesorsería 214•10-4= 16 384 •10-4= 1,6384 metros, algo más demetro y medio.Necesitamos más de 43 dobleces,es decir, 243•10-4, que esequivalente a 380 000 kilómetroso 380 000 000 metros.Tras 19 dobleces, el grosoro la altura sería 219•10-4= 524 288 •10-4= 52,4288metros, algo más decincuenta y dos metros.Profesora, sale 0,01 cm, quesería igual a 0,1 mm, y estosería 10-4metros. Ah, entonces el primerdoblez generaría dospartes: el grosor sería2•10-4metros.El tercer doblez generaríaocho partes, el grosor sería8•10-4metros.Entonces el cuarto doblezgeneraría un grosor de16•10-4metros.Profesora, la distanciade la Tierra a la Luna esaproximadamente 384 400 km,equivalentes a384 400 000 metros.Entonces ¿cuántos doblecespodemos hacer?
  14. 14. 14 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes¿Cuáles son las concepciones que tienen los docentes respecto a losmateriales concretos en esta historieta? La situación muestra las creencias que tienen algunos docentes respecto a las palabras‘material concreto’ y ‘problema’; se piensa que no pueden estar planteadas juntas en laactividad de aprendizaje. Cuando se alude al uso de ‘materiales concretos’ en las sesionesde matemática en secundaria, existe el prejuicio de considerarla una actividad infantily carente de seriedad para los estudiantes, hasta a veces se considera una pérdida detiempo. Si observamos a los estudiantes, reconocemos en ellos reacciones diferentes cuando seles propone un problema mediante el uso de ‘material concreto’. Para algunos estudianteshablar de un problema matemático trae consigo una serie de creencias; por ejemplo, creenque los problemas tienen que resolverse únicamente mediante el uso del lápiz y papel. Porotro lado, hay docentes que no consideran el uso del ‘material concreto’ en secundaria, ymás bien creen que es pertinente solo para construir nociones básicas en niveles anteriores. El empleo de materiales educativos concretos diversos en matemática no solo despierta lacuriosidad del estudiante, sino que también provee de significados conceptuales para elaprendizaje. Pero son solo un medio para conseguir algo y no un fin en sí mismos, por loque debemos darles el justo valor y el tiempo apropiado. Por ello, sugerimos propiciar elaprendizaje de las matemáticas mediante el uso de materiales concretos.¿Por qué es importante usar material educativo concreto en el proceso deenseñanza y aprendizaje de la matemática en el nivel secundario?Siempre que se piense en desarrollar las capacidades matemáticas para resolver problemas,el proceso óptimo de enseñanza y aprendizaje debería incluir la manipulación de distintosmateriales, ya que solo mediante una enseñanza diversificada, rica en recursos y estrategiasparaabordarunmismoaprendizaje,conseguiremosqueseconstruyansignificadosyatribuyansentido al aprendizaje escolar. Después de este trabajo manipulativo con materiales concretosse puede pasar a utilizar, progresivamente, recursos más elaborados de ‘representaciónmatemática’, por ejemplo: calculadoras gráficas, hojas de cálculo, instrumentos de medicióne inclusive simuladores virtuales.Entre las ventajas que aportan los materiales didácticos concretos en la formación matemáticade los estudiantes se pueden mencionar las siguientes: Proporcionan información y guían el aprendizaje, es decir, aportan una base concreta parael pensamiento conceptual y contribuyen a construir significados (Ogalde, C. y Bardavid, N.,2007). Desarrollan la continuidad de pensamiento, hacen que el aprendizaje sea más duradero ybrindan una experiencia real que estimula la creatividad de los estudiantes. Despiertan el interés de los estudiantes, facilitan la evaluación de los aprendizajes mediantela técnica de observación sistemática y promueven la comunicación entre los estudiantes.“MATEMÁTICA ES MÁS QUE REALIZAR CÁLCULOS NUMÉRICOS”
  15. 15. 15TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSII. ¿Qué aprenden nuestros adolescentes?Interpreta el número irracional como un decimal infinito y sin periodo. Argumenta por qué losnúmeros racionales pueden expresarse como el cociente de dos enteros. Interpreta y representacantidades y magnitudes mediante la notación científica. Registra medidas en magnitudes demasa, tiempo y temperatura según distintos niveles de exactitud requeridos, y distingue cuandoes apropiado realizar una medición estimada o una exacta. Resuelve y formula situacionesproblemáticas de diversos contextos referidas a determinar tasa de interés, relacionar hastatres magnitudes proporcionales, empleando diversas estrategias y explicando por qué lasusó. Relaciona diferentes fuentes de información. Interpreta las relaciones entre las distintasoperaciones (Mapa de Progreso de Matemática: Número y operaciones).El fin de la educación es lograr que los estudiantes desarrollen competencias, las cualesson definidas como un saber actuar en un contexto particular, en función de un objetivo ola solución de un problema. Este saber actuar debe ser pertinente a las características de lasituación y a la finalidad de nuestra acción. Para tal fin, se selecciona o se ponen en acción lasdiversas capacidades y recursos del entorno.En este fascículo se trabajan dos competencias matemáticas relacionadas con:Resolución de situaciones problemáticas en número y operacionesResolución de situaciones problemáticas en cambio y relacionesEn número y operaciones se desarrolla la siguiente competencia:Resuelve situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican laconstrucción del significado y el uso de los números y sus operaciones, empleandodiversas estrategias de solución, justificando y valorando sus procedimientos y resultados.El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es:En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para darcuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjuntode indicadores.Competencia, capacidades e indicadores en número y operaciones
  16. 16. 16 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesCAPACIDADESGENERALESNÚMEROYOPERACIONES-VIICICLOINDICADORESTERCERGRADODESECUNDARIACUARTOGRADODESECUNDARIAQUINTOGRADODESECUNDARIAMatematizasituacionesqueinvolucran cantidadesymagnitudesendiversoscontextos.Representasituacionesqueinvolucran cantidadesymagnitudesendiversoscontextos.Comunicasituaciones queinvolucran cantidadesymagnitudesendiversoscontextos.Construccióndelsignificadoyusodelosnúmerosracionaleseirracionalesensituacionesproblemáticasconcantidades,grandesypequeñas• Describesituacionesdemedidasendiversoscontextosparaexpresarnúmerosracionalesensunotacióndecimal,científicaeintervalos.• Describelasestrategiasutilizadasconlasoperacionesenintervalospararesolversituacionesproblemáticas.• Expresalosnúmerosracionalesmediantenotacióncientífica.• Ordenadatosenesquemasdeorganizaciónquerepresentanlosnúmerosracionalesysusoperacionesconintervalos.• Formulaestrategiasdeestimacióndemedidasocantidadesparaordenarnúmerosracionalesenlarectareal.• Aplicavariadasestrategiasconnúmerosracionales,intervalosyproporcionesdehastadosmagnitudeseinteréscompuesto.• Usalossímbolosde=,>,<,≤,≥,corchetes,unión,intersección,paracompararyordenardosomáscantidades.• Utilizaconstruccionesconreglaocompásparaubicarnúmerosracionaleseirracionalesenlarectareal.• Explicalaexistenciadelosnúmerosirracionalescomodecimalesnoperiódicosapartirdesituacionesdemedidasdelongitudesyáreasdealgunasfiguras.geométricasplanasConstruccióndelsignificadoyusodenúmerosrealesensituacionesproblemáticasconcantidadescontinuas,grandesypequeñas• Proponesituacionesdemedidaconmúltiplosysubmúltiplosdeunidadesdemagnitudesparaexpresarnúmerosrealesmediantenotacióncientífica.• Ordenadatosenesquemasdeorganizaciónqueexpresannúmerosreales.• Utilizalasformasgráficasysimbólicasdeintervalospararepresentarinformación.• Expresasituacionesdemedidadetemperaturas,índicesfinancieros,tallas,etc.,queimplicanelusodelosnúmerosrealesmedianteintervalosensuformagráficaysimbólica.• Aplicavariadasestrategiasconnúmerosreales,intervalosyproporcionesdehastadosmagnitudeseinteréscompuesto.• Utilizaintervalosyexpresionesdenotacióncientíficaconnúmerosreales.• Explicalautilidaddelanotacióncientíficaylosintervalos.• Explicalascondicionesdedensidaddelosnúmerosrealesexpresadosenlarectanumérica.• Explicalasdistincionesentrelosnúmerosracionaleseirracionales.Construccióndelsignificadoyusodenúmerosrealesensituacionesproblemáticasconcantidades,continuasgrandesypequeñas• Modelainformacióndecantidadescontinuasydiscretasdesuentorno, usandointervalosdenúmerosreales.• Planteasituacionesdeproductosycocientesdemagnitudesquedanotrasmagnitudesparaexpresarnúmerosrealesmediantenotacióncientífica.• Explicaprocedimientosdeductivosalresolversituacionescomercialesdeaumentosydescuentossucesivosyfinancierasdeinteréscompuesto.• Describelasestrategiasdeestimacióndemedidasocantidadesparaordenarnúmerosrealesenlarectareal.• Formulaestrategiasdeestimacióndemedidasocantidadesparaordenarnúmerosracionaleseirracionalesenlarectareal.• Explicalascondicionesdedensidadycompletituddelosnúmerosrealesenlarectanumérica.
