Construcció de la proporció aurea, el rectangle i l'espiral aurees

1. Construcció de la proporció àuria
1
CONSTRUCCIÓ DE LA PROPORCIÓ ÀURIA
Fulls per a l’alumnat
La Proporció Àuria, també coneguda com la Proporció d’Or, el Nombre d’Or, la
Proporció Daurada o la Divina Proporció equival a
2
51+
. Si la divisió de la longitud
d’un costat d’una figura entre la longitud d’un costat adjacent ens dona com a resultat
aquest nombre, aleshores es diu que la figura té una Proporció Àuria. Les figures que
presenten aquesta relació es diu que són més agradables a la vista que la resta de
figures. Segons el matemàtic i astrònom germànic Johann Kepler (1571-1630):
La geometria té dos grans tresors: un és el teorema de Pitàgores, i l’altre
és la divisió d’una línea en la seva Proporció Àuria. Hem de comparar la
primera amb una peça d’or; la segona la hem de comparar a una joia
preciosa. (Serra, 630)
Activitat 1: EL SEGMENT AURI.
1.1. La construcció de la proporció àuria.
Donada una línea AB, el nostre objectiu és trobar un punt C ubicat a la línea de tal
forma que AB/AC=BC/AB=
2
51+
, la proporció àuria. En aquest cas, el segment de la
línea ABC es diu que es troba dividit per la seva proporció àuria.
a. Utilitza el regle per dibuixar un segment AB. Anomena A l’extrem esquerre i
ubica un punt B a la dreta d’A, tal i com es mostra.
b. Troba el punt mig del segmento AB i anomena’l M.
c. Al punt B, construeix una línea perpendicular al segmento AB.
d. Sobre aquesta perpendicular, marca el segmento de BT de manera que
BT=AB. El segment BT ha de tenir la mateixa longitud que AB.
e. Dibuixa el segmento de línea MT.
f. Utilitzant M com centre i MT com radio, construeix un arc des de T que arribi a
fins a la recta inicial. Anomena C aquest el punt d’intersecció.

2. Construcció de la proporció àuria
2
1.2. Verifica la proporció àuria mesurant amb el regle.
Comprova que AB/BC≈
2
51+
i que AC/AB≈
2
51+
.
1.3. Verifica la proporció àuria de forma algebraica.
Suposant que AB té una longitud 1, i utilitzant el teorema de Pitàgores, demostra que
AC/AB=
2
51+
i AB/BC=
2
51+
.
Activitat 2: EL RECTANGLE AURI.
2.1. Construeix un rectangle auri.
El nostre objectiu és construir un rectangle en el qual la llargada dividida per l’amplada
sigui
2
51+
.
a. Dibuixa un quadrat ABCD en paper quadriculat utilitzant compàs i regle. Deixa
espai suficient a la dreta i anomena els vèrtexs com es mostra a la figura.
b. Continua el segment AB cap a la dreta.
c. Troba el punt mig del segment AB i anomena’l M.
d. Dibuixa el segment MC.
e. Utilitzant M com a centre i MC com a radi, dibuixa un arco des de C fins a la
extensió de AB. Anomena P al punt d’intersecció.
f. Construeix una línea perpendicular a AP des de P. Allarga DC fins que talli la
perpendicular i anomena Q al punt d’intersecció.
El rectangle APQD es un rectangle auri, ja que AP/AD=
2
51+
.

3. Construcció de la proporció àuria
3
2.2. Comprova que APQD és un rectangle auri mesurant amb el regle.
Comprova que AP/AD≈
2
51+
.
2.3. Verifica de forma algebraica que APQD és un rectangle auri.
Suposa que AD té una longitud de 1, i utilitza el teorema de Pitàgores per demostrar
que AP/AD=
2
51+
.
ACTIVITAT 3: L’ESPIRAL ÀURIA.
a. Construeix un rectangle auri utilitzant les indicacions de l’Activitat II. Fes-ho tan
gran com sigui possible. Anomena els vèrtex tal i com indica la figura.
b. Al costat AB, marca el segment AE tal que AE=AD. Al costat DC, marca el
segment DF tal que DF=AD.
c. Dibuixa el segment EF, formant el quadrat AEFD. El rectangle FEBC és un
rectangle auri! Ho pots comprovar?
d. Utilitzant E com a centre i EA com a radi, dibuixa un arc des del punt A fins al
punt F.
e. Gira el paper de forma que el costat CB es trobi a la part superior, i repeteix els
passos a fins a d amb el rectangle auri FEBC per formar el quadrat FHGC.
Utilitzant H com a centre i HF com a radi, dibuixa un arc des del punt F fins al
punt G.
f. Repeteix els passos a fins a d amb el rectangle auri GHEB per formar el
quadrat GJIB. Utilitzant J com a centro i JG com a radi, dibuixa un arc des del
punt G fins al punt I.

4. Construcció de la proporció àuria
4
g. Repeteix els passos a fins a d amb el rectangle auri IJHE per formar el quadrat
IKLE. Utilitzant K com a centre i KI com a radi, dibuixa un arc des del punt I fins
al punt L.
h. Repeteix els passos a fins a d amb el rectangle auri LKJH per formar el quadrat
LMNH. Utilitzant M com a centre i ML com a radi, dibuixa un arc des del punt L
fins al punt N.
i. Repeteix els passos a fins a d amb el rectangle auri NMKJ per formar el
quadrat NOPJ. Utilitzant O com a centre i ON com a radi, dibuixa un arc des del
punt N fins al punt P.
Com pots veure, aquest procés pot continuar indefinidament o a almenys fins que el
teu compàs ja no pugi fer l’arc. Observa com tots els arcs es troben connectats
formant la espiral àuria.
La espiral àuria també s’anomena la espiral logarítmica o la espiral equiangular. Es
troba a la natura a la petxina del nàutil.