1. Transformada de
Fourier

2. Serie de Fourier (I)
 Las series de Fourier describen señales periódicas
como una combinación de señales armónicas
(sinusoidales).
 Con esta herramienta podemos analizar una señal
periódica en términos de su contenido de
frecuencias o espectro.
 Nos permitió establecer la dualidad o equivalencia
entre tiempo y frecuencia de forma que
operaciones realizadas en el dominio del tiempo
tienen su dual en el dominio de la frecuencia.

3. Serie de Fourier (II)
 La forma exponencial de la serie de Fourier
describe una función periódica f (t)
de período T
w 2 p y frecuencia fundamental 0 = = 2 p
f
0 de la
T
siguiente manera:
( )
å w
jn t
f t C e
= =
n
0
- w w w
2
=+ + + + + +
-
- w
-
+¥
-¥
j t j t j t j t
C e C e C C e C e
0 0 0 0
1 0 1 2
2
2

4. Cálculo de los coeficientes:
T
0 1
ò ( ) = - w
jn t
n f t e dt
T
C
0
Relación de Parseval:
+¥
T
1 2
ò ( ) å
= = 2
P
f f t dt C
-¥
0
n
T
 La potencia contenida en una señal puede
evaluarse a partir de los coeficientes de su
correspondiente serie de Fourier.

5.  Espectro de señales periódicas: los coeficientes
Cn son los coeficientes espectrales de la señal
f (t)
 La gráfica de esos coeficientes en función de n
(índice armónico) o de la frecuencia w = nw0
se
denomina espectro.
 Tenemos dos tipos de gráficos, uno de magnitud
o amplitud con los Cn y otro de fase
f(n)
 La función Cn como la función f(n)
son
funciones discretas de la frecuencia.

6.  Forma de la señal
f (t)
0 V
a
- a 2
T t
- T 2
2
2
 Espectro discreto de amplitud
1
20
1
10
=
=
a
T
= 1
T
2
a
w = 2p = 2p = 20p
0 T 1
10
V0
2
- w
40
2 0
- p
Cn
0
2 0 nw0
w
40
p

7.  Forma de la señal
f (t)
T t
- a 2
- T 2
2
 Espectro discreto de amplitud
1
20
1
4
=
=
a
T
= 1
T
5
a
w = 2p = 2p = 8p
4
0 T 1
2
a
V0
5
- w
40
5 0
- p
Cn
0
w
80
10 0
5 0 nw0
w
40
p
p
- w
80
10 0
- p

8.  Forma de la señal
f (t)
- a 2
- T 2
2
a = 1 T = 1
a =
1
w = 2p = 2p = 4p
 Espectro discreto de amplitud
T t
10
2
20
T
2
0 T 1
2
a
V
20 0
- w
40
10 0
- p
Cn
0
w
80
20 0
10 0 nw0
w
40
p
p
- w
80
20 0
- p

9. Transformada de Fourier (I)
 Queremos ampliar el concepto de serie de Fourier
a señales no periódicas.
Podemos visualizar una señal no periódica como
una señal continua de período infinito:
o El espaciado entre frecuencias se aproxima a
cero y es por lo tanto una función continua.
o Los coeficientes Cn
disminuyen y tienden a
cero.

10. Transformada de Fourier (II)
 Se define la transformada de Fourier de y se
indica como:
+¥ F w = F f t = f t e j tdt
 Sujeto a la condición suficiente pero no necesaria
de
espectro continuo de
+¥ f t dt
ò ( ) < ¥
-¥
F(w) = Re2 F(w) + Im2 F(w)
F
Re
f amplitud
w = - w
espectro continuo de fase
f (t)
F(w)
( ) [ ( )] ò ( ) - w
-¥
F(w) = F(w) e jf(w)
( ) ( )
(w)
F
tg 1 Im

11.  Forma de la señal
f (t)
a
- a 2
2
<
a
V t
0 2
0;
w = = w
 Espectro continuo de amplitud
t
Cuando 0 0 T ®¥ w ®
( )
î í ì
>
=
2
;
a
t
f t
( ) ( )
2
2
0
sen
a
a
F F f t V a
w
2p
a
-2p
a
F(w)
w
V0
a

12. Relación entre la serie y la
transformada de Fourier
F(w)
 es la función envolvente de
 Si tomamos una muestra de F(w)
a intervalos
regulares la función resultante es el espectro de
amplitud de una señal periódica de período
 Es decir, muestrear en el dominio frecuencial se
corresponde con señales periódicas en el dominio
del tiempo.
Cn
1
0
f0
0 f T =

13. Transformada inversa de Fourier para
una función
+¥
ò
j t
F f e dt
+¥
j t
2 1
 Las expresiones (1) y (2) constituyen el par de
transformadas de Fourier.
 La expresión (1) transforma la función f (t)
en el
dominio del tiempo en su función equivalente en el
dominio de la frecuencia y viceversa.
F(w)
( ) ( w ) = ( w
)
( ) ( ) = (w) w
w
-¥
p
- w
-¥
ò
f t F e d
2
1

14. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (I)
1. Linealidad o superposición:
F[ f1(t)] = F1(w); F[ f2 (t)] = F2 (w)
F[a1 f1(t) + a2 f2 (t)] = a1F1(w) + a2F2 (w)
2. Derivada: si
a1 y a2 constantes arbitrarias
F[ f (t)] = F(w)
( ) = w (w) úû
F df t
é ù
j F
dt
êë

15. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (II)
3. Cambio de escala o escalonamiento:
[ ( )] ( ) a a F f at = 1 F w
4. Desplazamiento en el tiempo:
F[ f (t - t )] = e- jwt0 F(w)
0
F[ f (t)] = F(w)
a = factor
F[ f (t)] = F(w)

16. Algunas propiedades de la
transformada de Fourier (III)
5. Modulación:
a.
b.
F[ f (t)] = F(w); w0 = constante real
( ) ( ) 0 F[ f t e jw0t ] = F w- w
[ ( ) ] ( ) ( ) 2 0
F f t cosw0t = 1
F w- w + F w+ w
6. Convolución: F[ f1(t)] = F1(w); F[ f2 (t)] = F2 (w)
F[ f1(t) Å f2 (t)] = F1(w) × F2 (w)
1
2 0

17. Aplicaciones: calculamos la transformada
de Fourier de algunas funciones
 Forma de la serie:
( )
î í ì <
e t
 Espectro continuo de amplitud:
 Espectro continuo de fase:
³
=
-a
0
0 t
0
f t
t
e-at
f (t)
t
( )
( ) 1
2 2
1
a +w
w =
a + w
w =
F
j
F
f w = tg-1 - w
æ
ö a
çè
( ) ÷ø
F(w)
- 4a a 0
f(w)
1
a
w
a
- 3a - 2a 2a 3a 4a
w

18.  Forma de la serie:
f (t) p (t) t a 0 = × cosw
f (t)
t
( )
- a 2
 Espectro continuo de amplitud:
( ) ( w+ w
)
0
0
w-w
0
0
2
sen
2
sen
w+ w
+
w-w
w =
a a
F
F(w)
t 0 cosw
p (t) a
2
a
t
t
w

19. Transformada de
Fourier