  17. 17. 17TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSElaboraestrategiashaciendousodelosnúmerosy susoperacionespararesolverproblemas.Utilizaexpresionessimbólicas,técnicasyformalesdelosnúmerosylasoperacionesenlaresolucióndeproblemas.Argumentaelusodelosnúmerosysusoperacionesenlaresolucióndeproblemas.Construccióndelsignificadoyusodelasoperacionesconnúmerosracionaleseirracionalesensituacionesproblemáticasconcantidadescontinuas,grandesypequeñas• Formulaestrategiasdeestimacióndemedidasocantidadesparaordenarnúmerosirracionalesenlarectareal.• Aplicaoperacionesconnúmeros,intervalosyproporcionesconracionalespararesolversituacionesfinancierasycomerciales.• Describelasestrategiasutilizadasconlasoperacionesyproporcionesconracionalespararesolversituacionesdeporcentajes,interésydegananciasypérdidas.• Usalosporcentajeseinteréssimpleenlaresoluciónproblemasdetextosdiscontinuos.• Justificaelusodelasoperacionesconracionalesexpresadosennotacionesfraccionarias,decimalesycientíficaspararesolversituacionesdecontextosvariados.• Explicalaimposibilidadderepresentarlosirracionalesendecimalesperiódicospuros,mixtosynoperiódicosparaextenderlosnúmerosracionalesalosirracionales.• Elaboraestrategiasheurísticas(ensayoerror,hacerunalistasistemática,empezarporelfinal,establecersubtemas,suponerelproblemaresuelto).• Usalossímbolosdeintervalos,comocorchetes,desigualdadesográficassobrelarecta,pararesolveroperacionesdeunión,intersección,diferenciaycomplementodeconjuntosdenúmerosreales.• Aplicalaspropiedadesdelasoperacionesaditivas,multiplicativasypotenciasconracionaleseirracionales.• Explicaestrategiasderesolucióndeproblemas.• Utilizalapotenciaciónylaradicacióncomooperacionesinversasparacalcularlasraícesdenúmerosnaturalesqueexpresannúmerosirracionales.Construccióndelsignificadoyusodelasoperacionesconnúmerosrealesensituacionesproblemáticasconcantidadescontinuas,grandesypequeñas• Describeprocedimientosdeductivosalresolversituacionesdeinteréscompuestohastacontresmagnitudesenprocesosdesituacionescomerciales,financierasyotras.• Describesituacionescientíficasconcantidadesmuygrandesymuypequeñas(porejemplo,enlananotecnologíaolasdistanciasestelares).• Usalasdiferentesrepresentacionesgráficasosimbólicaspararepresentaryoperarconintervalos.• Explicaestrategiasderesolucióndeproblemassimuladosyrealesdevariasetapasaplicandolaspropiedadesdelasoperacionesaditivasmultiplicativasypotenciasconnúmerosreales.• Elaboraestrategiasparaencontrarnúmerosrealesentredosnúmerosdados.• Formulaestrategiasdeestimacióndemedidasparaordenarnúmerosrealesenlarectareal.• Aplicavariadasestrategiasheurísticas(ensayoyerror,hacerunalistasistemática,empezarporelfinal,establecersubtemas,suponerelproblemaresuelto)pararesolversituacioneslaborales,financieras,etc,sobreproporcionesdehastatresmagnitudeseinteréscompuesto.• Aplicaoperacionesyproporcionesconnúmerosrealespararesolversituacionesfinancieras,comercialesyotrassobreporcentajeseinteréscompuesto.• Usalossímbolosdelarepresentacióndeintervalossobrelarectapararesolveroperacionesdeunión,intersección,diferenciaycomplementodenúmerosreales.Construccióndelsignificadoyusodelasoperacionesconnúmerosrealesensituacionesproblemáticasconcantidadescontinuas,grandesypequeñas• Relacionalosnúmerosrealesysusoperacionescomounmediopararesolversituacionesfinancierasycomercialessobretasas,interesesyaumentosodescuentossucesivos.• Relacionalaspropiedadesdelasoperacionesenlosnúmerosrealespararesolverproblemasdeenunciadoverbalysimbólicoconnúmerosreales.• Proponeestrategiaspararesolveroperacionesdevariasetapasrespetandolajerarquíadelasoperaciones,aplicandolaspropiedadesdelasoperacionesconnúmerosreales.• Formulavariadasestrategiasheurísticas(ensayoyerror,hacerunalistasistemática,empezarporelfinal,establecersubtemas,suponerelproblemaresuelto)pararesolverproblemasconlosnúmerosreales.• Usalosnúmerosrealesysusoperacionespararesolversituacionesfinancierasycomercialessobretasaseinteréscompuesto,aumentosodescuentossimplesysucesivos.• Demuestraconjeturasplanteadasapartirdelaresolucióndelproblemaparasituacionesfinancierasycomercialessobretasaseinteréscompuesto,aumentosodescuentossimplesysucesivos.
  18. 18. 18 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesAdaptación: Modelo de competencia matemática de Mogens Niss, 2011.Competencia, capacidades e indicadores en cambio y relacionesGeneraliza y verifica la regla de formación de progresiones geométricas, sucesiones crecientesy decrecientes con números racionales e irracionales, las utiliza para representar el cambio enlos términos de la sucesión. Representa las condiciones planteadas en una situación medianteecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales e inecuaciones lineales con una variable;usa identidades algebraicas y técnicas de simplificación, comprueba equivalencias y argumentalos procedimientos seguidos. Modela situaciones de cambio mediante funciones cuadráticas, lasdescribe y representa con expresiones algebraicas, en tablas o en el plano cartesiano. Conjeturacuándo una relación entre dos magnitudes puede tener un comportamiento lineal o cuadrático;formula, comprueba y argumenta sus conclusiones (Mapa de Progreso de Matemática: Cambioy relaciones).En cambio y relaciones se desarrolla la siguiente competencia:Resolver situaciones problemáticas de contexto real y matemático que implican laconstrucción del significado y el uso de los patrones, igualdades, desigualdades,relaciones y funciones, utilizando diversas estrategias de solución y justificando susprocedimientos y resultados.El estándar de aprendizaje que los estudiantes deben lograr al término del VII ciclo es:En este fascículo, un indicador se relaciona con más de una capacidad. Por lo tanto, para darcuenta del logro de las capacidades matemáticas, se requiere hacer una lectura del conjuntode indicadores.En la figura adjunta seesquematiza la competenciamatemática en cambio yrelaciones. En ella confluyen lasseis capacidades matemáticasgenerales que se movilizande manera sistémica con losconocimientos de patrones,ecuaciones e inecuaciones,relaciones y funcionespara resolver situacionesproblemáticas de la vidacotidiana.MATEMÁTICA
  19. 19. 19TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSCAPACIDADESGENERALESCAMBIOYRELACIONES-VIICICLOINDICADORESTERCEROGRADODESECUNDARIACUARTOGRADODESECUNDARIAQUINTOGRADODESECUNDARIAMatematizasituacionesqueinvolucranregularidades,equivalenciasycambiosendiversoscontextos.Representasituacionesderegularidades,equivalenciasycambiosendiversoscontextos.Comunicasituacionesderegularidades,equivalenciasycambiosendiversoscontextos.Construccióndelsignificadoyusodesucesionescrecientesydecrecientesensituacionesproblemáticasderegularidad• Elaboramodelosusandolaprogresióngeométricaapartirderegularidadesrealesosimuladas.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarregularidadesmedianteprogresionesgeométricas.• Manifiestaacuerdosconsensuadospararesolucióndeproblemasqueimplicanprogresionesgeométricasconnúmerosracionales.• Utilizaexpresionesalgebraicasparadeterminarlasumadelostérminosdelaprogresióngeométrica.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranprogresionesgeométricas.• Verificalaregladeformaciónylasumadelostérminosdeprogresionesgeométricasconnúmerosracionales.Construccióndelsignificadoyusodeecuacionescuadráticasysistemasdeecuacioneslinealescondosvariablesensituacionesproblemáticasdeequivalencia• Elaboramodelosdesituacionesrealesosimuladasmedianteecuacionescuadráticas,sistemasdeecuacioneslinealescondosvariables.• Ordenadatosenesquemasparaestablecerequivalenciasmedianteecuacionescuadráticasysistemasdeecuacioneslinealescondosvariables.• Ubicaenelplanocartesianoelconjuntosolucióndeecuacionescuadráticas.• Intervieneyopinarespectoalprocesoderesolucióndeproblemasqueimplicanusarecuacionescuadráticasysistemadeecuacioneslinealescondosvariables.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranecuacionescuadráticasysistemadeecuacioneslinealescondosvariables.Construccióndelsignificadoyusodesucesionescrecientesydecrecientesensituacionesproblemáticasderegularidad• Elaboramodelosusandolaprogresióngeométricaapartirderegularidadesrealesosimuladas.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarregularidadesmedianteprogresionesgeométricas.• Intervieneyopinapresentandoejemplosycontraejemplossobrelosresultadosdeunmodelodeprogresióngeométrica.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranprogresionesgeométricas.• Utilizaexpresionesalgebraicasparageneralizarprogresionesgeométricas.• Verificalaregladeformaciónylasumadelostérminosdeprogresionesgeométricasconnúmerosreales.Construccióndelsignificadoyusodeinecuacionescuadráticasysistemadeecuacioneslinealescontresvariablesensituacionesproblemáticasdeequivalencia• Planteamodelosdesituacionesrealesosimuladasmedianteinecuacionescuadráticasconcoeficientesracionales.• Modelasituacionesdecontextosrealesosimuladosmediantedesigualdadescuadráticasconcoeficientesreales.• Ordenadatosenesquemasparaestablecerequivalenciasmedianteinecuacionescuadráticas.• Ubicaenlarectarealelconjuntosolucióndeinecuacionescuadráticas.• Describeenformaoraloescritalasestrategiasempleadasenlaresolucióndeproblemasqueinvolucraninecuacionescuadráticasysistemadeecuacioneslinealescondosytresincógnitas.Construccióndelsignificadoyusodesucesionescrecientesydecrecientesensituacionesproblemáticasderegularidad• Planteamodelosdeunasucesióncrecienteodecrecienteapartirderegularidadesrealesosimuladas.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarregularidadesmediantesucesionescrecientesydecrecientes.• Intervieneyopinapresentandoejemplosycontraejemplossobrelosresultadosdeunmodelodesucesióncrecienteydecreciente.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucransucesionescrecientesydecrecientes.• Utilizaexpresionesalgebraicasparageneralizarsucesionescrecientesydecrecientes.• Justificaprocedimientosyposiblesresultadosapartirdeunareglaquegenerasucesionescrecientesydecrecientesconnúmerosreales.Construccióndelsignificadoyusodesistemadeinecuacioneslinealescondosvariablesensituacionesproblemáticasydeoptimización• Diseñamodelosdesituacionesrealesosimuladasmediantesistemasdeinecuacioneslinealesdedosvariablesconcoeficientesreales.• Elaboramodelosdesituacionesquerequierendeoptimizaciónmedianteelusodelaprogramaciónlineal.• Ordenadatosenesquemasparaestablecerequivalenciasmediantesistemasdeinecuacioneslineales.• Graficaenelplanocartesianolasregionesqueexpresantodoslosposiblesvaloresquepuedenasumirlasvariablesdeunsistemadeinecuaciones.• Resumeintervencionesrespectoalprocesoderesolucióndeproblemasqueimplicanusarmétodosdeoptimizaciónlineal.
