Pengantar Dasar Matematika - Logika dan Teori Himpunan

1. KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa bahwa kami mahasiswa
telah menyelesaikan tugas mata kuliah PENGANTAR DASAR MATEMATIKA dengan
membahas LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN dalam bentuk makalah.
Dalam penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi.
Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak lain berkat
bantuan, dorongan dan bimbingan dosen pembimbing, sehingga kendala-kendala yang penulis
hadapi teratasi.
Semoga materi ini dapat bermanfaat dan menjadi sumbangan pemikiran bagi pihak yang
membutuhkan, khususnya bagi mahasiswa sehingga tujuan yang diharapkan dapat tercapai.
PENYUSUN

2. DAFTAR ISI
Kata Pengantar ………………………………………………………………………………… i
Daftar Isi ……………………………………………………………………………………….. ii
BAB I Pendahuluan
1.1 Latar belakang ………………………………………………………………………………. 3
1.2 Tujuan ……………………………………………………………………………………….. 3
1.3 Manfaat ……………………………………………………………………………………… 4
BAB II Isi: Logika dan Teori Himpunan
2.1 Diagram Venn untuk Himpunan dan Pernyataan …………………………………………… 5
2.2 Mengaplikasikan Teori Himpunan pada Argumen …………………………………………..
2.3 Menggunakan Logika dalam Pembuktian Konsep Teori Himpunan ………………………...
BAB III Penutup
3.1 Kesimpulan …………………………………………………………………………………..
3.2 Soal Latihan ………………………………………………………………………………….
Daftar Pustaka ………………………………………………………………………………….

3. BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pernyataan sehari-hari yang kita gunakan dan juga pernyataan yang kita jumpai
dalam logika seringkali membicarakan kumpulan dari obyek-obyek, maka teori
himpunan seringkali dapat diaplikasikan pada logika. Banyak pernyataan verbal yang
dapat diterjemahkan ke dalam bahasa himpunan menjadi pernyataan-pernyataan yang
ekivalen (mempunyai nilai kebenaran yang sama), dan dengan demikian dapat dibuat
ilustrasinya dengan diagram Venn. Oleh karena itu, seirngkali diagram Venn dipakai
untuk menentukan validitas suatu argumen.
Pengaplikasian teori himpunan pada argument dengan menyatakan premis-premis
dan konklusi suatu argumen ke dalam bahasa himpunan dan kemudian menggunakan
teori himpunan untuk menentukan bahwa konklusi diperoleh dari penurunan terhadap
premis-premis yang ada.
Hubungan antar notasi himpunan dengan simbol-simbol logika dapat dibuktika
dengan beberapa teorema tentang gabungan, irisan, dan lain-lain.
1.2 Tujuan
 Menjelaskan diagram Venn untuk himpunan dan pernyataan.
 Menjelaskan aplikasi teori himpunan dan pernyataan.
 Menjelaskan penggunaan logika dalam pembuktian konsep-konsep teori
himpunan.
1.3 Manfaat
 Dapat memahami diagram Venn dalam himpunan dan pernyataan.
 Dapat mengaplikasikan teori himpunan dan pernyataan.
 Dapat menggunakan logika dalam pembuktian konsep teori himpunan.

