1. 19
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 2
ESPAÇOS VETORIAIS
1 CORPO
Definição: Um conjunto K, munido com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação (·), é
um corpo (cujos elementos são chamados de escalares), se ele é um subconjunto do
complexos e satisfaz, para Kz,y,x ∈∀ :
Adição
A1) Kyx ∈+ (fechamento)
A2) xyyx +=+ (comutativa)
A3) z)yx()zy(x ++=++ (associativa)
A4) xxxxx/Kx
***
=+=+∈∃ (elemento neutro)
A5)
*^^^
xxxxxx/Kx =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)
Multiplicação
M1) Kyx ∈⋅ (fechamento)
M2) xyyx ⋅=⋅ (comutativa)
M3) z)yx()zy(x ⋅⋅=⋅⋅ (associativa)
M4) xxxxx/Kx
~~~
=⋅=⋅∈∃ (elemento neutro)
M5)
~
xxxxx/Kx =⋅=⋅∈∃ (elemento inverso)
Exemplo (1): Conjuntos que são copos:
a) (»,+,·) = conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação.
b) (»,+,·) = conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação.
c) (»,+,·) = conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.
Exemplo (2): Conjuntos que não são corpos:
a)(»,+,·) = conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação.
b) (»,+,·) = conjunto dos números naturais com as operações usuais de adição e multiplicação.

2. 20
2 ESPAÇO VETORIAL
Definição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produto
por escalar (·), é um espaço vetorial sobre um corpo K, se para Vw,v,u ∈∀ e
K, ∈βα∀ , ele satisfaz as seguintes propriedades:
Adição
A1) uvvu +=+ (comutativa)
A2) w)vu()wv(u ++=++ (associativa)
A3) uuuuu/Vu
***
=+=+∈∃ (elemento neutro)
A5)
*^^^
uuuuu/Vu =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)
Produto por escalar
P1) u)()u( ⋅βα=⋅α⋅β
P2) vu)vu( ⋅α+⋅α=+⋅α
P3) uuu)( ⋅β+⋅α=⋅β+α
P4) uu1 =⋅
OBS: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores. Quando nada for dito,
vamos sempre considerar o corpo K com sendo o conjunto dos números reais.
Exemplo (3): Conjuntos que são espaços vetoriais:
a) (ℜℜℜℜ2
,+,·) = o plano com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.
b) (ℜℜℜℜ3
,+,·) = o espaço com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.
c) (Pn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes
reais, com as operações usuais de adição e produto por escalar.
d) (Mmxn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e elementos reais, com as
operações usuais de adição e produto por escalar.
e) ( ,+,·) = conjunto de todas as funções reais de uma variável real com as operações usuais de
adição e produto por escalar.

3. 21
Propriedades dos espaços vetoriais:
Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Então:
a) O vetor nulo, denotado por 0, é único.
b) Vv,0v0 ∈∀=⋅
c) K,00 ∈α∀=⋅α
d) Vw,v,u,wvwuvu ∈∀=⇒+=+ (lei do cancelamento)
e) Vv,v)1(v ∈∀⋅−=−
f) KeVv,0v0e0vse ∈α∀∈∀=⇒≠α=⋅α
O Espaço Vetorial ℜℜℜℜn
O espaço vetorial { }ℜ∈=ℜ n21n21
n
x,...,x,x/)x,...,x,x( , sobre o corpo dos
reais, é o conjunto de todas as n-úplas de números reais, munido com as operações de adição
vetorial e produto por escalar definidas por:
Adição vetorial:
n
n212n211 )y,...,y,y(ve)x,...,x,x(v ℜ∈==∀ então
)yx,...,yx,yx(vv nn221121 +++=+
Produto por escalar:
ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)x,...,x,x(v n
n21 então )x,...,x,x(v n21 ααα=⋅α
OBS: Os únicos espaços vetoriais que possuem visão geométrica são ℜ, ℜ2
e ℜ3
.