  20. 20. 20 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesElaboraestrategiashaciendousodepatrones,relacionesyfuncionespararesolverproblemas.Utilizaexpresionessimbólicas,técnicasyformalesdepatrones,relacionesyfuncionesenlaresolucióndeproblemas.Argumentaelusodepatrones,relacionesyfuncionespararesolverproblemas.• Empleamétodosderesolución(reducción,sustitución,gráfico,igualación)pararesolverproblemasqueinvolucransistemadeecuacioneslinealescondosvariables.• Utilizaoperacionesaditivasymultiplicativasdeexpresionesalgebraicaspararesolversituacionesproblemáticasqueimplicansistemasdeecuacioneslinealescondosvariables.• Utilizaelsistemadecoordenadascartesianaspararesolverproblemasqueimplicansistemasdeecuacioneslinealesdedosvariables.• Utilizafactorización,productosycocientesnotablesparasimplificarexpresionesalgebraicasycomprobarequivalencias.• Justificamedianteprocedimientosalgebraicosográficosquelaecuacióncuadráticadelaformaax²+bx+c=0,osusexpresionesequivalentes,modelaunasituaciónproblemáticadada.Construccióndelsignificadoyusodefuncionescuadráticasensituacionesproblemáticasdecambio• Elaboramodelosapartirdesituacionesdecambiousandolasfuncionescuadráticasconcoeficientesnaturalesyenteros.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarsituacionesdecambiomediantefuncionescuadráticas.• Graficaenelplanocartesianodiversosvaloresapartirdelaorganizacióndedatospararesolverproblemasdecambioqueimpliquenfuncionescuadráticas.• Intervieneyopinarespectoalprocesoderesolucióndeproblemasqueimplicanusarfuncionescuadráticas.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranfuncionescuadráticas.• Utilizalagráficadelafuncióncuadráticaparadeterminarlosvaloresmáximosymínimosylospuntosdeintersecciónconlosejescoordenadosparadeterminarlasolucióndelaecuacióncuadráticaimplicadaenelproblema.• Justificamedianteprocedimientosgráficosoalgebraicosquelafuncióncuadráticadelaformaf(x)=ax²+bx+c,osusexpresionesequivalentes,modelalasituaciónproblemáticadada.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucraninecuacionescuadráticasysistemadeecuacioneslinealescontresvariables.• Empleamétodosderesolución(reducción,sustitución,gráfico,igualación)pararesolverproblemasqueinvolucransistemadeecuacioneslinealescontresvariables.• Usaelmétododeintervalosydepuntoscríticosparaencontrarlassolucionesdeinecuacionescuadráticas.• Utilizagráficosderectasenelsistemadecoordenadascartesianaspararesolverproblemasqueimplicansistemadeecuacioneslinealesdetresvariables.• Justificamedianteprocedimientosgráficosoalgebraicosquelainecuacióncuadráticadelaformaax²+bx+c<0,osusexpresionesequivalentes,modelalasituaciónproblemáticadada.Construccióndelsignificadoyusodefuncionescuadráticasensituacionesproblemáticasdecambio• Diseñamodelosdesituacionesdecambiomediantefuncionescuadráticasconcoeficientesnaturalesyenteros.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarsituacionesdecambiomediantefuncionescuadráticas.• Describeprocedimientosdeductivosenlaresolucióndeproblemasqueimplicanusarfuncionescuadráticas• Graficaenelplanocartesianodiversosvaloresapartirdelaorganizacióndedatospararesolverproblemasdecambioqueimpliquenfuncionescuadráticas.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranfuncionescuadráticas• Utilizalagráficadelafuncióncuadráticaparadeterminarlosvaloresmáximosymínimosylospuntosdeintersecciónconlosejescoordenadosparadeterminarlasolucióndelaecuacióncuadráticaimplicadaenelproblema.• Justificamedianteprocedimientosgráficosoalgebraicosquelafuncióncuadráticadelaformaf(x)=ax²+bx+c,osusexpresionesequivalentes,modelalasituaciónproblemáticadada.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucransistemasdeinecuacioneslinealescondosvariables.• Empleamétodosderesoluciónpararesolverproblemasqueinvolucransistemasdeinecuacioneslinealescondosvariables.• Utilizaelsistemadecoordenadascartesianaspararesolverproblemasqueimplicansistemadeinecuacioneslinealesdetresvariables.• Justificamedianteprocedimientosgráficosoalgebraicoselusodemétodosdeoptimizaciónlinealdedosvariablespararesolverproblemas.Construccióndelsignificadoyusodefunciónexponencialensituacionesproblemáticasdecambio• Diseñasituacionesdecambiorealesosimuladasmediantefuncionesexponenciales.• Graficaenelplanocartesianodiversosvaloresapartirdelaorganizacióndedatospararesolverproblemasdecambioqueimpliquenfuncionesexponenciales.• Ordenadatosenesquemasparaorganizarsituacionesdecambiomediantefuncionesexponenciales.• Resumeintervencionesrespectoalprocesoderesolucióndeproblemasqueinvolucranmodelosexponenciales.• Elaboraestrategiasheurísticaspararesolverproblemasqueinvolucranfuncionesexponenciales.• Utilizalagráficadelafunciónexponencialenelplanocartesianoparadeterminarlasrelacionesentrevaloresdevariablesdesituacionesmodeladasporestafunción.• Justificamedianteprocedimientosgráficosoalgebraicosquelafunciónexponencialdelaformay=ax,osusexpresionesequivalentes,modelanlasituaciónproblemáticadada.
