1. CORPORACION UNIFICADA NACIONAL
DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N.
ESCUELA DE INGENIERIAS
AREA DE CIENCIAS BASICAS
ALGEBRA LINEAL
MATRICES
Conceptos Básicos
Una matriz es una ordenación rectangular de números, por ejemplo:
A= |
|
Es una matriz. Se emplean los paréntesis con el fin de considerar la ordenación
rectangular de números como una entidad.
En general, una matriz frecuentemente se escribe así:
(
)
|
Y se dice que es una matriz de tamaño
columnas.
|
, o que está compuesta de m filas y n
Ejemplo:
Sea
|
|
Esta matriz es de tamaño
son:
, es decir, tiene tres filas y cuatro columnas. Sus filas
(
(
(
)
)
)
Y sus columnas
(
)
(
)
( )
(
)
Tipos De Matrices
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus
elementos reciben nombres diferentes:

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TIPO DE MATRIZ
FILA
COLUMNA
RECTANGULAR
TRASPUESTA
OPUESTA
NULA
DEFINICION
EJEMPLO
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su
orden 1×n
Aquella matriz que tiene una sola columna,
siendo su orden m×1
Aquella matriz que tiene distinto número de filas
que de columnas, siendo su orden m×n ,
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la
matriz que se obtiene cambiando ordenadamente
las filas por las columnas.
Se representa por
ó
La matriz opuesta de una dada es la que resulta
de sustituir cada elemento por su opuesto. La
opuesta de A es -A.
Si todos sus elementos son cero. También se
denomina matriz cero y se denota por 0m×n
Aquella matriz que tiene igual número de filas
que de columnas,
, diciéndose que la
matriz es de orden n.
Diagonal principal :
Diagonal principal: son los elementos
CUADRADA
Diagonal secundaria: son los elementos
con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada: es la suma de
los elementos de la diagonal principal tr A.
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su
traspuesta.
;
Diagonal secundaria :

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TIPO DE
MATRIZ
ANTISIMÉTRICA
DEFINICION
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta
de su traspuesta.
,
Necesariamente
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos nulos excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1. También se
denomina matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los
elementos por encima (por debajo) de la diagonal
principal nulos.
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada
e invertible:
La inversa de una matriz ortogonal es una matriz
ortogonal.
ORTOGONAL
El producto de dos matrices ortogonales es una
matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó 1.
NORMAL
INVERSA
Una matriz es normal si conmuta con su
traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas
u ortogonales son necesariamente normales.
Decimos que una matriz cuadrada A tiene
inversa,
, si se verifica que:
EJEMPLO

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Operaciones Con Matrices
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra
semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con
matrices.

Suma de matrices
(
La suma de dos matrices
y
)
(
es otra matriz
(
(
y
)
)
(
de la misma dimensión:
)
)
(
|
)
|
Ejemplo:
o Propiedades de la suma de matrices
1.
2.
3.
4.

(
) (
)
Asociativa:
Conmutativa: A+B = B+A
Elemento Neutro: (matriz cero
) , 0+A = A+0 = A
Elemento Simétrico: ( matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
Resta de matrices
La resta de dos matrices
y
(
)
y
(
es otra matriz
(
)
|
)
(
)
(
de la misma dimensión:
)
(
)
|

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Ejemplo:
[
]
[
]
[
]
[
]
o Propiedades de la suma de matrices
1.
2.
3.
4.
(
) (
)
Asociativa:
Conmutativa: A-B = B-A
Elemento Neutro: (matriz cero
), 0-A = A-0 = A
Elemento Simétrico: (matriz opuesta -A), A - (-A) = 2A, (-A) – A = 2A
Nota: La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son
distintas!!

