Σημειώσεις live μαθημάτων που πραγματοποιούνται για το μάθημα των Μαθηματικών της σχολής ΙΦΕ

1. ΙΦΕ Μαθηματικά
28/10/2021
Μάθημα 2
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
α.ε. 2021-2022

2. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730

3. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730

4. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730

5. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730

6. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή
𝑷 𝒏 : πρόταση που αφορά τους φυσικούς

7. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή
𝑷 𝒏 : πρόταση που αφορά τους φυσικούς

8. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή
𝑷 𝒏 : πρόταση που αφορά τους φυσικούς
Αν ισχύει για κάποιον φυσικό, τότε
ισχύει και για τον επόμενό του

9. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή

10. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή
Μαθηματική Επαγωγή 1
• Έστω ότι 𝑃(𝑥) σημαίνει ότι η ιδιότητα 𝑃 ισχύει για τον αριθμό 𝑥.
• Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής 1: Η 𝑃(𝑥) ισχύει για κάθε φυσικό αριθμό 𝑥
αν
1. Η 𝑃(1) ισχύει
2. Αν ισχύει η 𝑃(𝑘) για τυχόντα αριθμό 𝑘 τότε ισχύει και η 𝑃(𝑘 + 1)
https://www.youtube.com/watch?v=XNVGdpaAKrQ

11. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή

12. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 1
Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό 𝑛 ≥ 1 ισχύει:
1 + 2 + ⋯ + 𝑛 =
1 + 𝑛 ⋅ 𝑛
2

13. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 1

14. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
12
+ 22
+ ⋯ + 𝜈2
=
𝜈(𝜈 + 1)(2𝜈 + 1)
6

15. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
12
+ 22
+ ⋯ + 𝜈2
=
𝜈(𝜈 + 1)(2𝜈 + 1)
6

16. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

17. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

18. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 2

19. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 3
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
13
+ 23
+ ⋯ + 𝜈3
=
1
4
𝜈2
𝜈 + 1 2

20. 1. Σύνολα
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Μαθηματική Επαγωγή Άσκηση 4
Να δείξετε ότι για κάθε φυσικό αριθμό 𝜈 ∈ ℕ∗
21+22+23+...+2ν = 2ν+1 – 2.
https://www.youtube.com/watch?v=XNVGdpaAKrQ