  21. 21. 21TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSIII. ¿Cómo podemos facilitar estos aprendizajes?En esta sección desarrollaremos algunas actividades que nosayudarán a mejorar nuestro trabajo como docentes para quenuestros estudiantes logren sus aprendizajes.3.1 Desarrollando escenarios de aprendizajeLa competencia matemática de resolución de problemas sedesarrolla mediante la movilización sistémica de capacidades,conocimientos y actitudes. Esta movilización es apropiada solocuando está contextualizada. Por ello, se han seleccionado trescontextos o escenarios en los que comúnmente se organizan ydesarrollan las actividades de aprendizaje. A estos escenarioslos llamaremos: Sesión laboratorio matemático, Sesión taller matemático y Proyectomatemático.Además de ser complementarios entre sí, una característica fundamental de estos escenarioses que deben recrear situaciones en las que la competencia matemática tenga sentido.A continuación, describimos cada uno de estos escenarios de aprendizaje:a) Sesión laboratorio matemáticoEscenariodondeelestudiante,apartirdeactividadesvivenciales,lúdicasydeexperimentación,llega a construir conceptos y propiedades matemáticas. En este escenario el estudiantebusca regularidades para generalizar el conocimiento matemático, profundiza o moviliza losconocimientos aprendidos o construye nuevos aprendizajes para resolver problemas.b) Sesión taller matemáticoEscenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en unperiodo de sesiones de aprendizaje. El estudiante despliega diversos recursos (técnicos,procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usandodiversas estrategias de solución.c) Proyecto matemáticoEscenario que tiene por finalidad contribuir con la solución de un problema social, económico,productivo o científico de interés de los estudiantes, de la institución educativa o de sucomunidad. Para esto, requieren usar sus capacidades y conocimientos matemáticos. Elproducto es la contribución de la clase con la solución del problema.SesiónlaboratoriomatemáticoSesióntallermatemáticoProyectomatemático
  22. 22. 22 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes3.2 Articulando la progresión del conocimiento matemático en el VII ciclo de la EBRLa competencia de resolución deproblemas promueve el desarrollode las capacidades y conocimientosmatemáticos de número y susoperaciones. Los estudiantesadquieren y construyen estosconocimientos en forma progresiva.En primaria y en el primer gradode secundaria se enfatiza en losnúmeros naturales. En secundaria seinicia con el estudio de los númerosenteros y racionales, y se culmina conlaconstruccióndelosnúmerosreales.Por ello, en los espacios pedagógicosse establecen conexiones entre estosconocimientos.Hoy estos conocimientos adquierenimportancia debido a la grancantidad de información querecibimos en tablas, expresionesporcentuales, infografías condatos numéricos, etc. Por ello, essignificativo usar adecuadamenteestos conocimientos matemáticosen diversos contextos. Por ejemplo,usar la notación científica de losnúmeros se realiza en mediciones demagnitudes grandes, como la menordistancia entre la Tierra y Marte(102 × 109m) o magnitudes muypequeñas, como las que se realizanen la nanotecnología cuando estudiapartículas tan pequeñas como losátomos y moléculas (100 × 10-9m).De la misma manera los conoci-mientos de patrones, ecuacionesy funciones están mutuamenterelacionados y son adquiridos enforma progresiva desde la infancia,donde se desarrollan las nocionesbásicas, y a través de los diferentesniveles de la Educación Básica.desarrollo de los conocimientos en torno a número yoperacionesVICICLOVIICICLO2.º 3.º 4.º 5.ºPorcentajes como la expresiónde parte-todoNúmero racional comoexpresión fraccionaria, decimaly porcentual para expresarcantidades continuas y discretasPropiedades de los númerosracionalesPotenciación con basefraccionaria y exponente enteroPotenciación y radicación comooperaciones inversasOperaciones con los númerosracionalesRepresentación, comparación y orden en los números racionalesa partir de cantidades continuasIrracionales en situacionesgeométricasIrracionales en la recta numérica(recta real)Notación científica en situacionesde medición de longitud, masa ytiempoNotación científica en situacionesde medición de superficie yvolumenNotación científica ensituaciones que involucranmagnitudes físicas y químicasInterés simple en contextosfinancierosInterés simple y compuesto encontextos financierosDensidad de los números realesOperaciones con números realesRelaciones entre los sistemasnuméricosCompletitud de los númerosrealesCICLOS YGRADOSCONSTRUCCIÓNDEL SIGNIFICADO YUSO DE CONOCIMIENTOS
  23. 23. 23TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSEn el último grado de primaria y enlos primeros años de secundaria,se enfatiza en el estudio de lospatrones, y al finalizar la secundaria,se estudian sucesiones en losnúmeros reales. Las ecuacionesse estudian prioritariamente en losgrados intermedios, mientras que lasfunciones se formalizan al finalizar elsexto ciclo y se profundizan en losúltimos grados.Todos estos conocimientos seaprenden usándose enlasolución desituaciones problemáticas cercanasa la vida de los estudiantes, ya seanreales o simuladas.A continuación, daremos unaexplicación de cómo progresanestos conocimientos en la EducaciónBásica Regular con la intención demostrar el progreso que tienen losestudiantes en el desarrollo de sucompetencia matemática.Uno de los temas centrales delestudio de la matemática se refierea los patrones. Los estudiantesnecesitan reconocer, describir ygeneralizar patrones. Tambiénrequieren desarrollar capacidadespara construir modelos matemáticosque simulen el comportamiento delos fenómenos del mundo real quemuestren patrones observables.En los primeros años de su vida,los niños identifican patrones enmovimientos, sonidos y formas.En sus primeras experiencias consu entorno, identifican patronesen objetos concretos y situacionesmediante la observación y lamanipulación. Luego, al finalizarlos estudios de la primaria y en lasecundaria, usan la abstracción ydesarrollo de los conocimientos en torno a CAMBIO YRELACIONESVICICLOVIICICLO2.º 3.º 4.º 5.ºPatrones geométricos detraslación, rotación y reflexiónLa regla de formación deprogresiones aritméticas y de lasuma de los términos a partir deregularidadesLa regla de formación deprogresiones geométricas y de lasuma de los términos a partir deregularidadesModelos de una progresióngeométricaSucesiones crecientes ydecrecientesEcuaciones lineales en situacionesde equivalenciaInecuaciones lineales ensituaciones de desigualdadSistemas de ecuaciones linealescon dos variables en situacionesde igualdadEcuaciones cuadráticas ensituaciones de igualdad ydeterminación de máximos ymínimosSistemas de ecuaciones linealescon tres variables en situacionesde igualdadInecuaciones cuadráticas ensituaciones de desigualdadSistema de inecuaciones con dosvariables (programación lineal)en situaciones de optimizaciónSituaciones de proporcionalidaddirecta e inversaModelación de situaciones decambio mediante la funciónlineal y lineal afínModelación de situaciones decambio mediante funcionescuadráticasModelación de situaciones decambio mediante funcionesexponencialesCICLOS YGRADOSCONSTRUCCIÓNDEL SIGNIFICADO YUSO DE CONOCIMIENTOS
  24. 24. 24 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajescomprenden regularidades en los conjuntos numéricos. Al iniciar sus estudios escolares, losestudiantes emplean tablas, gráficos y descripciones verbales para representar patrones. Losestudiantes comprueban cómo cambian los patrones en las actividades vivenciales y en lastareas propuestas. Esto facilita la comprensión del concepto de variable como una cantidadque cambia y que asume diferentes valores. Esta experiencia continúa hasta la educaciónsecundaria; sin embargo, en este nivel los estudiantes llegan a generalizar y usar expresionesalgebraicas de forma fluida.Las igualdades y desigualdades es otro de los aprendizajes más importantes que necesitanconstruir los estudiantes en la Educación Básica. Los estudiantes buscan diferentes manerasde usar los números para expresar cantidades iguales o equivalentes y las relaciones entreestas. Las variables se introducen como cantidades desconocidas en las ecuaciones y sedesarrollan técnicas para resolverlas. Desde los inicios de la escolaridad, los niños construyennociones de equivalencia de expresiones aditivas. Al finalizar la educación primaria soncapaces de representar las condiciones de una situación problemática mediante ecuacioneslineales. En los primeros grados de secundaria experimentan situaciones reales o simuladaspara profundizar la comprensión de las igualdades y desigualdades. En los últimos gradosformulan modelos mediante ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y sistemas de ecuacionese inecuaciones lineales para resolver situaciones problemáticas.En cuanto a las relaciones y funciones, los estudiantes deben comprender, establecer y usarrelaciones entre:a) cantidades y magnitudes,b) las formas de representación de estas relaciones yc) el análisis de las situaciones de cambio.Estos tres aprendizajes están relacionados con los aprendizajes descritos anteriormente, loscuales les sirven de fundamento. Por ejemplo, tener experiencias sistemáticas con patronesayuda a entender la idea de función. Y para resolver situaciones que implican funciones senecesita del manejo de ecuaciones para comprender las relaciones y hallar la solución.Cuando los estudiantes entienden que pueden representar situaciones usando la matemática–ya sea en la educación inicial, primaria o los primeros grados de secundaria–, adquierennociones elementales de la modelización matemática que llegan a formalizarse hacia losúltimos grados de la secundaria.