4. BAB II
LOGIKA DAN TEORI HIMPUNAN
2.1 Diagram Venn untuk Himpunan dan Pernyataan

5. 2.3 Menggunakan Logika dalam Pembuktian Konsep Teori Himpunan
Hubungan antara notasi himpunan dengan simbol-simbol logika tampak sangat
jelas. Jika x ∊ A ∪ B maka x ∊ A ∨ x ∊ B (baca: x adalah anggota dari A ∪ B maka x ada
di A atau x ada di B). Sedang jika x ∊ A ∩ B maka x ∊ A dan x ∊ B (baca: x adalah
anggota dari A ∩ B maka x ada di A dan x ada di B).
Berikut ini kita akan melihat bagaimana dengan menggunakan logika kita dapat
membuktikan beberapa teorema tentang gabungan, irisan, dan lain-lain.
Contoh:
Buktikan A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Ingatlah pada definisi dua himpunan yang sama, misal P = Q jika dan hanya jika P c Q
dan Q c P. Berdasarkan pengertian ini, untuk menyelesaikan problem di atas kita perlu
menunjukkan bahwa
I. A ∪ (B ∪ C) c (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) dan
II. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c A ∪ (B ∪ C)
Bukti: A, B, dan C adalah himpunan sembarang.
Kasus I : 1. x ∊ A ∪ (B ∩ C)
2. x ∊ A ∨ x ∊ (B ∩ C) 1. Definisi “∪”
Kasus Ia : 3. Misal x ∊ A
4. x ∊ A ∨ x ∊ B 3. Tambahan
5. x ∊ A ∨ x ∊ C
6. x ∊ A ∪ B 4. Definisi “∪”
7. x ∊ A ∪ C 5. Definisi “∪”
8. x ∊ A ∪ B ∧ x ∊ A ∪ C 6,7 Konjungsi
9. x ∊ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 9. Definisi “∩”
Kasus Ib : 10. Misal x ∊ (B ∩ C)
11. x ∊ B ∧ x ∊ C 10 Definisi “∩”
12. x ∊ B 11 Penyederhanaan
13. x ∊ C 11 Penyederhanaan

6. 14. (x ∊ B) ∨ (x ∊ A) 12 Tambahan
15. (x ∊ C) ∨ (x ∊ A) 13 Tambahan
16. x ∊ (A ∪ B) 14 Definisi “∪”
17. x ∊ (A ∪ C) 14 Definisi “∪”
18. x ∊ (A ∪ B) ∧ x ∊ (A ∪ C) 16, 17 Konjungsi
19. x ∊ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 18 Definisi “∩”
20. A ∪ (B ∩ C) c (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 19 Definisi “c”
Kasus II: 1. x ∊ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
2. x ∊ (A ∪ B) ∧ x ∊ (A ∪ C) 1 Definisi “∩”
` 3. x ∊ (A ∪ B) 2 Penyederhanaan
4. x ∊ A ∨ x ∊ B 3 Definisi “∪”
Kasus IIa: 5. Misal x ∊ A
6. x ∊ A ∨ x ∊ (B ∩ C) 5 Definisi “∪”
7. x ∊ A ∪ (B ∩ C) 6 Definisi “∪”
Kasus IIb: 8. Misal x ∊ B
9. x ∊ (A ∪ C) 2 Penyederhanaan
10. x ∊ A ∨ x ∊ C 9 Definisi “∪”
11. Misal x ∊ C
12. x ∊ B ∧ x ∊ C 8, 11 Konjungsi
13. x ∊ (B ∩ C) 12 Definisi “∪”
14. x ∊ A ∨ x ∊ (B ∩ C) 13 Tambahan
15. x ∊ A ∪ (B ∩ C) 14 Definisi “∪”
16. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c A ∪ (B ∩ C) 7, 15 Definisi “c”
Karena A ∪ (B ∩ C) c (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) dan (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) c A ∪ (B ∩ C) maka terbukti
bahwa A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Dari pembuktian di atas terlihat bahwa logika sangat berguna. Pembuktian seperti di atas
terjadi di setiap cabang matematika.

7. BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Pernyataan yang tampaknya sukar dan kompleks dapat diterjemahkan ke dalam
bahasa himpunan. Hampir semua pernyataan dapat dinyatakan ke dalam bahasa
himpunan, tetapi terjemahan itu harus tepat sama dengan apa yang diungkapkan
pernyataan aslinya. Demikian pula dalam mengkonstruksi diagram Venn yang sesuai
dengan pernyataan itu.
Suatu argumen yang valid harus mempunyai konklusi yang bernilai benar untuk
premis-premis yang bernilai benar. Meskipun premis-premis memenuhi diagram Venn
tetapi jika konklusinya tidak, maka argumen tersebut tidak bisa dikatakan valid.

8. DAFTAR PUSTAKA
Seputro, Theresia. 1992. “Pengantar Dasar Matematika”. Edisi kedua. Jakarta: Erlangga.