3 Subespaço Vetorial
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W⊆V é um subespaço
vetorial de V se:
a) W0 ∈ (ou seja, o elemento zero do espaço V pertence a W)
b) Wwew,Www 2121 ∈∀∈+
c) KeWw,Ww ∈α∀∈∀∈⋅α
Exemplo (4): Seja V um espaço vetorial qualquer. São considerados subespaços triviais:

4. 22
a) W = V b) W = {0}, ou seja, o espaço nulo.
Exemplo (5): Mostre que toda reta passando pela origem é um subespaço do ℜ2
.
Solução: Seja { }0mcom,mxy/)y,x(W 2
≠=ℜ∈= , ou seja, W é uma reta passado pela
origem. Então todo vetor de W se escreve com )mx,x( . Assim, podemos escrever que
{ }ℜ∈≠∀ℜ∈∀= 0mex),mx,x(W .
a) W)0,0( ∈ , pois para : )0,0()0m,0(0x =⋅⇒=
b) Sejam W)mx,x(weW)mx,x(w 222111 ∈∈= . Então:
( ) W)xx(m,xxww 212121 ∈++=+
c) Sejam ℜ∈α∀∈= eW)mx,x(w . Então: ( ) W)x(m,xw ∈αα=⋅α
Exemplo (6): Mostre que todo plano passando pela origem é um subespaço do ℜ3
.
Solução: Seja { }0czbyax/)z,y,x(W 3
=++ℜ∈= , ou seja, W é um plano passado pela
origem. Então todo vetor de W se escreve com 




 −−
z,y,
a
czby
, supondo a ≠ 0.
Assim, podemos escrever que






ℜ∈∀




 −−
= z,y,z,y,
a
czby
W .
a) W)0,0,0( ∈ , pois para : )0,0,0(0,0,
a
0c0b
0zy =




 ⋅−⋅−
⇒==
b) Sejam Wz,y,
a
czby
weWz,y,
a
czby
w 22
22
211
11
1 ∈




 −−
=∈




 −−
= .
Então: Wzz,yy,
a
)zz(c)yy(b
ww 2121
2121
21 ∈





++
+−+−
=+
c) Sejam Wz,y,
a
czby
w ∈




 −−
= e ℜ∈α∀ . Então:
Wz,y,
a
zcyb
w ∈





αα
α−α−
=⋅α
Proposição (1): Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V sobre um corpo K, então:
i) 21 WW + é subespaço de V.
ii) 21 WW ∩ é subespaço de V.

5. 23
iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.
Demonstração:
i) 21 WW + é subespaço de V.
O conjunto { }22112121 WweWw/wwuWW ∈∈+==+ .
a) 21 WW0 +∈ . De fato, como W1 é subespaço, então 1W0 ∈ e como W2 é subespaço, então
2W0∈ . Portanto, 21 WW000 +∈+= .
b) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒



∈
∈
22
11
Ww
Ww
e
21
'
2
'
1 WWwwv +∈+= ⇒



∈
∈
2
'
2
1
'
1
Ww
Ww
Então: )ww()ww(vu '
22
'
11 +++=+ . Note que, 1
'
11 Www ∈+ e 2
'
22 Www ∈+ ,
pois eles são subespaços. Portanto, 21 WWvu +∈+ .
c) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒



∈
∈
22
11
Ww
Ww
e K∈α∀ . Então 21 wwu α+α=⋅α .
Como W1 e W2 são subespaços ⇒



∈α
∈α
22
11
Ww
Ww
. Portanto, 21 WWu +∈⋅α
ii) 21 WW ∩ é subespaço de V.
a) Como W1 e W2 são subespaços, então 1W0 ∈ e 2W0∈ . Portanto, 21 WW0 ∩∈ .
b) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wu
Wu
e 21 WWv ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wv
Wv
. Como W1 e W2 são
subespaços, então 1Wvu ∈+ e 2Wvu ∈+ . Portanto, 21 WWvu ∩∈+ .
c) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒



∈
∈
2
1
Wu
Wu
e K∈α∀ . Como W1 e W2 são subespaços, então
1Wu ∈α e 2Wu ∈α . Portanto, 21 WWu ∩∈α .
iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.