  25. 25. 25TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS3.3 Planificando nuestras unidades y sesiones considerando losindicadores propuestosA continuación, presentamos un modelo para la organización de una unidad de aprendizajey una sesión de aprendizaje, tomando como recurso la matriz de indicadores, correspondien-te al cuarto grado de Secundaria.CapacidadesgeneralesIndicadoresEscenarios yactividadesTiempoMatematizasituacionesde cambioen diversoscontextos.Representasituacionesde cambioen diversoscontextos.Comunicasituacionesde cambioen diversoscontextos.Elaboradiversasestrategiaspara resolverproblemas.Utilizaexpresionessimbólicas yformales derelacionesy funcionespara resolverproblemas.Argumentael uso derelacionesy funcionespara resolverproblemasde diversoscontextos. Diseña modelos de situacionesde cambio usando funcionescuadráticas. Ordena datos en esquemaspara resolver problemasde situaciones de cambioque implican funcionescuadráticas. Interviene y opina respectoal proceso de resolución deproblemas que implican usarfunciones cuadráticas. Elabora estrategias heurísticaspara resolver problemasque involucran funcionescuadráticas. Establece relaciones dedependencia entre magnitudespara resolver problemasque involucran funcionescuadráticas. Justifica mediante ejemplosque la función cuadrática dela forma , osus expresiones equivalentes,modela una situaciónproblemática. Justifica medianteprocedimientos gráficos que lafunción cuadrática de la forma , o susexpresiones equivalentes,modela la situaciónproblemática dada.Proyecto matemático:Funciones cuadráticas queabaratan costos de viajede promoción. Constituir ocho equiposde trabajo de cincoestudiantes paradesarrollar las tareas porcomisiones. Realizar el estudiode costos de pasajespara transportar a losestudiantes a la ciudadde Cusco, ida y vuelta. Evaluar todas las ofertaspropuestas por lasempresas de transportecon la finalidad deabaratar costos. Si amerita, proponer ala junta directiva de laotra promoción incluirlosen la excursión. En caso de aceptar laoferta de la empresade transportes CruzAzul, calcular elnúmero de estudiantesadicionales que viajencon la promoción,de manera que no sesupere el monto máximoasignado para solventarel costo de pasajescon el presupuesto arecaudarse.Sesión taller matemáticoFunciones cuadráticasque previenen elenvenenamiento.Sesión laboratoriomatemáticoHaciendo cohetesinterespaciales.Sesión de 2semanasSesión de90 minutosDossesiones de90 minutosUnidad de aprendizaje= + +2y ax bx c= + +2y ax bx c
  26. 26. 26 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesPara la presentación de las actividades, es pertinente mostrarlas de forma global; debenpermitir el aprendizaje autónomo de los estudiantes, evitando de esta forma un procesorígido, secuencial y directivo en el desarrollo de los aprendizajes. Tales actividades son: deindagación y experimentación; de registro de experiencias, datos y prácticas; de reflexión, yde resolución de situaciones problemáticas.Pudiéndose ser otras que el docente considere para el desarrollo de las capacidades ycompetencia matemática.Sesión Capacidades IndicadoresActividades deenseñanza yaprendizajeFuncionescuadráticas queprevienen elenvenenamiento Matematizasituacionesde cambioen diversoscontextos. Representasituacionesde cambioen diversoscontextos. Comunicasituacionesde cambioen diversoscontextos. Elaboradiversasestrategiaspara resolverproblemas. Utilizaexpresionessimbólicas yformales derelacionesy funcionespara resolverproblemas. Argumentael uso derelacionesy funcionespara resolverproblemasde diversoscontextos. Elabora modelos desituaciones de cambio usandofunciones cuadráticas. Ordena datos en esquemas(tablas de doble entrada,plano cartesiano) pararesolver problemas desituaciones de cambioque implican funcionescuadráticas. Interviene y opina respectoal proceso de resolución deproblemas que implican usarfunciones cuadráticas. Elabora estrategiasheurísticas para resolverproblemas que involucranfunciones cuadráticas. Establece relacionesde dependencia entremagnitudes para resolverproblemas que involucranfunciones cuadráticas. Justifica mediante ejemplosque la función cuadrática dela forma , osus expresiones equivalentes,modela una situaciónproblemática. Justifica medianteprocedimientos gráficos quela función cuadrática de laforma , osus expresiones equivalentes,modela la situaciónproblemática dada. Actividades paracomprender elproblema Actividades paraelaborar el plan Actividades paraejecutar el plan Actividades parala reflexión ymetacogniciónSesión taller matemático= + +2y ax bx c= + +2y ax bx c
  27. 27. 27TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS3.4 Reconociendo escenarios, herramientas y condiciones didácticaspara desarrollar las capacidades matemáticasA. MATEMATIZARMatematizar implica interpretar un problema definido enla realidad o parte de ella y transformarlo en una formamatemática, interpretar o evaluar un resultado o un modelomatemático en relación con el problema original. Se refieretambién a tener la disposición de razonar matemáticamentepara enfrentar una situación problemática y resolverla.A continuación, proponemos actividades y características que favorecen la matematización.Las actividades vivenciales del entornoSon actividades en las que el estudiante entra en contacto directo con situacionesproblemáticas reales del entorno. En ellas los estudiantes interpretan la realidad y le danatributos matemáticos para atender esa problemática.En el nivel secundario, los proyectos matemáticos son actividades vivenciales que expresancon más claridad la matematización. Algunos procesos característicos para matematizar enla escuela son: Realizar medidas. Elaborar diseños gráficos o informativos. Hacer sociodramas que recojan aspectos de la realidad. Planificar y desarrollar diseños de implicancia tecnológica.Las actividades lúdicasConsisten en producir resultados matemáticos a partir de retos y reglas de juego con los quese enfrentra el estudiante. Requieren analizar e interpretar el entorno y las condiciones en quese suscita el juego. Son características: Reconocer las condiciones del juego. Experimentar siguiendo las reglas del juego. Modificar las reglas de juego. Emplear estrategias que ayuden a ganar el juego.Actividades apoyadas en esquemas gráficos respecto a la realidadHoy estamos rodeados de información que tiene expresiones simbólicas que se asocian deforma directa con aspectos de la realidad. Por ejemplo: un ícono puede hacer referencia a unhospital, una alerta, una condición, etc. Dar solución a problemas a partir de esta informaciónrequiere de habilidades para reconocer en ellos aspectos de implicancia matemática. Estosesquemas informativos lo podemos reconocer en: Recortes periodísticos. Afiches de promoción e infografías. Cuadros estadísticos, etc.Estas actividadespropician accionesde indagación,experimentación ysimulación.
  28. 28. 28 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesB. COMUNICARDesarrollar la capacidad de la comunicación matemática implicapromover el diálogo, la discusión, la conciliación y la rectificaciónde ideas. Esto permite al estudiante familiarizarse con el usode significados matemáticos e incluso con un vocabularioespecializado. A continuación, presentamos un grupo deinterrogantes a fin de promover espacios de discusión, deacuerdos, de rescatar errores y tomarlos como punto de debate.Asimismo, puede suscitar la participación de los estudiantes ensus grupos de trabajo y en las intervenciones personales.Es importante saber hacerpreguntas a los estudiantespara ayudarlos a comprenderel problema, trazar el planpara resolverlo y evaluar losresultados.Situaciones para promoverlas interrogantesPropuesta de interrogantesFase: Comprender losproblemas Orientada a promoverque los estudiantespuedan movilizar susaprendizajes, tomandoconciencia de lo que yasaben por sí mismos.Interrogantes para promover la comprensión del problema: Interrogantes comparativas (¿en qué se parecen..., cuáles la diferencia?) Interrogantes de causa-efecto (si modificamos el dato...,¿qué ocurriría con...?) Interrogantes de ‘debería’ (¿qué deberíamos hacerprimero...?) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procedería usted paradesarrollar el problema...?)Interrogantes para promover la resolución del problema: Interrogantes de verificación (¿es el procedimientoadecuado?, ¿has realizado las operaciones adecuadas...?)Interrogantes para promover la evaluación de resultados: Interrogantes de verificación (¿es la respuesta correcta?) Interrogantes comparativas (¿en qué se parece esteproblema desarrollado a otros?) Interrogantes de causa-efecto (supongamos que ahoralos datos fueran..., ¿cómo afecta el problema?; si elprocedimiento hubiese sido..., ¿qué resultados habríamostenido?, etc.) Interrogantes de ‘debería’ (cuando tenemos un problemade estas características, ¿qué deberíamos hacerprimero?; cuando tenemos planteamientos gráficos, ¿quédeberíamos hacer?, etc.) Interrogantes de ‘cómo’ (¿cómo procediste para resolverla situación planteada?, etc.) Interrogantes de generalización (¿en qué situaciones esconveniente desarrollar estas estrategias de resolución?,¿cuán importante es reconocer el planteamientodesarrollado?, etc.)Fase: Trazar un plan yresolver el problema Promueve planteamientosy estrategias distintaspara resolver problemas.Considera el ordenapropiado de las ideas Desarrolla actividades departicipación grupal.Fase: Evaluar resultados Expresa ideas tanto delos procesos como de losresultados. Expresa satisfacción de loexperimentado. Explica sus logros apartir de las actividadesdesarrolladas.