Producto de un número real o escalar por una matriz
Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los
elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.
Si
|
(
)
|
|
Entonces;
(
)
|
Ejemplo:
Es una ley de composición externa con las siguientes
o Propiedades de un número real o escalar por una matriz
1.
2.
3.
4.
Asociativa: ʎ(µA) = (ʎµ)A
Distributiva I: ʎ(A+B) = ʎA+ ʎB
Distributiva I: (ʎ+µ) A= ʎA+ µA
Elemento Neutro: 1A = A

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
Producto entre matrices
(
Dadas dos matrices
)
y
(
)
donde
, es decir, el número de
columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se define
el producto
de la siguiente forma:
El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los
productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la
columna j de la matriz B.
Para cada par i y j.
Ejemplo
[
]
[
]
[
(
(
) (
) (
) (
) (
)
)
(
(
) (
) (
) (
) (
)
]
)
[
]
También se debe revisar el hecho que la cantidad de columnas de la primera matriz
sea correspondiente a la cantidad de filas de la segunda matriz para que se pueda
desarrollar la multiplicación de matrices y que el tamaño de la matriz que de como
resultado final de la operación debe ser del tamaño de las filas de la primera matriz con
las columnas de la segunda matriz.

Determinantes y calculo determinantes de orden 2X2 y 3X3
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número
real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el
determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por
significan valor absoluto).
 a11 x  a12 y  b1

a 21 x  a 22 y  b2
(las barras no
a) Consideremos el sistema de ecuaciones
en
dos
incógnitas x y y
A  a11a22  a21a12
El número real ij
se llama un determinante de orden 2 y se denota
por
Aij 
a11
a12
a 21 a 22

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Si consideramos el determinante como el cuadro de números, entonces su valor es el
producto de los elementos de una diagonal (Diagonal principal) menos el producto de
los elementos de la otra diagonal (Diagonal secundaria).
b) Consideremos el sistema de ecuaciones
tres incógnitas x, y, z.
 a11 a12
A  a 21 a 22

a31 a32

Un determinante de orden 3,
Aij  a11
Por lo que,
a 22
a 23
a32
a33
 a12
a13 
a 23 

a33 

 a11 x  a12 y  a13 z  b1
a x  a y  a z  b
22
23
2
 21
a31 x  a32 y  a33 z  b3

en
, se calcula de la siguiente manera:
a 21 a 23
a31 a33
 a13
a 21 a 22
a31 a32
,
Aij  a11 a22a33  a23a32   a12 a21a33  a23a31   a13 a21a32  a22a31 
Se puede también hacer uso de la ley de Sarrus la cual determina que para calcular el
determinante de una matriz de orden 3, se repiten las dos primeras columnas (o filas) a
continuación de la tercera, se multiplican los números que hay en la diagonales
principales y luego se suman los resultados de las multiplicaciones. Repetimos, el
mismo proceso con las diagonales secundarias y después hacemos la diferencia entre
el resultado obtenido con las diagonales principales y el total obtenido con las
A
diagonales secundarias; este resultado es el determinante de la matriz ij .
 a11 a12
A  a 21 a 22

a31 a32

Si
a13 
a 23 

a33 

a11 a12
Aij  a 21 a 22
entonces
a31
a32
a13 a11 a12
a 23 a 21 a 22
a33 a31
a32
, por tanto,
Aij  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32   a31a22a13  a32a23a11  a33a21a12 
o Propiedades de los determinantes:
Cuando se hable de fila o columna de un determinante se referirá a la matriz a la cual
se le va a calcular el valor del determinante.

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a) Propiedad 1: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de
un determinante, es igual a cero, el valor del determinante es cero.
b) Propiedad 2: El determinante de una matriz cuadrada es igual al
determinante de su transpuesta.
c) Propiedad 3: Si dos filas (o columnas) de un determinante son
intercambiadas, el signo del determinante queda cambiado.
d) Propiedad 4: Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales, el
determinante vale cero.
e) Propiedad 5: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de
un determinante se multiplica por el mismo número k, el valor del
determinante queda multiplicado por k.
f) Propiedad 6: Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de
un determinante se expresa como la suma de dos o más términos, el
determinante se puede expresar como la suma de dos o más
determinantes.
g) Propiedad 7: La suma de los productos de los elementos de una fila (o
columna) de un determinante por los correspondientes cofactores de
otra fila (o columna), es cero.
h) Propiedad 8: La suma de los productos de los elementos de una fila (o
columna) por los correspondientes cofactores de esa, da el
determinante; pero la suma de los elementos de una fila (o columna)
por los correspondientes cofactores de otra fila, da cero.
i) Propiedad 9: El valor de un determinante no cambia si a los elementos
de cualquier fila (o columna) se le suman k veces los correspondientes
elementos de cualquier otra fila (o columna).
j) Propiedad 10: Sean A y B matrices cuadradas del mismo tamaño,
AB  A  B
entonces
.