6. 24
Para demostrar este fato, vamos exibir um contra-exemplo. Sejam { }0y/)y,x(W 2
1 =ℜ∈=
e { }0x/)y,x(W 2
2 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy. Seja 21 WW ∪ que é
o conjunto de todos os vetores que estão sobre o eixo Ox ou sobre o eixo Oy. Sejam
21 WW)0,1(u ∪∈=
r
e 21 WW)1,0(v ∪∈=
r
. Então, 21 WW)1,1(vu ∪∉=+
rr
.
Portanto, 21 WW ∪ não é subespaço do ℜ2
.
Definição: Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Dizemos que o espaço V é
soma direta dos subespaços W1 e W2, denotado por 21 WWV ⊕= , se:
i) 21 WWV +=
ii) }0{WW 21 =∩
Exemplo (7): Mostre que o ℜ2
é soma direta de { }0y/)y,x(W 2
1 =ℜ∈= com
{ }0x/)y,x(W 2
2 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy.
Solução: Podemos escrever que { }ℜ∈∀= x),0,x(W1 e { }ℜ∈∀= y),y,0(W2 . Assim, todo
vetor do ℜ2
se escreve com )y,0()0,x()y,x(v +==
r
. Logo, 21
2
WW +=ℜ .
Note que, )}0,0{(WW 21 =∩ . Portanto, 21
2
WW ⊕=ℜ .
Exemplo (8): Mostre que toda função é soma direta de uma função par com uma função ímpar.
Solução: Função par: )x(f)x(f −= . Ela pode ser escrita como
2
)x(f)x(f
)x(f1
−+
=
Função ímpar: )x(f)x(f −−= . Ela pode ser escrita como
2
)x(f)x(f
)x(f2
−−
=
vu
rr
+
v
r
u
r
W2
W1

7. 25
Então, toda função )x(f)x(f)x(f 21 += ⇒
2
)x(f)x(f
2
)x(f)x(f
)x(f
−−
+
−+
=
E a única função que é par e ímpar é a função nula 0)x(f = , logo }0{)x(f)x(f 21 =∩ .
Exercícios Propostos
1) Seja }2,1,0{K = . Defina em K duas operações:
Adição: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 + k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.
Multiplicação: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 · k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.
Mostre que K com as operações acima é um corpo.
2) Seja }0v/v{V >ℜ∈= . Defina em V duas operações:
Adição: 2121 vvvv ⋅=⊕ , Vvev 21 ∈∀
Produto por escalar:
α
=⊗α vv , ℜ∈α∀∈∀ eVv
Mostre que V com as operações acima é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.
3) Mostre que






=−=+ℜ∈





= 0dcb2a/)(M
dc
ba
W 2x2 é um subespaço de M2x2(ℜ).
4) Mostre que { }0a2a/)(Ptataa)t(pU 1o2
2
21o =−ℜ∈++== é um subespaço de P2(ℜ).
5) Verificar quais dos conjuntos é um subespaço do ℜn
.
a) { }2
n1
n
n21 xx/)x,...,x,x(W =ℜ∈= Resp (a): não
b) { }21n
n
n21 xxx/)x,...,x,x(U +=ℜ∈= Resp (b): sim
c) { }0x/)x,...,x,x(X 1
n
n21 ≥ℜ∈= Resp (c): não
6) Sejam { }0xy/)y,x(W 2
1 =−ℜ∈= e { }0xy/)y,x(W 2
2 =+ℜ∈= , ou seja, as retas
bissetrizes dos quadrantes do ℜ2
. Mostre que 21
2
WW ⊕=ℜ .