  29. 29. 29TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSC. REPRESENTARLa representación es un proceso y un producto que implica seleccionar, interpretar, traducir yusar una variedad de esquemas para expresar una situación, interactuar con el problema opresentar el resultado.Para la construcción de los conocimientos matemáticos, es recomendable que los estudiantesrealicen diversas representaciones, partiendo de aquellas vivenciales hasta llegar a las gráficasy simbólicas.Adaptación: Discover Strategies to Engage Young Math Students in Competently Using Multiple Representations, deAnne Marshall (2010).Tiposderepresentaciones Representaciones vivenciales(acciones motrices)• Teatralización• Sociodrama Representaciones apoyadas enmaterial concreto• Estructurados• Multibase 10• Ábaco• Regletas• Balanza Representaciones de formapictórica• Dibujos• Íconos Representaciones de forma gráfica• Cuadros de doble entrada• Diagramas de complemento• Diferencia e igualación• Diagrama de árbol• Diagrama de flechas• Diagramas lógicos• Diagramas de tablas• Diagramas de gráficas Representación simbólicaRepresentaciónpictóricaRepresentación conmaterial concretoRepresentaciónvivencialRepresentaciónsimbólicaRepresentacióngráfica
  30. 30. 30 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesD. ELABORAR DIVERSAS ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMASEsta capacidad consiste en seleccionar o elaborar un plan o estrategia sobre cómo utilizar lasmatemáticas para resolver problemas de la vida cotidiana y cómo irla implementando en eltiempo. Los saberes previos del estudiante de los primeros grados son limitados respecto almanejo de estrategias heurísticas, por lo que desde el aula debemos darle la oportunidad deapropiarse de variadas estrategias.En la siguiente tabla se describen las estrategias que frecuentemente se elaboran en laresolución de problemas.Estrategias heurísticas1. Ensayo-errorTantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluandocada vez los ensayos que se hacen. En realidad, algunos métodos específicos de solución,como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas, se basan en el uso sistemáticode numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificaciónconduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta.2. Hacer una lista sistemáticaEn los casos en que requiere la enumeración de objetos matemáticos, es convenienterealizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad.Esta estrategia es muy útil al buscar soluciones en una ecuación, para encontrar espaciosmuestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones.3. Empezar por el finalLa estrategia de utilizar el pensamiento regresivo se utiliza mayormente en problemasen los cuales tenemos información de una situación final; también para demostrardesigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potenciatécnica para demostrar teoremas.4. Razonar lógicamenteEl razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a élpodemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientoque se producen en el desarrollo de su solución.5. ParticularizarConviene siempre utilizar casos particulares para familiarizarse con el problema. Así,es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico.6. GeneralizarEn algunos problemas puede ser muy útil simbolizar las expresiones o averiguar si lo quese pide se refiere a un caso particular de alguna propiedad general. A esto se le conocecomo la paradoja del inventor. A veces es conveniente investigar más de lo que piden.7. Buscar patronesEn algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el fin de encontrarpautas o regularidades que después se podrían emplear para llegar a la solución.8. Plantear una ecuaciónLo primordial para poder aplicarla con éxito es el entrenamiento en la traducción dellenguaje cotidiano al lenguaje algebraico.9. Resolver un problema semejante pero más simpleAlgunas veces, utilizar un método que nos dio resultado con un problema más simple yrelacionado con el que tenemos nos conduce a la solución del problema.Fuente: Manual del docente, Resolvamos 1 y 2, Ministerio de Educación, 2012
  31. 31. 31TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSE. UTILIZAR EXPRESIONES SIMBÓLICAS, TÉCNICAS Y FORMALES PARA RESOLVER PROBLEMASImplica comprender, interpretar, manipular y usar expresiones simbólicas (incluidas lasexpresionesylasoperacionesaritméticas)queserigenporreglasyconvencionesmatemáticas,dentro de un contexto matemático. Implica también usar algoritmos. Igualmente, abarcacomprender y usar construcciones formales basadas en definiciones, normas y sistemasformales. Los símbolos, normas y sistemas utilizados pueden variar según qué conocimientomatemático particular es necesario para una tarea específica, con la finalidad de formular,resolver e interpretar la matemática.El uso de las expresiones y símbolos matemáticos ayuda a comprender las ideas matemáticas;sin embargo, estas expresiones no son fáciles de generar debido a la complejidad de losprocesos de simbolización. En el desarrollo de los aprendizajes, los estudiantes requierenpreviamente vivir experiencias y realizar inducciones usando lenguajes que vayan de locoloquial a lo simbólico, transformándose posteriormente en un lenguaje técnico y formal,que se da con cierta intensidad y énfasis.S I T U A C I O N E S C O T I D I A N A SSituaciónexperimentalLenguajesimbólicoSituaciónmatemáticaLenguajetécnico - formalSituación vivencialTránsito del lenguaje matemáticoLenguajecoloquial
  32. 32. 32 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesF. ARGUMENTARLa actividad matemática involucra emplear objetos, procedimientos y conceptos matemáticos.Los procesos del pensamiento lógico dan sentido a una situación y determinan, poraproximaciones sucesivas, llegar a la situación óptima.Argumentar implica varias acciones: cuestionarse sobre cómo conectar diferentes partes dela información para llegar a una solución, analizar la información para crear un argumento devarios pasos, establecer vínculos o respetar restricciones entre diferentes variables, reflexionarsobre las fuentes de información relacionadas o hacer generalizaciones y combinar múltipleselementos de información.Se reconocen cinco escenarios que propician formas de razonamiento y argumentación:Estrategias CaracterísticasEscenarios de exposición Una manera eficaz de estructurar losconocimientos para una exposición o discusiónson los organizadores visuales.Escenarios de discusiónEscenarios de indagación Plantear interrogantes, seguidotentativamente de respuestas, implicaestablecer conjeturas para su posterior validez(justificación) a partir de procedimientos: Experimentales. Formulación de contraejemplos.Escenarios que promuevenprácticas inductivasPropician una serie de situacionesrepresentativas para establecer relacionesde generalización o particularización. Puedenser: Estudios de casos. Modelos que posibilitan visualizar lo queno podemos observar directamente. Simulaciones como formas de ejemplificar.Escenarios integrativos Gran parte de los conocimientos matemáticosestán organizados de forma integral: secombinan hechos, procedimientos, formas derepresentación, conceptos y relaciones entreellos. Una actividad propia de este desarrolloson los mapas mentales
  33. 33. 33TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁS3.5 Promoviendo tareas matemáticas articuladasUn factor muy importante para el aprendizaje de las matemáticas son las situaciones en queel estudiante se enfrenta a problemas. Por ello, es importante generar situaciones desafiantesque vayan creciendo en complejidad y estén de acuerdo con conocimientos y experienciasprevias de los estudiantes.Para cada espacio de aprendizaje, se deben plantear tareas matemáticas que requieran usardiversas capacidades y conocimientos matemáticos. Estamos denominando ‘tareas’ a cadauna de las actividades que proponemos al estudiante en la clase; no a las ‘tareas para lacasa’ ni a las ‘tareas para el cuaderno’.A continuación, presentamos diversos tipos de tareas matemáticas que necesitan usardiversas capacidades y conocimientos de los estudiantes.Estrategias CaracterísticasDe relaciones entredatosEste tipo de tareas busca establecer unarelación o vínculo entre dos o más objetos,procedimientos y conceptos matemáticos, queexpresan alguna interacción entre ellos. De complementación dedatosConsiste en reconocer uno o varios datos,conceptos, procedimientos y objetosmatemáticos que no están en un planteamientooriginal. De interrogantes pararespuestas abiertasSon aquellas orientadas a recibir respuestasamplias y variadas, destinadas a reconocerapreciaciones y formas de razonar, deargumentar y de proceder según la actividadmatemática.De interrogantes pararespuestas cerradasBuscan reconocer respuestas puntuales,concretas y específicas respecto al dominio deun conocimiento o la espera de una respuestaespecífica en la resolución de problemas.De desarrollode problemasreproductivos yalgorítmicosPromueven planteamientos que se orientana reproducir conocimientos específicosdesarrolladosyformasdeprocederalgorítmicas(es decir, conocer el procedimiento de soluciónde un problema).De desarrollo deestrategias heurísticasde resoluciónEstas tareas promueven planteamientos que seorientan a niveles profundos de la comprensiónde conceptos matemáticos. Usualmente,tienen múltiples formas de representación queinvolucran un desarrollo flexible de ellas.
  34. 34. 34 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes3.6 Resolviendo problemasUn problema existe cuando una persona tiene una meta y no sabe cómo alcanzarla (Duncker,1945). Esta definición se esquematiza en la siguiente figura:‘El estado dado’ es el conocimiento que lapersona tiene sobre el problema al principio.Los operadores son las acciones posiblesde realizar para alcanzar ‘el estado meta’que es el objetivo deseado con la ayuda delas herramientas disponibles. Las barreraspueden ser la carencia del conocimiento ode las estrategias que dificultan o impidenalcanzar la meta. Superar las barreras puedeimplicar no solo la cognición, sino también lamotivación y el estado afectivo1.¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?Un problema exige movilizar varias capacidades matemáticas para realizar una serie detareas que nos permitan encontrar una respuesta o solución a la situación planteada.Un ejercicio consiste en desarrollar tareas matemáticas, fundamentalmente las vinculadas aldesarrollo de operaciones. Muchas veces, estas tareas tienen la característica de ser sencillasy de repetición, por lo cual las llamamos ‘tareas rutinarias’.Para reconocer cómo diferenciar un problema de un ejercicio, veamos algunas característicasde las actividades que realizan nuestros estudiantes:a) Acciones del estudianteEl ejercicio es una actividad simple y reproductiva, implica realizar una acción en la cual bastaque se apliquen, en forma algorítmica, los conocimientos ya adquiridos.En un problema es necesario que el estudiante dedique un tiempo a la comprensión de lasituación, diseñe estrategias, las desarrolle y evalúe sus resultados y consecuencias.b) Cantidad y calidadExiste la creencia de que un estudiante eficiente en la resolución de problemas desarrolla yresuelve gran cantidad de ejercicios: mientras más ejercicios desarrolle, será mejor resolviendoproblemas. Este pensamiento es impreciso.EstadometaEstadodadoHerramientasdisponiblesBarreraTraducido y adaptadoProblem Situacion (Funke y Frensch, 1995)1Peter Frensch, 1995; Joaquim Funke, 2010.
  35. 35. 35TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSLas investigaciones demuestran que los buenos resolutores de problemas invierten mástiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados.Esto implica reconocer que resolver un problema con calidad requiere más tiempo.d) Desarrollo de capacidadesUn ejercicio tiene por objetivo que el estudiante replique conocimientos aprendidos. En cambio,un problema es un reto para el estudiante, promueve la investigación, la experimentación, labúsqueda de regularidades y el desarrollo de estrategias de resolución.e) Desarrollo de cualidades personalesUn ejercicio implica reproducir conocimientos, procedimientos, técnicas y métodos dentro derutinas establecidas, lo que puede generar que el estudiante actúe automáticamente, sin darsignificatividad al desarrollo.Una situación problemática, por el contrario, despierta una fuerte carga de participacióndel estudiante por querer resolver el problema. En ella moviliza experiencias previas yconocimientos adquiridos, hace supuestos, traza planes y, por último, siente la satisfacción dehaber solucionado el problema.3.7 Fases de la resolución de problemasEn la resolución de problemas existen varios esquemas que presentan el orden másadecuado para situaciones novedosas. A continuación, presentamos el esquema propuestopor George Pólya (1945), que describe las actividades fundamentales que se realizan en elproceso de resolución de cualquier problema matemático en general. Este esquema muestracuatro pasos para resolver el problema: comprender, diseñar una estrategia, ejecutar el plany desarrollar una visión estratégica.A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial, de manera quefacilite su comprensión:Modelo teórico Para los estudiantesComprender el problema Antes de hacer, vamos aentenderBúsqueda de estrategias yelaboración de un planElaboramos un plan deacciónEjecutar el plan Desarrollamos el planDesarrollar una visiónestratégicaLe sacamos el jugo a laexperienciaEn el manual deldocente de los módulosResolvamos 1 y 2 se puedeprofundizar la informacióncorrespondiente.
  36. 36. 36 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesEl número de integrantesen los trabajos de grupodepende del criterio deldocente; sin embargo, loconvenienteesunpromediode tres o cuatro integrantes.3.8 Promoviendo el trabajo cooperativoEl trabajo en equipo permite intercambiar opiniones entreestudiantes, impulsa el planteamiento de distintas estrategiasderesoluciónypuedeayudaracomprendermejorelproblema.Respecto a las diversas propuestas dinámicas de trabajocooperativo en la enseñanza y el aprendizaje, se recomiendarevisareldocumentoOrientacionesparaelTrabajoPedagógicodel Área de Matemática (MED, 2010). A continuaciónpresentamos planes de organización que podrían acompañartales dinámicas:a) Trabajo simultáneo con equiposEn este esquema de organización, eldocente asume un rol mediador contodos los equipos de trabajo; asimismo,permitequelosestudiantesintercambienideas entre los grupos.b) Trabajo diferenciado con equiposEn esta organización, el docente focalizael trabajo mediador en el grupo que loconsidere necesario; asimismo, deja enlibertadalosotrosgruposeneldesarrollode la resolución de problemas.c) Trabajo diferenciado con monitores de equipoEn esta organización, el docente delegael liderazgo a un monitor responsablepor cada grupo de trabajo. Losmonitores tienen el rol de dirigir yorientar el proceso de la resolución deproblemas, en el cual participan todoslos integrantes.
  37. 37. 37TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSIV. ¿Cómo desarrollamos escenarios de aprendizaje respecto al número real?Hemos reconocido los escenarios de aprendizaje, la progresiónde los conocimientos matemáticos, las orientaciones paradesarrollar las capacidades matemáticas, la promoción de tareasmatemáticas y la resolución de problemas.A continuación, mostraremos situaciones que permiten integrarlos temas que hemos abordado: se desarrollan las situaciones deun proyecto, de un laboratorio y de un taller de matemática.Recuerda:El concepto de ‘número real’ involucra dos procesos derepresentación claves para su desarrollo, significado y uso.Estossonlasnotacionesnuméricasylosmodelosgeométricos,y entre ellos se establecen conexiones y relaciones que sedan de forma complementaria y progresiva.En el estudio de los números reales es preciso afianzarla notación decimal de los números reales, su orden ydensidad por medio de la expresión decimal y fraccionaria,realizar aproximaciones con números decimales, establecerla correspondencia entre el número real y la recta numérica,así como realizar medidas de longitudes.Para ello, es importante mostrar un desarrollo en lacomprensión de este campo numérico a partir de situacionesvivenciales, para luego ir formalizando y constituyéndolocomo un aspecto que moviliza la competencia matemáticaen los estudiantes, en los diversos escenarios de la vidacotidiana.Sesión laboratoriomatemático:Intervalos que sícuentanSesión laboratoriomatemático:Haciendooperaciones conintervalosProyectomatemático:Cómo ser uncompradorinformadoSesión tallermatemático:Intervalos y susoperaciones
  38. 38. 38 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes4.1 Algunas situaciones de aprendizajeSituación 1Sesión laboratorio matemático:Intervalos que sí cuentanSITUACIÓN PROBLEMÁTICAEn un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el profesor busca representarlas estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. ¿Cómo podemos representar laestatura de un estudiante del aula?Indicadores Describe situaciones de medidas en diversos contextos paraexpresar números racionales en su notación decimal, científicae intervalos. Ordena datos en esquemas de organización que representan losnúmeros racionales y sus operaciones con intervalos. Aplica variadas estrategias con números racionales, intervalosy proporciones de hasta dos magnitudes e interés compuesto. Usa los símbolos de =, >, <, ≤, ≥, para comparar y ordenar doso más cantidades.Explica la existencia de los números irracionales comodecimales no periódicos a partir de situaciones de medidas delongitudes y áreas de algunas figuras geométricas planas.ContextoSocialÁreas afines Ciencia, Tecnología yAmbienteConocimientoRepresentación de intervalos de números realesOperaciones con intervalos de números realesGrado3.º de Secundaria¿Cuándo hacerla? Después de ordenar y comparar números realesSirve para:Representar, mediante diversas formas, subconjuntos de números reales. Resolver situaciones contextualizadas aplicando operaciones con intervalos.¿Qué necesitas?Regla Texto del gradoConocimientos previosOrden y comparación de números racionales e irracionalesImportantePara ampliar estudios respecto al número real, se recomienda visitar:Aspectos metodológicos en el aprendizaje de los sistemas de números naturales, enteros,racionales y reales en secundariahttp://sistemas02.minedu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s2_f1.pdfdu.gob.pe/archivosdes/fasc_mat/04_mat_d_s3_f3.pdf
  39. 39. 39TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSActividad N.° 11. En un aula de tercer grado de Secundaria de la IE Fidel Olivas, el docente buscarepresentar las estaturas de todos sus estudiantes de una forma simple. Acontinuación, presentamos el cuadro con las tallas obtenidas.2. Usando la cinta métrica, marquen las medidas de las estaturas encontradas.3. Usando una hoja milimetrada o cuadriculada, representen la estatura de cadaestudiante.4. A partir de las gráficas realizadas, expliquen cómo procederían para indicar laestatura mayor y la menor.Estudiante EstaturaAcosta, Alonso 1,42 mAranda, Rocío 1,37 mArias, Jean 1,56 mBarrenechea, Renato 1,67 mCermeño, José 1,55 mCheca, Fernanda 1,51 mCruz, Eduardo 1,48 mDonayre, Alexandra 1,57 mGarcía, Fredy 1,68 mHuerta, José 1,35 mIrribarren, Arturo 1,45 mJaramillo, Jessica 1,45 mEn pareja
  40. 40. 40 Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes5. El profesor plantea las siguientes interrogantes:6. Alonso plantea lo siguiente: si incorporamos a más estudiantes en la tabla, noserá posible expresar estaturas entre 1,55 y 1,56 cm, debido a que son númerosconsecutivos. ¿Este razonamiento es cierto? Justifiquen su respuesta usando la rectanumérica.7. El profesor observa la justificación de sus estudiantes y les plantea un reto. ¿Cómousando la recta numérica se puede representar lo desarrollado anteriormente?Entre los estudiantes, ¿quién oquiénes tienen una estatura...?Nombre de estudiantesmayor que 1,37 y menor que 1,45 mmenor que 1,56 y mayor que 1,42 mmayor que 1,54 mmayor o igual que 1,48 y menor que1,50 mmayor o igual que 1,35 y menor o igualque 1,55 mmayor que 1,37 y menor que 1,42 mExpresión literal Expresión en la recta numéricamayor que 1,37 y menor que 1,45 mmayor que 1,54 mmayor o igual que 1,48 y menor que1,50 mmayor o igual que 1,35 y menor o igualque 1,55 mmenor que 1,56 y mayor que 1,42 mmayor que 1,37 y menor que 1,42 mEn pareja
  41. 41. 41TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSActividad N.° 2Reflexionen y respondanEntre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números realesdiferentes, existen números reales que tienen la característica de ser infinitos (recuerdenlo que encontraron en la tarea n.° 7 de la actividad anterior). Esto hace que pensemosen subconjuntos de � que en adelante llamaremos intervalos.Podemos representar, por ejemplo, el intervalo de números reales comprendidos entre– 5 y +1, incluidos estos extremos. A continuación, para desarrollar las preguntas 1 y 2,debemos considerar lo siguiente:Nota: Ver texto de tercer grado de Secundaria, pág. 21.1. ¿Cómo expresarían mediante intervalos usando la representación gráfica?2. ¿Cómo expresarían mediante intervalos usando la representación simbólica?En parejaCuando decimos que es mayor que1,37 m, el subconjunto de los realesexpresado en el intervalo no consideradicho número.Cuando decimos que es menor o iguala 1,56 m, el subconjunto de los realesexpresado en el intervalo consideradicho número.1,37 m 1,56 mExpresión literal Representación gráfica con intervalosmayor que 1,37 y menor que 1,45 mmayor que 1,54 mmayor o igual que 1,48 y menor que1,50 mmayor o igual que 1,35 y menor o igualque 1,55 mmenor que 1,56 y mayor que 1,42 mmayor que 1,37 y menor que 1,42 mExpresión literalRepresentación simbólica conintervalosmayor que 1,37 y menor que 1,45 mmayor que 1,54 mmayor o igual que 1,48 y menor que1,50 mmayor o igual que 1,35 y menor o igualque 1,55 mmenor que 1,56 y mayor que 1,42 mmayor que 1,37 y menor que 1,42 m
  42. 42. 42 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesActividad N.° 3Reflexionen y respondan1. Expresen mediante intervalos la altura máxima y mínima de la tabla de datos respecto a la altura de los estudiantes.2. Daniel ha comprado un CD de música y Karla le pregunta ¿cuánto dura una canción?Él expresa que una canción dura entre 3 y 5 minutos. ¿Cómo lo representarían enintervalos?3. En un centro de salud, de todos los niños que se atendieron el jueves, resultó quela mayor temperatura registrada fue de 40,8 ºC y la menor temperatura, 36,1 ºC.Expresen de tres maneras distintas las temperaturas de cualquier niño atendidoese día.Estudiantes TallaJustiniano, Antonio 1,45 mLaguna, Alexander 1,43 mMejía, Luis 1,59 mMercado, Rebeca 1,69 mMolina, Esmeralda 1,52 mPalacios, Eduardo 1,59 mPríncipe, Joseph 1,63 mQuintana, Alejandra 1,57 mQuispe, Fredy 1,67 mTarazona, Fernanda 1,49 mValdez, Miranda 1,39 mVenegas, Belén 1,45 mEn grupoEn estas actividades, los estudiantes parten de una situación problemática: ellosexpresan las medidas presentadas en una línea recta, las interrogantes los vanorientando a responder con la representación gráfica que han elaborado. El objetivoes que los estudiantes adquieran la noción del intervalo a partir de la actividadde experimentación, para pasar de expresar de forma coloquial a formalizar lapresentación de los intervalos. Asimismo, esto implica que ellos desarrollenestrategias de solución de problemas asociadas a este tipo de conocimiento. Laprimera actividad puede plantearse en una variante, los estudiantes puedenempezar haciendo un cuadro de datos de las estaturas del mismo grado o grupode estudiantes.
  43. 43. 43TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSSituación 2Sesión laboratorio matemático:Haciendo operaciones con intervalosSITUACIÓN PROBLEMÁTICAEl supervisor de una fábrica de chocolates comunica el tiempo (en horas) que tarda laproducción de dos lotes, para lo cual utiliza la expresión simbólica de intervalos.Lote 1: Lote 2:¿Cómo expresarían el tiempo que tardaría la producción del lote 1 o del lote 2? (Texto deSecundaria, tercer grado, pág. 22)IndicadoresAplica operaciones con intervalos para resolver situaciones encontextos diversos.Formula estrategias de estimación de medidas o cantidadespara ordenar números irracionales en la recta real.Ordena datos en esquemas de organización que representan losnúmeros racionales y sus operaciones con intervalos.Usa los símbolos de =, >, <, ≤, ≥, para comparar y ordenar doso más cantidades.Usa los símbolos de intervalos, como corchetes, desigualdadeso gráficas sobre la recta, para resolver operaciones de unión,intersección, diferencia y complemento de conjuntos denúmeros reales.Justifica el uso de las operaciones con racionales expresados ennotaciones fraccionarias, decimales para resolver situacionesde contextos variados.ContextoPersonal y socialÁreas afinesEducación para elTrabajoHistoria, Geografía yEconomíaConocimientoRepresentación de intervalos de números realesOperaciones con intervalos de números realesGrado3.º de Secundaria¿Cómo hacerla?Después de ordenar y comparar números realesTiempo90 minutosSirve para:Representar, mediante diversas formas, subconjuntos de números reales.Resolver situaciones contextualizadas aplicando operaciones con intervalos.¿Qué necesitas?ReglaTexto del gradoConocimientos previos Orden y comparación de números racionales e irracionales123,5;52,5;4,5ll=   =   
  44. 44. 44 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesActividad N.° 1A continuación, trabajaremos con materiales concretos, para lo cualnecesitan: Hojas cuadriculadas Regla Tijera Tiras de papel celofán de color amarillo y azul y otros parecidos1. Usando una recta numérica, peguen encima de ella una tira de papel celofán queexprese el intervalo del lote 1. Repitan similar situación para el lote 2. Nota: dibujenlas características de representación de los intervalos en los extremos de las tiras(se colorea, según sea el caso, el interior de los círculos para expresar intervalosabiertos o cerrados).2. Dibujen el procedimiento que realizaron.3. ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán amarillo?4. ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán azul?5. ¿Qué subconjunto representa la tira del celofán verde (resultado de los dos colores)?6. ¿Cómo expresarían el tiempo que tardaría la producción del lote 1 o del lote 2?Justifiquen su respuesta usando las tiras de celofán.El supervisor de una fábrica de chocolates expresó el tiempo (en horas) que tardala producción de dos lotes, mediante los intervalos:Lote 01:Lote 02:¿Cómo expresarían el tiempo que tardaría la producción del lote 1 o del lote 2?En pareja123,5;52,5;4,5ll=   =   
  45. 45. 45TODOS PODEMOS APRENDER, NADIE SE QUEDA ATRÁSActividad N.° 2Reflexionen y respondanCon los intervalos se realizan diversas operaciones, como:Completen la información a partir de la experiencia realizada.En grupoOperacionesdeColor queexpresanExpresióngráficaExpresiónsimbólicaUniónIntersecciónDiferencia2L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L2 3 4 65 7210-1 3 4 5 6210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 92L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L2 3 4 65 7210-1 3 4 5 6210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 92L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9210-1 3 4 52 3 4 5 762L1L2 3 4 65 7210-1 3 4 5 6210-1-2-3 3 4 5 6 7 8 9Unión de intervalos:La unión de dos intervalosy es el conjunto denúmeros reales que pertenecen almenos a uno de los dos intervalos.Intersección de intervalos:La intersección de dos intervalos esel conjunto de los números realesque pertenecen a la vez a los dosintervalos.Diferencia de intervalos:La diferencia del intervalo y esel conjunto de los números realesque pertenecen al intervalo y nopertenecen al intervalo .1 2;6L =   2 1;8L =   2L2L1L1L1 2 2;6 1;8 2;1L L− =− − =−          Usar como materiales deconsulta y apoyo paradesarrollar los aprendizajesen el estudiante lostextos distribuidos por elMinisterio de Educación enel 2012. (Por ejemplo, ver ellibro de tercer grado, pág.23).∩ =− ∩ =          1 2 2;6 1;8 1;6L L∪ =− ∪ =−          1 2 2;6 1;8 2;8L L
  46. 46. 46 Movilización Nacional por la Mejora de los AprendizajesActividad N.° 3Para usar expresiones simbólicasRepresenten en sus cuadernos, en forma gráfica y usando colores, las siguientesoperaciones con intervalos:1. 2. 3.4. 5. 6.7. 8. 9.Actividad N.° 41. El supervisor de una tienda de golosinas realiza su inventario el 20 de diciembre del 2012. Observa que en el ingreso de productos hay un lote de 200 cajas de galletas que tienen fecha de fabricación 1 de noviembre del 2012 yvencimiento 1 de febrero del 2013. Además, observa que hay un segundo lote de 300cajas del mismo producto que tiene fecha de fabricación 15 de noviembre del 2012 yfecha de vencimiento 15 de febrero del 2013. Utilicenlagráficadeintervalosenunarectapararepresentarlasfechasdefabricacióny vencimiento de cada lote, y respondan a las siguientes preguntas:1) ¿Entre qué fechas podrá vender galletas de los dos lotes?2) ¿En qué fechas ha vendido o venderá solo galletas del primer lote?3) ¿En qué fechas podrá vender solo galletas del segundo lote?2. En una avenida que atraviesa tres distritos y que tiene 52 cuadras de largo, dos delos distritos han acordado colocar luminarias tipo colonial desde el inicio hasta elfinal de la cuadra 32. Pero uno de los anteriores con el tercer distrito han acordadoconstruir una ciclovía desde el inicio de la cuadra 23 hasta finalizar la cuadra 52.Utilizando las representaciones de intervalos, realicen lo siguiente:1) Expresen las cuadras que solo tienen luminarias.2) Expresen las cuadras que tendrán luminarias y ciclovía.3) Expresen las cuadras que tendrán solo ciclovía.En parejaEn parejaEn estas actividades, los estudiantes parten de trabajar con material concreto, reconocen elnuevo color que se genera a partir de la intersección de las tiras de colores. En la realizaciónposterior de las tareas, van desarrollando sus capacidades en torno a resolver el problema,lo que los lleva a atribuir el significado de las operaciones con intervalos como resultadode la unión, intersección y diferencia. El objetivo no es que el estudiante acabe por realizarprocesos netamente matemáticos; por el contrario, es importante que el estudiante resuelvaproblemas que requieren una interpretación adecuada a diversos tipos de problemas.( ) )( )(6,7 7,8,4 5,138,4 2,11− ∪ ∞− ∩ − −  ( ) )( )( ), 4 3,,1 1,, 1 5,−∞ − ∪ ∞−∞ ∩ − ∞ −∞ − − − ∞ ( ) )) )) )3,9 2,3,7 7,123,9 7,10∪ ∞ − ∩  − − 

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